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7/21/2019 Routh Hurwitz
http://slidepdf.com/reader/full/routh-hurwitz-56dbabc59b1a5 1/8
ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS
Resumen:
Siendo la estabilidad de un sistema
realimentado en lazo cerrado vital en el diseño
de sistemas de control, se buscan métodos que
ayuden a analizar y diseñar sistemas estables.
Un sistema estable debería mostrar una salida
acotada si la entrada es acotada.
La estabilidad de un sistema realimentado está
directamente relacionado con la situación de las
raíces de la ecuación característica de la función
de transferencia del sistema.
El método de out!"#ur$itz se introduce como
una !erramienta %til &ara calcular la estabilidad
del sistema. La técnica &ermite calcular el
n%mero de raíces de la ecuación característica
en la mitad derec!a del &lano sin calcular
realmente los valores de dic!as raíces.
El criterio de out!"#urt$itz afirma que el
n%mero de raíces de la ecuación característica
q's( con &arte real &ositiva es i)ual al n%mero de
cambios de si)no de la &rimera columna de la
matriz de out!.
Palabras clave: sistema realimentado,
estabilidad, sistema estable.
Abstract:
*t is t!e stability of a closed loo& feedbac+
system vital in t!e desi)n of control systems,
met!ods to !el& analyze and desi)n stable
systems are sou)!t.
stable system s!ould s!o$ a bounded out&ut
if t!e in&ut is bounded.
-!e stability of a feedbac+ system is directly
related to t!e &osition of t!e roots of t!e
c!aracteristic equation of t!e transfer function
of t!e system.
-!e out!"#ur$itz met!od is introduced as a
useful tool to estimate t!e stability of t!e
system. -!e tec!nique allo$s to calculate t!e
number of roots of t!e c!aracteristic equation in
t!e ri)!t !alf of t!e &lane $it!out actually
calculatin) t!e values of t!ese roots.
-!e out!"#ur$itz says t!e number of roots of
t!e c!aracteristic equation q 's( $it! &ositive
real &art is equal to t!e number of cus&s of t!e
first column of t!e out! array.
Keywords: feedback system, stability, stable
systems
7/21/2019 Routh Hurwitz
http://slidepdf.com/reader/full/routh-hurwitz-56dbabc59b1a5 2/8
1 Introducción
ara sistemas retroalimentados, que se
&resentan &or sus res&ectivas funciones de
transferencia de lazo cerrado -'s(, el !ec!o más
im&ortante se relaciona con las ecuaciones
características asociadas a -'s( y consiste en
determinar si el sistema es estable, esto es, si sus
&olos de lazo cerrado están localizados en el
semi&lano izquierdo s.
En cuanto a los &olinomios característicos, se
&uede establecer que los sistemas de &rimero y
se)undo orden son estables en lazo cerrado/ sinembar)o, a &artir de ecuaciones características
de tercer )rado, los sistemas &ueden o no ser
estables, lo cual de&ende de la ubicación en el
&lano s de los res&ectivos &olos de lazo cerrado
década confi)uración.
2 Definición de estabilidad
La noción de estabilidad es fundamental en el
desarrollo de sistemas de control y en &articular
&ara los sistemas retroalimentados. La ausencia
de esta &ro&iedad vuelve in%til en la &ráctica a
cualquier sistema.
Utilizando realimentación, se &ueden estabilizar
&lantas inestables y con una correcta selección
de &arámetros del controlador se &uede a0ustar
el com&ortamiento transitorio. Se &uede decir
que un sistema realimentado lazo cerrado esestable o inestable.
n sistema estable se define como a!uel !ue
tiene una res"uesta limitada# Esto es$ se dice
!ue el sistema es estable si$ estando su%eto a
una entrada o "erturbación limitada$ su
res"uesta es de ma&nitud limitada#
La localización de los &olos de un sistema en el
&lano s indica la res&uesta transitoria resultante.
Los &olos en la &arte izquierda del &lano s dancomo resultado una res&uesta decreciente &ara
entradas de &erturbación. Los &olos en el e0e 0$
y en el &lano de la derec!a dan como resultado
una res&uesta neutral y una creciente
res&ectivamente, &ara una entrada de
&erturbación.
Una condición necesaria y suficiente &ara que
un sistema de realimentación sea estable es que
todos los &olos de la función de transferencia
del sistema ten)an &artes reales ne)ativas. Si la
ecuación característica tiene raíces sim&les
sobre el e0e ima)inario 'e0e 0$( con el resto de
las raíces en el lado izquierdo del &lano, la
salida en estado estacionario tendrá oscilaciones
mantenidas &ara una entrada limitada.
