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Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:
Ejemplos.
Jose Mara Rico MartnezDepartamento de Ingeniera Mecanica.
Division de Ingenieras, Campus Irapuato-Salamanca.Universidad de
Guanajuato.
CP 36730, Salamanca, Gto., MexicoE-mail:
[email protected]
Alejandro Tadeo Chavez.Instituto Tecnologico Superior de
Irapuato.
Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.CP 36821, Irapuato, Gto.,
Mexico
Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]
1 Introduccion.
En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicacion de
las condiciones de rotabilidad y delcriterio de Grashoff para la
determinacion del tipo de mecanismos planos de cuatro barras y
sus,posibles, posiciones crticas.
2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la
figura 1 cuyas longitudes son:a1 = 10, a2 = 2, a3 = 8, a4 = 6.
Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la
condicion de Grashoff, estoes:
L+ s p+ q (1)Para este caso, la seleccion de los eslabones mas
largo, mas corto e intermedios esta dada por
a1 = 10 = L, a2 = 2 = s, a3 = 8 = p, a4 = 6 = q. Por lo que,
sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene
10 + 2 8 + 6 o 12 14 (2)Por lo tanto, el mecanismo es de la
Clase I, mas aun, puesto que s = a2, se concluye que elmecanismo es
rotatorio-oscilatorio y el eslabon 2 puede realizar rotaciones
completas.
En una segunda etapa, se confirmara este resultado empleando las
condiciones de rotabilidady, adicionalmente, se determinaran las,
posibles, posiciones crticas de los eslabones de entrada yde
salida.
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Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras
1. Eslabon 2.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos
exteriora1 + a2 a3 + a4 (3)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
10 + 2 8 + 6 o 12 14. (4)El eslabon 2 satisface esta primera
condicion de rotabilidad.
Segunda condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos
interior|a2 a1| |a4 a3| (5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|2 10| |6 8| o 8 2. (6)El eslabon 2 satisface esta segunda
condicion de rotabilidad.
Por lo tanto, se verifica que este eslabon 2 puede girar
360.
2. Eslabon 4.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion lmite exteriora1 + a4
a2 + a3 (7)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
10 + 6 2 + 8 o 16 6 10 (8)El eslabon 4 no cumple con esta
condicion de rotabilidad, por lo tanto tiene una posicionlmite, vea
la figura 2. El angulo correspondiente se obtiene como
cos =a21 + a
24 (a2 + a3)22a1a4
(9)
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Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posicion lmite
externa
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
= 72.5423
Entonces el angulo 4L1 esta dado por
4L1 = 180 = 180 72.5423 = 107.4576
Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lmite interior|a4 a1|
|a3 a2| (10)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 10| |8 2| o 4 6 6 (11)Entonces el eslabon 4 no cumple con
esta condicion de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posicion lmite
interior, vea la figura 3. El angulo correspondiente se obtiene
como
cos =a21 + a
24 (a3 a2)22a1a4
(12)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
= 33.5573
Entonces el angulo 4L2 esta dado por
4L2 = 180 = 180 33.5573 = 146.4426
El paso final consiste en, dado que el eslabon 4 no puede rotar
completamente, determinar elangulo de oscilacion, vea la figura 4,
que esta definido como
4 = . (13)Sustituyendo los valores correspondientes, se
obtiene
4 = 72.5423 33.5573 = 38.985 (14)
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Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posicion de
puntos muertos interior.
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras: Angulo de oscilacion
del mecanismo
3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la
figura 5, cuyas longitudes estandadas por a1 = 3, a2 = 6, a3 = 11,
a4 = 9.
Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la
condicion de Grashoff, estoes:
L+ s p+ q (15)Para este caso, la seleccion de los eslabones mas
largo, mas corto e intermedios esta dada por
a1 = 3 = s, a3 = 11 = L, a2 = 6 = p, a4 = 9 = q. Sustituyendo
las dimensiones correspondientesse obtiene
11 + 3 6 + 9 o 14 15 (16)Por lo tanto, el mecanismo es de la
Clase I y puesto que el eslabon mas pequeno es s = a1 = 3,
el mecanismo es doble rotatorio.
