Entre nuestro último artículo, dedicado al trián-gulo de Napoleón y el que estás leyendo, ha salidouna nueva versión de GeoGebra para escritorio,tanto para Windows, Mac o Linux denominadaen esta ocasión Geogebra 6. dedicaremos unaslíneas a explorar la nueva versión antes de lan-zarnos al apasionante mundo de las demostra-ciones sin palabras.

La principal novedad de Geogebra 6 es suaspecto que coincide con la versión para dispo-sitivos móviles. se han unificado todas las apa-riencias en una, anulando diferencias entre lasversiones para dispositivos móviles y para escri-torio.

actualmente, la disponibilidad para dispositi-vos móviles es la siguiente:

Iphone

Calculadora gráficaCalculadora geométrica

Ipad Apps

Calculadora gráficaCalculadora geométricaGeogebra

Mac Apps

Geogebra 5Geogebra 6 Math app

Android

Calculadora gráfica

Artículo solicitado por Suma en marzo de 2017 y aceptado en mayo de 2017

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el poder de las imágenesDemostraciones sin palabras

José Luis Muñoz Casado85SeccioneSJulio 2017

pp. 83-90

CreoGebra

Calculadora geométricaGeogebra 6 Math appGraficador 3dExamen GeoGebra CasCalculadora GeoGebra ExamenGeoGebra examen calculadora gráfica

GeoGebra 6 presenta un renovado entornográfico (figura 1).

Las principales novedades las podríamos re-sumir en:

— Nuevo entorno gráfico, ahora todas lasversiones tienen la misma apariencia entodas las plataformas.

—Nueva vista algebraica fusionada con la ba-rra de entrada. Esa ventana admite el con-trol de deslizadores y casillas de verifica-ción desde la propia vista (figura 2).

— Nuevo editor de ecuaciones. Las expre-siones algebraicas aparecen escritas en len-guaje natural.

— La herramienta insertar imagen permite usarla cámara web del ordenador.

— Guardado automático en GeoGebra-Tube.org. GeoGebra 6 ha apostado por lanube y todos los ficheros que creemos se-rán guardados por defecto en GeoGebra-Tube.org, con la opción de recurso pri-vado. si queremos tener nuestro ficheroggb para guardarlo en nuestro ordenadortendremos que recurrir a la opción exportar

a ggb.

Podemos realizar un pequeño ejercicio parapracticar con esta nueva versión. Como el ver-dadero objetivo de este artículo son las demos-traciones visuales, vamos a practicar con una de-mostración del Teorema de Pitágoras.

demostraciones del Teorema de Pitágorashay muchas. La que mostramos está basada en lapotencia de un punto.

Recordamos:dado un punto P en el plano y una circunfe-

rencia c, si trazamos una recta que pase por P ycorte a la circunferencia en dos puntos A y B,entonces, el producto de la distancias PA y PB

es constante. a esta constante se llama potencia de

un punto P (figura 3).obviamente el punto P puede ser interior o

exterior a la circunferencia.

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Figura 1. Apariencia de GeoGebra 6.0

Figura 2. nueva Vista Algebraica Figura 3

ahora sí, construyamos nuestra demostracióndel Teorema de Pitágoras

sumando [1] y [2] obtenemos:

(CD+BD)· a= b2 + c 2

obteniendo: a 2 = b2 + c 2

Como hemos visto, una demostración sin pa-labras no quiere decir una demostración sin pen-sar.

¿Qué es una demostraciónsin palabras (DSP)?

decía Miguel de Guzmán:

las ideas, conceptos y métodos de las matemáticaspresentan gran riqueza de contenidos visuales, re-presentables intuitivamente, geométricamente,cuya utilización resulta muy provechosa, tanto enlas tareas de representación y manejo de tales con-ceptos y métodos como en la manipulación conellos para la resolución de problemas de campo.