' M(todo de Rout)*+ur,it-
Este método es un arre)lo numérico que tiene
como ob0etivo determinar el n%mero de raíces
de un &olinomio característico que estén en el
semi&lano derec!o del &lano s. or eso al
&rocedimiento de out!"#ur$itz de le
denomina método de estabilidad absoluta, ya
que el resultado no indica la &osición es&ecifica
de los &olos, como en el caso de los distintos
métodos de evaluación de raíces de &olinomios.
El criterio de Rout)*+ur,it- establece !ue el
n.mero de cambios de si&nos en la columna
"rinci"al corres"onde al n.mero de ra/ces
!ue se encuentran a la derec)a del e%e jw #
Sea el &olinomio característico de )rado n1
an sn+an−1 s
n−1+…+a1 s+a0=0
2on el ob0etivo de investi)ar la estabilidad del
sistema es necesario determinar si al)una de las
raíces de q's( está en la derec!a del &lano s &ara
lo cual se debe tomar en cuenta1
"-odos los coeficientes sean &ositivos.
"-odos los coeficientes sean diferentes de cero.
Si no satisfacen, inmediatamente se saben que el
sistema es inestable/ &ero si satisfacen, entonces
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debe &rocederse a determinar la estabilidad del
sistema.
Este criterio se basa en el ordenamiento de los
coeficientes de la ecuación característica, &ara
comenzar el arre)lo, se &rocede a escribir delasi)uiente manera1
0i&ura 1# 2uadro 2om&arativo 3e!ículo Eléctrico 4 3e!ículo de
combustión. 5uente1 utor
6es&ués se &rocede a com&letar el arre)lo,
a)re)ando los elementos b7, b8, c7, c8. 9 se
calculan de la si)uiente manera
b1=an−1 (an−2 )−an(an−3
)
an−1
−1
an−1
an an−2
an−1
an−3
b2=an−1 (an−4 )−a
n(a
n−5)
an−1
c1=b1 (an−3 )−a
n−1(b2)b1
c2=b1 (an−5 )−an−1
(b3)
b1
Una vez que este !a sido com&letado se a&lica
el criterio de out!"#ur$itz
Los cambios de si)no en la &rimera columnanos dan el n%mero de &olos inestables.
Ejemplo:
s3+s2+2 s+24=0
b1=an−1 (an−2 )−a
n(a
n−3)
an−1
b1=1 (2 )−1(24)
1
b1=−22
b2=an−1 (an−4 )−a
n(a
n−5)
an−1
b2=1 (0 )−1(0)
1 =0
c1=−22 (24 )−1(0)
−22 =24
c2=b1 (an−5 )−an−1
(b3)
b1
c2=0
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Este e0em&lo &resenta 8 cambios de si)no &or lo
que tiene dos raíces con &arte real &ositiva.
Este es inestable.
Simulación en matlab
0i&ura 1# olos en el &lano.
Se puede observar que en la gráfca queel sistema es inestable.
asos es"eciales en el an3lisis deRout) +ur,it-
#1# eros en la columna "rinci"al#
Si el término de la &rimera columna de
cualquier ren)lón es cero, &ero los términos
restantes no son cero, o no !ay términosrestantes, el término cero se sustituye con un
n%mero &ositivo muy &equeño : y se eval%a el
resto del arre)lo.
ara entender de me0or manera se &lantea un
e0em&lo1
Sea el &olinomio característico1
s; < s= < =s 8 < =s < 7> ? >
e&resentándole en el arre)lo de out!"#ur$itz
s; 1 3 10
s= 1 3
s 8 0 10
s
s>
Lue)o al cuantificar el valor de b7 y b8, seobserva que este resultado es cero.
unque b8 es distinto dc cero, los elementos de
las si)uientes filas no &ueden evaluarse, ya que
todos ellos quedarían divididos entre cero, lo
que daría lu)ar a indeterminaciones.
Si los coeficientes que com&onen el numerador
de b7 fueran levemente diferentes, el resultado
sería distinto de cero, con lo que el arre)lo &odría ser com&letado, &ara lo cual se &lantea
un n%mero 4, que es casi cero, &ero &ositivo, el
cual se sustituye &or el cero de la columna
&rinci&al, con lo que el coeficiente b7 &uede ser
evaluado1
6e esta manera el arre)lo es1
s; 1 3 10s= 1 3
7/21/2019 Routh Hurwitz
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s 8ð 10
s (3ð -10! ð
s> 10
s;
1 3 10s= 1 3
s 8ð 10
s (3ð -10
s> 10
2uando codos los elementos de una
determinada fila !an sido evaluados, &ara
facilitar los cálculos, el ren)lón ba0o
consideración &uede multi&licarse &or cualquier
n%mero diferente de cero 'en este caso, la cuarta
fila se multi&licó &or :( sin alterar el resultado
del arre)lo.
