44 Marc Noy, medalla Narcís Monturiol

Conferència MATRIX al MMACA

Reformes educatives a secundària, Manel Sol

Pensions privades i el retorn a les tontines, Montserrat Guillen

Conversa entre Carles Bonet i Narcís Clara

La combinatòria en l’art del segle XX, Lali Barrière

Institutd’Estudis Catalans

Dese

mbr

e 2

018

SCM / Notícies / 44Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

Matematicopoema, Toni Prat

Coberta Notícies 44.indd 1 15/1/2019 9:41:09

Societat Catalana de Matematiques

President: Xavier Jarque i RiberaVicepres.: Enric Ventura i CapellVicepres. adj.: Iolanda Guevara

i CasanovaSecretari: Albert Ruiz i CireraTresorera: Natalia Castellana i VilaVocals: Albert Avinyo i Andres

Marta Berini i Lopez-LaraAbraham De la Fuente i Perez

Nuria Fagella i RabionetJosep Grane i ManlleuCarles Romero i ChesaManuel Udina i Abello

Delegatde l’IEC: Pilar Bayer i Isant

Comunicacions:Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesDesembre 2018. Numero 44Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap: Albert Avinyo i Andresalbert.avinyo@udg.edu

Disseny: Teresa Sabater

Foto de portada:MatematicopoemesToni Prat

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

IndexLa Junta informa 1

Report de la Junta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Assemblea general i estat de comptes . . . . . . . . 2

Editorial 5Internacional 6

La columna de l’EMS . . . . . . . . . . . . . . . . 6Assemblea general de la IMU i ICM2018 . . . . . 7Trobada del Comite Executiu de l’EMS a Barcelona 12

Noticiari 13Les universitats informen . . . . . . . . . . . . . . 13Activitat del MMACA a la Bisbal d’Emporda . . . 19Presentacio del volum Grecia IIa de la Historia dela matematica de Josep Pla i Carrera . . . . . . . . 21Marc Noy, medalla Narcıs Monturiol . . . . . . . . 23

Activitats 24CSACS 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243a Conferencia MATRIX . . . . . . . . . . . . . . 26XV Jornada d’Educacio Matematica . . . . . . . . 30Activitats amb ajut de la SCM . . . . . . . . . . . 32

Premis 35Contribucions 37

Pensions privades i el retorn a les tontines, un inventde fa 300 anys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Reformes educatives a Secundaria . . . . . . . . . 41Beca ERC 2018: Regularitat i singularitats en EDPel·lıptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Conversa a dues bandes 58La pregunta de la SCM/Notıcies 61Empresa 70

Interdisciplinarietat en les matematiques . . . . . . 70Entrevista a Jimena Llopis, directora de The AlphaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Bits 77El laboratori a classe . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Cultura 79La combinatoria en l’art del segle xx . . . . . . . 79Heisenberg i Bohr a «Copenhaguen» . . . . . . . . 87«Numeros y figuras» de Hans Rademacher i OttoToeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Relat breu: El caramel . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Raco biografic 94Leonhard Euler (1707–1783): el mestre de tots nos-altres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Problemes 102Matemots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Tesis 108

La Junta informa

Report de la JuntaAlbert RuizSecretari de la SCM

Aquest report es l’informe de la junta posteriora l’assemblea general de socis, de manera queel contingut es basa en la informacio d’aquestareunio.

El 29 de novembre es va celebrar, dinsdels actes d’inauguracio del curs, l’assembleaordinaria corresponent a l’any 2018. Aquestaassemblea va anar precedida per la xerrada«Hyperbolic geometry: where battered gemsretain their full beauty» a carrec de MartinBridson, professor a l’Oxford University i pre-sident del Clay Mathematical Institute.

A continuacio va comencar l’assemblea,es va aprovar l’acta anterior i va comencarl’exposicio del president de les activitats dela SCM durant l’ultim any. D’aquest informe,destaquem les accions dutes a terme despres dela revista SCM/Notıcies 43 :

• Pel que fa a representacio, el president vainformar del desenvolupament de la Interna-tional Mathematical Union al Brasil aquestestiu, seguida de l’International Congress inMathematics a Rio de Janeiro.Entre el 9 i l’11 de novembre, la SCM vaacollir la reunio de l’Executive Committeede l’EMS a Barcelona. Duran aquesta reu-nio es va fer el canvi de presidencia del’EMS, que va passar de Pavel Exner (Pra-ga, Republica Txeca) a Volker Mehrmann(Berlın, Alemanya).

• Pel que fa a recerca, es va celebrar elCSASC (trobada conjunta amb les socie-tats austrıaca, catalana, eslovaca, eslovenai txeca de matematiques) el setembre d’en-guany a Bratislava, amb la participacio dela SCM.

• En l’apartat de secundaria, ja ha comencatuna nova edicio de l’ESTALMAT (Estımuldel Talent Matematic) i esta a punt d’acabarl’edicio del 2018 del programa Bojos perles Matematiques (al gener esta previst quecomenci l’edicio del 2019).

Dins el mateix apartat, s’obrira properamentla inscripcio a la Copa Cangur (adrecada a es-tudiants de segon i tercer d’ESO) i les provesCangur (adrecada a estudiants des de cinquede primaria fins a segon de batxillerat).

• Pel que fa a reconeixements, el professorJoaquim Bruna (UAB) ha estat nomenatmembre numerari del Ple de l’IEC, mentreque el professor Marc Noy (UPC) ha rebut laMedalla Narcıs Monturiol. Des de la junta dela SCM felicitem els dos professors per aquestguardo.

El president va tancar la intervencio mos-trant la seva preocupacio per la falta dematematics que vulguin ser professors de ma-tematiques a l’ensenyament secundari. El tornde paraules posterior es va centrar en aquestacircumstancia, i els assistents van expressar elseu punt de vista. Entre altres consideracions,van manifestar que no es un problema local,sino que tambe es produeix a diversos paısosdel nostre entorn.

A continuacio la professora Natalia Caste-llana, tresorera de la SCM, va exposar l’estatde comptes de l’any 2017 i el pressupost del2019, informes que l’assemblea va aprovar perassentiment.

En el torn obert de paraules, la professoraDolors Herbera (UAB) va comunicar que espresentara per presidir la SCM amb la can-didatura formada pels professors Josep Vives(UB) com a vicepresident de recerca i univer-sitats, Abraham de la Fuente (Departamentd’Ensenyament) com a vicepresident d’ensenya-ment secundari, Inma Baldoma (UPC) coma secretaria i Albert Granados (Departamentd’Ensenyament) com a tresorer.

Sobre l’eleccio de la nova junta directiva,properament s’obrira un nou perıode per pre-sentar candidatures i es convocara una assem-blea extraordinaria per fer-ne l’eleccio.

Per acabar, us informem que la SCMha donat suport al Barcelona Weekend in

SCM/Notıcies 44 1

Group Theory mitjancant el fons de promociod’activitats.

El canvi de junta directiva fa queaquest sigui l’ultim informe de qui el subs-

criu, de manera que aprofito aquestes lıniesper agrair la confianca que han tingut enmi tant Joan Sola Morales com XavierJarque.

Assemblea general i estat de comptesNatalia CastellanaTresorera de la SCM

Benvolguts socis,Ens plau fer-vos arribar el resum comptable de l’any 2017.

Pressupost de la SCM per a l’any 2017(aprovat per l’Assemblea en data 12 de novembre de 2015)

Ingressos 2015 Despeses 2015

Quotes 26.500,00

Vendes 150,00

Internacionalitzacio 1.550,00

Cangur 125.000,00

Fundacio Cellex 20.000,00

IEC (publicacions) 5.000,00

Fecyt (per a Estalmat) 11.000,00

Feemcat (per a Estalmat) 15.000,00

IEC (activitats cientıfiques) 10.000,00

Fundacio Catalunya La Pedrera 8.000,00

BMD2017 (ajuts i inscripcio) 10.000,00

Ingressos financers 700,00

Romanent 2016 26.200,00

Total 249.100,00

Publicacions (2 Butlletins, 20.000,00

2 Notıcies, 1 Noubiaix)

Traspas de quotes EMS 1.150,00

Internacionalitzacio (EMS+CIMPA) 1.550,00

Quota IMU 2.000,00

Premi Evariste Galois 1.000,00

Premi Emmy Noether 2.000,00

Olimpıada 5.000,00

Cangur 128.000,00

Estalmat 30.000,00

Bojos per les Matematiques 8.000,00

BMD2017 20.000,00

SCM-Swedish-RSME 5.000,00

EMS & SCM Joint Meeting 2017 3.000,00

Trobada SCM 1.000,00

Jornada d’Ensenyament 2.000,00

Conferencies 600,00

Fons d’ajut a activitats 6.000,00

MMACA 3.000,00

Secretaria/Personal 6.000,00

Despeses financeres 300,00

Missatgeria i correus 3.500,00

Publicacions 20.000,00

Total 249.100,00

A continuacio us presentem el balanc real de les diferents activitats dutes a terme l’any 2017:

2 SCM/Notıcies 44

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Ajuts activitats 10.000,00Publicacions 5.231,82 137,11 16.956,67Ajut per internacionalitat (EMS) 1.350,00 1.350,00Ajut per internacionalitat (IMU) 2.000,00 2.000,00Quotes CIMPA 200,00Quota Conferencia Decanos 150,00Quotes SCM 25.030,00Traspas de quotes EMS 1.075,00Web Ixole (40%) 1.714,20Despeses secretaria 894,82Fons de promocio 3.497,67Despeses de representacio 1.536,19Premi Evariste Galois 1.000,00Premi Albert Dou 2.500,00Barcelona Dynamical System Prize 4.000,00 4.000,00Premi Emmy Noether 1.600,00 1.600,00Jornada Premi Noether 655,64Trobada RSME-SCM-SSM (Umea) 1.000,00 2.771,55Trobada EMS-SCM (Edimburg) 1.000,00 3.820,09CSASC 2016 97,14Jornada Sistemes Dinamics 900,00 781,86Jornada Abel in Barcelona 647,10Barcelona Mathematical Days 1.500,00 2.280,00 10.174,22Jornada d’Educacio Matematica 2.023,11Jornada Llico Inaugural/Assemblea 158,60Cangur 149.132,50 107.838,69Olimpıada 1.654,24 3.656,65Estalmat 14.004,67 25.739,10Bojos per les Matematiques 8.000,00 11.290,617 de Mates 1.105,43 1.105,43MMACA 3.000,00Correus 1.212,96 3.550,45Missatgeria 563,38Despeses personal 7.256,24Ingressos financers 287,30Despeses financeres 288,96Totals 22.081,82 30.364,34 178.979,87 223.893,37

En resum, l’any 2017 hem tingut un total de 231.426,03 euros d’ingressos i un total de 223.893,37euros de despeses, cosa que fa que hi hagi un romanent de 7.532,66 euros.

Us detallem les activitats que han estat subvencionades amb el fons de promocio d’activitatsaquest any 2016. Val a dir que no sempre coincideix l’any del pagament de la subvencio amb l’anyde la concessio.

SCM/Notıcies 44 3

Fons de promocio d’activitats, 2016

Activitat ImportBarcelona Topology Workshop 479,58Jornades Associacio Catalana de Geogebra 485,46Women in Stem, 7/2017 IEC 564,00Planter de Sondeigs i Experiments 2017 377,76Reunio del Projecte del Meridia Verd 270,28Jornades Interaccio entre Sistemes Dinamics i Equacions en Derivades Parcials 2015 350,00Jornades Interaccio entre Sistemes Dinamics i Equacions en Derivades Parcials 2016 350,00Jornada d’Investigadors Predoctorals Interdisciplinaria 236,11Topic in complex Dynamics 2017 (hotel Caledonian) 384,48Total 3.497,67

L’import del fons de promocio a l’inici de l’any 2017 era de 6.132,89 euros. Les despeses van serde 3.497,67 euros i el fons va acabar amb un total de 2.635,22 euros.

Tot seguit us presentem el pressupost per a l’any 2019 aprovat a l’Assemblea General del dia29 de novembre de 2018.

Pressupost de la SCM per al 2019

Ingressos 2019 Despeses 2019

Quotes 25.500,00Vendes 150,00Internacionalitzacio (EMS+IMU) 3.350,00Barcelona Dynamical Systems Prize 4.000,00Inscripcions Cangur 115.000,00Feemcat (per a Estalmat) 5.000,00Fundacio Privada Cellex 6.000,00(per a Estalmat)Fundacio Privada Cellex 2.000,00(Premi Emmy Noether)Fundacio Privada Cellex 1.500,00(Olimpıada)Fundacio Privada Cellex 1.000,00(7 de Mates)Ajut IEC Publicacions 5.000,00Ajuts IEC i Seccio 6.000,00Fundacio Catalunya La Pedrera 8.000,00(Bojos per les Matematiques)Ingressos financers 200,00Romanent 2018 25.075,00Total 207.775,00

Traspas quotes EMS 1.075,00Publicacions 17.000,00Internacionalitzacio (EMS+IMU) 3.350,00Barcelona Dynamical Systems Prize 4.000,00Quota CIMPA 200,00Conferencia Decanos 150,00Premi Evariste Galois 1.000,00Premi Emmy Noether 2.000,00Premi Albert Dou 2.500,007 de Mates 1.000,00Olimpıada 3.000,00Cangur 115.000,00Estalmat 25.000,00Bojos per les Matematiques 8.000,00Trobada SCM 1.000,00Suport 3CEM (2020) 2.000,00MMACA 3.000,00Jornada d’Ensenyament 1.000,00Fonts d’ajut activitats 6.000,00Conferencies/Llico inaugural 600,00Despeses de secretaria/personal 7.700,00Despeses financeres 200,00Missatgeria i correus 3.000,00Total 207.775,00

4 SCM/Notıcies 44

Editorial

EditorialAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

Benvolguts socis i lectors,Son les 10 del matı del diumenge 23 de

desembre i, en aquests moments, estic assegutal mateix bar, i tambe a la mateixa taula, dela platja de l’Escala des d’on vaig escriure elmeu primer editorial de la SCM/Notıcies, arafa una mica mes de tres anys i mig. Despresd’una passejada per tota la costa escalenca,des de Sant Martı d’Empuries fins al port, ide fer un bon esmorzar amb tota la badia deRoses al davant i els raigs de sol de l’hivern atocar de la cara, em disposo a escriure aquestbreu editorial que tancara aquest numero dela SCM/Notıcies i que, per a mi, representaral’inici de les vacances de Nadal.

En primer lloc, i tal com he fet en altreseditorials, voldria donar la benvinguda i expres-sar el meu agraıment mes sincer a dos nouscol·laboradors de la SCM/Notıcies. D’una ban-da, la Lali Barriere, professora del Departamentde Matematiques de la UPC, que compartiraamb la Maria Alberich la responsabilitat de laseccio «Art i matematiques» de la revista. Enaquest numero ens ha preparat un article moltinteressant i ben documentat sobre la combi-natoria a l’art del segle xx. D’altra banda, lasegona incorporacio es el Xavi Roca, matematici professor de l’Institut Ramon Berenguer IVde Cambrils. En Xavi, de vegades diu d’ellmateix que es va equivocar de carrera i hauriad’haver estudiat literatura. Quan se li preguntaamb mes insistencia, rectifica i reconeix quela didactica de les matematiques l’apassiona,i escriure es simplement una altra de les sevespassions. En un intent de fusionar aquestes duesinquietuds, fa poc mes d’un any ha iniciat unprojecte que ha anomenat «Materatura», unespai web https://sites.google.com/view/

materatura/materatura?authuser=0 on pu-blica relats matematics: petites histories en que,amb un embolcall literari, apareixen diversesreflexions matematiques en clau sovint tambede divulgacio matematica. El relat que apareixa la seccio «Cultura» es una mostra del seutreball.

D’aquest numero de la SCM/Notıcies vol-dria destacar dos articles que feia temps quevolia que fossin escrits i publicats. El primer,signat pel Manel Sol, professor jubilat desecundaria i president actual de la FEEMCAT,es un extens article en que s’expliquen lesreformes educatives que s’han dut a termea l’ensenyament de primaria i secundaria desde l’anomenada «llei Villar Palası» de l’any1970 fins a l’actualitat i reflexiona sobre quinha estat l’impacte de tots aquests canvis enl’ensenyament de les matematiques als insti-tuts. Aquest article el trobareu a la seccio«Contribucions». El segon article, i que encerta manera complementa l’anterior pero enun format diferent, es el que podeu trobara la seccio «La pregunta del Notıcies». Enaquest article, sis professors de diferents uni-versitats (Antoni Benseny, Josep Maria Brunat,Rosa Camps, Margarida Espona, Marta Penai Jordi Saludes) han reflexionat, des de laseva experiencia personal, sobre els canvis decontingut i de metodologia que s’han dut aterme durant aquests darrers vint-i-cinc anys enl’ensenyament universitari de les matematiquesa Catalunya i, tambe, sobre quins han estat elsmotius i les consequencies d’aquests canvis.

Amb el desig que aquest numero de laSCM/Notıcies arribi al mes aviat possible a lesvostres mans:

Bon i lliure 2019!

SCM/Notıcies 44 5

Internacional

La columna de l’EMSMartı LahozUniversitat de Barcelona – Universite Paris 7Membre corresponsal EMS-SCM

En aquesta edicio destaquem:

• Reunio del Comite ExecutiuEl Comite Executiu de l’EMS es va reunir del9 a l’11 de novembre de 2018 a Barcelona.

• Reunio del Consell de l’EMSEl maxim organ de l’EMS, el Consell, reunitdel 23 al 24 de juny de 2018 a Praga, vaelegir Volker Mehrmann com a nou presidentde l’EMS per al perıode 2019–2022. BetulTanbay va ser escollida com a novavicepresidenta, i Jorge Buescu s’uneix alComite Executiu. El Consell va aprovar elpressupost de l’EMS i va prendre diversesdecisions; en particular, va introduir unsistema d’afiliacio vitalıcia. http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=1027-488X&vol=9&iss=109&rank=1

• L’assemblea general de la IMUD’acord amb la tradicio, la IMU va tenirla seva reunio de mes alt nivell abans del’ICM2018. Entre les dues candidates res-tants per acollir l’ICM2022, els delegats vanescollir Sant Petersburg. Carlos Kenig va serelegit nou president de la IMU i Helge Holdencontinuara com a secretari general.

• Medalles FieldsContinuant amb la tradicio, els premiatsamb les medalles Fields van ser anunciatsal comencament de l’ICM. Peter Scholzei Alessio Figalli han permes mantenir laproporcio 6 a 1: dels 70 guanyadors del premide l’EMS fins ara, 12 han aconseguit guanyarla medalla Fields.

• L’EMS sobre l’Open AccessEls mes de juliol passat, l’EMS va reiterarla seva posicio sobre l’Open Access:http://euro-math-soc.eu/news/18/07/10/ems-open-access-update-july-2018.D’altra banda, la Comissio Europea ha anun-ciat el seu Pla S que faria que el programa

Gold Open Access fos obligatori de factoa partir del 2020 dins de la UE. L’anunciconfirmava explıcitament la participacio deles grans editorials comercials a l’hora deformular aquest pla. A mes a mes, laComissio Europea ha nomenat Elsevier res-ponsable del seguiment del pla mitjancantl’Open Science Monitor. Des del punt devista de l’EMS, aixo comportara obviamentun conflicte d’interessos.

• Premi Breakthrough 2019El professor Vincent Lafforgue, membre delCNRS i de l’Institut Fourier de la UniversiteGrenoble Alpes, ha estat guardonat amb elpremi Breakthrough 2019 (al millor avenc del2019) «per les seves contribucions revolucio-naries a diverses arees de les matematiques,en particular al programa de Langlands en elcas de cossos de funcions».

• ICIAM 2019El congres internacional de matematica in-dustrial i aplicada (ICIAM) se celebrara aValencia del 15 al 19 de juliol de 2019.Podeu trobar els terminis per a la presentaciode minisimposis, presentacions, articles,posters i financament en la pagina webseguent: https://iciam2019.org/index.php/important

El congres tambe ha anunciat els premisCollatz (S. Mishra, ETH), Lagrange (G. Pa-panicolau, Stanford U.), Maxwell (C. Bar-dos, U. Paris Diderot), Pioneer (Y. Maday,Sorbonne U.) i Su Buchin (G. di Nunno,U. Oslo), que seran concedits durant lacerimonia d’inauguracio.

• ConvocatoriesLes convocatories seguents estan obertes:

– Convocatoria Marie Sk lodowska-Curie pera xarxes de formacio innovadores (H2020-MSCA-ITN-2019).

6 SCM/Notıcies 44

Termini: 15 de gener de 2019.https://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/calls/h2020-msca-itn-2019.html

– Convocatoria ERC Consolidator Grant(ERC-2019-COG).Termini: 7 de febrer de 2019.http://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/topics/erc-2019-cog.html

– Convocatoria per a les nominacions alscandidats al premi Felix Klein.Termini: 31 de desembre de 2019.

– Convocatoria per a les nominacions alscandidats als 10 premis de l’EMS.Termini: 1 de novembre de 2019.

– Convocatoria per a les nominacions alscandidats al premi Otto Neugebauerd’historia de les matematiques.Termini: 31 de desembre de 2019.

– Convocatoria Marie Sk lodowska-Curieper al cofinancament de programesregionals, nacionals i internacionals(MSCA-COFUND-2019).Termini: 26 de setembre de 2019.

http://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/topics/msca-cofund-2019.html

• ERC Starting Grants La convocatoria deles beques ERC Starting Grants 2019 es vatancar el 17 d’octubre passat. Aquest anyl’ERC va rebre 3.106 sol·licituds, una lleugeradavallada (al voltant del 2%) respecte delnombre de sol·licituds de l’anterior convo-catoria.

El nombre mes gran de sol·licituds va ser en elcamp de la fısica i l’enginyeria (1363), seguidaper les ciencies de la vida (867), i les cienciessocials i les humanitats (876). Gairebe el39% de les propostes van ser presentades perdones, en comparacio amb el 37% de l’anypassat.

L’ERC ha comencat l’avaluacio de les pro-postes. Els projectes seleccionats seran anun-ciats a l’estiu del 2019.

• Llista de conferenciesL’EMS mante la llista seguent de conferenciesinternacionals: http://euro-math-soc.eu/event-list

Assemblea general de la IMU i el Congres Internacional de MatematicsICM2018Xavier JarquePresident de la SCM

Soc a prop de la porta C65 de l’aeroport de Riode Janeiro, 7 d’agost de 2018. Els lectors de laNotıcies/SCM llegireu aquest article d’aquı auns sis mesos mes o menys; he mirat de tenir-vos informats dels esdeveniments mes rellevantsde la ICM de Rio de Janeiro a traves del webde la societat i alguna piulada al Twitter quevaig fer gairebe en directe quan es van saber elsnoms dels guanyadors de la Medalla Fields. Nose pas si l’acabare aquı a l’aeroport o si haurede continuar a l’avio, o si haure de treballarencara una mica quan sigui a casa, pero pensoque es millor que l’escrigui amb la memoriafresca ja que tinc la intencio (no completa;estic acabant el document a la terrassa de

casa. . . ) de comencar les vacances tot just quanposi el peu en terres catalanes. Aquest haestat un any intens i el proper semestre nosembla lleuger.

Assemblea general de la IMU

Com a tots els ICM abans del congres, ihabitualment en una ciutat diferent de la quecorrespon al congres la IMU (InternationalMathematical Union), celebra la seva assembleageneral (aixı doncs, una GA cada quatre anys).En aquest cas, com que el congres ha estat aRio de Janeiro, la ciutat escollida per a la GAha estat Sao Paulo.

SCM/Notıcies 44 7

Vaig aterrar a Sao Paulo el dissabte 28de juliol al vespre. La GA va comencar eldiumenge, a les 8.15 del matı i va acabar eldilluns a les 19.00 hores. El dimarts 30, a les6 del matı, vam agafar un autobus que ens vaportar de Sao Paulo a Rio de Janeiro passantper Paratı, on vam parar a dinar. Paratı es undestı turıstic de primer ordre dins del Brasil; unpetit poblet que havia sigut de pescadors i queara viu en exclusiva del turisme. Casualment,jo havia estat a Paratı 15 anys enrere amb lafamılia i he pogut constatar un canvi importantpel que fa a la capacitat turıstica i l’oferta delleure durant aquests 15 anys. Continua sent unlloc «remot» pero menys (fins i tot vaig trobar-me un noi, el Ramon, de Barcelona, que quan livaig preguntar com havia anat a parar a Paratıem va contestar: «perque soc al paradıs»). Unade les activitats mes boniques que s’hi potfer es agafar un barquet i anar a una de les160 illetes que es troben en un radi de pocsquilometres de la costa. Algunes son privadespero tambe n’hi ha moltes a les quals es potanar lliurement. En qualsevol cas, el viatged’autobus d’unes 14 hores que vam fer perpoder estar dues o tres hores a Paratı no crecque fos una bona decisio. La intencio, pero, esel que compta i agraeixo a la Societat Brasilerade Matematiques (el seu president era el chairdel comite organitzador de la GA) i a la IMUtot l’esforc perque la GA fos tan agradable,inclosa la visita a Paratı. Al voltant de les 9del vespre del dimarts 31 ja era a l’habitacio del’hotel a RioCentro, on hauria de transcorrer elcongres (a uns 20 quilometres al sud de la ciutatde Rio de Janeiro). Al matı seguent es fariala cerimonia d’inauguracio del congres, que co-mencava a les 8.30 del matı (no sense que abanshagues tingut un ensurt de primer ordre comexplicare despres).

Tornem, pero, al diumenge 29 a les 8.30per fer un repas dels punts mes importantsque es van tractar a la GA. Potser es borecordar, o informar pels que no ho sabeu, quela representacio de la SCM a la IMU es viael CEMat (Consejo Espanol de Matematicas),que es l’Organitzacio Adherida de la delegacioespanyola. En aquest, cas formavem part de ladelegacio el president i la vicepresidenta dela RSME (Francisco Marcellan i Mercedes Siles,respectivament) el director del BCAM (LuisVega), que de fet hi anava en representacio

de SEMA, i jo mateix com a representant dela SCM.

La informacio oficial de la GA la podeutrobar al web de la IMU. No fare un repasexhaustiu i nomes esmentare els punts que emvan semblar mes sorprenents o interessants.Primer de tot vam fer la fotografia de grup.

Sorprenent. El comite executiu CE de laIMU havia decidit (aquesta no es una decisiode la GA, sino previa a la reunio) que el premiNevalinna, que es concedeix en un format moltsemblant a les medalles Fields a un/a investi-gador/a en temes de computacio matematicao complexitat, deixaria d’existir com a tal(recordem que Rolf Nevalinna va ser presidentde la IMU del 1959 al 1962). La rao que haviaportat el CE a prendre aquesta decisio es queha rebut moltes queixes d’alguns membres dela comunitat matematica que el premi portiel nom del professor Rolf Nevalinna, arran delpaper que va tenir en la Segona Guerra Mundialen partits d’extrema dreta finlandesa propers alnazisme (he mirat d’obtenir mes informacio viainternet i he trobat ben poca cosa). El premiestava financat per la Universitat d’Helsinki(Finlandia) de la qual Nevalinna havia estatrector. En tot cas, la decisio estava presa.La GA s’havia de pronunciar entre dues otres opcions: (a) cancel·lar el premi sense mesconsideracions, (b) crear un premi que siguicontinuacio del Nevalinna. L’opcio (b), al seutorn, admetia dues opcions: l’estructura del noupremi implicaria que els temes que corresponenal premi Nevalinna (computacio matematicai complexitat) quedessin exclosos dels premisMedalla Fields, o no. La resolucio de la GA vaser acceptar (b) i que el nou premi (per al quals’haura de buscar nom i financament) deixescomputacio matematica i complexitat fora delspremis Medalla Fields.

8 SCM/Notıcies 44

Interessant. La IMU ha impulsat que l’ONUaprovi que el dia 3 de marc sigui proclamat elDia Internacional de les Matematiques. Si totesles gestions segueixen els passos previstos, elprimer any que aixo passara sera el 2020. LaSCM ha donat suport a aquesta iniciativa i, pertant, haurem de reforcar les activitats que esfan a l’entorn d’aquesta data.

Sorprenent. En aquest cas haurıem de dir«sorpresa». Es fa public (era secret) el ProgramCommittee, que es el comite que ha gestionattot el programa cientıfic de l’ICM2018. El seupresident ha estat Janos Kollar de la PrincetonUniversity.

Interessant i sorprenent. Un dels momentsalgids del primer dia (ja som a la tarda dediumenge) va ser la votacio per decidir el properorganitzador de l’ICM2022. Dues candidatures:Parıs i Sant Petersburg. No era conscient que elcomite de visites a les seus, format per HyungjuPark (Chair), Helge Holden secretari general dela IMU) i Christiane Rousseau, havien resoltrecomanar Sant Petersburg i van exposar-ne lesraons (una llista de «pros» i «cons», en paraulesdel secretari general. Malgrat que no queda clarque hi hagi cap mandat per part dels estatuts dela IMU que el comite hagi de fer una ordenaciode les candidatures, sembla que es tradicio fer-ho (alguns delegats seniors em van explicarque almenys en una altra ocasio hi va havertres candidatures no ordenades. . . ). Les duescandidatures van tenir 11 minuts per defensar-se. En el torn de preguntes, potser quatre o cincintervencions, majoritariament es va questionara la proposta russa temes relacionats amb visati drets humans (especialment pel que fa alcol·lectiu homosexual). La nostra delegacio vadecidir votar individualment. El resultat dela votacio va ser clarament favorable a SantPetersburg: 85 a 65 aproximadament. No cal dirque va implicar «somriures i llagrimes». Tota lapressio es ara per a Stanislav Smirnov (MedallaFields 2010), que sera el president del comiteorganitzador.

Sorprenent. El pressupost de la IMU esd’1 milio d’euros. D’aquest milio, basicamentla meitat prove de les quotes que paguemles organitzacions adherides (per exemple, elCEMat, que pertany al Grup IV, paga uns12.000 euros, dels quals 2.000 la SCM) i l’altrameitat la paga Alemanya (un terc Berlın, unterc el govern de la regio i un altre terc el WIAS,

es a dir, el Weierstrass Institute for AppliedAnalysis and Stochastics). Aquest fet s’explicaperque la secretaria de la IMU esta allotjada alWIAS i ells assumeixen les despeses que aixoimplica, tant materials com de personal. El fetes que aquest acord de col·laboracio entre laIMU i el WIAS era temporal i en la GA deSao Paulo vam aprovar convertir-lo en un acordpermanent.

Parentesi. A les set de la tarda, uns busosens van portar fins a un local on vam fer elsopar social. Musica brasilera en directe. Moltagradable.

Interessant. Dilluns al matı va comencaramb la presentacio i votacio dels propers mem-bres dels comites de la IMU. Potser el mes re-llevant era el cas del seu president, amb un uniccandidat: Carlos E. Kenig, de la Universitat deChicago. En Carlos es argentı d’origen pero hafet tota la seva carrera professional als EUA.La seva especialitat son les EDP.

Dues consideracions. Una. Carlos E. Kenigsera el nou president de la IMU substituintShigefumi Mori, a partir de l’1 de gener de 2019.Dues. El nou CE de la IMU, incloent-hi el co-mite ampliat (un total de deu persones), tindranomes una dona. Potser que ens ho fem mirar.

Interessant. Cada paıs que participa en laIMU paga una quota en funcio del «grup» aque pertany. El grup es defineix pel nombre devots de la delegacio i va de 0 vots (associat) finsa 5 vots (Grup V). Com deiem abans, Espanya,representada pel CEMat, pertany al grup IV.En la darrera part de la reunio es felicita elspaısos que han decidit «augmentar» la sevaparticipacio, ja sigui incorporant-se a la IMUcom a associats (per exemple, el Kirguizistan) obe aquells que fan el salt a un grup superior (perexemple, Portugal passa de Grup II a Grup III,o el Brasil que passa de Grup IV a Grup V).Pero tambe es parla d’aquells paısos que faun temps que no paguen els seus drets de vot(va ser el cas d’Espanya en l’ICM2014, que feia3 anys que no pagava la quota). La discussioen aquests casos es si s’apliquen els estatuts deforma mes restrictiva (quatre anys sense pagarimplica l’expulsio) o si es busquen mesuresimaginatives o particulars (per exemple, el casde l’Iran o Venecuela, en que sembla que la raode no pagar te fonaments polıtics). La decisiode la GA va ser no expulsar i intentar trobaruna solucio.

SCM/Notıcies 44 9

Sorprenent. La darrera discussio que sem-blava inofensiva va resultar un fracas. La de-fensava Wendelin Werner (membre del comite-at-large i medalla Fields). La idea que es propo-sava era la creacio de regions com a potencialsnous membres de la IMU. Es a dir, permetreque una organitzacio adherida en comptes derepresentar un paıs (com el CEMat a Espanya,posem per cas), ho faci d’una regio, definidacom una unio de paısos, cap dels quals siguimembre de la IMU i que tingui una proximitatgeografica. I la cosa es va anar enredant. Quevol dir exactament paıs? Qui pot ser una regio(va sortir explıcitament el nom de Catalunya)?Per que s’obre aquesta porta i no es potenciaque els paısos que vulguin entrin a la IMU coma membres associats (sense pagar. . . i sense dreta vot, es clar)? Despres de una hora llarga dediscussio es va decidir no aprovar la iniciativa.C’est la vie!

Sopar i a dormir que l’endema a les 6 caliapujar al bus per anar a Paratı i Rio de Janeiro.

