- Ana Escrig Soriano. - Sandra Fernández Coronado. - Gemma Muñoz Espín. - Juan Pedro Sánchez López.

4ºESO-B

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ÍNDICE

Págs.

Portada 1

Introducción 3

Razones trigonométricas 5

Alturas que vamos a medir 6

Materiales 6

Alturas de base accesible 8

Altura de la farola 9

Alturas de base inaccesible 13

La doble tangente 14

Cristalera IES Bahía de Babel 14

Altura grúa IES Bahía de Babel 16

Altura del cartel del huerto IES Bahía de Babel 18

Método de Leonardo 21

Anchura calle Paraguay 23

Trabajo extra: Hotel Bali 24

Conclusiones 29

2

Introducción

Vamos a realizar una serie de mediciones. Unas de las cuales serán de base inaccesible y otras de base accesible. Utilizaremos resoluciones matemáticas como la semejanza y/o la trigonometría.

La semejanza: Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

Donde , es la razón de semejanza.

3

La trigonometría:

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

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Razones trigonométricas

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

- Alturas de base accesible:

- Farola en la calle perpendicular a calle Panamá. - Cristalera perteneciente al Instituto Bahía de Babel.

- Alturas de base inaccesible: - Grúa de las obras del Instituto Bahía de Babel. - Cartel del IES Bahía de Babel: 'Ací el teu nou institut.' - Anchura de la Calle Paraguay. - Como trabajo extra: Mediremos el Hotel Bali de Benidorm (Alicante).

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Materiales

TEODOLITO: El teodolito es un instrumento de medición mecánico óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Es una tabla en la cual hay dibujado un semicírculo para marcar los ángulos. Se mira a través de un agujero, situado en la parte superior de la madera. Fijas la vista en el punto del cual quieres saber su ángulo y una cuerda que posee un peso, situada sobre el semicírcudibujado, marca el ángulo.

lo

GNOMON: En origen, la palabra gnomon (en griego: guía o maestro) hacía referencia a un objeto alargado cuya sombra se proyectaba sobre una escala graduada para medir el paso del tiempo.

El gnomon o estilo se define como el objeto alargado que arroja sombra, independientemente del ángulo que forme con el cuadrante; estará inclinado respecto el plano horizontal con un ángulo igual a la latitud del lugar donde se sitúe el reloj de sol, y varía según los distintos tipos de relojes (declinantes, etc.) En el hemisferio norte, el caso más sencillo, la arista que proyecta la somestá orientada hacia el norte, quedando paraal eje de rotación de la Tierra

ecuatoriales,

bra lela

TEODOLITO HORIZONTAL: Es un transportador de ángulos que se usa de forma horizontal y que se mira perpendicularmente al transportador que debe de estar completamente horizontal respecto al suelo.

CINTA MÉTRICA: Tira de acero que se enrolla sobre si misma, que sobre una cara del acero está escrita su longitud y sus divisiones.

NIVEL: Un nivel es un instrumento de medición utilizado para determinar la horizontalidad o verticalidad de un elemento. Lo hemos utilizado para poner el gnomon en ángulo recto respecto al suelo.

TIZA: Utilizado como elemento marcador.

7

8

Altura de la farola. Semejanza.

Pusimos el gnomon en un punto, situando éste con un ángulo de 90º respecto al suelo, que lo miramos con un nivel. En ese mismo instante en el que se proyectaba la sombra del gnomon, marcamos con una tiza el final de esa proyección y la medimos. En el mismo momento también medimos la sombra que producía la farola, teniendo así dos triángulos semejantes.

36'4

01'423'742'2

01'423'7

42'2

80'101'423'7

12

=→⋅

=→=

≈=

↓

=

xxx

r

LLr

Altura de la farola = 4’36 m.

Otra medida para comprobar:

9

Para asegurarnos del resultado, tomamos otra medida alternativa, en la que hicimos el mismo procedimiento.

