SA (5) Quinto - sanagustin.edu.bosanagustin.edu.bo/wp-content/uploads/2016/04/SA-5-Quinto.pdf · Postulados. ... 8.3. Cambio de la energía interna de un gas ideal. ... Leyes fundamentales

Enrique Jemio Página 1

Índice

Índice ................................................................................................................................................................................... 1

MECÁNICA DE LA PARTÍCULA .................................................................................................................................... 3 CAPÍTULO 1: Trabajo, potencia y rendimiento .................................................................................................... 5

1.1. Trabajo. .......................................................................................................................................................... 7 1.2. Definición matemática del trabajo ................................................................................................................. 7

1.3. Potencia ......................................................................................................................................................... 7 1.4. Unidades del trabajo y la potencia en el s. I. ................................................................................................. 8

1.5. El “kilo watt – hora”. ..................................................................................................................................... 8

1.6. Trabajo y potencia en función de la velocidad. ........................................................................................... 11

1.7. Trabajo realizado por una fuerza variable (el resorte). ................................................................................ 11

1.8. Rendimiento de las máquinas. ..................................................................................................................... 15

CAPÍTULO 2: El método de la energía ................................................................................................................ 17

2.1. Primero seamos honestos. ............................................................................................................................ 19

2.2. Antes fuerza viva, hoy energía cinética. ...................................................................................................... 19

2.3. Teorema entre el trabajo y la energía cinética ............................................................................................. 19

2.4. Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas. ................................................................................................ 19

2.5. Energía potencial. ........................................................................................................................................ 20 2.6. Teorema del trabajo y la energía potencial. ................................................................................................. 20

2.7. Ahora las dos juntas y la energía mecánica ................................................................................................. 21

2.8. Teorema del trabajo y la energía y la mecánica ........................................................................................... 21

CAPÍTULO 3: Leyes de conservación ................................................................................................................. 25

3.1. Las tres leyes de conservación. .................................................................................................................... 27

3.2. Conservación de la cantidad de movimiento lineal ..................................................................................... 27

3.3. Conservación de la cantidad de movimiento angular .................................................................................. 30

3.4. Conservación de la energía mecánica. ......................................................................................................... 31

3.5. Leyes fundamentales y principios de conservación. .................................................................................... 35

CAPÍTULO 4: Colisiones..................................................................................................................................... 37

4.1. Definición de una colisión. .......................................................................................................................... 39

4.2. Clases de colisiones ..................................................................................................................................... 39

4.3. Conservación de la cantidad de movimiento lineal en las colisiones. ......................................................... 39 4.4. Newton ¡cuando no! .................................................................................................................................... 41

4.5. ¿Y cómo medimos el coeficiente de restitución? ........................................................................................ 44

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO. ......................................................................................................................... 49

CAPÍTULO 5: Estática del medio continuo ......................................................................................................... 51

5.1. ¿qué es el medio continuo? .......................................................................................................................... 53

5.2. Masa dividida entre su volumen .................................................................................................................. 53

5.3. Blaise pascal. ............................................................................................................................................... 54 5.4. ¿Qué es la presión? ...................................................................................................................................... 54

5.5. Las maquinas hidráulicas ............................................................................................................................. 55

5.6. Otra vez pascal ............................................................................................................................................ 56 5.7. ¡Eureka! ....................................................................................................................................................... 58

CAPÍTULO 6: Cinemática y dinámica de los fluidos. ......................................................................................... 61 6.1. ¿Cómo se mueven los fluidos? .................................................................................................................... 63

6.2. Flujo volumétrico de un fluido o caudal. ..................................................................................................... 63

6.3. Flujo de masa. .............................................................................................................................................. 63 6.4. El caudal no cambia. .................................................................................................................................... 64

6.5. Presión y velocidad. ..................................................................................................................................... 65

6.6. Presión dinámica. ........................................................................................................................................ 65

6.7. El turno es de bernoulli ................................................................................................................................ 66

TERMODINÁMICA ......................................................................................................................................................... 71 CAPÍTULO 7: Comportamiento térmico de la materia. ....................................................................................... 73

7.1. Comportamiento térmico de los sólidos. ..................................................................................................... 75

7.2. Dilatación lineal. .......................................................................................................................................... 75

Índice


7.3. Dilatación superficial y volumétrica. .......................................................................................................... 78

7.4. Comportamiento térmico de los líquidos. ................................................................................................... 80

7.5. El caso anómalo del agua. ........................................................................................................................... 80

7.6. Comportamiento térmico de los gases. ........................................................................................................ 82

7.7. Transformaciones a p, v y t constantes, diagrama p - v ............................................................................... 83

CAPÍTULO 8: Teoría cinético molecular. ........................................................................................................... 87

8.1. Postulados. .................................................................................................................................................. 89 8.2. Ecuación fundamental. ................................................................................................................................ 89

8.3. Cambio de la energía interna de un gas ideal. ............................................................................................. 90

8.4. Primer principio de la termodinámica. ........................................................................................................ 93

8.5. Trabajo. ....................................................................................................................................................... 94 8.6. Aplicaciones del primer principio. .............................................................................................................. 96

8.7. Segundo principio de la termodinámica. ..................................................................................................... 99

8.8. Rendimiento de un motor térmico. .............................................................................................................. 99

8.9. El ciclo de carnot. ...................................................................................................................................... 100


MECÁNICA DE LA PARTÍCULA

Capítulos Temas.

Trabajo, potencia y rendimiento

Trabajo. Definición matemática del trabajo Potencia Unidades del trabajo y la potencia en el s. I. El “kilo watt – hora”. Trabajo y potencia en función de la velocidad. Trabajo realizado por una fuerza variable (el resorte). Rendimiento de las máquinas.

El método de la energía

Primero seamos honestos. Antes fuerza viva, hoy energía cinética. Teorema entre el trabajo y la energía cinética Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas. Energía potencial. Teorema del trabajo y la energía potencial. Ahora las dos juntas y la energía mecánica Teorema del trabajo y la energía y la mecánica

Leyes de conservación

Las tres leyes de conservación. Conservación de la cantidad de movimiento lineal Conservación de la cantidad de movimiento angular Conservación de la energía mecánica. Leyes fundamentales y principios de conservación.

Colisiones

Definición de una colisión. Clases de colisiones Conservación de la cantidad de movimiento lineal en las colisiones. Newton ¡cuando no! ¿Y cómo medimos el coeficiente de restitución?


CAPÍTULO 1:TRABAJO, POTENCIA Y RENDIMIENTO

Contenido Orientaciones metodológicas Trabajo. Definir con sus propias palabras física y matemáticamente el trabajo. Definición matemática del trabajo.

Identificar cada uno de los términos comprendidos en la definición matemática del trabajo.

Potencia. Definir la Potencia de una máquina.

Unidades del trabajo y la potencia en el S. I.

Identificar las unidades de medida del trabajo y de la potencia en el SI. Expresa las unidades de trabajo y potencia en función de las magnitudes fundamentales.

Trabajo y potencia en función de la velocidad.

Relacionar el trabajo y la potencia con la velocidad de un cuerpo.

Trabajo realizado por una fuerza variable (el resorte).

Calcular el trabajo de fuerzas variables con la ayuda de gráficos fuerza versus posición. Identificar en una gráfica de la fuerza versus la posición el instante en que un móvil presenta la máxima velocidad.

Rendimiento de las máquinas.

Definir el rendimiento de una máquina en función de los trabajos y las potencias que en ella intervienen. Valorar la utilidad del trabajo y la potencia investigando en Internet su uso en la vida cotidiana y en otros campos del conocimiento científico y técnico.



1.1. TRABAJO . Cuando una fuerza es capaz de mover, detener (Δr ) o de deformar un cuerpo, decimos que esta fuerza está realizando un trabajo, por consiguiente, físicamente podemos definir el trabajo como: EL TRABAJO ES LA ACCIÓN QUE EJERCE UNA FUERZA SOBRE UN CUERPO AL COMUNICARLE CIERTO DESPLAZAMIENTO O AL DEFORMARLO

1.2. DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL TRABAJO � Solo la componente de las fuerzas a lo largo del desplazamiento son las que mueven al cuerpo,

es decir las fuerzas que forman un ángulo de 0° con el desplazamiento realiza un trabajo positivo.

� La fuerza de roce no hace mover al cuerpo pero es capaz de detener su movimiento, por lo tanto también realiza trabajo que es negativo, notemos que esta fuerza forma con el desplazamiento un ángulo de 180°.

� Las fuerzas perpendiculares, es decir, las fuerzas que forman un ángulo de 90° con el desplazamiento (como la normal y otras), no realizan trabajo porque no provocan el movimiento del cuerpo,

En la siguiente tabla revisamos los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 0°, 90° y 180°. De acuerdo con este cuadro vemos que la función que nos ayuda a definir el trabajo es la función coseno, puesto para las fuerzas perpendiculares al desplazamiento nos darán cero, para las paralelas uno (trabajo positivo) y para las antiparalelas menos uno (trabajo negativo). Por otra parte el trabajo será también proporcional a la magnitud tanto de la fuerza como del desplazamiento, porque para realizar mayor trabajo, necesitaremos mayor fuerza y, lo mismo, a mayor desplazamiento del cuerpo mayor será el trabajo. Si simbolizamos el trabajo realizado por la fuerza F con la letra “WF”, su ecuación matemática será: �� = � ∆� cos��, ∆� �

El signo del trabajo tiene la significación siguiente: el trabajo es positivo cuando la fuerza acelera el movimiento, en este caso la fuerza que actúa sobre el cuerpo “entrega” trabajo al sistema; el trabajo es negativo cuando la fuerza retarda el movimiento, en este caso la fuerza que actúa sobre el cuerpo “recibe o absorbe” trabajo del sistema. La anterior ecuación también se puede escribir como un producto escalar, es decir: �� = �� ∙ ∆��

1.3. POTENCIA La potencia, más que un concepto científico es un concepto técnico, porque a un ingeniero no le interesa mucho si una máquina realiza o no un trabajo, lo que realmente le interesa es cuán rápido realiza un determinado trabajo, por lo tanto:

Matemáticamente la potencia media será entonces el cociente entre el trabajo realizado por la máquina

0° 90° 180° Seno 0 1 0 Coseno 1 0 -1 Tangente 0 ∞ 0

EL TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ES IGUAL AL PRODUCTO DEL MODULO DE LA FUERZA POR EL MODULO DEL DESPLAZAMIENTO Y POR EL COSENO DEL ÁNGULO FORMADO ENTRE LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA Y LA DIRECCIÓN DEL DESPLAZAMIENTO.

POTENCIA ES LA RAPIDEZ CON QUE UNA MÁQUINA REALIZA UN TRABAJO DETERMINADO



y el tiempo que emplea en realizar dicho trabajo; simbolizaremos la potencia media con la letra “P ”: � = ��∆�

1.4. UNIDADES DEL TRABAJO Y LA POTENCIA EN EL S . I. La ecuación de definición del trabajo nos indica que su unidad debe ser la unidad de fuerza multiplicada por el desplazamiento, es decir Newton metro, a esta unidad la llamamos Joule y la simbolizamos con la letra [J], que expresada en función de magnitudes fundamentales será: �� = �� = �� La unidad de la potencia será el cociente entre la unidad de trabajo y tiempo, es decir Joule entre segundo, unidad a la que se le da el nombre especial de Watt, simbolizada con [W], Esta unidad expresada en las unidades de las magnitudes fundamentales será: �� = �� = �� ! �

1.5. EL “ KILO WATT – HORA ”. Una unidad muy corriente en la industria es el kilo Watt – hora [kW-h], que no es unidad de potencia sino de trabajo, puesto que el producto de la unidad de potencia (kilo Watt) por la de tiempo [hora]), y si nosotros despejamos el trabajo de la definición de potencia, obtenemos el mismo producto de unidades, solo que en el SI será [W s], que es muy pequeña como para usarla en la industria, la equivalencia entre estas dos unidades es: 1�� ℎ� 1000��1�� 3600��1�ℎ� = 3.6 10(�� = 3.6 10(��

EJEMPLO 1. Un hombre desea levantar un cuerpo de 50 [kg] a una altura de 1.5 [m]

con velocidad constante de 0.8 )*+ ,, calcular el trabajo y la potencia que

realiza cuando levanta el cuerpo verticalmente y cuando lo levanta con la ayuda de un plano inclinado liso 30º sobre la horizontal.

SOLUCIÓN. Llamamos F1 y F2 a la fuerza que ejerce el hombre en cada caso, el DCL para cada situación será el de la figura: Como la velocidad en cada caso es constante, sus correspondientes ecuaciones serán:

Caso 1 F1 - m g = 0 Caso 2 F2 - m g .senα = 0 N - m g cosα = 0

Por lo tanto el trabajo cuando eleva verticalmente será: �� = � ∆� cos��, ∆� � WF1 = F1Δr cos (0º)

WF1 = m g H WF1 = 735 [J]

La potencia en este caso podremos calcularla con auxilio del tiempo que será: � = 1.5 ��0.8 )�� , = 1.875 �� = 735 ��1.875 �� = 392 �� Cuando eleva al cuerpo mediante el plano inclinado, el camino que

recorre es ∆� = 2345 (7) por lo tanto el trabajo será: ��9 =�� 2345 (7) cos(0) = � � sin(<) 2345 (7) cos(0). Reemplazando el valor de

Elevación vertical

m g

F1

Elevación con plano inclinado

m g

F2 N



la fuerza tenemos: ��9 = ��= ��9 � 735�� La potencia también la calculamos con auxilio del tiempo:

� � 1.5��sin630°80.8 )�� , � 3.75�� 735��3.75�� 196�� ¡El hombre realiza el mismo trabajo! ¿Cuál es la ventaja de usar el plano inclinado?

� Consolidación teórica

1) Define Físicamente lo que se entiende por trabajo.

2) Define Físicamente lo que se entiende por potencia.

3) ¿Decir “potencia de una máquina”, es lo mismo que decir, “Rapidez con que una máquina realiza trabajo”?, ¿Por qué?

4) ¿Cuál es la fórmula matemática que define el trabajo?, ¿Cuál es la de potencia?

5) El trabajo y la potencia son magnitudes físicas escalares o vectoriales, ¿Por qué?

6) ¿Cuáles son las unidades de medida del trabajo y de la potencia en el SI?, ¿Cómo se expresan estas unidades en función de las magnitudes fundamentales?

7) El [kW h] es una unidad de potencia o de trabajo? ¿Por qué? ¡Demuestre su equivalencia con la unidad correspondiente en el SI.

8) Suponga que una partícula se mueve de un punto a otro por la acción de 4 fuerzas constantes. ¿Son iguales, el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza resultante de las 4 fuerzas, con la suma de los trabajos realizados sobre el cuerpo por cada una de las fuerzas?, ¿Por qué?

9) Según la tercera ley de Newton el trabajo realizado por la fuerza de acción sería positivo y el trabajo realizado por la fuerza de reacción sería negativo pero de la misma magnitud, dándonos la suma cero, de tal manera que parece que no se efectúa trabajo alguno; ¿cuál es el error en este razonamiento? � Consolidación práctica.

10)Una persona de 570 [N] de peso, sube por una escalera vertical de 4.3 [m] de alto en 3.5 [s]. ¿Cuál es el trabajo y cuál la potencia media que desarrolló?

11)Un caballo jala una carroza con una fuerza de 20 [N] según la dirección que forma un ángulo de 30° sobre la horizontal y se mueva con una

rapidez constante de 10 )?*@ ,. a) ¿Cuál es la potencia suministrada por el

caballo? b) ¿Cuánto trabajo realiza el caballo en 10

[min]? 12)Un vagón de 20 [t] avanza con movimiento

uniformemente retardado, sometido a una fuerza de rozamiento de 6000 [N], y al cabo de cierto tiempo se detiene. La velocidad inicial

del vagón era de 54 )?*@ ,. Calcular :

a) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

b) La distancia que avanza el vagón hasta que se detiene.

c) La potencia desarrollada por la fuerza de roce.

13)Calcular el trabajo y la potencia que hay que realizar para aumentar la velocidad de un

cuerpo de 1 [kg] de masa desde 2 )*+ , hasta 6 )*+ , en un recorrido de 10 [m], durante todo el

camino actúa una fuerza de roce constante de 1.96 [N].

14)Se usó una cuerda para hacer descender verticalmente un bloque de 2 [kg] con una

aceleración de 2 )*+9,. Después de que el

bloque ha descendido 50 [cm]. a) ¿Cuál es el trabajo que ha realizado la

cuerda sobre el bloque? b) ¿Cuál es la velocidad del bloque en esa

posición? c) ¿Cuál es la potencia desarrollada para

bajar el bloque? 15)¿Qué trabajo hay que realizar para subir un



trineo cargado, cuya masa total es de 30 [kg],

con velocidad constante de 4 )*+ , a un

montículo cuya altura es de 10 [m]? El ángulo de inclinación de la pendiente es de 30°, el coeficiente de rozamiento entre el trineo y el montículo es de 0.3 ¿Cuál es la potencia que se desarrolla?

16)Una persona empuja un cajón de 30 [kg] de

masa con velocidad constante de 5 )*+ , sobre

una superficie horizontal rugosa que presenta un coeficiente cinético de fricción de 0.2, cubriendo una distancia de 10 [m]. la dirección de la fuerza que la persona ejerce sobre el cajón forma 37° por debajo de la horizontal. a) ¿Cuál es la magnitud del trabajo y cuál la

potencia realizada por la persona? b) ¿Cuál es la magnitud del trabajo y cuál la

potencia realizada por la fuerza de roce? c) ¿Cuál es la magnitud del trabajo y cual la

potencia realizado por la Normal y el peso?

d) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza total? (responda sin realizar cálculos).

17)Un bloque de 4 [kg] es jalado con velocidad

constante de 10 )*+ ,, a lo largo de una

superficie horizontal rugosa; la distancia que recorre es de 5 [m], la magnitud de la fuerza con que se jala es de 7 [N] y su dirección forma un ángulo de 37° sobre la horizontal. Calcular: a) El trabajo y la potencia realizada por la

fuerza que jala el bloque. b) El trabajo y la potencia realizada por la

fuerza de roce. c) El coeficiente de fricción entre el bloque y

la superficie. d) El trabajo y la potencia realizada por la

fuerza resultante. 18)Un bloque de hielo de 45 [kg] parte del reposo

y resbala hacia abajo por un plano inclinado de 1.5 [m] de longitud y 0.9 [m] de alto. Un hombre empuja el hielo hacia arriba paralelamente al plano inclinado de tal manera que el bloque igual resbala hacia abajo con una

aceleración de 2 )*+9,. El coeficiente de fricción

entre el bloque y el plano es de 0.1. Calcular: a) La fuerza ejercida por el hombre sobre el

bloque de hielo. b) El trabajo y la potencia realizada por el

hombre sobre el bloque de hielo. c) El trabajo realizado por la fuerza de

gravedad (peso) sobre el hielo. d) El trabajo realizado por la fuerza de roce

sobre el bloque de hielo. e) El trabajo y la potencia realizada por la

fuerza resultante. 19)Un conductor acelera y frena su automóvil de

900 [kg] y apunta la siguiente información: Partiendo del reposo alcanza una velocidad

máxima de 15 )*+ , en 10 [s]; alcanzada esta

velocidad aplica los frenos y logra detener el automóvil sobre un recorrido adicional de 500 [m]. Calcular la potencia media desarrollada por el motor del automóvil en el primer caso y por los frenos de éste en el segundo caso.

20)Un camión sube por una carretera que tienen una pendiente que lo eleva 0.3 [m] cada 15 [m] de camino con una rapidez constante de 24 )?*@ ,. La fuerza resistente es igual a 0.6 veces

el peso del camión. ¿Con qué rapidez se moverá el mismo camión hacia abajo por dicha pendiente y usando la misma potencia que usa para subirla?

21)Funcionando con potencia constante una locomotora puede arrastrar un tren hacia arriba por una pendiente cuya inclinación es de 0° 17’11”y con una velocidad constante de 50 )?*@ ,. Para un ángulo de inclinación de 0°

8’36” en las mismas condiciones, el tren

desarrolla la velocidad constante de 60 )?*@ ,. Determinar el coeficiente de rozamiento suponiendo que es igual en ambos casos.

22)Descendiendo por una colina, cuyo ángulo de inclinación es de 6°, un automóvil de 1000 [kg] se embala teniendo desembragada la transmisión, adquiriendo rápidamente la

velocidad constante de 72 )?*@ ,, ¿Cuál es la

fuerza de resistencia al movimiento del automóvil? ¿Qué potencia desarrollará el motor del automóvil al subir con la misma velocidad esta misma colina? (Sugerencia, suponga que la fuerza de resistencia al movimiento es la misma al bajar y al subir).



23)Un cuerpo de 1424 [N] se mueve con aceleración constante adquiriendo la

velocidad de 98 )?*@ , en 10 [s]. ¿Cuál es el

trabajo y la potencia desarrollada en un tiempo de 8 [s]?

24)La fuerza requerida para remolcar un bote con una velocidad constante es directamente proporcional a la rapidez; si se invierten 7500 [W] para remolcar un bote con una rapidez

constante de 4 )?*@ ,. ¿Cuál será la potencia

requerida para que el bote tenga una rapidez

constante de 12 )?*@ ,?

25)Una bicicleta y su pasajero pesan juntos 980 [N]. Si este ciclista baja por una pendiente del 1 % de inclinación en rueda libre adquiere una

rapidez constante de 18 )?*@ ,; si baja una

pendiente de 2.5 % de inclinación también en rueda libre adquiere una rapidez constante de

36 )?*@ ,; suponga ahora que el ciclista avanza

sobre una carretera horizontal en rueda libre agarrándose de un camión que va con una

rapidez constante de 27 )?*@ ,. Calcular la

potencia extra que el camión desarrolla al sostener al ciclista. La resistencia que ofrece el aire al movimiento del ciclista es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad y la fuerza de roce entre las ruedas de la bicicleta y el pavimento es constante y la misma en los tres casos.

1.6. TRABAJO Y POTENCIA EN FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD . Con algunos manipuleos algebraicos y con la ayuda de la segunda ley de Newton, podemos formular la expresión del trabajo como función de la velocidad, veamos: �� ABACDEFGHIB � � JKJLMNOPQRK ∆S cos��, ∆S �

Pero a través de la segunda ley de Newton podemos escribir:� ABACDEFGHIB = �NOPQRKTNOPQRK �� ABACDEFGHIB = �NOPQRKTNOPQRK ∆S cos�T, ∆S �

¿Por qué cambiamos el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento por el ángulo entre la aceleración

y el desplazamiento? Mediante una relación cinemática podemos escribir:TNOPQRK∆S = U9VUW9�

�� ABACDEFGHIB = �NOPQRK X� − XZ�2 cos(X, X[ )

Siendo ahora el ángulo entre el vector velocidad y el mismo vector velocidad, puesto que está elevado al cuadrado, es decir que el ángulo es cero grados, por lo tanto: �� ABACDEFGHIB = 12 �NOPQRK(X� − XZ�)

Con la ecuación de potencia también podemos realizar algunos manipuleos algebraicos y tenemos � = �∆� = � ∆S cos��, ∆S �∆�

Pero recordemos que la velocidad media se la puede definir como:X = ∆\∆J, entonces: � = � X cos��, X] � Donde la velocidad media es igual a la velocidad en un movimiento uniforme X = X(puesto que v = constante) y es igual aX = U^UW� si el movimiento es uniformemente variado.

La potencia instantánea la podemos calcular con la velocidad instantánea, es decir: � = �X cos��, X] � No olvidemos que: X = XZ + T ∆�, o que:X� = XZ� + 2 T ∆S

1.7. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE (EL RESORTE). Lo expuesto en secciones anteriores, sólo es válido para casos en que la fuera que actúa sobre el cuerpo



sea constante, ahora desarrollaremos un método para poder calcular el trabajo realizado por fuerzas variables, consideraremos primero un resorte.

EJEMPLO 2. Calcular el trabajo y la potencia desarrollada sobre un resorte cuya

constante elástica es de 25 )*̀, al estirarlo 5 [cm] desde su posición de

equilibrio en un tiempo de 0.2 [s].

SOLUCIÓN. Para calcular el trabajo de una fuerza variable, debemos graficar la fuerza tangencial en función de la posición, el área presentada en la

gráfica representa el trabajo realizado por la fuerza. En la gráfica que presentamos, el área sombrada nos dará el trabajo realizado por la mano para estirar el resorte. La gráfica la construimos con la ecuación F = k x, de tal manera que cuando el resorte no está estirado (x = 0) la fuerza vale 0 [N] y cuando está estirado los 5 [cm] que dice el problema, la fuerza vale 1.25 [N]. El trabajo calculamos a través del área que está

achurada en la figura, que es un triángulo, es decir: W = Área bajo la curva

W = 12 (0.05) [m] (1.25) [N]

W = 0.03125 [J] � � �∆� � 0.03125��0.2�� 0.156�� EJEMPLO 3. La gráfica indica la variación de una fuerza motriz respecto a la posición para un cuerpo que se mueve sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de roce es de 0.4, considerando que la masa del cuerpo es de 5 [kg] y que en

la posición x = 0 [m] su velocidad era de 8 )*+ , en sentido

progresivo. Determinar la velocidad máxima y la velocidad mínima que alcanza en su movimiento

SOLUCIÓN. Para calcular la velocidad en cualquier punto del recorrido del cuerpo, podemos emplear la ecuación: �� ABACDEFGHIB � 12�NOPQRK6X� Y XZ�8 Donde �� ABACDEFGHIB � �� _ �aH , esto nos indica que debemos construir la

gráfica que represente a la suma de ambas fuerzas la motriz y la de roce, ese gráfico presentamos en la figura de donde efectuamos el siguiente análisis: S24.6 � 8 Y S10.4 ⇒ S � 5.62��

0 5 10 15 208 12-30

-20

-10

0

10

20

30

-5

-25

x [m]

F [N

]

Fuerza versus posición



S10.4 � 8 Y S44.6 ⇒ S � 13.51�� De 0 [m] a 5.62 [m] la fuerza es negativa y el cuerpo pierde velocidad. De 5.62 [m] a 13.51 [m] la fuerza es positiva y el cuerpo gana velocidad. De 13.51 [m] a 20 [m] la fuerza es negativa y el cuerpo pierde velocidad. Con este análisis podemos deducir que la velocidad mínima puede presentarse en x = 5.62 [m] ó en x = 20 [m]. Mientras que la velocidad máxima se encuentra indiscutiblemente en x = 13.51 [m]. Las anteriores afirmaciones las hacemos a la luz de que mientras la fuerza sea negativa, el cuerpo va desacelerando, consecuentemente perdiendo velocidad y mientras la fuerza sea positiva, por muy pequeña que ésta sea, el cuerpo estará acelerando, consecuentemente ganará velocidad, es muy frecuente creer que la velocidad máxima se alcanza cuando la fuerza alcanza su valor máximo, esto no es así porque por más que la fuerza disminuya sigue siendo positiva y acelerando al cuerpo. Veamos entonces: �� ABACDEFGHIB � 12 65.6286Y24.68 � Y69.13�� Por lo tanto la velocidad será: �� ABACDEFGHIB � 12�NOPQRK6X� Y XZ�8 ⇒ Y69.13 � 12 6586X� Y 8�8 6Y69.1386285 _ 64 � X� ⇒ X � 6.03 )�� , Esta es la velocidad en la posición de 5.62 [m]. Para la posición de 13.51 [m] tendremos: �� ABACDEFGHIB � Y69.13 _ �613.51 Y 5.628612 Y 88�2 610.48 � 94.98��

94.98 � 12 6586X� Y 8�8 ⇒ X � 10.1 )�� , Que sería la velocidad máxima que alcanza. Finalmente, hasta la posición x = 20 [m] tenemos: �� ABACDEFGHIB � 94.98 _ 12 620 Y 13.5186Y44.68 � Y49.75��

Y49.75 � 12 6586X� Y 8�8 ⇒ X � 6.64 )�� , Por lo tanto la velocidad mínima se da en la posición x = 5.62 [m] con

v = 6.03 )*+ , y la velocidad máxima obtendrá en la posición x = 13.51

[m] con v = 10.1 )*+ ,.

