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TEORÍA PARA COMPRENDER EL TEMA DE PLANOS EN EL ESPACIO
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GEOMETRA ANALTICA Y ALGEBRA
Distancia de un punto a una recta
La ecuacin del plano en R3
Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que la distancia de G a H es 8 m, la altura del techo es 6 m y de las paredes es de 4 m. Determinar las ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.
A
B C
E
F
G H
16 m
D
?
CASO 01:
Vectores en 3.
Ecuacin de la recta en el espacio.
Qu necesitas recordar?
LOGRO DE LA SESIN
Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve ejercicios y
problemas vinculados a la ingeniera sobre distancia de un
punto a una recta y la ecuacin del plano , usando la
definicin y sus propiedades en forma correcta.
5
Distancia de un punto a una de recta
Sea la direccin de la recta que pasa por el punto P(x; y; z). La distancia de un punto Q a una recta en el espacio esta dada por
u
u
uPQ
D
Ejemplo1
Halla la distancia del punto Q=(3;-1;4) a la recta dada por
tztytx 412;32 y
Ecuacin del Plano
y
x
z
P(x; y; z)
n
P0(x0; y0; z0) 00P P
n
0;;;;000
zzyyxxcba
0000
zzcyybxxa
El conjunto de puntos P(x;y;z) tal que el producto escalar del vector n y el vector P0P es cero determina la ecuacin del plano.
a; b; c
General:
Normal:
Paramtricas:
Donde m,n son parmetros
00
nPP
0 dczbyax
Las ecuaciones de un plano son:
Planos en el espacio
nm
nm
nm
330
220
110
bazz
bayy
baxx
Ejemplo 2
Determine una ecuacin del plano que pasa por el punto P0(2; 4; -1) con un vector normal n = 2; 3; 4 .
Halle la ecuacin del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; 1), B(2; 0; 3) y C(1; 4; 0)
Ejemplo 3
Dos planos S1 y S2 con vectores normales n1 y n2 . a) S1 y S2 son perpendiculares si n1.n2 =0 b) S1 y S2 son paralelos si n1 y n2 son paralelos.
Planos perpendiculares y paralelos
Halle la ecuacin del plano que pasa por el punto (4; 5; 2) y es paralelo al plano 3x-2y+7z-10=0
Ejemplo 4
Halle la ecuacin del plano que por los puntos A(1; -1; 2) y B(3; 1; 1) y es perpendicular al plano x-2y+3z-5=0.
Autoevaluacin
Determine una ecuacin del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) y sea perpendicular a cada uno de los planos.
0 y 2 4 5 0x y z x y z