ICM2018

Com us deia, la sessio d’obertura del congresno havia estat exempta d’un episodi que hauriapogut ser molt mes greu. La nit del diumengeal dilluns (48 hores abans de l’obertura delcongres) una joguina (un globus amb una espel-ma a dins que els nens fan volar al capvespre)va caure al sostre del pavello on s’havia de ferla sessio d’obertura del congres i va provocarun foc de grans dimensions. Immediatament,el president del comite organitzador MarceloViana, que era a la GA de Sao Paulo, vavolar a Rio de Janeiro. El pavello havia quedatinservible i no va ser fins dilluns al migdia ques’hi va poder entrar. La major part del materials’havia salvat i en 48 hores sense descans vantraslladar l’interior del pavello a un recintecontigu (son pavellons on hi caben unes 2.500persones. . . ). Com deia en Marcelo, sempretranquil, calia passar una prova per saber ques’estava fent be la feina i caram si la vam passar.

A quarts de nou del dimecres comencava lasessio inaugural. En Marcelo va fer un discursd’obertura recordant l’esforc titanic d’una ge-neracio de matematics brasilers per convertirel Brasil en una primera potencia mundial enmatematiques. I va particularitzar aquest esforcen la persona de Jacob Palis (president de la

IMU del 1999 al 2002) i a l’institut IMPA. Sino hi ha cap sorpresa, Marcelo Viana fara uncurs al CRM sobre teoria ergodica i sistemesdinamics. Sempre es un plaer sentir-lo parlarde matematiques; pel que sap i per la capacitatcomunicativa que te.

Despres d’una actuacio musical amb airesde samba brasilera, es va passar a la lectura delspremis (Nevalinna Prize, Gauss Prize, ChernMedal, Leelavati Prize i Fields Medals). Usben asseguro que es emocionant veure aquestmoment en directe. Hi ha tensio i l’escenografiaes preciosa.

Primer s’enuncien els premis seguents:

• Rolf Nevalinna Prize: Constantinos Daska-lakis (MIT, USA), per les seves aportacionsa la complexitat del problema de trobarequilibris (de Nash) en diversos aspectesde la teoria economica (mercats, subhastes,etcetera).

• Carl Friedrich Gauss Prize: David L. Donoho(Universitat de Stanford) per les seves apor-tacions a la teoria del senyal via les eines del’analisi computacional i estadıstica.

• Chern Medal Award: Masaki Kashiwara(Universitat de Kyoto), pels seus treballs demes de 50 anys en analisi algebraica i teoriade representacions.

• Leelavati Prize: Ali Nesin (Turquia), pelprojecte anomenat Petit poble matematic(«Mathematical Village») dedicat a l’ense-nyament i disseminacio de les matematiquesdes d’una visio lliure, en un context sociali polıtic complicat com el que es viu a laTurquia actual.

Finalment, els quatre medalla Fields (perordre estrictament alfabetic).

• Caucher Birkar (Cambridge University, UK),per la prova de l’acotacio de varietats de Fanoi per les seves contribucions al programa demodel minimal (relatiu a la classificacio devarietats algebraiques).

• Alessio Figalli (Zurich University, Suıssa),per les seves contribucions a la teoria deltransport optim i les aplicacions a les EDP,la geometria metrica i la probabilitat.

10 SCM/Notıcies 44

• Peter Scholze (Bonn University, Alemanya)per la introduccio dels espais perfectoides enl’estudi de la geometria algebraica aritmeticasobre camps p-adics, i les seves aplicacions ala teoria de representacions de Galois. Tambepel desenvolupament de les noves teoriescohomologiques.

• Akshay Venkatesh (EUA) per la seva sınteside la teoria analıtica de nombres, dinamicahomogenia, topologia i teoria de la repre-sentacio. Aquests avencos han permes tancarproblemes ben antics, com el de l’equidistri-bucio d’objectes aritmetics.

Com us deia, quan es fan publics els premises un moment potent. Em va fer molta il·lusioser-hi. Voldria, doncs, fer unes consideracions,algunes de caire mes serios i d’altres mesinformal o anecdotic.

Caucher Birkar passara a la historia delsICM per dos motius ben diferents. El primer,es clar, mes important, es el camı que ha hagutde recorrer fins a l’obtencio de la medalla.En Caucher va arribar al Regne Unit coma immigrant il·legal provinent de la guerra al’Iraq en la seva condicio de kurd. I va volerreivindicar explıcitament el seu origen kurdi el dolor que ha de patir la seva gent i laseva nacio per poder ser lliures. Ell mateix vaviure la infancia sota el soroll de les bombes.Malgrat aixo, el seu germa gran el va educaren les matematiques i la seva gran destresa liva permetre, un cop al Regne Unit, fer el camıque l’ha portat a rebre la maxima distinciode la comunitat matematica. El segon es mesaviat anecdotic: tambe sera l’unic matematica rebre dues medalles Fields (i en un mateixICM!), cosa que es impossible per estatuts dela IMU. M’explico. Minuts despres que la sessio

d’obertura del congres es dones per acabadaamb les paraules del ministre d’Educacio delBrasil, molta gent, especialment joves brasilersque eren presents a la sessio, es van acostara fer-se una fotografia amb les seves estrelles.Circumstancia que van aprofitar un parell depersones que s’havien colat a l’acte per robar-lila medalla. Tot i que les cameres de seguretatvan poder gravar les cares dels lladres i esvan difondre les imatges a les televisions detot el paıs encara, que jo sapiga, no els hantrobat; i a la medalla tampoc. L’organitzaciova decidir celebrar una petita cerimonia perpoder-li donar una copia exacta de la medalla.En el petit discurs que en Caucher va fer, vadonar les gracies a l’organitzacio per haver fetaquest esforc i, el mes interessant, va enviaraquest missatge: «En un primer moment vaigquedar molt dolgut pel que m’havia passat,pero al cap de poques hores em vaig refer i vaigcomprovar que tampoc no era tan important;si al llarg de la meva vida no hagues tingutaquesta fortalesa no hagues tirat endavant, jaque us puc assegurar que he viscut experienciesmolt i molt pitjors».

Quan es fa public el nom de cadaguanyador del premi, es projecta un vıdeo breu(https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018) d’uns 2o 3 minuts, en que cadascun dels medallistesexplica la seva historia i situacio present, i laseva relacio amb les matematiques. Son moltinteressants. Es una iniciativa de la FundacioSimons.

El meu hotel era justament al costat delspavellons on es van lliurar els premis. Justquan sortia mateix de l’hotel dimecres al matıvaig coincidir amb un Peter Scholze vestitde vint-i-un botons; no calia ser SherlockHolmes per saber que seria un dels premiats,i aixı ho vaig fer notar en un tuit. Tambees cert que el seu nom apareixia a totesles previsions.

Cadascun dels medallistes va fer una xerra-da plenaria davant d’una audiencia molt nom-brosa. Vaig anar a les quatre. Les exposicionsvan ser de tipus molt diferents; en els dosextrems podrıem situar la xerrada de PeterScholze, molt tecnica i sense concessions, i lad’Alessio Figalli, pensada per a una audienciageneral, sense detalls. Entremig, en el sen-tit metodologic, les dues ponencies d’Akshay

SCM/Notıcies 44 11

Venkatesh i de Caucher Birkar que malgrattractar temes forca tecnics volien arribar a unaaudiencia general.

En qualsevol cas, en termes generals, lamatematica catalana te motius per estar con-tenta. A tall d’exemple, deixeu-me posar algunscasos.

Mariana Bosch va ser conferenciant con-vidada a la seccio d’Educacio Matematica ipopularitzacio de les matematiques. La xerrada«Study and research paths: A model for in-quiry» va ser l’unica conferencia invitada d’unamembre de la SCM.

En dues de les quatre xerrades dels medallaFields, els ponents van fer referencia a treballscoautoritzats amb matematics catalans. Mesconcretament, Akshay Venkatesh va referenciarVıctor Rotger i Alessio Figalli va explicarparcialment els treballs que esta fent ambXavier Ros-Oton i Joaquim Serra.

Finalment, tambe vull destacar que MartaSanz-Sole va pronunciar la conferencia de laLondon Mathematical Society, cosa que mostrala seva rellevancia matematica i el paper desta-cat que te en la polıtica cientıfica europea.

Estem, doncs, d’enhorabona.

Trobada del Comite Executiu de l’EMS a BarcelonaXavier JarquePresident de la SCM

Els dies 9, 10 i 11 de novembre passat elComite Executiu de la Societat Europea deMatematiques (EMS) es va reunir a la seude l’Institut d’Estudis Catalans (IEC). LaSocietat Catalana de Matematiques, que comsabeu es membre de ple dret de l’EMS, vafer d’amfitrio de la trobada. De fet Catalu-nya, i mes concretament l’IEC, ha estat forcacops seu de diferents comissions, comites itrobades de l’EMS durant els darrers anys,en que ha destacat, obviament, l’organitzaciodel Tercer Congres Europeu de Matematiquesl’any 2000.

Aquesta reunio del Comite Executiu teniaun valor singular ja que ha estat la darrera reu-nio presidida per l’actual president de l’EMS,Pavel Exner, que deixara (pel lector ha deixat)la presidencia de l’EMS a principis de l’any

2019. En la darrera reunio de l’Assemblea del’EMS, que va tenir lloc a Praga el mes dejuny del 2018, es va nomenar nou presidentde l’EMS el professor Volker Mehrmann (TU,Berlın). Deixeu-me que tambe digui, a tıtolpersonal, que per a mi ha estat una visitasingular perque sera l’ultim cop que tinguil’oportunitat de col·laborar amb l’EMS com apresident de la SCM.

En l’agenda, entenc (jo no formo partdel comite) que parlarien de temes candentsde l’EMS, com son la nova localitzacio del’editorial de l’EMS a un paıs de la UE(molt probablement Alemanya), l’organitzaciodel proper Congres Europeu de Matematiquesa Portoroz (Eslovenia), la decisio sobre lespeticions de les activitats per al 2019 (escoles-EMS, conferenciants-EMS, etcetera), questions

12 SCM/Notıcies 44

de comunicacio de l’ EMS i temes de tresoreria.Pel que fa a l’activitat social de la trobada,

la SCM, com a societat amfitriona, va convidara un sopar tota la delegacio el divendres a lanit, mentre que l’EMS va oferir un sopar a

tots els membres de la delegacio al qual tambevam assistir els directors de l’IUMB (JoaquimOrtega-Cerda), del CRM (Lluıs Alseda), ladirectora de la BGSMath (Marta Sanz-Sole) ijo mateix.

Noticiari

Les universitats informenActivitats divulgatives del Departamentde Matematiques de la UABArmengol GasullCoordinador de Relacions amb SecundariaDepartament de Matematiques de la UAB

Com des de fa uns quants anys, a finals del curs2017–2018 el nostre departament va organitzaruna estada de tres setmanes per a alumnesde batxillerat, dins del programa Argo. Elsalumnes participants van seguir quatre blocsd’activitats coordinats pels professors NataliaCastellana, Jaume Coll, Juan J. Donaire, Jau-me Llibre. Aquestes activitats es van centrar enels quatre temes seguents:

• Les matematiques de les formes que ensenvolten sense regle ni compas: grafs i con-nexions en el dia a dia; nusos, cintes ialtres objectes matematics amb propietatsexcepcionals.

• L’origami dels mosaics de l’Alhambra.

• Paradoxes probabilıstiques.

• Tres questions matematiques: la formulad’Euler i els cinc poliedres regulars, el teo-rema de Pick i una breu introduccio al’astronomia.

A mes, durant el curs passat es vandissenyar una nova serie de quatre punts dellibres matematics, que portaven com a tıtol:biologia matematica, combinatoria, sistemes denumeracio i el teorema de Pitagores. A la figurapodeu veure una cara del primer. Aquest temaen particular va ser triat aprofitant que el 2018ha estat declarat per l’European MathematicalSociety i l’European Society for Mathematical

biologiamatemàtica

Els avantpassats d’un abellot

La velocitat òptima de natació

Equilibri de Hardy-Weinberg

enèsim nombre de Fibonacci

energia consumida, velocitat, pes, àrea de la secció, longitud

Freqüència inicial del genotip : Freqüència inicial del genotip :

avantpassats en la generació

(Freqüència d´ : )

Freqüències generacions següents :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

El peix més gran neda més de pressa que el petit

SCM/Notıcies 44 13

and Theoretical Biology, com a Any Interna-cional de la Biologia Matematica. Els autorsrespectius dels quatre punts van ser: AngelCalsina i Sılvia Cuadrado; Odı Soler; ArmengolGasull i Gregori Guasp, i Joan Josep Carmona.

Durant el curs actual ja s’estan fent lessessions de preparacio per a les olimpıadesmatematiques i per les proves Cangur a carrecdels professors Dolors Herbera, Joan Claramunti Odı Soler, i Josep Gascon, respectivament.Tambe esta previst, molt probablement durantuna tarda de l’abril o el maig de l’any queve, fer la X jornada «Les matematiques entrela secundaria i la universitat». Enguany, eltema central seran les matematiques a lesciencies socials.

Seguint amb la tradicio comencada elcurs 2003–2004, continuem organitzant elsDissabtes de les Matematiques. Els professorsresponsables durant aquest curs seran Barto-meu Coll (Universitat de les Illes Balears), iRosario Delgado, Gregori Guasp i JoaquimRoe, tots tres membres del nostre departament.Reserveu els matins dels dissabtes dels dies9, 16 i 30 de marc i 6 d’abril. Podreutrobar mes informacio, i en particular comformalitzar la vostra inscripcio (gratuıta), ala pagina web del departament: http://www.uab.cat/web/divulgacio-1194422462322.html. Com es tradicio, el primer delsdissabtes coincidira amb l’ultim Dissabte de laFısica.

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB el curs 2017–2018Antoni Benseny i Xavier MassanedaCoordinadors d’activitats per a secundariaFacultat de Matematiques, UB

El curs 2018–2019 va comencar, com es habi-tual, amb les jornades introductories per alsnous estudiants de grau, que tingueren lloc elsdies 7 i 8 de setembre.

Seguint amb les activitats habituals del’inici de curs, els dies 26 i 27 de setembre esva celebrar la Install Party 2018, una jornadad’introduccio al mon del programari lliuretotalment organitzada per estudiants de terceri quart curs i adrecada als estudiants de primer.Aquest es ja el nove any consecutiu que es fa.

L’acte d’obertura del curs academic tinguelloc el dia 3 d’octubre. El Dr. Jordi Marzova impartir la llico inaugural titulada «Puntsd’energia mınima i empaquetaments d’esferes».En el transcurs de l’acte es lliura, per primeravegada, el premi Collectanea Mathematica BestPaper Award, atorgat al professor Kangwei Li,de la Universitat d’Helsinki, pel seu article«Two weight inequalities for bilinear forms»,publicat en el volum 68 de la nostra revista.

Durant el mateix acte es va lliurar el premiAugust Palanques al millor expedient academicdel Grau de Matematiques del curs 2016-2017.El guardonat fou Joan Bruguera Mico.

La Facultat de Matematiques i Informatica,amb la col·laboracio del Vicerectorat d’Es-

tudiants i Polıtica Linguıstica i dels ServeisLinguıstics, ha instaurat el «Premi a la comu-nicacio i a la qualitat linguıstica dels treballsfinals dels graus de Matematiques i EnginyeriaInformatica». El premi preten fomentar lacapacitat de comunicacio a un public de nivellacademic, pero no especialitzat, dels resultatsdels treballs finals dels graus de Matematiquesi d’Enginyeria Informatica, aixı com la qualitatde la seva redaccio.

En un altre ambit, la Facultat de Ma-tematiques i Informatica organitza una expo-sicio de pintura de l’artista Roger Solernou,exalumne de la nostra facultat. L’exposicioporta per tıtol «Les matematiques com amotor poetic» i estigue instal·lada del 10 al 24d’octubre al primer pis del Claustre de Ciencies.

Coincidint amb l’ultim dia de l’exposicio, eldia 24 d’octubre l’associacio Hacking Lliure dela facultat va donar el tret de sortida a aquestcurs amb dues xerrades expres, amb els tıtols«Que es un virus?» i «Que es un blockchain?».

Per primera vegada, la Facultat de Fısicai la Facultat de Matematiques i Informaticade la Universitat de Barcelona van organitzarun speed networking entre alumnes i empreses.La tecnica de l’speed networking cada cop s’uti-

14 SCM/Notıcies 44

litza mes en entorns empresarials, ja que facilitaun entorn de coneixement mutu entre empresesi estudiants. La sessio va tenir lloc el dia 18d’octubre, i per preparar-la el Servei d’Atencioa l’Estudiant de la Universitat de Barcelonaoferı assessorament als alumnes sobre comparticipar en aquesta activitat de networkingprofessional, durant el qual van aprendre apresentar-se de forma rapida i atractiva.

El divendres 30 de novembre el Grup Cubicde Didactica de les Matematiques de la Facultatva organitzar la 2a Jornada de Didactica deles Matematiques. La jornada, titulada «Unamirada matematica a l’obra de Josep Estalellai Graells», es completa amb una exposicio dellibres i una mostra de materials de JosepEstalella i Graells i de l’Institut Escola.

Enguany seguim reforcant el suportacademic i economic a la presencia d’alumnesde la nostra facultat a diverses competicionsmatematiques. El dia 14 de novembre al migdiava tenir lloc el Torneig de Tardor, destinat aalumnes de primer i segon any, i el novembrees va iniciar tambe el Tauler de Problemes.Hem seguit promovent la participacio a laXXI Olimpiada Iberoamericana de MatematicaUniversitaria. Per a la primavera hi haprevistes la IV Competicio Universitariade Matematiques Lluıs Santalo, la setenaCompetencia Interuniversitaria MatematicaArgentina i la 26th International MathematicsCompetition for University Students.

Activitats per a estudiants i professors de se-cundaria

La facultat posa especial emfasi a diversesactivitats de divulgacio cientıfica destinades,principalment, a l’alumnat d’ensenyament se-cundari. Aquestes activitats es complementenamb d’altres activitats d’orientacio cientıficao professional adrecades a l’alumnat de lafacultat. Les detallem tot seguit.

• Xerrades taller. Els dies 14 i 21 de novembrede 2018 la Dra. Anna Miriam Benini pre-senta la xerrada-taller titulada «Fractals».A la xerrada es van explicar formes fractalssenzilles que es poden construir amb einesmatematiques, i es van comparar amb lesformes fractals de la natura que ens envolta,amb la seva bellesa i la seva complexitat.Aixo ajuda a entendre per que han tingut

tant d’exit en l’evolucio i per que s’utilitzentant al mon grafic digital actual.

La segona xerrada-taller del curs presenttingue lloc els dies 16 i 23 de gener, i fou acarrec de la Dra. Mireia Ribera. La xerrada,titulada «La informatica per a les persones:aprendre com usen l’ordinador persones ce-gues o amb discapacitats motrius» va feruna exposicio breu de les possibilitats queofereix la informatica per a les persones ambdiscapacitats. Es va fer una demostracio del’acces a pagines web i a un processadorde text per part d’una persona amb disca-pacitat. Finalment, els assistents van poderexperimentar ells mateixos l’us de l’ordina-dor simulant, amb tecnologies d’assistencia,alguna discapacitat.

• Matefest-Infofest. Aquesta jornada ludica secelebrara aquest curs el dia 11 d’abril. Ambaquesta festa, organitzada enterament pelsestudiants de la facultat, pretenem presentara la societat una imatge positiva de lesmatematiques i la informatica. Amb aquestafinalitat volem captar l’atencio i la curiositat

SCM/Notıcies 44 15

no nomes dels alumnes de secundaria, queson convidats a traves dels seus centreseducatius, sino tambe de qualsevol personaque hi estigui interessada.

• Activitats optatives del programa CTM. Dinsdel marc del programa del Departamentd’Ensenyament per a la Formacio Cientıfica,Tecnologica i Matematica del professorat desecundaria oferim dues activitats optatives:una sessio sobre ciencia de dades i BigData, a carrec del Dr. Lluıs Garrido, i unaaltra a carrec del Dr. Arturo Vieiro, titulada«Viatjant per l’espai».

• Suport a treballs de recerca en matematiques.L’objectiu d’aquest programa, iniciat fa jaonze anys, es oferir suport des de la facultattant al professorat tutor interessat a dirigirels treballs com a l’alumnat que els porta aterme.

• Preparacio de l’Olimpıada Matematica. Pernove any consecutiu, la Facultat de Ma-tematiques de la UB ofereix unes sessionsde preparacio de resolucio de problemes pera les proves de l’Olimpıada Matematica.Aquestes sessions, coordinades pel Dr. JordiMarzo, van adrecades a tots els estudiantsinteressats a participar en la fase catalana del’Olimpıada Matematica.

• Participacio al programa Escolab. Per quartany consecutiu la nostra facultat col·laboraen el programa Escolab, creat per l’Ajunta-ment de Barcelona i destinat a acostar el mon

de la recerca als estudiants de secundaria.Les activitats de l’Escolab consisteixen entallers o visites que permeten veure la grandiversitat de laboratoris que existeixen avuii entrar en contacte directe amb els seusequips i les seves lınies de recerca. La nostrafacultat ha ofert tres activitats: «1+1 > 2:programant formigues», a carrec de la Dra.Maite Lopez, «Amuntegant pilotes», a carrecde Joaquim Ortega-Cerda i «Sistemes derecomanacio i la seva integracio en interfıcies2D i 3D», a carrec de les doctores InmaRodrıguez i Maria Salamo.

• Participacio al programa Bojos per les Ma-tematiques. Dins el marc del programa Bojosper la Ciencia creat per la Fundacio LaPedrera, la FEEMCAT i la SCM ha reno-vat aquesta proposta conjunta iniciada l’any2015, adrecada als estudiants del primer anyde batxillerat de la modalitat de Cienciesi Tecnologia. El programa Bojos per lesMatematiques te per objectiu basic fomentarla vocacio cientıfica d’aquests joves i, en espe-cial, el seu entusiasme per les matematiques.Cinc de les sessions d’aquest programa s’handut a terme a la UB i, majoritariament, acarrec de professorat de la UB.

Trobareu informacio sobre totes aquestesactivitats, la forma de participar-hi i els termi-nis per prendre-hi part a la pagina de la facultata http://mat.ub.edu/matapps/activitats/futurs-estudiants/.

Activitats de primavera de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de la UPCJaume SolerVicedega de Relacions Internacionals i Promocio de l’FME

Vida academica

El curs 2018-2019 de la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica (FME) de la UPC estadedicat a la figura de Sofia Kovalevskaya. Igualque en anys anteriors, la Biblioteca de l’FMEorganitza, en col·laboracio amb l’assignaturaHistoria de la Matematica, el Concurs Kova-levskaya, amb preguntes sobre la seva vida iobra.

La conferencia inaugural del curs va ser acarrec de Marta Macho Stadler, professora dela Universidad del Paıs Vasco-Euskal HerrikoUnibertsitatea. La professora Macho es moltactiva en el camp de la divulgacio cientıfica iparticipa en nombroses activitats en universi-tats, institucions cientıfiques, centres culturalsi d’ensenyament. Ha rebut diversos premis perla seva activitat de divulgacio i de visibilitzaciode les aportacions de les dones cientıfiques no

16 SCM/Notıcies 44

tan sols al mon academic, sino tambe al progressocial.

La seva conferencia «Recordando a SofiaKovalevskaya» va ser un recorregut per cites,extractes de cartes i records de persones (ma-tematics, escriptors i escriptores, gent del monde la ciencia, familiars) que la van coneixer.En aquest sentit, va ser una aproximacio pocconvencional, pero magistral, a la vida i obrade Sofia Kovalevskaya.

En el marc del Col·loqui FME-UPC, el mesde novembre es va pronunciar la conferencia«Network Geometry», a carrec de la professoraM. Angeles Serrano (UB-ICREA). La profes-sora Serrano ha treballat com a investigadoraa Indiana University, a l’Ecole PolytechniqueFederale de Lausana i al Instituto de FısicaInterdisciplinar y Sistemas Complejos (IFISC),de titularitat compartida entre la Universitatde les Illes Balears i el Consejo Superior deInvestigaciones Cientıficas.

Les xarxes complexes estan canviant lamanera com modelem els sistemes comple-xos i predim el seu comportament. Els siste-mes complexos tenen unes propietats comu-nes i poden mostrar respostes inesperades iesdeveniments crıtics. En la seva ponencia,la professora Serrano va explicar que moltesd’aquestes propietats es poden explicar a partirdel descobriment que la geometria latent demoltes xarxes complexes es hiperbolica i proved’una distancia entre nodes que combina lesdimensions de popularitat i similitud.

Al mateix novembre, el professor AntonAubanell va oferir la conferencia «Un passeigper l’atzar i les formes», organitzada per la

Societat Catalana d’Estadıstica. El professorAubanell es professor jubilat de secundaria i deDidactica de les Matematiques a la Universitatde Barcelona i tambe membre fundador delMuseu de Matematiques de Catalunya. La sevaxerrada va ser un recorregut pels camins queenllacen la probabilitat amb la geometria, ambreferencies a Lluıs A. Santalo i amb un conjuntd’experiencies concretes aplicables a l’aula desecundaria.

Cal esmentar, tambe, entre les activitats delnovembre l’acte de reconeixement al professorPere Pascual pel premi UPC a la Qualitat enla Docencia Universitaria, concedit pel ConsellSocial de la UPC en la seva 21a edicio.

A finals de desembre va tenir lloc l’actede lliurament de diplomes a tot l’alumnat del’FME que ha acabat els estudis de grau,master o doctorat durant el curs 2017–2018.Els padrins d’aquesta promocio van ser elprofessor Xavier Cabre per als estudis deMatematiques i el professor Pedro Delicado perals d’Estadıstica. En total es van lliurar 48diplomes del Grau en Matematiques (GM), 38del Grau en Estadıstica (GE) UB-UPC, 18 delMaster in Applied Mathematics and Mathema-tical Engineering (MAMME), 40 del Master enEstadıstica i Investigacio Operativa (MESIO)UPC-UB i 10 del programa de Doctorat enMatematica Aplicada i Estadıstica.

En la mateixa sessio es van lliurar els premisAccenture als millors expedients academics delGM, del GE UB-UPC i del MESIO UPC-UB, aixı com el premi que atorga la FundacioCELLEX al millor expedient del MAMME.

D’altra banda, esmentem la renovacio de laJunta de Facultat i la visita de la Comissiod’Avaluacio Externa com a final del procesd’acreditacio dels programes de doctorat enmatematiques i en estadıstica.

SCM/Notıcies 44 17

FME i sortides professionals

Des de fa temps l’FME organitza, cap a finalsde curs, el Forum FME-Empresa per posaren contacte empreses amb estudiants de lafacultat. El primer quadrimestre del curs actuales va fer una sessio especial amb l’empresaMcKinsey, especialment per a estudiants delsdarrers cursos i de master.

Tambe cal destacar la visita d’una delegaciode l’Illinois Institute of Technology (IIT) queva presentar els masters que s’hi ofereixen ila possibilitat de continuar amb estudis dedoctorat a l’IIT.

Activitats relacionades amb la docencia

El 10 d’abril d’enguany van comencar lesactivitats del seminari «Contextualitzacio deles Matematiques a les carreres tecnologiquesde la UPC». Com a continuacio de les xerradesfetes el curs passat s’han dut a terme quatresessions mes: «Com les eines matematiquesajuden a fabricar peces. Casos practics», acarrec d’Antonio Travieso, del Departamentd’Enginyeria Mecanica; «Una proposta per al’ensenyament de les matematiques a enginyeriainformatica», a carrec de Joan Vicenc Gomez,del Departament de Matematiques, i «Aplica-cions matematiques a l’elasticitat i resistenciade materials», de M. Casafont, M. Ferrer iM. Pastor, del Departament de Resistencia deMaterials i Estructures a l’Enginyeria. La quar-ta sessio del quadrimestre i novena del seminari,considerada la sessio inaugural per al curs2018–2019, va ser a carrec de Guillermo Lusa,amb el tıtol «Una relacion historicamente pro-blematica: las matematicas en las ingenierıas».

A mitjan novembre, l’FME va acollir laXXI Jornada Didactica ABEAM, amb sessionsplenaries i un grapat de sessions paral·leles itallers per a tots els nivells de secundariai primaria.

Estudiants

Cada any, el grup de teatre grup Fem TeatreFME ofereix alguna representacio. Enguany

els estudiants van presentar, just abans de lesvacances, l’espectacle ExpoCultural Nadal 2018,una estona intensa de bones interpretacionsteatrals i musicals, demostracio rigorosa que al’FME no nomes hi ha talent matematic. Altresactes organitzats pels estudiants han estat eltradicional Concurs de Trivial i la XocolatadaSolidaria.

Activitats relacionades amb secundaria i compe-ticions

Des del comencament del curs actual s’handesenvolupat les activitats de preparacio per ales olimpıades matematiques i per a la provaCangur, els tallers per a secundaria i batxilleratque ofereix l’FME i les activitats que acull elsdissabtes: Anem x + Matematiques i el projecteEstalmat-Catalunya. El mes d’octubre va tenirlloc a l’FME l’acte d’inauguracio de l’Estalmat18/19.

Una altra activitat en la qual col·laboral’FME es el programa Bojos per les Ma-tematiques. El primer quadrimestre del cursactual va acollir, al llarg del mes d’octubre, lesproves de seleccio per al programa 2019 i, afinals de novembre, l’acte de cloenda de l’edicio2018.

Les sessions que componen aquest programaestan repartides entre la UPC, la UAB i la UB, ihi col·laboren professors de les tres universitatsi tambe professors de secundaria.

Per acabar, recodarem que durant el mesd’octubre es va disputar la final del concurs deprogramacio de la UPC, despres de la semifinalque es va celebrar el mes de juny passat.

18 SCM/Notıcies 44

Activitat del MMACA a la Bisbal d’EmpordaFrancesc MassichMuseu de Matematiques de Catalunya

Poc devien pensar els bisbes que eren rebuts ala sala capitular del Castell Palau de la Bisbalel segle xii que entre les mateixes parets onells feien reunions amb els senyors feudals mesimportants del Comtat de Cruılles, al cap d’unssegles s’hi acolliria una exposicio relacionadaamb les matematiques.

L’exposicio «Experiencies matematiques,prohibit no tocar!» va ocupar el pis nobledel Castell Palau el 2018, des del 12 d’a-bril fins al 9 de juny. Localitzada en undels edificis mes emblematics de la Bisbald’Emporda i possiblement en un dels llocsmes bonics que han acollit l’exposicio itine-rant del Museu de Matematiques de Cata-lunya (MMACA), els ciutadans del poble iels estudiants de tota la comarca van podergaudir dels gairebe cinquanta moduls proposatspel MMACA.

Els moduls proposats eren de carac-terıstiques molt diferents. Alguns moduls erenreptes, com el joc dels gratacels, els caminseulerians, el quadrat grecollatı o el nus Bor-romeu. Altres moduls convidaven a fer petitesdemostracions o veure propietats concretes,com els relacionats amb el teorema de Pitagoreso la proporcionalitat en una, dues i tres dimen-sions. Tambe hi havia moduls que permetienveure la bellesa de les matematiques, com elscalidoscopis i el que no podia fallar en unaexposicio en una de les capitals catalanes dela ceramica era un modul relacionat amb lesrajoles.

L’Ajuntament de la Bisbal, a traves delregidor d’educacio Enric Marques i el seu equip,va mostrar amb la seva aposta per portarl’exposicio i amb l’oferiment de tots els mitjanspossibles la seva voluntat de contribuir alsdos objectius principals del MMACA: ajudara millorar la imatge social de les matematiquesi servir a l’educacio matematica escolar des defora l’escola i amb un format no academic.

L’exposicio a la capital baix empordanesano va tardar a contribuir al segon d’aquestsobjectius. Des del dia 12, les sales del cas-tell ja es van comencar a omplir d’alumnesamb visites guiades de 75 minuts i aquestesno van abaixar el ritme fins al tancamentde l’exposicio. A mes de l’exposicio, l’ofer-ta escolar es complementava amb un taller,tambe de 75 minuts, en que els alumnespodien treballar amb els fractals i les cupulesde Leonardo.

Al llarg dels dos mesos, mes de tres milalumnes d’ESO i cicles superior i mitja deprimaria, van participar en les activitats ofer-tades pel MMACA. De tots aquests alumnes,uns dos mil, a mes de visitar l’exposicio tambevan fer el taller.

L’impacte de l’exposicio en els alumnes quela visitaven es podia veure en horaris no escolarsquan, passejant per les sales, es trobaven elsalumnes que ja l’havien visitat amb les sevesfamılies. En molts casos, aquestes visites lesdemanaven els nens i els servien per poderseguir amb els reptes que els havien quedat

SCM/Notıcies 44 19

pendents o per ensenyar als seus pares allo quehavien apres.

A mes de les visites escolars, l’exposiciotambe va acollir una de les proves de la gimcanapreparada per a la final provincial del concursFem Matematiques, que es va organitzar a laBisbal d’Emporda el 14 d’abril.

