números enteros en una recta nurnertca, se

S NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros se pueden representar en una recta numér ea

Para representar losestos pasos:10 Se elige un punto inicial, que se marca con O.

IDEAS CLAVE

• representacióngráfica

• sentidosopuestos

I ~o Figure

2.° Se elige una unidad de medida arbitraria y se marcan puntos a la 2-:::y a la izquierda del cero con la misma unidad de medida.

3.° Los núr1"leros a la derecha del cero son los enteros positivos y losizquierda son los enteros negativos. Observa la figura 1.9.TEN EN CUENTA

El signo + que antecedea los números positivospuede omitirse.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Representa los números -4, +5, -1, O, +8, Y -9 en la recta nurnér ca

SOLUCiÓN: Los números negativos se ubican a la izquierda de cero y lospositivos a la derecha, como se observa en la figura 1.10.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9Figura

B. Describe los desplazamientos representados en la recta numérica .. ,,. ,• I I I I I I I I I I I I I I I .-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 Figura 1.11

SOLUCiÓN: En el primer desplazamiento se avanza 7 unidades y en elsegundo, se retrocede 8.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. COMUNICACiÓN. Escribe el número entero que co-rresponde a cada letra en la recta numérica.

e E A o F B·1 + + + 1 + + + l·o Figura 1.12

ARGUMENTA

2. EJERCITACIÓN. Representa cada grupo de númerosen la recta numérica.

PROPONE

3. En el juego de la "esca.e-ra", los jugadores sacan por turnos una cc--ta. Las cartas rojas indican pasos de ava ....::::y las azules, de retroceso. Después del ::--mer turno, ¿cuál es la posición de cada -:en la recta numérica, con respecto al pL~:_salida? Represéntala en la recta de la fg -:::1.17.

al +4, -6, +7, +5, -7 y O--,-, 1 1 1 1 1 -+~-+~-+-,-,-+-,-1------,

-6 -4 -2 o 2 4.' 6 ' ¡Figura 1.131

1

'------'

bl +10, -20, +40, -30, -10 Y -40

~:-:-:-:-+I---ll--+--:_+_IO 20 ~?gura 1141

el +200, +300, + 100, -200, -100 Y O

-40 -20

i

111 1 :--:--:--:--:--:-f--

-400 -300 -200 -100 O 100 200 300 400 IFigura 1151

•• I I I I 1_1-+-1- •" ,-6 -5 -4 -3 -2 -1 O +1 +2 -3 -- - -- """-

BVALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número se define como la distancia que hay entreese número y el punto cero sobre la recta numérica. El resultado de esamedida siempre es un número positivo.

El valor absoluto de un número entero a, se simboliza como [al.

ACTIVIDAD RESUELTA

• Determina el valor absoluto de -3 y +3.••SOLUCiÓN:En la recta de la figura 1.19 se observa que -3 está a 3 unidadesde distancia de O. Lo mismo ocurre con +3.

• ••Es decir, el valor absoluto de -3 es 3 y el valor absoluto de +3 es 3, y seescribe 1-31 = 3 Y 1+31 = 3, respectivamente.

1-31 =3 1+31=3••• I

~I I I I

~I ~

-4 -2 -1 o 1 2 4

• Opuestos • Figura 1.19

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Calcula estos valores absolutos.al 1-21 = .

cl 1-121 = .

el 1-91 = .

gll+lll=· ..· ·

bl 1-31 = .

dl 181= .

fl 1+61 = .

h] 1-71 = ..; .

2. RAZONAMIENTO. Escribe en los cuadros númerosenteros que hagan verdadera cada igualdad.

al 1+61 = 101 = O

bl 101 = 101 = 4

cllOI =0

dl 101 = 3 = 101

el IDI = 1151= O

3. COMUNICACiÓN. Determina el resultado de cadaoperación.

al 1-31 . 181 = bll-91 + 1-131 = .

el 1-251 7 151 = dll-301 7 1-101 = .

el 1-81 . 1-41 = fll- 51+ 1-101 .

gl 121 . 1-91 = hll-241 7 161= .

4. RAZONAMIENTO. Escribe los números que hacenque las igualdades sean ciertas.

al 101 == 5

el 1-31 =0

PROYECTO APRENDER JUNTOS © ED!CIONES SM

bll-41 = O

dllOI = 7

IDEAS CLAVE

• distancia de unnúmero al cero

• medida

TEN EN CUENTA

En la recta numérica,un número entero y suopuesto están a la mismadistancia del punto cero.