� Consolidación teórica. 1) Construye la gráfica de una fuerza constante

versus la posición y demostrar que el área bajo la curva representa el trabajo realizado por la

0 8 12 2013.515.62

-24.6

10.4

-44.6

0

x [m]

F t

ota

l [N

]

Fuerza total Vs. Posición



fuerza en cierto desplazamiento. 2) Demostrar la ecuación que relaciona el trabajo

con la velocidad. 3) ¿Por qué podemos asegurar que el trabajo de

la fuerza resultante sobre un cuerpo que se mueve con velocidad constante es nulo?

4) Comprobar que la expresión d� �X� tiene la

misma unidad de medida que el trabajo. 5) ¿Cómo podemos determinar a través de la

gráfica F Vs. x la velocidad de un cuerpo en cualquier punto de su recorrido?

6) ¿Cómo podemos determinar a través de la gráfica F Vs. x la velocidad máxima o la velocidad mínima que una partícula alcanza en todo su trayecto?

7) Un cuerpo que se mueve en una superficie horizontal está sometido a cuatro fuerzas (la Normal, el peso, el roce y la fuerza motriz), ¿cuáles de estas fuerzas realizan trabajo, cuáles no? ¿Será que se puede calcular la velocidad del cuerpo a través de la gráfica fuerza motriz versus posición? ¿por qué? � Consolidación práctica.

8) Construir la gráfica de la fuerza total que se ejerce sobre un resorte en función de la elongación, para una constante elástica de 20 )*̀, y a partir de esta gráfica calcular el trabajo

para una elongación de 0 a 20 [cm]. 9) Generalizar la expresión del trabajo realizado

por un resorte para una elongación que va desde “x0” hasta “x”, considere que el resorte tiene constante elástica “k”.

10)Un objeto de 5 [kg] de masa se mueve a lo largo de una superficie horizontal sin fricción, jalado por una fuerza horizontal que varía en función de la posición tal como se indica en la figura; si se sabe que el cuerpo parte del reposo en el punto x = 0:

a) Construir el DCL del cuerpo en las

posiciones de 0 [m], 25 [m], 30 [m], 40

[m] y 52 [m]. b) Calcular el trabajo realizado por la fuerza

durante todo su movimiento. c) Calcular la velocidad del cuerpo a los 25

[m], a los 40 [m] y a los 52 [m]. d) Resolver el problema anterior para el caso

en que la superficie no sea lisa y presente un coeficiente cinético de fricción de 0.04.

11)Un objeto de 8 [kg] de masa, se mueve a lo largo de una superficie horizontal sin fricción, jalado por una fuerza horizontal que varía en función de la posición tal como se indica en la figura; si se sabe que el cuerpo parte del reposo en el punto x = 0: a) Construir el DCL del cuerpo en la

posición de 0 [m], 10 [m] y 30 [m]. b) Calcular el trabajo realizado por la fuerza

durante todo su movimiento. c) Calcular la velocidad del cuerpo a los 10

[m] y a los 30 [m].

12)Resolver el problema anterior para el caso en

que la superficie no sea lisa y presente un coeficiente cinético de fricción de 0.3.

13)¿Qué trabajo hay que realizar para subir con velocidad constante un trineo cargado, cuya masa total es de 30 [kg], a un montículo cuya altura de 10 [m]? El ángulo de inclinación de la pendiente es de 30°, el coeficiente de rozamiento entre el trineo y el montículo disminuye linealmente a lo largo del camino desde 0.5 en la base hasta 0.1 en la cumbre. (sugerencia: tiene que tomar en cuenta que para subir el trineo con velocidad constante se debe superar el peso del trineo y la fuerza de roce entre el trineo y el montículo).

14)Resolver el problema anterior para el caso en que el trineo se suba con una aceleración

constante de 1.5 )*+9,. 0 10 20 30 40 5225-10-8

0

5

10

Fuerza Vs Posición

x [m]

F [N

]



1.8. RENDIMIENTO DE LAS MÁQUINAS . Toda máquina convierte el trabajo que recibe o absorbe (energía recibida o absorbida) en otras formas de trabajo o energía, parte de este trabajo es aprovechable, al que llamaremos trabajo realizado por la máquina y la otra parte es un trabajo perdido normalmente en forma de energía calorífica al que llamaremos trabajo perdido. Esto podemos representarlo gráficamente como indica la figura presentada, y nos ayudará definir el rendimiento de una máquina que lo simbolizaremos con la letra Eta del alfabeto griego (η). Para definir el rendimiento debemos comparar el trabajo o potencia que realiza la máquina respecto al trabajo o potencia que absorbe, este cociente nos indica la fracción, para expresarlo en porcentaje debemos multiplicar por 100. e � �QPLMfgLhK�Li+KQUfhK 100 � �QPLMfgLhL�Li+KQUfhL 100

EJEMPLO 4. Un automóvil tiene un masa de 1000 [kg], marcha con movimiento uniforme por un tramo de carretera en cuesta cuya pendiente es de 25°. Si el coeficiente cinético de roce es de 0.78, el poder calorífico de la

gasolina de 4.6 * 107) j?k, y el rendimiento del motor del 30 %. ¿Cuántos

litros de combustible gasta el automóvil en un recorrido de 500 [m]?

(densidad de la gasolina 0.8 ) kN*l,). SOLUCIÓN. Lo que debemos calcular primero es la fuerza que desarrolla el motor, con el DCL obtenemos las siguientes ecuaciones: �* Y mN � Y �� sin6n8 � 0o� Y �� cos6n8 � 0 De aquí obtenemos: �* � ��6sin6n8_mN cos6n88 � 11069.48�� El trabajo realizado por el motor será entonces: �QPLMfgLhKRKQPM*KJKQ � �*ΔS cos608 �QPLMfgLhKRKQPM*KJKQ � ��6sin6n8_mN cos6n88ΔS �QPLMfgLhKRKQPM*KJKQ � 5.5310(�� Tenemos el rendimiento del motor, por lo tanto podemos calcular el trabajo absorbido por el motor, es decir: �Li+KQifhKRKQPM*KJKQ � �QPLMfgLhKRKQPM*KJKQe 100 � 1.8410q�� Con este dato podemos calcular la cantidad de combustible usando el poder calorífico: 1.8410q�� 1��4.610q�� 0.4�� 400�� Usando la densidad de la gasolina obtenemos el gasto en litros: 400�� 1�r�!�0.8�� 500�r�!� � 0.5�s�

� Consolidación teórica.

1) ¿Cuál es la transferencia de trabajo que realiza una máquina?

2) ¿Por qué una máquina no puede tener un



rendimiento del 100 %? 3) Un foco es una máquina que convierte el

trabajo eléctrico en trabajo lumínico, ¿cuál es el trabajo perdido?

4) El refrigerador es una máquina que convierte el calor en frío, ¿dónde y en qué forma se pierde trabajo? � Consolidación práctica.

5) Un automóvil tiene un masa de 1000 [kg], marcha con movimiento uniforme por un tramo de carretera plana. Si el coeficiente cinético de roce es de 0.78, el poder calorífico

de la gasolina de 4.6 * 107) j?k, y el

rendimiento del motor del 30 %. ¿Cuántos litros de combustible gasta el automóvil en un recorrido de 500 [m]? (densidad de la gasolina

0.8 ) kN*l,). 6) ¿A qué es igual la fuerza de resistencia que

opone el agua al movimiento de un barco, si éste consumió 6.5 [t] de Carbono en tres días

navegando a la velocidad media de 10 )?*@ ,?

El rendimiento del motor del barco es del 25 % y el poder calorífico de combustión del

Carbono es de 35.5 * 106) j?k,. 7) Sobre un automóvil que pesa 8000 [N] actúa

una fuerza de roce constante de 0.1 veces su

peso cuando éste se encuentra en movimiento. ¿Qué cantidad de gasolina consumirá el motor

para aumentar su rapidez desde 10.8 )?*@ , hasta 43.2 )?*@ , en una distancia de 0.5 [km].

el rendimiento del motor es del 20 %. 8) Un foco domiciliario, normalmente absorbe

una potencia de 100 [W]. ¿Cuánto trabajo se disipa en forma de calor en 1 [h] de funcionamiento si su rendimiento es del 80%?

9) Calcular el rendimiento del motor de un automóvil, de 9810 [N] de peso, sobre el que actúa una fuerza de roce igual a la décima parte de su peso, sabiendo que a la velocidad

de 40 )?*@ , consume 13.5 [l] de gasolina por

cada 100 [km] de camino recorrido. La

densidad de la gasolina es de 0.8 ) kN*l,, el

poder calorífico de la gasolina de 4.6 * 107) j?k,. 10)Una grúa debe levantar 2000 [kg] de material

a una altura de 150 [m]. el proceso, que se realiza con velocidad constante demora un minuto, ¿Cuál debe ser la potencia eléctrica requerida para hacer funcionar el motor de la grúa si solo un 35 % de ella se convierte en potencia mecánica?


CAPÍTULO 2:EL MÉTODO DE LA ENERGÍA

Contenido Orientaciones metodológicas Primero seamos honestos. Definir físicamente la energía. Antes fuerza viva, hoy energía cinética.

Definir física y matemáticamente la energía cinética. Relacionar la energía cinética con la CML.

Teorema entre el trabajo y la energía cinética.

Demostrar el teorema entre el trabajo y la energía cinética.

Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas.

Reconocer las fuerzas conservativas y las fuerzas disipativas.

Energía potencial. Definir física y matemáticamente la energía potencial Teorema del trabajo y la energía potencial.

Demostrar el teorema entre el trabajo y la energía potencial.

Ahora las dos juntas y la energía mecánica.

Relacionar la energía cinética y la potencial con la energía mecánica.

Teorema del trabajo y la energía y la mecánica.

Demostrar el teorema entre el trabajo y la energía mecánica. Valorar la utilidad de la energía investigando en Internet su uso en la vida cotidiana y en otros campos del conocimiento científico y técnico.



2.1. PRIMERO SEAMOS HONESTOS. Richard P. Feynman, físico contemporáneo y premio nobel de física afirma: “ES IMPORTANTE CONSTATAR QUE EN LA FÍSICA DE HOY, NO SABEMOS LO QUE ES LA ENERGÍA”. La palabra energía ha tenido diversos significados, debido a que la energía puede manifestarse de muchas formas. El significado de energía es: “la materia es sustancia y la energía es lo que mueve la sustancia”, o reinterpretando, la energía es la sustancia del cambio y, en el análisis final, el cambio ocurre mediante el movimiento. Thomas Young, a comienzos del siglo XIX, llegó a la conclusión correcta de que el trabajo requerido para producir cualquier movimiento es proporcional a la energía que se obtiene. Una definición estricta de la energía la podemos hacer como la medida cuantitativa del movimiento de la materia en todas las formas de dicho movimiento. Pero tomaremos una definición más asequible al curso como: El trabajo es el agente que transfiere la energía de un lugar a otro o de una forma de energía a otra, expresando de otra forma, podemos decir:

2.2. ANTES FUERZA VIVA , HOY ENERGÍA CINÉTICA . Leibniz, introdujo el concepto de fuerza viva en contraposición a las ideas de Newton, que se basaba en la cantidad de movimiento lineal que considera la dirección del movimiento. Para eliminar esa dependencia con la dirección, Leibniz, propuso el concepto de fuerza viva como el producto de� X�, pero no fue hasta el siglo XIX que se dilucidó el asunto introduciendo el concepto de energía cinética para hacer concordar las ideas de Newton con las de Leibniz. La energía cinética está relacionada íntimamente con el movimiento de un cuerpo, es decir que si un cuerpo se mueve posee energía cinética, o a la inversa, si un cuerpo tiene cierta cantidad de energía cinética está en movimiento. La energía cinética es una magnitud escalar, la simbolizaremos con la letra “Ec” y su unidad de medida también es el Joule [J]. Matemáticamente se la define como: tN = 12 � X�

2.3. TEOREMA ENTRE EL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA En el capítulo anterior, pudimos demostrar que el trabajo se puede escribir en función de la velocidad como: �� ABACDEFGHIB = 12 �NOPQRK(X� − XZ�) = 12 �NOPQRKX� − 12 �NOPQRKXZ� �� ABACDEFGHIB = tN − tNZ�� ABACDEFGHIB = ∆tN

Esta ecuación constituye el teorema entre el trabajo realizado por la fuerza total que actúa sobre un cuerpo y la variación de la energía cinética.

2.4. FUERZAS CONSERVATIVAS Y FUERZAS DISIPATIVAS . En la naturaleza podemos clasificar a todas las fuerzas en dos grupos. El primer grupo tiene la siguiente característica:

ENERGÍA ES LA CAPACIDAD DE REALIZAR UN TRABAJO, SE PRESENTA EN DIFERENTES FORMAS Y NOSOTROS ESTUDIAREMOS LA CINÉTICA, LA POTENCIAL Y LA MECÁNICA.



Otra forma de expresar lo anterior es decir que una fuerza es conservativa cuando no depende de la trayectoria seguida sino solo del punto de partida y llegada del cuerpo sobre el cual se aplica la fuerza. El otro grupo de fuerzas tiene la siguiente característica:

Es decir, esta fuerza depende de la trayectoria seguida por el cuerpo. 2.5. ENERGÍA POTENCIAL .

Cuando realizamos trabajo en contra de una fuerza que actúa de manera permanente como el peso, la magnética, la eléctrica, el resorte, etc., logramos almacenar la energía que en cualquier momento se puede transformar en cinética. Por ejemplo, al levantar un cuerpo en contra de la gravedad, estamos almacenando energía, puesto que al soltarlo adquiere velocidad, es decir, adquiere energía cinética, o, contra la fuerza eléctrica que está acumulada en el ordenamiento atómico y molecular de una deliciosa manzana, se convierte en calor y otras formas de energía cuando la comemos. La energía potencial es una energía que esta acumulada y depende de la posición, cuando el sistema se libera esta energía puede convertirse en otras formas de energía. La energía potencial proviene siempre de una fuerza conservativa, es decir, a cada fuerza conservativa que existe en la naturaleza le corresponde una energía potencial, que en su representación matemática será diferente. En este curso tomaremos dos fuerzas conservativas:

� FUERZA CONSERVATIVA GRAVITATGORIA (peso) � FUERZA CONSERVATIVA ELÁSTICA (fuerza de los resortes)

Por lo tanto estudiaremos dos formas de energía potencial: � ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA � ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA.

Si simbolizamos la energía potencial con la letra EP, tendremos las siguientes definiciones matemáticas: tR kQLUfJLJKQfL = � � ℎ tR PMá+JfNL = 12 � S�

2.6. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA POTENCIAL . Si tomamos en cuenta la definición de energía potencial gravitatoria, debemos asociarla con el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa), por lo tanto, al mover un cuerpo de masa m desde una altura y0

hasta otra de altura y el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será: �kQLUPhLh = � � ∆o cos(180) = −� � (o − oZ) = −(� � o − � � oZ) �kQLUPhLh = −�tR kQLUfJLJKQfL − tRZ kQLUfJLJKQfL� = −∆tR kQLUfJLJKQfL Este resultado que lo hemos obtenido para la fuerza gravitatoria, que es una fuerza conservativa, podemos generalizarlo para cualquier fuerza conservativa,

es decir, para cualquier forma de energía potencial tendríamos:

SI UNA FUERZA NO REALIZA TRABAJO CUANDO ACTÚA SOBRE UN CUERPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA, DECIMOS QUE ESTA ES UNA FUERZA CONSERVATIVA.

SI UNA FUERZA REALIZA TRABAJO CUANDO ACTÚA SOBRE UN CUERPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA, DECIMOS QUE ESTA ES UNA FUERZA DISIPATIVA O NO CONSERVATIVA.

m g ∆y

y0

y



�aOPQgLNKv+PQULJfUL � Y∆tR Si tomamos en cuenta varias fuerzas conservativas tendremos: �aOPQgLNKv+PQULJfUL � Y∆tR

�aOPQgLNKv+PQULJfUL � Yw∆tRffxvfxd

Donde el subíndice i significa la i–ésima energía potencial correspondiente a la i–ésima fuerza conservativa. En particular si tenemos dos fuerzas conservativas actuando sobre un sistema (la gravitatoria y la elástica) tendremos: �aOPQgLNKv+PQULJfUL � Y∆tRkQLUfJLJKQfL Y ∆tRPMá+JfNL

2.7. AHORA LAS DOS JUNTAS Y LA ENERGÍA MECÁNICA Definimos la energía mecánica como la suma de la energía cinética y las energías potenciales, simbolizamos con la letra E y su unidad de medida en el S.I. es el [J].

t � tN _ wtRffxvfxd

2.8. T EOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA Y LA MECÁNICA Para demostrar este teorema, partiremos del teorema entre el trabajo y la energía cinética y el teorema del trabajo y la energía potencial, es decir, hemos demostrado que:

�� ABACDEFGHIB � ∆tNoyz{�aOPQgL+NKv+PQULJfUL+ � Yw∆tRffxvfxd

Pero el trabajo de la fuerza total podemos escribir como: �� ABACDEFGHIB � �aOPQgL+NKv+PQULJfUL+ _ �aOPQgL+hf+fRLJfUL+ Reemplazando y ordenando tenemos:

∆tN � Yw∆tRffxvfxd _ �aOPQgL+hf+fRLJfUL+

�aOPQgL+hf+fRLJfUL+ � ∆tN _ w∆tRffxvfxd � ∆ |tN _ wtRf

fxvfxd } � ∆t

Donde el trabajo de las fuerzas disipativas se refiere principalmente a la energía calorífica generada por la fricción, por lo tanto este trabajo tiene signo negativo, analicemos esta ecuación despejando la energía mecánica final. ta � tZ _ �aOPQgL+hf+fRLJfUL+ Como el trabajo de las fuerzas disipativas es negativo ��aOPQgL+hf+fRLJfUL+ ~ 0�, tenemos queta ~tZ, que significa que ha habido una pérdida de energía mecánica en el sistema, esta pérdida esta ocasionada fundamentalmente a las fuerzas externas al sistema como la fricción. Podemos resumir los tres teoremas de trabajo y energía: �� ABACDEFGHIB � ∆tN �aOPQgL+NKv+PQULJfUL+ � Yw∆tRf

fxvfxd �aOPQgL+hf+fRLJfUL+ � ∆t


1) La energía cinética es una magnitud física escalar o vectorial? ¿por qué?

2) ¿La energía cinética es una magnitud física



que caracteriza un cuerpo en movimiento?, ¿por qué?

3) Demostrar el teorema entre el trabajo y la energía cinética.

4) Si la fuerza total aplicada a un cuerpo realiza un trabajo positivo, la energía cinética de este ¿aumenta o disminuye? ¿por qué?, ¿qué sucede si la fuerza resultante aplicada al cuerpo es negativa?

5) ¿Varía la energía cinética de un cuerpo que se mueve en una curva al variar solamente la dirección del vector velocidad?

6) ¿La energía cinética depende de la dirección del movimiento?, ¿puede ser negativa?, ¿por qué?

7) Si el trabajo que la fuerza resultante realiza sobre un cuerpo es nulo (vale cero), ¿podemos asegurar que su energía cinética también es cero? ¿por qué?

8) ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo que se mueve con velocidad constante?

9) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada? ¿Por qué?

10)¿Cuánto vale el trabajo realizado por una fuerza no conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada? ¿Por qué?

11)¿Todas las fuerzas que no son conservativas, son necesariamente disipativas? ¿Por qué?

12)El trabajo realizado por fuerzas conservativas depende de la trayectoria que sigue la partícula? ¿Por qué?

13)¿Qué tipo de fuerzas están asociadas a la energía potencial?

14)¿Cuántas clases de energía potencial habrá en la naturaleza?

15)Mencione dos tipos de energía potencial. 16)Escriba las ecuaciones que definen

matemáticamente a las energías potenciales que usaremos en el curso.

17)¿Cuál es la unidad de medida de la energía potencial en el SI?

18)A partir de las ecuaciones de las energías potenciales antes mencionadas, demuestre que sus magnitudes fundamentales coinciden con las del [J]

19)¿Qué sucede con la energía potencial gravitatoria de un cuerpo, durante su

movimiento hacia arriba? 20)¿Qué sucede con la energía potencial

gravitatoria de un cuerpo, durante su movimiento de caída?

21)¿Cuál es la diferencia entre la energía potencial y la cinética?

22)¿Cuál es la diferencia entre el teorema del trabajo y la energía cinética con el teorema del trabajo y la energía potencial?

23)Define la energía mecánica. 24) Indica el símbolo que usamos para

representar la energía mecánica y la unidad de medida en el SI.

25)Haga una demostración detallada y justificada cada uno de los pasos del teorema del trabajo y la energía mecánica.

26)Elabora un mapa conceptual iniciando en el concepto de fuerza y terminando en los tres teoremas de trabajo y energía.

27)Cuál es la fuerza disipativa más corriente y cuál es la energía que genera? � Consolidación práctica.

28)Una piedra de 2 [kg] cae desde cierta altura. La caída dura 1.43 [s]. Calcular las energías, cinética, potencial y mecánica de esta piedra en el punto medio del camino recorrido.

29)Una piedra de 1 [kg] ha sido lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad

inicial de 9.8 )*+ ,. a) Construir la gráfica de la energía potencial

en función del tiempo desde el instante que la piedra es lanzada hasta que retorna al punto de partida.

b) En la misma gráfica represente la energía cinética de la piedra.

c) Igualmente representa la energía mecánica de la piedra.

30)Resolver el problema anterior construyendo una gráfica en función de la posición.

31)Un hombre que va corriendo tiene la mitad de la energía cinética de un niño que tiene la mitad de su masa. El hombre aumenta su

rapidez en 1 m

s y entonces adquiere la misma

energía cinética que el niño. ¿Cuáles fueron las velocidades tanto del hombre como la del niño al inicio del movimiento?

32)Calcular el trabajo realizado por la fuerza de



gravedad al levantar un cuerpo de 4[kg] desde una altura de 2 [m] sobre el suelo hasta un punto a 3 [m] del suelo.

33)Calcular la energía potencial que se almacena en un resorte, cuya constante elástica es de 300 )*̀,, cuando:

a) Se estira 8 [cm] a partir de su posición de equilibrio.

b) Se comprime 8 [cm] a partir de su posición de equilibrio.

34)Una esfera de 2 [kg] cuelga de uno de los extremos de una cuerda de 1 [m] de longitud que tiene el otro extremo fijado en el techo de una habitación de 3 [m] de altura. ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de la esfera respecto a: a) El piso de la habitación b) El techo de la habitación c) Un punto que está a la misma altura que la

esfera. 35)Un resorte tiene una constante elástica de 400 )*̀, ¿cuánto trabajo se debe realizar sobre el

resorte para estirarlo: a) 3 [cm], a partir de su posición de

equilibrio. b) Desde x = 2 [cm] hasta x = 3 [cm], donde

x = 0 [cm] es su posición de equilibrio. 36)Un bloque de madera está en reposo apoyado

sobre un plano inclinado 38° sobre la horizontal. Al dejarlo en libertad observamos que tras un recorrido de 4 [m] adquiere una

velocidad de 5 )*+ , ¿Cuál es el coeficiente de

fricción cinética entre el bloque y el plano? 37)Un bloque de 5[kg] es puesto en movimiento

ascendente, a lo largo de un plano inclinado 37° sobre la horizontal, con una velocidad

inicial de 8 )*+ ,. El bloque se detiene después

de recorrer 1.5 [m]. Determinar: a) El cambio de energía cinética b) El cambio de energía potencial c) El valor de la fuerza de fricción d) El coeficiente de fricción cinética e) La pérdida total de energía en el instante

en el que tras descender, pasa por la posición inicial.

38)En la base de un plano inclinado 37 º sobre la

horizontal, se fija un resorte cuya constante

elástica es de 50 )*̀,, el otro extremo del

resorte está asegurado a un cuerpo de 4 [kg]; si la longitud normal del resorte es de 10 [cm] y el cuerpo se jala a la largo del plano inclinado hasta una distancia de 20 [cm] de la base del mismo, ¿cuál es el trabajo que se realiza sobre el sistema contra las fuerzas conservativas?

39)Un cuerpo de 1 [kg] es impulsado a lo largo de una superficie horizontal rugosa,

adquiriendo una rapidez de 5 )*+ , luego de

viajar 2 [m] hasta chocar con uno de los extremosde un resorte que se encuentra extendido horizontalmente el otro extremo está ligado a la pared vertical. ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el instante en que choca con el resorte? ¿Cuál es la constante elástica del resorte? Suponga que el coeficiente de roce entre el bloque y el piso es de 0.25 y que la compresión máxima del resorte es de 4 [cm].

40)Un cuerpo de 4 [kg] sube por un plano inclinado 36° sobre la horizontal gracias a un impulso que se le imprime en la base equivalente a una energía cinética de 128 [J] ¿Que distancia recorrerá a lo largo del plano inclinado si el coeficiente de roce cinético es de 0.45? Si el coeficiente de roce estático es de 0.5 ¿lograra volver a bajar el bloque?, si así lo hiciera, ¿con que velocidad volvería a la base del plano? ¿o es que se detendrá antes?, ¿en qué punto?

41)La esfera de 30[kg] baja por el plano inclinado como se indica en la figura, partiendo con una

velocidad de 1 )*+ , desde la cúspide del plano inclinado que se encuentra a 6 [m] de altura y a 37° sobre la horizontal. Al final del plano indicado continua por la superficie horizontal recorriendo 9 [m] hasta chocar con un resorte y luego ser detenido por este al comprimirse 20 [cm]. Determinar la constante elástica del resorte si el coeficiente de fricción



tanto en el plano inclinado como en la superficie horizontal es de 0.25

42)Una esfera puede deslizarse siguiendo el carril ABCD partiendo del reposo en el punto A que se encuentra a 2.5 [m] de la base, las inclinaciones de los planos AB y CD con la horizontal son de 53° y 37° respectivamente, la distancia BC es de 3 [m] y el coeficiente de roce entre la esfera y el carril es de 0.2. Determinar la distancia total recorrida por la esfera desde que parte hasta que se detiene por primera vez.

43)Una esfera se desliza primero por un plano

inclinado 53° sobre horizontal luego de salir del plano se desliza a lo largo de una superficie horizontal, si la distancia que recorre en el plano es igual a la que cubre en la horizontal hasta detenerse, ¿cuál será el coeficiente cinético de fricción, suponiendo que es el mismo en todo el trayecto?

44)Un bloque de 8 [kg] se nueve sobre una superficie horizontal rugosa y choca con un

resorte a una velocidad de 4 )*+ , hacia la

derecha empezando a comprimirlo. Cuando el bloque vuelve hacia la izquierda, con el resorte

no comprimido, su rapidez es de 3 )*+ ,. Si el

coeficiente de roce entre el bloque y la superficie es de 0.4 Calcular: a) El trabajo

realizado por la fuerza de roce.

b) La distancia máxima que se comprime el resorte.

c) ¿Se puede calcular la constante elástica del resorte? ¿cuánto vale?

45)En la figura que se indica un plano inclinado rugoso elevado 37° sobre la horizontal, sobre él descansa un bloque de 2 [kg] que es liberado a partir del reposo cuando el resorte (k = 100 )*̀,) no está estirado.

a) Describir las transformaciones de energía que ocurren durante el descenso del bloque.

b) Calcular el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano si el bloque se mueve 20 [cm] hacia abajo del plano inclinado antes de quedar en reposo.


CAPÍTULO 3:LEYES DE CONSERVACIÓN

Contenido Orientaciones metodológicas

Las tres leyes de conservación.

Señalar las tres leyes de conservación e indicar que para que se cumplan es necesario que cumplan con condiciones necesarias y suficientes.

Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Demostrar la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal. Aplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal en los sistemas físicos identificando la condición necesaria y suficiente.

Conservación de la cantidad de movimiento angular.

Demostrar la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular. Aplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular en los sistemas físicos identificando la condición necesaria y suficiente.

Conservación de la energía mecánica.

Demostrar la ley de conservar de la energía mecánica. Aplicar la ley de la conservación de la energía mecánica en los sistemas físicos identificando la condición necesaria y suficiente.

Leyes fundamentales y principios de conservación.

Valorar la utilidad de las leyes de conservación investigando en Internet su uso en la vida cotidiana y en otros campos del conocimiento científico y técnico. Mencionar la importancia de las leyes de conservación en física.



