JORGE MARIO MURCIA MELO

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Geometría Analítica

ARMENIA, QUINDÍO

MAYO DE 2009

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Jorge Mario Murcia M

CONTENIDO

CONTENIDO ......................................................................................................................... 2

1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica ............................................................. 3

2. Cónicas degeneradas ....................................................................................................... 5

3. Graficar cónicas con ejes rotados .................................................................................... 7

4. Reflexión de cónicas ........................................................................................................ 8

Bibliografía ........................................................................................................................... 11

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1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica

Suponga que se tiene una cónica rotada un ángulo desconocido, tal que cumpla la siguiente

ecuación:

Si reemplazamos por las siguientes ecuaciones:

Luego factorizamos y obtenemos como resultado los siguientes coeficientes:

{

( ) ( )

Una ecuación sin rotar carece del término B´, por lo que para conocer el ángulo de rotación con

respecto a la posición perpendicular a los ejes coordenados igualamos a cero.

( ) ( )

Usando equivalencias trigonométricas puede encontrarse el ángulo de rotación:

( )

Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, pero cuando A=C, donde se indetermina. Si esto

sucede el ángulo ϑ será igual a 45°.

Ejemplo:

Determine la forma de la siguiente ecuación de tal forma que quede paralela a los ejes coordenados.

Solución:

El ángulo de rotación es:

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( )

Encontrando los valores de los coeficientes:

{

( ) ( )

{

√

√

La ecuación resultante es:

√

√

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2. Cónicas degeneradas

Supóngase que se tiene alguna de las siguientes ecuaciones, producto de efectuar rotación y/o

traslación sobre otra ecuación que se presume es una cónica.

Aunque la mayoría de los casos representan secciones cónicas, en ciertas ocasiones no existe

solución a ellas o está dada por una recta o un punto. A esta clase de ecuaciones se le conoce como

Cónicas degeneradas.

Para el primer tipo de ecuación pueden presentarse tres casos

A´, C´ y F´ tienen el mismo signo y son diferentes de cero. En este caso la ecuación no tiene

solución, pues ningún valor real de x´ o y´ cumple con la igualdad.

Ejemplo:

Solución:

Intentando despejar y se llega al siguiente resultado:

√

√

Todas las soluciones de y son números complejos. Por lo tanto la ecuación no tiene solución en los

reales y no puede ser graficada.

A´, C´ de igual signo y F´=0. El único punto real que soluciona la igualdad es (0,0), o en su

defecto el punto que corresponda al origen antes de efectuar la traslación.

Ejemplo:

Mediante el despeje de y se llega a:

√

√

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Como se observa solo el valor de x´=0, entrega una solución real a la ecuación. En este caso el punto

(0,0), es el único visible en la grafica.

A´, C´ de diferente signo y F´=0. En este caso el resultado dependiendo de los valores de A´

y C´ puede consistir en dos rectas paralelas, dos rectas que se cruzan o una sola recta.

Ejemplo:

Resolviendo la variable y:

√

√ ( √

)

El resultado en este caso son dos rectas de pendientes inversas que pasan por el origen de

coordenadas y se cruzan.

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3. Graficar cónicas con ejes rotados

Si se tiene la ecuación de una cónica que no es paralela a los ejes coordenados (tiene el coeficiente B´

en la ecuación), el primer paso para graficar es identificar la ecuación sin rotación (ver pregunta 1),

y a continuación dibujar los ejes coordenados normales. Luego, se grafica nuevos ejes desde el

mismo origen, pero rotados un ángulo ϑ. Sobre estos nuevos ejes se grafica la ecuación hallada.

Ejemplo:

Grafique la ecuación

Solución

Se determina el ángulo de rotación de la grafica:

Se determina la ecuación sin rotación encontrando los coeficientes:

{

( ) ( )

{

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4. Reflexión de cónicas

Una grafica puede reflejarse con respecto a un eje recto de tal forma que la nueva grafica tenga la

misma forma pero dirección contraria al eje que se está tomando como referencia.

En general, deducir la ecuación de una curva reflejada puede ser complicado, ya que requiere de

trasladar y rotar la ecuación múltiples veces.

Sin embargo respecto a ciertas posiciones es fácil hacer la reflexión. Suponga que la ecuación que

tiene es de la forma

Respecto al eje y, se desea reemplazar a x por –x. Por lo tanto

( ) ( )

Respecto al eje x, se desea reemplazar a y por –y. Por lo tanto

( ) ( )

Respecto al origen, se reemplaza tanto x como y, por sus negativos respectivamente.

( )( ) ( ) ( )

Ejemplos:

Halle las tres reflexiones principales para la grafica de la siguiente ecuación:

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Solución:

Respecto a y:

Respecto a x:

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Respecto al origen:

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Bibliografía

GORDON FULLER Y DALTON TARWATER. Geometría analítica, 7 ed. Pág. 162.

CHARLES H. LEHMANN. Geometría analítica, 13 ed. Pág. 212.

WILLIAM WOOTON, EDWIN BECKENBACH Y FRANK J. FLEMING. Geometría

analítica moderna, 1 ed. Pág. 180.