Examen. 2ª evaluación 4/03/2008

IES Pedro de Tolosa Matemáticas II

Opción A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos) Obtener el valor del siguiente límite:  

( )2 2

050

ln 1 4x

x

t t dtlim

x→

+∫

Aplicación del teorema fundamental del cálculo integral: “Si  ( )f x  es continua en [ ],a b   entonces la función 

( ) ( )x

aA x f t dt= ∫  es derivable en [ ],a b  y  ( ) ( )A x f x′ =  para todo  [ ],x a b∈ ” 

 

Como es una indeterminación del tipo 00, estamos en las condiciones del teorema de L´Hôpital 

 

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 22

05 4 2 20 0 0 0 0

8ln 1 4 ln 1 4 ln 1 4 81 4

5 5 10 10 51 4

ˆ

4x

x x x x x

xt t dt x x x xlim lim lim lim lim

x x x x x

indica que aplicamos la regla de L Hopital

→ → → → →

+ + + += = =+

′

∫

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las integrales indefinidas: 

a) 2

3 2

52

x dxx x x

+− +∫

Es una integral racional, factorizamos el denominador y separamos en fracciones simples 

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

2 22

2 2 2 2

22

2 2

1 1 2511 1 1 1

1 52 0 4

5 6

5 5 4 6 1 15 4 6 11 11

65ln 4 ln 111

A x Bx x Cx A B x A B C x Ax A B Cx xx x x x x x x

A B AA B C B

A C

x xdx dx dx dx dx dx x dxx x x xx x

cxx

x−

− + − + + + − − + ++= + + = =

−− − − −

+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪− − + = ⇒ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

+ −= + + = − + − =

− −− −− − − +

−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

E

I

b

(

∫

∫

∫ E

C  R 

Examen. 2ª

IES Pedro de To

b) 3x

sen xe∫

( )

3

*

3

x

x

x

e sen x d

e se

e sen x d

−

−

−

= −

∫

∫3xe sen x d−∫

Ejercicio 3

Calcular el á

Representamo

evaluación

olosa

x dx e−= ∫u

3

3 3

x

x

u cos

dx e sen

en x e

dx e sen

−

−

= −

⎡+ −⎣

= −

=

(xe sdx

−−=

3. (Puntu

área del rec

os las funcion

3x sen x dx− ⋅ ⋅

3u sen x= ⇒

3

3

3

3 3

x

x

x

x du

n x e

e cos x

n x e co

−

−

−

− −

−

⇒ =

−

∫

∫

3 310

sen x cos+

uación máx

into limitad

nes para visua

 C

(x aplicam

3du cos⇒ =

3 3

3 3

3 9

3 3

x

x

sen x dx

cos x dx

e sen x

os x e

−

−

=

−

−

∫∫

)3s xc+

xima: 2 pun

do por las cu

alizar el área p

Calculamos los

2

2y xy x

⎧ =⎨

=⎩

6

1

3

313

60

A

x

−⎡= ⎣

⎡−= +⎢⎣

= −

∫

mos la integ

3 /s x dx

3

3

/

x

x

x dv e

e sen x

x dx

sen x dx

−

−

= −

⎤ ⇒⎦

=

ntos)

urvas   y x=

pedida 

s puntos de co

3 104x

x− −

⇒−

( ) (2

2 4

5

343

625

3 62

x

x x

⎡ − −⎣

⎤+ + ⎥

⎦

− =

gración por

xdv e dx−=

3

10

x

x

x

e dx v

x e co

e s

−

−

−

+

⇒ =

⇒

∫

∫

2 3 10x x− −

orte entre las 

2 3x x⇒ − −

( 2

6

1

3 10

23

x x

−

− −

⎤ −⎡⎛== ⎜⎢⎝⎣⎦

)r partes

xv e−⇒ = ∫

(3 *

3

xe dx

os x dx

sen x dx

−

=

= −=∫

= −

 ,   2y x= −

curvas  

10 2 4x= −

) (6

10

16 1803 2

dx−

⎤ =⎦

+ +

∫

4

Ma

x xdx e−= −

)xe−−

3xe sen x−− −

4− . 

46

xx= −⎧

⇒ ⎨ =⎩

( 2 5

1363

x x− + +

⎞ ⎛− +⎟ ⎜⎠ ⎝

4/03/2008

atemáticas II

3 3xe cos x−−

16−

)6

5 62

dx =

⎤⎞− =⎟⎥⎠⎦

E

I

E

D

r

L

s

xl

e

u

x

E

−

 