3.1. L AS TRES LEYES DE CONSERVACIÓN. En mecánica tenemos tres leyes que bajo ciertas condiciones permanecen invariables y constituyen pilares fundamentales tanto para la mecánica como para la física en general. Las tres leyes las analizaremos teóricamente para poder identificar el teorema del que nacen y la condición que deben cumplir para que sean invariables.

3.2. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL El teorema que da origen a esta ley es la segunda ley de Newton escrita en función de la cantidad de movimiento lineal, es decir: �� JKJLM+f+JP*L � ∆��+f+JP*L∆�

La condición que podemos imponer a esta ley es que: �� JKJLM+f+JP*L = 0

Esta condición es suficiente y necesaria porque si la fuerza total es cero solo es necesario y además suficiente que el numerador del segundo miembro sea cero, es decir: ∆��+f+JP*L = 0 Esto implica que: ��+f+JP*L = �Z��+f+JP*L Es decir que la cantidad de movimiento lineal de todo el sistema al final es igual a la cantidad de movimiento lineal de todo el sistema al principio.

EJEMPLO 5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta a una altura de 2 [m] sobre

el piso con una velocidad de 15 )*+ ,, en un instante dado explota en tres

fragmentos de igual masa, el primero de ellos viaja a razón de 5 )*+ , formando un ángulo de 60° por sobre la horizontal, el segundo viaja a

razón de 4 )*+ , formando un ángulo de 30° por debajo de la horizontal.

Despreciando las fuerzas externas existentes (por la gran fuerza que provoca la explosión y el pequeño instante de tiempo que dura) calcular la velocidad del tercer fragmento tanto en magnitud como en dirección, el tiempo que cada uno tarda en llegar al piso y la distancia horizontal a la que cada uno golpea con el piso a partir del punto de explosión.

SOLUCIÓN. La situación inicial del sistema está indicada en la figura mostrada en el planteo del texto. Es decir que el cuerpo tiene una cantidad de movimiento lineal en el eje x y no en el eje y, como el cuerpo se divide en tres fragmentos iguales cada uno tendrá una masa m, por lo que inicialmente el cuerpo tendrá una masa 3 m: �Z \ = 3 � (15) = 45 � �Z � = 0 La situación final la planteamos en la figura, en este caso vemos que la cantidad de movimiento lineal de la primera y de la segunda partícula existen tanto en el eje x como en el eje y, y la cantidad de movimiento lineal de la tercera partícula debemos también suponer que está en ambos ejes y la dibujamos en el cuarto cuadrante.

v = 15 )*+ ,

v = 5 )*+ ,

v = 4)*+ , v3

1 2 3

60°

-30° α



Así tenemos las siguiente ecuaciones en el eje x y en el eje y. �\ � � 5 cos(60) + � 4 cos(30) + � X! \ cos(<) �� = � 5 sin(60) − � 4 sin(30) − � X! \ cos(<) Como debe cumplirse la LCCML tenemos: ��+f+JP*L = �Z��+f+JP*L Igualando en cada uno de los ejes tenemos: {�{ S: 45 � = � 5 cos(60) + � 4 cos(30) + � X! cos(<) {�{o: 0 = � 5 sin(60) − � 4 sin(30) − � X! sin(<) De la segunda ecuación despejamos X! sin(<), y de la primera ecuación despejamos X! cos(<): X! sin(<) = 5 sin(60) − 4 sin(30) = 2.33 )�� , X! cos(<) = 45 − 5 cos(60) − 4 cos(30) = 39.04 )�� ,

Dividiendo ambas ecuaciones podemos obtener el ángulo, es decir: X! sin(<)X! cos(<) = 2.33 )�� ,39.04 )�� , tan(<) = 0.05968 < = tanVd(0.05968) < = 3.4° Con este ángulo calculamos la velocidad del tercer fragmento.

X! cos(3.4) = 39.04 )�� , X! = 39.04 )�� ,cos(3.4)

X! = 39.11 )�� , Para calcular al tiempo que tarda cada una en llegar al piso tenemos la siguiente ecuación del movimiento parabólico: o = oZ + XK sin(<) � − 12 � ��

De donde despejamos t con la ecuación de segundo grado obteniendo:

� = XK sin(<) ± �XZ� sin�(<) − 2 �(o − oZ)�

Para la primera tenemos:

� = 5 sin(60) ± �5� sin�(60) − 2 (9.8)(0 − 2)9.8 = 1.22 �� Para la segunda tenemos:

� = 4 sin(−30) ± �4� sin�(−30) − 2 (9.8)(0 − 2)9.8 = 0.47 �� Para la tercera tenemos:

� = 39.11 sin(−3.4) ± �39.11� sin�(−3.4) − 2 (9.8)(0 − 2)9.8 � = 0.44 �� Otra vez recurrimos a las ecuaciones del movimiento parabólico para calcular la distancia a la que golpea con el piso: S = XZ cos(<) � Para la primera tenemos: S = 5 cos(60) (1.22) = 3.05 ��

v = 5 )*+ , x

v = 4)*+ , v3

1 2 3

60°

-30° α

2 [m

]

x

y



Para la segunda tenemos: S � 4 cos6Y308 60.478 � 1.63�� Para la tercera tenemos: S � 39.11 cos6Y3.48 60.448 � 1.18��


1) ¿Cuál es la ley dinámica que nos permite establecer la LCCML?

2) Demostrar matemáticamente la LCCML 3) Cuál es la condición necesaria y suficiente

para que en un sistema físico se pueda aplicar la LCCML

4) Puede un cuerpo tener energía mecánica sin tener CML? ¿por qué? ¿y podrá tener energía cinética sin tener CML? ¿por qué?

5) Puede un cuerpo tener CML sin tener energía mecánica? ¿por qué?

6) Si dos cuerpos de diferente masa tiene la misma energía cinética ¿tendrán ambos la misma CML? ¿por qué?, de no ser así, ¿cuál de ellos tendrá mayor CML?

7) ¿Por qué las fuerzas internas se anulan en un sistema físico de varios cuerpos? Justifique la respuesta apoyándose con un dibujo de un sistema con tres cuerpos como mínimo. � Consolidación práctica.

8) Un hombre de 60 [Kg] está parado sobre una superficie sin fricción y patea una pelota de 850 [g] que se encuentra junto a su pie, la cual

adquiere una rapidez de 30 )*+ , a) Compruebe que en el sistema piedra –

hombre la fuerza externa es nula. b) ¿Qué velocidad adquiere el hombre como

resultado de la patada? 9) Un patinador de 70 [Kg] está parado en el

hílelo con los patines puestos y tira una piedra de 3 [Kg] en dirección horizontal con una

velocidad de 8 )*+ ,. Demostrar que en el

momento de lanzamiento la fuerza externa es nula y calcular la distancia que retrocederá el patinador luego del lanzamiento. Si el coeficiente de razonamiento entre los patines y el hielo es de 0.02 ¿Cuál es la distancia máxima que logra recorrer el patinador?

10)Un cuerpo de 8 [Kg] se mueve a razón de 2 )*+ ,. En un cierto instante ocurre una explosión

interna que divide al cuerpo en dos fragmentos

iguales, en este caso, podemos despreciar las fuerzas externas del peso y del aire por ser la fuerza de explosión muy intensa y el tiempo que dura muy pequeño. La explosión suministra al sistema de los dos fragmentos una energía cinética de 16 [J] si ninguno de los fragmentos sale de la línea original de movimiento determinar la velocidad de cada fragmento después de la explosión.

11)Un núcleo radiactivo que estaba inicialmente en reposo se desintegra emitiendo un electrón y un neutrino en direcciones mutuamente perpendiculares. La CML del electrón es de

1.2 * 10-22)?k*+ , y la del neutrino de 6.4 * 10-

23)?k*+ ,; despreciando la fuerza externa por

ser cuerpos de masa muy pequeña: a) Encontrar la magnitud y la dirección de la

CML del Núcleo residual b) Si la masa del núcleo residual es de 5.8 *

10-28 [kg] ¿Cuál es la energía cinética con que retrocede?

12)Una vasija que estaba en reposo (¿que implica que este reposo?) explota rompiéndose en tres fragmentos. Dos de ellos, tienen igual masa y vuelan perpendicularmente entre sí con la

misma rapidez de 30 )*+ ,. El tercer fragmento

tiene tres veces la masa de cada uno de los dos fragmentos anteriores ¿cuál es la dirección y magnitud de su velocidad inmediatamente después de la explosión?

13)Una granada que llevaba una velocidad

constante de 10 )*+ ,. Estalló dividiéndose en

dos fragmentos. El mayor de estos fragmentos, cuyo peso representa el 60 % del peso total de la granada, surgió moviéndose en la misma dirección que antes, pero su velocidad

aumentó hasta 25 )*+ ,. Calcular la velocidad

del fragmento menor. (¿por qué podemos despreciar las fuerzas externas?)

14)El núcleo del isótopo del Torio de masa atómica 227 es reactivo y se descompone en el



isótopo de Radio de masa atómica 223 emitiendo un núcleo de Hielo (partícula alfa, masa atómica 4). Cuando un núcleo de Torio en reposo se desintegra, la velocidad del

núcleo de Helio emitido es de 1.4 * 107)*+ , ¿Cuál es la velocidad de retroceso del núcleo de Radio?

15)Un cañón de 5000 [kg]dispara un proyectil de 100 [kg]; la energía cinética del proyectil al salir del cañón es igual a 7.5 * 106 [J]. ¿Qué energía cinética adquirirá el cañón como causa del retroceso?

16)Un hombre de masa “m” está sentado en la popa de un barco en reposo en un lago. La masa del barco es M= 3m y su longitud es de L = 4 [m]. El hombre se levanta y camina en dirección a la proa. Despreciando la resistencia del agua, determine la distancia que el bote recorre hacia atrás mientras el hombre recorre de popa a proa (compruebe que la fuerza externa en el sistema es nula).

17)Un muchacho que carga una piedra se mueve

a lo largo de una recta sobre una superficie sin fricción montado en un par de mono patines y

con velocidad constante de 5 )*+ ,, si la masa

del muchacho mas los patines y la piedra es de 60 [Kg]. ¿Cuales son la velocidad final y la energía cinética del muchacho, si éste lanza una piedra de 1.5 [kg] de masa a) Hacia adelante, en la dirección que viaja,

con una velocidad de 10 )*+ ,?

b) Hacia atrás con la velocidad de 10 )*+ ,?

c) Hacia un costado de la dirección que viaja,

con una velocidad de 10)*+ ,?

18)Un hombre está parado sobre una tabla de longitud L que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal totalmente lisa, el hombre camina de un extremo al otro de la tabla. ¿Qué distancia recorre el hombre con relación al suelo si la masa de la tabla es la cuarta parte de la masa del hombre?

3.3. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR El teorema que sustenta esta ley es también la segunda ley de Newton pero para las rotaciones, es decir: �� JKJLM+f+JP*L � ∆��+f+JP*L∆�

La condición que imponemos es: �� JKJLM+f+JP*L = 0

Al igual que en el caso anterior esta condición es suficiente y necesaria pues solo en ese caso el numerador es cero: ∆��+f+JP*L = 0 Esto implica que: ��+f+JP*L = �Z��+f+JP*L Es decir que la cantidad de movimiento angular de todo el sistema al final es igual a la cantidad de movimiento angular de todo el sistema al principio.

EJEMPLO 6. Analizar el movimiento de un atleta cuando realiza un salto hacia atrás tal como el indicado en la figura adjunta. El deportista da un salto, se pone de cuclillas y luego vuelve a su posición vertical al llegar a la tierra nuevamente.

SOLUCIÓN. En principio el deportista da un salto hacia atrás comunicando a todo su cuerpo una cierta velocidad inicial, luego se pone de cuclillas con las manos dirigidas hacia atrás esto provoca en su cuerpo una rotación alrededor del eje que pasa por su centro de mas que se encuentra a la



altura del ombligo, es decir, genera una cierta cantidad de movimiento angular alrededor de su centro de masa. Ya llegando hacia el punto más alto de su trayectoria el deportista de pronto se contrae acercando las rodillas hacia la barbilla y las agarra con sus manos esto provoca una disminución de su radio, poco antes era desde el centro de masa hasta la punta de sus pies y hasta la punta de sus manos, luego se reduce pues el radio será desde el centro de masa hasta la altura de su cabeza y a la punta de sus pies que están contraídas ¿en qué influye esta disminución del radio? Pues la cantidad de movimiento angular debería disminuir al disminuir el radio pero por la conservación de la cantidad de movimiento angular la pérdida de radio debe ser compensado por un aumento en la rotación, en la velocidad angular del deportista permitiéndole realizar una voltereta con rapidez. Para llegar al piso, el deportista se expande alargando sus brazos ligeramente hacia adelante y hacia arriba y estirando sus pies, alargando el radio y perdiendo velocidad angular debido a la conservación de la cantidad de movimiento angular, eso le permite un aterrizaje suave.


1) ¿Cuál es la ley dinámica que nos permite establecer la LCCMA?

2) Demostrar matemáticamente la LCCMA 3) Cuál es la condición necesaria y suficiente

para que en un sistema físico se pueda aplicar la LCCMA

4) Puede un cuerpo tener energía mecánica sin tener CMA? ¿por qué? ¿y podrá tener energía cinética sin tener CMA? ¿por qué?

5) Puede un cuerpo tener CMA sin tener energía mecánica? ¿por qué?

6) Analizar el movimiento de los atletas de patinaje artístico cuando realizan la figura llamada trompo. � Consolidación práctica.

7) Una barra de masa despreciable y de 1 [m] de largo sostiene en sus extremos esferas de 6 [kg] y 5 [kg]. El sistema gira alrededor del centro de la barra en un plano horizontal, de tal manera que cada esfera en su posición tiene

una velocidad de 8 )*+ ,, calcular la velocidad

del las esferas cuando cada una de ellas sean movidas 25 [cm] hacia el centro de la barra.

8) Sobre una mesa sin fricción, una esfera de 25 [g] gira en un círculo de 40 [cm] de radio atada por una cuerda que pasa por un orificio en el centro de la cuerda. La velocidad angular con

que rota la esfera es de 2 )QLh+ ,. Se jala de la

cuerda de tal manera que se acorta el radio con que gira la esfera a 15 [cm]. a) Calcular la nueva velocidad angular de la

esfera. b) ¿Cuál es el cambio de la energía cinética

de la esfera? c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda en cada

caso? 3.4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA .

Para poder definir la ley de conservación de la energía mecánica vamos a recurrir al teorema entre la energía mecánica y el trabajo de las fuerzas disipativas:



��OPQgL+��ICA��C� � ∆t+f+JP*L En este caso la condición necesaria y suficiente es más sencilla puesto para que “delta E” sea cero basta con que: ��OPQgL+��ICA��C� � 0 Con esta condición obtenemos lo deseado: ∆t+f+JP*L � 0 Al igual que en los dos casos anteriores esto implica que: t+f+JP*L � tZ+f+JP*L Es decir que la cantidad de energía mecánica de todo el sistema al final es igual a la cantidad de energía mecánica de todo el sistema al principio.

EJEMPLO 7. Las dos esferas (cuentas) pueden deslizar, sin fricción, por las correderas inclinadas que luego terminan en tramos horizontales. Las cuentas, de 500 [g] de masa, parten del reposo en el punto marcado como inicial donde el resorte mide 10 [cm]. Calcular la velocidad que tienen cuando salen por las correderas horizontales cuando el resorte mide 6 [cm], longitud que coincide con su longitud natural, considere

que la constante elástica del resorte es de 2000 )*̀, SOLUCIÓN. Como las correderas no presentan fricción podemos recurrir a la ley de la conservación de la energía mecánica.

La energía mecánica al principio será la suma de la energía potencial de la cuenta superior y la energía potencial del resorte ya que en esta posición está estirado 4 [cm] = 0.04 [m] (no olvidemos que su longitud sin deformarse es de 6 [cm]). La energía mecánica al final será la suma de las energías cinéticas de cada una de las cuentas y la energía potencial de cada una de las cuentas. Lo anterior escribimos en la siguiente ecuación: ��# _ 12�S� � 12�X� _ 12�X� _ ��#d _ ��#�

Reemplazando valores tenemos: 60.5869.8860.18 _ 12 62000860.048� �

� 12 60.58X� _ 12 60.58X� _ 60.5869.8860.028 _ 60.5869.8860.088 0.49 _ 1.6 � 60.258X� _ 60.258X� _ 60.0988 _ 60.3928 2.09 � 60.58X� _ 0.49X � 1.79 )�� ,

� Consolidación teórica 1) ¿De qué ley dinámica podemos deducir la

LCE? 2) Demostrar matemáticamente la LCE 3) ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente

para que en un sistema físico se pueda aplicar la LCE?

4) Aparte de las energías cinética y potencial mencione otras formas de energía.

5) Indique los cambios de energía que se producen cuando: a) Una piedra cae libremente desperdiciando

la resistencia del aire b) Un sistema masa - resorte oscila

inicial

final

inicial

final

10 [c

m]

6 [c

m]

Ref



horizontalmente sobre una superficie totalmente lisa.

c) Un sistema masa - resorte oscila verticalmente, despreciando la resistencia del aire.

� Consolidación práctica. 6) Dos bloques de 2 [kg] y 4 [kg] están sobre una

superficie horizontal sin fricción, de tal manera que se encuentran comprimiendo un resorte entre ambos sin que éste esté adherido a los cuerpos. Se libera el sistema y el bloque de mayor masa sale disparado con una

velocidad de 0.5 )*+ ,; calcular la velocidad del

otro bloque y determinar la energía potencial del resorte antes de liberar el sistema.

7) Una pelota describe la trayectoria de una circunferencia vertical atada a un extremo de una cuerda con velocidad variable. Si despreciamos todas las fuerzas de roce, demuestre que la tensión en la cuerda en la parte más baja es mayor que en punto más alto en seis veces el peso de la pelota.

8) Se deja caer un bloque de 0.5 [kg] a partir del reposo desde un punto que está a una altura de 2.45 [m] directamente arriba de la parte más elevada de un resorte vertical que tiene una constante de 400[N/m]. Calcular la máxima compresión del resorte.

9) Una bola de masa “m” resbala por el riel totalmente liso que tiene la forma de un rizo que se muestra en la figura, si el radio del círculo es R y la bola parte del reposo en el punto A.

10)Determinar la fuerza que ejerce el riel sobre la bola en función dela masa de la bola, la altura h del punto A y del ángulo θ que forma la vertical con un radio cualquiera entre los puntos B y C, a) Calcular la fuerza normal en los puntos B,

C y D para una altura de 4 [m], un radio de 2 [m] y 300 [g] de masa para la bola.

b) Calcular la altura mínima desde la que debe soltarse la bola para que este pueda seguir toda la trayectoria del rizo.

c) Tomando en cuenta la altura calculada en el inicio C ¿Cuál es la fuerza normal en el punto E que se encuentra a 45° del punto D?

11)Una esfera de 500 [g] de la masa se libera desde el reposo a una altura de 1 [m] y resbala hacia abajo a lo largo del carril totalmente liso. En la parte inferior del carril la esfera choca contra un resorte de 500 [N/m] de elasticidad. Calcular la máxima deformación que sufre el resorte.

12)El péndulo mostrado en la figura, se suelta desde el reposo cuando el hilo está en posición horizontal, cuando llega al punto más bajo de su trayectoria, el hilo es forzado a reducir el círculo de acción debido a que choca con el clavo que está a una distancia d por debajo del punto de suspensión del hilo. Determinar, en función de L (la longitud del hilo), la distancia mínima a la que se debe colocar el clavo de tal manera que el péndulo pueda completar toda la vuelta con su nuevo centro en el clavo.

13)Una esfera se encuentra en la cúspide de un hemisferio totalmente liso, la esfera parte del reposo en este punto y resbala por el hemisferio hasta abandonarlo en el punto indicado. Si el radio del hemisferio es R: a) Calcular, en función del radio del

hemisferio, la altura a la cual lo abandona. b) ¿Cuánto vale el ángulo theta en ese

instante? c) Si la masa de la esfera es de 150[g] ¿cuál

es la fuerza con la que el hemisferio la soporta cuando el ángulo theta sea de 60°?



14)La esfera de 3 [kg] está

sujeta a un resorte mediante una cuerda inextensible que pasa por una polea sin fricción. La esfera es liberada desde el reposo en el instante en que el resorte no está estirado ni comprimido; si la esfera cae una distancia de 10 [cm] hasta quedar nuevamente en reposo. Calcular: a) La constante elástica del resorte. b) La velocidad de la esfera en el instante en

que se encuentre a 5 [cm] de su punto de partida.

c) Exprese la velocidad en función de “y”, donde “y” es la distancia que cae la esfera desde su punto de partida.

d) Construir la gráfica de la energía cinética de la esfera en función de la distancia cae.

15)Un juguete consta de una figura de plástico de 100 [g] y un resorte. El juguete comprime el resorte 4 [cm] y luego se lo deja en libertad, elevándose una altura máxima de 120[cm]. Calcular:

16)La constante elástica del resorte.

17)La velocidad con que el juguete abandona el resorte.

18)¿Cuál será la máxima altura y el máximo alcance que logre si el juguete sale disparado con un ángulo de 60° sobre la horizontal?

19)En la figura que se indica el plano inclinado donde descansa, el bloque de 2 [kg] es liso y tiene un ángulo de 37° con la horizontal, el bloque es liberado a partir del reposo con el resorte (k =

100)*̀,) inicialmente no estirado.

a) Describir las transformaciones de energía que ocurren durante el descenso del bloque.

b) ¿Cuánto se desplaza hacia abajo del plano inclinado antes de quedar en reposo?

c) ¿Cuál es la aceleración del bloque al llegar a su punto más bajo?, ¿es constante esta aceleración?

20)Al carrito de una montaña rusa se le imprime una velocidad inicial v0 a una altura h, como se ve en la figura. El radio de curvatura del carril totalmente liso en el punto A es R. a) Obtenga el valor máximo de v0 necesario

para el carrito no se salga del carril en el punto A.

b) Aplicado el valor de v0 que se calculó en el inciso a, determinar el valor de H para que el carrito llegue al punto B sin velocidad.

c) Obtenga valores numéricos a los anteriores incisos, tomando los siguientes datos; h = 12 [m], R = 5 [m].

21)Si el punto más bajo de la trayectoria se encuentra a 1 [m] del piso y tiene un radio de curvatura de 3 [m] ¿cuál es la fuerza que ejerce el carril sobre el carrito en ese punto?



22)Un carro de 100 [kg] parte del reposo desde un punto a 40 [m] sobre el piso, tal como se indica en la figura, baja por la trayectoria curvilínea sin fricción. Determinar: a) La fuerza ejercida por la pista en el punto

más bajo de su trayectoria donde el radio de curvatura es de 20 [m].

b) El valor mínimo del radio de seguridad para la siguiente curva ubicada a 10 [m] sobre el piso.

c) Si el radio de la curva mencionada se incrementa en un 50 % de su valor mínimo de seguridad ¿cuál es la fuerza que ejerce la pista sobre el carro?

23)Un resorte es comprimido 10

[cm] por una esfera de 100 [g]. Se libera la esfera para que describa la trayectoria A, B, C, D, E, sin fricción. Calcular el mínimo valor posible de la constante elástica del resorte, para que la trayectoria referida sea posible. Adopte los valores AB = 40 [cm] y BD = 20 [cm]. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el carril sobre la esfera cuando se encuentre a la mitad de la trayectoria BC.

24)Un pistón de 2 [kg] se mueve sin fricción a lo

largo de un eje vertical como se indica en la figura. El resorte ligado al pistón tiene una longitud de 4 [cm] cuando no está deformado

y su constante elástica es de 30 )*̀,. Si el

cuerpo es abandonado en el punto 1 desde el reposo, calcular la velocidad del pistón en el punto 2, después de un recorrido de 6 [cm] hacia abajo del eje.

25)Un collar de 4 [kg] de masa está unido a un

resorte y resbala sin rozamiento a lo largo de una barra circular de 12 [cm] de radio que descansa sobre una superficie horizontal. El

resorte tiene una constante de 2304 )*̀, y no

está deformado cuando el collar ocupa la posición indicada con el punto B. Si la distancia OA es de 5 [cm] y la velocidad del collar en el punto B debe ser el doble de la que tiene en el punto D, calcular sus velocidades en los puntos D, C y B. Los puntos B, A, O y D son colineales y el punto C es perpendicular a OD.

3.5. L EYES FUNDAMENTALES Y PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN .

Las tres leyes analizadas: �� ABACD��AG�C � ∆R��AG�C∆J ,�� ABACD��AG�C � ∆��AG�C∆J y��OPQgL+��ICA��C� � ∆t+f+JP*L

Son un conjunto de ecuaciones fundamentales de la mecánica que nos proporcionan información acerca del transcurso detallado del proceso físico, por ejemplo, si conocemos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y también sus condiciones iniciales (posición inicial, velocidad inicial y el tiempo de partida) podemos hallar las ecuaciones del movimiento, determinar su trayectoria, la magnitud y dirección de su velocidad en cualquier instante de tiempo, etc. En cambio las tres leyes de conservación: ��+f+JP*L � �Z��+f+JP*L, ��+f+JP*L � �Z��+f+JP*L y t+f+JP*L � tZ+f+JP*L No nos proporcionan la información anterior, sólo nos indican qué procesos son imposibles y, en



consecuencia, no son procesos naturales o no existen en la realidad. Esto nos permite afirmar que las leyes de conservación se nos presentan en la física más bien como principios de imposibilidad: Todo fenómeno con el que no se cumpla aunque no sea más que una de las leyes de conservación, es imposible que se presente en la naturaleza. En cambio, todo fenómeno que no viole ninguna de las leyes de conservación, puede, en principio, ocurrir en la naturaleza. Analicemos lo expuesto a través de un problema ya resuelto. Nos planteamos la siguiente pregunta ¿Si un cuerpo en reposo necesita energía cinética para ser movido puede tomar esa energía de la energía potencial de sus átomos (energía interna) y convertirla en cinética? Es evidente que este proceso es imposible (de hecho nunca lo hemos visto en la naturaleza) ya que contradice la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal ya que al no haber fuerza externa la cantidad de movimiento debería conservarse, es decir era cero al principio y debería ser cero al final, pero si se moviera la cantidad de movimiento final sería mayor a la inicial. Esto nos lleva a otra respuesta: la energía interna del cuerpo no puede convertirse en energía cinética si el cuerpo no sufre un proceso de fragmentación, esto porque los fragmentos creados pueden moverse de modo que su centro de masa quede en reposo que es precisamente lo que exige la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal. De esta manera, al cumplirse al menos una del las leyes de conservación (la de la cantidad de movimiento lineal) este fenómeno es posible y ocurre en la naturaleza. Si bien las leyes de conservación son obtenidas como consecuencia de tres leyes fundamentales de la mecánica, son aplicables a toda la física, es decir, tienen un carácter universal puesto que están presentes en los fenómenos electromagnéticos, en los procesos nucleares de interacción de partículas elementales y la formación de partículas elementales, donde las leyes de Newton ya no son aplicables pero sí las leyes de conservación. Esto nos hace pensar que las leyes de conservación tienen principios más generales que los expuestos en este texto. Estos principios sí existen y son los principios de homogeneidad del espacio – tiempo y de la isotropía del espacio de la manera siguiente: La homogeneidad del espacio genera la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal. La isotropía del espacio genera la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular. La homogeneidad del tiempo genera la ley de conservación de la energía. El análisis de estos principios generales y sus consecuencias en leyes de conservación universales en la física están fuera del alcance del presente texto pero saber que estas leyes provienen de principios tan generales nos permite adquirir más confianza en ellas y de su gran importancia en el campo de la física.


CAPÍTULO 4:COLISIONES

Contenido Orientaciones metodológicas Definición de una colisión. Definir una colisión microscópica y microscópicamente

Clases de colisiones. Diferenciar las formas de impacto Diferencias de formas de colisión por la energía que en ellas intervienen

Conservación de la cantidad de movimiento lineal en las colisiones.

Decir por qué se conserva la cantidad de movimiento lineal en una colisión

Newton ¡cuando no! Definir el coeficiente de restitución Demostrar la reacción matemática del coeficiente de restitución

¿Y cómo medimos el coeficiente de restitución?

