S8 Diapositiva La Derivada

7/25/2019 S8 Diapositiva La Derivada

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CLCULO I

LA DERIVADA DE UNA FUNCIN


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Los expertos en Balstica puedenidentificar el arma que dispar cierta bala

estudiando las marcas en el proyectil. Las

pruebas se realizan disparando en un

bulto de papel. Si la distancia S, en

centmetros, que la bala recorre en elpapel est dada por s(t)= 2 ! "# ! $%t

'ara % ( t ( %,# se)undos, encuentre la

*elocidad de la bala en un d+cimo dese)undo despu+s de que )olpea el papel.

CASO : BALISTICA


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Lmite y continuidad de una funcin.

Operaciones combinadas de nmerosreales. Simplicacin de expresiones

algebraicas.

Recordar


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LOGROS DE LA SESIN

Al nalizar la sesin de aprendizaje el estudiante resuel!e

ejercicios de deri!adas de funciones algebraicas empleandolas propiedades y reglas de deri!acin de una funcin

fundamentando la simplicidad y orden de los c"lculos.


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#. $oncepto %eom&trico de la 'eri!ada

(. 'enicin de la 'eri!ada

). *eglas deri!acin

Temario


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x

-"x&

+endiente de la rectatangente en el punto

,x- f,x

Interpretacin geomtrica

"x/&0x = /

-"x/&0-"x&

-"x/&

-"x/&

1/1/

/0 1

2,x 0. 2,x.m lim

0

+ =

TL

+ =S

2,x 0 2,xm

0


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Pendiente de la recta tangente ( )

3n el lmite cuando h 1 la recta secante 4seconfunde5 con la recta tangente enx1 y podemos decir6ue7

8ote 6ue7 ( ) ( )0 0

SL

f x h f xm

h

+ =

( ) ( )0 00 0

lim limT SL Lh h

f x h f xm mh

+ = =

TLm


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Derivada de una funcin

en un puntoDEFINICIN. La deri!ada de una funcin 4f 4enun punto 4a5 denotada con f9,a es7

Si este lmite existe

DEFINICIN A!terna"

h

afhaf

lmaf h

)()(

)(' 0

+

=

ax

afxflmaf

ax

=

)()()('


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Interpretacin geomtrica de la derivada

La deri!ada de una funcin 4f5 en un nmero 4a5 es la pendiente dela recta tangente a la gr"ca de la funcin en el punto ,a- f,a.

3emplo4 'e la gr"ca0alle f :,( e indi6uela ecuacin de larecta tangente enx=2.


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La #eri$a#a como %na &%ncin

DEFINICIN. Si en la denicin anteriorcambiamos el nmero 4a5 por la !ariable 4x5obtenemos7

En ete cao! f" e una nueva funcin ##amadaderivada de f.

E$emp#o7 3ncontrar la deri!ada de

5otacin

h

xfhxf

lmxf h

)()(

)(' 0

+=

2)( xxf =

xdf"x&f 6"x& 7 f"x&

dx= =


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S3 ;/


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REGLAS DE

DERI%ACIN 1nn nx(x)'fentonces,xf(x)Si ==

0(x)'f:entonces,f(x)Si

1(x)'f:entoncesx,f(x)Si

!"# :

==

==

$f%(x)(x)g'entonces$f(x),g(x)Si

n&mero)(caliercostantena$Sea

==


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E$emp#o& Sea la funcin7

La deri!ada de esta funcin es7

=

dxdf

=)x(f x *

1* ( )

=

dx

df 12x


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Derivada de una uma ' diferencia de funcione

Sea la funcin7

La deri*ada de la suma o diferencia es4

dx

dh

dx

dg

dx

df=

)()()( xhxgxf =


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E$emp#o

Sean las funciones7

+10 += x

dx

df

,+-)( 2 += xxxf

1,-10*)( 2-, ++= xxxxxf

-201-2* *- += xxxdxdf


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Deri$a#a #e %n pro#%cto #e &%ncione'

Si la funcin que *oy a deri*ar f(x)es el producto de las

funciones g(x) y h(x), existe una re)la para encontrar laderi*ada de esta funcin.

)x(h)x(g)x(f =

dx

dhxgxh

dx

dg

dx

df)()( +=

(g(x)./(x))' g'(x)./(x) (x)./'(x)g= +


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E(emp!o

.(x.,#x)x,.x,f )(A +=


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Deri$a#a #e %na &%ncin cociente

Si la funcin que *oy a deri*ar f(x) es un cociente de

funciones g(x) y h(x), existe una re)la para encontrar laderi*ada de esta funcin.

)x(h

)x(g)x(f =

[ ]2)(

)(

xh dx

dhgxh

dx

dg

dx

df

=


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E(emp!o2

#x 8f"x&x 8

+=+


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DERI%ADA DE LA F(NCINE)*ONENCIAL NAT(RAL

Si f,x B ex entonces f : ,x B ex

Si f,x B ax entonces f : ,x B axln,a

F(NCIN LOGARIT+O

#f,x. ln,x. f C,x.

x= =

a a

#f,x. log ,x. f C,x. log e

x

= =


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REGLAS DE DERI%ACIN *ARAF(NCIONES TRIGONO+ETRICAS

xcscx.cotan(x)'cscx(x)

xcsc(x)'cotanx(x)

secx.tanx(x)'secx(x)

xsec(x)/'tanx/(x)

cosx(x)g'senxg(x)

senx(x)'fcosxf(x)

2

2

==

==

==

==

==

==


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Podras ahora resolver el

caso 01?


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Los expertos en Balstica puedenidentificar el arma que dispar cierta bala

estudiando las marcas en el proyectil. Las

pruebas se realizan disparando en un

bulto de papel. Si la distancia S, en

centmetros, que la bala recorre en elpapel est dada por s(t)= 2 ! "# ! $%t

'ara % ( t ( %,# se)undos, encuentre la

*elocidad de la bala en un d+cimo dese)undo despu+s de que )olpea el papel.

CASO : BALISTICA


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EVALUACIN

'eri!ar las siguientes funciones)-)(2)(()( xxxxf =

2

-*

)( +

=

x

x

xf

( )( ) s n -cosf x x e x x= +

2

ln( )ln

xf xx x

=


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+ateria# e#a,orado para uo e-c#uivo de #a

eione de aprendia$e de# curo de C/#cu#o 0! emetre 1203 4 1. (niveridad *rivada de#Norte.

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