A

E

Examen. 2ª

IES Pedro de To

Ejercicio 4

Determina e

representan

La función  f

simétrica pues

( 2

4

1x

xlimx→∞

−

+

en los puntos 

un mínimo ya

0 ,x x= =

El área pedida

(4

1

xxx

−− =

+

1

0A x

⎛⎜= − −⎜⎝

∫

Entonces el ár

evaluación

olosa

4. (Puntu

el área com

ndo para ell

( )x  tiene do

sto que  (f −

)2 2xlim→∞

13

x =   y  

 que 13

f ⎛′′⎜⎝

1 , 1x = − , 

a será igual a

)(22

x xx

⇒

( )22

4

1

x

x

⎞−−

+ ⎠

rea pedida es 

uación máx

mprendida e

lo las funcio

minio todos l

) (x f x− = −

( )2

41 2x x−+

13

x = − . D

03⎞ >⎟⎠

, del m

hay 3 puntos 

a 2A , para ca

)221 4x+ =

1

0dx x d⎞⎟ = −⎟⎠

∫

2 1A =  

xima: 3 pun

ntre la curv

ones dadas.

los números r

) , tiene una a

0= . Derivan

Derivamos otr

mismo modo e

de inflexión.

alcularla debe

(4 1x x ⎡⇒ +⎢⎣

(1

02 1dx + +∫

ntos)

vas  ( )f x =

 

reales, corta a

asíntota horiz

ndo obtenemo

ra vez  ( )f x′′

en 13

x = −

emos encontr

)22 4x ⎤+ − =⎥⎦

) 22 2x x dx−

( )22

4

1

x

x

−

+  y

a los ejes en el

zontal en la re

os que  ( )f x′

)( )2

48 481x

x−

=+

 hay un máxi

rar los puntos

0 1

1

xx

=

= ⇒ +

+

⎧⎪⎨⎪⎩

12

02xx

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

 

y   ( )g x x= −

l origen de coo

ecta  0y =  p

)( )

2

2

12 41

xx−

=+

)3

48x

 y deduci

imo; además c

s de corte de l

2

2

02

2

x x

x

= ⇒

= −

( )2

121 x

⎡ −+ ⎢

+⎢⎣

4

Ma

x . Dibuja la

ordenadas, as

puesto que 

34, vemos que

imos que en  x

como  ( )f x′′

as dos funcion

1= ±  

)

1

0

12

⎤=⎥

⎥⎦

4/03/2008

atemáticas II

a situación 

sí mismo es 

e  ( ) 0f x′ =

13

x =  hay 

) 0=  en 

nes. 

 

E

I

O E Dy    

Examen. 2ª

IES Pedro de To

Opción

Ejercicio 1

Determina e21 ,y x= −

A =

=

=

evaluación

olosa

n B

1. (Puntu

el área del r2 3y x= −

(

(

12

2

122

2

3 2

3

3 2

x

x

x x

−

−

−

−

⎡ +⎣

− +

⎡− +⎢⎣

∫

∫

ación máxi

recinto plan3   ,   y x= +

) ( )

)

2

12

2

3 3

6

6

x

x dx

x−

−

− −

+ + +

⎤+ +⎥

⎦

ima: 2 pun

no limitado 3+ .

Represeque deb  Calculam 

1yy x

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

y xy x=⎧

⎨=⎩

    

)

(

12

12

122

12

3 2

3 2

dx

x

x x

−

−

⎤ +⎦

+ +

⎡+ +⎢

⎣

∫

∫

tos)

por las gráf

entamos las fubemos calcula

mos los punto

22

2 3x

xx−

⇒−

22

33

xx

x+

⇒−

entonces el á

( ) (

)

12

12

3

2

2

x

x dx

x−

⎡ + −⎣

+ +

⎤ ⎡+⎥ ⎢

⎦ ⎣

ficas de las 

unciones paraar el área. 

os de corte en

2 23 1 x− = −

2 3 3x− = +

área pedida e

( )

(

2

3 21

2

3 2

1

3 2

x dx

x

x x

⎤− +⎦

− +

− + +

∫

tres funcion

a tener una id

ntre las curvas

2 22 4x⇒ =

2x x⇒ − −

es:

(

)

3

12

3

12

6

6 1

x

x dx

x

⎡+ +⎣

+ =

⎤+ =⎥

⎦

∫

4

Ma

nes siguient

dea clara de la

s: 

4 x⇒ = ±

6 0 ⎧− = ⇒ ⎨

⎩

) ( 23 3

125 22 26

x+ − −

−

4/03/2008

atemáticas II

tes: 

a región de la

12

32

xx== −

)3 dx⎤ =⎦

a 

E

I

E S

p

L

y

x

D

f

f

f

f

Ig

Examen. 2ª

IES Pedro de To

Ejercicio 2

Sea la funció

para que el 

La función  fy tampoco tie

( )3x

xlim x e→−∞

⋅

Derivamos e ig

( ) 3xf x e′ =

( ) 33f x e′′ =

( )

( )