Resolver situaciones problemas planteadas en diferentes contextos. Valorar la utilidad del estudio de las colisiones investigando en Internet su uso en la vida cotidiana y en otros campos del conocimiento científico y técnico.

Colisiones


4.1. DEFINICIÓN DE UNA COLISIÓN . Normalmente se define la colisión como el contacto que se produce entre dos cuerpos que se mueven uno al encuentro del otro, esta definición la podemos usar como una primera aproximación macroscópica. Pero, en definitiva, lo que ocurre a nivel microscópico es que los cuerpos nunca llegan a estar en contacto íntimo sino que existe una etapa de aproximación (figura de arriba) luego una máxima deformación (figura del centro) y finalmente la etapa de la restitución de los cuerpos o de separación (figura de abajo), la restitución no siempre se logra en un 100%, es decir, normalmente los cuerpos no son idénticos luego de una colisión. La deformación en una colisión y la posible restitución tienen su causa en las fuerzas de interacción a nivel atómico, es decir, son las fuerzas que se presentan entre los átomos de las superficies de los cuerpos que interactúan.

4.2. CLASES DE COLISIONES

Las colisiones se pueden clasificar de dos maneras: por la forma que colisionan y por la energía que en ellas interviene o el grado de restitución que presentan. Por la forma en que los cuerpos colisionan podemos identificar dos colisiones, la central y la oblicua. Una colisión es central si los centros de masa de los cuerpos que colisionan y el punto macroscópico de contacto son colineales, estas condiciones pueden darse en una sola dirección (directas) o en dos direcciones (bidimensionales) tal como vemos en la figura. Una colisión será oblicua cuando estos tres puntos no son colineales, por ejemplo el golpe de una pelota con el bate, es decir, en esta colisión oblicua no existe una sola línea de impacto o de choque. Ya sea que la colisión sea central u oblicua, puede ser elástica, semielástica (semiplástica) o inelástica (plástica) esta clasificación se debe a la cantidad de energía que se pierde en la colisión, o también al grado de restitución que los cuerpos presentan luego de la colisión. Una colisión es elástica cuando no hay pérdida de energía cinética durante la colisión o también cuando se produce el 100% de restitución. Será semielástica cuando hay pérdida de energía cinética, o, cuando la restitución sea menor al 100 % Finalmente una colisión será plástica o inelástica cuando no exista restitución, la restitución es del 0 %. Esta colisión se denomina así porque una vez que colisionan los cuerpos viajan juntos, es decir como si fuesen una sola masa, razón por la cual se llama también reacción de captura. ��s��{��sT��T ��{��Ts��s�rzT

��s��{��sT{�{��íT��sT�{��Tr�ó� � tsá��rT�{��{sá��rT��{sá��rT

4.3. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL EN LAS

COLISIONES . La deformación que sufren los cuerpos al chocar, es debida a fuerzas que son internas al sistema formado por los cuerpos, por lo tanto dentro del sistema se anulan por la tercera ley de Newton, pero



no por esto las fuerzas externas serán cero, pero debido al corto intervalo de tiempo que dura una colisión y a que las fuerzas internas son mucho mas intensas que las externas, podemos considerar que la fuerza total externa sobre el sistema es nula, por lo tanto se pueda aplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal de los cuerpos. La nomenclatura que adoptamos para las velocidades de los cuerpos en una colisión será de v (velocidad sin prima) para antes del choque y v’ (velocidad con prima) para después del choque; con esta nomenclatura podemos escribir la ley mencionada de la siguiente manera:

w�fX��fxvfxd � w �fX��fx*

fxd

Donde el subíndice i barre desde la primera masa que colisiona hasta la última, para el caso concreto en que sean solo dos masas las que colacionan tendremos: �dXd�� _ ��X�� dXd�� _ ��X�� Se debe tener muy en cuenta el carácter vectorial de estas ecuaciones.

EJEMPLO 8. Dos bolas viajan sobre una superficie horizontal en una misma dirección pero en sentidos contrarios, la que va de izquierda a

derecha lleva una velocidad constante de 3 )*+ , y la que viaja en

sentido contrario tiene una rapidez constante de 4 )*+ ,, calcular

las velocidades que tendrán luego de chocar, considere que ambas bolas tienen la misma masa.

SOLUCIÓN. El dibujo muestra la situación planteada en el problema antes de la colisión, identificamos a la bola da la izquierda como uno y a la de la derecha como dos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento lineal nos permite escribir: �dXd�� _ ��X�� dXd�� _ ��X�� Como �d � �� , tenemos que�Xd�� _ �X�� Xd�� _ �X��donde podemos eliminar las masas: Xd�� _X�� Xd�� _X�� Las velocidades antes del choque son en el eje x por lo que tenemos: 3 Y 4 � Xd�� _ X�� Esta es una ecuación con dos incógnitas, las velocidades después de la colisión, como no podemos resolverla podemos medir la velocidad de una de las masas después del choque, observamos que la bola dos después de la colisión rebota y avanza 90 [cm] en 1 [s], es decir tiene

una velocidad de 0.9 )*+ , en dirección contraria a la que tenía

originalmente, por lo tanto la ecuación se convierte en: Y1 � Xd�� _ 0.9

Dándonos para la velocidad de la primera bola – 1.9 )*+ ,, el signo

negativo nos indica que ahora la primera bola viaja de derecha a izquierda.

EJEMPLO 9.

3 )*+ , 4 )*+ ,

Colisiones


Dos bolas viajan sobre una superficie horizontal en dos direcciones, la que va de izquierda a derecha lleva una

velocidad constante de 3 )*+ , y la otra una rapidez

constante de 4 )*+ ,, calcular las velocidades que tendrán

luego de chocar, considere que ambas bolas tienen la misma masa.

SOLUCIÓN. El dibujo con las esferas sólidas muestra la situación planteada en el problema antes de la colisión y con las esferas transparentes en el momento de la colisión, también indicamos los ejes x y y de la colisión. El eje x es donde se produce la deformación y la restauración de la colisión, es decir es el eje donde actúan las fuerzas de la colisión, esas que deforman a los cuerpos y que las que las restituyen, por lo tanto en ese eje podemos aplicar la ley de conservación lineal para todo el sistema. En el eje y no hay deformación porque no es la línea de choque (es decir, la línea que une los centros de masa y el punto macroscópico de contacto); por lo tanto en este eje no actúan fuerzas durante la colisión por lo que no es necesario aplicar la ley de conservación lineal a todo el sistema, pero sí podemos aplicar a cada una de las masas. Si identificamos a la bola da la izquierda como uno y a la de la derecha como dos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento lineal en la línea de colisión nos permite escribir: �dXd\ _ ��X�\ � �dXd\� _ ��X�\� Como �d � �� , tenemos que�Xd\ _ �X�\ � �Xd\� _�X�\� donde podemos eliminar las masas: Xd\ _X�\ �Xd\� _X�\� Reemplazando las velocidades antes del choque tenemos: 0 _ 4 � Xd\� _X�\� Para el eje y tenemos que aplicar la CCML para cada masa entonces: �dXd� � �dXd�� → Xd� �Xd�� X�� X�� → X�� X�� Reemplazando valores tenemos: 3 � Xd�� 0 � X�� Hemos llegado a un sistema de tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Para resolver este problema necesitamos medir por lo menos uno de los parámetros finales de la colisión relacionados con la dirección del choque, es decir con el eje x. Para poder completar el conjunto de ecuaciones Newton introdujo un nuevo concepto.

4.4. NEWTON ¡CUANDO NO !

De manera totalmente empírica Newton definió la ecuación del coeficiente de restitución, es decir la capacidad que tienen los cuerpos para restituirse luego de la colisión, esta ecuación la define en función a las velocidades relativas de los cuerpos después de la colisión respecto a la velocidad relativa

3 ms

4 ms

x y



antes de la colisión, es decir: { � YXd\� YX�\�Xd\ YX�\

En esta ecuación la letra e representa el coeficiente de restitución cuyo valor está entre 0 y 1, también vemos que las velocidades tienen los subíndices x esto debido a que solo debemos tomar en cuenta las componentes de la velocidad a lo largo de la línea de choque a la cual asignaremos el “eje x”.Con este nuevo concepto atacaremos nuevamente los dos ejemplos anteriores.

EJEMPLO 10. Dos bolas viajan sobre una superficie horizontal en una misma dirección pero en sentidos contrarios, la que va de izquierda a

derecha lleva una velocidad constante de 3 )*+ , y la que viaja en

sentido contrario tiene una rapidez constante de 4 )*+ ,, calcular

las velocidades que tendrán luego de chocar, considere que ambas bolas tienen la misma masa y que el coeficiente de restitución es de 0.4.

SOLUCIÓN El dibujo muestra la situación planteada en el problema antes de la colisión, identificamos a la bola da la izquierda como uno y a la de la derecha como dos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento lineal nos permite escribir: 3 Y 4 � Xd� _X�� La ecuación del coeficiente de restitución será: { � YXd\� YX�\�Xd\ YX�\ � Y Xd� YX��3 Y6Y48 � YXd� YX��7 ⇒ 2.8 � YXd� _X�� Resolviendo ambas ecuaciones tenemos: X�� 0.9 )�� , oXd� � Y1.9 )�� , Los signos nos indican que después del choque la primera bola viaja hacia la izquierda y la segunda hacia la derecha, es decir que la colisión no solo cambia la magnitud de sus velocidades sino también el sentido que tienen obligándolas al rebote. Podemos calcular la pérdida de energía cinética mediante: ∆tN � tNa Y tNZ � 12�dXd�� _ 12��X��¡ Y 12�dXd� _ 12��X��¡

∆tN � 12�6Y1.98� _ 12�60.98�¡ Y 12�638� _ 12�6Y48�¡ ∆tN � 62.21�8 Y 612.5�8 � Y10.29� También podemos calcular el porcentaje de pérdida de energía cinética mediante la relación: %∆tN � ∆tNtNZ 100 � Y10.29�12.5� 100 � Y82.32%

Es evidente que el signo negativo nos indica que hay pérdida de energía cinética. Podemos notar que hay una gran pérdida de energía cinética debido a la colisión, por eso es que las velocidades finales son pequeñas respecto a las que tenían inicialmente.

EJEMPLO 11.

3 ms 4

ms

Colisiones


Dos bolas viajan sobre una superficie horizontal en dos direcciones, la que va de izquierda a derecha lleva una

velocidad constante de 3 )*+ , y la otra una rapidez

constante de 4 )*+ ,, calcular las velocidades que tendrán

luego de chocar, considere que ambas bolas tienen la misma masa y que el coeficiente de restitución de ambas masas es de 0.8.

SOLUCIÓN. El dibujo con las esferas sólidas muestra la situación planteada en el problema antes de la colisión y con las esferas transparentes en el momento de la colisión, también indicamos los ejes x y y de la colisión. Si identificamos a la bola da la izquierda como uno y a la de la derecha como dos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento lineal en la línea de colisión nos permite escribir: �dXd\ _ ��X�\ � �dXd\� _ ��X�\� Como �d � �� , tenemos que �Xd\ _ �X�\ � �Xd\� _ �X�\� donde podemos eliminar las masas: Xd\ _X�\ �Xd\� _X�\� Reemplazando las velocidades antes del choque tenemos: 0 _ 4 � Xd\� _X�\� Para el eje y tenemos que aplicar la CCML para cada masa entonces: �dXd� � �dXd�� → Xd� �Xd�� X�� X�� → X�� X�� Reemplazando valores tenemos: 3 � Xd�� 0 � X�� Aplicando el coeficiente de restitución en la dirección de la línea de choque tenemos: { � YXd\� YX�\�Xd\ YX�\ � YXd\� YX�\�0 Y648 � YXd\� YX�\�Y4 3.2 � YXd\� _X�\� Resolviendo las ecuaciones tenemos: Xd\� � 3.6 )�� , X�\� � 0.4 )�� , Xd�� 3 )�� , X�� 0 )�� , Calculamos sus magnitudes y sus direcciones dándonos: Xd� � �63.68� _ 638� � 4.67 )�� , nd � tanVd 33.6¡ � 39°48′

X�� 60.48� _ 608� � 0.4 )�� ,n� � tanVd 00.4¡ � 0°

3 ms

4 ms

x y



4.5. ¿Y CÓMO MEDIMOS EL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN ?

Si la velocidad de los cuerpos que entran en colisión no varía entre límites muy grandes, entonces el coeficiente de restitución depende solamente de la clase de materiales de los cuerpos que colisionan, el experimento para medir este coeficiente de restitución podemos realizarlo de la siguiente manera, elegimos una esfera del material que queremos experimentar, supongamos acero, la soltamos desde cierta altura sobre una plancha inmóvil del otro material que queremos experimentar,

supongamos también acero (acero contra acero), luego de la caída de la esfera chocará contra la plancha y la esfera rebotará alcanzando una determinada altura, midiendo ambas alturas podemos determinar el coeficiente de restitución. Durante la caída la esfera adquiere velocidad, llegando a chocar contra la plancha con una velocidad deY�2�#, el signo menos se debe a que consideramos el eje y positivo hacia arriba, una vez que entra en contacto macroscópico con la plancha, la esfera se deforma convirtiendo la energía cinética que tenía en energía potencial interna de la esfera deformada, luego comienza a restituirse convirtiendo su energía potencial interna en energía cinética terminando la colisión con una velocidad dirigida hacia arriba que le permitirá alcanzar una determinada altura, esa velocidad estará dada por �2�#�que es positiva porque su sentido es vertical hacia arriba y hache prima es la altura máxima que alcanza después de la colisión. Si asignamos a la esfera el cuerpo 1 y a la plancha el cuerpo 2, el coeficiente de restitución podemos escribirlo como:

{ � YXd\� YX�\�Xd\ YX�\ � Y �2�#� Y 0Y�2�# Y608 � ¤#�#

Por lo tanto midiendo la altura desde la que dejamos caer la esfera y la altura que alcanza luego del rebote podemos calcular el coeficiente de restitución, si hacemos el experimento con acero sobre acero, soltando la esfera desde 1 [m], medimos que la altura que alcanza luego del rebote es de 0.31 [m], introduciendo estos datos obtenemos:

{ � ¤#�# � ¤0.311 � 0.56

La tabla presenta algunos coeficientes de restitución, vemos que el más alto que indicamos es la colisión entre vidrio y vidrio que es de 0.94, teóricamente el máximo valor que se puede hallar es de 1, es decir cuando no haya pérdida de energía cinética en la colisión, porque en este caso la esfera rebotaría hasta una altura igual a la que ha sido soltada, y el menor valor sería cero, esto

corresponde a una colisión plástica, es decir, cuando la esfera quede pegada a la plancha y no rebote lo que implica que su velocidad después de la colisión sea cero, por lo tanto podemos decir que:

Materiales que colisionan e Madera contra madera 0.5

Acero contra acero 0.56 Marfil contra marfil 0.89 Vidrio contra vidrio 0.94

Colisiones


e = 1 colisión elástica

0 < e < 1 colisión semielástica

0 colisión plástica

� Consolidación teórica-

1) ¿Qué es una colisión? 2) Cuál de las leyes de conservación siempre se

cumple en las colisiones y ¿por qué? 3) ¿Cuál es la diferencia entre un choque central

y un oblicuo? 4) Cuál es la diferencia entre choques elásticos,

parcialmente elásticos y choques plásticos o inelásticos?

5) ¿Cuál es el comportamiento final de dos masas iguales con velocidades iniciales diferentes en un choque totalmente elástico?

6) ¿Cuál es el comportamiento de dos masas diferentes en un choque totalmente elástico cuando una de ellas está inicialmente en reposo?

7) Si en el caso del problema 6, ambos cuerpos tienen igual masa ¿Cuál es el comportamiento final del sistema?

8) Si en el caso del problema 6, la masa del cuerpo en reposo es mucho mayor a la masa del cuerpo incidente ¿Cuál es el comportamiento final del sistema? De un ejemplo concreto de esta situación.

9) Si en el caso del problema 6, la masa del cuerpo en reposo en reposo es mucho menor que la masa del cuerpo incidente, ¿Cuál es el comportamiento final del sistema? De un ejemplo concreto � Consolidación práctica.

10)Un cuerpo de 2 [kg] choca elásticamente contra otro cuerpo que está en reposo, después de ello continua moviéndose en su dirección original pero con un cuarto de su rapidez inicial ¿Cuál es la masa del cuerpo con el que chocó?

11)Una masa de 3 [kg] que se mueve al principio

a lo largo del eje x con una rapidez de 8 )*+ , realiza un choque perfectamente inelástico y de frente con una masa de 5 [kg] que está inicialmente en reposo. a) Calcule la velocidad final de la partícula

compuesta.

b) ¿Cuánta energía se pierde en el choque? 12)Un meteorito de 2000 [kg] tiene una rapidez

de 80 )*+ , precisamente antes de chocar de

frente con la tierra. Determine la rapidez de retroceso de la tierra cuya masa es de 5.98 *1024 [kg]. Observe que en este caso la colisión es plástica

13)Un automóvil de 1200 [kg] que inicialmente

viaja con una rapidez de 27 )?*@ , hacia el este,

choca contra la parte posterior de un camión de 9000 [kg] que se mueve en la misma

dirección a 22 )?*@ ,. La velocidad del

automóvil en el instante posteriormente al

choque es de 20 )?*@ , hacia el este.

a) ¿Cuál es la velocidad del camión en el instante inmediatamente posterior al choque?

b) ¿Cuánta energía mecánica se pierde en el choque?

c) ¿Cómo explica esta pérdida de energía? 14)Una esfera de 3 [kg] efectúa un choque

perfectamente inelástico contra otra esfera que está inicialmente en reposo. El sistema compuesto se mueve con una rapidez igual a la tercera parte de la que tenía la esfera de 3 [kg] ¿Cuál es la masa de la segunda esfera?

15)Un carro de ferrocarril de 2 * 104 [kg] se

mueve con una rapidez de 15 )*+ ,, choca y se

acopla a otros tres carros ya acoplados, cada uno con la misma masa que del primero y que se mueven en la misma dirección con una

rapidez de 12 )*+ ,. Calcular la rapidez de los

cuatro carros después del choque y la pérdida de energía en la colisión.

16)Un neutrón que se encuentra en un reactor realiza un choque elástico frontal contra el núcleo de un átomo de C que está inicialmente en reposo. a) ¿Qué fracción de la energía cinética del

neutro se transfiere al núcleo C? b) Si la energía cinética inicial del neutrón es



de 1 [MeV] = 1.6 * 10-13 [J], halle su energía cinética final y la energía del núcleo de C después del choque (la masa del núcleo de C es 12 veces la masa del neutrón).

17)Un jugador de fútbol americano de 90 [kg] que corre hacia el norte con una rapidez de 9 )*+ , es detenido por otro jugador oponente de

120 [kg] que corre hacia el sur con una

velocidad de 3 )*+ ,. Si se supone que el choque

es perfectamente inelástico y frontal: a) ¿Cuál es la velocidad de los jugadores

después de la colisión? b) Determine la energía perdida como

consecuencia de la colisión c) Explique, ¿qué sucedió con la energía

faltante? 18)Un bloque de 19.6 [kg] tiene una energía

cinética de 2500 [J] y choca contra el bloque de 9.8 [kg] que está en reposo. Si el coeficiente de restitución es de 0.5 determina la pérdida total de energía cinética durante el choque.

19)Una partícula de masa “m” choca con otra de masa desconocida Ambas partículas tiene una velocidad “v” pero en sentidos contrarios antes del choque. Después del choque la masa desconocida queda en reposo. Si el choque es frontal y el coeficiente de restitución es “e”, hallar ; a) La masa desconocida b) La velocidad de la masa “m” después del

choque c) El porcentaje de pérdida de energía

20)El péndulo balístico es usado para determinar la velocidad de una bala midiendo la altura h a la que el bloque se eleva después que la bala se incrustó en él. Qué velocidad tendrá la bala en función de su masa (m) la masa de bloque (M) y la altura h que sube el bloque luego de la colisión plástica.

21)Se dispara una bala de 8 [g] hacia un péndulo balístico de 2.5 [kg] y queda empotrada en él.

Si el péndulo se eleva una distancia vertical de 6 [cm] a) Calcular la rapidez inicial de la bala b) Si el hilo del péndulo tiene una longitud

de 1 [m] ¿Cuál es el ángulo que desvía el péndulo respecto a la vertical?

22)Dos esferas tienen inicialmente las velocidades que se indican en la figura. Calcular sus velocidades después del choque y el porcentaje de pérdida de energía cinética si el coeficiente de restitución es de 0.5

23)Al bloque A de 23 [kg] se le imprime una

velocidad inicial de 6 )*+ , cuando está a 3 [m]

del bloque B de 9.2 [kg] chocando finalmente con este Determinan la distancia que recorrerá el bloque B hasta detenerse, si el coeficiente de roce cinético entre los bloques y la superficie horizontal es de 0.1 y el coeficiente de restitución de 0.9

24)El bloque de 5 [kg] de la figura descansa sobre

un plana liso, una bala de 30 [g] choca contra

él con una velocidad de 950 )*+ , incrustándose. Calcular la longitud que se comprime el resorte para detener el bloque. El

resortetiene una constante elástica de 7 )*̀,.

Colisiones


25)Como se muestra en la figura, dos esferas están suspendidas mediante cuerdas. Si la esfera de la izquierda que es de 2.5 [kg] y cuelga de un hilo de 1.2 [m] de longitud se suelta desde el reposo cuando forma un ángulo de 90° con la vertical para que choque en el punto más bajo de su trayectoria con la esfera de la derecha que se encuentra en reposo y cuelga de un hilo de 1.8 [m] de longitud, siendo su masa de 4 [kg] y e = 0.9 determinar: a) La velocidad de cada esfera

inmediatamente después del choque b) La máxima altura que alcanza cada esfera

luego de la colisión 26)Tres esferas se mueven sobre una superficie

horizontal en la forma que se indica en la figura y al chocar las tres en un punto continúan moviéndose como una sola masa.La que se mueve hacia la derecha tiene una masa

de 2 [kg] y una velocidad de 4 )*+ ,, la que se

mueve hacia abajo tiene una masa de 1 [kg] y

una velocidad de 5 )*+ ,, la tercera tiene una

masa de 5 [kg] y su velocidad es de 8 )*+ , formando un ángulo de 37° con la velocidad de la segunda. Calcular: a) La velocidad de la masa combinada

inmediatamente después del choque b) La pérdida de energía cinética en el

sistema.

27)Desde una altura de 1.225 [m] se deja caer una

bola de 500 [g] sobre una placa de 2 [kg] que está sostenida por un resorte de constante

elástica de 192.08 )*̀,. Se observa que la

plancha se desplaza 15 [cm] verticalmente hacia abajo (hundiendo al resorte), determinar el coeficiente desertización para estos dos objetos y la altura máxima a la que rebota la bola después del choque.

28)En bloque de la figura es de 8 [kg] y descansa sobre una superficie horizontal. La esfera de 2 [kg] es levantada a 80 [cm] de altura desde el piso y se la suelta para que golpee al bloque. El choque entre los cuerpos se produce cuando la cuerda que sostiene la esfera está totalmente vertical. Si el coeficiente de restitución entre la esfera y el bloque es de 0.6 y el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano horizontal es de 0.2, determinar: a) En qué tiempo se detendrá el bloque

después de la colisión. b) ¿Con qué velocidad y en qué dirección se

mueve la esfera después del choque? c) ¿Hasta qué altura logra subir la esfera

luego de la colisión? 29)Dos esferas

idénticas están suspendidas por hilos diferentes. La esfera de la

izquierdaessoltada desde la posición indicada en la figura y choca frontalmente con la otra esfera que está en reposo. Se observa que la segunda esfera se desplaza un ángulo (con la vertical) igual al que inicialmente formaba la primera esfera con la vertical. Si la longitud de la cuerda que sostiene a la primera esfera es de 90 [cm] y la longitud de la otra cuerda es de 60 [cm] determinar el coeficiente de restitución entre las dos esferas.

30)Sobre una superficie horizontal se encuentra tres esferas, la del centro tiene una masa “m” y las de los costados tienen masas de “7 m”. Si a la esfera del centro se le da una velocidad de



6.4 m

s hacia la izquierda, determinar todos

los choques que pueden ocurrir entre las esferas y las velocidades finales de cada una de las esferas.

31)Dos bolas de billar ideáticas se mueven en las direcciones que se indican en la figura, la de la izquierda entra a la colisión moviéndose hacia la derecha formando 45° con el eje x y con una velocidad de

14.14 )*+ ,, la otra que se mueve de derecha a

izquierda con una velocidad de 10 )*+ , a lo

largo del eje x. Si e = 0.9 calcular las velocidades después del choque:

32)Una pelota de jockey se desliza sobre el hielo y choca contra uno de los costados de la pista con una velocidad de

30 )*+ , formado un ángulo de 45° rebotando

con un ángulo de 30° respecto del costado. Determinar la velocidad final de la pelota y el coeficiente de restitución entre la pelota y la pared. Elija bien el conjunto de ecuaciones porque una de ellas lleva a una contradicción.

33)Las esferas del dibujo entran en colisión tal como se indica en la figura, una de ellas se mueve con una

velocidad de 6 m

s en la dirección indicada en

la figura (formando un ángulo de 30° con el eje x) mientras que la otra se mantiene en reposo, si el coeficiente de restitución es 0.6 y las masas de ambas esferas son iguales, determinar el movimiento de cada esfera después del choque.

34)Las dos esferas de acero idénticas se mueven como se indica en la figura y chocan de modo que la línea que une sus centros tiene la dirección del eje x. Por experimentos anteriores se sabe que el coeficiente de restitución es de 0.56. Determinar la velocidad de cada esfera inmediatamente después del impacto y hallar el porcentaje de energía que se pierde, considere que ambas masas son iguales, que la velocidad de la esfera que se mueve por el eje x (la de la derecha) es de 1.22 )*+ , y la velocidad de la que entra al choque

formando un ángulo de 30° con el eje x es de

1.83 )*+ ,.


MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO.

Capítulos Temas.

Estática del medio continuo

¿Qué es el medio continuo? Masa dividida entre su volumen Blaise pascal. ¿Qué es la presión? Las maquinas hidráulicas Otra vez pascal ¡Eureka!

Cinemática y dinámica de los fluidos.

¿Cómo se mueven los fluidos? Flujo volumétrico de un fluido o caudal. Flujo de masa. El caudal no cambia. Presión y velocidad. Presión dinámica. El turno es de Bernoulli


CAPÍTULO 5:ESTÁTICA DEL MEDIO CONTINUO

Contenido Orientaciones metodológicas ¿Qué es el medio continuo?

Expresar con sus propias palabras lo que entendemos físicamente como medio continuo y fluido.

Masa dividida entre su volumen.

Definir física y matemáticamente la densidad de los cuerpos.

Blaise pascal.

Desarrollar el vocabulario y los términos propios que intervienen en la mecánica de cuerpos deformables. Identificar las variables que intervienen en la mecánica de cuerpos deformables, sus símbolos matemáticos, y sus unidades de medida en el SI.

¿Qué es la presión? Definir física y matemáticamente la presión, tanto en términos generales como en función de fluidos.

Las maquinas hidráulicas.

Valorar la utilidad de la mecánica de fluidos investigando en Internet su uso en la vida cotidiana y en otros campos del conocimiento científico y técnico.

Otra vez pascal. Aplicar el principio de Pascal a sistemas físicos.

¡Eureka! Enunciar el principio de Arquímedes e identificar la fuerza de empuje en diversas situaciones físicas reales.



5.1. ¿QUÉ ES EL MEDIO CONTINUO ? Recordemos que para estudiar la materia hemos tomado algunos modelos físicos. El primero fue el modelo de partícula, mediante el cual representamos todo cuerpo como un punto y hemos analizado tanto la cinemática como la estática de este modelo. Ahora nos corresponde establecer un nuevo modelo para aquellos cuerpos que se deforman al transcurrir el tiempo pero que no se parten, este modelo lo llamaremos medio continuo, acá podemos considerar a los cuerpos que no tienen forma propia tales como los líquidos y los gases. Líquidos y gases son medios continuos que además tienen la propiedad de fluir (moverse cambiando su forma) por lo que se los llama fluidos.