35'4

80'464'842'2

80'464'8

42'2

80'180'464'8

12

=→⋅

=→=

==

↓

=

xxx

r

LLr

Altura de la farola = 4’35 m.

10

Altura de la farola. Tangente.

¿Qué es la tangente?

La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

contiguocatopuestocatX

..tan =

Situando a uno de nuestros compañeros en un punto situado enfrente de la farola y marcando este punto. Con el teodolito, situado a la altura de los ojos y mirando por él, medimos el ángulo que proyectaba a la parte más alta de la farola. Con el ángulo resultante y la distancia desde nuestro compañero hasta la farola, averiguamos la altura de ésta por tangente.

11

12

X + 1’50 = altura farola.

2’77 + 1’50 ≈4’27 m altura farola.

xx

x

==⋅

=

77'25º29tan

5º29tan

13

Altura de la cristalera del Instituto Bahía de Babel Doble tangente.

¿Qué es la doble tangente?

La doble tangente la utilizamos para averiguar la altura de cualquier objeto o cuerpo del cual su base es inaccesible.

Para ello nos situamos en un punto enfrente del objeto o cuerpo a una distancia X y tomamos el ángulo con un teodolito. Después, nos movemos hacia atrás otra cierta distancia del primer punto y volvemos a tomar el ángulo con el mismo instrumento.

Con estas dos medidas y los ángulos de cada una de ellas, calculamos la altura del objeto por medio de la doble tangente, que consiste en igualar cada tangente con su medida y una incógnita por medio de un sistema de ecuaciones de igualación.

Nos colocamos a una distancia de la cristalera x, la cual no sabemos, mirando hasta el final de la cristalera con el teodolito tomamos el ángulo. Nos alejamos una cierta distancia, con lo cual nos vimos obligados a bajar un escalón de 0'13m de alto y que ésta se le añadirá finalmente a la altura de nuestro compañero. Volvimos a tomar el ángulo con el mismo procedimiento. Siendo la base de la cristalera un macetero con altura 0'40m y que no se cuenta como altura de ésta. Por consiguiente averiguaremos la altura de dicha cristalera con un sistema de ecuaciones igualando la relación entre las tangentes de las dos medidas, restándole la altura del macetero y sumándole la altura de nuestro compañero con el escalón pertinente.

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15

Altura de la cristalera = 7’7618 – 0’40 + 1’63 = 8’9918 m .

7618'76204'8º42tan

6204'8)º13tan42(tan

)25º13(tan25º13tan)º13tanº42(tan

25º13tanº13tanº42tanº13tan25º13tanº42tan

º13tan)25(º42tan

25º13tan

º42tan

=⋅=

=→−

⋅=

⋅=⋅−⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅

↓⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

h

xx

xxx

xxigualación

xhxh

xh

xh

Altura de la grúa del Instituto Bahía de Babel Doble tangente.

Nos colocamos a una distancia de la grúa x, la cual no sabemos, mirando hasta el final de la grúa con el teodolito tomamos el ángulo. Nos alejamos una cierta distancia, con lo cual nos vimos obligados a bajar un escalón de 0'13m de alto y que ésta se le añadirá finalmente a la altura de nuestro compañero. Volvimos a tomar el ángulo con el mismo procedimiento. Por consiguiente averiguaremos la altura de dicha grúa con un sistema de ecuaciones igualando la relación entre las tangentes de las dos medidas y sumándole la altura de nuestro compañero con el escalón pertinente.

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FE= h AB= 16’60 + x DE=d= x CD= h

6512'276512'27º45tan

6512'27)º32tanº45(tan

)60'16º32(tan60'16º32tan)º32tanº45(tan

60'16º32tanº32tanº45tanº32tan60'16º32tanº45tan

º32tan)60'16(º45tan

60'16º32tan

º45tan

=⋅=

=→−⋅

=

⋅=⋅−⋅=⋅−⋅

⋅+⋅=⋅↓

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

h

xx

xxx

xxigualación

xhxh

xh

xh

Altura de la grúa = 27’6512 + 1’63 = 29’2612 m.