Podríamos resumir la frase anterior en: «unaimagen vale más que mil palabras», esta sentenciamuy usada por los matemáticos antiguos. de he-cho, podemos remontarnos a la demostracióndel Teorema de Pitágoras que se encuentra en eltexto chino Zhoubi Suanjing, que, aún sin teneruna datación clara, se estima se escribió entre el500 y el 300 a. C., para ver una imagen explicandoel teorema (figura 5). Posteriormente aparecíanlas atribuidas a Pitágoras.

Este tipo de demostraciones era muy fre-cuente, ya sea por falta de aparato algebraico opor la trasmisión de conocimientos medianteimágenes, pero dicha práctica no llegó a exten-

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Guía de construcción

— con el botón dibujamos dos puntos A y B. — escribimos en la barra de entrada: recta[a,B] o usamos el

botón para trazar la recta que pasa por A y B.— con el botón trazamos la recta perpendicular que pasa

por A.— Situamos un punto en la recta perpendicular, el punto C.— ocultamos las dos rectas anteriores haciendo clic en de la

recta en la vista algebraica.— con el botón dibujamos el triángulo rectángulo de

vértices A, B y C.— Trazamos la altura por el vértice A usando el botón y

marcamos su intersección ( ) con el lado del triángulo. Acontinuación, ocultamos la recta.

— Dibujamos el segmento AD escribiendo en la barra deentrada: segmento[a,d] o usando el botón .

— Trazamos con el botón las circunferencias que pasan porA, D y C y A, D y B (figura 4).

Figura 4

El ejercicio anterior es una demostración sinpalabras del Teorema de Pitágoras. Veámoslo

observemos primero que CD+DB=a. dadoque a es un ángulo recto el segmento AC es tan-gente a la circunferencia que pasa por A, D y B.Por tanto, usando que la potencia de C es constante,obtenemos: CD·CB=b2 o CD·a=b 2 [1] (este re-sultado se obtiene de la semejanza de los triángulosACD y ACB, ya que CD/CA=CA/CB).

Repetimos el argumento con el punto B y lacircunferencia que pasa por A, D y C y obtene-mos que: BD·BC= c 2 o BD·a= c 2 [2].

Figura 5. Prueba visual del Teorema de Pitagoras.zhoubi Suanjing, 500-300 a.c.

derse y mucho menos aceptarse como demos-tración (con o sin palabras).

En octubre de 1973, Martin Gardner publicaen su sección «Games Mathematical» de la revistaScientific American «“Look-see” diagrams that offervisual proof of complex algebraic formulas»,inaugurando el mundo de las demostraciones sinpalabras (figura 6).

Más tarde, en 1975, la Mathematical Association

of American incluyó en su revista Magazine Mat-

hematics una sección de «demostraciones sin pa-labras». El primer artículo se publicó en 1975.El autor fue Rufus isaacs y su título «Two Ma-thematical Papers Without Words».

Como se observa en la figura 7, el artículoconsistía en un aparato del cual no se sabía si era

real o ficticio, para trisecar el ángulo, y una de-mostración del Teorema de Pitágoras.

al año siguiente, la revista incorporó a dosnuevos editores, J. arthur seebach y Lynn arthursteen que propusieron varios cambios. uno deellos fue sustituir la sección «Notas y comenta-rios» por «Noticias y cartas» con el propósito dedinamizar la respuesta de los lectores, de talforma que en un par de meses podían ver suscartas publicadas en la revista.

Las primeras cartas recibidas aludían todas alartículo «Two Mathematical Papers WithoutWords» y los nuevos editores decidieron incluiren el número de enero de 1976, una nota al finalde la recién estrenada sección:

nota de los editores: nos gustaría animar a la contribución de nuevas

demostraciones sin palabras por los motivos men-cionados por rufus isaacs y por otro más: buscamosmaterial visual interesante para ilustrar las páginasde la revista y usar como relleno en los finales delos artículos. ¿Qué podría ser mejor para este pro-pósito que una ilustración resultado de algún hechomatemático destacado?

después de este anuncio, las dsP comenza-ron a aparecer a un ritmo de dos por año. Eléxito de la sección fue rotundo y a finales de losaños ochenta la revista publicaba una media deseis dsP anuales.

sin embargo, las dsP producen controversiaen el mundo matemático ya que existen dos tiposde reacciones. Están los matemáticos que consi-deran que las dsP no son realmente demostra-ciones y están los que afirman que efectivamenteson una forma de ver y argumentar resultados.