5.2. M ASA DIVIDIDA ENTRE SU VOLUMEN Lucrecio, un poeta latino que vivió entre los años 96 - 53 a. C. escribió: ¿porqué algunas cosas son más pesadas que otras si tienen el mismo volumen? Si existe la misma cantidad de materia en una bola de plomo que en una de lana, ambas deberían pesar lo mismo. Analicemos el razonamiento de hace aproximadamente 2050 años atrás, Lucrecio pensaba que la materia era totalmente compacta, lo que no es correcto puesto que la materia en una bola de plomo es mucho más compacta que en una bola de lana; los átomos de lana tienen mayor espacio intermolecular que los átomos de Plomo. Por lo tanto no sólo dependen de la cantidad de materia (masa) sino de la forma en que están distribuidos en el espacio (volumen). Es lógico pensar que para una misma sustancia (por ejemplo Plomo), la cantidad de materia estará en función del volumen que ocupa, es decir, a mayor materia habrá mayor volumen o, lo que es lo mismo, el cociente entre la cantidad de materia (masa) y el espacio que ocupa (volumen) será siempre el mismo para una misma sustancia, esto conocemos como densidad y matemáticamente la definimos como: ¥ � �¦

ρ representa la densidad, su unidad de medida en el SI es el )?k*l, aunque

es más usada el ) kN*l,. La densidad del agua es de 1 ) kN*l, � 1000 )?k*l,, y esta nos sirve para introducir el concepto de

densidad relativa, que es la comparación de la densidad de cualquier cuerpo respecto a la densidad del agua, la simbolizamos mediante ρr y no tiene unidades porque su definición matemática es: ¥Q � ¥NOPQRK¥29§


1) Definir lo que se entiende por fluido en física. 2) ¿Cómo se define la densidad de un cuerpo

homogéneo? 3) ¿Cuál es la unidad de medida de la densidad en

el SI? 4) ¿Cuánto vale la densidad del agua tanto en

[g/cm3] como en [kg/m3]? 5) ¿Cómo se define la densidad relativa?

6) ¿Cuál es la unidad de medida la densidad relativa?, ¿por qué? � Consolidación práctica.

7) Calcular el volumen que ocupan 500 [g] de alcohol y compararlo con el volumen que ocupan 500 [g] de agua.

8) Una sustancia desconocida tiene una masa de 850 [g] y un volumen de 85 [cm3] ¿cuál es su densidad en [kg/m3]?

Cuerpo Densidad relativa

Plata 10.49 Zinc 7.14 Hielo 0.917 Aluminio 2.7 Cobre 8.92 Plomo 11.3 Hierro 7.86 Estaño 7.2 Platino 21.45 Agua 1 Agua de mar 1.03 Mercurio 13.6 Glicerina 1.26 Alcohol 0.806 Aire 0.00129 Oxígeno 0.00143 Hidrógeno 0.0000899 Helio 0.000179



9) ¿Qué volumen ocupa un bloque de hielo de 20 [kg]?, Después que se funda, ¿qué volumen ocupará el agua resultante?

10) Un colchón de agua mide 2 [m] de largo, 1.8 [m] de ancho y 12 [cm] de alto, calcular su peso.

11) Un frasco que está totalmente lleno de agua, tiene una masa de 39.79 [g]. Se introduce una pieza de metal desalojando 0.836 [cm3] de agua, en estas condiciones el frasco ahora tiene una masa de 47.2 [g]. Calcular la

densidad del metal. 12) Calcular la densidad de la tierra

considerándola como una esfera homogénea de 5.98 * 1024 [kg] de masa y de 6.37*106 [m] de radio.

13) Un pequeño frasco vacío tiene una masa de 14.72 [g]; cuando está lleno de agua su masa es de 39.74 [g] y cuando está lleno de una solución su masa es de 44.86 [g]. Determinar la densidad de la solución.

5.3. BLAISE PASCAL . Cuando tenía aproximadamente 28 años (1961), escribió un tratado fundamental acerca del equilibrio de los líquidos, de ahí extractamos esto que se conoce ahora como el principio de Pascal. Una presión externa aplicada a un fluido dentro de un recipiente se transmite sin merma a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen. En otras palabras, aquí se hace una distinción fundamental entre sólidos y líquidos o entre cuerpos rígidos y medios continuos; los sólidos transmiten fuerzas, en cambio los líquidos transmiten presiones.

5.4. ¿QUÉ ES LA PRESIÓN? Observemos los dibujos de los recipientes que contienen un líquido, vemos que en el interior hay la misma presión pese a que las fuerzas aplicadas a los pistones son diferentes y las áreas de dichos pistones también son diferentes. Si manipulamos bien las operaciones mentales con unidades seguidas de cero, podemos llegar a la siguiente ecuación para la presión. � � �̈

En la cual F representa la fuerza y A el área donde se aplica dicha fuerza (ambas perpendiculares); entonces podemos definirla presión como:

La fuerza total que actúa perpendicularmente sobre una superficie, dividida entre su área.

La unidad de la presión en el SI será el )*̀9,, recibe el nombre de Pascal y se la simboliza con [Pa], es

decir: ��T� � )*̀9, � ) ?k*+9,

� Consolidación teórica 1) ¿Cómo se define la presión? 2) ¿Qué condición debe tener la fuerza que

interviene en la definición de presión? 3) ¿Cuál es la unidad de medida de la presión en

el SI y cuáles son sus unidades fundamentales?

4) Mencione otras unidades de medida de la presión y su equivalencia con la unidad de

medida del SI. 5) Enuncia el principio de Pascal 6) Según este principio, ¿cuál es la diferencia que

podemos establecer entre fluidos y sólidos? � Consolidación práctica.

7) Determinar la presión de un fluido en una jeringa hipodérmica cuando la enfermera aplica una fuerza de 42 [N] al pistón, cuyo radio es de 1.1 [cm].

F=100 [N]



8) Una señorita de 45 [kg] se balancea en un pie y parada solo sobre su taco que tiene un radio de 0.5 [cm] de radio, ¿qué presión ejerce sobre el piso?, ¿cuál sería la presión sobre el piso si se para sobre sus dos tacos?

9) Un cubo de 4 [cm] de arista tiene una densidad

de 10 ) kN*l,, determine la presión que él ejerce

sobre el plano horizontal que lo sustenta.

10) La ventosa es un aparato de plástico de forma cónica que se sujeta a las paredes cuando ésta se empuja sobre ellas debido al vacío que se genera en su interior estableciendo una diferencia de presión de aproximadamente 1 [atm]. Usando una ventosa, se desea colgar del techo un cuerpo de 100 [kg], calcular el radio que deberá tener dicha ventosa.

5.5. L AS MAQUINAS HIDRÁULICAS Las aplicaciones prácticas al principio de Pascal surgieron de inmediato.

EJEMPLO 12. Un taller de mantenimiento usa una prensa hidráulica para hacer mantenimiento a los vehículos, consta, como se indica en la figura, de un émbolo pequeño de 5 [cm] y otro grande de 15 [cm] de radio que soporta al móvil; ambos émbolos están conectados por un tubo en cuyo interior hay un líquido. ¿Qué fuerza se debe ejercer sobre el émbolo pequeño para poder levantar el automóvil de 1500 [kg] de masa?

SOLUCIÓN Lo primero que tenemos que tomar en cuenta es que los líquidos transmiten la presión y no la fuerza, por lo tanto, la presión que el émbolo pequeño ejerza sobre el líquido será transmitida por éste hasta el émbolo grande, es decir: �é*iKMKd � �é*iKMK� �d̈d � ��¨�

El área de los émbolos circulares la calculamos mediante A == πr2, la fuerza que soporta el émbolo 2 es igual al peso del automóvil: �d � �� d�� 1633.33��


1) Explique en qué consiste una prensa hidráulica.

2) ¿Qué ventaja obtenemos con una prensa hidráulica? ¿Cuál es la desventaja? � Consolidación práctica.

3) En una prensa hidráulica se ejerce una fuerza de 100 [N] al émbolo pequeño de 3 [cm] de diámetro, ¿cuál debe ser el diámetro del émbolo mayor si deseamos levantar un cuerpo de 20 000 [N] de peso?

4) En una prensa hidráulica las áreas de sus respectivos émbolos están en la proporción 5 :

2000. ¿Qué fuerza será necesaria para levantar una roca de 8000 [kg]?

5) Se tiene una prensa hidráulica cuyos émbolos tienen sus diámetros en la relación de 1 : 40. ¿Qué fuerza se obtiene, si se pone una carga de 8 [kgl en el émbolo menor?

6) Se tiene una prensa hidráulica cuyos diámetros son de 5 [cm] y 25 [cm]. Si en el émbolo menor se coloca una carga de 40 [kg] éste recorre una distancia de 1 [m]. Determinar la fuerza obtenida y la distancia que recorre el émbolo mayor.



5.6. OTRA VEZ PASCAL La historia registra que Pascal quiso romper un tonel instalando un tubo vertical largo sobre la tapa del tonel tal como indica la figura. Llenó el tonel y el tubo con agua, ¿qué estaba haciendo Pascal? La respuesta intrascendente es decir que Pascal estaba llenando el tubo de agua, pero si razonamos físicamente, lo que estaba haciendo es ejercer mayor fuerza sobre la superficie superior del líquido en el interior del tonel, mediante el peso del agua que se encuentra en el interior del tubo, por lo tanto, cuanto más largo sea el tubo, mayor será el peso del agua y mayor será la presión en el interior del tonel y éste podrá al fin romperse. Ahora hagamos algunos cálculos. La presión en la superficie superior del líquido del tonel estará dada por: � � �̈

Donde F será el peso del líquido que se encuentra en el tubo, es decir: � � �LkOL �¨JOiK

Hasta ahora parece que no hemos hecho nada interesante, pero prosigamos, ¿qué pasa si el tubo es más ancho?, lo primero que diríamos es que aumenta

el área, y, al aumentar el área disminuirá la presión; pero ... ¿y el peso del agua? ¡También aumenta! porque habrá más agua por lo tanto la presión aumentará. En conclusión, ¿aumentará o disminuirá la presión? Bien, hagamos algunos convenios La masa de agua del tubo angosto la simbolizaremos m1 La masa de agua del tubo ancho la simbolizaremos m2 El área del tubo angosto la simbolizáremos A1 El área del tubo ancho la simbolizaremos A2 Por lo tanto las respectivas presiones serán: �d � �d�¨d o�� ¨�

Supongamos que ambos tubos tienen alturas h1 y h2 respectivamente, entonces el volumen de cada tubo será V1 = A1 h1 y V2 = A2 h2. Despejando las áreas y reemplazando en las ecuaciones de presión tenemos: �d � �d�¦d#d

� �d¦d �#do�� ¦�#�� ¦� �#�

�d �¥LkOL�#do�� ¥LkOL�#� Si llenamos en ambos tubos agua hasta la misma altura, concluimos que: � � ¥aMOíhK�# Donde h es la altura desde un punto hasta la superficie del líquido, o, dicho de otra manera, h es la profundidad a partir de la superficie del líquido hasta el punto donde deseamos determinar la presión. A esta ecuación se debe añadir la presión que existe en la superficie del líquido que la denominaremos presión inicial (P0) y en la mayoría de los casos será la presión atmosférica. � � �Z _¥aMOíhK�# Esto nos indica que la presión depende de la profundidad, por lo tanto, todos los puntos que se encuentren a una misma profundidad tendrán la misma presión.

EJEMPLO 13.



El manómetro es un tubo en U que mide la presión manométrica (Pm), una de sus ramas está abierta a la atmósfera y la otra al líquido o gas del que se quiere medir la presión; en el interior del tubo hay un líquido que generalmente es el mercurio. La figura muestra un manómetro de mercurio (densidad relativa 13.6) que se conecta a la boca de una garrafa de gas y el líquido establece una diferencia de niveles de 20 [cm] en sus dos ramas. Calcular la presión manométrica del gas y la presión absoluta suponiendo que estamos al nivel del mar.

SOLUCIÓN Para resolver este problema debemos tener en cuenta que los puntos de un mismo líquido que se encuentran a un mismo nivel tienen la misma presión, tales como los puntos A y B, por lo tanto:

PA = PB Sobre el punto A se ejerce la presión del gas de la garrafa y sobre el punto B la presión de la columna de mercurio (presión manométrica), entonces tenemos: �*kL+ � ¥2k�# �*kL+ � 13.6 ª 10! ª 9.8 ª 0.2 � 26656��T� Para calcular la presión absoluta debemos añadir la presión que se ejerce sobre la superficie del líquido, en nuestro caso es la presión atmosférica que en el nivel del mar es de 1 [atm] == 101325 [Pa] �Li+KMOJLkL+ � 26656 _ 1.01325 ª 10« � 127981��T� La presión que se mide en la llanta de un automóvil es la presión manométrica.

EJEMPLO 14. El barómetro es otro instrumento que mide la presión y fue inventado por Torricelli, consiste en un tubo largo cerrado en uno de sus extremos y abierto por el otro, se lo llena de mercurio y luego se lo invierte sobre otro recipiente que también contiene mercurio, por efecto de la presión de la columna de mercurio, éste desciende un poco dejando prácticamente vacío el extremo superior del tubo, esto ocurre hasta que la presión de la columna en el tubo se nivele con la presión atmosférica; por lo tanto el barómetro sirve para medir la presión atmosférica. Calcule la presión atmosférica en un lugar donde la columna de mercurio es de 490 [mm].

SOLUCIÓN Los puntos A y B están a un mismo nivel, por lo tanto:

PA = PB Sobre el punto A se ejerce la presión de la columna de mercurio y sobre el punto B la presión atmosférica del lugar: ¥2k�# � �LJ*K+aéQfNL �LJ* � 13.6 ª 10! ª 9.8 ª 0.49 � 63307.2��T� � 0.645�T��


1) ¿Por qué la presión es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad dentro

de los fluidos? 2) ¿Qué es un manómetro? 3) ¿Qué es un barómetro?



4) ¿Con qué instrumento medimos la presión atmosférica y con cuál la presión manométrica?

5) ¿Cuál es la diferencia entre presión absoluta y presión manométrica y cómo están relacionadas?

6) Haga una demostración de la ecuación fundamental de la hidrostática.

7) ¿El término h de la ecuación fundamental de la hidrostática se refiere a la altura o a la profundidad? Explica.

8) ¿Qué son líquidos inmiscibles? Cita un ejemplo de líquidos inmiscibles. � Consolidación práctica.

9) Calcular la presión total a 150 [m] por debajo de la superficie del océano. La densidad relativa de ésta agua es de 1.03.

10) Tres líquidos inmiscibles se vierten en un recipiente cilíndrico de 20 [cm] de diámetro. Las cantidades y densidades relativas de los

líquidos son: 0.5 [l], 2.6; 0.25 [l], 1 y 0.4 [l], 0.8. ¿Cuál es la presión total que se ejerce sobre el fondo del recipiente? (Ignore la presión atmosférica).

11) Las dimensiones de una piscina son: 25 [m] * 9 [m] * 2.5 [m]. Calcular la presión y la fuerza que ejerce el agua sobre el fondo de la piscina.

12) ¿Cuál es la altura de una columna de Hg que ejerce sobre su base una presión igual a la ejercida por otra columna de agua, de 108.8 [cm] de altura, en el mismo local?

13) Calcular la diferencia hidrostática de presión sanguínea en una persona de 1.8 [m] de altura entre su cerebro y su pie, suponiendo que la densidad relativa de la sangre es de 1.06.

14) Un tubo en U simple, contiene Hg. Cuando en su rama derecha se vierte 13.6 [cm] de agua, ¿a qué altura se elevará el Hg en el brazo izquierdo a partir de su nivel inicial?

5.7. ¡EUREKA ! ¡Lo encontré!, ¡Lo encontré!, así salió gritando desnudo por las calles cuando Arquímedes (287 - 212 a. C.) descubrió la pérdida parcial de peso después de sumergir sus brazos y piernas en el agua. El problema que lo tenía muy preocupado fue el encomendado por el rey Hierón que pidió a Arquímedes determinar si su corona estaba hecha de oro puro o si el joyero lo había engañado mezclando con algún otro metal. Arquímedes trabajo también con las palancas "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. La pérdida aparente de peso se debe a que un cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe una fuerza vertical hacia arriba que la llamaremos fuerza de empuje y la simbolizaremos con la letra E. La magnitud de la fuerza de empuje es igual al peso del líquido desplazado por el objeto. El peso del líquido desplazado será: �Mí¬OfhK hP+RMLgLhK = �Mí¬OfhK hP+RMLgLhK � Pero: �Mí¬OfhK hP+RMLgLhK = ¥Mí¬OfhK ¦Mí¬OfhK hP+RMLgLhK A la vez, el ¦Mí¬OfhK hP+RMLgLhK será igual al volumen del cuerpo sumergido en el líquido, por lo tanto: t = �Mí¬OfhK hP+RMLgLhK = �Mí¬OfhK hP+RMLgLhK � = ¥Mí¬OfhK ¦Mí¬OfhK hP+RMLgLhK � t = ¥Mí¬OfhK � ¦NOPQRK +O*PQkfhK

t (t��z�{) = ®¯°±²³´µ¶²·¸¹¹²ó±º¸±³²µ»¼½¾²¹¯¹²ó±¥�í¬OfhK � ¦NOPQRK +O*PQkfhK¦{��rTs=Tr�T T��Tt� {s �. ¿. �{s rz{�� z�{��

Esta es una nueva fuerza al igual que el peso, la tensión, la normal, la fuerza elástica o las fuerzas de fricción, se la incluye en el análisis del DCL teniendo en cuenta que su magnitud está dada por la fórmula deducida, su dirección es vertical y su sentido es hacia arriba, se manifiesta siempre y cuando el cuerpo este sumergido en un líquido o en cualquier fluido.

EJEMPLO 15.



Una pieza de estaño de 2 [kg] se suspende de una cuerda en el aire, luego se la sumerge totalmente en agua, calcular la tensión en la cuerda en los dos casos.

SOLUCIÓN Cuando la pieza de estaño está en el aire, se ejercen dos fuerzas sobre ella, el peso y la tensión de la cuerda, despreciamos el empuje que realiza el aire sobre la pieza; como el estaño está en equilibrio tenemos, por la segunda ley de Newton: À Y �Áv� � 0 À � �Áv � � 2 ª 9.8 � 19.6�� Cuando la pieza está sumergida en el agua, actúan tres fuerzas, el peso, la tensión y el empuje, como el estaño está en equilibrio tenemos, por la segunda ley de Newton: À _ t Y �Áv � � 0 À � �Áv� Y t � �Áv� Y ¥LkOL�¦Áv � �Áv� Y ¥LkOL��Áv¥Áv À � �Áv � 1 Y¥LkOL¥Áv ¡ � 2 ª 9.8 1 Y 17.2¡ � 16.88��

EJEMPLO 16. ¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg se encuentra debajo del nivel del mar?

SOLUCIÓN El iceberg se encuentra flotando en el mar, en equilibrio, parte de él se ve y la otra parte se encuentra sumergida; las fuerzas que actúan sobre el iceberg son el peso y el empuje, por lo tanto: t Y �f+iPQk� � 0 t � �fNPiPQk� ¥LkOLhP*LQ�¦fNPiPQk+O*PQkfhK � ¥fNPiPQk¦fNPiPQk� El porcentaje de volumen de iceberg sumergido calculamos dividiendo el volumen del iceberg sumergido entre el volumen total del iceberg, de la anterior ecuación obtenemos este cociente: ¦fNPiPQk+O*PQkfhK¦fNPiPQk � ¥fNPiPQk¥LkOLhP*LQ � 0.9171.03 � 0.8903

Esto significa que el 89.03 % del iceberg no se ve.

� Consolidación teórica 1) Enuncia el principio de Arquímedes. 2) Haga una demostración de la ecuación del

empuje. 3) ¿Qué tipo de magnitud es el empuje y cuál es

su unidad de medida en el SI.? 4) ¿Cuáles son la magnitud, dirección y sentido

del empuje? 5) ¿Qué condición se debe cumplir para que un

cuerpo flote sobre un líquido? � Consolidación práctica.

6) En la figura, la esfera de 8 [cm] de radio, tiene

una densidad relativa de 0.6 y está sumergida dentro de agua sostenida por un resorte cuya

constante elástica es de 98)*̀,, Calcular la

elongación del resorte.



7) ¿Cuál es el área mínima de un bloque de hielo de 0.3 [m] de espesor que flota en el agua, como para poder sustentar a un automóvil de 1100 [kg]?

8) Un bloque de madera flota en el agua con dos tercios de su volumen sumergido. En aceite tiene 0.9 de su volumen sumergido. Calcular las densidades de la madera y del aceite.

9) Un cuerpo de 9 [kg] es sumergido en agua tal como muestra la figura, la tensión de la cuerda es de 58.8 [N]. ¿Cuál es la densidad relativa del cuerpo?

10) Un bloque de madera tiene una masa de 8.67

[kg] y tiene una densidad relativa de 0.6. Se le carga con plomo, de densidad relativa 11.3, de tal manera que flote en el agua con el 0.9 de su

volumen sumergido. ¿Qué cantidad de plomo es necesaria? a) Si el Pb se le coloca encima de la madera. b) Si el Pb se coloca por debajo de la madera.

11) Un bloque cúbico de hierro de 10 [cm] de arista, tiene una densidad relativa de 7.8, esta flotando sobre Hg, cuya densidad relativa es de 13.6; Si se vierte agua sobre la superficie de Hg, (ambos líquidos son inmiscibles) ¿qué altura debe tener la capa de agua para que su superficie alcance justamente la parte superior del cubo?

12) Un cubo flota en mercurio, con una cuarta parte de su volumen sumergido. Si se añade suficiente cantidad de agua hasta cubrir el cubo, ¿Qué fracción de su volumen permanecerá sumergido en el Hg?

13) Una bola emerge con velocidad constante desde el fondo de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola. ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de esta?


CAPÍTULO 6:CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LOS FLUIDOS.


¿Cómo se mueven los fluidos?

Describir el tipo de movimiento de los fluidos. Conceptualizar el modelo de fluido ideal.

Flujo volumétrico de un fluido o caudal.

Definir el flujo de un fluido en función del volumen, y relacionar con la densidad.

Flujo de masa. Definir el flujo de un fluido en función de la masa, y relacionar ambos flujos.

El caudal no cambia. Interpretar físicamente y escribir matemáticamente la ecuación de continuidad.

Presión y velocidad. Relacionar física y matemáticamente la velocidad de un fluido con el aumento y/o disminución de la presión.

Presión dinámica. Particularizar la dinámica de fluidos a la estática de fluidos.

El turno es de Bernoulli.

Interpretar físicamente y escribir matemáticamente el teorema de Bernoulli. Identificar, describir técnicamente y mencionar los usos de los tubos que provienen de las aplicaciones al teorema de Bernoulli.



6.1. ¿CÓMO SE MUEVEN LOS FLUIDOS ? El movimiento de un fluido lo denominaremos como flujo, podemos clasificarlo en dos tipos, el flujo estable o laminar y el flujo no estable o turbulento. El flujo estable se refiere a aquellos fluidos cuyas partículas siguen trayectorias paralelas (sin cruzarse unas a otras), lo que implica que todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad que se mantiene constante al transcurrir el tiempo. En un flujo turbulento las partículas del fluido no tienen la misma velocidad, unas se adelantan a otras ocasionando cruces en sus trayectorias y generando turbulencias o torbellinos, por ejemplo el cauce de un río donde hay muchas rocas u otras obstrucciones. En el presento capítulo trabajaremos con fluidos ideales, que es un modelo físico que cumple las siguientes condiciones:

� Es un flujo estable. � Es un fluido no viscoso, es decir, no se toma en cuenta la fricción interna. La viscosidad es la

medida de las fricciones internas en un fluido. � Es un fluido incompresible, lo que implica que la densidad del fluido no depende de la presión

y permanece constante al transcurrir el tiempo. 6.2. FLUJO VOLUMÉTRICO DE UN FLUIDO O CAUDAL .

Una de las magnitudes que mide el movimiento de los fluidos es el caudal, se refiere a la cantidad de líquido en volumen que pasa por una sección transversal al transcurrir el tiempo, simbolizaremos con la letra fí minúscula del alfabeto griego (Â � n). Veamos la figura, la parte sombreada representa un determinado volumen del fluido que pasará, en un cierto tiempo ∆t, por la sección transversal indicada. Por la definición de caudal podemos establecer la siguiente ecuación: Â = ¦�sz�{��{�XTs� �{ ��{�� = Δ¦Δ�

Pero el volumen es el cilindro sombreado y podemos calcularlo mediante el producto del área por la altura, es decir: Δ¦ = ¨ ΔS = ¨ X Δ� Â = ¨ X Δ�Δ� = X ¨

La última ecuación nos demuestra que el caudal de un fluido es igual a la velocidad del fluido

multiplicada por el área de la sección que atraviesa; la unidad de medida en el SI será )*l+ ,. 6.3. FLUJO DE MASA .

De la misma manera que hemos definido el caudal o flujo volumétrico podemos definirelflujo de masa como la cantidad de líquido en masa que pasa por una sección transversal al transcurrir el tiempo, simbolizaremos con la letra fí minúscula sub eme del alfabeto griego (Â* � n*). Su ecuación matemática será: Â* = ¿T�T��{�XTs� �{ ��{�� = Δ�Δ�

Como la masa podemos expresarla en función de la densidad (� = ¥ ¦), tenemos: Â* = ρ Δ¦Δ� = ρ Δ¦Δ� = ¥ Â = ¥ X ¨

El flujo de masa estará medido en el SI en )?k+ ,.

∆x = v ∆t

Volumen de fluido




1) ¿Qué significa la palabra flujo? 2) Establezca la diferencia entre:

a) Flujos estables y no estables. b) Fluidos compresibles e incompresibles, dar

ejemplos. c) Fluidos viscosos y no viscosos, dar

ejemplos. 3) Defina el flujo de volumen o descarga o caudal

e indique su unidad de medida en el SI. 4) Defina el flujo de masa e indique su unidad de

medida en el SI. 5) Demuestre la relación que existe entre el flujo

de masa y el flujo de volumen. � Consolidación práctica.

6) Por la manguera de una estación de servicio,

fluye gasolina a razón de 1.5 )*+ ,, si la

manguera tiene un diámetro de 2.5 [cm] ¿cuál es el caudal en litros por minuto y cuánto

tardaría en llenar el tanque de un automóvil cuya capacidad es de 50 litros?

7) Se desea llenar un bidón de 10 [l] en 1 [min] desde una pila que bota el agua a razón de 3 )*+ ,, ¿cuál debe ser el diámetro de la pila?

8) Una señorita agarra una manguera de 2 [cm] de diámetro a una altura de 90 [cm] sobre el piso y con un ángulo de 30° sobre la horizontal, si

el caudal del agua es de 30 ) M*fv,. ¿Cuál es la

velocidad de salida del agua y cuál el alcance horizontal que logra?

9) Calcular la velocidad con que fluye el anhídrido carbónico por un tubo, sabiendo que en media hora pasan por la sección transversal de dicho tubo 0.51 [kg] de gas. La densidad de

este gas es de 7.5 )?k*l, y el diámetro del tubo

es de 2 [cm].

6.4. EL CAUDAL NO CAMBIA . Analicemos la figura, todo el líquido que está en la sección 1 tendrá que salir, tarde o temprano, por la sección 2, porque en medio de las dos secciones no existen ni sumideros (lugares por donde se descargue líquido) ni vertederos (lugares por donde se cargue líquido). La sección 1 tiene un área A1 y el líquido tiene una velocidad v1, la sección 2 tiene un área A2 y el líquido una velocidad v2. Los flujos de masa en ambas secciones serán respectivamente: Â*d � ¥Xd¨doÂ*� � ¥X�¨� No diferenciamos las densidades porque estamos tratando con fluidos ideales (incompresibles) y como ambos flujos son iguales, tenemos que: Xd¨d � X�¨� Que se conoce como ecuación de continuidad.


1) Haga la demostración matemática con todos los detalles de la ecuación de continuidad, tanto para fluidos compresibles como para fluidos incompresibles.

2) El chorro de agua de una llave se hace más angosto conforme cae. Explique este comportamiento. � Consolidación práctica.