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Altura del cartel del huerto del IES Bahía de Babel Doble Tangente.

Averiguamos su altura mediante la doble tangente. Situados en un punto enfrente del cartel, medimos el ángulo con el teodolito y tomamos la medida. Echándonos unos metros hacia atrás repetimos el mismo procedimiento. Con estos datos y la distancia desde el primero punto y el segundo averiguamos el resultado con un sistema de ecuaciones por igualación. A este resultado se le sumará la altura de los ojos a los pies de nuestro compañero.

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AB= 14’30 +x DE= y CB= x FE= x

mx

my

yyy

yyigualación

yxyx

yx

yx

7725'30951'7º28tan

0951'7)º10tanº28(tan

)º10tan30'14(º10tan30'14)º10tanº28(tanº10tan30'14º10tanº28tanº10tanº10tan30'14º28tan

º10tan)30'14(º28tan

30'14º10tan

º28tan

≈⋅=

≈−⋅

=

⋅=⋅−⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅

↓⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

Altura cartel = 1’50 + 3’7725 = 5’2725 m

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Otra medida para comprobar: Para asegurarnos del resultado, tomamos otra medida alternativa, en la que hicimos el mismo procedimiento.

AB= 7’70 + x GH= y

FB= x IH= x

mx

my

yyy

yyigualación

yxyx

yx

yx

6148'37986'6º28tan

7986'6)º14tanº28(tan

)º14tan70'7(º14tan70'7)º14tanº28(tanº14tan70'7º14tanº28tanº14tanº14tan70'7º28tan

º14tan)70'7(º28tan

70'7º14tan

º28tan

=⋅=

≈−⋅

=

⋅=⋅−⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅

↓⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

Altura cartel = 1’50 + 3’6148 = 5’1148 m.

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Método de Leonardo:

El método de Leonardo consiste en aplicar la semejanza de los triángulos, haciendo girar uno de estos cuerpos geométricos obtenemos otro triángulo opuesto. Los triángulos resultantes son semejantes.

Anchura de la calle Paraguay. Método de Leonardo.

- Los triángulos son semejantes, ya que son triángulos rectángulos y tienen un ángulo agudo igual (ángulo opuesto por el vértice).

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- Primero, localizamos el punto C. Otro compañero desde este mismo punto traza una diagonal visual y se desplaza hacia atrás siguiendo esta misma línea, marcando el punto A'. Que coincide diagonalmente con el punto A (árbol), que es paralelo al punto C. Un tercer compañero produce el punto B', que está situado enfrente del punto A' y paralelamente al punto A. Formado un ángulo recto y haciendo un triángulo rectángulo semejante al que produciremos con un nuevo punto llamado B, a una cierta distancia de C, y paralelo a A. Con estos dos triángulos rectángulos y semejantes y utilizando semejanza y el método de Leonardo averiguaremos la anchura de la calle.

3044'12

71'285'270'11

71'270'11

85'2

''''

=→⋅

=→=

=

xxx

CBBC

BAAB

Anchura calle = 12’3044 m

Anchura de la calle vista desde el punto A’.

22

23

Anchura calle Paraguay. Tangente.

Para medir dicha anchura de la calle un compañero se sitúa en un punto B, y a cierta distancia situamos a otro compañero en un punto al cual llamamos C. Tomando como referencia el árbol situado enfrente del punto B. Con el teodolito horizontal sujetado por un compañero, otro compañero miraba por éste fijando una diagonal con el punto A. Teniendo en cuenta que el teodolito horizontal marcara 0º en posición al punto B. Con el ángulo resultante y la distancia entre BC, calcularemos mediante tangente la anchura de la calle.

Anchura calle Paraguay = 12’5405 m.

5405'1245'9º53tan

45'9º53tan

=⋅=

=

xx

x

Y como trabajo extra… mediremos el Hotel Bali.

