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7/25/2019 s14 Formula Green (1)
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Frmula de Green
Para la frmula de Green se considera curvas cerradas simples
seccionalmente regular,
parametrizadas en sentido antihorario, que constituirn la
frontera(o borde) de una regin
acotada R del plano, como en la siguiente figura.
a frmula de Green es un resultado que e!presa una integral doble
sobre una regin R
como una integral de l"nea a lo largo de la curva cerrada # que
constitu$e la frontera de R
Teorema de Green.-%ea Runa regin simplemente cone!a, con
frontera Csuave a trozos,
orientada en sentido contrario al de las agu&as de un
relo&(esto es, # recorre una vez de
manera tal que la regin Rquede siempre a la izquierda ) si
, , P Q
P Q yy x
son continuas
en una regin abierta que contiene a R, entonces '
( , ) ( , )
C R
Q PP x y dx Q x y dy dA
x y
+ =
lgunas veces, la notacin
( , ) ( , )C
P x y dx Q x y dy+
%e usa para sealar que la integral de l"nea se calcula usando la
orientacin positiva de la
curva cerrada C.*tra notacin para la curva l"mite o frontera con
orientacin positiva de C
es R , de modo que la ecuacin en el teorema de Green se puede
escribir como
( , ) ( , )R
R
Q PdA P x y dx Q x y dy
x y
= +
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Ejemplo 1.- +sar el teorema de Green para calcular la integral
de l"nea
-( )C
y dx x xy dy+ +, donde # es el camino de (,) a (/,/) sobre la
grfica de
y x= $
de (/,/) a (,) sobre la grfica y x= .
Solucin
Graficando se tiene
plicando se tiene
-( ) ( )C
R
Q Py dx x xy dy dxdy
x y
+ + =
0onde se tiene
-
- -
P
yP y y
QQ x xy x yx
= = = + = +
- - - -
/- -
/1 2
/
3
( ) 4( ) 5
( )
/ /( ) ( )1 2 1 - 1
CR
x
xR
y dx x xy dy x y y dxdy
x dxdy x dy
x xx x dx
+ + = +
= =
= = = =
Ejemplo 2.- 6ientras est ba&o la accin de una fuerza -( , )
( )F x y y i x xy j= + + , una
part"cula da una vuelta a la circunferencia de radio que se
muestra en la figura, usar el
teorema de Green para hallar el traba&o realizado por F
.
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3
Solucin
- -( ) C C
D
W F d r y dx x xy dy x dxdy= = + + =
Pasando a coordenadas polares , -r =
- -- - - 1 -
- -
-
( cos ) cos
1
-1cos
1
-1 -
7 -
-1.
7
D
W x dxdy r rdr d r d
d
sen
= = =
=
= +
=
Ejemplo 3.- +sando el teorema de Green, evaluar
-( ) ( )yC
arctg x y dx e y x dy+ + donde # es
el camino que encierra la regin anular que se muestra en la
figura
Solucin
8n coordenadas polares Rest dado por / , r adems
-
-
-
-y
Py
P arctg x y y
QQ e y x xx
= = +
= =
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uego, por el teorema de Green se tiene'
- -( ) ( ) ( )
( - - )
y
CR
R
Q Parctg x y dx e y x dy dxdy
x y
x y dxdy
+ + =
=
Pasando a coordenadas polares se tiene'
[ ] [ ]
- -
. /
. /
.
.
( ) ( ) - ( ( cos ) )
- ( ( cos ) )
-(cos )-2
3- 3- /.1cos (. /) (. /)
y
Carctg x y dx e y x dy r r sen rdr d
r r sen rdr d
sen d
sen
+ + = +
= +
= +
= = + =
Ejemplo 4.- 6ediante la frmula de Green calcular la integral (-
) ( )
cx y dx x y dy + +
donde # es el c"rculo- - /x y+ =
Solucin
(- ) ( ) ( )
cD
Q Px y dx x y dy dA
x y
+ + =
-
-
-
Py
P x y xQQ x y xy
=
= = + =
- -(- ) ( ) ( )c
D
x y dx x y dy x y dA + + = + donde
- -' /D x y+
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Pasando a coordenadas polares cos , , -x r y rsen= = $ . /r
.
- / - - -
(- ) ( ) ( ) ( )
-cD
x y dx x y dy x y dA r rdr d
+ + = + = =
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