3) Una manguera de jardín, que tiene un diámetro interno de 1.9 [cm], se conecta a un rociador de césped que consiste en un recipiente con 24 orificios, cada uno de los cuales tiene 0.127 [cm] de diámetro. Si el agua en la manguera

tiene una rapidez de 0.91 )*+ ,, ¿con qué

rapidez saldrá el agua por los orificios del rociador?

4) El agua fluye continuamente de la salida de un grifo, cuyo diámetro interiores de 2 [cm]. con

una rapidez de 4 )*+ ,. Calcular el diámetro del

chorro a 50 [cm] por debajo de la boquilla del grifo. Despreciar todas las fuerzas de roce y suponer que no se forman gotas.

5) En un tanque de agua de 1.05 [m] de diámetro, se perfora un orificio en la base y al costado, con un diámetro de 1.4 [cm]. La descarga por el orificio es capaz de llenar un recipiente de 10 [1] en 45 [s], calcular la velocidad con que desciende la superficie del líquido dentro del tanque de agua.



6) Una manguera contra incendios recibe agua por un orificio de 6 [cm] de diámetro y la descarga es por una boquilla de 2 [cm] de

diámetro. Si la carga es a razón de 0.012 )*l+ ,, calcular la velocidad de entrada y de salida del agua.

6.5. PRESIÓN Y VELOCIDAD . Continuemos con un experimento clásico, supongamos una tubería con garganta, es decir, con un lado más angosto que el otro, en cada sección del tubo conectemos manómetros. Cuando el fluido esté en reposo, ambos manómetros marcaran la misma altura por la ley fundamental del equilibrio de fluidos "la diferencia de presión entre dos puntos de un fluido en reposo sólo depende de la diferencia de altura entre ellos”. Si el fluido está en movimiento, se establece una diferencia en las alturas de los manómetros, el manómetro instalado en la garganta marca menor presión que el instalado en la parte más ancha. Esta diferencia de presiones es fácil de explicar si tenemos en cuenta la segunda ley de Newton, es decir, al pasar el fluido de una sección ancha a una sección angosta aumenta su velocidad (ley de continuidad), lo que significa que el fluido ha acelerado, por lo tanto, necesita una fuerza que provoque dicha aceleración, ¿de dónde sale esa fuerza? Pues de la presión que tiene inicialmente, en otras palabras la presión que tiene le fluido en la parte ancha es usada en parte para acelerar el fluido, en consecuencia la presión en la parte más angosta es menor, lo que significa que:

6.6. PRESIÓN DINÁMICA . Si en el experimento clásico de la sección anterior usamos tubos acodados (Llamados tubos de Pítot) en vez de manómetros nos encontramos con una agradable sorpresa ¡los dos tubos registran la misma altura!, decimos sorpresa agradable porque en física buscamos regularidades que nos ayuden a explicar las irregularidades. ¿Cuál será nuestro siguiente paso?, pues veamos lo que sucede cuando usamos un tubo acodado (tubo de Pitot) y un manómetro en la misma sección del tubo, ¿Qué nos indica la figura en este caso? … ¡correcto! El desnivel en los tubos se debe a que en el manómetro el fluido sube debido a la presión estática, en cambio en el tubo de Pitot, el fluido sube por efecto de la presión estática y por efecto de la velocidad, pues si giramos el tubo de Pitot de tal manera que el codo esté en sentido de la corriente y no en contra de ella, el nivel del fluido disminuirá igualando al nivel del manómetro. Hagamos ecuaciones: La diferencia de presiones en los tubos podemos calcularla mediante la ecuación fundamental de fluidos en equilibrio puesto que en los tubos los fluidos no se mueven; por lo tanto, en la superficie del manómetro actúan por abajo la presión del fluido que la llamaremos P1 y por arriba la presión atmosférica Patm, al mismo nivel pero en el otro tubo tenemos: por abajo la presión del fluido (P2) y por arriba la presión de la columna de fluido (p g h) y la presión atmosférica (Patm). Como

LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO ES MAYOR EN LOS PUNTOS DONDE LA VELOCIDAD ES MENOR, O, RECÍPROCAMENTE, DONDE MAYOR ES LA VELOCIDAD, MENOR ES LA PRESIÓN.



ambos puntos se encuentran al mismo nivel tenemos: �LJ* Y �d � �LJ* _ ¥�# Y �� d _ ¥�# El término p g h se debe a la energía cinética del fluido, es decir que el fluido entra con cierta velocidad al tubo y va perdiendo velocidad por efecto de la gravedad hasta alcanzar su altura máxima, la ecuación cinemática que nos permite calcular esa altura máxima será: Xa� � XK� Y 2�#r��Xa � 0{�#*L\{��r{�# � XK�2�

�� d _ ¥� XK�2� � �d _ 12¥X�

Esta última ecuación se conoce como presión dinámica que resulta de la suma de la presión estática y la presión debida al movimiento del fluido. �hfvá*fNL � �P+JáJfNL _ 12¥X�

EJEMPLO 17. Una aplicación interesante de la presión dinámica son los vaporizadores o rociadores, con ellos se manda un chorro de aire a cierta velocidad por el tubo horizontal y en el tubo vertical sube el agua. Analice las presiones y explique la salida del líquido,

SOLUCIÓN Antes de presionar la esfera de goma (Fuelle), tanto en el tubo vertical como en el horizontal la presión es la atmosférica, dentro del recipiente del rociador también actúa la presión atmosférica sobre la superficie del líquido y en todas las direcciones. Cuando se aprieta el fuelle corre aire a cierta velocidad por el tubo horizontal, por lo tanto en ese instante tiene menor presión que el aire del tubo vertical y que el aire del recipiente; en consecuencia el aire dentro del recipiente empuja hacia abajo la superficie del líquido, a su vez, el líquido sube por el tubo vertical porque el aire que existe en este tubo por encima del agua escapa (debido a su presión mayor) por el tubo horizontal, permitiendo que el agua llegue hasta el tubo horizontal mezclándose con el aire y escapando por la boquilla.

6.7. EL TURNO ES DE BERNOULLI Daniel Bernoulli (1700 - 1782), proveniente de una familia de grandes matemáticos, entre todos fue el único que se distinguió en física, especialmente por sus trabajos en hidrodinámica, publicado en 1738. Para demostrar el teorema de Bernoulli nos guiaremos con el dibujo, en el que presentamos una porción de fluido en la parte superior y la misma porción de fluido cuando está abajo del tubo. ¿Cuáles son las variaciones más perceptibles? La altura, la velocidad, la sección, la dirección de la fuerza, el largo del cilindro de la porción de fluido estudiada, etc. De todos estos cambios ¿cuál nos conviene analizar? El cambio de la altura y de la masa del fluido se refieren al cambio de energía potencial que sufre el fluido, lo que nos lleva sólo a las fuerzas conservativas, o, dicho de otra manera, el peso es una fuerza conservativa que está asociada a la energía potencial gravitatoria. El cambio de velocidad se refiere al cambio de energía cinética, lo que nos lleva al cambio de la fuerza total en el fluido. El cambio de sección y del largo de los cilindros de fluido son cambios geométricos que no tienen



mucha pertinencia física. El cambio de la dirección de la fuerza o también su magnitud nos lleva al trabajo realizado por éstas fuerzas y están incluidas dentro del trabajo total de fuerzas. ¿Cuál de estos cambios escogemos? ... Yo voy a optar por el segundo, es decir: ΔEÅ � WÇÈÉÊËÌÍÎÍÌÏ Las fuerzas que actúan son el peso, la F1 que empuja al fluido cuando está entrando al tubo (puede existir o no) y F2 que impide la salida o avance del fluido, ésta no es fuerza de roce porque estamos trabajando con fluidos ideales, puede deberse a la presión atmosférica o al fluido que está delante de él e impide su movimiento libre. Por lo tanto tenemos: 12�X�� Y 12�Xd�� |Δ#| cos��, Δ# �_ �dΔxd cos��d, Δxd �_ ��Δx� cos��, Δx� � Como: � � �¨, � � ¥¦, ̈ ΔS � ¦ y |Δ#| � #d Y #� (¿por que tomamos el valor absoluto?) 12¥¦X�� Y 12¥¦Xd� � ¥¦�6#d Y #�8 cos60°8 _ �d¨dΔxd cos60°8 _ ��¨�Δx� cos6180°8 12¥¦X�� Y 12¥¦Xd� � ¥¦�#d Y ¥¦�#� _ �d¦ Y ��¦

Ordenando y dividiendo entre el volumen tenemos: 12¥X�� Y 12¥Xd� � ¥�#d Y ¥�#� _ �d Y ��

�d _ 12¥Xd� _ ¥�#d � �� _ 12¥X�� _ ¥�#�

El primer término es la presión estática, el segundo la presión cinética y el tercero es la presión potencial, es una ecuación muy fácil de recordar ya que es parecida a la ley entre el cambio de la energía mecánica y el trabajo de las fuerzas disipativas, ¡precisamente de ello se trata!, si partimos de dicha ley obtenemos la misma ecuación. Esta ecuación se conoce como el teorema de Bernoulli.

EJEMPLO 18. Descarga por un orificio. Un tanque contiene un fluido de densidad ρ que se descarga por un orificio que se encuentra a una altura h por debajo de la superficie del fluido. Calcular la velocidad de salida del fluido en función de la altura h y de las áreas de las secciones del tanque y del orificio.

SOLUCIÓN Usamos el teorema de Bernoulli, tomando como punto 1 la superficie del fluido en el tanque y como punto 2 la superficie del fluido en el orificio de descarga. �d _ 12¥Xd� _ ¥�#d � �� _ 12¥X�� _ ¥�#�



En el punto 1 la velocidad es menor que en el punto 2; sobre la superficie 1 actúa la presión atmosférica y está a una altura h sobre el nivel de referencia; el punto dos se encuentra a una altura de cero respecto al nivel de referencia y sale hacia la presión atmosférica, por lo tanto tenemos: �LJ* _ 12¥Xd� _ ¥�# � �LJ* _ 12¥X�� 12¥Xd� _ ¥�# � 12¥X�� Xd� _ 2�# � X�� Podemos eliminar v1 mediante la ecuación de continuidad: Xd¨d � X�¨�Xd � ¨�¨d X�

¨�¨d X�¡� _ 2�# � X��2�# � X�� 1 Y ¨�¨d¡�� X� � Ò 2�#1 Y Ó¨�¨dÔ�

Cuando el A1 » A2 (A1 es mucho mayor A2), el cociente Õ9ÕÖ es

prácticamente igual a cero y la anterior ecuación se reduce más; esta situación la podemos encontrar en los estanques de las ciudades, donde la superficie del estanque es mucho mayor que la superficie del desagüe; la ecuación en este caso será: X� � �2�#


1) Explique por qué un huracán levanta el techo de una casa y cómo se puede evitar esto.

2) Cuando dos flotas se cruzan en una carretera tienden a acercarse, ¿cómo explica este fenómeno?

3) Haga la demostración matemática con todos los detalles de la ecuación de Bernoulli.

4) Investiga algo acerca de la vida de la familia Bernoulli en una enciclopedia o en algún libro de biografías de científicos.

5) Aplicando la ecuación de Bernoulli, demostrar la ecuación fundamental de los fluidos en reposo (� � �Z _ ¥�#).

6) Explique porqué vuela un avión, en lo que respecta a su fuerza ascensional dinámica.

7) Demostrar la ecuación de la velocidad de descarga de un líquido desde un gran recipiente abierto a la atmósfera y que tiene un pequeño orificio en la pared lateral, también abierto a la atmósfera, a una altura h por

debajo del nivel del líquido. � Consolidación práctica.

8) El dibujo muestra un medidor de Venturi, indique para qué sirve este aparato y demuestre que la velocidad que mide está dada por:

Xd � Ò2�#�¥2k Y ¥LfQP�¥LfQP �Ó¨d¨�Ô� Y 1

9) Dibuje el tubo de Pitot, Indique para qué se usa



este aparato y haga una demostración de la ecuación para medir la velocidad en la garganta del tubo de Pitot.

10) Un recipiente cilíndrico tiene en su fondo un orificio circular de 1 [cm] de diámetro. El diámetro del recipiente es de 0.5 [m]. Calcular la velocidad con que baja el nivel del agua en este recipiente, en función de la altura inicial del nivel del líquido que es de 0.2 [m].

11) Sobre una mesa hay una vasija con agua. En la pared lateral de esta vasija hay un orificio pequeño situado a 25 [cm] del fondo del recipiente y a 16 [cm] más abajo del nivel del agua; si este nivel se mantiene constante, ¿A qué distancia horizontal, medida desde la base del recipiente, caerá sobre la mesa el chorro de agua?

12) Resolver el problema anterior, para el caso en que el orificio este a 16 [cm] sobre el fondo y a 25 [cm] por debajo del nivel del agua.

13) En el sistema mostrado en la figura, calcular la altura que se desplaza el Hg dentro del tubo en U, si las presiones en los puntos 1 y 2 son de 6.77 * 104 [Pa] y 9.87 * 104 [Pa] respectivamente. La densidad relativa del líquido que fluye es de 0.9 y la del Hg de 13.6.

14) Por un tubo horizontal AB pasa un líquido como se indica en la figura. La diferencia de los niveles en los tubitos a y b es de 10 [cm], siendo sus diámetros iguales. Calcular la velocidad de la corriente en el tubo AB.

15) A través del tubo AB pasa una corriente de

aire de 15 ) M*fv,. El área de la sección

transversal de la parte ancha del tubo AB es de 2 [cm2], la de la parte estrecha y la del tubo abc es de 0.5 [cm2]. Calcular la diferencia de niveles que tendrá el agua que hay en el tubo abc. Considere que la densidad del aire es

igual a 1.32 )?k*l,.


TERMODINÁMICA

Capítulos Temas.

Comportamiento térmico de la materia.

Comportamiento térmico de los sólidos. Dilatación lineal. Dilatación superficial y volumétrica. Comportamiento térmico de los líquidos. El caso anómalo del agua. Comportamiento térmico de los gases Transformaciones a P, V y T constantes, diagrama P - V

Teoría cinética molecular.

Postulados. Ecuación fundamental. Cambio de la energía interna de un gas ideal. Primer principio de la termodinámica. Trabajo. Aplicaciones del primer principio. Segundo principio de la termodinámica. Rendimiento de un motor térmico. El ciclo de Carnot.


CAPÍTULO 7:COMPORTAMIENTO TÉRMICO DE LA MATERIA.


Comportamiento térmico de los sólidos.

Explicar los cambios que sufre la materia en su estado sólido debido a los cambios de temperatura.

Dilatación lineal.

Identificar los cuerpos sólidos que tengan una dimensión mucho mayor que las otras dos. Expresar el cambio de longitud de un cuerpo lineal en función del cambio de temperatura, de la longitud inicial y del tipo de material del cuerpo. Identificar las variables que intervienen en la dilatación lineal indicando su unidad de medida en el SI.

Dilatación superficial y volumétrica.

Identificar los cuerpos sólidos que puedan ser considerados como simples superficies y los que deben ser considerados como volumétricos. Expresar el cambio de superficie y de volumen de un cuerpo en función del cambio de temperatura, de la superficie o volumen iniciales y del tipo de material del cuerpo. Identificar las variables que intervienen en la dilatación superficial y volumétrica indicando su unidad de medida en el SI.

Comportamiento térmico de los líquidos.

Diferenciar la dilatación volumétrica de los sólidos con la dilatación de los líquidos Identificar la dilatación aparente y el coeficiente de dilatación aparente como variables que pueden ser usadas en la dilatación de líquidos.

El caso anómalo del agua. Apreciar, a través de experiencias cotidianas, que el agua, a partir de cierta temperatura se dilata en vez de contraerse al disminuir la temperatura.

Comportamiento térmico de los gases

Describir las características del modelo de gas ideal. Diferenciar la dilatación de los gases respecto a la dilatación de los líquidos y sólidos Identifica al volumen, la temperatura, la presión y el coeficiente adiabático como variables que describen el estado térmico de los gases.

Transformaciones a P, V y T constantes, diagrama P - V

Describir, identificar, graficar y aplicar las cuatro transformaciones posibles entre dos estados de un gas.



7.1. COMPORTAMIENTO TÉRMICO DE LOS SÓLIDOS . ¿Qué efecto causa la temperatura en los sólidos puros, es decir, cuando no cambia de estado de agregación? Al aumentar la temperatura al agitación molecular aumenta, es decir que cada molécula necesita más espacio para sus vibraciones y el efecto macroscópico del cuerpo sólido es un aumento en su volumen “dilatación volumétrica”. Es evidente que al disminuir la temperatura la agitación térmica de las moléculas disminuye, necesitando menor espacio para su vibración y el efecto macroscópico es una disminución en su volumen “contracción volumétrica”. Podemos simplificar el problema considerando cuerpos delgados y largos tal como una barra o varilla delgada, en este caso el aumento perceptible es hacia su largo, esto conocemos como dilatación lineal. La dilatación superficial estará dada en cuerpos en que su largo y ancho es mayor que su espesor llamadas placas, como el vidrio, el asfalto, las puertas, etc. Esta dilatación la conocemos como dilatación superficial y, finalmente, cuando un cuerpo tiene sus tres dimensiones casi iguales, entonces su dilatación es volumétrica.

7.2. DILATACIÓN LINEAL . Veamos en la siguiente figura lo que ocurre con una barra delgada cuando su temperatura aumenta desde T0 hasta Tf, es decir al sufrir un cambio ∆T = Tf - T0 en su temperatura. La longitud de la barra aumenta desde L0 hasta Lf, es decir, aumenta su longitud (se dilata) en una magnitud dada por ∆L = Lf - L0 cuyo valor depende tanto de la longitud inicial de la barra como del incremento de temperatura. A mayor incremento de temperatura habrá mayor dilatación, lo mismo sucede con la longitud inicial, cuanto mayor sea su longitud inicial mayor será la dilatación, estas dos variaciones las resumimos en la siguiente ecuación.

∆L = α L0 ∆T Donde α es una constante de proporcionalidad que depende de las características del material y la denominamos coeficiente de dilatación lineal, su unidad de medida es la inversa de la temperatura, es

decir [C-1] o 1

C . En la tabla adicional registramos los valores del coeficiente de dilatación lineal para

algunos materiales sólidos. Reemplazando ∆L = Lf - L0 obtenemos:

Lf - L0 = L0 α ∆T Lf = L0 + L0 α ∆T

Lf = L0 (1 + α ∆T)

EJEMPLO 19. Calcular la dilatación que sufre una barra hierro de 1 [km] de largo cuando pasa de 0 [C] a 40 [C].

SOLUCIÓN Para calcular la dilatación podemos usar la expresión:

∆L = α L0 ∆T ∆L = 12 x 10-6 [C-1] 1000 [m] (40 – 0) [C]

∆L = 0.48 [m]

EJEMPLO 20. Determinar el coeficiente de dilatación lineal del material de una barra que al calentarse desde 10 [C] hasta 250 [C] su longitud aumenta desde

TERMODINÁMICA


8 [cm] hasta 8.01 [cm].

SOLUCIÓN En este caso tenemos:

∆T = Tf - T0 = 250 - 10 = 240 [C] ∆L = Lf - L0 = 0.0801 – 0.08 = 0.0001 [m]

Por lo tanto reemplazando en ∆L = α L0 ∆T tenemos: 0.0001 [m] = α 0.08 [m] 240 [C]

α = 5.21 x 10-6 [C-1]

EJEMPLO 21. Calcular la distancia que debe existir entre dos rieles de acero de la vía férrea para que al dilatarse no se choquen, considerar que la longitud de la riel a 20 [C] es de 20 [m] y que la temperatura máxima es de 50 [C].

SOLUCIÓN El espacio que debe existir entre los rieles es, mínimamente, igual a la dilatación que pueda sufrir el riel, es decir:

∆L = α L0 ∆T ∆L = 12 x 10-6 [C-1] 20 [m] (50 – 20) [C]

∆L = 0.0072 [m] = 7.2 [mm]

EJEMPLO 22. Dos barras delgadas de coeficientes de dilatación lineal αa = 8 x 10-6 [C-

1] y αb = 10 x 10-6 [C-1] tienen longitudes L0a = 10 [m] y L0b respectivamente, cuando se encuentran a la misma temperatura. Las barras están unidas por un perno en un extremo, que las mantiene unidas, como muestra la figura. Encuentre la longitud de la barra b (Lob) para que la diferencia de longitud entre las barras sea independiente de la temperatura.

SOLUCIÓN Para la barra A tenemos:

∆La = αa L0a ∆T ∆La = 8 x 10-6 [C-1] 10 [m] ∆T

∆La = 8 x 10-5 ∆T [m C-1] Para la barra B tenemos:

∆Lb = αb L0b ∆T ∆Lb = 10 x 10-6 [C-1] L0b ∆T ∆Lb = 1 x 10-5 L0b ∆T [C-1]

En las ecuaciones anteriores no hacemos diferencia entre los cambios de temperatura para ambas barras porque tanto al principio como al final están a la misma temperatura y el cambio de temperatura es el mismo para ambas. Para que la diferencia de longitudes entre las barras sea la misma la dilatación de una barra debe ser igual a la dilatación de la otra, por lo tanto:

∆La = ∆Lb 8 x 10-5 ∆T [m C-1] = 1 x 10-5 L0b ∆T [C-1]

L0b = 8 x 10-5 ∆T [m C-1]1 x 10-5 ∆T [C-1]



L0b = 8 [m]

1) La longitud de un cable de aluminio es de 30 [m] a 20 [C]. Sabiendo que el cable es calentado hasta 60 [C] y que el coeficiente de dilatación lineal del aluminio es de 24*10-6 [C-

1]. Determine: a) La longitud final del cable. b) La dilatación del cable. (Sol. 30.03 [m],

0.03 [m]). 2) Una barra de hierro de 10 [cm] de longitud está

a 0 [C]; sabiendo que el valor de α es de 12*10-6 [C-1]. Calcular: a) La Lf de la barra y la ∆L a 20 [C] b) La Lf de la barra a -30 [C]. (Sol. 10.002

[cm], 0.002 [cm] y 9.996 [cm]). 3) La longitud de un cable de acero es de 40 [m]

a 22 [C]. Determine su longitud en un día en que la temperatura es de 34 [C]. (Sol. 40.0058 [m]).

4) Un oleoducto de acero tiene 1500 [m] de longitud a una temperatura de 30 [C]. ¿Cuál será su longitud a 10 [C]? (Sol. 1499.64 [m]).

5) Un hilo de latón tiene 20 [m] de longitud a 0 [C]. Determine su longitud si fuera calentado hasta una temperatura de 80 [R]. (Sol 20.034 [m]).

6) Un pedazo de caño de cobre tiene 5 [m] de longitud a 20 [C]. Si fuera calentado hasta una temperatura de 70 [C], ¿en cuánto aumentaría su longitud? (Sol. =.0043 [m]).

7) En cuánto varía la longitud de un cable de plomo de 100 [m] inicialmente a 20 [C], cuando se lo calienta hasta 60 [C]. (Sol. 0.12 [m]).

8) Un caño de hierro por el cual circula vapor de agua tiene 100 [m] de longitud. ¿Cuál es el espacio libre que debe ser previsto para su dilatación lineal, cuando la temperatura varíe de - 10 [C] a 120 [C]? (Sol. 0.234 [m]).

9) En el interior de un horno se coloca una barra de 300,5 [mm] de Lo a una temperatura To = 10 [C] y su Lf pasa a ser 300,65 [mm]. Determinar la Tf del horno; sabiendo que: α = 13*10-6 [C-1]. (Sol. 48.4 [C]).

10) A través de una barra metálica se quiere medir la temperatura de un horno para eso se coloca a una temperatura de 22 [C] en el horno.

Después de un cierto tiempo se retira la barra del horno y se verifica que la dilatación sufrida equivale a 1,2 % de su longitud inicial, sabiendo que α = 11 * 10-6 [C-1]. Determine la temperatura del horno en el instante en que la barra fue retirada. (Sol. 1112.91 [C]).

11) Una barra de hierro a 20 [C] se introduce en un horno cuya temperatura se desea determinar. El alargamiento sufrido por la barra es un centésimo de su longitud inicial. Determine la temperatura del horno. (Sol. 853.33 [C]).

12) La plataforma de la figura es horizontal y está apoyada en 2 columnas; una de Aluminio y otra de Hierro. Determine las longitudes de las barras a 0 [C] para que la plataforma permanezca horizontal a cualquier temperatura, sabiendo que la diferencia de nivel entre los puntos A y B es de 50 [cm]. (Sol. 41 [cm] y 91 [cm]).

13) Una barra de metal de longitud Lo a 0 [C]

sufre un aumento de longitud de 1/100 de Lo cuando se la calienta a 500 [C]. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación del metal? (Sol. 20 * 10-6 [C-1]).

14) Un puente de acero de una longitud de 1 [km] a 20 [C] está localizado en una ciudad cuyo clima provoca una variación de la temperatura del puente entre 10 [C] en la época más fría y de 55 [C] en la época más calurosa. ¿Cuál será la variación de longitud del puente para esos extremos de temperatura? (Sol. 0.81 [m]).

15) Una barra de acero tiene una longitud de 2 [m] a 0 [C] y una de aluminio 1,99 [m] a la misma temperatura. Si se calientan ambas hasta que tengan la misma longitud, ¿cuál debe ser la temperatura para que ocurra? (Sol. 420.88 [C]).

16) Construir la gráfica de la longitud en función de la temperatura para una barra de aluminio que a 0[C] mide 2 [m], considerar la

TERMODINÁMICA


temperatura hasta los 200 [C]. 7.3. DILATACIÓN SUPERFICIAL Y VOLUMÉTRICA .

Dilatación Superficial, es aquella en la que predomina la variación en dos dimensiones de un cuerpo, es decir, hacia el largo y hacia el ancho. Dilatación Volumétrica es aquella en la que la variación es en las tres dimensiones de un cuerpo, es decir hacia el largo, el ancho y el alto. Por analogía con la dilatación lineal, podemos definir:

∆S = β S0 ∆T ∆V = γ V0 ∆T

Donde β y γ las constantes de proporcionalidad que depende de las características del material y las denominamos coeficientes de dilatación superficial y coeficiente de dilatación volumétrico respectivamente, su unidad de medida es la inversa de la

temperatura, es decir [C-1] o )d×,. Reemplazando ∆S = Sf - S0 obtenemos:

Sf - S0 = S0 β ∆T Sf = S0 + S0 β ∆T

Sf = S0 (1 + β ∆T)

Reemplazando ∆V = Vf - V0 obtenemos: Vf - V0 = V0 γ ∆T Vf = V0 + V0 γ ∆T

Vf = V0 (1 + γ ∆T)

Para los valores de β y γ no se necesitan nuevas tablas porque podemos referirnos a la tabla de coeficiente de dilatación lineal ya que β = 2 α y γ = 3 α.

EJEMPLO 23. Un placa de acero de 3 [cm] de radio tiene un orificio central de 1 [cm] de diámetro, para poder incrustarla a otra pieza metálica se la dilata calentándola desde una temperatura de 20 [C] hasta 50 [C], ¿cuál es el radio del orificio en este caso?

SOLUCIÓN Al dilatarse la parte externa de la pieza circular, también lo hace el orificio volviéndose más grande, como la superficie de un círculo es S = π r2 entonces tenemos:

Sf = S0 (1 + β ∆T)

π r2f = π r

20 (1 + β ∆T)

rf = r20 (1 + β ∆T)

rf = 12 (1 + 2 * 12 * 10-6 (50 - 20)) rf = 1.00036 [cm]

EJEMPLO 24. Una probeta de vidrio pirex está graduada hasta 200 [ml] a la temperatura de 20 [C], calcular la dilatación de la probeta a la temperatura de 90 [C] si el coeficiente de dilatación lineal del pirex es



de 27 x 10-6 [C-1].

SOLUCIÓN Al dilatarse el vidrio, también se van dilatando las marcas que gradúan a la probeta y su lectura será mayor en:

∆V = γ V0 ∆T ∆V = 3 * 27 x 10-6 200 * (90 – 20)

∆V = 1.134 [ml] Esto significa que a la temperatura de 90 [C] la capacidad real de la probeta no es de 200 [ml] sino de 201.134 [ml].

EJEMPLO 25. La densidad del Aluminio a 20 [C] es de 2.7

g

cm3 , calcular su densidad

cuando aumente su temperatura hasta 120 [C].