El Gran Hotel Bali III de Benidorm (Alicante), inaugurado el 17 de mayo del año 2002, es el hotel más alto de Europa y fue el edificio más alto de España desde que sobrepasó a Torre Picasso hasta noviembre de 2006, fecha en que fue sobrepasado por la madrileña Torre Espacio. Tiene un total de 186 metros, a pesar de que el plan parcial de construcción preveía una altura de 210 metros. La instalación es de cuatro estrellas, y cuenta con 52 plantas.

Está considerado como el hotel más seguro de España ya que dispone de modernos sistemas informáticos para evitar catástrofes: materiales ignífugos, ventanas que se abren automáticamente para dejar salir el humo, puertas que se cierran solas para evitar el paso del fuego y un sofisticado dispositivo informático capaz de avisar a los técnicos sin la intervención humana.

El director del proyecto, el arquitecto Antonio Escario, ha trabajado junto a un amplio equipo de colaboradores que diseñaron para este hotel una estructura de hormigón para una superficie total construida de 40.000 metros cuadrados.

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Altura del Hotel Bali Doble tangente.

Nuestra compañera se situó en una zona sin desniveles, alejada del hotel Bali. Con el teodolito tomó el ángulo hasta el punto más alto de éste. Se alejó unos metros hacia atrás y volvió a realizar este procedimiento. Con estos dos ángulos y la distancia entre el primer punto y el segundo, averiguamos la altura mediante un sistema de ecuaciones por igualación de tangentes.

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9957'181º72tan1340'59

1340'59)º5'66tanº72(tan

)º5'66tan20(º5'66tan20)º5'66tanº72(tanº5'66tan20º5'66tanº72tanº5'66tanº5'66tan20º72tan

º5'66tan)20(º72tan

20º5'66tan

º72tan

=⋅=

=−

⋅=

⋅=⋅−⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅

↓⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

h

x

xxx

xx

igualación

xhxh

xh

xh

Altura del Hotel Bali = 181’9957 + 1’50 = 183’4957m.

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Altura del Hotel Bali Tangente.

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0983'18685'22º83tan

85'22º83tan

=⋅=

=

xx

x

Altura del Bali = 1’50 + 186’0983 = 187’5983m.

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CONCLUSIONES:

Cuando comenzamos este trabajo, creíamos que nos iba resultar más complicado , pero a lo largo de él , cuando nos pusimos a realizarlo nos dimos cuenta de que no era tan difícil .

En un primer momento, cuando nos informaron de lo que teníamos que hacer nos asustamos un poco porque veíamos que era muy complejo. Pero viendo que nuestros compañeros de años anteriores lo pudieron realizar, nosotros también seríamos capaces de llevarlo a cabo.

Los problemas más destacados diríamos que fueron:

1. La realización de los dibujos con el programa Geogebra , ya que eran muchos y se nos hacían un poco pesado y están realizados todos ellos a escala.

2. El calculo de: la altura de la cristalera, ya que su base es adicional; y la anchura de la calle, por el método de Leonardo que lo hemos trabajado menos y nos ha sido mas dificultoso.

3. Al principio no sabíamos el funcionamiento correcto del teodolito para medir los ángulos. Pero finalmente conseguimos un buen resultado.

A pesar de estos pequeños problemas, el grupo ha sabido afrontarlos siendo muy cooperativo y con gran compañerismo ya que nos ayudábamos los unos a los otros en todas aquellas dudas.

La organización del grupo ha sido buena, hemos trabajado duro , y cada vez que nos reuníamos para realizar dicho trabajo nos lo tomábamos seriamente , por eso nos ha dado tiempo a entregarlo a tiempo y sin agobiarnos .

Gracias a esto hemos sabido que nuestras posibilidades son mayores de lo que nos pensábamos. Nos ha servido para aprender de una manera divertida la trigonometría y la semejanza.

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