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Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras
En una segunda etapa, este resultado se verificara empleando las
condiciones de rotabilidadpara los eslabones de entrada y de
salida.
1. Eslabon 2
Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos
exterior.a1 + a2 a3 + a4 (17)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 6 11 + 9 o 9 20. (18) Segunda condicion de rotabilidad.
Posicion de puntos muertos interior
|a2 a1| |a4 a3| (19)Sustituyendo las dimensiones
correspondientes se obtiene
|6 3| |9 11| o 3 2. (20)Se cumplen ambas condiciones de
rotabilidad para el eslabon 2, por lo tanto, este eslabonpuede
rotar 360.
2. Eslabon 4.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion lmite exterior.a1 +
a4 a2 + a3 (21)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 9 6 + 11 o 12 17. (22)
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Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lmite exterior|a4 a1|
|a3 a2| (23)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|9 3| |11 6| o 6 5. (24)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabon 4,
por lo tanto este eslabon 4puede rotar 360.
Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble
rotatorio. Por lo tanto, no es necesariocalcular angulo de
oscilacion alguno.
4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I.
Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 6
cuyas longitudes estan dadaspor a1 = 7, a2 = 6, a3 = 3, a4 = 5.
Figure 6: Mecanismo de cuatro barras
Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la
condicion de Grashoff, estoes
L+ s p+ q (25)Para este caso, la seleccion de los eslabones mas
largo, mas corto e intermedios esta dada por
a1 = 7 = L, a3 = 3 = s, a2 = 6 = p, a4 = 5 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientesse obtiene
7 + 3 6 + 5 o 10 11. (26)Por lo tanto, el mecanismo es de la
Clase I y puesto que s = a3 = 3 el mecanismo es
dobleoscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificara empleando las
condiciones de rotabilidadpara los eslabones de entrada y de
salida.
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1. Eslabon 2
Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos
exterior.a1 + a2 a3 + a4 (27)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 6 3 + 5 o 13 6 8 (28)El eslabon 2 no cumple con esta
condicion de rotabilidad, por lo tanto tiene una posicionde puntos
muertos exterior, vea la figura 7, el angulo 2D1 esta dado por
cos 2D1 =a21 + a
22 (a3 + a4)22a1a2
(29)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
2D1 = 75.52 (30)
Figure 7: Posicion de puntos muertos exterior en un mecanismo
plano de cuatro barras
Segunda condicion de rotabilidad Posicion de puntos muertos
interior.|a2 a1| |a4 a3| (31)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 7| |5 3| o 1 6 2. (32)El eslabon 2 no cumple con esta
condicion de rotabilidad, por lo tanto, se presenta unaposicion de
puntos muertos interior, vea la figura 8, el angulo 2D2 esta dado
por
cos 2D2 =a21 + a
22 (a4 a3)22a1a2
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
2D2 = 15.35 (34)
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Figure 8: Posicion de puntos muertos interior en un mecanismo
plano de cuatro barras.
La conclusion es que el eslabon 2 es incapaz de rotar 360. El
paso final consiste en determinarel angulo de oscilacion, vea la
figura 9, que esta definido como
2 = 2D1 2D2. (35)Sustituyendo los valores de los eslabones se
obtiene
2 = 75.52 15.35 = 60.17 (36)
Figure 9: Determinacion del angulo de oscilacion del eslabon 2
en un mecanismo plano de cuatrobarras.
2. Eslabon 4.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion lmite exterior.a1 +
a4 a2 + a3 (37)
8
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Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 5 6 + 3 o 12 6 9. (38)
El eslabon 4 no cumple con esta condicion de rotabilidad; por lo
tanto, el eslabon 4tiene una posicion lmite exterior, vea la figura
10, el angulo correspondiente esta dadopor
cos =a21 + a
24 (a2 + a3)22a1a4
(39)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
= 95.73 (40)
Entonces el angulo 4L1 esta dado por
4L1 = 180 = 180 95.73 = 84.27 (41)
Figure 10: Posicion lmite exterior en un mecanismo plano de
cuatro barras.
Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lmite interior.|a4
a1| |a3 a2| (42)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|5 7| |3 6| o 2 6 3. (43)
De acuerdo con este resultado, el eslabon 4 no puede rotar
completamente; por lo tanto, eleslabon 4 presenta una posicion
lmite correspondiente, vea la figura 11, el angulo 4L2 estadada
por
cos =a21 + a
24 (a3 a2)22a1a4
(44)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
= 21.78 (45)
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Figure 11: Posicion lmite interior en un mecanismo plano de
cuatro barras.
y el angulo 4L2 esta dado por
4L2 = 180 = 180 21.78 = 158.21 (46)
La conclusion es que el eslabon 4 no puede rotar completamente.
El paso final consiste endeterminar el angulo de oscilacion, vea la
figura 12, el angulo 4L2 esta dado por
4 = (47)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
4 = 95.73 21.78 = 73.95 (48)
Figure 12: Determinacion del angulo de oscilacion 4 en un
mecanismo de cuatro barras
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5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II.
Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura
13, cuyas longitudes estan dadaspor a1 = 11, a2 = 6, a3 = 9, a4 =
7.
Figure 13: Un mecanismo plano de cuatro barras
Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la
condicion de Grashoff, estoes
L+ s p+ q (49)Para este caso, la seleccion de los eslabones mas
largo, mas corto e intermedios esta dada por
a1 = 11 = L, a2 = 6 = s, a3 = 9 = p, a4 = 7 = q. Sustituyendo
las dimensiones correspondientesse obtiene
11 + 6 9 + 7 o 17 6 16. (50)Por lo tanto, el mecanismo es de la
clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.En una segunda etapa,
este resultado se verificara empleando las condiciones de
rotabilidad
para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabon 2.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion lmite exterior.a1 +
a2 a3 + a4. (51)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 6 9 + 7 o 17 6 16. (52)Es eslabon 2 no cumple con esta
condicion de rotabilidad; por lo tanto, el eslabon 2presenta una
posicion de puntos muertos exterior, vea la figura 14, el angulo
2D1 estadado por
cos2D1 =a21 + a
22 (a3 + a4)22a1a2
(53)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
2D1 = 138.59 (54)
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Figure 14: Posicion de puntos muertos exterior en un mecanismo
plano de cuatro barras
Segunda condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos
interior.|a2 a1| |a4 a3| (55)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11 6| |7 9| o 5 2 (56)Por lo tanto, se verifica que el eslabon
2 cumple con esta condicion de rotabilidad.
Figure 15: Angulo de oscilacion 2 en un mecanismo plano de
cuatro barras
El paso final consiste en determinar el angulo de oscilacion, 2,
vea la figura 15, el cual estadefinido como
2 = 2 2D1 (57)
Sustituyendo los valores correspondientes se tiene
2 = 2 (138.59) = 277.18 (58)
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2. Eslabon 4.
Primera condicion de rotabilidad. Posicion lmite exterior.a1 +
a4 a2 + a3 (59)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 6 + 9 o 18 6 15 (60)
El eslabon 4 no cumple esta condicion de rotabilidad; por lo
tanto, el eslabon 4 presentauna posicion lmite exterior, vea la
figura 16, el angulo 4L1 esta dado por
cos =a21 + a
24 (a2 + a3)22a1a4
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones obtenemos que:
= 110.92 (62)
Entonces el angulo 4L1 esta dado por:
4L1 = 180 = 180 110.92 = 69.07 (63)
Figure 16: Posicion lmite exterior en un mecanismo plano de
cuatro barras.
Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lmite interior.|a4
a1| |a3 a2| (64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7 11| |9 6| o 4 3 (65)
Este resultado muestra que el eslabon 4 si cumple con esta
condicion de rotabilidad.
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La conclusion es que el eslabon 4 es incapaz de rotar
completamente. El paso final consiste endeterminar el angulo de
oscilacion, 4, vea la figura 17, el cual esta definido como
4 = 2 (66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
4 = 2 (110.92) = 221.84. (67)
Figure 17: Angulo de oscilacion 4 en un mecanismo plano de
cuatro barras
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