SOLUCIÓN Al aumentar la temperatura los materiales se dilatan, por lo tanto aumentan su volumen pero no sucede nada con la masa, por lo tanto la densidad disminuye de la siguiente manera:

ρ = mV

Vf = V0 (1 + γ ∆T)

ρ = m

V0 (1 + γ ∆T)

ρ = ρ0

1 + γ ∆T

ρ = 2.7

1 + 3 * 24 x 10-6 (120 - 20)

ρ = 2.68

g

cm3

1) Un pino cilíndrico de acero debe ser colocado

en una placa, cuyo orificio es de 200 [cm2] del mismo material que el pino. A una temperatura de 0[C] el área de la sección transversal del pino es de 204 [cm2]. ¿A qué temperatura debemos calentar la placa con orificio, sabiendo que la placa está inicialmente a 0 [C]? (Sol. 833.33 [C]).

2) Un anillo de cobre tiene un diámetro interno de 3,98 [cm] a 20 [C]. ¿A qué temperatura debe ser calentado para que encaje perfectamente en un eje de 4 [cm] de diámetro? (Sol. 316.34 [C]).

3) Una chapa de zinc tiene un área de 6 [m2] a 16 [C]. Calcule su área a 36 [C]. (Sol. 6.0062 [m2]).

4) Determine la temperatura a la cual una chapa de cobre de área 10 [m2] a 20 [C] adquiere el

valor de 10,0056 [m2]. (Sol. 36.47 [C]). 5) Una esfera de acero de radio 5,005 [cm] es

colocada sobre un anillo de zinc de 10 [cm] de diámetro, ambos a 0 [C]. ¿Cuál es la temperatura en la cual la esfera pasa por el anillo? (Sol. 71.59 [C]).

6) Una chapa de acero tiene un área de 36 [m2] a 30 [C]. Calcule su área a 50 [C]. (Sol. 36.017 [m2]).

7) Un disco de plomo tiene a la temperatura de 20 [C]; 15 [cm] de radio. ¿Cuáles serán su radio y su área a la temperatura de 60 [C]? (Sol. 708.55 [cm2] 15.018 [cm]).

8) Una chapa a 0 [C] tiene 2 [m2] de área. Al ser calentada a una temperatura de 50 [C], su área aumenta 10 [cm2]. Determine el coeficiente de dilatación superficial y lineal del material del cual está formada la chapa. (Sol. 10 x 10-6 [C-

TERMODINÁMICA


1] 5 x 10-6 [C-1]). 9) Se tiene un disco de cobre de 10 [cm] de radio

a la temperatura de 100 [C]. ¿Cuál será el área del disco a la temperatura de 0 [C]? (Sol. 313.091 [cm2]).

10) Un cubo metálico tiene un volumen de 20 [cm3] a la temperatura de 15 [C]. Determine su volumen a la temperatura de 25 [C], siendo el coeficiente de dilatación lineal del metal igual a 0,000022 [C-1]. (Sol. 20.0132 [cm3]).

11) Un recipiente de vidrio pirex tiene a 10 [C] un volumen interno de 200 [ml]. Determine el aumento del volumen interno de ese recipiente cuando el mismo es calentado hasta 60 [C]. (Sol. 0.81 [ml]).

12) Un cuerpo metálico en forma de paralelepípedo tiene un volumen de 50 [cm3] a la temperatura de 20 [C]. Determine el volumen final y el aumento de volumen sufrido por el paralelepípedo cuando la

temperatura sea 32 [C]. Se sabe que: α = 0,000022 [C-1]. (Sol. 50.0396 [cm3] 0.0396 [cm3]).

13) Un vendedor de gasolina recibe en su tanque 2000 [l] de gasolina a la temperatura de 30 [C]. Sabiéndose que posteriormente vende toda la gasolina cuando la temperatura es de 20 [C] y que el coeficiente de dilatación volumétrica de la gasolina es de 1,1*10-3 [C-1]. ¿Cuál es el perjuicio (en litros de gasolina) que sufrió el vendedor? (Sol. 22 [l]).

14) ¿Cuál es el volumen de una esfera de acero de 5 [cm] de radio a 0 [C], cuando su temperatura sea de 50 [C]? (Sol. 524.541 [cm3]).

15) 55 [g] de una sustancia ocupan un volumen de 35 [cm3] a la temperatura de 20 [C]. Calcular la densidad de la sustancia a la temperatura de 150 [C] si su coeficiente de dilatación lineal es

de 18 * 10-6. (Sol. 1.5605 ) kN*l,). 7.4. COMPORTAMIENTO TÉRMICO DE LOS LÍQUIDOS .

Básicamente el comportamiento térmico de los líquidos es igual al de los sólidos, es decir, se dilatan cuando se calientan y se contraen al enfriarse, dentro los rangos de presión y temperatura en que no sufren cambios de estado. La dilatación de los líquidos obedece a una ley idéntica a la de los sólidos, por lo tanto:

∆V = γ V0 ∆T o Vf = V0 (1 + γ ∆T)

Como los líquidos necesariamente deben estar contenidos dentro de un recipiente (sólido), para calentar el líquido debemos también calentar el sólido y ambos se dilatan, en consecuencia la diferencia de lecturas en el volumen del recipiente es una dilatación aparente del líquido o, en un caso más sencillo, si tenemos un recipiente totalmente lleno de un líquido a una temperatura T0 y calentamos el sistema hasta una temperatura T, la cantidad de líquido que se derrama sería la dilatación aparente del líquido que estaría dada por:

∆Vap = ∆V líquido - ∆Vsólido

∆Vap = γlíquido V0 ∆T - γsólido V0 ∆T ∆Vap = (γlíquido - γsólido) V0 ∆T

En este punto definimos el coeficiente de dilatación volumétrico aparente como γap = γlíquido - γsólido ∆Vap = γap V0 ∆T

Resultando, para la dilatación aparente una ley idéntica a la de la dilatación tanto en líquidos como en sólidos.

7.5. EL CASO ANÓMALO DEL AGUA . El agua, entre 0 [C] y 4 [C] tiene un comportamiento anómalo, pues si en un recipiente tenemos un volumen de agua a 0 [C] al calentarlo observaremos que en vez de dilatarse se contrae, esto ocurre hasta los 4 [C] pues a partir de ahí y hasta los 100 [C] se dilata, lo mismo ocurre al enfriar, es decir, si enfriamos agua hasta los 4 [C] se contrae pero a partir de 4 [C] hasta 0 [C] no se contrae sino que se dilata. Las consecuencias de este comportamiento las observamos en la naturaleza, por ejemplo:

� El hielo sobre los lagos en los días muy fríos, lo que sucede es que cuando el agua llega a 4



[C] y el ambiente se sigue enfriando el agua no se contrae sino se dilata y su densidad disminuye por ser su volumen más grande, al disminuir su densidad esa agua fría sale a flote y el agua más caliente se hunde por tener mayor densidad formándose, a 0 [C], una capa de hielo sobre agua que está por encima de los 4 [C].

� Las botellas de vidrio se revientan en la heladera cuando el líquido que contienen se congela pues al enfriarse por debajo de los 4 [C] se dilatan (aumentan su volumen) y. por la fuerza que genera, logra romper el recipiente que lo contiene.

EJEMPLO 26. Un recipiente s e llena completamente con un líquido a la temperatura de 10 [C], a esta temperatura la capacidad del recipiente es de 20 [cm3], al calentarlo hasta 80 [C] el recipiente aumenta su capacidad a 20.01 [cm3] y el líquido que se derrama del recipiente cubre un volumen de 0.5 [cm3]. Calcular:

a) El coeficiente de dilatación volumétrica del recipiente b) El coeficiente de dilatación volumétrica aparente. c) El coeficiente de dilatación volumétrica del líquido.

SOLUCIÓN a) Para el sólido tenemos:

∆V = γ V0 ∆T 20.01 – 20 = γ 20 (80 – 10)

0.01 = γ 1400 γ = 7.14 x 10-6 [C-1]

b) Para la dilatación aparente tenemos: ∆Vap = γap V0 ∆T

0.5 = γap 20 (80 – 10) 0.5 = γap 1400

γap = 3.57 x 10-4 [C-1] c) Finalmente, para el líquido tenemos:

γap = γlíquido - γsólido 3.57 x 10-4 = γlíquido – 7.14 x 10-6

γlíquido = 3.64 x 10-4 [C-1]

1) Explique el comportamiento térmico del agua entre los 0 [C] y los 100 [C] cuando está a la presión de una atmósfera, tanto desde su expansión térmica como de su densidad.

2) ¿Por qué no se congela completamente el agua en los lagos y ríos de los países que tienen inviernos rigurosos?

3) ¿Por qué los vasos de vidrio se rompen cuando se les hecha agua caliente?

4) Un frasco de vidrio pirex tiene una capacidad de 500 [ml] a la temperatura de 20 [C], en estas condiciones se llena completamente de un líquido y el sistema se calienta hasta 120 [C] derramándose 40 [cm3] de líquido. a) Determine el coeficiente de dilatación

volumétrica aparente. b) Determine el coeficiente de dilatación

volumétrica del líquido. 5) A partir de la tabla dada construir las gráficas del volumen y de la densidad del agua en función de la temperatura entre l0s 0 [C] y los 20 [C]. 6) Para determinar el coeficiente de dilatación volumétrica de un líquido se utiliza un frasco de

Aluminio de 200 [cm3] totalmente lleno con el líquido a la temperatura de 20 [C], el sistema

T [C] ρ ) kN*l, 0 0.999868 1 0.999927 2 0.999968 4 1.000000 5 0.999992 10 0.999727 15 0.999126 20 0.998230

TERMODINÁMICA


se calienta hasta 150 [C] y se observa que se han derramado 11.8 [cm3] de líquido, ¿cuál es el coeficiente de dilatación volumétrica del líquido?

7) Un cisterna de 10000 [l] a la temperatura de 25 [C] está lleno de gasolina y los descarga al depósito de un surtidor, este vende la gasolina a una temperatura promedio de 18 [C] ¿Cuál es la pérdida en capacidad sufrida por el vendedor?

8) Una compañía vende 50000 [l] de petróleo en una ciudad donde la temperatura es de 28 [C], este líquido es recibido en otra ciudad más fría donde la temperatura es de 6 [C] ¿Cuál es la

diferencia de volumen de petróleo entre ambas ciudades?

9) Calcular el valor de la densidad del mercurio a

125 [C] si a 0 [C] es de 13.6 ) kN*l, (Sol. 13.3 ) kN*l,). 10) Un recipiente de acero está totalmente lleno

de mercurio a la temperatura de 120 [C], si la masa del mercurio contenido en el recipiente es de 1360 [g]. Calcular la capacidad que tiene el recipiente a la temperatura de 0 [C]. (Sol. 101.7 [cm3]).

7.6. COMPORTAMIENTO TÉRMICO DE LOS GASES . El modelo de gas que adoptaremos para nuestro estudio es el denominado “gas ideal” que tiene las siguientes características físicas:

� Se mueven caóticamente, también llamado movimiento browniano. � Al chocar con las otras moléculas y las paredes del recipiente que lo contiene lo hace

elásticamente, es decir, sin perder energía. � No hay interacciones mutuas entre las moléculas del gas. � Todas las moléculas juntas presentan un volumen despreciable en comparación con el volumen

que ocupan como gas. Con este modelo, un gas al calentarse se dilata y sigue la misma ley de dilatación que los sólidos y líquidos si y solo si la presión se mantiene constante, es decir:

∆V = γp gas V0 ∆T o Vf = V0 (1 + γp gas ∆T)

Donde γp gas = 1

273 [C-1] es el coeficiente de dilatación de cualquier gas a presión constante medida

siempre con la temperatura inicial de 0 [C], (T0 = [C]), con este dato no queda:

∆V = γp gas V0 T o Vf = V0 (1 + γp gas T)

De la misma manera, si el gas se dilata (Aún cuando el volumen permanece constante, se acostumbra a llamar dilatación de un gas al aumento de la presión por efecto de la temperatura.) a volumen constante llegamos a la siguiente ley:

∆P = γv gas P0 ∆T o Pf = P0 (1 + γv gas ∆T)

Donde γv gas = 1

273 [C-1] es el coeficiente de dilatación de cualquier gas a volumen constante medida

siempre con la temperatura inicial de 0 [C], (T0 = [C]), con este dato no queda:

∆P = γv gas P0 T o Pf = P0 (1 + γv gas T)

EJEMPLO 27. 1000 [l] de nitrógeno a – 20 [C] se calientan hasta 120 [c] ¿cuál es el cambio de volumen sufrido por el nitrógeno?

SOLUCIÓN. Si para este cálculo usamos:

∆V = γp gas V0 ∆T ∆V = (1/273) * 1000 * (120 – (-20))



∆V = 512.82 [l] No estaríamos en lo correcto porque el coeficiente de dilatación volumétrica de los gases es válido cuando la temperatura inicial es 0 [C], por lo tanto realizamos dos cálculos de 0 [C] a - 20 [C] y de 0 [C] a 120 [C].

Vf = V0 (1 + γp gas ∆T 1000 = V0 (1 + (1/273) (- 20))

V0 = 1079.0514 [l] Vf = 1079.0514 (1 + (1/273) * 120)

Vf = 1553.36 [l] ∆V = 1553.36 – 1000 = 553.36 [l]

7.7. TRANSFORMACIONES A P , V Y T CONSTANTES, DIAGRAMA P - V Las tres variables que analizaremos en un gas son la presión P, la temperatura T y el volumen V, cuando conocemos estas tres variables decimos que conocemos el estado de un gas, es decir, sabemos en un momento dado en qué estado está un gas. Para que un gas cambie de un estado inicial caracterizado por (P0, V0 y T0) a otro (P, V y T) lo puede hacer mediante tres procesos que son:

� Proceso isobárico o transformación de un estado del gas a otro a presión constante, también conocida como ley de Gay – Lussac, en este caso la presión es la misma al principio y al final. En la figura mostramos la expansión desde V2 hasta V3 cambiando su temperatura desde T1 hasta T2 a la presión constante de P1, también mostramos la comprensión desde V2 hasta V1 enfriándose desde T2 hasta T1 a la presión constante de P2, La ecuación de transformación para este proceso es:

P0

V0

T0

Estado inicial → Estado final P0

V

T

V0

T0 =

VT

� Proceso isócoro o transformación de un estado del gas a otro a volumen constante, también conocida como ley de Charles, en este caso el volumen es el mismo al principio y al final. En la figura observamos uno de los procesos a V1 constante donde al aumentar su presión desde P2 hasta P3 su temperatura también aumenta desde T1 hasta T2, también observamos la caída de presión desde P2 hasta P1 y la disminución de temperatura desde T2 hasta T1 al volumen constante de V2. La ecuación de transformación para estos procesos será:

P0

V0

T0

Estado inicial → Estado final P

V0

T

P0

T0 =

PT

0 V1 V20

P1

P2

P3

Procesos isocóricos

Volumen

Pre

sió

n

T2

T1

0 V1 V2 V30

P1

P2

Procesos isobáricos

Volumen

Pre

sión

T2

T1

TERMODINÁMICA


�Proceso isotérmico o transformación de un estado del gas a otro a temperatura constante, también conocida como ley de Boyle - Mariotte, en este caso la temperatura es la misma al principio y al final. En la figura observamos el proceso de expansión a la temperatura T1 donde su volumen aumenta desde V1 hasta V2 y la presión disminuye desde P3 hasta P1, también observamos la compresión a la temperatura constante T2, disminuyendo su volumen desde V2 hasta V1 y aumentando su presión desde P2 hasta P4. La ecuación de transformación es:

P0

V0

T0


V

T0

P0 V0 = P V Estas tres leyes se pueden unir en una sola ecuación que la llamamos ecuación general de los gases, en este caso ninguna variable permanece constante. En la gráfica podemos observar cómo un gas va del estado P0, V0, T0 al estado P, V, T mediante dos procesos, el 1 consta de un proceso isobárico y otro isócoro; el 2 consta de un proceso isócoro y otro isotérmico, por lo tanto:

P0

V0

T0


V

T

P0 V0

T0 =

P VT

Finalmente, el científico francés Clapeyron estableció la ecuación de estado de un gas dada por: P V = n R T

Donde n es el número de moles de un gas que es igual al cociente entre la masa del gas y su masa molecular y R es la constante universal de los gases cuyo valor en el SI es:

R = 8.317

kg m2

K mol s2 = 8.317

Pa m3

K mol = 8.317

J

K mol

Esta constante la podemos expresar en otras unidades R = 0.082

atm l

K mol = 62.4

mmHg l

K mol

EJEMPLO 28. En la figura se muestra el proceso cíclico de una máquina de gas. a) Describir los procesos. b) Calcular la temperatura máxima y el volumen máximo con que trabaja la máquina c) El número de moles del gas que intervienen en el proceso.

SOLUCIÓN. a) Si empezamos del vértice superior izquierdo y en sentido de las manecillas del reloj, el primer proceso es

una expansión a la presión constante de 5 [atm] desde 20 [l] hasta V, el segundo es un proceso isócoro bajando tanto la presión desde 5 [atm] hasta 2 [atm] como la temperatura desde T (isoterma superior) hasta 300

0 V1 V20

P1

P2

P3

P4

Volumen

Pre

sión

Procesos isetérmicos

T1T2

0 V0 V0

P

P1

P0

Volumen

Pre

sió

n

Proceso general

T0

T

1

2

0 20 V 700

2

5

8

V [l]

P [

atm

]

300 [K]

T



[K] (isoterma inferior), el último proceso es una compresión isotérmica de V a 20 [l] aumentando la presión de 2 [atm] a 5 [atm]. b) Escribiendo las ecuaciones para cada proceso tenemos:

20300 =

VT

5T =

2300

2 V = 5 * 20 Con la segunda obtenemos T = 750 [K] y con la tercera V = 50 [l]. c) Para esto usamos la ecuación de estado en cualquier punto del ciclo, si tomamos el punto inicial tenemos:

P V = n R T 5 * 20 = n 0.082 * 300

n = 4.1 [mol]

EJEMPLO 29. En el proceso cíclico de la figura calcular:

d) La presión máxima con que trabaja el ciclo. e) El volumen mínimo con que trabaja el ciclo. f) La temperatura intermedia con que trabaja el ciclo. g) El número de moles del gas

SOLUCIÓN. a) y c) Para los procesos 1 – 2 y 3 – 4 tenemos:

PT2

= 3

320

3T2

= P

720

P = 3 T2

320 = 3 * 720

T2

T2 = 3 * 720 * 320

3

T2 = 480 [K] = 207 [C] P = 4.5 [atm]

b) En el proceso 4 – 1 tenemos: 80720 =

V480 V = 53.3 [l]

d) Utilizando la ecuación de estado tenemos: 3 80 = n 0.082 * 480 n = 6.1 [mol]

1) ¿Cuál será la variación de presión que se

produce cuando calentamos hidrógeno isocóricamente desde 20 [C] y a 3 [atm] hasta 180 [C]? (Sol. 1.64 [atm]).

2) Demostrar la ecuación general de los gases a partir de dos procesos: a) Isobárico e isotérmico. b) Isócoro e isobárico.

c) Isotérmico e isócoro. d) Isotérmico e isobárico.

3) Aplicando: a) La ecuación de dilatación volumétrica a

presión constante (Vf = V0 (1 + γp gas ∆T)) calcular el volumen final de un gas al que se lo enfría desde 0 [C] hasta – 273 [C]

b) La ley de Gay – Lussac (proceso isobárico),

N° Proceso P [atm] V [l] T [K] 1 Isobárico 5 De 20 a V De 300 a T 2 Isócoro De 5 a 2 V De T a 300 3 Isotérmico De 2 a 5 De V a 20 300

20 V 800

3

P

V [l]

P [

atm

]

320 [K]

T2

720 [K]1

2 3

4

TERMODINÁMICA


calcular el volumen final de un gas al que se lo enfría desde 0 [C] hasta – 273 [C].

c) ¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos resultados?

4) ¿Será que en los tres procesos definidos, la ecuación general y la ecuación de estado podemos trabajar con temperatura en escalas no absolutas?

5) En las siguientes figuras representamos los ciclos con que funcionan máquinas de gas, en cada una de ellas: describir los procesos del ciclo, calcular el número de moles del gas que interviene en el proceso y los valores desconocidos de presión, volumen y/o temperatura indicados en las gráficas.

a) (Sol.

9 [atm], 30 [l], 900 [K] y 3.66 [mol]).

b) (Sol. 4 [atm], 25 [l], 900 [K] y 3.39 [mol]).

c) (Sol. 1 [atm], 90 [l], 1800 [K] y 1.83 [mol]).

0 10 V 90 0

3

P

V [l]

P [

atm

]

300 [K]T

10 15 V0

P

10

V [l]

P [

atm

]

360 [K]

540 [K]

216 [K]

T

0 30 V0 P

3

9

V [l]

P [

atm

]600 [K]

T


CAPÍTULO 8:TEORÍA CINÉTICO MOLECULAR.

Contenido Orientaciones metodológicas Postulados. Describir y utilizar las características del modelo de gas ideal.

Ecuación fundamental.

Deducir la ecuación fundamental de los gases a partir de principios mecánicos y de conservación. Relacionar la ecuación fundamental de los gases con la ecuación de estado.

Cambio de la energía interna de un gas ideal.

Relacionar la energía interna de un gas ideal con la energía cinética de sus moléculas. Expresar física y matemáticamente la relación íntima entre energía interna y temperatura del gas ideal. Conceptualizar matemática y físicamente la velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas, relacionándola con la temperatura del sistema.

Primer principio de la termodinámica.

Establecer el primer principio de la termodinámica y asociarlo a la conservación de la energía en un sistema cerrado.

Trabajo.

Definir el trabajo de un sistema gaseoso como el área generada en el gráfico P – V. Asimilar física y matemáticamente la relación del trabajo con cada uno de los procesos termodinámico.

Segundo principio de la termodinámica.

Establecer las restricciones que se dan físicamente en la conversión de calor en trabajo y energía interna de los gases ideales. Definir términos como fuente fría y fuente caliente de un sistema.

Rendimiento de un motor térmico.

Especificar física y matemáticamente el rendimiento de una máquina térmica y expresarla en función de las fuentes fría y caliente del sistema.

El ciclo de Carnot.

Describir el ciclo de Carnot en función de sus procesos termodinámicos. Graficar el ciclo de Carnot indicando los puntos donde actúan las fuentes fría y caliente. Identificar el ciclo de Carnot como el de máximo rendimiento entre las fuentes fría y caliente.

Teoría cinético molecular.


8.1. POSTULADOS. Queremos insistir en esta sección acerca de las características del gas ideal, mencionadas en la página 82.

� Se mueven caóticamente, también llamado movimiento browniano. � Al chocar con las otras moléculas y las paredes del recipiente que lo contiene lo hace

elásticamente, es decir, sin perder energía. � No hay interacciones mutuas entre las moléculas del gas. � Todas las moléculas juntas presentan un volumen despreciable en comparación con el volumen

que ocupan como gas. Esta insistencia es necesaria por dos razones: primero porque todo lo que deduciremos a partir de aquí es válido solo para gases ideales y segundo que todo lo deducido en aquella sección también es válido para este capítulo.

8.2. ECUACIÓN FUNDAMENTAL . Mediante consideraciones mecánicas y estadísticas demostraremos que la presión de un gas ideal está relacionada con la velocidad media de las moléculas de un gas a partir de una molécula confinada en un recipiente en forma de paralelepípedo: �Z � Y�Z XZ � = �Z X ∆� = � − �Z = �Z X − (−�Z XZ) = �Z(X + XZ) En una colisión elástica: ∆� = 2�ZX � = ∆�∆� = 2�ZX∆� = 2�ZX2 ∆SX = �ZX�∆S

� = �̈ = �ZX�∆S̈ = �ZX�∆S ¨ = �ZX�¦ � ¦ = �ZX� Si tenemos N moléculas moviéndose en una dirección. � ¦ = ��ZX� = � X� Si se mueven en las 3 dimensiones � ¦ = 13 � X�

� = �¿ = ��Õ

� = � ¿ = ��Õ ¿

� ¦ = 13 � ¿ X� ØÙÙÚÙÙÛ

� {� sT ��{��ó� �{��T {� ��T�¦ {� {s X�sz�{� �{s �{r��{��{ �{�� {� ��!�� {� {s �ú�{�� { ��s{� �{�� {� ��s�¿ {� sT �T�T ��s{rzsT� �{s �T� �{��T {� � ��s X {� sT X{s�r��T� �{��T �{ sT� ��sérzsT� �{s �T� �{��T {� )�� ,

� ¦ = 13 ��Õ ¿ X�

Si relacionamos esta ecuación con la de Clapeyron o ecuación de estado de un gas ideal, es decir:

TERMODINÁMICA


� ¦ = � Ý À Obtenemos Ý À = 13 ¿ X�

X = ¤3 Ý À¿

Esta ecuación es válida para los 3 grados de libertad �M, que tiene una molécula monoatómica para diferentes grados de libertad tenemos: � ¦ = 1�M � ¿ X�

X = ¤�M Ý À¿

Las moléculas diatómicas tienen 5 grados de libertad y las de 3 o más átomos (poliatómicas) tienen 6 grados de libertad También podemos escribir esta ecuación en función del coeficiente adiabático: Þ = �M + 2�M = 1 + 2�M

Monoatómico Diatómico Poliatómico Þ = 53 Þ = 75 Þ = 43

�M = 2Þ − 1

� ¦ = Þ − 12 � ¿ X�

X = ¤ 2Þ − 1 Ý À¿

Esta velocidad es conocida también como la velocidad cuadrática media de un gas ideal. Resulta muy importante esta ecuación ya que podemos calcular la energía cinética media de un gas considerando que el cociente

*ß = �. masa sobre masa molecular es igual al número de moles. tN = 12 � X�

tN = 12 � 3 Ý À¿

tN = 32 � Ý À

tN = �M2 � Ý À ØÙÚÙÛ tN {� sT {�{��íT r��é��rT �{��T {� ��M {� {s �ú�{�� { ��T�� { s��{��T� �{ sT� ��sérzsT� �{s �T� � {� {s �ú�{�� { ��s{� �{�� {� ��s�Ý {� sT r��T��{z��X{��Ts �{ s�� T�{� �{��T {� � ��s à À {� sT �{��{�T�z�T �{s �T� �{��T {� �à�

8.3. CAMBIO DE LA ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL . En los gases ideales podemos considerar que toda la energía interna del gas se debe a la energía cinética de sus moléculas, si simbolizamos la energía interna mediante la letra U (u mayúscula), el



cambio de esta energía será: ∆tN = ∆á = 32 � Ý ∆À

Ecuación válida para 3 grados de libertad �M, para diferentes grados de libertad tenemos: ∆tN = ∆á = �M2 � Ý ∆À

Monoatómico Diatómico Poliatómico ∆tN = ∆á = 32 � Ý ∆À ∆tN = ∆á = 52 � Ý ∆À ∆tN = ∆á = 3 � Ý ∆À

En función del coeficiente adiabático Þ = �M + 2�M = 1 + 2�M Monoatómico Diatómico Poliatómico Þ = 53 Þ = 75 Þ = 43

�M = 2Þ − 1

∆tN = ∆á = 1Þ − 1 � Ý ∆À ØÙÚÙÛ ∆á {� sT {�{��íT ��{��T �{s �T� �{��T {� ��Þ {� {s r�{��r�{��{ T��T�á��r� �{s �T� � {� {s �ú�{�� { ��s{� �{�� {� ��s�Ý {� sT r��T��{z��X{��Ts �{ s�� T�{� �{��T {� � ��s à À {� sT �{��{�T�z�T �{s �T� �{��T {� �à�

A partir de esta relación podemos deducir que: � Cuando aumenta la temperatura (∆T > 0), habrá un aumento de la energía interna (∆U > 0). � Cuando disminuya la temperatura (∆T < 0), disminuirá la energía interna (∆U < 0). � Cuando la temperatura permanezca constante (∆T = 0), la energía interna también permanecerá

constante (∆U = 0).

EJEMPLO 30. La densidad del hidrógeno en condiciones normales es de 0.0899 [kg/m3], calcular la temperatura y la velocidad cuadrática media de sus moléculas.