2on res&ecto a la columna &rinci&al, ésta
&resenta dos cambios de si)no, &ues : es casi
cero, &ero &ositivo, =: 7> @ >/ &or lo tanto, el
sistema es inestable con dos &olos en cl S6.
manera de com&robación, a ubicación de los
&olos obtenida con Aatlab corres&onden a1
1#1# Terminación antici"ada del arre&lo#
En ocasiones, ocurre que &ara ciertos
&olinomios característicos su arre)lo
corres&ondiente finaliza en forma antici&ada,
esto es antes de terminar el arre)lo éste contiene
una fila formada eBclusivamente &or ceros en
al)uno de sus ren)lones intermedios/ &or
e0em&lo, el caso del &olinomio característico1 ali)ual que &ara el análisis del caso anterior,
&lanteamos un e0ercicio.
s; < 8s= < Cs 8 < ;s < 7> ? >
e&resentándole en el arre)lo de out!"#ur$izt
s; 1 " 10
s= # $
s 8 % 10
s 0 0
s>
La eB&licación de la terminación &rematura del
arre)lo 'al)una fila intermedia com&uesta
totalmente &or ceros( indica que eBiste un
&olinomio divisor cuyas raíces son ima)inarias,
> D0b, además de dividir eBactamente al
&olinomio característico ori)inal.
ara com&letar el arre)lo, se &rocede a sustituir
la fila de ceros &or la derivada en s del
&olinomio divisor, el cual se identifica a &artir
del ren)lón inmediato anterior no nulo del
arre)lo/ en este caso, s 8 < 7> 'raíces com&le0as
con0u)adas en el e0e ima)inario.
or lo tanto &ara el desarrollo del e0em&lo
anterior, se &rocede a tomar la fila de análisis y
la derivamos &ara obtener los valores del
arre)lo.
d (5 s2+10)ds
=10 s
or lo que el arre)lo final queda de la si)uientemanera1
s; 1 " 10
s= # $
s 8 % 10
s 10 0
s> 10
Lue)o de com&letado el arre)lo, se observa queel sistema es estable, ya que la columna
&rinci&al no &resenta cambios de si)no.
A"licación de m(todo de 5Rout)*
+ur,it-6 7 a%uste de &anancia 58 7 81*
826#
La a&licación del método 'out!"#ur$itz( se da
&ara los sistemas retroalimentados, es decir
me0ora la estabilidad, &recisión en ré)imen
&ermanente y res&uesta transitoria adecuada.
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Los &olos del &olinomio característico
de&enderán tanto de los coeficientes del
&olinomio ori)inal como el valor de )anancia de
F, en consecuencia si la )anancia es a0ustable
&ara cada valor de F los &olos de lazo cerrado
tendrán ubicaciones diferentes en el &lano s.
En la fi) 7 la ecuación característica del sistema
de&ende de dos coeficientes a y b así como la)anancia a0ustable de valores de F &or.
1+G ( s ) H (s )=s2+(a+b ) s+ (a¿b+k )=0
-odos los sistemas de &rimero y se)undo )rado
siem&re serán estables en lazo cerrado &ara toda
)anancia k ≥0 . Si los si)nos de los
coeficientes del &olinomio son &ositivos o
ne)ativos, )arantiza que el sistema res&ectivo
será estable, sin embar)o &ara &olinomios de
)rado tres en adelante no es a&licable &or lo
tanto eBiste este método de out!"#ur$itz &ara
determinar las &osibles soluciones de )anancia
F &ara obtener que los sistemas sean estables.
S*S-EA 6E AEGHA*EI-H ES-JJLE.
Las &osibles soluciones de este sistema se dan
&or el re)ulador o valores F.
1Fig(Analisis Dinamico del Sistemaslide)
2Fig(Analisis Dinamico de los Sistema)
3Fig(Precision en Regimen)
4Fig(slide Transitoria Adecuada)
onclusiones
2on el método del criterio de out! #ur$itz se
&uede determinar si un sistema es estable o
inestable de&endiendo la ubicación de sus &olos,
sin tener que factorizar el &olinomio.
2uando observamos que !ay dos cambios de
si)no en los coeficientes de la &rimera columna,
lo cual si)nifica que eBisten dos raíces con
&artes reales &ositivas, y &or lo tanto el sistema
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tiene com&ortamiento inestable.
Si todos los &olos en lazo cerrado se encuentran
en el lazo izquierdo cualquier res&uesta
transitoria termina &or alcanzar el equilibrio.Esto re&resenta un sistema estable.
9 Biblio&rafia
olitécnica Salesiana, 5eb. 8>7.
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