,,: I-al = a,: .•• I

lal =a

1 ~¡ -a O,,

aFigura 1.18

ARGUMENTA

5. RAZONAMIENTO. Sustituye la letra a por números• en cada caso.

al lal = Obl lal = 5el I-[-all = 3d] -a = 1-41

6. RAZONAMIENTO. En cada caso, escribe el númeroentero que cumple la condición dada.

al Su valor absoluto es 5 y está entre -6 y +2.

bl Coincide con su opuesto .

cl Su opuesto es 15 y es menor que 9 .d] Entero negativo cuyo valor absoluto es 2.

el Su opuesto es un entero mayor que 3 ....

7. COMUNICACiÓN. ¿Cuál es el valor absoluto del opues-to del opuesto del opuesto de un número?

PROPONE

8. Un pájaro, en el aire. ]• buzo, sumergido en el mar, se encuen ran ::

la misma distancia del nivel del mar. ¿,.... =_=altura se encuentra el pájaro y a q ~ :-:-fundidad, el buzo, si están separados ::Explica el procedimiento que real.zas

ACTIVIDADES RESUELTAS

~ RELACIONES DE ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROSENTEROS

IDEAS CLAVE

• comparación denúmeros enteros

• recta numérica

TEN EN CUENTA

Cuando se comparan nú-, meros enteros en la recta: numérica, se pueden pre-: sentar estas situaciones:,: • Al comparar dos núme-

ros positivos siempre esmayor el que está a laderecha del otro.

: • Todo número positivo: siempre es mayor que: un número negativo., • Al comparar dos núme-

ros negativos siemprees mayor el que estámás cerca de O.

Si a está representado en la recta numérica a la izquierda de b. e~:: -:=a es menor que b, y se escribe a < b.

Si a está representado en la recta numérica a la derecha de b, e-::- :-=::a es mayor que b, y se escribe a > b.

A. Compara los números dados.al 5 y 6 bl -2 Y +3

SOLUCiÓN: ••.

al ó > 5, porque 6 está a la derecha de 5 [figura 1.20].

el -8 Y-12

I I I I + ;-2 -1 o 1 2 3 4 5 6 Figura 1 2G

bl +3 > - 2, porque todo número positivo siempre es mayor que un n' "'"'=-negativo [figura 1.21].

+ +-3 2 Figura 1.213 4-2 -1 o

el -8 > -12, porque está más cerca de O en la recta numérica [figura' ::, I I I•-16 12 16 Fi-:-12 -8 -4 o 4 8

B. Ordena de menor a mayor los números -15, 12, -9, -5 Y 5.

SOLUCiÓN: Al ubicar los números en la recta numérica se determina el or _-15 -9 -5 5

, I • I I l. I l. I I I • I I + 1,-16 -12 -8 -4 o 4 8 12 16 F ~u~ _

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS f

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Observa la ubicación de los números enteros en la recta numérica y escribe> o <.según cada caso.

,1 I I I I I I I I I I I I-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

al -2 O 4

d] 107

I I 'o 10 12 Figura 1.242 4 6 8

bl -9 0-5

el 30-3

el 6 0-8

tl -13 O O

2. EJERCITACIÓN. Representa cada pareja de números enteros en la recta numérica y escribe> o <.según el caso.

al -5 O 2 I I I I bl -6 O O ......- Io 1 Figura 1.25 -1 =-;-=

I I :-+--- dl 4 0-12 -+-1-. I I I I I I I I I I I I IO 1 Figura 1.27 -2 O

-

I I I I tl 00 -5 -+---+-: I-1 O Figura 1.29 1 - - -=

~: -+--+--+--+-+--1-

el -1 04 , I

el -3 0-8 """-,-f--+-+--+---

3. EJERCITACIÓN. En cada caso, compara los dos nú-meros y establece la relación menor que [<lo mayor que [>1.al -1 D +1el O D -4el -5 D-4gl +5 D -3

bl -2 D +3dl+4D+7fl -5 D +6h] -5 D -3

4. EJERCITACIÓN. Completa la tabla 1.5.

ANTERIOR NÚMERO SIGUIENTE-210

+245-62

+299

-157

-302 Tabla 1.5

5. RAZONAMIENTO. Localiza cada grupo de númerosen la recta numérica y establece su ordende menor a mayor.al -2,3, 1

I I IO

bl -10, 2, -4 Figura 1.31

I I I I I I •O

cl 2, -4, -2 Figura 1.32

I I I IO

dl 5,2, -3 Figura 1.33

IO

el -6, -1, -4 Figura 1.34

I I I I IO

fl 1, 2, -8 Figura 1.35

I I I IO

gl -5, -8, -2 Figura 1.36

I I I I IO

hl -6, -3, -12 Figura 1.37

I I I I I I I I I I I I I I I IO

Figura 1.38ARGUMENTA

6. COMUNICACiÓN. Interpreta cada uno de los enun-ciados y completa la frase con la relaciónentre el primer y el último número.al Como -3 es menor que O y O es menor que

1, entonces -3 es D que 1.

bl Como -5 es menor que -2 y -2 es me-nor que -1, entonces -5 es c=J que -1.

el Puesto que -3 es mayor que -8 y -8 es ma-yor que -10, entonces -3 es c=J que -10.

d] Como -8 es menor que -5 y -5 es me-nor que -2, entonces -8 es c=J que -2.

PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONES SM

7. RAZONAMIENTO. En cada grupo, ordena de ma• a menor los siguientes puntajes.

al -10 4 23 8r. r. c::Jc::J

b] -15 12 -9 -5 5

c::JLJ LJ LJ LJel 6 -2 -1 12 -13 -30 11 25

LJLJLJc::JLJLJLJC=8. COMUNICACiÓN. En cada recta numérica se han ubi-• cado dos números enteros, además del cero.

• ¿Cuál de estos dos números enteros es me-nor y por qué?

al_'__ ~ __ -+ +I----~I --~----+I----~I----o + 1 +3 Figura 1.3

b l-~----+-I ------+----+~ -----jI----+-----1I---- 2 O + 1 Figura 1.4~

Cl-----+I----+----t-I-----jI~--1----+----~1 -----3 -1 O Figura 1.4'

dl' I I-3 -2

IO

IFigura 1.42

9. COMUNICACiÓN. Determina si cada afirmación es• verdadera [Vl o falsa [Fl. Justifica tus res-

puestas.al 3 está entre 1 y-l.bl -1 está entre -3 y o.el - 2 está entre O y 5.d] 2 está entre -1 y 1.el 3 está entre -5 y 5.fl 2 está entre - 2 Y -8.

PROPONE10. RAZONAMIENTO. Completa el cuadro con un númer

entero que se encuentre entre cada par _~números.

al -3 <D< 5b] -2 < c::J< O

el -4> LJ > -8

11. Al comparar la IT'c::c : rpo-• ral de los integrantes del equipo de es nces-

to, con respecto a la de Oswaldo, S2 : ene que:Alberto es 1 kg menos pesado, R2~ ro es 5 k::menos pesado, Camilo es 3 kg mas pesad""Donaldo es 3 kg menos pesado. ¿Cuál e3orden de los jugadores, del más al mef1-=sado? .

EJERCITA rus r.flNnr,"'''''Tnc: 001 ..._ •••••.•..•• _..:---- •..•••

m ADICiÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPIEDADES

IDEAS CLAVE- números enteros

de igual signo- números enteros

de diferente signo- valor absoluto

TEN EN CUENTA

Si a, b y e son númerosenteros, entonces:-a+bElZ.-a+b=b+a-(a+b)+e

= a + (b + e]-a+(-a)

= (-a) + a = O:-a+O=O+a=a

CONVIVENCIA Y PAZCOMPETENCIAS CIUDADANAS

Iván y Felipe discuten sobreun juego de canicas. Iváncomenta que al iniciar eljuego no tenía canicas y lepidió prestadas diez a Feli-pe, con las cuales le ganólas doce que le quedaban.Ahora Felipe le reclama queel juego no es válido puestoque Iván no tenía canicaspara jugar y es su deberdevolver las que ganó.

- ¿Cuáles operaciones ma-temáticas justificarían eltriunfo de lván?

Para adicionar dos números enteros deL mismo signo, se 'halla _= ~_de sus valores absolutos y al resultado se le coloca el mismo siqoc =:: -sumandos.Para adicionar dos números enteros de diferente signo, se sustrae t s ,valores absolutos [el mayor menos el menor] y al resultado se le c: ::= _signo del número que tenga el mayor valor absoluto.

~La adición de números enteros cumple las siguientes propiedades ltab a

"'PROPIEDAD NOMBRE EJEMPLO

La suma de números enteros es un Clausurativa 7 + (-9] = [-2)número entero.

En una adición de números enteros [-11] + [-3] = -14se puede intercambiar el orden de los Conmutativa •sumandos, sin alterar su resultado.

[-3] + [-11) = -14

En la adición de números enteros sepueden agrupar tres o más sumandos [13 + [-8)] + [-1) = 5 + [-1 = -Asociativade distintas formas sin que se altere el 13 + [[-8) + [-1)] = 13 + (- = -resultado.

La adición entre un número entero yInvertiva 15 + [-15) = O

su opuesto es igual a cero.

La adición de un número con cero daModulativa [-8) + 0=-8

como resultado el mismo número.-- - .::::: =

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Un ascensor baja cuatro pisos y luego baja tres pisos más. ¿CUá~-:5pisos ha bajado?

