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MATE 114Cálculo Vectorial
Semana Nº 8 (MAGISTRAL)Martes 23-09-2003
Prof. José Ricardo ARTEAGA B.
Recorderis
• Campo escalar (Gráfico = superficie)
• Campo vectorial (Gráfico = flechas)
Recorderis: El gradiente
• El gradiente es un Campo Vectorial
• Se halla a Campos escalares
yxf
yxyxf
Df
,22
),(
:22
2
Recorderis: Líneas de flujo
x
cy
cxy
x
dx
y
dy
x
y
dx
dy
F
F
dx
dytt
FFyx
)ln()ln()ln(
)´())((
,,
1
2
21
ccF
F
Rotacional• Qué es?. Un campo vectorial• A quién se halla?. A campos vectoriales
tridimensionales.• No se puede hallar a campos bidimensionales?. Si,
considerándo su tercera componente cero.• es ortogonal a F?. No necesariamente.
33: DF
33: DF
F
Significado del Rotacional
• Si F representa el flujo de un fluido, entonces el rotacional, en un punto, es el doble del vector velocidad angular de un cuerpo rígido que gira como el fluido cerca de ese punto.
• Si el rot(F)=0 en un punto significa que el fluido no tiene rotaciones en ese punto, es decir no tiene remolinos. Una rueda con aspas rígidas en el fluido se moverá con el fluido pero no girará alrededor de su eje.
• Si rot(F)=0 para todo punto del dominio, el campo se llama irrotacional.
Definición del Rotacional
321
kji
F F
FFFzyx
rot
),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD
Divergencia• Qué es?. Un campo escalar.• A quién se halla?. A campos vectoriales en general.• Dónde existe?. En el espacio tridimensional.• Si significa que la divergencia es
perpendicular a F?. No Pregunta sin sentido.
nD:F
3,2 ,: nD nnF
0F
Significado de la Divergencia
• Si F representa el flujo de un fluido, entonces la divergencia , representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
• Si el div(F)<0 se está comprimiendo.• Si el div(F)>0 se está expandiendo.• Si el div(F)=0 es incompresible.• Conforme el fluido se mueve el volumen
(área) de control se comprime, expande o queda igual.
• Si div(F)=0 para todo punto del dominio el campo se llama incompresible.
Definición de la Divergencia
dz
F
dy
F
dx
Fdiv 321F F
),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD
Ejemplo
22: DF
1F
0,0,0F
x,0i),(F
xyx
Usando Maple
• Campos Escalares (Experimento)• Campos Vectoriales• Gradiente, Rotacional y Divergencia