La principal ventaja que se obtiene de unadsP es la visualización rápida y convincente deun resultado matemático. Ese primer acerca-miento a través de una imagen que aparente-mente no dice mucho pero que leyendo y razo-nando nos provoca un fogonazo matemático quenos muestra lo que verdaderamente nos dice laimagen.

una vez recibido ese destello de luz es inevi-table coger lápiz y papel y en un ejercicio depuro deleite, demostrar de manera formal o tra-dicional el resultado que la imagen muestra. Eneste sentido, GeoGebra nos proporciona un en-torno ideal para no solo observar, sino manipular

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Figura 6. «Mathematical Games», Scientific American,octubre de 1973

Figura 7. Vol. 48, n.° 4 (sep. 1975), p. 198

la imagen, comprobando casos particulares, casosextremos, etc.

DSP 2.0

siguiendo un poco más con la historia de lasdsP, la dirección de Magazine Mathematical pro-puso como revisor de las dsP recibidas al pro-fesor Roguer B. Nelsen. Con el paso del tiempoNelsen fue recopilando muchas de esas demos-traciones y en 1993 publicó el libro Proof Without

Word. Exercices in Visual Thinking. algunas de lasdemostraciones que veremos a continuación pro-ceden de ese libro. al realizarlas con GeoGebracreamos lo que se considera demostraciones sinpalabras 2.0.

Habitualmente comenzamos con una breveconstrucción que nos da pie a nuestras investi-gaciones. En esta ocasión muchas de las dsPque veremos exigen grandes conocimientos téc-nicos de GeoGebra para conseguir el efecto vi-sual y de animación de las dsP 2.0. Por este mo-tivo simplemente nos dedicaremos a explorar lasconstrucciones.

Las dsP que veremos tienen su correspon-diente versión 2.0 en la sección CreoGebra en<geogebratube.org>.

Números mediante longitudes

una forma muy típica de representar un númeroes mediante un segmento cuya longitud coincidacon dicho número. En la siguiente imagen vemoscomo dados a ,b > 0 podemos representar lascantidades a + b, a· b y 1/a.

La demostración formal nos adentra en la se-mejanza y las proporciones.

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Figura 8. Dados a,b> 0 representación de a·b y 1/a

Figura 9. «The rolling circle squares itself»,Thomas elsner, Mathematical Magazine, vol. 50, 1977

b

1=p

a⇒ p= a ⋅b

1

p=a

1⇒ p= 1

a

Círculo rodante que se cuadra a sí mismo

una simple imagen puede esconder muchoconocimiento detrás. Parte de la magia de lasdsP es descubrir que hay oculto.

al diseñar la imagen en GeoGebra comienzana aparecer nuevos objetos, nuevas relaciones ynos comienza a hablar:

Figura 10. relaciones ocultas

Tomando el triángulo CBH y el triánguloBGH deducimos que son semejantes, por tantox

�r=r

x⇒ x2=�r2⇒ x = �r

Y el área de nuestro cuadrado es A =pr 2.E incluso, a veces, nos habla más de una vez.

La imagen habla por sí misma, y el applet deGeoGebra más aún, y muestra que efectivamentela altura del triángulo (media geométrica) nuncapodrá superar al radio de la circunferencia (mediaaritmética).

Números mediante objetos

Volviendo a la primera imagen que Martin Gard-ner publicó en 1973 en Mathematical Games yretomando la tradición de los pitagóricos de re-presentar números con figuras podemos ver al-gunas fórmulas algebraicas.

Todo el mundo recuerda las demostracionespor inducción. una de ellas era:

1+3+...+(2n– 1)=n 2.

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Figura 11. otras relaciones

Tomando el triángulo MBH, tenemos que

�1( )r2

2

+ x2 =

+1( )r2

2

x = +1( )r

2

2

� �1( )r

2

2

x = r

aplicando el Teorema de Pitágoras:

MB= �1( )r

2 y MH =

�+1( )r2

de nuevo, obtenemos que el área del cua-drado es A =pr 2.