Si les visites escolars van comencar el 12d’abril, l’objectiu de millorar la imatge socialde les matematiques tampoc es va fer esperar.Associades a l’exposicio, hi havia previstesdues conferencies de divulgacio matematica alTeatre Mundial. La primera conferencia es vapronunciar el 13 d’abril i la va fer SergioBelmonte. La xerrada va tenir una afluenciade public que va superar totes les espectatives.Unes 190 persones es van acostar a escoltarla conferencia, que en aquest cas tractava dematematiques i magia. Un parell de setmanesmes tard i despres de la bona experiencia dela primera conferencia, el Mundial va tornar aquedar petit i aquesta vegada es va completarl’aforament maxim de 230 persones per fergeometria amb bombolles de sabo amb AntonAubanell. Arran d’aquestes dues experienciesque van superar tots els pronostics, conjunta-ment amb l’Ajuntament i els organitzadors delMMACA, es va decidir oferir una tercera xer-rada. En aquesta ocasio, mes de 120 personesvan assistir a la conferencia sobre matematiquesi musica, a carrec de Joan Jareno i FrancinaTuron.

A banda del cicle de conferencies, tambees va oferir a les famılies la possibilitat de fervisites guiades en que s’explicaven els modulsde manera molt mes profunda i tallers familiarson es construien cupules de Leonardo i esproposava als participants sortir dels laberintsnumerics del MMACA.

Al llarg dels dos mesos que es va podervisitar lliurement l’exposicio al Castell Palau dela Bisbal, els responsables del local van calcularque havia estat visitada per mes de dues milpersones.

L’exit de participacio de les escoles i delpublic general en les activitats proposades fanque es desmenteixin alguns topics i mostraque les matematiques son interessants per aun sector ampli de la poblacio, que no sonavorrides i que tots podem quedar atrapatspels seus reptes. A mes, tambe reforca la ideaque activitats i col·laboracions d’aquest tipusfuncionen tant en ambit escolar com municipal.

M’agradaria aprofitar tambe algunes lıniesd’aquest article per animar tothom a visitar lessales del MMACA, ja siguin les de l’exposiciopermanent de Cornella al Palau Mercader o lesde qualsevol de les exposicions itinerants que esvan presentant arreu del territori catala. Esticconvencut que sortireu molt contents i que nous decebra.

Finalment, i tornant a l’exposicio de laBisbal, es de justıcia agrair la feina feta a totesles persones que hi van dedicar hores i quegracies a ells, entre tots, vam aconseguir quefos un exit. Enric Marques, Nuri Trilla, ElenaMontiel i el seu equip de l’Ajuntament, totl’equip de monitores, Benet Amat del CRP,Anton Aubanell, Quim Tarradas i la resta del’equip del MMACA tant de Girona com deCornella i, molt especialment, els membres delcomite local, format per una vintena de mes-tres i professors compromesos amb l’educaciomatematica dels bisbalencs i bisbalenques.

20 SCM/Notıcies 44

Presentacio del volum Grecia IIa (els Elements d’Euclides: llibres I, II,III, IV, V i VI) de la Historia de la matematica de Josep Pla i Carrera

Sebastia Xambo DescampsProfessor emeritDepartament de Matematiques, UPC

L’acte, convocat conjuntament per la Socie-tat Catalana de Matematiques i la Seccio deCiencies i Tecnologia, se celebra a les 18.30hores del propassat 15 d’octubre a la Sala Pii Sunyer de l’IEC.

La significacio institucional de la convo-catoria, destinada a celebrar una nova fita delmagne projecte de publicar una comprensiva iinnovadora Historia de la matematica, va sersubratllada en els parlaments de Joan AntoniSolans, president de la Seccio de Ciencies iTecnologia; de David Serrat, secretari cientıficde l’IEC, i de Xavier Jarque, president de laSCM.

D. Serrat, J. Pla, X. Jarque i J. A. Solans (IolandaGuevara)

Als parlaments va seguir una presentacio delvolum pel propi autor. Basada en bona mesuraen el capıtol 1 del volum IIa (pagines 1–69),consistı a completar amb comentaris oralsuna quarantena llarga de transparencies. Enconjunt, fou una indispensable i molt avinentil·lustracio de la natura del projecte indi-cada pel seu subtıtol: «Resultats, textos icontextos». No mereixeria menys aquest pri-mer gran moment estelar de la historia dela ciencia i la cultura: els textos i resultatsdels Elements, i en particular dels seus sisprimers llibres, van encendre una llum delpensament que no ha deixat de brillar fins aldia d’avui.

La presentacio transmete l’encıs de l’au-tor per aquesta llum del Segle d’Or de laMatematica Grega i pel context unic en quees produı (vegeu a la taula A una sinopsid’algunes dades rellevants). Euclides te uns vintanys quan Ptolomeu I esdeve farao d’Egipte, a

Atenes bullen de vida intel.lectual l’Academiade Plato i el Liceu d’Aristotil (des de fa unsvuitanta i uns trenta anys, respectivament),i a Alexandria s’havien inaugurat el museui la biblioteca poc abans del seu naixement.Dels quaranta anys que li resten de vida aEuclides, la meitat transcorren en el regnatde Ptolomeu I («Soter», Salvador) i la segonameitat en el de Ptolomeu II («Filadelf», elque estima els germans). Es en aquestes cir-cumstancies que Euclides produeix tota la sevaobra matematica, de la qual els Elements es lapart mes coneguda i influent.

Taula A

aC Esdeveniment Lloc

427 n. Plato Atenes387 fund. Academia Atenes384 n. Aristotil Estagira367 n. Ptolomeu I Macedonia347 m. Plato Atenes335 fund. Liceu Atenes∼332 fund. museu i biblioteca Alexandria∼325 n. Euclides ?

322 m. Aristotil Calcis309 n. Ptolomeu II Illa de Cos305 Ptolomeu I farao Egipte285 Ptolomeu II farao Egipte283 m. Ptolomeu I Alexandria265 m. Euclides Alexandria246 m. Prolomeu II Alexandria

Despres de descriure breument la tematicade cada un dels sis llibres considerats, queen conjunt s’ocupen de la geometria plana«escolar», i de donar dades numeriques sobre elseu contingut, va fer diverses apreciacions sobrela seva natura hıbrida en termes de les filosofiesde la ciencia platonica i aristotelica, incloent-hi precisions suscitades per Pappos (iv dC)

SCM/Notıcies 44 21

en subratllar la importancia de determinar lescondicions en que un problema geometric tesolucio (diorismes).

El text dels llibres dels Elements d’Euclidesaplegats a IIa configura l’apendix A, amb duesseccions, una dedicada als llibres I, II, III, iIV (geometria plana elemental, pagines 71–264)i una altra dedicada als llibres V i VI (teoriageneral de la proporcio i aplicacions a la geome-tria, pagines 264–352). Del contingut d’aquestapendix, la presentacio n’il·lustra les definicions(subratllant-ne el contrapunt entre les concep-cions platonica i aristotelica), els postulats, lesnocions comunes, i les proposicions (173, de lesquals 47 es presenten com a «problemes», es adir, que descriuen una construccio geometrica,i les altres 126 com a «teoremes», per be queen cada cas l’element essencial es la demos-tracio de l’enunciat implıcit o explıcit). Seguıuna analisi de les dues nocions aristoteliquesd’infinit (potencial i actual) i la tensio entreelles pel que fa al quefer matematic. En elsElements aquesta tensio es manifesta en el fetque Euclides malda per evitar l’infinit actual,com manifesta la forma d’enunciar el postulat5, pero que tanmateix li compareix de trascantoen la definicio de rectes paral.leles (dues rectesdel mateix pla que, prolongades indefinidamenten ambdues direccions, no es tallen).

Taula BHistoria de la matematica: Grecia X (Y ).

Resultats, textos i contextos

X Y

I de Tales a Plato i AristotilII Elements d’Euclides

a llibres I a VIb llibres VII a XIII

III El segle d’ora Aristeu, Eudem, Euclides i Aristarcb Arquimedes, Cono i Dositeuc Nicomedes, Eratostenes, Apol·loni,

Diocles i Dionısodor

La taula B es una sinopsi dels volumsdedicats a la matematica grega fins al seusegle d’or. No coincideix amb l’estructura ques’havia previst inicialment, ja que, com diul’autor a la introduccio de IIa (pagines XIi XII), «La historia de la matematica grega

assoleix el cim al segle iii aC, conegut coma «Segle d’Or de la Matematica Grega». Enaquest segon volum d’historia de la matematicaa Grecia correspondria, doncs, descriure elsproblemes, textos i contextos d’aquest perıodeper a despres, en un tercer volum, exposar-neels epıgons, molt importants, que s’estenguerendurant nou segles. Pero no ho farem. Interrom-pem el que seria el desenvolupament normald’una historia de la matematica grega perdedicar dos volums (Grecia IIa i Grecia IIb) alsElements d’Euclides. Les raons d’aquesta deci-sio son multiples. Una es de tipus metodologic.Ens ha semblat que aquesta historia quedariacoixa si no contenia la totalitat dels Elementsd’Euclides».

Ho considerem una decisio encertadıssima,i per aixo sembla adient esperar a l’apariciode IIb (prevista per abans de l’estiu del 2019)per presentar una recensio conjunta detalladadels dos volums. Segons l’autor, el volumIIIa es lliurara a l’IEC durant el mes degener del 2019. Ens sembla tambe un encertque entre els matematics que s’hi estudien hihagi Euclides. Aixo ha de servir per apreci-ar l’obra matematica d’Euclides altra que lacontinguda en els Elements, i tambe (IIIa,§ 3.2, «Les aportacions conceptuals de l’obrad’Euclides») per a «una comprensio cabal delseu pensament, tant l’heretat dels matematicsi filosofs que el van precedir com el propi»(IIa, pagina XII).

Josep Pla i Carrera i portada del volum presentat(SX)

Els dos primers volums de la Historia dela matematica, [1] i [2], es van publicar el2016 (per a una recensio, vegeu SCM/Notıcies41, 41–43). El 3 de maig de 2017, Pla fouguardonat, per aquestes obres, amb el premiCrıtica Serra d’Or de Recerca, i la revista Serrad’Or en publica una recensio en el numerod’octubre del 2017. Ara, el numero 42 del

22 SCM/Notıcies 44

Noubiaix (juny del 2018) ha publicat (pagines85–88) el «Discurs d’agraıment (ampliat) llegita l’acte de lliurament del premi Crıtica Serrad’Or de Recerca» i del qual trobem just recollirla seguent lınia: «Es una mena d’obra queno s’ha realitzat mai en cap llengua, que joconegui».

Un detall de la presentacio fou la segonatransparencia, titulada «Us volem a casa!»,i que mostrava, sobre un fons groc intens,dibuixos de les cares de les setze personesempresonades o exiliades per motius polıtics.Sı, us volem a casa!

L’atzar va fer que la presentacio de IIa coin-cidıs amb el lliurament dels Premis Nacionalsde Recerca al Teatre Nacional. Esperem queaviat els dos esdeveniments coincideixin del tot.

Referencies[1] J. Pla: Historia de la matematica. Egipte i

Mesopotamia. Resultats, textos i contextos.IEC, juliol 2016. lxv + 427 pagines.

[2] J. Pla: Historia de la matematica. GreciaI (de Tales a Plato i Aristotil). IEC, juliol2016. xiv + 781 pagines.

Marc Noy, guardonat amb la medalla Narcıs Monturiol

Oriol SerraUniversitat Politecnica de Catalunya

Marc Noy, catedratic de Matematica Aplicadaa la Universitat Politecnica de Catalunya, haestat guardonat enguany amb la medalla NarcısMonturiol de la Generalitat de Catalunya, quereconeix una destacada contribucio a la cienciai a la tecnologia a Catalunya.

Marc Noy va obtenir la llicenciatura deMatematiques a la Universitat de Barcelonael 1981, i va continuar la seva formacio ala Brandeis University (Massachussets), on vaobtenir un master de matematiques el 1983, i

es va doctorar en Ciencies de la Informacio a laUniversitat Politecnica de Catalunya el 1989.

Poc despres de doctorar-se, va iniciar unaestreta colaboracio amb Ferran Hurtado queel va portar a l’area de la geometria discretai computacional, en que va fer nombroses isubstancials aportacions, com l’estudi del grafde flips de triangulacions d’un polıgon convex,que es la base per a la generacio aleatoria detriangulacions amb cadenes de Markov.

La seva inquietud cientıfica l’ha portat aexplorar molts altres aspectes de la matematicadiscreta, com l’estudi del polinomi de Tutte,un dels objectes mes fascinants de la teoria degrafs. En Marc va aconseguir portar Bill Tutte,un dels pares de la teoria de grafs moderna,a Barcelona per participar en un congres de-dicat al seu polinomi. Aquesta havia de seruna de les darreres activitats cientıfiques deTutte. En aquesta lınia, va establir una llargacol·laboracio amb Dominic Welsh, professor ala Universitat d’Oxford, amb qui en Marc vafer una gran amistat personal.

Potser una de les trobades mes importantsper a la seva carrera cientıfica va ser amb PhillipFlajolet, investigador de l’INRIA a Parıs, i con-siderat el pare de la combinatoria analıtica mo-derna, amb qui va escriure un dels treballs quesegueix sent avui una referencia en l’enumeraciod’objectes geometrics per metodes analıtics. Es

SCM/Notıcies 44 23

en aquesta direccio que va obtenir un dels seusresultats mes celebrats sobre els grafs aleatorisplanars. Els metodes analıtics proporcionenl’eina adequada per tractar aquesta classe degrafs per als quals no hi ha un model probaba-bilıstic manejable. Des dels primers treballs deTutte, s’havien dedicat molts esforcos a obtenirla forma asimptotica per a l’enumeracio de grafsplanaris. Amb una combinacio dels metodesanalıtics amb el metode simbolic de Flajolet,Marc Noy va tancar el tema d’una maneradefinitiva amb el seu estudiant i col·laboradorOmer Gimenez en un article publicat al Journalde l’AMS el 2009. Aquesta contribucio vaobrir la porta a analitzar de forma sistematicapropietats estructurals de classes generals degrafs de les quals els grafs planaris son nomesun exemple.

Aquestes contribucions cientıfiques li hanvalgut ser un dels pocs matematics catalans iespanyols que han estat conferenciants convi-dats a un International Congress of Mathema-tics, en l’edicio que es va fer a Seul el 2014.Entre altres reconeixements, ha obtingut tambeel prestigios Humboldt Research Award el 2012,i ha estat Von Neumann visiting professor a laTechnical Universitat de Munic el 2013.

Un dels llegats academics de Marc Noy sonels seus estudiants: Anna de Mier, especialistareconeguda en teoria de matroides i profes-sora a la UPC; Sergi Elizalde, investigadorde referencia en combinatoria enumerativa iprofessor a Darmouth College, un dels centres

de la Ivy League als EUA; Omer Gimenez,actualment treballant a Google a California;Juanjo Rue, reconegut especialista en combi-natoria analıtica i combinatoria additiva, pro-fessor a la Freie Universitat a Berlın i actual-ment a la UPC, o Lander Ramos, treballanttambe a Google a Dublın.

Marc Noy ha compaginat la seva intensaactivitat cientıfica amb la gestio academica icientıfica. Ha estat director del departament dematematica aplicada i vicedega de la Facultatde Matematiques i Estadıstica a la UPC. Unade les seves contribucions mes destacades enaquest ambit ha estat la direccio de la Barce-lona Graduate School of Mathematics del 2015al 2018. Aquest ambicios projecte que reuneixels matematics mes destacatas de les universi-tats de Barcelona i de Catalunya proporcionala plataforma necessaria per donar visibilitatinternacional a la investigacio matematica alnostre paıs, en consonancia amb inciativessemblants a Berlın, Parıs i altres llocs d’Europa.Sota la seva direccio, la BGSMath va obtenirel prestigios projecte d’excel·lencia Marıa deMaeztu el 2015, del qual n’es l’investigadorprincipal, i ha posat en marxa un gran nombred’iniciatives dirigides a donar forma i continguta aquest projecte.

La medalla Narcıs Monturiol es un meres-cut reconeixement a la trajectoria cientıfica iacademica de Marc Noy. Des d’aquestes paginesde la SCM/Notıcies li traslladem la mes cordialenhorabona.

Activitats

CSACS 2018Dolors Herbera i Oriol SerraCoorganitzadors per la SCM

De l’11 al 14 de setembre es va fer a Bratislavala cinquena edicio del congres conjunt de lessocietats matematiques de Txequia, Eslovenia,Austria, Eslovaquia i Catalunya http://www.math.sk/csasc2018/, CSASC en el seu pa-lindromic acronim. Aquestes trobades es vaniniciar a Praga el 2010 despres de dues reunionsbilaterals de txecs i catalans a Praga el 2005

i a Barcelona el 2006, que van deixar moltbon record. Les trobades del CSASC s’hanfet despres a Krems el 2011 (Austria), Koperel 2013 (Eslovenia) i Barcelona el 2016. Ambaquesta edicio es tanca, doncs, una rondacompleta del cicle de trobades que han tingutuna alta participacio i un bon nivell cientıfic,objectiu basic d’aquest projecte.

24 SCM/Notıcies 44

El president de la SCM, Xavier Jarque,encapcalant la comitiva mentre passava pel pont

Un dels motius que van portar a l’organitza-cio d’aquestes trobades va ser establir i conso-lidar vincles de col·laboracio entre matematicsde les cinc societats en un format que permet uncontacte directe i intens, i s’inscriu en el marcde contactes semblants amb altres societatsmatematiques europees amb les quals la SCMtambe mante contactes estrets. La trobadas’articula a traves d’una serie de conferenciesplenaries en les quals s’ofereix l’oportunitatde fer coneixer alguns dels matematics mesdestacats de cada comunitat, i per mitja d’unaserie de sessions tematiques que afavoreixen uncontacte cientıfic mes intens i especıfic.

Imma Baldoma mentre presentava la sevacontribucio

En aquesta ocasio els conferenciants plena-ris catalans van ser Imma Baldoma, «Invariantmanifolds, local and global behaviour», i CarlesCasacuberta, «From algebraic topology to mo-tivic homotopy», que van compartir cartell ambZdenek Strakos (Charles University, Praga),Marjeta Kramar Fijavz (University of Ljubl-jana), Vera Fischer (University of Vienna),

Martin Skoviera (Comenius University, Bratis-lava), Franz Schuster (University of Technologyin Vienna) i Matjaz Omladic (University ofLjubljana).

Carles Casacuberta presentant la seva contribucio

En les sessions tematiques hi participenorganitzadors d’almenys dues de les societats,i en aquesta edicio van tractar els temesseguents:

• «Applications of Stochastic Analysisin Quantitative Finance», J. Pospısil(Republica Txeca) i J. Vives (Catalunya).

• «Algebraic and Topological Graph Theory»,R. Jajcay (Eslovaquia), A. Malnic (Es-lovenia).

• «Functional Analysis and Geometry», E.Kopecka (Austria), M. Ludwig (Austria).

• «Time-Frequency Methods for Operatorsand Function Spaces», H. G. Feichtinger(Austria), O. Hutnık (Eslovaquia).

• «Numerical Workshop», O. Stasova (Es-lovaquia), T. Oberhuber (Txequia).

• «Graph Theory and Combinatorics», J. Kra-tochvıl (Txequia), O. Serra (Catalunya), M.Skoviera (Eslovaquia), M. Drmota (Austria),S. Cabello (Eslovenia).

• «Categorical Methods in Algebra and To-pology», J. Rosicky (Txequia), D. Herbera(Catalunya), C. Casacuberta (Catalunya).

• «Commutative Algebra and Algebraic Geo-metry», A. F. Boix (Israel), E. Faber (RegneUnit).

• «Uncertainty Modelling», M. Stepnicka(Txequia), M. Kalina, (Eslovaquia).

SCM/Notıcies 44 25

Aida Abiad, participant de la sessio decombinatoria, il·lustra la seva presentacio amb la

Sagrada Famılia

A la trobada, que es va fer a la SlovenskaTechnicka Univerzita de Bratislava i amb lapresencia de mes de130 participants, dels qualsmes d’una vintena de matematics catalans. Calagrair al president de la Societat MatematicaEslovaca, Martin Kalina, a qui va dirigir l’or-ganitzacio de la trobada, l’expresident de lasocietat Roman Nedela, i a tot l’equip d’or-ganitzacio, que van fer que tot funciones a laperfeccio.

Roman Nedela, responsable de l’organitzacio, ambMartin Kalina, president de la Societat

Matematica Eslovaca, i Jasna Prezelj, de laSocietat Matematica Esolvena, en el parlament al

sopar de la trobada

Durant la trobada es va fer la habitualreunio per tractar sobre el futur d’aquestesdeveniment. Tot i haver completat el primercicle d’edicions, el representant de la SocietatMatematica Txeca va animar a continuar ambaquest format i es va oferir a organitzar-lo aPraga el 2021. A mes, tots els membres es vancomprometre a contribuir des de la plataformadel CSASC a l’exit de l’European Congress ofMathematics 2020, que es fara a Eslovenia.

3a Conferencia MATRIXGuido RamelliniMuseu de Matematiques de Catalunya

La tercera edicio de la Conferencia MATRIX(Mathematics Awareness, Training, Resource &Information Exchange), organitzada pel MMA-CA i el MoMATH, s’ha dut a terme a Cornella-Barcelona del 29 al 31 d’octubre. Les anteriorsedicions van ser a Dresden (2014) i a Leeds(2016).

Per la nostra banda, va ser molt atrevit, idifıcil, organitzar aquesta iniciativa en aqueststemps tan complicats per a Catalunya. Elsefectes de l’aplicacio (i la interpretacio) del’article 155 de la Constitucio o de la incertesai la por que generava en tots els ambits del’administracio i de la societat ens complicavatrobar l’ajuda necessaria i no nomes pel que feiaa financament.

Aixo va entorpir l’accio de difusio de l’actei ens ha fet perdre la presencia de diverses per-sones, especialment del mon de la divulgacio,que s’havien implicat en les anteriors edicions odels que venen de mes lluny i necessiten visat.

A mes, encara que hem tingut en gran con-sideracio l’experiencia de les organitzacions quehavien fet les anteriors edicions del MATRIX,volıem donar a la «nostra» conferencia unaestructura diferent, que permetes un dialeg mesenriquidor entre els participants. En algunsmoments, la sensacio de llancar-nos al buitsense paracaigudes l’hem sentida a dins i l’hemvista als ulls dels altres companys de viatge.

Per sort, anavem trobant complicitats isimpaties per tot arreu: a les institucions

26 SCM/Notıcies 44

publiques (Ajuntament de Cornella, Diputaciode Barcelona i Generalitat de Catalunya), ales fundacions privades (Caixa i Cellex) i ales agencies culturals i educatives (universi-tats, Museu Agbar, CosmoCaixa, SCM, CSR).Tothom es declarava interessat, compartia elsobjectius (continuar en la construccio de laxarxa de divulgacio de les matematiques id’intercanvi d’experiencies i materials) i ensanimava a continuar.

Vam anant recollint els inputs positius ienfrontant-nos als negatius amb l’optimisme dela voluntat i el pessimisme de la rao, tambevam ampliar el nombre de socies i socis delMMACA que col·laboraven en el projecte iaportaven energia, coneixements i experiencies,fins a l’ultim moment de la Conferencia.

La presencia a la inauguracio de la Con-ferencia del President de la Generalitat, QuimTorra, i de l’Alcalde de Cornella de Llobregat,Antonio Balmon, acompanyant els responsablesdel Museu Agbar, de la Fundacio La Caixa, delMoMath de New York i del MMACA, va seruna demostracio molt valorada i significativa del’interes suscitat pel MATRIX i l’aposta de lesinstitucions locals per a l’educacio i la cultura.

Haurıem de reflexionar en tots els ambits:polıtic, economic, cultural, ecologic. . . , que quifa les coses son les persones, aixı que s’ha detenir cura de les persones si es volen fer be lescoses. Sembla senzill, pero de vegades tens lasensacio que, tant en les matematiques com enla vida, les regles senzilles son les mes difıcilsd’aprendre i les mes facils d’oblidar.

OrganitzacioLa Conferencia MATRIX continua sent unatrobada d’amics i amigues, que comparteixendesitjos, vivencies i experiencies, pero que son

tambe uns grans professionals del mon de ladisseminacio de la ciencia, que presenten pro-jectes i resultats o s’obren a discutir problemes.Aixo conjuga l’efectivitat de la nostra accioamb l’afectivitat de la nostra relacio i ens donaforca i conviccio.

El nombre relativament petit de partici-pants, que continua en prop de 100 persones,facilita el contacte personal i l’acolliment i laintegracio dels que venen per primer cop.

Com en les edicions anteriors, hi ha ha-gut una forta presencia de participants locals,de Catalunya i de l’Estat; molts companysi companyes del mon de l’escola que estanorganitzant diverses iniciatives d’educacio noformal (fires, jornades, tallers...) i volen donarmes estabilitat, identitat i consistencia a lesseves activitats.

Malgrat aixo, els participants van venir de15 paısos (Alemanya, Austria, Brasil, Bulgaria,Eslovenia, Espanya, Estats Units, Franca,Irlanda, Portugal, Regne Unit (Anglaterra,Escocia i Gal·les), Romania, Serbia, Suıssa iXile).

En tot cas, cal reflexionar sobre com fidelit-zar mes les persones i les institucions internacio-nals que ja participen i ampliar la presencia delsque encara no s’han sentit cridats. Tenim unaplataforma disponible (Imaginary.org) i duespropostes damunt la taula, que son comple-mentaries i s’hi poden integrar: la Global MathWeek (GMW), que James Tanton ha creat atraves dels seus Exploding Dots [i] (que tenentots els materials en castella) i la InternationalCooperation for Math Festivals (CMF) [ii], queEoin Gill, sobre la base de la seva Ireland MathWeek, ha desenvolupat des d’un dels grups deconversa d’aquest MATRIX.

La primera (GMW) es una iniciativa dirigi-da als estudiants: durant una setmana disposende reptes de matematiques que poden resoldrea l’escola o a casa, i despres poden penjar-neresultat en xarxa.

Queda per veure com, des de les entitats del’educacio no formal, podem donar suport a lainiciativa i ajudar per difondre la informacio.

Els Math Festivals (CMF) veuen els mu-seus o les associacions en el focus de l’accio.Ja existeixen moltes iniciatives en diferentspaısos, algunes que coincideixen per temps icontinguts: el dia Π, el Martin Gardner Day,etcetera, pero la majoria son esdeveniments de

SCM/Notıcies 44 27

diversa durada (del Mes de la Ciencia a Serbiaa les diverses setmanes o dies dedicats a lesmatematiques) que corresponen a efemerideslocals.

Sense alterar de cop les diverses cites, laproposta voldria aglutinar-les en un unic pro-jecte que desenvolupi un calendari compartiti creı una xarxa d’intercanvi d’experiencies,materials i persones, per millorar la qualitat, in-volucrar cada cop mes realitats locals i ampliar-ne l’impacte mediatic.

En aquest sentit, haver apostat per l’ajudad’una professional ens ha obert les portes almitjans de comunicacio. Cal valorar aquestaexperiencia de cara a altres projectes, com lesJAEM o el C2EM, que tenen una extraordinariarepercussio a escala local o estatal en el monde la educacio, pero poc impacte en l’opiniopublica i en el col·lectiu dels docents.

Per donar continuıtat a la col·laboracio i a lacirculacio d’informacions entre els participantsdel MATRIX, reals o potencials, hem avancatla proposta de crear la figura del MATRIXAmbassador, que reculli informacio sobre lesiniciatives locals i difongui els materials ela-borats en la xarxa MATRIX a les entitatseducatives i culturals de la propia area dereferencia.

Es forca evident que en aquests ultimsanys hi ha hagut un interes creixent delsscience centers envers les matematiques. Nohem de deixar escapar aquestes col·laboracionspotencials, que poden ser molt enriquidores pera tothom, fins i tot per trobar nous formats illenguatges.

Continguts

El programa preveia quatre blocs principalsd’activitats: conferencies plenaries (32% deltemps del congres); grups de conversa (30%);sessions de posters i mostra de materials (23%)i visita als museus (Agbar, CosmoCaixa iMMACA) (15%).

Conferencies plenaries inspiradores

• «El fenomen del Big Data», a carrec d’EulaliaSoler.

• «Avaluacio de l’impacte en les vocacionscientıfiques», a carrec de Digna Couso, SergioMarco i Lluıs Noguera.

• «Role play de coordenades i dansa defuncions», a carrec del Grup Cubic.

Conferencies plenaries obertes

• «Art i matematiques», a carrec de RinusRoelofs [iii].

• «Catastrofes, malalties i crims: prevenir elrisc amb les matematiques», a carrec deRosario Delgado.

A les reservades als inscrits al MATRIX vafaltar temps per el debat, encara que molts delsarguments de les conferencies van ser despresobjecte de reflexio ens els grups de conversa.Hauria sigut interessant que els ponents ha-guessim pogut participar-hi i es un aspecte pertenir en compte en el futur.

Els temes que proposaven (Big Data iavaluacio) continuen oberts, especialment pelque fa a la seva relacio amb els museus. Tenimles presentacions dels ponents i les inclouremal recull de materials que estara disponibleen xarxa per donar la possibilitat de fer unaanalisi mes puntual i atenta, necessaria peravancar propostes concretes. En tot cas, noson tematiques que es resolen en un dia ies important haver-les sotmes a l’atencio delsparticipants al MATRIX per poder-les desen-volupar.

A les conferencies obertes, que es van fera les tardes al CosmoCaixa, s’hi van afegircompanys i companyes del mon de l’ense-nyament i, cada una en la seva especialitat,van ser molt apreciades. Les dues estableixenponts entre disciplines i amb l’entorn social icultural. Provoquen emocions i reflexio, i obrenun col·loqui amb usuaris diferents, per mostraraspectes de les matematiques que no son els ha-bituals. Properament aquestes xerrades estarandisponibles a la xarxa (web de MATRIX. . . ).

28 SCM/Notıcies 44

Grups de conversaEra potser l’aposta mes arriscada: els temesper debatre son questions obertes i la modalitatper fer-ho, inspirada en el model de PechaKuc-ha, que havia donat bons resultats a C2EM,trencava amb la praxis de les anterior edicionsdel MATRIX. La idea era comencar per unesbreus intervencions (3-5 minuts) sobre un tema,proposat a traves d’una frase provocadora, perdespres obrir un debat entre els participants.

Els speakers que volien intervenir havienenviat uns breus escrits que permetien alcoordinador del grup organitzar el debat. Enel pitjor dels casos, el debat seria entre elsspeakers, pero la brevetat de les aportacionsinicials donava temps a una participacio mesamplia, com desitjaven que fos i com va ser entot els CG.

Les intervencions dels speakers, notes deldebat i successives aportacions dels participanttambe seran recollides per a la seva publicacio.

Un cop mes, lluny de proposar recepteso solucions definitives, ens agradaria pensarque hem obert una reflexio i un proces deintercanvi d’experiencies, de manera que laproxima edicio de la Conferencia pugui disposard’un repertori teoric organitzat i un recullde noves activitats, que ens permetin millorarla proposta d’educacio no formal que ve delsmuseus i dels divulgadors de matematiques.

Si ens hem de quedar amb un tema, pensemque el nus principal es encara la relacio amb lesescoles, o sigui el dialeg entre les educacionsformal i no formal, ja que l’objectiu comu esmolt clar: millorar l’aprenentatge del nostrealumnat, pero l’encaix estrategic encara se’nsescapa. Quan, des dels museus, afirmem quel’experiencia de la visita activa a una expo-sicio es insubstituıble, pel valor emocional ivivencial que comporta, i que les activitatsque es fan al museu han de ser diferents deles activitats escolars, es provoca sovint unaresposta defensiva per part del professorat, comsi posessim en dubte la seva funcio o la qualitatde la seva feina. Creiem que la cosa no va peraquı. La majoria de les persones que s’ocupend’educacio en les entitats patrimonials venendel mon de l’escola i estan mes que disposadesa reconeixer el valor insubstituıble de l’ense-nyament formal. D’altra banda, es publiquenarticles com el The 95 percent Solution [iv],que, referint-se a la realitat dels Estats Units

(no sempre comparable a l’europea), afirmaque el 95% de les vocacions cientıfiques no sonproductes de l’educacio formal, sino de lectures,documentals, visites als science centers que hanences una passio cultivada fora de les escoles.Sessio de posters i petita exposicio demoduls expositius, materials per tallersi exemples d’activitatsCom en les altres edicions del MATRIX, vamoferir la possibilitat de presentar posters i ma-terials als participants, que ens van fer arribaruna sol·licitud amb les seves necessitats. Nouentitats van presentar posters i 22 taules vanser ocupades per materials tangibles o virtuals,amb propostes per a exposicions, fires, tallers iaules d’escola.

Van representar un ventall molt ampli depropostes diferents, nuclis de dialegs i inter-canvis d’experiencies, ja que les inquietuds quetenim son molt similars i els enriquiments facilsd’incorporar a les nostres rutines.

A l’espera de les respostes d’un questionarique anirem elaborant i distribuint durant lesproximes setmanes entre els participants delMATRIX, i de les observacions de les amiguesdel Comite Cientıfic, els primers comentaris quehem pogut escoltar son forca positius.

Aquı i ara

En aquest sentit, sera molt interessant veurecom es desenvolupara aquesta xarxa a l’Estatespanyol, on tenim un ferment molt interessant.• L’aspecte basic, que no ens cansarem mai de

reivindicar, perque en cap altre paıs es tantpotent i capil·lar, es l’accio de les societatsdel professorat de matematiques, federats enla FESPM [v] i la possibilitat de mantenir l’elaboracio d’idees i projectes a traves de lesJAEMs [vi] i de les revistes que s’editen, comSuma i Noubiaix, i revistes i butlletins locals.

