file · Web viewLIMITE. DEFINICIÓN. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa

Instituto de Educación Superior Tecnológico Privada

Especialidad:Computación Informática

Integrantes: Sandra Rojas Fernández Nery López olivares Rosario Cachay Armas Cecilia Inga Matos Ada Campos Ramos

Docente: Jorge Lachira

Curso:Matemática II

Aula:101

Turno:Mañana

Ciclo: II

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DEDICATORIA

El trabajo de investigación monográfico lo

dedicamos a nuestros padres; a quienes les

debemos todo lo que tenemos en esta vida.

A Dios, ya que gracias a él tenemos esos padres

maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras

derrotas y celebran nuestros triunfos

A nuestros profesores quienes son nuestros

guías en el aprendizaje, dándonos los últimos

conocimientos para nuestro buen

desenvolvimiento en la sociedad.

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LIMITE

I. DEFINICIÓN

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

II. DEFINICIÓN RIGUROSA

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de

límite, y se lee como:

"El límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo

número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal

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que para todo x tal que la distancia entre x y c es menor que δ, entonces

la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

III. LÍMITES NOTABLES

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

IV. DEMOSTRACIÓN

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la

inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con

las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

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Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite

necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los

límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga,

desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende

a infinito.

V. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

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http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sucesi%C3%B3n_001.svg


La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy

parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a .

Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o

es convergente (a a), lo que denotamos como:

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la

sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:

VI. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes

propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el

cálculo de los mismos.

LÍMITE POR UN ESCALAR.

LÍMITE DE UNA SUMA.

LÍMITE DE UNA RESTA.

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LÍMITE DE UNA MULTIPLICACIÓN.

LÍMITE DE UNA DIVISIÓN.

VII. INDETERMINACIONES

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a

simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por

ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1

o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo

expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o

factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En

otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes

como pueden ser las desigualdades o la regla de l'Hôpital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres

casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

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Resolver el limite:

solución:

2.- Resolver el limite

solución:

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

1er Método

Por lo que aplicando la factorización:

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2odo Método

Un segundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas. (Video 17MB )

Mediante la regla de L´Hospital

Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el límite, obteniendo:

Aplicando el límite a esta última expresión obtenemos:

3.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

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entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:

4.- Solucionar el siguiente limite:

Solución:

Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

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5.- Encontrar el

Solución:

6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

solución:

Multiplicando por

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32323232

22

22

xxxxxxxx


tenemos:

VIII. LÍMITES AL INFINITO

lim f (x)X → a

Se evalúa de la siguiente manera: Cada término de la función se divide entre la variable

De mayor exponente. Y si un término queda dividido entre la variable, ese término

Tiende a 0. Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del

Denominador, entonces este límite no existe y sólo se investiga el comportamiento de la función.

Ejemplo:

lim 4x - 3 = 4x/x - 3/x = 4/2 = 2 ( asíntota horizontal).

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224

321321

4lim321321

4lim

321321

4lim32323232lim

323232323232lim

2222

22

22

22

22

22

2222

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

x

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xx

xx

x


X → ∞ 2x + 5 2x/x – 5/x

Límites trigonométricos (se divide entre x la expresión)

lim senx / x = 1X → 0lim (1 –cosx) / x = 0X → 0Ejemplo:lim (1 –cosx) = lim (1 –cosx) / xX → 0 senx x → 0 = 0/1 = 0lim senx / xX → 0

IX. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Asíntota vertical: es el valor de x que hace 0 alDenominador.Asíntota horizontal: Se divide cada término entre la variableDe mayor exponente.

X. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Una función es continua en el punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones.f (a) = existalim f (x) = existaX → alim f (x) = f (a)X → aEn estos casos, se evalúa el límite unilateral en el punto indicado (a). Si el límiteBilateral existe, entonces la función es continua.

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