SOLUCiÓN: Para saber cuántos pisos ha bajado el ascensor, se representaesta situación sobre la recta [figura 1.43]. El punto cero, representa e e 5-

desde el cual empieza a descender el ascensor.

• I

-3 -4~~

• I I + I I I + I l'-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2

Figura' -3

1-41 + 1-31 = 7. Como los números son negativos, entonces el resu. a::es [-4] + [-3] = -7, lo que significa que el ascensor ha bajado s e:::piSOS.

B. En cierta ciudad, la temperatura a las 9:00 a.m. era de -2°C y -rE5horas después subió 7 °C. ¿Qué temperatura había en la ciudad a 2~

12:00 del medio día?

SOLUCiÓN: En la recta numérica de la figura 1.4-4, se representa la situac :-

+7

• I

-2r-::'>,I + I + + I •

-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

1-21 + 1+71 = 5. Como el número con mayor valor absoluto es --tonces el resultado tiene signo positivo. Es decir, la temperatura adía era de +5 °C.

~ERPRETA1. RAZONAMIENTO. En cada suma, indica cuál de los

dos sumandos tiene mayor valor absolutoy cuál es su respectivo signo. Observa elejemplo.al 14 + [-51 El de mayor valor absoluto es

14. Signo positivobl [-181 + 10el 28 + [-91dl 24 + [-341el [-451 + 50

2. EJERCITACIÓN. Calcula estas sumas.al - 2 + [- 31 . b I 1 + [- 2] ~ .

el 5 + 7 d] 18 + 36 ~ .el 9 + 13 ~ tl [-121 + [-25] : .g] [-6] + [-8] .. h] 45 + 12 .il [-13] + [-7] . :... j] [-16] + [-9] : .

k] [-10] + [-24] l] [-26] + [-50] .,

ml [-1 5] + 8 n] 18 O + [- 76] . '.ñ] 7 + [-20] ~ o] -105 + 80 · : .p]'18 + [-12].' q] 150 + [-123] :rl [-251 + 23 sl 220 + [-250] .t] [-34] + 39 u] [-1840] + 1520 .

EJERCITACIÓN. Representa cada adición mediantedesplazamientos en la recta numérica.a] 7 + 4 =

7 4, I I I I I I I I

o 7+4 Figura 1.45

o] [-6] + [-5] =, I I I I I I I I I I I I I I

O Figura 1.46c] [-8] + 3 =

, I I I I I I I I I I I I I .O Figura 1.47

d] [-4] + [-6] =, I I I I I I I I I I I I

O Figura 1.48e] [-7] + [5] =

I I I I I I I I I I I I I I Io Figura 1.49'] [-6] + 8 =

, I I I I I I I I I I I I I IO Figura 1.50

AZONAMIENTO. ¿A qué es igual la suma de losvalores absolutos de dos números enterosopuestos?

5. MODELACIÓN. Lee la información. Luego. resuelvelo que se indica a continuación.Para calcular la suma de varios números ente-ros se puede: sumar de dos en dos, sucesiva-mente 0, aplicar las propiedades de la adiciónpara calcular, por separado, la suma de lospositivos y la de los negativos y luego operarlos resultados.De la primera forma:

! ,

9 + [-6] + (-7] + ( = 3 + [-6] = -31 t

De la segunda forma:

I -.9 +1[-6) + [-7)1+ 1= 9 + 1+1[[-6) + [-7)]1= 107(-131 =-3

I '.Realiza las siguientes operaciones de dos for-mas distintas.a] 5 + [-7] + 8 + [-6]

. !! -.•.....

b] 10 + [-2] + [-2] + 3

e] 5 + [-5] + [-10] + 10

6. RAZONAMIENTO. Utilizando las propiedades de laadición entre enteros, obtén el resultado men-talmente.a) 10 + (-2) + [-8) + 17 = .

bl 8 + [-5) + 12 + [-15) + 8 = .

PROPONE7. Reúnete con un compañero o una. -companera y propongan:

a] Tres ejemplos de adiciones entre númerosenteros con diferente signo, cuyo resultadosea positivo. .. .

bl Tres ejemplos de adiciones entre númerosenteros con diferente signo, cuyo resultado

..• sea negativo .• Cuando hubo diferencias de opinión en el

•. grupo, ¿cómo las resolvieron?RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

8. Euclides fue un matemático que vivió 60 años• y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació?

9. La primera mujer matemática conocida,• Hypatía de Alejandría, nació en el 370 d. C.

¿Cuánto tiempo pasó desde que murió Euclideshasta que nació Hypatía?