• Potser no n’haurıem de parlar nosaltres, peroes aclaparador l’exit de les iniciatives delMMACA: de l’exposicio permanent (visitesreservades fins al 2019) a les exposicionsitinerants (calendari ple fins al 2020, reservesexhaurides sis mesos abans de muntar l’ex-posicio), dels tallers als maletins didactics,que ens proporcionen la possibilitat d’operaral territori (projectes educatius de poble) iapropar-nos encara mes als usuaris.

SCM/Notıcies 44 29

La creacio de nuclis d’amics del MMACA aGirona, Reus-Tarragona i Lleida perfilen la pos-sibilitat d’una xarxa d’instal·lacions properes isostenibles, amb un enorme potencial d’impactesobre els projectes educatius.

• S’ha creat el DIMA [vii], la Xarxa de Di-vulgadors de Matematiques, que ha tingutmolt bona acollida al gremi i ha elaboratuna llista d’accions perque la divulgacio trobiun espai propi en l’estrategia educativa i noes quedi com a pura iniciativa d’uns quantsil·luminats amb la vocacio del bufo (dit ambtot el respecte que mereix l’unica persona quedenuncia la nuesa de l’emperador).

• Hi ha inquietuds en l’administracio, almenysa Catalunya. Els projectes Escola 21 o la for-macio STEM [viii] en son uns bons exemples.Mentrestant, es mantenen les jornades de lesentitats associades en la FEEMCAT i de laSCM i n’apareixen altres (DGSMat), conti-nuen tossudament els projectes Estalmat [ix]i Anem x + Matematiques [x] i es perfila lapropera edicio del C2EM [xi].

• En l’ambit de l’Ajuntament de Barcelona hiha molt d’interes sobre el projecte Educacio0-6 [xii] per crear una lınia pedagogica co-ordinada en aquesta etapa que te una im-portancia capital en tot el desenvolupamentde les diferents intel·ligencies i competenciesde l’individu.

Esperem que el resso mediatic que ha ob-tingut la conferencia MATRIX ajudi a millorarl’atencio dels mitjans de comunicacio, de lesinstitucions i dels ciutadans sobre tot el que esmou entorn de l’educacio formal i no formal i

de les matematiques en tots els seus aspectes:educatiu, cultural i, per que no?, emocionant iludic.

Tenim molta (i bona) feina feta. En tenimmes (i mes bona) per fer.

Webgrafia[i] https://www.explodingdots.org/

[ii] http://www.mathsweek.ie/2018/

[iii] http://www.rinusroelofs.nl

[iv] Falk, J.H. & Dierking, L.D. The 95 PercentSolution. School is not where the mostAmericans learn most of their science, inAmerican Scientist vol. 98 num. 6, pag.486–493.

[v] http://www.fespm.es/

[vi] https://www.19jaem.org/es

[vii] https://www.icmat.es/outreach/dima

[viii] http://xtec.gencat.cat/ca/formacio/formaciogeneralprofessorat/actualitzacio_cientifica_didactica/formacio-stem/

[ix] http://www.estalmat.org/

[x] http://feemcat.org/anem-x-matematiques/

[xi] http://c2em.feemcat.org/

[xii] http://ajuntament.barcelona.cat/escolesbressol/ca/projectes-territori

XV Jornada d’Educacio MatematicaDaniel Ruiz AguileraSocietat Balear de Matematiques XEIX

Els passats dies 28 i 29 de setembre de 2018 esva celebrar a Palma la XV Jornada d’EducacioMatematica, convocada per la Societat Balearde Matematiques XEIX, la Societat d’Educa-cio Matematica de la Comunitat ValencianaAl-Khwarizmi, la Federacio d’Entitats de l’En-senyament de les Matematica de Catalunya

(FEEMCAT) i la Societat Catalana de Ma-tematiques (SCM). Aquesta jornada va tenir elsuport de la Conselleria d’Educacio del Governde les Illes Balears, del Centre d’AprenentatgeCientificomatematic i de l’Institut de Recercai Innovacio Educativa de la Universitat de lesIlles Balears.

30 SCM/Notıcies 44

La participacio fou massiva, amb mes dedues-centes vint-i-cinc persones de totes lesetapes educatives de l’ensenyament de les ma-tematiques de diferents indrets dels territoris deparla catalana.

Connectant amb les matematiques

El tema triat per a la quinzena edicio d’aquestajornada fou les connexions a matematiques,amb els objectius seguents: aprofundir enaquesta dimensio de la competencia ma-tematica, coneixer algunes experiencies d’aulaen la lınia de connectar les matematiquesamb la realitat, poder experimentar amb di-ferents materials que modelitzin la realitat ireflexionar sobre la importancia de connectaraltres materies amb les matematiques.

La conferencia inaugural fou a carrec deCarme Burgues Flamarich, de la Universi-tat de Barcelona, amb el tıtol «Cacadors deconnexions. Descobrint i usant les connexionsmatematiques».

A continuacio, es desenvoluparen tallersdestinats a diverses etapes educatives. Per a

l’educacio infantil, els tallers van ser «Elspolicubs: un pont entre la vida quotidiana iles matematiques», impartit per Maria AngelsPortilla, del CEIP Son Anglada de Palma, i «Eltaller d’art i les instal·lacions artıstiques peraprendre matematiques», presentat per AnaBelen Petro, de la Universitat de les IllesBalears. Els tallers presentats per a l’educacioprimaria van ser «MateJonc, el treball dematematiques al 2n cicle de primaria», a carrecde Teresa Llompart, del Col·legi Mata de Joncde Palma; «Tocam i construım les operacionsaritmetiques», presentat per Pere Fuster, delCol·legi Sant Bonaventura d’Arta, i «Un exem-ple de taller al CEIP Mestre Colom: area iperımetre, una parella inestable», presentat perPepa Piza i Carolina Marı, del CEIP MestreColom de Bunyola. Pel que fa a l’educaciosecundaria, es van presentar tres tallers: «Role-plays a classe de matematiques», dirigit permembres del Grup Cubic de la Facultat deMatematiques i Informatica de la Universitatde Barcelona; «La geometria de l’espai a partirdels envasos», a carrec de Maria del Mar Rigo,de l’IES Santanyı, i «Relacions de longitud,superfıcies i volum», per Margalida Riera, delCol·legi Sant Vicenc de Paul de Soller.

Dissabte es va obrir amb la presentacio decomunicacions. Per a educacio infantil: «Quinaquantitat de sucre porten els nostres bere-nars?», de Joana Maria Campomar, del CEIPNorai d’Alcudia; «Matematiques divertides ainfantil», de Sergi Lopez i Maria Tomas delCEIP Marian Aguilo de Palma. A educa-cio primaria, «Matematiques amb profit», deJeronia Capo, Emma Garcıa, del CEIP Badiesde Llucmajor; «Celebram el Dia Escolar de lesMatematiques», a carrec de M. Antonia Camps,del CEIP Bartomeu Ordines de Consell, i lacomunicacio «Quadern de mates, quadern amb

SCM/Notıcies 44 31

mates», de Magdalena Martı, del CEIP MarianAguilo de Palma. Per a l’educacio secundaria,«Matematiques als projectes», de Cristina Oli-vares, de l’IES Antoni Maura de Palma; «Lacasa dels meus somnis», de Jesus Manel Crespı,de l’IES Porto Cristo, i «El laboratori dematematiques com a entorn d’aprenentatge»,de Manel Martınez Pascual, de l’ABEAM.

Seguidament, es presentaren les taules d’ex-periencies: «Capses matematiques», del CEIPSant Miquel de Son Carrio; «Experimentemamb les coniques», per part de membres delGrup Cubic de la Facultat de Matematiquesi Informatica de la Universitat de Barcelona;«Surfejant l’ona d’Agnesi», del Centre d’Apre-nentatge Cientificomatematic de Palma; «Pro-postes de l’ambient de Numeratis», del CEIPPuig de Fatima de Puigpunyent; «Contextos ainfantil i primaria», del CEIP Marian Aguilode Palma, i «Un Mondrian mes matematic» delCEIP Maria Antonia Salva de Son Sardina.

Posteriorment, es va fer la presentacio de leslınies d’impuls de les conclusions del CongresCatala d’Educacio Matematica (C2EM).

A continuacio, es va fer l’acte de lliuramentdel premi Maria Antonia Canals, atorgat enaquesta edicio a David Barba, Cecilia Calvo iAnna Cerezo, pel blog PuntMat, que van feruna presentacio de l’experiencia premiada.

Despres es va seguir amb la presentacio del’experiencia «Rutes matematiques a Valencia»,a carrec de Tomas Queralt, de la Societatd’Educacio Matematica de la Comunitat Va-lenciana Al-Khwarizmi. La jornada es va tancaramb la presentacio d’unes conclusions.

Pel que es pot comprovar, la quantitatde propostes va ser molt extensa i variada, iva posar de manifest el moment d’innovacioque s’esta vivint en l’educacio matematica.Tambe es molt destacable l’ambient de debat id’aprenentatge que es va respirar durant els dosdies, que impulsa a seguir organitzant trobadessemblants en el futur.

Es poden consultar tots els materials pre-sentats (presentacions i altres documents), aixıcom fotografies de la jornada al web http://xvjem.xeix.org.

Activitats amb ajut de la Societat9a edicio del concurs Planter de Sondeigs i Experiments 2018Lourdes RoderoCoordinadora del concurs i secretaria del jurat

L’1 de juny passat es van lliurar els premisdel concurs Planter de Sondeigs i Experiments,que enguany arriba a la seva 9a edicio. Aquestconcurs que esta parcialment financat per laSCM, el convoquen anualment les tres fa-cultats de Catalunya amb estudis de Grau

en Estadıstica (Facultat de Matematiques iEstadıstica de la UPC, la Facultat d’Economiai Empresa de la UB i la Facultat de Cienciesde la UAB), esta adrecat a estudiants d’ESO,batxillerat i cicles formatius, i te com a objectiuprincipal despertar en els estudiants la curio-

32 SCM/Notıcies 44

sitat per l’estadıstica com a eina fonamentalen la recerca, tant en ciencies experimentalscom en ciencies socials. Els equips participants(de fins a cinc alumnes) realitzen un treballd’estadıstica, on donen resposta a una preguntarellevant utilitzant tecniques estadıstiques, ipresenten els resultats en un informe escrit.

Aquest any 2018, s’han lliurat 99 treballsamb 322 alumnes participants, que han estatdirigits per 37 professors de 22 centres d’ense-nyament secundari d’arreu Catalunya i Balears.

La inquietud cientıfica dels joves partici-pants del concurs els ha portat a fer expe-riments, a realitzar enquestes i a fer estudisobservacionals que els han permes respondre amoltes de les preguntes que s’havien plantejatal comencament i que ens han proporcionatconeixement sobre tematiques molt diferents:

• Us de les noves tecnologies i xarxessocials: s’ha tractat molt l’us de les xarxessocials, tema de gran actualitat i que preocu-pa especialment els nostres joves.

• Aficions i oci: s’han treballat temes relacio-nats amb l’esport, amb la musica i amb elsllibres.

• Alimentacio i habits saludables: «Can-vien els gustos amb l’edat?», «Som mes“dolcos” quan som joves?», «Quines aiguesens agraden mes?» Els estudiants han inten-tat donar resposta a aquestes preguntes.

• Salut i epidemiologia: alguns estudiantsestan interessats en aquesta branca de l’es-tadıstica, i s’han fet preguntes com: «Quincancer es el que causa mes morts per edat?»,«Canvia el ritme cardıac segons el pes?», «Estenen mes criatures en lluna plena?».

En aquesta edicio s’han fet molts expe-riments: «Quin herbicida funciona millor?»,«Esclatem crispetes?», «Fem bombolles?». Finsi tot han fet carreres de cargols!

Totes aquestes questions i algunes mes s’hanrespost mitjancant experiments senzills que handonat resultats ben interessants.

Els organitzadors i el jurat del Planter deSondeigs i Experiments, despres d’examinartots els treballs presentats, podem constatarque tots els estudiants participants han apresmolt i que, a mes, s’ho han passat molt be (inosaltres tambe).

Treballs premiats

Enguany per cada categoria s’han atorgat dueso tres mencions i el guanyador. Els treballsguanyadors en cada una de les quatre categoriesdel concurs van ser els seguents:

• 1r i 2n d’ESO: «Cargols silvestres vs cargolsde granja», dels estudiants Aran Capdevila,Pau Buscall, Queralt Santacreu i RaquelMartin (IES Serra de Noet de Berga), dirigitsper la professora Sılvia Salvador.

• 3r i 4t d’ESO: «Estadıstica i Fermi: lespilotes de futbol i les canyes de Formentera»,dels estudiants Hatim Ben Hamza Shaim iIsam Bouhia El Haouzi (IES Marc Ferrer deFormentera), dirigits per la professora LucıaBayo.

• Batxillerat i cicles formatius: «To what ex-tend having previous information changesyour answer in general knowledge questions»,de les estudiants Ariadna Sorribas, AstridMayne, Catalina Palacios, Laura Adell iMıriam Lorenzo (Aula, Escuela Europea),dirigides per la professora Mireia Vinyoles.

• Premi Planter-Idescat: «Ja sabeu com esdira?», realitzat per Albert Jimenez (Marede Deu de Nuria de Barcelona), dirigit perprofessora la Laura Cortes.

Els guanyadors de les tres principals catego-ries (1r i 2n d’ESO, 3r i 4t d’ESO i batxillerati cicles formatius) van representar Catalunyaen la setena edicio de la fase nacional d’aquestconcurs, que es va fer a Cantabria del 26 al 28de juny, i el treball de la categoria 1r i 2n d’ESOva resultar-ne el guanyador.

SCM/Notıcies 44 33

XXV Encuentro de TopologıaJavier J. GutierrezUniversitat de Barcelona

Els dies 19 i 20 d’octubre es va celebrar al’Institut d’Estudis Catalans (Barcelona) elXXV Encuentro de Topologıa. L’Encuentro deTopologıa es una de les activitats troncalsde la Red Espanola de Topologıa (RET), quese celebra anualment des de l’any 1993. La sevafinalitat es promoure la col·laboracio entre elsgrups de recerca espanyols en topologia, aixıcom estimular l’intercanvi i la transferencia deconeixements amb altres disciplines.

Aquest any, amb motiu del vint-i-cinqueaniversari dels Encuentros de Topologıa, elcomite cientıfic de la RET va decidir quel’edicio d’enguany se celebres de nou a Barcelo-na, ja que la primera, impulsada i promogudapels professors Jaume Aguade i Manuel Caste-llet, va tenir lloc a Bellaterra l’any 1993.

Conjuntament amb aquesta trobada, i desde l’any 2012, se celebra tambe l’Encuentrode Jovenes Topolog@s. En aquesta activitates reuneixen joves investigadors (estudiants demaster i doctorat i tambe nous doctors) ambla topologia com a interes comu perque puguincompartir els seus treballs. La setena edicio vatenir lloc els dies 16, 17 i 18 d’octubre al Centrede Recerca Matematica.

L’assistencia en l’edicio d’enguany vaser d’un total de 70 participants en elXXV Encuentro de Topologıa i de 33 jovesinvestigadors en el VII Encuentro de JovenesTopolog@s.

El programa cientıfic de l’Encuentro vaconstar de sis conferencies plenaries impartidesper conferenciants de primer nivell: EnriqueArtal (Universidad de Zaragoza), LuisHernandez Corbato (Universidad Politecnicade Madrid), Marta Macho-Stadler (EuskalHerriko Unibertsitatea), Eva Miranda (Uni-versitat Politecnica de Catalunya), AnicetoMurillo (Universidad de Malaga) i Jose AntonioVilches (Universidad de Sevilla). El dissabteal matı tambe va tenir lloc una activitatdivulgativa de realitat virtual i manipulaciod’objectes geometrics en 3D a carrec de JoseLuis Rodrıguez (Universidad de Almerıa).

Pel que fa a l’Encuentro de JovenesTopolog@s, el programa cientıfic incloıa dosminicursos impartits per Daniela Egas (EPFL),«Topologıa y neurociencia», i Ignasi Mun-det (Universitat de Barcelona), «Accionesde grupos finitos sobre variedades diferen-ciables», i tambe dotze comunicacions delsparticipants.

Finalment, voldrıem agrair les ajudeseconomiques i organitzatives de les institucionsseguents que han fet possible que els En-cuentros de Topologıa 2018 hagin estat tot unexit: Centre de Recerca Matematica, Institutde Matematica de la Universitat de Barcelona,Ministerio de Economıa y Competitividad, RedEspanola de Topologıa i Societat Catalana deMatematiques.

34 SCM/Notıcies 44

PremisAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

Des de la SCM/Notıcies volem felicitar moltcordialment tots els premiats seguents:

SCM i IEC• El Ple de l’Institut d’Estudis Catalans del 8

de novembre de 2018 va escollir el professorJoaquim Bruna com a membre numera-ri de la Seccio de Ciencies i Tecnologiad’aquesta institucio. El professor Bruna esdoctor en matematiques per la UAB, ones catedratic d’Analisi Matematica i on hadirigit el seu Departament de Matematiques.Tambe ha estat director del Centre de Recer-ca Matematica (CRM) de l’any 2007 al 2015.Es autor o coautor de mes d’una seixantenad’articles de recerca i, tambe, d’articles dedivulgacio, biografies i llibres de text.

• El jurat del premi Maria Antonia Canalsva decidir atorgar el guardo de l’ediciod’aquest any 2018 als autors del blogPuntMat, Ana Cerezo, Cecılia Calvoi David Barba. Aquest premi, convocatanualment per la SCM, la FEEMCAT, la So-cietat Balear de Matematiques-SBM Xeix i laSocietat d’Educacio Matematica de la Comu-nitat Valenciana Al-Khwarizmi (SEMVC),vol ser un reconeixement a les experiencies in-novadores d’educacio matematica realitzadesa qualsevol nivell educatiu i en qualsevol delsterritoris. En l’edicio d’aquest any, el juratdel premi va voler reconeixer el treball desen-volupat des del blog PuntMat per a la mi-llora de l’ensenyament de les matematiques

d’infantil, primaria i secundaria des del 2011.En aquest blog s’ofereixen recursos innova-dors, com ara experiencies d’aula, xerrades,cursos de formacio i articles, que son unpunt de referencia per a molts mestres iprofessors. Els recursos que proposen tenenen comu la incorporacio del joc, la mani-pulacio de materials, i els applets a l’aulade matematiques. El premi va ser lliurat eldissabte 29 de setembre al matı a Palma deMallorca durant la jornada conjunta de lesquatre associacions convocants.

Altres premis, beques i reconeixements

• El Govern de la Generalitat de Catalunyava aprovar, el 12 de setembre de 2018, laconcessio de la Medalla i de la Placa NarcısMonturiol a 19 personalitats i una institucio,entre les quals es troba el catedratic delDepartament de Matematiques de la Uni-versitat Politecnica de Catalunya (UPC),Marc Noy. Aquest guardo, instituıt per laGeneralitat l’any 1982, reconeix la feina depersones i entitats en el desenvolupament dela ciencia i la tecnologia a Catalunya. Elprofessor Marc Noy ha estat distingit ambla medalla per les seves contribucions encombinatoria i teoria de grafs. Llicenciat enMatematiques per la Universitat de Barcelo-na, master en Matematiques per la BrandeisUniversity (Estats Units) i doctor en Cienciesde Computacio per la UPC, ha rebut tambeel Premi de Recerca 2012 de la FundacioAlexander von Humboldt i ha estat directordel Barcelona Graduate School of Mathe-matics (BGSMath), del 2015 al 2018. Esdirector cientıfic del programa d’excel·lenciaBGSMath – Marıa de Maeztu des de l’any2015. A la seccio «Noticiari» d’aquest mateixnumero de la SCM/Notıcies podeu trobarun article mes extens d’aquest premi i delseu guardonat, escrita pel professor OriolSerra (UPC).

• Xavier Ros-Oton, matematic format al’FME-UPC, ha rebut una de les prestigioses

SCM/Notıcies 44 35

ERC Starting Grants 2018 pel seu projec-te «Regularity and singularities in ellipticPDE’s: Beyond monotonicity formulas» pre-sentat des de la Universitat de Zuric, on ellactualment hi esta vinculat com a Lecturerin Pure Mathematics. El Consell Europeu deRecerca (European Research Council, ERC)atorga ajuts a investigadors excel·lents perrealitzar projectes trencadors i d’alt riscque contribueixin a avancar mes enlla deles fronteres del coneixement. Aquests ajutsestan oberts a investigadors de totes lesnacionalitats que portin a terme la sevarecerca en una institucio europea i que passinun mınim del 50% del seu temps total dededicacio a Europa. En matematiques, i enaquesta darrera convocatoria, s’han atorgatonze ERC Grants per a tot Europa (i pera totes les arees de les matematiques), ien Xavier ha estat l’unic matematic del’Estat que ha obtingut aquest importantajut, dotat amb 1.335.250 euros per a unperıode de cinc anys. Xavier Ros es doctoren Matematiques per la UPC (2014, premiextraordinari de doctorat), ha treballat ala University of Texas at Austin (EUA,2014–17), i actualment a la Universitat deZuric (Suıssa). Com a investigador, treballaprincipalment en el camp de les equacionsen derivades parcials. L’any 2017 va rebreel premi J.L. Rubio de Franca de la RealSociedad Matematica Espanola (RSME), undels premis mes importants en matematiquesa l’Estat espanyol. Tambe el 2017, va serdistingit amb el premi Antonio Valle de laSociedad Espanola de Matematica Aplicada(SeMA). Amb 29 anys, es va convertir enel guanyador mes jove d’aquest premi i enla primera persona a guanyar-los tots dosel mateix any. En la seccio «Contribucions»d’aquest mateix numero de la SCM/Notıciespodeu trobar un article, escrit pel mateixXavier, on explica, amb molt mes detall, elcontingut del seu projecte.

• L’article «Rigorous Computer-Assisted Ap-plication of KAM Theory: A Modern Appro-

ach» (Foundations of Computational Mathe-matics, 17, 5, 1123–1193, 2017) del professorsJ.LL. Figueras, A. Haro i A. Luque haestat guardonat amb el premi R.E. Moore.Aquest premi, instaurat l’any 2002, vol pre-miar la millor aplicacio de les tecniquesintervalars. Alex Haro es professor del De-partament de Matematiques i Informatica dela UB mentre que J. Ll. Figueras, actualmenta la Universitat d’Uppsala, es doctor per laUB.

• David Beltran, llicenciat en Matematiquesper l’FME-UPC l’any 2012, ha estat un delssis investigadors menors de 30 anys guardo-nats amb el Premi de Recerca MatematicaVicent Caselles 2018 que atorga la ReialSocietat Matematica Espanyola i la FundacioBBVA. L’objectiu d’aquests premis es donarsuport i estimular els joves professionals quedesenvolupen la seva tasca en el camp de lainvestigacio matematica. En la seva tesi doc-toral, David Beltran va obtenir desigualtatsamb pesos per a l’operador maximal de Car-leson. Actualment es investigador postdocto-ral en el projecte «Harmonic Analysis andDifferential Equations», financat per l’Euro-pean Research Council. Beltran ha aportatresultats importants en el control d’opera-dors pseudodiferencials relacionats amb laclasse de Hormander per a funcions maxi-mals. La cerimonia de lliurament va tenirlloc el dia 4 d’octubre de 2018, al Palacio delMarques de Salamanca, seu de la FundacionBBVA.

• A la llista de revistes ordenades segons el seufactor d’impacte (JCR 2018), CollectaneaMathematica, amb un factor 1.035, s’hasituat en el primer quartil (63/309).

• Eva Miranda (UPC) ha estat un dels tresguanyadors del premi Andre Lichnerowicz2018 sobre geometria de Poisson. Aquestpremi internacional es concedeix a investi-gadors destacats en aquesta branca de lesmatematiques i que faci menys de vuit anysque han acabat el doctorat.

36 SCM/Notıcies 44

ContribucionsPensions privades i el retorn a les tontines, un invent de fa 300 anysMontserrat GuillenRiskcenter-IREA, Universitat de Barcelona

Al segle xvii, el banquer napolita Lorenzo deTonti, va inventar un sistema d’estalvi perobtenir rendes vitalıcies que encara avui esconeix arreu del mon com a «tontina». Perpoder-hi participar calia pagar una quantitatinicial i esperar un temps preestablert. Alfinal, i nomes al final, tots els diners mes elseu rendiment es retornaven, pero es repartientan sols entre els supervivents. Els benefici-aris acabaven rebent una quantitat conside-rablement superior a la que havien invertital principi, gracies als interessos generats i,sobretot, pel fet que molts subscriptors jahavien mort i la seva aportacio es dividiaentre la resta.

Aquest producte financer era rudimentaripero molt eficac i va gaudir d’un exit bastantnotable no nomes a Italia, sino tambe a Espa-nya, Franca i al Regne Unit. Els governs l’uti-litzaven per financar campanyes militars i aixıpodien deixar per mes endavant el pagament deles obligacions que havien contret. El perill eraque, encara que es dones la garantia de l’Estat,es generava un deute public que mes tard anavaenfonsant les economies dels respectius paısos.

Hi ha tres preguntes interessants en aquestahistoria: (1) per que van caure en desgracia lestontines? (2) malgrat tenir tant mala premsa,com es que van passar als Estats Units i hanarribat fins avui? i (3) ja que les pensionspubliques venen a representar una mena derenda basica i les privades no donen prourendiment, es possible que les tontines siguinla salvacio de les nostres pensions?

Anem veient primer els orıgens i la cala-mitat que eren les tontines de fa tres segles.Fixem-nos en l’estructura simplificada d’unatontina. Un regne amb les arques buides, encaraque ja hagues esgotat la possibilitat de fer pagarmes impostos als subdits, podia organitzaruna tontina i recaptar molt capital amb granvelocitat. La promesa de devolucio anava acom-panyada del compromıs de gestio eficient delfons acumulat amb interessos i del pagament als

subscriptors encara vius en acabar l’operacio.El guany mes important venia del fet que elcapital invertit es repartia entre un nombred’inversors forca mes baix que l’inicial. A lapractica, l’organitzador estava lluny de fer elseu paper perque s’acabava gastant els diners,tan bon punt havia recollit el capital i, arribat elcas, ordenava una segona tontina per recaptarmes diners i tornar el deute de la primeracol·lecta, en una espiral sense fi.

Per part dels inversors, hi havia una certapicaresca. Es podia subscriure la tontina anom de la persona mes jove de la famılia perincrementar la probabilitat de sobreviure moltsanys i acabar cobrant. Encara mes, amb elpas del temps les tontines van ser detestadesper tothom, perque hi havia participants queno tenien cap escrupol i assassinaven altresparticipants per tenir un botı mes gran. Hi hamolta literatura de ficcio sobre aixo i, fins itot, un episodi de la famosa serie dels Simpsonexemplifica les peripecies d’una tontina quanl’avi Simpson ha de ser el darrer superviventd’un grup d’excombatents de la Segona GuerraMundial per quedar-se amb una col·leccio d’artde gran valor.

L’arribada de les tontines al nou mon noesta exempta de gloria, ja que la primera seu dela Borsa de Nova York estava situada precisa-ment a la Tontine Coffee House, a Wall Street.Moltes companyies asseguradores americanescomercialitzaven tontines al segle xix i uncop mes es van tornar a generar els mateixosproblemes viscuts a les corts europees. Final-ment, al 1905 les tontines van ser prohibidesals Estats Units, perque havien arruınat moltagent. La seva prohibicio es va desencadenararran d’una fallida de dimensions titaniquesorquestrada per un jove graduat de Harvardque es deia James H. Hyde i que ell tot solva fer desapareixer l’Equitable Life AssuranceSociety, una de les entitats d’assegurances mesimportants de l’epoca, en el que va ser el primergran escandol de Wall Street i en que ja hi ha

SCM/Notıcies 44 37

involucrats noms prou coneguts avui, com labanca JP Morgan. Resulta curios que no s’hagirodat una pel·lıcula sobre aquest llegendarivividor que en un interval de tan sols cinc anyses va gastar tant l’extens patrimoni del seu parecom els estalvis dels assegurats, tot organitzantgrans esdeveniments com un ball de disfressesal mes pur estil de Versalles amb cronica al TheNew York Times inclosa.

Equitable Life Assurance Society, seu a Madrid (ala cantonada dels carrers Sevilla i Alcala),

Fotografia cedida pel Museo del Seguro, FundacionMapfre

A la Unio Europea, i precisament a Franca,on es va refugiar mes tard el perillos exmul-timilionari america, les tontines van mantenir-se a resguard dels cobdiciosos, van perdurar ison instruments que s’han mantingut en plenavigencia. En la directiva comunitaria de l’any2002 sobre assegurances de vida, es preveuenles operacions tontines, definides com «aquellesassociacions que reuneixen participants percapitalitzar en comu les seves aportacions iper repartir l’actiu entre els supervivents oentre els hereus del que ja no hi son». Pertant, les tontines son, encara avui, operacions

completament legals al vell continent europeu.Des d’un punt de vista matematic, l’inici

de la formalitzacio moderna de les tontines sela disputen diversos grups, que no sempre hanfet servir la mateixa nomenclatura i notacio.Majoritariament, treballen sobre la base d’undels articles mes fonamentals per entendre elpaper de les pensions privades. Aquest article,publicat al Review of Economic Studies, l’escriual 1965 Menahem E. Yaari, avui professoremerit de la Universitat Hebrea de Jerusalem.Es titula «Uncertain Lifetime, Life Insurance,and the Theory of the Consumer» i ve a dir queel principal obstacle per constituir una renda ouna pensio privada es no saber quant tempsde vida queda. Si el temps es fix i conegut, T ,aleshores es pot obtenir un consum admissiblec(t), no negatiu en cada moment t, sempre quees compleixi:∫ T

0

exp

[ ∫ T

tj(x)dx

]m(t)− c(t)dt = 0,

on j(x) es el tipus d’interes positiu a l’instantx que donara lloc a un rendiment del capitalacumulat fins aquell moment i m(t) denota elsingressos en t. En paraules planeres, l’anteriorexpressio significa que els diners que es guanyenes poden anar consumint al llarg del temps iaquells que no es gasten creixen segons un tipusd’interes i permeten crear un excedent per alconsum posterior, es a dir, per quan no hi haingressos.

La formula inicial de Yaari no preveu quehi hagi mes d’un pensionista i primer suposaque la durada de la vida es coneguda. L’articledespres introdueix l’aleatorietat a la duradade la vida i constata que s’ha de suposar unallei de mortalitat, es a dir, una distribucio deprobabilitat per a la variable aleatoria T . Pertrobar c(t) es restringeix a tenir sempre uncapital acumulat no negatiu, cosa que vol dirque en definitiva no admet que algu s’endeutiper gastar diners. Arribat a aquest punt, Yaaridefineix el tipus d’interes actuarial, que essuperior al de mercat perque reflecteix el fetque no tothom sobreviu per cobrar un rendi-ment, sino que nomes poden cobrar interessosels vius. Per aixo, es reparteixen tambe elsrendiments que deixen de cobrar els difunts.Exactament el mateix principi que hi haviaa les tontines. L’article de Yaari esdeve mescomplex perque tambe preveu que la persona, a

38 SCM/Notıcies 44

qui ell anomena «el consumidor», vulgui deixarpart de la seva riquesa als hereus. Intueixo quemogut pels corrents de l’epoca que encara per-duren actualment a certes escoles d’economiateorica i que no han reduıt la seva capacitatd’influir en la recerca mes ortodoxa d’aquestadisciplina, Yaari troba no nomes una, sinodues possibles solucions generals per al consumoptim, invocant tambe dues de les infinitesversions del concepte d’utilitat de la riquesa.L’article de Yaari es un classic, infravalorat peralguns, massa crıptic per a uns altres pero unareferencia que ha perdurat amb el pas dels anysamb poc mes de tres mil cites i massa llunyd’altres icones del Google Scholar.

Llibreta de pensio vitalıcia del 1930 per a unbeneficiari que aleshores tenia 10 anys i cobraria a

partir dels 65, Fotografia cedida pel Museo delSeguro, Fundacion Mapfre

A principis del segle xxi hem viscut unaeclosio de la innovacio en materia de pensions,que encara no es al mercat perque el sectorde les assegurances de vida i pensions privadeses summament conservador. Amb l’esperancaque potser arribin a llegir aquestes lınies,recomanaria que certes entitats paressin l’orella

a les noves formules de pensions que sorgeixenarreu del mon, i son forca mes a prop del quecreuen. La renovacio de les pensions privadescomenca l’any 2005 liderada per investigadorsd’Australia i rep el nom de GSA, group self-annuitization. En aquest nou sistema els par-ticipants comparteixen els seus estalvis o elsseus fons de pensions i els inverteixen de formacoordinada, amb una mateixa estrategia. Elrepartiment no arriba tard com passava a lestontines primitives, sino que es fa anualment.La pensio anual que rep un subscriptor esdirectament proporcional al rendiment de laseva inversio i a la mortalitat experimentadapel col·lectiu. Res esta assegurat, pero no s’hande pagar comissions ni primes de longevitat, laqual cosa per si sola ja pot arribar a significar alvoltant d’un diferencial del 5% anual respectea les pensions vitalıcies, que son els productesclassics. El plantejament australia topa amb larestriccio que els participants han de tenir lamateixa cartera de valors, una edat semblant iel grup ha de ser tancat i gran.