Media aritmética versus media geométrica

Todo el mundo conoce la media aritmética dedos números a y b, (a + b)/2, y la media geomé-trica, . una forma elegante de ver la relaciónentre ambas medias es la figura 12.

Leyendo la imagen:

— El triángulo que se observa es rectánguloal estar inscrito en una semicircunferenciacuyo diámetro es a + b.

— La media aritmética de a y b es precisa-mente el radio de esa circunferencia.

— La media geométrica es la altura del trián-gulo anterior, resultado obtenido a partirdel Teorema de la altura.

a ⋅b

Figura 12. charles D. Gallant, 1977

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

Figura 13. nicomachus de Gerasa (sobre 100 a. c.)

observando la imagen con detenimiento:

o también:

La parte más grande, coloreada de amarilloes 1/4 del cuadrado original. El siguiente pasoes 1/4 de 1/4 y así sucesivamente.

al final, el cuadrado aparece coloreado úni-camente con tres colores. Por tanto, se puedededucir observando la imagen que la suma delas áreas de los cuadrados amarillos es:

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1 3 5

36 + 12 + 1 = 62 + 2· 6 + 1 = (6 + 1)2 = 72 = 49

Procesos iterativos

En este tipo de demostraciones GeoGebra ad-quiere una gran potencia visual, ya que podemosver el proceso de iteración, que aún siendo finitonos evoca la idea de infinito.

Figura 14

Figura 15

Figura 16. Sunay A. Ajose

1

4+1

42+…=1

3

Con un poco más de paciencia podemos pre-parar un applet que nos ayude a generalizar.

1

nk

k=1

�

= 1n�1

, n>1, n∈ℕ

Figura 17

referencias bibliográficas

aLsiNa, C., y R. B. NELsEN (2006), Math Made Visual,Creating Images for Understanding Mathematics, Ma-thematical association of america, Washington.

— (2009), When Less Is More. Visualizing Basic Inequa-

lities. Mathematics, Mathematical association ofamerica, Washington.

GaRdNER, M. (1973), «“Look-see” diagrams that offervisual proof of coplex algebraic formulas», Scientifc

American, octubre, 115.GuzMáN, M. de (1996), El rincón de la pizarra. Ensayos de

visualización en análisis matemático, Pirámide, MadridisaaCs, R. (1975), «Two Mathematical Papers without

Words», Mathematics Magazine, vol. 48, n.º 4, 198.NELsEN, R. B. (1993), Proof Without Words. Exercices

in visual thinking. Mathematical association ofamerica. Washington.

— (2000), Proof Without Words. More Exercices in visual

thinking, Mathematical association of america,Washington.

— (2001), Demostraciones sin palabras. Ejercicios de pensa-

miento visual. Proyecto sur de Ediciones, Granada.

Números como valores de funciones

un análisis de la figura 18 nos muestra que lafunción y=lnx/x es decreciente en el intervalo(e, +•) y que precisamente en x= e tiene un má-ximo absoluto.

Por tanto, dados x1, x

2≥ e tal que x

1<x

2ten-

dremos que f (x1)> f (x

2). Tomando x

1= e y x

2=p

tenemos el resultado de la imagen.

Para finalizar, propongo esta dsP.

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f (e )= ln e

e, f (�)= ln�

�

Por tanto,

ln e

e>ln�

�⇒� ln e> e ln�⇒

ln e�> ln�e⇒ e

�>�e

Figura 18

Como vemos hay muchos tipos de demos-traciones sin palabras y abarcan casi todas lasdisciplinas de las Matemáticas. En nuestra secciónon line CreoGebra tenemos muchas más dsP2.0. desde aquí invitamos a su exploración y,como el título del libro de Nelsen dice, a practicarel pensamiento visual.

Teorema

la bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo bisecaal cuadrado sobre la hipotenusa.

Figura 19

JoSé luiS Muñoz cASADo

IES Salvador Dalí

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