0

0

f x

f x

′′ = ⇒

′ > ⇒

Igualando la i

( )3 3 19

pe p −

evaluación

olosa

2. (Puntu

ón   ( )f x =

área limitad

( )x  tiene do

ne asíntotas v

) 3xx

xlime−→−∞

=

gualamos a c

33 xx e+ ⋅ ⇒

( )3 3 1x x + +

(33 3

3 1 0

xe x

x

⇒ +

⇒ + >

integral defin

1 19 9

+ = ⇒

ación máxi

3xx e⋅ . Esbo

da por la cu

minio todos l

verticales ni o

3x xlim→−∞ −

cero para busc

( ) 3f x e′⇒ =

33 xe f ′′⇒

)2 0

0 x

+ = ⇒

⇒ > −

nida al valor d

(3 3 19

pe p −⇒

ima: 3 pun

oza la gráfic

urva  y el eje

los números r

oblicuas, sin e

3

1 13 3xe− =

−car los extrem

( )3 3 1 ;x x +

( ) (33 xx e=

( )3 2

1 ;3

x

en

⇒ + =

⎛−⎜⎝

del área obten

)1 0 3p= ⇒

tos)

ca de la curv

e de abscisa

reales, corta a

embargo  y =1 13e∞ = =

−∞mos de la func

( ) 0f x′ =

)3 2 ;x f+

(

0

1 ,3

x

f

= ⇒ = −

⎞− ∞⎟⎠

A =

 Aplica

una pr

x e

x

⋅

= ⋅

∫

0

px ⋅∫

nemos p 

1 0p − = ⇒

va  (y f x=

as  ente   x =

a los ejes en el

0 es asíntot

0=

ción 

(30 3xe x⇒

1 03

f ⎛ ⎞′′ >⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

23

hay un

x crece

−

19

, pero tam

amos la fórmula

rimitiva de  (f

3

3 3

3 3

x

x x

ue dx

e e

dv

d

==⎧

⎪⎨⎪⎩

− ∫

33x e

e dx⎡

⋅ = ⎢⎣

13

p⇒ =

)x   y calcula

0=  y  x p=

l origen de coo

a horizontal c

)1 0+ = ⇒

en x⇒ =

punto de i

y en ⎛ −∞⎜⎝

mbién     A =

a de integració

( )x  

3

3

3

x

x

x du

e

e dx

dx x

= ⇒ =

= ⇒

= ⋅ −

( )3

0

3 19

px x ⎤−⎥⎦

4

Ma

a un número

  sea 19.

ordenadas, no

cuando  x →

( )3 1 0x + =

13

hay un m

.

1,3

inflexión

dec⎞∞ − ⎟⎠

3

0

p xx e dx⋅∫  

ón por partes pa

3

3

313

x

x

dxev

e dx

=⎫⎪⎬

= ⎪

− =

⎭

∫

(3

0

39

p pe p −=

4/03/2008

atemáticas II

o   0p >   

o es simétrica

→ −∞

103

x⇒ = −

.mínimo

.crece

ara calcular 

3 3

3 9

x xxe e= −

)1 19

− ⎛ ⎞− −⎜⎝ ⎠

a 

13 

x

⎞⎟⎠

Examen. 2ª evaluación 4/03/2008

IES Pedro de Tolosa Matemáticas II

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) De la función  ( )f x   se sabe que pasa por el origen de coordenadas y que su derivada es la función 

( ) 11 xf x

e′ =

+. Encontrar la expresión de  ( )f x .

( )f x  será una primitiva de  ( )f x′  y además cumple que  ( )0 0f = . 

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 11111 1 1

1 1 1 1 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 11 1 1 1

ln 1 , 0 0 0 ln 2 0 ln

1

2

x x xx

xx

x

x dt dtcambio e t e dx dt dx dxe t

A B BA t Bt A B t AA BAt t

dtdx dt dt t t e e x ee t t

f x x

t t t

t t t t

f x x e c pero f c c

t t t

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ = −+ + + + ⎧= + = =

= ⋅ = = − = − + = − + = − ++ + + +

= − + + = ⇒ − + = ⇒ =

⇒⎨ =+ + + +

=

⎩

−⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )ln 1 ln 2xe+ +

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las integrales: 

( )1 22 5 2

1 ln2

5) 225

sen sen x dxa dxcos x

xcos x

cos x c−−

= = +−∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

22 2

2 2

22 2

3

2

2

2

2

2

2

3 8 2 2 3 1 2 12 3 *4

0 243 8 4 3

44 4 44 8 2

11 1 1 1 12*4 4 4

4 43 8)

4

411 2

4

4

A M MA M x Nx Ax A Mx N Ax A Mx Nx N

x xx x x x x xA A

dx d

x x xdx dx dx

x dx ar

dx dx

ctgxx

x x x x x

x

xb dxx x x x

− − += = +

+ = ⇒ =⎧+ +

= − +

+− + + + + ⎪= + = = ⇒ =

++ +

⎨++ + + ⎪ = − ⇒ = −⎩

= = =+ ++

+−+ +

∫ ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )23

3 32ln ln4 28 4

2

4xxx dx

xx arc

x

gx

t c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞− + + + +⎜=⎝

−+ ⎟

⎠

⎠

∫