Recentment, el lideratge d’aquesta recercas’ha traslladat al Regne Unit. He tingut la sortde participar en aquesta segona vida de les ton-tines, en que s’ha donat pas a les noves formesde pensions que s’anomenen pooled annuities.Hem pogut solucionar el problema practic del’heterogeneıtat d’edats dels participants delsfons, amb un repartiment de beneficis queesta en funcio del capital aportat inicialmenti tambe de la probabilitat de mort de cadasubscriptor. Aixı, les persones mes grans rebenuna renda anual mes alta que les mes joves,al mateix temps que aquesta pensio tambe esproporcional a l’aportacio de capital inicial, pertant, mes alta per a aquells que inverteixenmes diners al principi. Tambe hem pogut ferque l’entrada i la sortida dels fons sigui semprepossible. En definitiva, ens trobem davantd’una actualitzacio de les antigues tontines quees beneficia dels calculs que podem fer avui diai que fa anys no eren possibles.

No vull deixar d’esmentar un dels ma-tematics que mes ha influıt en el desenvo-lupament i la divulgacio de les tontines, elcanadenc Moshe A. Milevsky, membre del Riskand Insurance Study Centre del Fields Institutea Toronto. Entre altres aportacions d’interes,Milevsky ha estudiat les tontines dels reisd’Anglaterra i documenta molt be les seves

SCM/Notıcies 44 39

arrels anglosaxones. En el seu darrer llibreexplica el dia que el rei Carles II d’Anglaterrava fer fallida. Sembla que va ser al 1672, laprimera i l’ultima vegada que la corona anglesava deixar de pagar els seus creditors. Vancaure els principals banquers, que tambe vandeixar de pagar, i va comencar una de les crisiseconomiques mes monumentals de la historia.

Fotografia cedida per Moshe A. Milevsky

En aquest recorregut, les tontines ens hanconduıt a mals records de temps passats,amb vides agitades i fortunes dilapidades, perotambe ens han retornat amb noves formules quepoden solucionar els dilemes de l’estalvi privat.

El cas de la pensio publica espanyola es moltdiferent. No passa de ser una asseguranca obli-gatoria que se soste amb les cotitzacions delstreballadors de cada moment i que actualmentva a la deriva. L’unic camı realista es endarrerirl’edat de jubilacio o be, per fer-ho menystraumatic, deixar que es pugui cobrar la pensioi seguir treballant. El factor de sostenibilitat deles pensions espanyoles del 2013 que moderavaels augments nomes va ser un miratge concebutmes que res per acontentar la ministra. Erauna eina grollera i incorrecta des d’un punt de

vista matematic, que finalment ha caigut per lapressio social.

En aquesta situacio, reivindicar les novesformes de tontina per a l’estalvi privat esequivalent a buscar la maxima rendibilitat, ambla inversio dels estalvis de forma autosuficienti amb idees mes modernes que superen la car-cassa de les rendes vitalıcies. Algunes entitatsasseguradores europees ja son ben a prop dela lınia de sortida per comercialitzar aquestsprincipis i treure’n algun partit. Les tontinesrebran altres noms, i tindran alguna lletrapetita que convindra llegir-se be, pero ambcompleta seguretat seran instruments d’exit pera aquells que hagin pogut estalviar un mica,sobretot perque eviten el cost de cobrir el risc deviure molts anys, que sol estar sobreassegurato calculat amb marges massa amples. A mes,com ja s’ha dit, les rendes obtingudes ambuna tontina moderna ara tambe son vitalıcies,nomes han de pagar impostos per la part delsinteressos i de manera estructural s’incremen-ten amb l’edat. Fins i tot es pot pactar quepart del capital residual vagi a parar als hereus.Les bases ja fa mes de tres segles que estaveninventades, pero ara amb les noves tontinessobreviure es un al·licient i te premi.

Referencies

[1] C. Donnelly, M. Guillen, & J.P. Nielsen,«Exchanging uncertain mortality for acost». Insurance: Mathematics and Econo-mics 52 (2013), num- 1, 65–76.

[2] C. Donnelly, MGuillen, & J. P. Nielsen,«Bringing cost transparency to the lifeannuity market». Insurance: Mathematicsand Economics 56 (2014), 14–27.

[3] M. Guillen, P. L. Jørgensen, & J. P. Nielsen,«Return smoothing mechanisms in life andpension insurance: Path-dependent contin-gent claims». Insurance: Mathematics andEconomics 38 (2006), num. 2, 229–252.

[4] M.A. Milevsky, King William’s Tontine:why the retirement annuity of the futureshould resemble its past. Cambridge Univer-sity Press, (2015).

[5] M.A. Milevsky, The Day the King Defaul-ted. Palgrave Macmillan, (2017).

40 SCM/Notıcies 44

[6] J. Piggott, E. A. Valdez, & B. Detzel, «Thesimple analytics of a pooled annuity fund».Journal of Risk and Insurance 72 (2005),num. 3, 497–520.

[7] M.E. Yaari, «Uncertain lifetime, life insu-rance, and the theory of the consumer».The Review of Economic Studies 32 (1965),num. 2, 137–150.

L’impacte de les reformes educatives en l’ensenyament de lesmatematiquesManel Sol PuigProfessor de secundaria, professor associat UB, jubilat. Membre del grup Vilatzara

En aquest article es presenten algunes reflexionssobre l’evolucio de l’educacio matematica atraves de les darreres reformes educatives.Intentare respondre a preguntes com ara que espretenia?, que s’ha aconseguit en cada ocasio?,que han resolt?, quins nous reptes ens hanplantejat? El que presento son reflexions fetesdes d’una doble perspectiva, la que em dona eltemps que ha transcorregut des d’aleshores finsa dia d’avui i la que em dona la meva trajectoriaprofessional en la qual he viscut aquests canviscom a professor de secundaria, com a formadorde professors de secundaria i de mestres i com aprofessor associat a la facultat de formacio delprofessorat de la UB.

Fare una descripcio dels trets generalsque caracteritzen l’ensenyament de les ma-tematiques de la Ley General de Educacion(LGE) anomenada llei Villar Palası (1970) enreconeixement al ministre responsable de laseva elaboracio. A continuacio, analitzare elscanvis estructurals i curriculars de les altreslleis a excepcio de la LOCE, que no va arribara aplicar-se perque hi va haver un canvi degovern.

Ley General de Educacion

La reforma de les matematiques que proposa laLey General de Educacion (LGE) mostra unaforta influencia de la que ja s’havia portat aterme a Franca i altres paısos a la decada delsseixanta, basada en el que es coneix com lesMatematiques Modernes (New Mathematics)caracteritzades pel formalisme i estructuralis-me. La referencia per aquests plantejamentsera el grup de professors francesos sota elpseudonim de Bourbaki.

Poc despres de la seva aprovacio al Parla-ment espanyol, a la resta del mon ja s’estavenposant en questio els principis en que es basavenles matematiques modernes. Per exemple, alsegon Congres Internacional d’Educacio Ma-tematica celebrat a Exeter al 1972 hi va haverintervencions molt crıtiques com la de R. Thoma la seva conferencia «Modern Mathematics:does it exist?». Tambe es d’aquesta epoca elllibre de Klein (1976) on es feia una crıticaimportant a les New Mathematics.

Rico (2007) justifica aquesta falta de coor-dinacio entre el que passava a Espanya i a laresta del mon d’aquesta manera:

«Con caracter general, podemos afirmar quelos esfuerzos de la sociedad espanola du-rante estos anos por integrarse en el marcoeuropeo y por superar el atraso cientıficoy cultural hacen que muchas innovacio-nes curriculares se reciban acrıticamente ytraten de incorporarse a nuestro sistemaeducativo, sin reflexion propia ni analisisprevio sobre la conveniencia de su adapta-cion a nuestras necesidades especıficas. Estoes lo que ocurrio con el programa de lasMatematicas Modernas».

Algunes caracterıstiques del que es propo-sava per a les diferents etapes son:

1. A l’etapa 12–14 anys (EGB segona etapa,actuals 6e de primaria, 1r i 2n d’ESO) els con-tinguts estaven centrats en la construccio iestudi de l’estructura dels conjunts numericsZ i Q, la iniciacio a l’estudi algebraic de les re-lacions i funcions, representacions grafiques iequacions, estudi de les magnituds: longitud,amplitud, superfıcie i volum amb especial

SCM/Notıcies 44 41

emfasi en les seves estructures algebraiquesi a les relacions de proporcionalitat entremagnituds, algun tema de geometria sinteticaamb una geometria de l’espai i una breuintroduccio a l’estadıstica. Per exemple, asete es plantegen com a objectius el ma-neig de les estructures de grup i anell,soltesa en la resolucio d’equacions de pri-mer grau. A vuite, l’estructura de cos ila construccio rigorosa de Q, concepte defuncio, funcions polinomiques i en especialles quadratiques, resolucio d’equacions deprimer i segon grau amb una incognita icoeficients racionals. Aquests programes vanestar vigents fins al 1992, quan van sersubstituıts pels seus programes de la LOGSE(Decret 96/1992).

2. A l’etapa 15–17 (Bachillerato Unificado Po-livalente - BUP- actuals 3r i 4t d’ESO i 1rbatxillerat) el currıculum de matematiquesera una continuacio natural del que hemcomentat abans de la segona etapa de laEGB, mantenint el seu caracter formalistai estructuralista. Es feien 5 hores setmanalsde matematiques a primer i 4 hores a 2n i3r. El currıculum va ser publicat al Decretde 23 de gener de 1975 (BOE 13-II-1975),que aprova el pla d’estudis del batxillerat il’Ordre ministerial del 22 de marc de 1975(BOE 18-IV-1975) on apareix el currıculum.A les orientacions es pot constatar el fortcaracter formalista que se li havia de donar.Esta formalment vigent fins a la seva substi-tucio el curs 1996–1997 pels nous programesderivats de la LOGSE (Decret 82/1996).El primer i segon curs eren obligatoris iel tercer optatiu. Si mirem els currıculumsobservarem una orientacio al calcul, al’operativa, a la resolucio d’equacions i alsprocesos mecanics.

3. Al COU es feien 4 hores setmanals dematematiques. Hi ha dues opcions, les ma-tematiques I i II segueixen les orientacionsdels anteriors cursos.

El currıculum de la llei del 70 s’ha impartitdurant 22 anys i la seva influencia en lamanera d’entendre les matematiques, i el quesignifica saber matematiques, arriben fins alsnostres dies. Molts professors que van haverde comencar a impartir la LOGSE, la LOE o

LOMCE i alguns dels quals amb responsabili-tats en l’organitzacio i gestio dels centres vanser formats en aquest sistema de la LGE.

Les principals crıtiques que ha rebut l’e-ducacio secundaria de la LGE son que elsalumnes no entenen els conceptes matematicsi la seva alta taxa de fracas escolar. A Rico(2007) es cita Bosch i Dıaz (1988), que diuque el 35% dels estudiants no obtenen eltıtol de graduat escolar quan acaben l’EGB.Dels que sı que l’obtenen nomes el 75%inicia batxillerat i d’aquests nomes el 50%conclouen el batxillerat en tres anys. Aixo voldir que de 100 alumnes que inicien l’EGBuns 24 alumnes obtindran el batxillerat enels terminis establerts.

En l’informe de la UNESCO (1979) Nuevastendencias en la ensenanza de las matematicases recullen les principals crıtiques a les refor-mes d’orientacio bourbakista: a) fetitxisme delpensament conjuntista b) abstraccions esterils,no justificades per les seves aplicacions i sovintconcretades erroniament c) llenguatge pseudoerudit carregat de sımbols i terminologia d)fetitxisme del metode axiomatic e) fetitxismedel rigor, que a la practica real de l’escola estransforma en una pedanteria inutil f) oblitde la realitat fısica com a fonts d’idees ma-tematiques i en particular oblit de l’espai fısiccom a font de la geometria g) oblit de la visioglobal basada sobre les intuıcions espacials enbenefici del pensament algorıtmic de l’algebraformal.

LOGSE

A partir del 1975 hi ha canvis polıtics isocials que influiran en el mon educatiu i farannecessaria la seva adequacio. En els canvis

42 SCM/Notıcies 44

polıtics hem de referir-nos principalment a la fide la dictaura, l’aprovacio de la Constitucio del1978 i al traspas de competencies en materieseducatives a les comunitats autonomes. Enel mon social va haver un esclat de movi-ments de participacio ciutadana que buscavenla democratitzacio a tots els ambits de lasocietat i que tambe es van reflectir en el monde l’educacio.

Nomes vull destacar dos trets que caracte-ritzen el moment en que es planteja la LOGSE.D’una banda, les inquietuds del professorat i, del’altra, l’informe Cockroft (1982), que va tenirun gran impacte en tot el mon i la influenciadel qual podem reconeixer en la LOGSE.

En aquests anys, el professorat tenia cons-ciencia de les necessitats de canvis i va em-prendre iniciatives de millora de l’ensenyament.Podem destacar el Grup Zero de Barcelona, queva elaborar i publicar propostes per a l’aulaque deixaven de banda el formalisme dominantdel currıculum oficial. Van elaborar materialsadrecats al professorat per fer servir a l’aula,aixı com la imparticio d’activitats de formacio.Moviments similars es poden trobar a la restade l’Estat espanyol. Es destacable que al maigdel 1981 es van celebrar a Barcelona les pri-meres Jornadas sobre Aprendizaje y Ensenanzade las Matematicas (JAEM). En el comunicatfinal podem llegir «La necesidad de una reformaprofunda de los programas de Matematicas enlos diversos niveles, que solo sera fructıfera sinace de una discusion y participacion activa delprofesorado afectado. . . »

L’informe Cockroft es el resultat del’encarrec que el Parlament britanic fa al seu go-vern per investigar quin es l’estat de l’ensenya-ment de les matematiques a Anglaterra i Galesi presenta orientacions de millora. Va tenir ungran impacte a escala mundial i com veuremtambe va influir en la LOGSE. Es plantegenquestions com ara quines matematiques hand’aprendre els alumnes?, com han d’ensenyar-se?, com influeixen els examens?, com s’had’actuar davant d’alumnes amb diferents capa-citats?, com es pot donar sentit a les ma-tematiques?, com han de ser els currıculum?,quin tipus de tasques son necessaries per al’aprenentatge de les matematiques?, quinsenfocaments i metodes d’ensenyament s’han de

fer servir? Ja emfatitzen la importancia de lacomprensio, que suposa la capacitat de fer usd’un concepte matematic en una gran diversitatde contextos alguns dels quals no son en absolutels habituals (paragraf 231), treballs practicsper assegurar la comprensio (paragraf 232).Tot i ser publicat el 1982 (1985 en l’edicio encastella) encara avui resulta vigent en moltsaspectes.

Abans de l’aprovacio definitiva de laLOGSE, el Ministeri d’Educacio va publi-car, al 1989, el Libro blanco para la refor-ma del sistema educativo i va fer una fased’experimentacio i avaluacio. Finalment, laLOGSE va ser aprovada el 3-10-1990 (BOEdel 4-10-90).

La LOGSE no es una reforma que canvia elstemes que s’havien d’ensenyar per uns altres, oque modifiqui el moment quan s’havien d’ense-nyar. Perque si fos aixı hauria estat molt facil ino hauria creat tanta polemica. Si ens haguessindit que ara s’ha d’explicar la teoria de grafs a1r de batxillerat, per exemple, o matematicafinancera a 4t d’ESO en el primer trimestre decurs. Doncs no hauria creat la polemica quees va donar. L’arribada de la LOGSE va seruna forta sacsejada a l’ensenyament d’aquestpaıs. Exigia canvis de paradigma, fent servir elstermes de Khun, que anaven a afectar a l’es-tructura del sistema educatiu i al currıculum.La proposta acabaria modificant el conceptedel que es saber matematiques, del que s’haviad’aprendre, i el com s’havia d’aprendre. Sensefer aquest canvi de paradigma difıcilment elprofessorat podria ensenyar les matematiquesque es demanaven. Calia formar al professoraten aquests nou referents i aixo significavatemps. Pero tampoc es podien tancar les escolesi els instituts del pais durant un any perpreparar el professorat. Es a dir, malgrat totsels problemes que suposava, la manera de fer-ho era com es va fer i ja se sabia que s’enteniacom un proces de canvis progressius durant unperıode de temps llarg. En aquest temps hihauria friccions i conflictes.

Per tal d’organitzar les idees el que faremes una analisi dels canvis estructurals d’unabanda; i, de l’altra, dels canvis curriculars ques’enuncien a la taula.

SCM/Notıcies 44 43

Canvis estructurals Canvis curriculars

1. Redefinicio de la formacio professional

2. Allargament de l’obligatorietat de l’ensenyamentfins als 16 anys

3. Inici de l’etapa secundaria a partir dels 12 anys

4. Inclusivitat a l’etapa obligatoria (12-16 anys)

5. Complexitat organitzativa. Es parla d’arees icredits. Ensenyaments comuns i optatius.

6. A primer cicle (12-14 anys) es fan 4 credits dematematiques (1 credit equival a 35 hores lectives)

7. A segon cicle (14-16 anys) de matematiques es fan4 credits mes un optatiu obligatori

1. Objectius

2. Continguts

3. Metodologia

4. Fonamentacio psicologica de l’aprenentatge. Elconstructivisme

5. L’avaluacio

Canvis estructuralsDels canvis estructurals presentats a la taulaanterior destacaria els dos que a la practica vanresultar mes polemics: el nombre d’hores desti-nades a l’ensenyament de les matematiques i lainclusio de tots els alumnes.

• Hores lectives: La materia s’organitza encredits comuns i credits variables. S’ha d’en-tendre que un credit signifiquen 35 horeslectives. Hi ha un fet objectiu, que es lareduccio important de les hores destinadesa matematiques al llarg de tot el curs jaque al primer cicle 1r i 2n d’ESO tenendos credits comuns que equivaldrien a dueshores obligatories a la setmana. La ideaera que a traves dels credits variables elsalumnes podien completar el seu itinerari ifer mes hores dedicades a les matematiquesamb uns continguts adaptats a les sevesnecessitats. Per a uns serien ampliacions oaprofundiments, per a altres consolidacio iper a uns altres reforc. S’ha de dir que lesratios dels credits variables estaven previstesa 20 alumnes, quan els grups de classeordinari eren de 30.

S’ha de reconeixer que canviar de creditsvariables cada trimestre suposava un sobre-esforc als equips de direccio dels centres peroque es va arribar a portar forca be. Unaaltra questio era com assegurar que l’alumnecurses el credit variable que realment neces-sitava fer. No sempre passava que el creditque necesitava l’alumne coincidia amb el que

ell volia fer, perque igual que s’ofertavenCV de matematiques s’oferien d’altres tipuscom artıstic, esports, informatica, etcetera,que per a molts alumnes resultaven mesatractius que els de matematiques. Pero quans’arribava a acords es podia donar el casque finalment no ho pogues fer per mancade places. Al final hi podia haver alumnesque es quedessin nomes amb les dues horessetmanals, mentre que d’altres en feien cinchores durant dos trimestres i tres en el tercer,en el cas de cursar un CV de matematiquescada trimestre, tot i que aixo no era gairehabitual.

• Inclusivitats 12–16: La inclusio de tots elsalumnes va crear molta polemica. Si be laidea de la integracio es socialment un progres,a la practica va resultar molt difıcil i encaraavui en dia continua sent un tema que nos’ha acabat de resoldre. Per al professoratva suposar un canvi d’escenari important.Amb la implantacio de la LOGSE va canviarforca l’escenari del professorat. El ventall decasuıstiques a les quals s’enfrontaven es vafer mes ampli mentre que els seus recursospersonals eren mes o menys els mateixos.A mes, el sistema feia prioritari atendre’ls atots.A escala social, es va arribar a generar la ideade desordre i baixada de nivells i es va perdrela perspectiva de l’important valor social ieducatiu que representa la integracio de totl’alumnat de 12 a 16 anys a les aules i de lanova manera d’enfocar la materia.

44 SCM/Notıcies 44

Amb la perspectiva que ens dona el tempsque ha passat des d’aleshores, considero quela inclusivitat no era gens facil pero posaren questio la integracio a les aules no eral’alternativa sino que el que s’havia de ferera reclamar mes formacio per als docents imes recursos per als centres. Avui ja sabemque es aixo el que passa a altres paısos mesdesenvolupats i que obtenen millors resultatsacademics que el nostre, la qual cosa ensconfirma que la integracio no ha de significaruna baixada de nivell.

Canvis curricularsS’estableix que el currıculum es el conjuntd’objectius, continguts, metodes pedagogics icriteris d’avaluacio (art. 4 LOGSE). El seudesenvolupament a Catalunya es va fer segonsel Decret 96/1992, de 28 d’abril. S’introduıa unvocabulari nou, ampli i feixuc, que no ajudavaa comprende l’abast dels canvis.

El currıculum establia tres nivells de concre-cio. El primer era prescriptiu i estava establertal decret esmentat. En aquest primer nivell elscontinguts es presentaven desglossats en con-ceptes (fets, conceptes i sistemes conceptuals),procediments i actituds (valors normes i acti-tuds). En aixo es pot veure una adaptacio del’informe Cockroft (paragrafs 240 i 241). Aixorespon a una organitzacio cognitiva atenent ala manera d’aprendre i no a una organitzacioconceptual de la propia materia com passavaa la LGE. Es presentaven en forma de llistad’enunciats molt generals sense especificar niquan s’havien d’impartir ni en quin ordres’havien d’impartir. Aquestes concrecions lesdecidia el professorat en el segon i tercer nivellde concrecio. El segon nivell significava laseleccio, l’ordenacio i la temporalitzacio delscontinguts establerts al primer nivell. El tercernivell de concrecio precisa de manera detalladael que, com i quan ensenyar i avaluar. Es laconcrecio a l’aula de l’organitzacio del segonnivell.

A continuacio analitzem aquests elementsdel currıculum.

• Objectius: Es fixen nou objectius generals i51 objectius terminals. Els primers descriuenuna matematica instrumental i funcional.Els segons seran utils per a l’avaluacio,detallen fins a quin grau d’aprofundiment

s’han d’estudiar els continguts i quin tipusd’aprenentatge s’ha de fer. Contrasten forcaamb el model anterior de la LGE del 70,en que la matematica tenia un enfocamentestructural i en part instrumental. El pro-fessorat podia trobar alguna dificultat peridentificar les diferencies entre l’un i l’altrei les implicacions que es desprenien a l’horade estar a l’aula.

• Continguts. En el cas de la LGE, els contin-guts estan seleccionats d’acord amb la l’areamatematica corresponent, i pretenen que elsalumnes coneguin i aprofundeixin en el for-malisme matematic sense fer cap concessio ala funcionalitat d’aquests continguts ni a capaltra consideracio. En el cas de la LOGSE, elscontinguts estan orientats a la funcionalitat.Tal com diu el primer nivell de concreciocurricular elaborat pel departament, la selec-cio de contingts s’ha fet perque «els alumnesels puguin incorporar al seu llenguatge ha-bitual, que els permetin afrontar situacionsproblematiques del seu entorn i que els ajudina interpretar i elaborar informacio referenta la realitat social actual i a altres arees deconeixement». Atenent a les diferents fontsdel currıculum, els coneixements matematicss’han triat pensant en els que la societatactual exigeix a qualsevol ciutada, que nosiguin gaire abstractes i permetin un treballmanipulatiu i un proces empiricoinductiu enel raonament, els que permeten un aprenen-tatge significatiu i funcional. Com que tambees vol que sapiga aplicar els coneixementsde manera creativa, s’ha donat prioritat alsaprenentatges procedimentals. Aquesta ideatorna a mostrar la influencia de l’informeCockroft «Un principio fundamental, a nu-estro parecer, es el de no incluir ningun temaque no pueda desarrollarse hasta el punto deque su aplicacion resulte comprensible paralos alumnos (paragraf 541)».

Des d’un punt de vista conceptual de lamatematica, sı que hi ha molta diferenciaentre els continguts proposats a la LGE iels de la LOGSE. Per comprendre-ho s’ha detenir present que les finalitats d’uns i altrestambe canvien enormement. Per tant, si algubusca els continguts que apareixen a la LGEen el decret de la LOGSE ni els trobaratots ni els que trobi estaran tractats amb el

SCM/Notıcies 44 45

mateix grau d’aprofundiment, si nomes tenimen compte criteris epistemologics. Pero fixar-se nomes en aquesta questio es no adonar-se del que es preten en l’educacio en generali en la matematica en particular. D’aquı veuna de les polemiques que ha arrossegat laLOGSE, que es la caiguda del nivell.Els continguts de batxillerat eren una conti-nuacio natural dels continguts de l’ESO.

• Metodologia. Tal com es diu al currıculumeditat per la Generalitat de Catalunya(1993), «el marc curricular per a l’ensenya-ment obligatori es recolza en una concep-cio constructivista de l’aprenentatge esco-lar». Quin abast te aquesta opcio per alprofessor?, quines implicacions te sobre elque ha de passar a la seva aula? Creiemimportant dedicar un espai a aquesta ques-tio per poder comprendre bona part delscanvis metodologics que es reclamen desde la LOGSE.El model d’ensenyament que es feia servirdurant la vigencia de la LGE era el modeltransmissiu en el qual el professor transmettots els resultats matematics establerts, al’alumne se li presenta tot resolt de maneracoherent i ordenada. Normalment segueixl’ordre de definicions, propietats i regles,exemples i exercicis per practicar. Durant laclasse l’alumne escolta, memoritza i practicaamb exercicis similars als presentats pelprofessor. El paper de l’alumne es passiui al final ha de superar un examen en elqual ha de resoldre uns exercicis similars alsque s’han fet a classe. Saber matematiqueses memoritzar i aplicar regles. La situaciomes habitual que es viu a classe es la delprofessor xerrant i explicant i els alumnescallats i apuntant. No hi ha cap plantejamentpsicologic, la interpretacio que es fa es que siel professor ha fet la seva part de feina benfeta i l’alumne no ho apren, la responsabilitatesta de la banda de l’alumne.En canvi, el constructivisme explica quel’alumne apren establint connexions entreel que ja sap i el que tracta d’aprendre.Aixo te implicacions directes per a l’au-la ja que exigeix un paper actiu de l’a-lumne perque ha de mantenir la activitatmental d’establir relacions; aquest es unproces individual d’aprendre i cadascu fa el

seu i, per tant, es unic. No hi haura dosalumnes que facin les mateixes relacions niel mateix proces.

Aquest plantejament es radicalment diferentdel model transmissiu de la LGE i obligarael docent a replantejar-se la seva intervencioa l’aula. Per aixo al currıculum es recomanaafavorir les activitats de caracter experimen-tal, de manipular, de recerca, que els alumnesexpliquin i justifiquin el que fan. S’ha de ferveure la funcionalitat dels aprenentatges, demanera que se’ls haura de proposar treballaren contextos i situacions molt diferents. Ales orientacions didactiques es demana ex-pressament prioritzar els aprenentatges ex-perimentals de caracter inductiu per davantdels de caire deductiu. A la practica aixosignifica que les classes ja no han de seguirel patro tradicional, sino que es importantsaber quins son els coneixements previs delsalumnes i proposar una tasca perque elsalumnes puguin comencar a establir relacionsi construir el coneixement. Per aixo, lesllicons han de comencar proposant activitatsd’investigacio, experimentacio o manipulacioper arribar al final de la sequencia a lesdefinicions i propietats.

Es evident que a l’alumne li resulta mescomplexa i difıcil la presentacio mes formalque la que es fa en el segon cas. De la mateixamanera que al professorat li representa menysesforc fer la seva feina en el primer cas.

Per ajudar el professorat, des del Departa-ment d’Ensenyament es van proposar exem-ples de segons nivells de concrecio i dellibres de text com va ser el Bon dia, Mates(BDM) elaborat per C. Alsina, J. Gimenez iJ.M. Fortuny. El BDM va ser un llibre inno-vador, que no estava pensat perque el profes-sorat anes seguint per ordre els exercicis quees proposaven. El seu us exigia al professoratun estudi previ per decidir la sequencia quefaria. Per aixo, al comencament es presentavaun esquema (Com ho farem?) el qual de ma-nera esquematica s’explicava com portar-hoa l’aula. El projecte era prou flexible perqueels professors poguessin dissenyar diferentssequencies per als seus alumnes. Aquestplantejament era forca coherent amb elsprincipis constructivistes del nou currıculum.Aquest material anava acompanyat d’un al-

46 SCM/Notıcies 44

tre volum amb material per al professoraten el qual s’explicaven els objectius que esproposaven, donaven orientacions per portara l’aula, i guies per a l’avaluacio. Tambe feiensuggeriments per atendre la diversitat ambpropostes d’itineraris. Al final s’oferien ma-terials i recursos retallables o fotocopiablesper preparar activitats per experimentar,construir, jugar.Plantejava cada unitat didactica a partird’unes activitats inicials contextualitzades.Seguien unes activitats de desenvolupamentamb problemes, investigacions i projectes.Al final del credit hi havia unes activitatsd’avaluacio que preveien l’observacio diaria,treballs, fitxes d’autoregulacio, realitzacio decontrols i la realitzacio d’un projecte. Enpart aquesta proposta fa una adaptacio deles propostes de l’informe Cockroft sobreque ha d’incloure l’ensenyament de les ma-tematiques (paragraf 243). Realment va seruna proposta trencadora en relacio amb elllibre de text tradicional.En aquells moments el BDM resultava massainnovador, i a mes requeria previament moltapreparacio i reflexio per part dels docents quetenien poc temps per fer-ho. Els reptes quese’ls plantejaven eren enormes i la inseguretatal principi tambe. Aquest material va arribara tots els centres de secundaria pero crec quemolts pocs professors el van fer servir.El departament tambe va elaborar unaamplia oferta de credits comuns i variablesja preparats per portar-los a l’aula. Leseditorials tambe van fer continguts propis,que quedaven en un punt entremig entre elque eren els tradicionals de la LGE i el BDM.S’hi podien observar canvis importants, enel seu contingut i en com l’organitzava. Jano comencaven primer per la teoria i lesdefinicions per despres seguir amb problemes,sino que proposaven activitats per pensar,per experimentar i despres ja presentavenproblemes per resoldre i, finalment, cons-truıen la teoria.A mes, el departament va portar a terme unampli pla de formacio del professorat que vadurar uns quants anys. Pero malgrat tota laformacio que es va impartir del departamenti dels materials que es van fer arribar alscentres, quan el professor entrava a l’aula

apareixien molt problemes imprevistos que elprofessorat havia de resoldre.

Un segon canvi important, que tampoc re-sultava facil d’aplicar d’un dia per l’altre,era la gestio d’aquests tipus d’activitats al’aula. S’ha de dir que resulta forca difıcilper a un professor, acostumat a impartirclasse fent un discurs coherent dirigit alsalumnes que escoltaven callats, crear unadinamica on els alumnes comencen una uni-tat per fer una experiencia en algun contextconegut, pensar sobre els resultats i treureconclusions. Per tant, aixo implica que elprofessor ha d’interactuar amb els alumnesfent un guiatge indirecte a fi que l’alumneavanci i arribi a poder treure conclusions del’activitat. La transicio del model LGE almodel LOGSE exigia una reflexio al voltantde teories i metodes d’aprenentatge que enalguns casos posava en questio les creencesque la majoria tenıem arrelades sobre el queeren les matematiques i el seu ensenyament.Aquest proces no es podia fer en una tardallegint algun llibre o article, sino que requeriatemps, experiencia i reflexio.El professorat va necessitar temps per anarcomprenent l’abast dels canvis que s’anavenintroduint i anar millorant progressivament.S’ha de reconeixer que encara avui hi hamolts professors que s’enyoren de les ma-tematiques que s’ensenyaven amb la LGE del70.

• L’avaluacio. En el model LGE l’avaluacioestava orientada unicament a la certificacioadministrativa dels nivells de continguts as-solits. En el model LOGSE, l’avaluacio passaa convertir-se en un element mes del proces

SCM/Notıcies 44 47

d’aprenentatge. Per tant, es modifiquen elper que volem avaluar i les maneres de fer.L’avaluacio es converteix en un instrumentd’ajuda a l’aprenentatge dels alumnes que esfa en tres fases. L’avaluacio inicial, que te perobjectiu assegurar l’adequacio dels contin-guts que es volen impartir als coneixementsque tenen els alumnes, questio important enun plantejament constructivista de l’apre-nentatge. L’avaluacio formativa, orientada afer un seguiment del proces de l’alumne queens informi de les dificultats, dels assolimentsdels alumnes per poder estar a temps demodificar l’estrategia didactica si fos neces-sari. Al final del proces, la que s’anomena«avaluacio final», serveix per informar decom ha anat tot el proces i es puguin prendredecisions per a futures intervencions. Ambuna mirada amplia s’ha d’analitzar tambeel paper desenvolupat pel professorat, eltemps, els materials, els documents, el graud’interaccio que ha fet servir, etcetera.Aquesta manera d’avaluar no significa estarfent molts examens constantment, sino dur aterme una recollida d’informacio sistematicadel treball d’aula, que es pot fer a traves demitjans diferents, com ara projectes, treballsd’aplicacio, investigacions, resolucio de pro-blemes, la llibreta de classe, etcetera.L’avaluacio es fa complexa perque el quees vol avaluar son els processos mentre femmatematiques i aixo ens exigira activitatscomplexes que ens permetin obtenir les in-formacions que busquem.Amb la mentalitat tradicional de demanarexercicis o problemes resultara difıcil, perexemple, identificar diferents tipus de raona-ments, representacions, connexions, etcetera.La dificultat rau, per tant, a dissenyar unplantejament coherent entre el que volemaconseguir, que volem observar i les activitatsque farem servir.