SOLUCIÓN. Las condiciones normales nos indican una presión de 1 [atm] y temperatura de 0 [C] = 273 [K], con estos datos tenemos en la ecuación de estado:

P V = n R T

P V = mM R T

T = P V Mm R

T = P Mρ R

T = 1 [atm] 2

g

mol

0.0899 g

l 0.082

atm l

K mol

= 271.3 [K]

TERMODINÁMICA


v = 3 R T

M

v = 3 R

P Mρ R

M = 3 Pρ

v = 3 Pρ =

3 * 101300 [Pa] 0.0899 [kg/m3]

v = 1838.6 [m/s]

EJEMPLO 31. ¿A qué temperatura la velocidad cuadrática media de las moléculas de CH2 es igual a la de las moléculas de H2 a 0 [C]?

SOLUCIÓN. El hidrógeno, a 0 [C] tiene una velocidad cuadrática media de:

v = 3 R T

M

v = 3 * 8.317

kg m2

K mol s2 273 [K]

0.002

kg

mol

v = 1845.48 [m/s] El CH2 tendrá esta velocidad cuando la temperatura sea:

v = 3 R T

M

T = v2 M3 R

T = (1845.48)2 0.014

3 * 8.317

T = 1911 [K]

EJEMPLO 32. ¿A qué temperatura la velocidad cuadrática media de las moléculas de oxígeno será igual a 480 [m/s]?

SOLUCIÓN. Del anterior ejemplo tenemos:

T = v2 M3 R

T = (480)2 0.032

3 * 8.317

T = 295.5 [K]

EJEMPLO 33. Un tanque contiene 50 [mol] de nitrógeno gaseoso a 20 [atm] de presión, si el volumen del tanque es de 100 [l] ¿cuál será la velocidad cuadrática media de las moléculas?

SOLUCIÓN.

v = 3 R T

M



Como: P V = n R T ó R T = P Vn

v = 3

P Vn

M = 3 P Vn M

v = 3 * 20 [atm] 100 [l]50 [mol] 28 [g/mol]

1.013 *105 [Pa]1[atm]

1 [m3] 103 [l]

103 [g]1 [kg]

v = 658.9 [m/s]

EJEMPLO 34. Calcular el cambio de energía interna que experimentan 960 [g] de oxígeno cuando la temperatura cambia de 10 [C] a 28 [C].

SOLUCIÓN. ∆U =

32 n R ∆T =

32

mM R ∆T

∆U = 32

960 [g]

32

g

mol

8.317

kg m2

K mol s2 18 [K]

6736.8 [J]

1) El cambio de la energía interna de un gas depende: a) Sólo de la temperatura del gas. b) Sólo de la presión de un gas. c) De la presión y la temperatura. d) De la temperatura y de la naturaleza del gas. e) Sólo de la naturaleza del gas.

2) ¿Puede ser negativo el cambio de energía interna de un gas? ¿en qué condiciones?

3) Indicar la veracidad o falsedad de: si la velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas es duplicada: a) La energía cinética media del gas también

se duplica. b) La temperatura del gas se duplica c) La temperatura del gas se cuadriplica d) La temperatura del gas no se modifica e) La presión del gas se duplica.

4) Calcular la energía cinética media de las moléculas de 20 [g] de helio a la temperatura de 27 [C], la masa molecular del Helio es de 4 [g/mol]. Sol. (18713 [J]).

5) La velocidad de escape en la superficie

terrestre es de 11200 [m/s]. Considerando que el aire está compuesto principalmente de Nitrógeno, Oxígeno e Hidrógeno, calcular la temperatura de la atmósfera en cada caso para que las moléculas del aire se escapen de la tierra. Sol. (140768.7 [K], 160878.5 [K], 10054.9 [K]).

6) ¿A qué temperatura la velocidad cuadrática media de las moléculas de H2 es igual a la de las moléculas de CH2 a 2000 [C]? Sol. (324.7 [K]).

7) ¿A qué temperatura la velocidad cuadrática media de las moléculas de Cloro será igual a 600 [m/s]? Sol. (490.56 [K]).

8) Un tanque contiene 80 [mol] de Hidrógeno gaseoso a 40 [atm] de presión, si el volumen del tanque es de 20 [l] ¿cuál será la velocidad cuadrática media de las moléculas? Sol. (1232.7 [m/s]).

9) Calcular el cambio de energía interna que experimentan 800 [g] de Nitrógeno cuando la temperatura cambia de 20 [C] a 280 [C]. Sol. (92675 [J]).

8.4. PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA . Las aplicaciones prácticas de los sistemas gaseosos están plasmadas en las máquinas térmicas que transforman una forma de energía en otra, por lo tanto, las máquinas térmicas realizan un trabajo intercambiando energía calorífica con el medio ambiente el resultado de ambos procesos se ve traducido en un incremento o en una disminución de la energía interna del gas. La primera ley

TERMODINÁMICA


relaciona estos intercambios de energía a través de una ecuación matemática que no viole el principio físico de la conservación de la energía y será:

∆U = ∆Q - W ∆U es el cambio de energía interna medida en [J]∆Q es el cambio de energía calorífica medido en [J]W es el trabajo realizado medido en [J]

La energía calorífica recibida o entregada por una máquina térmica menos el trabajo que realiza esta máquina afecta la energía interna del gas con el que opera la máquina.

8.5. TRABAJO . Definiremos ahora el trabajo realizado por una máquina térmica. Es la energía útil que una máquina térmica puede entregar o recibir del medio ambiente; en caso de que la máquina entregue trabajo al medio ambiente este será positivo, si la máquina recibe trabajo del medio ambiente será negativo. Matemáticamente, el trabajo, podemos calcularlo en la gráfica P V mediante el área bajo la curva del proceso como vemos a continuación: En esta figura el proceso es isobárico (a presión constante), el Volumen aumenta desde V1 hasta V2, al igual que la temperatura aumenta desde T1 hasta T2 debido al calor que se le proporciona al gas. Al aumentar la temperatura la energía interna del gas aumenta según:

∆U = 32 n R ∆T

El aumento del volumen del gas hace que el émbolo (pistón) del cilindro se mueva pudiendo realizar un trabajo que será el área del rectángulo sombreado:

W = P ∆V = P (Vf – Vi) Para este proceso la primera ley de la termodinámica queda como:

∆U = ∆Q – W 32 n R ∆T = ∆Q - P (Vf – Vi)

El proceso de la figura es isócoro (a volumen constante), la presión aumenta desde P1 hasta P2, al igual que la temperatura aumenta desde T1 hasta T2 debido al calor que se le proporciona al gas. Al aumentar la temperatura la energía interna del gas aumenta según:

∆U = 32 n R ∆T

Como el volumen es constante, el émbolo (pistón) del cilindro no se mueve, por lo tanto no realiza ningún trabajo, es decir:

W = 0 Para este proceso la primera ley de la termodinámica queda como:

∆U = ∆Q – W



32 n R ∆T = ∆Q

El calor proporcionado al gas solo hace que este aumente su temperatura y en consecuencia también su energía interna. En esta figura el proceso es isotérmico (a temperatura constante), el Volumen aumenta desde V1 hasta V2, mientras que la presión disminuye desde P2 hasta P1 debido al calor que se le proporciona al gas. Como la temperatura permanece constante la energía interna del gas no aumenta ni disminuye, por lo tanto:

∆U = 0 El aumento del volumen del gas hace que el émbolo (pistón) del cilindro se mueva pudiendo realizar un trabajo que será el área de la figura sombreada, es decir:

W = n R T ln

Vf

Vi = n R T ln

Pi

Pf

Para este proceso la primera ley de la termodinámica queda como:

∆U = ∆Q – W

0 = ∆Q - n R T ln

Vf

Vi

En este caso todo el calor entregado al gas se convierte en trabajo realizado por la expansión del émbolo (pistón) del cilindro. Finalmente tenemos el proceso adiabático (sin cambio de calor ∆Q = 0) que representamos en la figura con la línea más gruesa; su ecuación es:

Pi Vγ;i = Pf Vγ;f

Donde el valor de γ es de 53 para gases monoatómicos o

gases nobles, 75 para gases diatómicos y

43 para gases con

más de dos átomos. El Volumen aumenta desde V1 hasta V2, mientras que la presión disminuye desde P2 hasta P1 y la temperatura también disminuye desde T2 hasta T1. Como no hay intercambio de calor, tenemos:

∆Q = 0 El aumento del volumen del gas hace que el émbolo (pistón) del cilindro se mueva pudiendo realizar un trabajo que será el área de la figura sombreada, es decir:

W = - 32 n R ∆T

Para este proceso la primera ley de la termodinámica queda como: ∆U = ∆Q – W

∆U = 0 – (- 32 n R ∆T) =

32 n R ∆T

Es decir que el trabajo que realiza la máquina es a expensas de la energía interna del gas.

TERMODINÁMICA


8.6. APLICACIONES DEL PRIMER PRINCIPIO .

EJEMPLO 35. Un mol de gas monoatómico ideal se mantiene a 300 [K] en un recipiente a volumen constante. Luego se pone en contacto con un baño a una temperatura de 250 [K].

a) ¿Cuál es el trabajo realizado por el gas? b) ¿Cuál es el cambio de energía interna que sufre el gas? c) ¿Cuánto calor elimina el gas al enfriarse?

SOLUCIÓN. a) Como el proceso es isócoro (a volumen constante), el gas no realiza trabajo, W = 0 [J]. b) El cambio de energía interna calculamos mediante:

∆U = 32 n R ∆T

∆U = 32 1 [mol] 8.317

J

K mol (- 50) [K]

∆U = - 623.775 [J] = - 149.23 [cal] El signo negativo significa que el gas disminuye su energía interna. c) Por la primera ley tenemos:

∆U = ∆Q – W - 623.775 [J] = ∆Q – 0

∆Q = - 623.775 [J] = - 149.23 [cal] El signo negativo significa que el gas elimina calor. Esta eliminación de calor es a expensas de la energía interna.

EJEMPLO 36. Un gas ideal está en contacto con un baño (baño maría) que mantiene su temperatura constante a 27 [C], en estas condiciones se comprime desde un volumen de 20 [l] hasta 12 [l] absorbiendo del medio ambiente 3 [J] de energía en el mecanismo que empuja al pistón.

d) ¿Cuál es el trabajo absorbido por el gas? e) ¿Cuál es el cambio de energía interna que sufre el gas? f) ¿Cuánto calor elimina el gas al comprimirse?

SOLUCIÓN. a) Como el proceso es isotérmico (a temperatura constante), el gas al comprimirse absorbe trabajo (es negativo) del medio ambiente, por lo tanto:

W = - 3 [J]. b) No hay cambio de energía interna porque la temperatura no cambia.

∆U = 0 [J] c) Por la primera ley tenemos:

∆U = ∆Q – W 0 [J] = ∆Q – (- 3) [J]

∆Q = - 3 [J] = - 0.718 [cal] El signo negativo significa que el gas elimina calor. Esta eliminación de calor es a expensas de la compresión del gas.

EJEMPLO 37.



Un gas ideal trabaja a una temperatura constante de 60 [C] expandiéndose hasta que ocupa un volumen tres veces mayor al inicial, si la cantidad de gas es de 2 [mol]:

g) ¿Cuál es el trabajo realizado por el gas? h) ¿Cuál es el cambio de energía interna que sufre el gas? i) ¿Cuánto calor absorbe el gas al expandirse?

SOLUCIÓN. a) Como el proceso es isotérmico (a temperatura constante), el gas al expandirse realiza trabajo al medio ambiente que podemos calcular con:

W = n R T ln

Vf

Vi.

W = 2 * 8.317 * 333 ln

3 Vi

Vi

W = 6085.35 [J] = 1455.82 [cal] b) No hay cambio de energía interna porque la temperatura no cambia.

∆U = 0 [J] c) Por la primera ley tenemos:

∆U = ∆Q – W 0 [J] = ∆Q – 6085.35 [J]

∆Q = 6085.35 [J] = 1455.82 [cal] El signo positivo significa que el gas absorbe calor del medio ambiente para poder realizar un trabajo sin alterar su energía interna.

EJEMPLO 38. 3 [mol] de un gas diatómico ideal se encuentra inicialmente a una temperatura de de 20 [C] y a una presión de 1 [atm]; adiabáticamente se comprime hasta la mitad de su volumen inicial.

j) ¿A qué temperatura y a qué presión llega el gas? k) ¿Cuál es el trabajo absorbido por el gas? l) ¿Cuánto calor elimina el gas al comprimirse? m) ¿Cuál es el cambio de energía interna que sufre el gas?

SOLUCIÓN. a) Como el proceso de compresión es adiabático usamos la relación:

Pi Vγi = Pf V

γf

Con γ = 75 por ser un gas diatómico.

1 [atm] Vγi = Pf

1

2

75 Vγ

i

Pf = 2.64 [atm] Con la ecuación de estado podemos calcular el volumen inicial, es decir:

Pi Vi = n R Ti

1 [atm] Vi = 3 [mol] 0.082

atm l

K mol 293 [K]

V i = 72.078 [l] El volumen final será la mitad. Es decir:

Vf = 36.039 [l]

TERMODINÁMICA


Usando nuevamente la ecuación de estado para el punto final tenemos: Pf Vf = n R Tf

2.64 [atm] 36.039 [l] = 3 [mol] 0.082

atm l

K mol Tf

Tf = 386.76 [K] = 113.76 [C]. b) El trabajo calculamos con la ecuación:

W = - 32 n R ∆T

W = - 32 * 3 * 8.317 (386.76 – 293)

W = - 3509.11 [J] El signo negativo significa que el gas no realiza trabajo sobre el medio ambiente sino al contrario, es decir, el medio ambiente realiza trabajo sobre el gas (lo comprime). c) Por ser un proceso adiabático ∆Q = 0 [J] d) Por la primera ley tenemos:

∆U = ∆Q – W ∆U = 0 – (-3509.11) [J]

∆U = 3509.11 [J] El signo positivo significa que aumenta su energía interna, esto debido a que el medio ambiente realiza trabajo sobre el gas y lo aprovecha para incrementar su energía interna.

1) ¿Cómo podemos diferenciar entre el trabajo

realizado por el gas hacia el medio ambiente y el trabajo realizado por el medio ambiente sobre el gas.

2) ¿Cuánto vale el trabajo realizado en un proceso isócoro y por qué?

3) ¿Cómo calculamos el trabajo de un gas auxiliados con la gráfica P – V?

4) Explique los signos positivo y negativo para el trabajo, el cambio de energía interna y la variación de calor.

5) ¿Qué es un proceso adiabático y cuál es su relación matemática?

6) ¿Qué valores adquiere el coeficiente adiabático γ y con qué característica del gas se relaciona?

7) ¿Cuál es la ecuación del trabajo realizado por un gas para casa uno de los cuatro procesos?

8) 10.5 [g] de Nitrógeno se expanden por vía isotérmica a la temperatura de 23 [C], disminuyendo su presión desde 2.5 [atm] hasta 1 [atm]. Calcular: a) El trabajo realizado por el gas en la

expansión. b) El cambio de energía interna que

experimenta el gas. c) La cantidad de calor absorbida por el gas.

Sol. (845.91 [J], 0 [J], 845.91 [J]) 9) Al expandirse isotérmicamente 10 [g] de

Hidrógeno a 17 [C], el absorbe 860 [J] de energía calorífica del medio ambiente. ¿En cuántas veces disminuyó la presión del Hidrógeno? Sol. (0.93)

10) El trabajo realizado al expandirse isotérmicamente 20 [g] de un gas desde un volumen inicial hasta el doble de ese volumen es de 575 [J]. Calcular la velocidad cuadrática media de las moléculas del gas a esa temperatura. Sol. (352.75 [m/s])

11) 0.85 [mol] de un gas se expande isobáricamente desde un volumen V1 hasta V2, elevando su temperatura desde 250 [K] hasta 300 [K]; luego continúa su expansión pero isotérmicamente hasta llegar a un volumen V3 y bajando su presión desde 400 [kPa] hasta 100 [kPa], ahora el gas se comprime isobáricamente hasta un volumen de 0.8 [l], bajando su temperatura nuevamente a 250 [K]; finalmente, mediante un proceso isotérmico se lleva el gas a su estado inicial.



a) Haga un esbozo de la gráfica P – V de los cuatro procesos.

b) ¿Cuál es el trabajo total realizado por el gas? Sol. (490 [J])

12) Un gas se encuentra a 17 [C] y a 2 [atm] ocupando un volumen de 5 [l], se calienta y dilata mediante un proceso isobárico realizando un trabajo de 200 [J] ¿Cuál es la temperatura final del gas? Sol. (347.26 [K])

13) En un recipiente cerrado de 12 [l] de capacidad hay Nitrógeno a una densidad de 1.4 [kg/m3] ¿Qué cantidad de calor habrá que cederle al Nitrógeno para que su temperatura aumente en 100 [C]? Sol. (748.53 [J])

14) 1000 [mol] de Nitrógeno en condiciones normales se expanden adiabáticamente quintuplicando su volumen inicial. Calcular: a) La variación de la energía interna del gas. b) El trabajo realizado por el gas al expandirse.

Sol. (1.62*106 [J], - 1.62*106 [J]). 15) Durante la compresión adiabática de 1 [mol]

de una gas diatómico se realizó un trabajo de 146 [J] ¿Cuánto cambió la temperatura del

gas? Sol. (11.63 [K]) 16) 10 [g] de Oxígeno en condiciones normales

se comprimen hasta un volumen de 1400 [cm3]. Calcular la presión y la temperatura después de la compresión. a) Isotérmica. b) Adiabática. c) El trabajo en cada uno de los procesos. d) El calor y el sentido en el que fluye en

ambos procesos. e) La variación de energía interna de ambos

procesos. Sol. (a) 50.03 [atm], 273 [K]; b) 9.53 [atm], 519.83 [K]; c) -1142 [J], 962.28 [J]; d) -1142 [J], 0 [J]; e) 0 [J], -962.28 [J])

17) Se debe comprimir aire desde un volumen de 10000 [cm3] hasta 2000 [cm3] ¿Cómo será mas conveniente la compresión por vía adiabática o por vía isotérmica? Sol. (El trabajo mediante el proceso adiabático es 1.6 veces más que el trabajo por proceso isotérmico, por lo tanto conviene el proceso isotérmico porque realizamos menos trabajo).

8.7. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA . El primer principio de la termodinámica nos da una referencia de la conservación de la energía en el proceso seguido por una máquina térmica, pues el calor entregado a una máquina se convierte, parte en trabajo realizado por la máquina y otra parte en el incremento de su energía interna. Sadi Carnot, establece restricciones para esta conversión de calor en trabajo y energía interna y lo expresa de la siguiente manera:

� Para que exista una conversión continua de calor en trabajo, una máquina debe realizar continuamente procesos cíclicos entre una fuente caliente y una fuente fría, que permanezcan en temperaturas constantes. En cada uno de estos ciclos la máquina térmica absorberá calor de la fuente caliente, cierta cantidad de este calor será transformado en trabajo y lo restante será cedido a la fuente fría.

Con el gráfico del proceso que indica el segundo principio podemos definir el rendimiento de una máquina térmica.

8.8. RENDIMIENTO DE UN MOTOR TÉRMICO . El rendimiento de una máquina definimos como la relación que existe entre el trabajo realizado por la máquina (que sería la energía útil) y la cantidad de calor absorbida por la máquina desde la fuente caliente (energía total); si simbolizamos el rendimiento con la letra η tenemos:

η = W

∆Qabsorbido η es el rendimiento de la máquina.W es el trabajo realizado medido en [J]∆Q es el calor absorbido por la máquina medido en [J]

Considerado el calor absorbido y el calor cedido por la máquina tenemos:

Fuente caliente.

Fuente fría.

TC.

Q (absorbido).

Q (cedido

TF.

Trabajo.

TERMODINÁMICA


W = ∆Qabsorvido - ∆Qcedido

η = ∆Qabsorbido - ∆Qcedido

∆Qabsorbido = 1 -

∆Qcedido

∆Qabsorbido

8.9. EL CICLO DE CARNOT . El ciclo de Sandi Carnot es el que mostramos en la figura, consta de cuatro procesos: �Una expansión isotérmica que aumenta el volumen desde V1 hasta V2 bajando la presión de P4 a P3. �Otra expansión pero ahora adiabática, que baja la temperatura desde la fuente caliente hasta la fuente fría y aumenta el volumen desde V2 hasta V4 bajando la presión de P3 a P1. �Una compresión isotérmica que disminuye el volumen desde V4 hasta V3 aumentando la presión de P1 a P2. �Otra compresión pero adiabática que disminuye el volumen desde V3 hasta V1 aumentando la presión de P2 a P4,

aumentando la temperatura desde la fuente fría a la fuente caliente. Los cuatro procesos cumplen un ciclo puesto que en el cuarto proceso el sistema vuelve a su estado inicial, reiniciando el ciclo. Carnot demostró que este ciclo es el de mayor rendimiento posible para una máquina térmica entre las dos temperaturas de la fuente fría y caliente. �JKJLM � � Ý Àßs� ¦�¦d¡ − ÞÞ − 1 � Ý (À* − Àß) + � Ý À*s� ¦â¦!¡ − ÞÞ − 1 � Ý (Àß − À*)

�JKJLM = � Ý Àßs� ¦�¦d¡ − ÞÞ − 1 � Ý (À* − Àß + Àß − À*) + � Ý À*s� ¦â¦!¡

�JKJLM = � Ý Àßs� ¦�¦d¡ + � Ý À*s� ¦â¦!¡ � ¦ã = r�{ � � À¦ ¦ã = r�{ À ¦ãVd = r�{ Àß ¦�ãVd = À* ¦!ãVd À* ¦âãVd = Àß ¦dãVd Àß ¦�ãVdÀß ¦dãVd = À* ¦!ãVdÀ* ¦âãVd

¦�¦d = ¦â¦!¡Vd

�JKJLM = � Ý Àßs� ¦�¦d¡ − � Ý À*s� ¦�¦d¡



�JKJLM � � Ý s� ¦�¦d¡ (Àß − À*) ∆äLi+ = � Ý Àßs� ¦�¦d¡

e = �JKJLM∆äLi+ = � Ý s� Ó¦�¦dÔ (Àß − À*)� Ý Àßs� Ó¦�¦dÔ

e = (Àß − À*)Àß

e = 1 − À*Àß

En este ciclo, tanto el calor absorbido por la máquina en la expansión isotérmica como el calor cedido por la máquina en la compresión isotérmica son proporcionales a las temperaturas de la fuente fría y de la fuente caliente respectivamente, es decir:

∆Qabsorbido

Tfuente caliente =

∆Qcedido

Tfuente fría

Τ es la temperatura medida en [K]∆Q es el calor medido en [J]

Considerado la ecuación de rendimiento de una máquina térmica tenemos:

EJEMPLO 39. Una máquina térmica retira de la fuente caliente (absorbe) 300 [J] de calor en cada ciclo, y cede a la fuente fría 240 [J] de calor, calcular el trabajo realizado por la máquina y el rendimiento de la misma.

SOLUCIÓN. Para calcular el trabajo tenemos:

W = ∆Qabsorvido - ∆Qcedido W = 300 – 240

W = 60 [J] El rendimiento podemos calcularlo con cualquiera de las dos fórmulas, es decir:

η = W

∆Qabsorbido

η = 60300 = 0.2 = 20 %

η = 1 - ∆Qcedido

∆Qabsorbido

η = 1 - 240300 = 0.2 = 20 %

EJEMPLO 40. Una máquina térmica trabaja con un ciclo operando con una fuente fría a 200 [K] y una fuente caliente a 800 [K], ¿cuál es el máximo rendimiento que esta máquina puede desarrollar?

SOLUCIÓN. El máximo de los rendimientos que una máquina puede tener lo logra con el ciclo de Carnot que depende sólo de las temperaturas de las fuentes fría y caliente según:

TERMODINÁMICA


η = 1 - Τfuente fría

Τfuente caliente

η = 1 - 200800 = 0.25 = 25 %

EJEMPLO 41. Una máquina térmica funciona con el proceso cíclico de la figura, calcular: a) El rendimiento de la máquina. b) ¿Cuál sería su rendimiento teórico?

SOLUCIÓN. En el EJEMPLO 29 de la página 85, hemos logrado los siguientes resultados que nos serán de mucha utilidad:

T2 = 480 [K] = 207 [C] P = 4.5 [atm]

V = 53.3 [l] n = 6.1 [mol]

Este ciclo realiza trabajo entre 2 y3, y entre 4 y 1 se realiza trabajo sobre el ciclo, en ambos casos son procesos isobáricos, por lo tanto:

Wrealizado = P ∆V = 3 (80 – 53.3) = 80.1 [atm l] Wabsorbido = P ∆V = 4.5 (53.3 – 80) = - 120.15 [atm l].

El trabajo total es: W = - 40.05 [atm l] Por la primera ley de la termodinámica tenemos:

∆U = ∆Q – W ó ∆Q = W + ∆U

Como ∆U = 32 n R ∆T tenemos:

Proceso 1 – 2:

∆Q = 0 + 32 6.1 * 0.082 * (320 – 480)

∆Q = - 120.048 [atm l] (cedido) Proceso 2 – 3:

∆Q = 80.1 + 32 6.1 * 0.082 * (480 – 320)

∆Q = 200.148 [atm l] (absorbido) Proceso 3 – 4:

∆Q = 0 + 32 6.1 * 0.082 * (720 - 480)

∆Q = 180.072 [atm l] (absorbido) Proceso 4 – 1:

∆Q = - 120.15 + 32 6.1 * 0.082 * (480 - 720)

∆Q = - 300.222 [atm l] (cedido) ∆Qcedido = - 420.27 [atm l] ∆Qabsobido = 380.22 [atm l]

Evidentemente la suma de ambos calores concuerda con el trabajo obtenido por otros métodos.

20 V 800

3

P

V [l]

P [

atm

]

320 [K]

T2

720 [K]1

2 3

4



a) El rendimiento de la máquina será:

η = W

∆Qabsorbido

η = 40.05380.22 = 0.105 = 10.5 %

b) El rendimiento teórico de la máquina sería el obtenido con un ciclo de Carnot entre las temperaturas máxima y mínima del ciclo, es decir:

η = 1 - Τfuente fría

Τfuente caliente

η = 1 - 320720 = 0.556 = 55.6 %

1) El motor de un auto es una máquina térmica,

identifique en ella la fuente fría, la fuente caliente y la sustancia con que realiza trabajo.

2) Qué es más fácil, ¿convertir energía mecánica en calor o convertir energía calorífica en energía mecánica?

3) Por cada ciclo, una máquina térmica retira 500 [J] de calor de la fuente caliente y deposita 400 [J] en la fuente fría, ¿cuál es el rendimiento y el trabajo obtenido en cada ciclo? Sol. (100 [J], 20 %).

4) Una máquina térmica recibe 100 [cal] de la fuente caliente y transfiere 70 [cal] a la fuente fría. ¿cuál es el rendimiento de la máquina? Sol. (30 %)

5) Calcular el rendimiento de una máquina que trabaja entre las temperaturas de 27 [C] y 600 [K] si trabaja con el ciclo de Carnot. Sol. (50 %).

6) Al operar con el ciclo de Carnot entre las temperaturas de 250 [C] y 50 [C], una máquina térmica absorbe 48 000 [J] de calor en cada ciclo, calcular el trabajo realizado por la máquina en cada ciclo. Sol. (14752 [J]).

7) ¿Cuál será la temperatura de la fuente caliente de una máquina térmica que tiene un rendimiento del 40 % cuando funciona con el ciclo de Carnot cuya fuente fría está a 27 [C]. Sol. (500 [K])

8) En las siguientes figuras representamos los ciclos con que funcionan máquinas de gas, en cada una de ellas calcular el rendimiento real de la máquina y el rendimiento teórico.

a) (Sol. 26.49 % 66.67 %).

b) (Sol. 18.45 % 76 %).

c) (Sol. 53.61 % 66.67 %).

0 10 V 90 0

3

P

V [l]

P [

atm

]

300 [K]T

10 15 V0

P

10

V [l]

P [

atm

]

360 [K]

540 [K]

216 [K]

T

0 30 V0 P

3

9

V [l]

P [a

tm]

600 [K]T

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