LOEDespres de la LOGSE es va aprovar la LeyOrganica 10/2002, de Calidad de la Educacion(LOCE), el 23 de desembre de 2002, si be nova arribar a aplicar-se ja que al 2004 el partitque l’havia elaborat va perdre les eleccions i elPSOE va tornar a governar.

Una de les primeres mesures que va prendreel partit socialista quan va recuperar el poder al2004 va ser aturar el desplegament de la LOCEi va preparar una nova llei d’educacio que vaser la Ley Organica de Educacion (LOE).

A mes de les necessitats polıtiques delcanvi tambe es van produir una serie de fetsque van influenciar en l’aprovacio de la novallei d’educacio. En destacarem tres que enssemblen rellevants. D’una banda, els treballs dela comisio DeSeCo de la OECDE, les provesPISA del 2003 centrades en les matematiquesi les directrius de la UE que recomanavena tots els paısos membres que orientessin elssistemes educatius cap a l’assoliment de lescompetencies. Explicarem breument aquestsfets.

• Comisio DeSeCo. Es tracta d’un projecteque va iniciar l’OCDE a finals de l’any1997, per oferir un marc conceptual per a laidentificacio de les competencies clau per aun ciutada corrent que viu en una societatque es caracteritza pel canvi, la complexitati la interdependencia. Estava relacionat ambel programa PISA.

• PISA 2003. L’any 1997 l’OCDE va posaren funcionament el programa per a la Ava-luacio Internacional dels Estudiants (PISA,per les sigles en angles). Estava orientat afer un seguiment dels resultats dels sistemeseducatius a partir del rendiment dels alumnesde 15 anys. Aquestes proves es fan cada tresanys. A l’edicio del 2003 es va focalitzaren la competencia matematica. Els resultatsvan ser:

Area Catalunya Estat espanyol El millor El pitjor Mitjana OCDE

Hong Kong Brasil

Matematiques 494 485 550 35 500

48 SCM/Notıcies 44

Es va considerar que aquests resultats posavende manifest una baixa formacio matematicadels joves espanyols de 15 anys.

• Recomanacions de la UE. Al diari oficialde la Unio Europea del dia 30/12/2006 espubliquen les recomanacions que el Parla-ment Europeu i el Consell fan als seus paısosmembres sobre les competencies clau pera l’aprenentatge permanent. Recomana alssistemes educatius que posin a disposiciode tots els joves els mitjans per al desen-volupament de les competencies clau perpreparar-los per a la vida adulta. En unannex fixa les 8 competencies clau entreles quals la numero 3, que es refereix a«la competencia matematica i competenciesbasiques en ciencia i tecnologia».

El Decret 143/2007, del 26 de juny, publicatal DOGC del 29/06/2007 estableix l’ordenaciodels ensenyaments de l’educacio secundariaobligatoria d’acord amb la LOE. Es plantegencanvis estructurals de menys importancia com,per exemple, a quart d’ESO que se substitueixel credit de sıntesi pel projecte de recerca, encomptes de credits variables tenen materiesoptatives. Durant els primers tres cursos man-tenen els credits variables. A la part comuna,ja no es parla de credits, sino que es parla demateries i de les hores setmanals que es dedicaa cada una. En el cas de les matematiquespassen a ser tres hores setmanals als quatrecursos. Als tres primers cursos tenen el primeri tercer trimestre de cada un dels cursos dueshores per a materies optatives. Al segon tri-mestre tenen tres hores de materies optatives.A quart tenen tres hores setmanals per lesmateries optatives.

En l’ambit curricular el fet mes importantes la incorporacio de les competencies coma eix vertebrador del currıculum amb fortesimplicacions en l’ensenyament de totes lesarees. Totes les materies han de contribuiral desenvolupament de les vuit competencies.Obviament, des de l’area de matematiques hiha una relacio directa amb la competenciamatematica.

Al decret es fa una descripcio de lacompetencia matematica que significa: pen-sar matematicament, raonar matematicament,plantejar-se i resoldre problemes, obtenir, inter-pretar i generar informacio amb contingut ma-

tematic, utilitzar les tecniques matematiquesbasiques, intepretar i representar, comunicar alsaltres els treballs i descobriments.

Aquesta descripcio es una adaptacio ambpoques diferencies del que diu Niss (2002), o laversio original danesa de la reforma educativatraduıda a l’angles a Niss & Hojgaard (2011),referencia que val la pena consultar.

La definicio de competencia matematica noapareix al currıculum pero sı a Niss (2002) iNiss & Hogjaard (2011) i que ens resulta util enel nostre cas: «Ser competent en matematiquessignifica posseir l’habilitat per comprendre,jutjar, fer i usar les matematiques en unavarietat de contextos i situacions tan intra comextra matematics en els quals les matematiquestenen o poden tenir un paper».

Intentare destacar algunes de les implica-cions mes rellevants de la presencia de lescompetencies al currıculum en l’ensenyament iaprenentatge de les matematqiues.

• D’acord amb aquesta concepcio, la com-petencia matematica implica accio, es a dir,fer servir les matematiques en situacionsreals per comprendre, interpretar i actuar peraixo diem que implica funcionalitat. D’aquıla importancia dels contextos en el procesd’aprenentatge tal com s’indica al decret.

• Desenvolupar la competencia vol dir quel’emfasi de l’ensenyament no se centra aaprofundir el coneixement sobre un concepte,sino a saber com fer-lo servir en un ventallampli de contextos i situacions diferents,utilitzar els coneixements matematics ambmes amplitud i aprofundiment. Per tant,millorar en una competencia no vol dirnecessariament adquirir nous coneixements,sino aprendre a fer servir els coneixementsque ja es tenen i ampliar el ventall desituacions en les quals es fan servir.

• En aquest plantejament la modelitzacio ma-tematica te un paper rellevant. De fet, enel decret s’esmenta explıcitament que «lescapacitats que potencia el currıculum dematematiques han d’ajudar l’alumnat a mo-delitzar situacions de la vida real i vinculadesa d’altres arees de coneixement i traduir-lesa models matematics».

• S’ha d’entendre que les competencies modi-fiquen i amplien el que s’entenia abans per

SCM/Notıcies 44 49

saber matematiques, el mateix que ja s’ha ditde la LOGSE, pero ara d’una manera moltmes pronunciada.

• L’assoliment de les competencies es un procesa llarg termini que necessita concretar-se enpetits objectius a curt termini. Fer aquestafeina no resulta senzilla per al professorat.

• S’ha d’ensenyar els alumnes a utilitzar demanera correcta els seus coneixements perresoldre problemes plantejats en contextosreals, no es realista esperar que ho sapiguenfer per si mateixos, tal com ho expliquenBlum i Niss (1991).

Que implica per al professsorat ensenyarmatematiques en un marc competencial comel que estem presentant? Una bona resposta latrobem a Niss (2006). En primer lloc, el profes-sor ha de ser competent en matematiques, aixovol dir que poseeix la competencia matematica.Pero, a mes, ha de tenir sis competenciesdidactiques, de les quals en destaco quatre:

• Competencia d’ensenyar. Idear, planifi-car, organitzar, i portar a terme l’ensenyancade la matematica. Aixo inclou: la creacio d’unric espectre de situacions d’ensenyament-aprenentatge; trobar, avaluar, seleccionar icrear materials per ensenyar; inspirar i mo-tivar els alumnes; analitzar el currıculumi justificar les activitats d’E/A amb elsalumnes.

• Descobrir el progres competencial del’alumne. Descobrir, interpretar i analitzarl’aprenentatge dels alumnes, aixı com lesseves nocions, creences i actituds cap a lesmatematiques. Aixo inclou el desenvolupa-ment individual de l’estudiant.

• Avaluar la competencia. Identificar, ava-luar, caracteritzar i comunicar els resultatsdels aprenentatges i de les competencies delsalumnes per informar i orientar l’alumneindividualment i altres parts rellevants. Aixoinclou seleccionar, modificar, construir, ana-litzar crıticament i implementar un conjuntvariat d’instruments d’avaluacio que servei-xin per a l’avaluacio formativa i sumativa.

• Competencia de desenvolupament pro-fessional. Desenvolupar la propia com-petencia com a professor de matematiques,

participar en activitats de desenvolupamentprofessional (cursos, congresos) i estar aldia sobre les novetats i tendencies sobreinvestigacio i practica.

Aquestes competencies didactiques ens po-den fer veure una bona part de la complexitatque suposa abordar l’ensenyament de les ma-tematiques des d’una perspectiva competencial.Com es pot comprendre, no es gens faciladquirir-les per a un professor que no pot deixard’atendre la seva aula.

La transicio del model instrumental de laLOGSE al funcional de la LOE, tal com asse-nyala Rico i Lupianez (2008), es «un proceso deconsiderable complejidad conceptual ya que nohay tradicion sobre tareas, metodos y criteriosde evaluacion para este enfoque y ademasescasean los materiales para vehicular y darforma a la riqueza cognitiva y al desarrollo quelas competencias proponen alcanzar».

Crec que va costar forca temps que elprofessorat s’adones de l’abast dels canvis ide les implicacions que hi havia en aquestaproposta. En alguns casos, senzillament no esva arribar a entendre.

Seguirem el mateix model d’analisi que enels casos anteriors. Com que els canvis estruc-turals no van ser importants ens centraremunicament en els canvis curriculars.

Canvis curriculars

• Objectius. Podem observar un paral·lelismeamb els de la LOGSE pero ara estan ampliatsi destaquen l’orientacio cap a l’aplicacioi als diferents usos que es poden fer deles matematiques per analitzar, comprendre,actuar, comunicar, argumentar, raonar, cal-cular, modelitzar. Ja es marca, per tant, unsalt cap a la competencia matematica senseesmentar-la en cap moment.

• Continguts. A diferencia de la LOGSE, elscontinguts no es presenten en tres categoriesde procediments, fets, conceptes i sistemesconceptuals i valors normes i actituds, nitampoc s’estableixen tres nivells de concre-cio a partir dels quals el professorat haviad’elaborar el segon i tercer. Ara, els con-tinguts es presenten organitzats per cursosi precedits pels quatre procediments quecal treballar per al desenvolupament de la

50 SCM/Notıcies 44

competencia: resolucio de problemes, raona-ment i prova, comunicacio i representacioi connexions. Com es veura mes endavant,aquests quatre procediments passaran a serles quatre dimensions en que s’organitza lacompetencia matematica en el desenvolupa-ment del currıculum a partir de la LOMCE.

Els continguts es presenten en els mateixosblocs que a primaria, aixo es numeracio icalcul, canvi i relacions, espai i forma, mesurai estadıstica i atzar. Amb aixo el que s’estafent es una adaptacio del plantejament dePISA, que en posar l’accent en les com-petencies en remarca el caracter funcional.En comptes de presentar els continguts demanera classica ho fa per ambits on estaninvolucrats aquests continguts, i d’aquestamanera remarcar l’orientacio del currıculumcap a l’accio, cap a l’aplicacio.

Es pot observar que l’estructura en que espresenten els continguts es una versio evo-lucionada dels que es proposaven al Decret96/1992 que desplegava el currıculum dela LOGSE i que ja apuntava cap aquestadireccio.

Entendre el plantejament competencial vacostar molt tant al professorat com als cre-adors de materials didactics. La resistenciaa abandonar les antigues creences sobre lesmatematiques i el que es aprendre i sabermatematiques van ser molt forta. Aquestaoposicio es pot veure en els llibres de text.Molts dels de 2n i 3r d’ESO incorporavendiferents llicons dedicades als polinomis, lesseves operacions, teorema del residu, arrelsd’un polinomi, regla de Ruffini, calcul deles arrels enteres d’un polinomi, factoritzaciode polinomis, fraccions algebriques. Res detot aixo apareixia al decret del currıculum.El que hi podem trobar que s’acosta meses: «representar i analitzar situacions i es-tructures matematiques utilitzant sımbolsalgebraics» o be «resolucio d’equacions de1r i 2n grau i sistemes d’equacions linealsamb fluıdesa», que interpreto que es unamostra d’aquesta resistencia al canvi, defalta de comprensio de les competencies idel domini de les creences del professoratsobre el que son les matematiques i que essaber matematiques mes enlla del que diuel currıculum.

Aquestes concepcions eren grans barreresa l’hora d’implantar el model LOE. Caliatemps per ressituar amb coherencia el noumarc d’ensenyament de les matematiques.

• Metodologia. Tot el que s’ha dit abanssobre les exigencies del constructivisme se-gueix sent valid, ja que continua sent labase en que es fonamenta el currıculum. Elfet d’introduir les competencies no suposacap contradiccio, mes aviat al contrari, esun complement molt coherent. Tant el cons-tructivisme com el desenvolupament de lescompetencies es basen en l’accio de l’alum-nat. El Decret 143/2007 que desenvolupael currıculum, igual com passava amb elcas de la LOGSE, conte recomanacions in-teressants a l’apartat «Consideracions per aldesenvolupament del currıculum». En aquestapartat, es posa l’emfasi en la importanciadels contextos en el desenvolupament de lescompetencies, en el treball interdisciplinari,l’establiment de connexions entre les dife-rents arees i les matematiques. Promoure lesactituds que afavoreixin l’aprenentatge de lesmatematiques. Combinar diferents formes detreball, individual, petit grup, gran grup, ferdiferents tipus de tasca, resolucio de pro-blemes, investigacions, debats, manipulaciod’objectes. A l’alumne no se li ha de donar totfet i resolt, sino que ha de fer una descoberta,una reconstruccio del coneixement. S’ha dedir que aixo que es pot escriure en poqueslınies per al professorat suposa un canviconsiderable respecte a les practiques mestradicionals.Les dificultats per comprendre l’abast delscanvis que establia la LOE es poden veurereflectits en els materials didactics que vansortir al mercat a partir del 2007, en quees pot observar un cert retroces respecte aalguns materials que s’havien proporcionaten el model LOGSE. Per exemple, no hiva haver cap renovacio de materials enla lınia del BDM que, de fet, continuariasent valid.Essencialment eren com els llibres tradicio-nals d’abans de la LOGSE, en que s’incorpo-ren algunes activitats d’aplicacions. Es pre-senta tot resolt i l’alumne ha de creure i prac-ticar, comportant-se de nou com un receptorpassiu. Es fa una interpretacio reduccionista

SCM/Notıcies 44 51

de les competencies, i es deixen com a simplesaplicacions al final de la llico. No s’haviaentes que el desenvolupament competencialva molt mes enlla de l’aplicacio, s’ha de ferdes del primer instant a totes les activitats,ha de motivar l’alumne cap a l’accio, a ladescoberta, la conjecturacio, modelitzacio,etcetera. Les definicions, propietats i forma-lismes seria millor deixar-los per al final.Pero el desenvolupament de les competenciesi l’enfocament constructivista no pot ser quequedi, en el millor dels casos, reduıt a unapetita part de cada llico. Com que la majorpart del professorat de Catalunya segueixalgun llibre de text, aixo va suposar unalentiment considerable en la difusio d’aquestplantejament competencial.

S’ha de reconeixer que aixo resulta mesfacil veure-ho avui amb la perspectiva queens dona el temps transcorregut, pero enaquell moment era difıcil que fos d’una altramanera ja que no hi havia hagut tempsper preparar-los millor. A mes a mes, noes disposava enlloc d’activitats preparades icontrastades per poder portar-les a l’aula oque servissin d’orientacio per generar-ne denoves. El que va passar es que el professoratamb mes motivacio van anar introduint a poca poc activitats riques des del punt de vistacompetencial i tambe han anat apareixentmaterials didactics que amb el temps s’hananat difonent.

• Avaluacio. Mante la mateixa rellevancia enel proces d’ensenyament-aprenentetge que jase li atorgava en la LOGSE. Es mantenenels tres moments de l’avaluacio: inicial, for-mativa i sumativa. Igual com abans, caldratenir present la diversitat dels instruments derecollida d’informacio que s’han de fer servirper a l’avaluacio. S’ha de fer tenint presentque el que avaluem es el desenvolupamentde les competencies matematiques. Es adir, es tracta d’avaluar com s’utilitzen lesmatematiques en diferents situacions mes quesaber si han apres determinats contingutsque apareixen al currıculum. Com ja hemmostrat, la idea de competencia es moltamplia i complexa. Tractar d’avaluar-la ne-cessariament requerira un ampli ventall dediferents tasques i algunes de les quals haurande ser complexes. No sera facil ni disposar

d’aquestes tasques ni de gestionar aquestarecollida d’informacio. Tambe requerira dis-posar d’indicadors que ens informin del nivelld’assoliment de la competencia.

Si la LOGSE va provocar una forta reaccio iva costar anar introduint els canvis en el treballdel dia a dia a les aules, l’abast dels canvis queproposava la LOE encara va ser mes profund.El professorat ha anat fent el que ha pogut. Esevident que suposava uns reptes importants enels continguts, la metodologia i l’avaluacio, si becrec que el professorat, en un primer moment,no en vam ser gaire conscients.

LOMCEAquesta llei va arribar amb mes intenciopolıtica de recentralitzacio i uniformitzacio delsistema educatiu a tot l’Estat espanyol qued’incorporacio de novetats pedagogiques comvan ser les anteriors. En el preambul es diu quesorgeix de les preocupacions per les altes taxesd’abandonament escolar, un 26,5% enfront d’un13,5% de mitjana a Europa al 2011 segonsdades que es fan constar a la mateixa llei, elbaix nivell assolit pels estudiants com mostrenels programes internacionals com PISA i esti-mular l’esperit emprenedor dels joves. Tambe esnota un intent unificador del sistema educatiua tot el territori de l’Estat espanyol quant acontinguts i avaluacio.

Tambe es mante com a essencial l’adquisiciode les competencies cıviques i socials recollidesa la recomanacio del Parlament Europeu i delConsell del 18 de desembre del 2006, que vaser una de les aportacions mes importants dela LOE. El redactat d’aquesta llei te un articleunic de modificacio limitada de la LOE. Pertant, el que es vigent es la LOE amb els canvisque estableix la LOMCE.

En el cas de Catalunya, a traves deldecret d’ordenacio 187/2015 que desenvolupaels ensenyaments de l’ESO, aprofundeix mesen la lınia de desenvolupar les competencies.Les presenta mes estructurades i les relacionaamb continguts anomenats «clau». En el casde la competencia matematica, les dimensi-ons coincideixen amb allo que en el Decret143/2007 s’identificava amb els processos quees desenvolupen durant el curs a traves delsdiferents continguts que eren la resolucio deproblemes, raonament i prova, comunicacio i

52 SCM/Notıcies 44

representacio i connexions. A mes de consultarel decret es pot llegir el text de la Generalitatde Catalunya (2017) on es donen orientacionsper al professorat.

Canvis estructuralsEls canvis estructurals no son gaire importantspero en podem destacar alguns:

L’ESO estableix dos cicles, un que inclou elstres primers cursos i el segon que inclou nomesel 4t curs amb un caracter propedeutic. L’etapas’organitza en materies de tres tipus: les tron-cals, les especıfiques i les de lliure configuracioautonomica. En el cas de les matematiques atercer d’ESO, ja s’incloıa unes matematiquesorientades als ensenyaments academics i unesa l’ensenyament aplicat. A quart ja oferia dositineraris amb importants diferencies, ja queun esta orientat als ensenyaments academicsque permeten a l’alumne accedir als batxille-rats i l’altre esta orientat als ensenyamentsaplicats per accedir a la formacio professional.L’assignatura de matematiques era diferent encada itinerari. En el cas de Catalunya, aquestsitineraris de matematiques de 3r i 4t queproposa la llei s’han suavitzat a traves delDecret 187/2015.

Es modifiquen les hores lectives. Passen aser 3 hores a 1r i 4 hores setmanals a la restade cursos. Al final de l’etapa es fan 385 horeslectives de matematiques, la materia que fa meshores de totes.

Els batxillerats s’organitzen en tres moda-litats: ciencies, humanitats i ciencies socials, iarts. L’ordenacio es continua fent amb el Decret142/2008, el mateix que es feia servir amb laLOE. Es a dir, es mantenen els mateixos con-tinguts i les mateixes hores lectives setmanalsper a les dues modalitats, la de matematiquesi la de matematiques aplicades a les cienciessocials.

Canvis curriculars

• Objectius. Al desplegament curricular de laLOMCE no consten els objectius de l’areade matematiques com sı que ho feien en elscasos anteriors. Es pot considerar que son elsmateixos que figuren al Decret 143/2007.

• Continguts. Els continguts a l’ESO sonpracticament els mateixos que al model LOE,l’unica diferencia es que els presenten comuna llista de continguts matematics ambmenys matisos de caracter competencial.Tambe s’ha de ressaltar que al model LOEes destacava la modelitzacio com un delsprocesos mes rellevants de la matematica iara aquest terme ha desaparegut. Tot i querealment no s’havia dut gaire a la practica,la seva perdua es lamentable. Al documentGeneralitat de Catalunya (2017) es fa unapresentacio forca detallada de les dimensionsi les competencies amb alguns exemples.Podem reconeixer alguns elements de lescompetencies que es descriuen a Niss (2003)de les quals ja hem parlat abans. De totamanera, aquest document, que te la voluntatde ser una eina que ajudi el professorat apreparar tot el que te a veure amb la sevatasca docent i pel que he pogut observaren activitats de formacio del professorat, noacaba de resultar del tot util pel llenguatgeque fa servir. Resulta complex per a unprofessor d’aula que no estigui una micaintroduıt en el tema.En el cas del batxillerat, els continguts nohan variat respecte al model LOE.

• Metodologia. El decret no dedica cap espaia aquesta questio. Sı que apareix al documentGeneralitat de Catalunya (2017). En aquestcas, dedica unes orientacions metodologiquesper a cada una de les 12 competencies. Elque fa es aprofundir molt mes en coherenciaamb la mateixa lınia iniciada al decret del2007. Es confirma l’opcio que es basa en elscontextos, en la investigacio de l’alumnat,l’experimentacio, la manipulacio de ma-terials, la conjecturacio, la modelitzacio,etcetera.

• Avaluacio. Des del punt de vista conceptual,no hi ha canvis respecte a l’orientacio donadaa la LOE. Sı que s’observa ajudes al professo-rat per millorar en la competencia didactica

SCM/Notıcies 44 53

del professorat que proposava Niss (2006),ja que es faciliten elements per identificardiferents graus d’assoliment de cada unade les 12 competencies. En aquest sentit,es un pas mes per avancar en la lınia del’educacio matematica en un marc compe-tencial. El juliol del 2018 ha aparegut unnou decret d’avaluacio de l’ESO que confirmaque l’avaluacio es un element mes del procesd’aprenentatge, aixı com un indicador delnivell d’assoliment de les competencies.

Reflexions finals

Des del 1970 fins al 2018 han passat 48 anys,entremig hem tingut tres lleis d’educacio quehan volgut canviar completament el sistemaeducatiu. En el cas de les matematiques s’hancanviat els objectius, i les finalitats que alhorahan provocat canvis en la manera d’ensenyar-les, d’avaluar-les, en el que significa saber ma-tematiques i fins i tot en la mateixa idea del queson les matematiques. Els canvis proposats nohan arribat a materialitzar-se amb la intensitatque figurava a la normativa, tot i que realmentfan irreconeixible el sistema actual amb el del’any 70. La feina del professorat ha estatalterada profundament. La seva implicacio haestat desigual, els mes nostalgics de la tradiciohan intentat canviar el mınim per sobreviure,els mes innovadors han trobat un espai ambmolt recorregut; entre aquests dos pols, unagran majoria ha anat evolucionant a un ritmemes tranquil. La legislacio sempre ha anat perdavant de tots ells. Tinc la impressio que elsalumnes han apres millor per adaptar-se al monque els tocara viure.

El camı de les reformes s’ha recorregut demanera imperfecta, encara queda molt per fer,pero el sistema te la capacitat d’admetre-hotot. Suporta totes les limitacions i contradic-cions, sense que res grinyoli, la inercia el faavancar tranquil·lament sense immutar-se finsa la propera reforma que torni a introduir nouscanvis. Aquesta ja es la manera d’evolucionardel mon de l’educacio. Pero el mes important deles reformes educatives es que estan carregadesd’utopia. Per aixo vull recordar una frase del’escriptor uruguaia Eduardo Galeano:

«La utopıa esta en el horizonte. Camino dospasos, ella se aleja dos pasos. Camino diezpasos y el horizonte se desplaza diez pasos

mas alla. Por mucho que camine, nuncala alcanzare. Entonces, ¿para que sirve lautopıa? Para eso, sirve para caminar».

Les reformes serveixen per a aixo, per feravancar i millorar el sistema tot i que les sevesrealitzacions siguin limitades.

Referencies[1] C. Alsina, J.M. Fortuny i J. Gimenez, Pro-

jecte curricular de l’area de matematiques.Bon dia mates. Generalitat de Catalunya.Departament d’Ensenyament. Servei deDifusio i Publicacions, (1994).

[2] W. Blum i M. Niss, «Applied Mathemati-cal Problem Solving, Modelling, Applica-tions, and Links to other Subjects - State,Trends and Issues in Mathematics Instruc-tion». Educational Studies in Mathematics22 (1991).

[3] Cockroft, Mathematics Counts. London.Existeix versio en castella Las matematicassı cuentan (1985) Ministerio de Educa-cion y Ciencia. Subdireccion General dePerfeccionamiento del Profesorado. EditaServicio de Publicaciones del Ministerio deEducacion y Ciencia (1982).

[4] Diario Oficial de la Union Europea (30-12-2006) Recomendacion del ParlamentoEuropeo y del Consejo 18-12-2006 sobrelas competencias clave para el aprendizajepermanente 2006/962/CE.

[5] E. Galeano, «Ventana sobre lautopıa». Descarregat de https://www.poeticous.com/eduardo-galeano/ventana-sobre-la-utopia?locale=esel 1/12/18.

[6] Generalitat de Catalunya. Departamentd’Ensenyament. Currıculum. Educacio

54 SCM/Notıcies 44

Secundaria Obligatoria. Area deMatematiques. Servei de Difusio iPublicacions, Barcelona (1993).

[7] Generalitat de Catalunya, Competenciesbasiques de l’ambit matematic.Identificacio i desplegament a l’educaciosecundaria obligatoria. 2a edicio. Serveide Comunicacio i Publicacions (2017).Descarregat de http://xtec.gencat.cat/ca/curriculum/eso/curriculum/ el9/12/18.

[8] M. Kline, El fracaso de la matematica mo-derna. Siglo XXI editores. Madrid (1976).

[9] M. Niss, «Mathematical Competenciesand the Learning of Mathematics: TheDanish KOM Project». A: A. Gagatsis &S. Papastavrides, (eds.) 3rd MediterraneanConference on Mathematical Education.Athens, Hellas 3-5 January 2003. Athens:Hellenic Mathematical Society 115–124.

[10] M. Niss, What does it mean to be acompetent mathematics teacher? A gene-ral problem illustrated by examples fromDenmark (2006).

[11] Praktika, 23o Panellenio Synedrio Mathe-matikis Paideias. Patra 24-26 Noembriou2006. Elleniki Mathematiki Etaireia, Pa-tra, p. 39–47.

[12] M. Niss i T. Hojgaard, (eds.), Competenci-es and Mathematical Learning. Ideas andinspiration for the development of mathe-matics teaching and learning in Denmark.IMFUFA, Roskilde University, Denmark(tekst nr. 485 - 2011). English Edition,October 2011.

[13] OCDE (1991) Definition and selection ofCompetencies: Theoretical and conceptualFoundations (DeSeCo). Backgroundpaper. Descarregat el 5/12/18 dehttp://www.oecd.org/education/skills-beyond-school/.

[14] L. Rico, Bases teoricas del Currıculo dematematicas en educacion secundaria. Ed.Sıntesis. Madrid (2007).

[15] L. Rico i J.L. Lupianez, Competencias ma-tematicas desde una perspectiva curricular.Madrid. Alianza Editorial (2008).

[16] UNESCO Nuevas tendencias en laensenanza de las matematicas, vol IV,(1979). Descarregat l’1/12/18 dehttps://www.google.com/search?q=Nuevas+tendencias+en+la+ense%C3%B1anza+matematicas+UNESCO&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b.

Beca ERC 2018: Regularitat i singularitats en EDP el·lıptiques

Xavier Ros-OtonUniversitat de Zuric

Una de les questions mes basiques i importantsen l’estudi d’EDP es la regularitat:

Donada una EDP, son regulars totes lessolucions o poden tenir singularitats?

Un exemple classic es el problema XIXde Hilbert (1900), que basicament demana-va determinar si totes les solucions d’EDPel·lıptiques variacionals son regulars. La questiova ser finalment resolta per De Giorgi i Nashl’any 1956 [6, 12, 13], i avui en dia es un dels te-oremes mes famosos i importants en el camp deles EDP. Durant la segona meitat del segle xx,

la teoria de regularitat per a EDP el·lıptiques esva desenvolupar enormement, amb treballs deCaffarelli, Nirenberg, Krylov, Evans, i moltsd’altres. La pregunta general es entendre sitotes les solucions son regulars (com en elproblema de Hilbert) o si, en canvi, podentenir singularitats. Un exemple classic en elqual apareixen singularitats es el problema dePlateau, on les hipersuperfıcies que minimitzenel funcional d’area poden tenir singularitats aR8 i dimensions mes altes [7]. Quan aixo passa,la questio principal passa a ser l’estructura delconjunt singular.

SCM/Notıcies 44 55

Objectiu principalUn dels objectius centrals d’aquest projec-te ERC es desenvolupar noves tecniques quepermetin demostrar resultats de regularitatgenerica per a EDP en les quals podenapareixer singularitats. En altres paraules, l’ob-jectiu seria establir resultats que confirmessinque, tot i que les solucions d’una certa EDPpoden tenir singularitats, les solucions corres-ponents a gairebe tota condicio de vora sonregulars. Es a dir, que les singularitats podenapareixer pero son molt poc usuals.

Aquest tipus de preguntes son a la vega-da molt importants pero francament difıcilsd’obtenir: en paraules de Klainerman [9], «eldesenvolupament de metodes que permetinestablir resultats de regularitat generica es potveure com un dels desafiaments mes grans pelcamp de les EDP en el proper segle».

El projecte es centra principalment a es-tudiar aquesta questio per a problemes defrontera lliure. Aquest tipus de problemes hanestat una lınia de recerca molt important enla comunitat d’EDP durant els darrers 60 anys[2, 3, 4, 8, 10, 11, 18], i en els ultims anys hetingut la sort de contribuir-hi resolent algunsproblemes oberts en aquest context [1, 5, 14].

Pero. . . que son els problemes de fronteralliure?Molts problemes de fısica, industria, finan-ces, biologia, probabilitat i altres arees podenser descrits per EDP que tenen interfıcieso fronteres que son desconegudes a priori.S’anomenen «problemes de frontera lliure». Undels exemples mes classics es el problema deStefan (1831), que modela transicions de fase(com per exemple l’evolucio d’un bloc de geldesfent-se). Des del punt de vista matematic,

la pregunta mes important en aquest context esentendre la regularitat de les fronteres lliures.El desenvolupament de la teoria de regularitatper aquests problemes va comencar a finals delsanys setanta amb els treballs de Caffarelli (pelsquals va guanyar el premi Wolf el 2012 i el premiShaw el 2018), i des d’aleshores ha estat unaarea de recerca molt activa.

Els millors resultats coneguts per al proble-ma de Stefan (o el problema de l’obstacle, quecorrespon al cas estacionari) son els seguents:la frontera lliure es C∞ fora d’un cert conjuntde punts singulars [2, 8, 18]; i el conjunt depunts singulars esta contingut en una varietatC1 de dimensio (n − 1) [3, 4, 11]. Els puntssingulars son aquells on es formen cuspides, ipoden apareixer en qualsevol dimensio n ≥ 2(vegeu Figures 1 i 2).

punts regularspunt singular

Figura 1. Un exemple d’una frontera lliure amb ununic punt singular. Es poden construir exemplessimilars amb infinites cuspides.

Figura 2. Un exemple a R3 amb diferents tipus depunts singulars.

La conjectura de SchaefferCom hem dit abans, un dels problemes mesimportants en EDP es el desenvolupament demetodes per a demostrar resultats de regula-ritat generica. En el context del problema del’obstacle (o el problema de Stefan), la questioclau es entendre la regularitat generica de lesfronteres lliures ([15]):

56 SCM/Notıcies 44

Conjectura (Schaeffer, 1974): Genericament,la frontera lliure al problema de l’obstacle esC∞, sense cap punt singular.Aquesta conjectura nomes s’ha demostrat al pla[11], i no se sap res a R3 (el cas fısicament mesrellevant) ni tampoc en dimensions mes altes.Es un dels problemes oberts mes importantsen aquest context, i la seva resolucio permetriaatacar problemes similars en altres tipus d’EDPen les quals puguin apareixer singularitats.En general s’han pogut demostrar molt pocsresultats en aquesta direccio, i la majoriatracten els casos en els quals el conjunt singulares molt petit (com el problema de l’obstacle aR2 [11], o be superfıcies mınimes a R8 [17]).

Un dels objectius mes ambiciosos del projec-te ERC es demostrar la conjectura de Schaeffer.A mes estudiarem tambe la pregunta analegaper al problema de Stefan (en que les solucionsdepenen del temps). En aquest context no esconeix cap resultat de regularitat generica, nitan sols a R2.

Altres objectiusEvidentment, el que he explicat aquı es nomesuna part del projecte, pero alhora centrali representativa del tipus de problemes ques’estudiaran. Altres preguntes tracten la regu-laritat per a EDP el·lıptiques completament nolineals, de la forma

F (D2u) = 0 en Ω ⊂ Rn

o, mes en general,

F (D2u,∇u, u, x) = 0 en Ω ⊂ Rn.

Les solucions d’aquestes equacions son sempreC∞ en dimensio n = 2, mentre que en dimen-sions n ≥ 5 hi ha exemples de singularitats(solucions u per a les quals D2u no es acotat).Un dels problemes oberts mes importants enaquest context es entendre que passa a R3 i R4.

Referencies[1] B. Barrios, A. Figalli i X. Ros-Oton,

«Free boundary regularity in the parabolicfractional obstacle problem». Comm. PureAppl. Math. (2018), en premsa.

[2] L. Caffarelli, «The regularity of free boun-daries in higher dimensions». Acta Math.139 (1977), 155–184.

[3] L. Caffarelli, «The obstacle problem revisi-ted». J. Fourier Anal. Appl. 4 (1998), 383-402.

[4] L. Caffarelli i N.M. Riviere, «Asymptoticbehavior of free boundaries at their sin-gular points». Ann. of Math. 106 (1977),309–317.

[5] L. Caffarelli, X. Ros-Oton i J. Serra,«Obstacle problems for integro-differentialoperators: regularity of solutions and freeboundaries». Invent. Math. 208 (2017),1155–1211.

[6] E. De Giorgi, «Sulla differenziabilita el’analiticita delle estremali degli integralimultipli regolari». Memorie della Accade-mia delle Scienze di Torino. Classe diScienze Fisiche, Matematicahe e Naturali3 (1957), 25–43.

[7] E. Giusti, «Minimal Surfaces and Functi-ons of Bounded Variation». Monographs inMathematics 80, Birkhauser, 1984.

[8] D. Kinderlehrer i L. Nirenberg. «Regula-rity in free boundary problems». Ann. Sc.Norm. Sup. Pisa (1977), 373-391.

[9] S. Klainerman, «PDE as a unified sub-ject». Geom. Funct. Anal., Special Volume– GAFA2000, 279–315.

[10] J.L. Lions i G. Stampacchia, «Variationalinequalities». Comm. Pure Appl. Math. 20(1967), 493–519.

[11] R. Monneau, «On the number of singu-larities for the obstacle problem in twodimensions». J. Geom. Anal. 13 (2003),359–389.

[12] J.F. Nash, «Parabolic equations». Proc.Nat. Acad. Sci. U.S.A. 43 (1957), 754–758.

[13] J.F. Nash, «Continuity of solutions ofparabolic and elliptic equations». Amer. J.Math. 80 (1958), 931-954.

[14] X. Ros-Oton, «Free boundaries and obs-tacle problems: an overview». SeMA J.(2018), en premsa.

[15] D.G. Schaeffer, «An example of generic re-gularity for a nonlinear elliptic equation».Arch. Rat. Mech. Anal. 57 (1974), 134–141.

SCM/Notıcies 44 57

[16] D.G. Schaeffer, «Some examples of singu-larities in a free boundary». Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa 4 (1977), 133–144.

[17] N. Smale, «Generic regularity of homo-logically area minimizing hypersurfaces

in eight dimensional manifolds». Comm.Anal. Geom. 1 (1993), 217–228.

[18] G.S. Weiss, «A homogeneity improvementapproach to the obstacle problem». Invent.Math. 138 (1999), 23–50.

Conversa a dues bandesCarles Bonet i Narcıs ClaraAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

La conversa d’aquesta SCM/Notıcies es entreCarles Bonet, professor del Departament deMatematiques de la UPC, i Narcıs Clara,professor del Departament d’Informatica, Ma-tematica Aplicada i Estadıstica de la UdG.El fet que els uneix a tots dos, a mes de sermatematics, es el seu coneixement de la vidaparlamentaria. El primer va ser membre delParlament de Catalunya i del Senat espanyoldurant mes de deu anys, mentre que el segonva ser escollit parlamentari en les darrereseleccions catalanes, tot just fa un any.

El text que trobareu a continuacio es unatranscripcio de gran part de la conversa quevam mantenir en un restaurant italia, tot justdespres que en Narcıs sortıs d’un dels darrersplens del Parlament de l’any 2018.

Narcıs: Hola, Carles.Carles: Hola, Narcıs.

N: Potser podem comencar explicant com vaser el teu proces fins a arribar a ser parlamentarii abandonar, durant un temps bastant llarg, lateva activitat academica.C: Em vaig presentar per primera vegada a leseleccions l’any 1991 i va ser consequencia, comtu dius, de tot un proces. . . Durant la mevaepoca de professor universitari havia creat ungrup catalanista amb Marcel·lı Perello, germad’en Carles, que ens va portar a editar unarevista catalanista, el Full i, mes tard, a fundarel Cercle Ramon Llull. Tot aixo, va donar lloc apresentar-me a les eleccions municipals del 1991per Esquerra Republicana. No vaig sortir elegitpero, despres de tot un seguit de vicissitudsi canvis en el partit i de les quals ara no

cal parlar, vaig presentar-me a les eleccions alParlament de Catalunya del 1999; vaig sortirescollit i vaig ser nomenat senador al Parlamenta Madrid. Tot aixo va durar fins al 2011. Es adir, que vaig estar mes d’onze anys sense fer capderivada.

N: Jo en porto nomes un! El meu cas esuna mica diferent, La meva entrada en lapolıtica es com a consequencia dels fets del27 d’octubre (declaracio de la independencia,instauracio del 155 i, aleshores, convocatoriad’eleccions per part de Mariano Rajoy), CarlesPuigdemont intenta fer una llista unitaria peroen no aconseguir-ho, n’ha de fer una altra,podem dir que una mica precipitadament. Enaquell moment, vaig rebre una trucada per

58 SCM/Notıcies 44

demanar-me que en formes part. M’ho vaigrumiar en el poc temps que vaig tenir i vaigacceptar la proposta.C: Pero tu no havies tingut cap carrec polıticabans?

N: Cap ni un. A mi sempre m’ha agradat lapolıtica, pero jo era un militant de base: primerde Convergencia i, despres, del PDECat.C: I no coneixies la dinamica parlamentaria perdins?

N: Jo sempre he estat una persona forca«polititzada», en el sentit que m’ha agradatla polıtica, si ho vols dir aixı, pero el dia adia, les entranyes del Parlament, les desconeixiabastant i pensa que el meu inici al Parlament vaser forca dur. Recorda que eren dies sense go-vern, que no se sabia si podria ser escollit CarlesPuigdemont com a president de la Generalitat ono. El Parlament era sempre ple de periodistes.Jo vaig pensar: si aixo continua aixı. . . Perodespres, amb la formacio del govern, el focusjo crec que es va traslladar bastant a Palaui la vida parlamentaria va tornar a una certanormalitat.C: I ara que fa gairebe un any que ets fora de lesaules, quines diferencies veus entre l’activitatacademica i la de parlamentari?

N: El tipus de feina es molt diferent,obviament, pero segurament el fet diferenciales el temps. Al Parlament tot es urgent, finsi tot una mica precipitat, mentre que com aprofessor tens mes temps per fer les coses ambuna mica mes de reflexio.C: De vegades, algunes persones creuen queser parlamentari es seure al teu esco i escoltar,una mica com el que fan els alumnes a classei no es aixı. Cal preparar lleis, mocions, rebrecol·lectius, estar informat, cal parlar amb el teuterritori i sempre amb una certa urgencia.

N: Sı, tot es molt rapid, passes una partimportant del temps fent trucades, enviantwhatssapps, etcetera.C: De vegades, alguns mitjans de comunicacionomes mesuren l’activitat del parlamentari pelnombre de preguntes que presenta. . .

N: I aixo no es correcte. Tot sovint la preguntaesta signada pel cap de grup pero l’ha prepara-da un altre parlamentari i, finalment, la defensa

un altre membre que potser ha intervingut moltpoc en l’ elaboracio.C: O, per exemple, moltes vegades em pregun-ten quina es la feina que es fa al Senat i joels contesto: la mateixa que al Congres perosense la televisio. Al Senat es retoquen el 99%de les lleis que hi arriben, despres aquestestornen al Congres, on s’aproven o es rebutgenles esmenes presentades pel Senat, excepte enun cas i del qual es parla molt aquests dies:la Llei d’estabilitat pressupostaria. Aquesta lleihan d’aprovar-la les dues cambres. Aixo es un«gol» que el PP va marcar al PSOE quan elpartit socialista estava en hores baixes. Podriadesapareixer el Senat? Es clar que sı peroaleshores els parlamentaris del Congres hauriend’estar menys pendents de les televisions i nocometre tantes errades!

N: El problema del Senat es la representativi-tat. Es difıcil d’entendre que una provıncia com,per exemple, Soria tingui els mateixos senadorsque Barcelona. Aixo fa que a l’Estat espanyolel PP tingui majoria absoluta al Senat des de famolt de temps. Ara be, amb l’aparicio dels nouspartits que trenquen el tradicional bipartidismesegurament aquesta mena de statu quo desa-pareixera. . . Per cert, ara que estem parlantdel Senat, vas trobar moltes diferencies entreel tipus de feina al Parlament de Catalunya i alSenat de Madrid.C: No gaires. Segurament, i com a fruit de laseva funcio, l’activitat del Senat es, tal com hemdit abans, mes pausada, mes reflexiva.

N: Un altre punt destacable de la vida parla-mentaria, malgrat que habitualment el tramitparlamentari de les lleis acostuma a ser llarg,es la sensacio que tens despres de l’aprovaciod’una llei on has intervingut d’una maneradecisiva.C: I tant! Per exemple, em sento molt satisfetd’haver dedicat molt de temps i esforcos peraconseguir pactar l’actual Llei d’universitats deCatalunya, la LUC, amb Convergencia i Unio,treballant colze a colze amb Mas Colell i el seugrup. Recordo que per part d’Esquerra Repu-blicana hi anavem els tres Carles; Carles Sola(exrector de la UAB), Carles Perello i jo mateix.Participar en l’elaboracio d’una llei sobre untema que coneixes be i afecta positivament gentpropera crea una certa satisfaccio. Pero tambehe de dir que, de vegades, com a parlamen-

SCM/Notıcies 44 59

tari, prens decisions de les quals despres etpenedeixes. Per exemple, recordo que quan erasenador per l’Entesa, vaig ser membre de lacomissio que havia d’escollir el representant delSenat al Tribunal Constitucional i el que espresentava era un tal Perez de los Cobos. Enaquell moment, pero, per no estudiar prou osegurament per falta d’informacio interessadaper part dels populars, obviament, i tambe delssocialistes, no vaig saber que aquesta personahavia estat membre del PP i ell ho va amagarquan ens va explicar el seu llarg currıculum.Pensa que la comissio havia rebutjat feia poctemps un altre candidat per haver estat militantsocialista. Si ho hagues sabut ho hauria dit i nom’hagues abstingut en la votacio.N: Sı, pero hauria sortit igual. El pacte entresocialistes i populars ja estava fet.C: Segurament sı, pero jo ara no tindria sobremeu aquest pecat que «Deu, Nostre Senyor, noem perdonara mai». . .N: Ha, Ha. Tens tota la rao. De vegades hasde decidir, i pel tema de la urgencia que hemcomentat abans, ho has de fer sense tenir lainformacio necessaria o sense poder haver-teassessorat o haver estudiat el tema de maneracorrecta. Pero en el meu cas, i seguramentper ser matematic, o mes ben dit per ser deciencies, he observat que sempre m’han assignattemes polıtics de tipus tecnic, com poden serel canvi climatic, la contaminacio de l’aire ola sindicatura de comptes, i no pas temesmes polıtics, com poden ser els relatius a lesllibertats individuals o els drets socialsC: A mi tambe em passava una mica elmateix. Per exemple, com a matematic, vaig sermembre de la Comissio de Ciencia del Senat.Aleshores, recordo que una vegada vam haverd’anar a Amsterdam, a la seu de l’AgenciaEspacial Europea i quan ja erem a l’aeroport,ens van trucar per dir-nos que els membres delPP i del PSOE no es podien desplacar. Aixova fer que la comissio quedes reduıda a JosepVarela, tambe matematic i de Convergencia,i jo mateix com a membre d’Esquerra. Ja etpots imaginar, un membre de Convergencia iun altre d’Esquerra representant Espanya. Vaser divertit.N: Si mes no, curios. Jo tambe tinc unaanecdota recent relacionada amb les ma-tematiques i la vida parlamentaria. Fa poc, a

la comissio sobre el cas Castor, vam rebre dosinformes del Govern espanyol i un estava fet,molt ben fet diria jo, per un grup d’experts delMassachusetts Institute of Technology (MIT) i,no t’ho podras creure, estava ple d’equacions enderivades parcials que modelitzaven el proble-ma de la falla!C: I estaven ben resoltes?

N: Home, com et pots imaginar a la majoriade parlamentaris no era aquesta la questio quemes els importava! Tot i aixo, hem demanatque algun membre dels signants d’aquest treballvingui a explicar-lo a la comissio. Tornant al’inici de la nostra conversa sobre les diferenciesentre la vida academica i la vida parlamentaria,cal destacar un altre aspecte important: larelacio que tens amb els companys de grupparlamentari o amb els qui mes coincideixes ales comissions que es molt diferent de la quees tens amb els alumnes a classe i amb elscompanys de departament.C: Hi ha aquella frase que diu que «hi ha amics,enemics i companys de partit»

N: Aixo crec, que es una frase mıtica del GiulioAndreotti.C: Ara be, tot i la frase de l’Andreotti, recordohaver mantingut bones relacions d’amistat ambaltres parlamentaris, fins i tot de grups parla-mentaris oposats al meu.

N: Com et pots imaginar, en el cas delParlament de Catalunya actual, aixo es difıcil ogairebe impossible. El fet d’haver-hi parlamen-taris a la preso i a l’exili ho fa molt difıcil. . .

C: Es clar. La situacio ara es molt diferent dela que hi havia, per exemple, en els anys deltripartit. Si continuem parlant de la vida par-lamentaria versus la vida academica, un altrepunt rellevant es la relacio o el tracte amb elsassessors polıtics, que son necessaris, com hemdit abans, i amb el personal d’administracio delParlament.

N: En el meu cas, he dir que el tracte ha estatexquisit. Son persones molt ben formades i moltcompetents.C: Jo tambe opino el mateix. Tant al Parlamentcatala com al Senat el meu tracte amb ells haestat molt agradable.

60 SCM/Notıcies 44

N: Jo tambe destacaria la seva disponibilitathoraria. Per exemple, contestar-te correus owhatsapps a les onze de la nit. . .C: Com hem dit abans, en polıtica tot es ur-gent. A mes, tots els funcionaris del Parlamenttenen clar que tu ets alla com a representantdel poble. Una altra cosa es el dia que deixesde ser-ho.N: D’aixo tambe m’agradaria parlar-ne ambtu. Com va ser la teva reincorporacio a launiversitat en deixar de ser parlamentari?C: Mira, perque us feu una idea, quan jo vaigmarxar de la universitat, tot just comencava autilitzar-se el LateX i quan vaig tornar teniaja 57 anys! Pero vaig tenir la gran sort que

Tere Martınez-Seara em va acollir en el seu grupde recerca i em va proposar un tema d’estudique jo ja coneixia be d’abans. Aleshores, tre-ballant molt, ho he dir, he aconseguit publicar,assistir a congressos, etcetera. Aquests dies esticomplint paperassa per demanar un sexenni derecerca!

En aquest punt, el cambrer italia ens vaportar molt amablement el compte, vam pagar,vam sortir del restaurant i ens en vam anara la porta del Born a fer la fotografia queacompanya aquest article. En acomiadar-nos,en Narcıs va anar-se’n a participar en unatertulia polıtica de Radio-4 i en Carles apreparar-se les classes del matı seguent. . .

La pregunta de la SCM/NotıciesQuins canvis de continguts i metodologia s’han dut a terme durantaquests darrers vint-i-cinc anys en l’ensenyament universitari de les ma-tematiques i quins creus que n’han estat els motius?

Antoni Benseny ArdiacaDelegat per a estudiants i internacional de la Facultat de Matematiques i Infomatica,UB

La meva experiencia com a docent a la UB jaes d’uns 40 anys. Quan estudiava i en els meusprimers anys com a docent, la llicenciatura deMatematiques a la UB estava programada ambassignatures de curs sencer, docencia presenciali amb avaluacions via examens finals i, enalguns casos, examens parcials. En algunesassignatures, es va comencar a incloure treballspractics que l’alumnat havia de realitzar ambl’ajut del professorat.

El nivell matematic i d’abstraccio utilitzatcomportava un esforc de comprensio i d’estudimassa alt per part de l’alumnat i era lacausa de molts abandonaments, sobretot en elprimer curs, i de resultats academics baixos. Lamajoria de l’alumnat que superava el primercurs, ja molt seleccionat, s’acabava llicenciantamb uns coneixements matematics forca solidsen diverses arees i amb unes grans capacitatsde treball autonom, pero amb una orientaciomassa dirigida cap a la recerca i no gaire cap ala professionalitzacio. Es perdia molt d’alumnat

que no podia seguir els estudis i que hauriapogut ocupar places de docents a secundariao llocs de treball en altres ambits.

Amb el pas dels anys, el professorat vaanar prenent consciencia de la situacio i ade-quant la docencia a l’alumnat. La Facultat deMatematiques es va implicar en una renovaciode la docencia que va comportar, a partir del’any 2000: 1) l’oferta d’un semestre introduc-

SCM/Notıcies 44 61

tori, format amb assignatures de lliure eleccio,que facilitava una millor integracio als estudisde matematiques, 2) la introduccio de classes delaboratoris de problemes i d’ordinadors quepermetia el seguiment i l’avaluacio continuadade l’alumnat.

L’arribada de l’Espai Europeu d’EducacioSuperior es va aprofitar per acordar un plad’estudis que recollia, en els plans docentsde les assignatures, els canvis de contingutsi de metodologies que s’havien comencat aintroduir. Al mateix temps, es va millorarl’oferta d’estudis de la facultat amb els graussimultanis amb Fısica, Enginyeria Informaticai ADE.

Paral·lelament, la facultat, ara de ma-tematiques i informatica, ha anat desenvo-lupant diverses activitats de difusio de lesmatematiques en l’ambit de secundaria: laMatefest/Infofest, les Xerrades-Taller, entred’altres. Aixo, lligat a l’augment del prestigii de les possibilitats d’ocupacio futura delstitulats, ha portat a la millora de les no-tes de tall en els graus i graus simultanis.La facultat tambe ha apostat decididamentper la mobilitat internacional i per la relacioamb les empreses: s’han produıt un incre-ment notable en la mobilitat i en els conve-nis de practiques amb empreses per part del’alumnat.

La combinacio dels canvis metodologicsamb l’ampliacio de l’oferta, el seguiment i ladifusio dels estudis ha comportat una granmillora, tant en l’abandonament com en els re-sultats academics de l’alumnat. Ara, la facultatesta recollint els resultats de totes les iniciativespreses i dels canvis socials, que s’han traduıt enuna gran disminucio en l’abandonament inicial,

i una millora en el rendiment academic i enl’ocupacio posterior de l’alumnat titulat.

Personalment, crec que ha valgut molt lapena l’aposta que vam fer el professorat capa una docencia mes proactiva i acollidora,que ha permes un millor seguiment i unamillor integracio de l’alumnat via l’avaluaciocontinuada i que ha desembocat en una milloraespectacular de resultats.

Tot i aixo, encara queda algun aspecte que,tot i que ha comencat a millorar, la facultat volcuidar especialment: em refereixo a a fer creixerla implicacio en la formacio del professorat dematematiques de secundaria, que va minvarquan el master de formacio del professoraten l’especialitat de matematiques va esdevenirinteruniversitari i que ha ressorgit amb el GrupCubic. La facultat ha estat un referent en l’edu-cacio matematica dels docents de matematiquesde secundaria, com ho testifica l’oferta del’assignatura de Didactica en tots els seus plansd’estudis i la seva col·laboracio en les diversesedicions del master de formacio del professoratde secundaria, ara interuniversitari. Aquestaimplicacio ha crescut amb la creacio del GrupCubic de Didactica de la Matematica de laFacultat de Matematiques que, entre altresactivitats, va organitzar el C2EM i ofereix cadacurs un postgrau sobre recursos educatius ila Jornada de Didactica de la Matematica.La facultat vol continuar sent un referent,promoure mes activitats i fer-les mes visiblesal professorat i a l’alumnat de secundariainteressat en la docencia matematica, a fi decol·laborar en la millora de la formacio delprofessorat actual i fer augmentar l’interes i lamotivacio de l’alumnat per esdevenir professo-rat de matematiques en el futur.

Josep Maria BrunatProfessor jubilat del Departament de Matematiques, UPC

Despres de dos anys i escaig de jubilat, el moneducatiu em sembla cada vegada mes lluny i,per ser sincer, es pot dir que he girat full. Tot iaixı, provare de donar la meva opinio. Haig dedir, pero, que el que dire son, en general, mesimpressions que fets basats en dades objectives,amb tot el perill de subjectivitat que aixocomporta.

Em sembla que els disparadors principalsdels canvis en els continguts i en els metodesde l’ensenyament de les matematiques a launiversitat han estat dos. Un es la realitatlegislativa, que ha tingut una incidencia moltrellevant. Deixant de banda normatives menors,els dos canvis legals de mes repercussio hanestat, primer, el pas de la Ley General de

62 SCM/Notıcies 44

Educacion (LGE) de 1970 a la Ley Organica deOrdenacion del Sistema Educativo en Espana(LOGSE) del 1990 i, despres, la creacio del’Espai Europeu d’Educacio Superior (EEES).El segon motor dels canvis ha estat el que esconeix generalment com a noves tecnologies.En uns aspectes han afectat totes les materies,no nomes les matematiques, pero pel quefa especıficament al desenvolupament de lesclasses de matematiques, l’existencia i disponi-bilitat als centres universitaris de programarismatematics ha canviat continguts i metodes.

Respecte als canvis legislatius, no dire resque no s’hagi dit altres vegades. La LGE feiaarribar a les carreres cientıfiques i tecniquesjoves que havien obtingut el graduat escolar,havien aprovat els tres anys de BUP, despresel COU i, finalment, la selectivitat. A cada und’aquests ultims quatre cursos hi havia quatreo cinc hores setmanals de matematiques (toti que els ultims anys ja es va anar rebaixantl’exigencia amb invents com les hores B o adme-tent matriculacions a COU sense haver aprovattot el BUP). Amb la LOGSE, la trajectoria essubstancialment diferent: hi ha l’ensenyamentsecundari obligatori (ESO), general per a totsels estudiants sense distincio, dos anys de bat-xillerat i la selectivitat. Tot aixo es pot matisarmolt, pero vist a l’engros, el resultat va serque en els primers cursos universitaris hi haviaalumnes amb menys constancia en l’estudi imenys coneixements de matematiques.

Amb el pas dels anys quan aquests alumnesarriben a la universitat, els temaris tradicionalsde les carreres cientıfiques i tecniques resulteninassumibles i comencen les reformes dels plansd’estudis. Uns anys despres, amb l’entrada envigor de l’EEES, s’uniformitzen les carreresde tres i cinc anys a estudis de quatre anys,

i es tornen a canviar plans d’estudi arreu.Tinc la impressio que en el cas de carreresde cinc anys que passen a quatre, en generalel pes de les matematiques decreix no nomesen valor absolut, cosa inevitable, sino tambepercentualment (aixo ho vaig explicar al seudia en quatre carreres de la UPC) i, en elcas de carreres que passen de tres a quatre, elnombre de credits dedicats a les matematiqueso creix molt poc o no creix i, per tant, en baixael pes relatiu. (Casualitat o no, els anys quela demanda universitaria va baixar en picat,els centres dels campus de Barcelona de laUPC que van resistir millor la baixada dela demanda van ser els que van mantenir elpes de les matematiques: camins, industrialsi, obviament, matematiques.) Els canvis legis-latius, doncs, han comportat en general unsalumnes que arriben a la universitat amb menyspreparacio i una disminucio de la importanciade les matematiques en els plans d’estudis.

Naturalment, un professor de matematiquesno ho pot veure amb bons ulls. Pero emfa l’efecte que hi ha un munt de professorsd’altres materies, i potser tambe estudiants, quepensen que aixo es raonable o, almenys, quete poca importancia. Consideren que no calentantes matematiques per ser un bon enginyerinformatic, de telecomunicacions, arquitecte obioleg. Ara i aquı no cal entrar en aquest debat,pero no puc deixar de recordar les opinionsdel numero anterior de la SCM/Notıcies sobreles consequencies que ha comportat en l’en-senyament de les matematiques a secundariael fet que durant la carrera no es facin gairesmatematiques.

Respecte als canvis tecnologics, hi ha as-pectes que han afectat totes les materies.L’existencia de les intranets, per exemple, hapermes la facil distribucio de materials, l’as-signacio i recollida de treballs, la publicaciode notes, la disponibilitat d’examens de lesassignatures de cursos anteriors (sovint resolts),i moltes d’altres coses que han canviat l’accesa la informacio i les formes de relacio entreprofessors i estudiants. Certament, qui mes quimenys ha patit interfıcies tan poc amigablescom hom es pugui imaginar i proves fallides,coses que sovint resulten exasperants. Peroaquests inconvenients no son atribuıbles a latecnologia en si, sino a persones concretes quehan fet les coses malament. Vist en perspectiva,

SCM/Notıcies 44 63

crec que els canvis que ha aportat la tecnologiahan estat a fi de be.

En el cas particular de les matematiques,el canvi mes substancial en el dia a dia deles aules s’ha degut a la incorporacio a ladocencia de programari matematic. Que en tin-gui constancia, els primers congressos d’ambitestatal sobre la utilitzacio de les noves tecnolo-gies en l’ensenyament de les matematiques a launiversitat es van fer els anys 1993 (Madrid),1994 (Valencia) i 1995 (Barcelona). Vaig seren tots tres i recordo la gran il·lusio delsparticipants per les expectatives pedagogiquesque s’obrien. Avui, practicament arreu, moltesassignatures comporten unes hores en quel’estudiant es baralla amb alguna mena deprogramari. S’hi pot trobar de tot. Materies enque l’us de l’ordinador es intens i indispensable;materies en que se’n fa un us ocasional perposar exemples reals o per buscar contraexem-

ples, o per fer grafics que ajuden a clarificarconceptes. Entremig, tota la gradacio. Compassa sempre amb les tecnologies, de vegadesse’n fa un us excel·lent, i de vegades un malus, com quan s’incorpora l’ordinador de formainnecessaria nomes per por que el centre oel professor sigui qualificat d’antiquat. Aixıdoncs, el meu parer es que la incorporaciode programari matematic a les aules ha estatd’excel·lent a inutil, depenent dels casos.

Hi ha altres aspectes que han anat canvianti que tenen la seva importancia. Per dir-nenomes un, els metodes d’avaluacio, que tenentendencia a complicar-se cada vegada mes. Peroem fa l’efecte que els canvis mes significatiushan estat els esmentats mes amunt: d’unabanda, les modificacions dels plans d’estudimotivades pels canvis en les lleis educativesi, de l’altra, la introduccio de programaria les aules.

Rosa CampsDepartament de Matematiques, UAB

No se si ha canviat tant la metodologia enels darrers vint anys. Cadascu a la seva aulafa el que pot, i les matematiques se segueixenensenyant principalment amb pissarra. A mes,hi ha forca diferencies d’un professor a un altre.Pero, a banda del que es fa individualment, sıque crec que els condicionants, almenys pel quefa al grau de matematiques, han canviat molt ihan forcat millores metodologiques.

Una diferencia molt evident ha estat lairrupcio generalitzada dels ordinadors. D’en-trada, ara la comunicacio amb els estudiantsvia correu electronic es molt mes facil, i lesintranets han permes proporcionar molt mesmaterial, millorar els lliuraments de problemeso, fins i tot, fer petites proves. Pero, sobretot,el canvi ha estat en els ordinadors com aeina de treball dels estudiants. Fa vint anysnomes es feien practiques en les assignaturesde calcul numeric i d’estadıstica. Actualment,hi ha una assignatura a primer curs d’einesinformatiques que no nomes ensenya als es-tudiants a programar, sino que tambe intro-dueix manipuladors algebraics i composicio detextos matematics (LaTeX). Pel que fa alsmanipuladors algebraics (SAGE, Mathematicao Maple), la idea es proporcionar als estudiantsuna eina de simulacio, un laboratori per poder

fer experiments matematics, que sera un suporten la resta d’assignatures, per calcular, perotambe per agafar intuıcio sobre els objectesmatematics que aniran trobant (funcions, su-perfıcies, equacions diferencials, grups, . . . ).Confesso que quan, en la reforma del darrerpla d’estudis, es va proposar incloure LaTeXa primer curs, em va semblar una frivolitat.Pero he canviat completament d’opinio: es clarque l’actual generacio d’estudiants se sent molta gust treballant electronicament, he pogutcomprovar com ara passen mes els apunts a neti tenen mes cura dels lliuraments.

S’ha millorat molt, segons el meu parer, enl’acompanyament i l’orientacio de l’aprenentat-ge a primer curs. Antigament les assignatures

64 SCM/Notıcies 44

eren totes semestrals i especialment denses jades del primer semestre (calcul, algebra lineal,algebra no lineal). Sense cap avıs, els estudiantses trobaven amb un examen el febrer quesuspenien en un 70 o 80%. Si aprovaven just,encara era pitjor, perque arrossegaven duranttota la carrera deficits formatius tan gransque eren incapacos d’assimilar les materies decursos posteriors. Aquest problema s’ha anatcorregint amb els anys, introduint mes parcials,lliuraments de problemes, entrevistes amb elsestudiants. . . Tot per donar-los informacio delseu progres i per forcar el treball continuatal llarg del curs. En aquesta lınea d’afavorirl’assimilacio de la base, tambe s’han fet anualsen els dos darrers plans d’estudis de la UAB lesquatre principals assignatures de primer curs.La gran majoria dels estudiants que arriben ala universitat no estan acostumats a escriurematematiques, ni tan sols a redactar en general.Per aixo a primer curs s’incideix especialmenten aquest aspecte, i es fixen lliuraments enque els estudiants hagin d’esforcar-se a redactarcorrectament, i se’ls convoca a entrevistes ambel professor per revisar el que han escrit.

En l’avaluacio del Grau de Matematiques dela UAB que es va fer l’any 2000 es va constatarque la majoria dels estudiants tenien una faltapreocupant de motivacio, i d’informacio sobrela utilitat de les matematiques i, tambe, sobre lapotencia del llenguatge, les eines i les capacitatsadquirides durant la carrera. A partir de l’any2007 el marc Bolonya va donar molta llibertata les universitats en el disseny dels nous plansd’estudis. Aquest fet va permetre la inclusio enel Grau de Matematiques de la UAB d’assig-natures noves, com ara Matematica Discreta,Taller de Modelitzacio o Practiques en Empre-ses. En una assignatura introductoria de ma-tematica discreta els estudiants al·lucinen enveure com problemes reals difıcils es tornensenzills quan es passen al mon dels grafs,o descobreixen demostracions d’Erdos, plenesd’idees alhora elementals i genials. Al Taller deModelitzacio els estudiants treballen durant unsemestre en un problema del mon real, i l’hande resoldre proposant un model matematicamb les eines de que disposen (molt poques,a segon curs). En molts casos els resultatsson sorprenents i molt gratificants per alsestudiants. Un fet, un xic meravellos, que passaen aquesta assignatura es que per desenvolupar

el seu projecte els estudiants han d’aprendrepel seu compte, per exemple, probabilitat,estadıstica, equacions diferencials o algebra,abans de l’assignatura corresponent. I ho fanamb prou d’exit, de manera autonoma i ambuna motivacio increıble. Finalment, Practiquesen Empreses es una assignatura en que gairebetots els estudiants constaten el resultat del seuesforc, comproven que el grau els ha canviatde veritat i que en el mon laboral es valorenles seves capacitats. Els informes dels tutors ales empreses sobre els estudiants els haurıemd’emmarcar i penjar-los a les parets de lesfacultats, per donar-nos moral a tot plegats (latitulacio de Matematiques segueix sent dura, encomparacio amb moltes altres titulacions, peroval la pena!).

En la implementacio dels dos darrers plansd’estudis es va fixar una nova tipologia declasse: els seminaris, on els estudiants treballenen grups per resoldre problemes que se’ls propo-sen, amb la supervisio d’un professor, en aulesamb pocs estudiants. Aquests tipus de sessionsja s’havien anat implantant en assignatures deprimer curs des dels anys noranta, impulsadespel grup de Didactica de les Matematiques dela UAB. Pero va ser a partir del pla d’estudisdel 2001 que es va generalitzar a totes lesassignatures.

El que ha canviat en els darrers anys tambees la transparencia en la informacio de lesassignatures. Sembla mentida, pero fa vint anysno tots els professors donaven el programadetallat de la seva assignatura als estudiantsi encara menys el feien public fora de l’aula.Actualment, encara que a vegades conteneninformacio molt crıptica sobre competencies,almenys les guies docents fixen els objectiusde l’assignatura, els prerequisits i l’avaluacio,a banda dels continguts i la bibliografia. I, comque les guies docents es publiquen a internet,ja no hi ha excusa per obviar el que es fa al’assignatura del costat.

Fa vint anys a la UAB tenıem pocs estu-diants que vulguessin estudiar matematiquesen primera o segona opcio i la nota de tallera de 5. Aquestes condicions inicials feien quel’experiencia de molts estudiants fos negativa,d’un desencıs absolut, gairebe d’aversio a lesmatematiques, de sensacio d’inutilitat, fins itot. D’altra banda, als estudiants excel·lentsse’ls veia tristos, eren molt pocs i fins i tot

SCM/Notıcies 44 65

desentonaven. La feina que ha fet conjunta-ment la comunitat matematica catalana perfer arribar al gran public l’amplıssim ventallde sortides laborals, la creixent demanda dematematics i la plena ocupacio (molt valoradades de la crisi del 2008, crec) ha fet quela situacio s’hagi girat com un mitjo. Vullremarcar, a banda de la informacio sobre lessortides laborals, l’esforc per fer gaudir deldescobriment de les matematiques a les noiesi els nois de secundaria (Cangur, Olimpıades,Dissabtes de les Matematiques, Matefest, Es-print, Tallers, MMACA, etcetera). Tambe hacontribuıt en el canvi del perfil dels estudiantsel disseny del nou pla d’estudis, inclosa la dobletitulacio de Matematiques i Fısica.

Per fi molts estudiants que antigamentanaven a estudiar enginyeries perque no voliendedicar-se professionalment a la docencia ni ales matematiques pures ara son conscients quepodran fer finances o enginyeria o marquetingo estadıstica o moltes altres disciplines despres

de passar-s’ho bomba estudiant el Grau deMatematiques i, en tot cas, cursant despres unmaster professionalitzador.

La consequencia de tots aquests canvis haestat que la nota de tall de tots els graus deMatematiques ha pujat. Aixı, els estudiantsactuals estan molt motivats, a mes de sermolt mes madurs, treballadors i eficients (comindica la nota d’acces). Es evident que tenirun grup gran d’estudiants apassionats per lesmatematiques i amb capacitat alta millora moltl’ambient a classe i el rendiment general. Hi haalegria i resulta estimulant per a tots plegats,professors i estudiants. Un d’aquests estudiantsexcel·lents, de primer curs, em va dir un cop queestava content perque per fi tenia companys queentenien els seus acudits. No tots els estudiantsson aixı, segueix havent-n’hi que pateixen, perono tants i no de manera constant.

En resum, suposo que sı, que la metodologiaha canviat en els darrers anys, si mes no, s’hanposat condicions perque canviı.

Margarida Espona DonesDepartament de Matematiques, UPC

En primer lloc, cal fer notar que alguns aspectesson prou generals per ser comuns a tots elsensenyaments universitaris de matematiques,pero es clar que en d’altres nomes conec larealitat del meu entorn proper, que ha estatla docencia de matematiques en l’enginyeria.Per exemple, la desaparicio de la massificacioa les aules que vam patir a finals dels vuitanta iprincipis dels noranta es general, i en el meu casva coincidir amb la meva incorporacio a un cen-tre pilot on vam implantar la quadrimestralitatde les assignatures i l’avaluacio continuada enun context de grups classe reduıts, abans quea la resta de centres. Un altre canvi general haestat la incorporacio de les TIC, tant com a fontde recursos, com a canal d’interaccio i eina detreball a l’aula.

En aquests darrers vint-i-cinc anys hemviscut diversos canvis de plans d’estudis, queens han fet replantejar els continguts de lesassignatures. Pero el gran canvi va tenir llocquan es va implantar l’Espai Europeu d’Educa-cio Superior (EEES), que va suposar la posadaen marxa de graus i masters i la desaparicio de

les antigues enginyeries tecniques. Com tothomsap, va ser un moment on vam sacsejar-ho tot,amb molts debats interns tant de contingutscom de metodologies. Crec que la pregunta queens plantegeu va per aquı: que n’ha quedat detot aquell canvi?

Pel que fa als continguts, a mes de l’obligadaretallada o reubicacio de temes que ens imposala limitacio del nombre de credits de cada as-signatura, penso que hem aconseguit coordinar-nos molt millor amb les altres materies nomatematiques dels plans d’estudis. La solucio

66 SCM/Notıcies 44

optima no sempre es possible perque tambeintentem donar coherencia tematica interna alscontinguts d’una mateixa assignatura i en laseva sequenciacio. D’altra banda, aquesta co-ordinacio tambe te mes consequencies a l’horade planificar l’enfocament de les assignatures.Tots sabem que un mateix tema es pot abordardes d’un punt de vista molt general, cosaque ens acostuma a agradar als matematics, obe particularitzant en els casos mes usuals (imenys abstractes) que son els que els seran utilsa les aplicacions de l’enginyeria. Una altra mi-llora ha estat la incorporacio de materies mul-tidisciplinaries impartides conjuntament ambaltres departaments, habitualment assignaturesoptatives.

Pel que fa a la metodologia, m’agrada-ria recordar unes classes que vaig rebre ala Facultat de Matematiques de la UB, quetenien el nom de «classes holandeses» perqueel professor (de teoria) era holandes. Consistiena proposar dos problemes i deixar que elsestudiants els pensessim a l’aula comentant-los amb els companys, mentre dos professors(de problemes) ens resolien els dubtes i ensdonaven pistes a la pissarra quan calia. Du-rant uns quants anys vaig pensar que eral’unica alternativa a la classe expositiva (hiha qui encara en diu «magistral») que existia.I asseguraria que molts companys meustambe. . . i les classes holandeses ni tan solssurten al Google! Amb aixo vull dir que elprofessor novell que s’incorpora a la docenciate una inercia important a reproduir el que harebut i si no te formacio i suport per portara terme metodologies actives a l’aula, es difıcilque ho faci.

D’altra banda, la implantacio de l’EEESva significar que els centres haguessin d’omplir

apartats dels documents de verificacio delsplans d’estudis on havien de justificar quinescompetencies transversals (treball en grup, au-toaprenentatge, entre altres) es treballaven icom s’avaluaven en cada assignatura. Es clarque aixo va ser un trasbals a l’hora de posarper escrit la metodologia de cada assignaturaquan no hi havia consens per escriure segonsque. Vam aprendre a disfressar de metodologiaactiva la que no ho era i a suavitzar la que eramassa activa per a alguns.

Tambe va significar un intercanvi d’expe-riencies amb altres universitats interessades aconeixer el pla pilot que vam portar a terme alnostre centre, en particular a les matematiques.I aixo va ser molt enriquidor i gratificant.

Que n’ha quedat? Em ve al cap la frased’un professor en una sessio de debat sobreles matematiques a l’EEES: «El teorema dePitagores sempre sera el teorema de Pitagores».Un dels ponents li va respondre que efectiva-ment, pero hi ha moltes maneres d’enfocar-lo. Una altra frase que era un classic es laque deia que «els estudiants son cada vegadapitjors». Diuen que Socrates ja deia cosessemblants quan parlava de la joventut. Pensoque tot aixo ja ens ho mirem d’una altramanera.

Potser el que dona mes sentit a tot plegates veure que la interaccio personal entre estu-diants i entre professor i estudiant segueixtenint mes valor que el vıdeo dels millorsprofessors del mon explicant el mateix temaa Youtube. I el que tinc clar es que ningucreu que sigui un matematic pitjor per culpad’aquelles classes holandeses, on «nomes» feiemdos problemes. I, en canvi, tots en tenim un bonrecord.

Marta Pena CarreraSotsdirectora de l’Institut de Ciencies de l’Educacio, UPC

Els canvis que s’han introduıt a l’ensenyamentuniversitari de les matematiques en els darrersvint-i-cinc anys han tingut molt a veure amb laintroduccio de les TIC. Aixo ha permes, d’unabanda, facilitar metodologies d’autoaprenentat-ge, gracies a la utilitzacio de MOOC, vıdeosde suport a la docencia. . . De l’altra, tambes’han incorporat, a nivell elemental, eines de

programari matematic, com Matlab, Octave,Maple, Mathematica, entre altres.

Els canvis esmentats s’han implementat enla metodologia, tant pel que fa a l’us de lesTIC, com per les noves metodologies docentsdesenvolupades, sorgides especialment arrandel pla de Bolonya.

SCM/Notıcies 44 67

Les tasques pendents en l’ensenyament uni-versitari de les matematiques haurien d’estarmes orientades als continguts, no tant a lametodologia.

En aquesta lınia, la contextualitzacio deles matematiques mitjancant aplicacions im-mediates en les disciplines de la titulacio ons’estan impartint es un punt clau. D’aquestamanera, els estudiants universitaris se sentiranidentificats amb la professio que han triat itrobaran que tot el que aprenen es util per alseu futur professional.

Ja en tenim alguns precedents, com el pro-fessor Claudi Alsina a la Universitat Politecnicade Catalunya en l’ambit d’arquitectura, perono se n’ha fet un seguiment en altres ambitstecnologics.

Aixı mateix, aquest fet permetria l’us deles eines de programari matematic ja empradesactualment, pero a un nivell mes avancat, querequeriria la introduccio de calcul numeric pera la resolucio de problemes contextualitzats imes propers als que l’alumnat es trobaria en elmon laboral.

En la lınia de la contextualitzacio de lesmatematiques, a la Universitat Politecnicade Catalunya s’esta organitzant des del curs2017-2018 un seminari, titulat «Seminari decontextualitzacio de les matematiques a les

carreres tecnologiques», amb la col·laboraciode l’Institut de Ciencies de l’Educacio, laFacultat de Matematiques i Estadıstica i elDepartament de Matematiques. L’objectiud’aquest seminari es il·lustrar l’us de lesmatematiques en diferents arees tecnologiques.Han estat ponents d’aquest seminari tantprofessorat de departaments matematics(com el professor Josep Ferrer (UniversitatPolitecnica de Catalunya) o Rafael Bru(Universitat Politecnica de Valencia), comtambe professorat de departaments tecnologics;aquest professorat ha posat l’emfasi en quinesson les matematiques que es fan servir a lesseves assignatures. Pel que fa a l’us de les TICi al calcul numeric, han intervingut en elseminari abans esmentat la professora M. RosaEstela (Universitat Politecnica de Catalunya)i el professor Antoni Susın (UniversitatPolitecnica de Catalunya), respectivament. Lainformacio actualitzada d’aquest projecte espot trobar al web https://fme.upc.edu/ca/la-facultat/activitats/2018-2019/seminari-contextualitzacio-de-les-matematiques-a-les-carreres-tecnologiques-de-la-upc-1/Programa%20Seminari%20Contextualitzacio%20Mates.

Finalment, una reflexio que convindria queens plantegessim tots plegats. En aquests dar-rers anys la docencia ha estat poc estimuladainstitucionalment, ja que s’ha posat mes emfasien la recerca. Ha arribat l’hora que la docenciaocupi el lloc que es mereix, i que tinguiuna valoracio mes elevada. Si s’inverteixen elsrecursos i els mitjans necessaris en la docencia,el professorat ens hi podrem dedicar de manerames entusiasta i motivadora, i aixo repercutiraen un alumnat mes satisfet i mes ben preparatper al seu futur professional. En definitiva, unasocietat millor.

Jordi SaludesDepartament de Matematiques, UPC

Parlare de l’ensenyament de les matematiquesen els estudis d’enginyeria, que es el cas queconec. En aquest camp —volgudament o no—l’objectiu principal es saber reconeixer i emprarla formula mes convenient per a cada problema.No vull dir que aixo sigui per intencio del

professorat, sino que els alumnes han adoptataquest metode perque els va be per aprovar.Plantegem problemes que son similars cada anyi aixo fomenta l’estrategia que, un cop hom sapresoldre un problema de cada tipus, l’exit estagarantit.

68 SCM/Notıcies 44

En general tota la docencia esta mes frag-mentada: hem passat de cursos anuals a qua-drimestrals (en algun cas, bimensuals) i el nom-bre d’avaluacions s’ha multiplicat. L’avaluaciocontinuada s’havia pensat com una avaluacioformativa (que permetia a l’alumnat saber sianava per bon camı), de manera que la provade final de curs era la que donava l’avaluaciodefinitiva. A la practica i probablement causade la proliferacio d’aquestes proves parcials, lesavaluacions formatives tenen poca assistenciasi no son recompensades amb punts. En moltscasos es la mateixa escola la que exigeix quehi hagi mes d’una prova sumatoria al llarg delcurs.

Pel que fa al contingut, els procedimentshan guanyat molt de pes a costa de les ex-plicacions: fem menys demostracions i, moltesvegades, nomes en donem la idea general itampoc ho exigim a les proves sumatories.

Aixo passa en un context en que el progresdel machine learning i el Big Data ha fet queels models formals hagin perdut valor i, enconsequencia, les explicacions. Tal com deiaN. Chomsky:

«There is a notion of success. . . which Ithink is novel in the history of science. It

interprets success as approximating unanalyzeddata»

Pel que fa a les tecnologies, no podem passarper alt la popularitzacio dels projectors, quehan fet oblidar les transparencies. Aixo hadonat mes dinamisme a la classe (val a dirque jo he vist autentiques filigranes fetes ambtransparencies), pero l’avantatge basic es quehom pot canviar facilment el contingut i fer-loa mans dels estudiants immediatament.

El sistema que em va be es tenir els enun-ciats dels teoremes i les definicions projectadesa partir del material que els estudiants ja tenen,mentre que a la pissarra explico la idea de laprova o en desenvolupo els exemples.

Una cosa que era impossible fa 25 anysi que ara permeten programes com Geogebrai els sistemes de calcul algebraic es mostrargraficament o en detall les propietats delsobjectes del discurs

El que em sorpren es com n’estan d’en-ganxats els alumnes a la calculadora: unaandromina de preu excessiu i que es pot substi-tuir en tots els casos per una aplicacio al telefonmobil. Possiblement no s’ha fet prou esforc abatxillerat a presentar l’ordinador com una einade calcul i com a introduccio a la programacio:una habilitat que sera tan essencial en el futurcom saber llegir o escriure.

En el futur espero veure, amb la intro-duccio dels robots conversacionals, l’apariciod’assistents personals que interactuaran ambl’alumnat i el guiaran durant la resolucio delsproblemes. Es aquı on hi veig l’oportunitatde recuperar el raonament; hom podra po-sar problemes que exigeixin justificacions iaquests assistents seran capacos de jutjar-les,de mostrar-ne les mancances i de suggerir viesper resoldre els entrebancs.

SCM/Notıcies 44 69

Empresa

Interdisciplinarietat en les matematiquesAleix Ruiz de VillaData scientist

Les matematiques son una de les ciencies mesantigues, sino la que ho es mes. Son el llen-guatge comu de totes les altres ciencies. Aixodona una gran versatilitat als matematics perpoder apropar-s’hi i que el camı per aprendre-les sigui mes curt. Una visio estesa de lesmatematiques amb la qual alguns de nosaltresens hi identifiquem, es la recollida pel classiccomic xkcd.

Font: https://xkcd.com/435/

Malgrat tenir una llarga historia i serpresent en totes les altres ciencies, lescol·laboracions amb altres arees de coneixe-ment, i en particular en el mon empresa-rial, son mes aviat reduıdes. Aixı que enspodrıem preguntar, ens interessaria tenir mescol·laboracions? Perque no les tenim? Quinesson les limitacions propies de les matematiquesi quines son propies de l’entorn social on vivim?

Son les matematiques autosuficients?Les matematiques son autosuficients, pero elsmatematics no. Una gran part de les ma-tematiques poden desenvolupar-se sense ne-cessitat d’altres arees de coneixement. Tenircontacte amb altres disciplines pot estar be permotivar problemes interessants, pero en gene-ral no es un requeriment. Les matematiquestampoc requereixen el nivell d’experimentaciod’altres ciencies, i, per tant, tampoc necessitenla mateixa magnitud de recursos materials.

Tot i aixo, els matematics tenim un con-text social i unes necessitats concretes. Per

comencar, necessitem un sou: algu que ensfinanci la nostra activitat matematica. I aixopassa per convencer la societat que el que femels es util. Pero amb el sou tampoc n’hi haprou. Necessitem poder disposar d’oportunitatsde creixer o poder desenvolupar-nos en areesnoves.

Als matematics ens agrada molt la llibertattecnica: poder escollir en quins temes treballemi en quin moment. Aixo no es cap caprici. Elterreny de les matematiques es complex i incert.Es molt difıcil saber quan s’obtindran resultatsi quins seran. Per aixo la llibertat de gestionarla feina es un element totalment necessari. Peroamb la llibertat no n’hi ha prou. L’exempleparadigmatic es una persona que esta al migdel desert. Te absoluta llibertat per prendredecisions, pero una capacitat molt reduıda perpoder canviar la seva situacio. Maximitzar lallibertat de decisions no implica maximitzar lacapacitat de canviar la situacio d’un mateix.

Ates que els matematics tenim un contextsocial, facilment ens pot interessar poder can-viar la nostra posicio en aquest context. Tenirmes reconeixement social implica tenir mesrecursos, que s’inverteixen a desenvolupar mesmatematiques. Alhora, aquestes matematiqueshaurien de tenir mes repercussio social i, pertant, mes reconeixement. Aixı es crea unaroda, on incrementar la col·laboracio amb lasocietat beneficia les matematiques i aquestesbeneficien la societat. I aquı arribem al punton els matematics necessitem de les altresdisciplines, mes enlla de l’interes de motivarnous problemes. Necessitem involucrar-nos enprojectes que tinguin algun impacte, utilitat oinfluencia social. Evidentment, es probable quesempre hi hagi una part de les matematiquesque no es relaciona amb altres camps. Enaquest sentit, potenciar aquelles parts de lesmatematiques que estiguin mes en contacteamb les aplicacions pot donar mes prestigisocial i indirectament potenciar les arees menysaplicades i socialment desconegudes.

70 SCM/Notıcies 44

Diferents arees de coneixement, diferentspunts de vista

La visio que mostra el comic xkcd, tot i sercerta, no es util a l’hora d’establir relacions ambaltres disciplines. En el mon aplicat, la puresaes un valor desitjable, pero no es un valor priori-tari, mes enlla d’aportar simplicitat i claredat.Les discussions en el mon empresarial no sonal voltant de veritats o falsedats, sino sobreutilitats, necessitats i prioritats (normalmentper limitacio de recursos). En aquest sentit,podem recuperar la frase del estadıstic G. Box«All models are wrong, but some are useful».

De la mateixa manera que un atles recobreixla Terra amb un conjunt de mapes, sense quecap dels quals pugui descriure correctament latotalitat, podem pensar que cada una de lesarees de coneixement huma descriu una partde la realitat humana. Per a crear un mapanecessitem un origen de coordenades on potdescriure’s el mapa amb exactitud. I com mesens allunyem de l’origen, mes precisio perdemi comencem a solapar-nos amb altres arees.Amb aquesta analogia, podrıem pensar quecada area de coneixement te uns punts dereferencia a traves dels quals es parametritza laseva realitat. Aquests punts de referencia serienaquelles coses en les que un es fixa primer.Aquells elements que es prioritzen sobre elsaltres. Aquestes prioritats no son un caprici.Son el resultat d’haver treballat amb unafaceta de la realitat durant molt de temps, ipensar en termes d’aquesta referencia simplificael treball. Per exemple, podrıem pensar enles diferencies entre psicolegs i sociolegs. Elsprimers prenen com a referencia l’individu,mentre que els segons prenen com a referenciael grup. Aixı, un mateix conflicte, uns el podeninterpretar com a resultat dels comportamentsindividuals, mentre que els altres el podeninterpretar com a resultat de les dinamiquesdel grup.

Amb aquest punt de vista, ens podrıempreguntar, en cada area de coneixement, quinsson els seus punts de referencia? Quines sonles seves prioritats? L’objectiu no es donar unadescripcio de la realitat. Mes aviat es millorarla comunicacio i entesa amb altres disciplines.Podem parlar de generalitzacions, sempre queens sigui util per entendre millor les decisionsque prenen els altres grups.

Per exemple, podrıem parlar d’una certadualitat entre enginyers i cientıfics. Els engi-nyers, per tractar un problema, primer fixenel temps que hi poden dedicar (o els recursos)i intenten maximitzar la qualitat del resultat.Els cientıfics ho fan al reves. Primer fixenla resposta que volen obtenir i despres volenminimitzar el temps que hi volen dedicar.

Els matematics tenim alguns punts en comuamb els informatics. Tots dos treballem ambpensament sequencial: si un punt no es cor-recte, tot el que ve despres no funcionara.Aixo contrasta amb el proces per treballaramb aproximacions, amb les quals els fısicsi enginyers tenen forca mes experiencia, onun fet pot ser aproximadament cert i aixo jaes suficient per continuar treballant. Un altrepunt en comu amb els informatics es l’objectiude desenvolupar eines. Els teoremes tenen unaforta similitud amb els moduls de programacio:s’agrupa la gestio d’una serie de casos sota unmateix paraigua i s’empaqueta perque altrespersones ho puguin fer servir.

Els carrecs executius en empreses(tıpicament amb formacio d’administraciod’empreses, economia o enginyeria) solen tenirunes prioritats compartides. Part de la sevafeina es la gestio de recursos (obtencio idistribucio) i un punt de vista orientat al’explotacio: repetir una tasca coneguda ambl’objectiu d’obtenir-ne beneficis. Aixo fa quea vegades prioritzin els resultats per sobredel camı escollit per obtenir-los. En canvi, lanaturalesa de les matematiques es l’exploracio,on el camı en si mateix te rellevancia, devegades fins i tot per sobre del resultat. Aixoes a causa de la necessitat de la gestio de lacomplexitat i incertesa en les matematiques. Sinomes fos important el resultat, en molts casosel proces de recerca seria feixuc i insostenibleal llarg termini.

La relacio amb la recerca i l’exploracio faque, a mes de la tasca de desenvolupar eines,en les matematiques tingui importancia la tascade buscar noves maneres de pensar. Es a dir,trobar nous punts de referencia en les novesarees de manera que es pugui desenvolupar laintuıcio. La capacitat analıtica per desgranar iaprofundir en els problemes hi te un paper vital.Entendre pot ser util per optimitzar processos,pero es totalment necessari per canviar lamanera de pensar. En aquest sentit, si una

SCM/Notıcies 44 71

empresa no te interes a explorar noves vies,sino que estigui centrada en l’explotacio detecniques ja conegudes, es probable que elpensament i les capacitats matematiques no liaportin gaire valor.

Rols dins de l’empresa

Es interessant veure com els enginyers i elsinformatics han aconseguit al llarg dels anysposicionar-se a les empreses. Un altre bonexemple que s’ha de tenir en compte son elsestadıstics que han aconseguit tenir un paperinfluent en el mon biomedic. Per posicionar-seque com a comunitat, hi ha unes posicions i ca-mins professionals mes o menys estandarditzatsi entesos per la resta de l’empresa. Per exemple,es habitual trobar un CTO (chief technologyofficer) responsable de la part informatica deles empreses. Com mes jerarquica sigui una em-presa, mes necessari es que aquestes posicionstinguin sensibilitat matematica (o idealmentque hi hagi una posicio del mateix nivell entemes de recerca, exploracio. . . ), ja que lesdecisions passen nomes per aquestes posicions.

Una de les parts mes difıcils de gestionarper part dels matematics en equips interdisci-plinaris es la gestio d’expectatives. Per treballaren equips interdisciplinaris es un requerimenttenir interes per les altres arees de coneixement.Tambe es necessari tenir sensibilitat envers elstemps de desenvolupament i la necessitat queels resultats siguin utils per a l’equip. En aquestcontext, es habitual trobar gent que consideraque un matematic es massa teoric i no aportavalor. Tot i que els matematics hagim de fer

un proces per apropar-nos a les aplicacions,aquest tipus d’argumentacions solen ser perinteressos polıtics en rols propers a la brancad’explotacio de les empreses, que no necessiteninnovar. Cal explicar a les empreses quins sonels temps de desenvolupament habituals enprojectes relacionats amb les matematiques iaclarir quins son els beneficis que en podenesperar, tıpicament diferents dels que aportenaltres arees dels grups de treball.

Les matematiques van tenint relacio ambarees tradicionalment oposades. Els periodistesen son un exemple. A diferencia dels cientıfics,que ens centrem i aprofundim en un tema, elsperiodistes han de tractar amb una gran diver-sitat de temes amb un temps reduıt. Malgrataixo, la disciplina de periodista de dades, enla qual s’ha de programar, tractar i interpretardades, esta creixent. Un altre exemple seriael marqueting. Historicament, aquests departa-ments han estat en contacte amb l’estadıstica atraves dels estudis de mercat. Actualment, en elmon del marqueting digital, cada vegada hi haeines mes sofisticades que depenen de tecniquesmatematiques. El disseny i el desenvolupamentd’aquestes eines son un bon exemple d’inter-disciplinarietat entre matematics, informaticsi equips de marqueting. D’una banda, es re-quereixen els algoritmes d’optimitzacio. Perono son suficients. De l’altra, la interaccio entreequips es vital per desenvolupar una plata-forma informatica que sigui intuıtiva i facilde fer servir per als usuaris finals (personalde marqueting). El resultat conjunt determinal’adopcio i la difusio que tindra en el mercat i,per tant, el seu exit social.

Entrevista a Jimena Llopis, directora de The Alpha GroupSara RieraLlicenciada en Matematiques i Enginyeria IndustrialManager d’Estrategia Corporativa a Seat

Jimena Llopis es la directora The Alpha Group,un grup empresarial global que proporcionaassessorament de gran nivell als fundadors idirectors de pimes per aconseguir els seus reptesi fer creixer les seves empreses. El seu objec-tiu principal es potenciar el desenvolupamentdels alts directius mitjancant la intel·ligencia

col·lectiva creada en consells executius externs.A mes, la Jimena es lider coach a Musarion,on col·labora i lidera programes centrats enel canvi de cultura, el coaching executiu, eldesenvolupament d’habilitats de comunicacio ilideratge, la cohesio de grups, el tractament dela immunitat al canvi o la fidelitzacio del talent.

72 SCM/Notıcies 44

Primer de tot, parla’ns una mica de tu,Jimena.

Des de ben petita volia ser matematic. Be, ma-tematic i music. Vaig estudiar Matematiques,vaig comencar la doble titulacio amb In-formatica, pero em vaig adonar que el quem’agradava mes era la matematica. Vaig tre-ballar en el mon academic durant vint anys, aVenecuela, als Estats Units i aquı a Barcelona,a CRM i a la Pompeu Fabra. Vaig fer elmeu doctorat a Venecuela i la meva etapapostdoctoral en el MIT (EUA) com a visitingscholar. Les meves lınies de recerca principalvan incloure la logica, la teoria de conjunts,la combinatoria i la intel·ligencia artificial.La meva tesi va estudiar la logica matematica.Tambe vaig treballar en la connexio de lalogica amb la intel·ligencia artificial i enla programacio logica.

Una carrera molt teorica. . .

Sı, realment m’encantava i vaig venir aquıa Barcelona amb una beca de l’Agencia deCooperacio Internacional per treballar amb elsgrups de logica matematica. Barcelona em vaencantar, i hi vaig tornar. Vaig decidir pren-dre’m un any sabatic i, despres, vaig treballaren una empresa familiar d’alta innovacio: emvaig encarregar d’obrir la unitat d’interneti telecomunicacions i, tambe, vam crear unaspin-off en la qual generavem productes moltinnovadors a partir de l’analisi matematica dela musica.

Com va ser la transicio de la recerca allideratge empresarial?

Jo diria que tinc com tres vides professionals:l’academica, es a dir, el mon de les idees i de

la recerca; en segon lloc, com aplicar aquestesidees, mes vinculada al mon empresarial i ala innovacio, que es la part que connecta ambl’etapa en l’empresa familiar; i despres em vaigadonar que, en realitat, el mes important pera mi era poder connectar aquestes idees ambles persones, i ajudar a potenciar els talents decadascu. Per adaptar-nos a aquesta nova era derevolucio digital hem de centrar-nos en les per-sones «human-centric», necessitem ser capacosd’«autotransformar-nos» per aconseguir el noulideratge per a aquesta epoca. No estem en unaepoca de canvis sino en un «canvi d’epoca». Enla transicio de la recerca a l’empresa vaig haverd’aplicar la innovacio a la vida practica i emvaig adonar d’un fet molt important: has desaber pactar amb la imperfeccio, perque hande sortir els productes encara que no siguinperfectes. De les moltes idees d’innovacio que esgeneraven, nomes se’n provaven una o dues. . .I va ser d’una de les idees que va sortir la spin-off d’analisi matematica de la musica. Va sermolt interessant, vaig poder unir les meves duespassions, i vam aconseguir descobrir patronsde gust, cosa que va ajudar molt els artistesa ser mes arriscats en les seves composicionsmusicals. Vam comencar amb B2C, dirigidaals artistes i per la qual vam obtenir diversespatents i premis d’innovacio, tant als EUAcom a Espanya. Despres ho vam vendre a unaempresa anglesa. Fins i tot es va generar un casd’estudi a Harvard sobre nosaltres i que, avuidia, encara s’ensenya a l’IESE.

Es curios que d’alguna cosa tan artısticacom la musica es pugui inferir tota laciencia que hi ha al darrere.Es ciencia pura. Analitzavem com fer la descon-volucio espectral de l’ona musical i, sobretot,filtrar quins parametres eren mes importantsper despres utilitzar metodes per fer-ne una«clusteritzacio» topologica adequada. Va sermolt bonic poder veure que el que va desen-volupar l’equip d’innovacio es podia aplicar deforma tangible.

I despres de vendre l’empresa, quin va serel projecte seguent?A mi sempre m’ha encantat gestionar equipsi fer sortir els talents de les persones. Ho feiaa escala empresarial i, per curiositat, em vaig

SCM/Notıcies 44 73

inscriure a una certificacio com a coach execu-tiu. Va ser molt interessant perque l’enfocamentestava basat en el «coaching ontologic», quees un tema que en realitat esta molt lligata la logica matematica. Sabia que, despresde vendre l’empresa, volia fer algun projectevinculat a les persones, encara que no teniaclar que. Per aixo, em volia agafar un tempsper pensar-ho. I just quan estavem venentl’empresa es va presentar una oportunitat: unapersona molt lligada a l’empresa em va oferirparticipar en un projecte precios en la sevaempresa de coaching, que es dedica a inspirarlıders. A mi em feia una mica de respecte, ja queencara no havıem tancat la venda de l’empresai, a mes, mai havia treballat com a coach, peroem va convencer que, en realitat, jo ja ho feiade forma natural amb els meus propis equips.D’aquesta manera, des del 2012 vaig decidirprofessionalitzar el que de forma intuıtiva iespontania ja estava fent, ajudar les personesi equips a potenciar els seus talents i el seulideratge. He apres molt amb aquesta persona isegueixo aprenent, ja que es molt inspiradora.I la veritat es que m’encanta. Treballo perajudar a la transformacio del lideratge, a donarsuport a equips d’alt rendiment. . . Sobretot emdedico a aquest canvi de mindset, que tantafalta fa en el mon actual!

Quins creus que son els grans reptespels quals ens hem de transformar com asocietat, i com els matematics hi podemcontribuir de forma diferencial?

L’autotransformacio necessita un canvi en elnostre nivell de complexitat mental. Te dosaspectes importants: cal treballar amb la in-certesa (els lıders i les persones en general noestem gaire acostumats a conviure amb ella)i requereix una connexio de tots els aspectesde l’esser huma: part racional, emocional iintuıtiva; la intel·ligencia racional, emocional,i social, aixı com la intel·ligencia col·lectiva, itambe posar en questio els nostres valors perpoder canviar les nostres creences limitadores.Les persones estem poc acostumades a integrartots aquests elements. La ment matematicate una visio global, connecta molts punts devista diferents, esta en contınua cerca de nousreptes. Un investigador matematic esta plante-jant contınuament noves preguntes i incerteses

mes que trobant solucions als problemes. Elsmatematics estem acostumats a les paradoxes,aixı com a entendre que des d’un univers pothaver-hi diverses extensions en les quals en unespots demostrar el contrari que en unes altres.Podrıem dir que l’investigador matematic (apartir del teorema de Godel) enten que desd’un univers donat hi ha coses que no es podendecidir dins del mateix univers, i que tan solses poden veure les aproximacions d’elementsque «viuen» en una extensio d’aquest univers.De la mateixa manera, en la nostra realitatactual estem en una revolucio on podem veureaproximacions del que ve, pero fins que notransitem pel camı no sabrem a quina extensiode l’univers estem arribant. En aquest sentit,penso que la ment matematica esta molt pre-parada, justament, per a aquests nous temps.

Aquesta millor preparacio es tradueixen una millor acceptacio en el mercatlaboral, es a dir, mes ocupacio? O be esvisualitza en el rendiment, una vegada elllicenciat s’incorpora al mon laboral?

D’una banda, comenca a haver-hi molta ne-cessitat dels anomenats «treballadors del co-neixement», es a dir, es necessiten treballadorsamb una gran capacitat d’aprenentatge i adap-tacio. Aquesta capacitat d’obtenir coneixementrellevant i aplicable de dades (inclosos big datai intel·ligencia artificial) tambe es un aspecteimportant del potencial matematic, i no nomesper crear productes, sino tambe com a einesd’ajuda al proces de la presa de decisions engestio. D’altra banda, la capacitat d’adaptar-se a nous reptes, tan valorada actualment, esprecisament el que caracteritza la vida delsmatematics i dels cientıfics en general. Pero joencara aniria una mica mes enlla. El matematiccomenca a ser molt buscat perque veu les cosesd’una forma original, diferent. Fins i tot, enels consells d’administracio, aporten una visiodiferent. Hi ha molts CEO famosos que d’al-guna manera tenen una formacio matematica,encara que despres hagin fet MBA o altresformacions en negocis o no. Un exemple n’esel cofundador de Google, Sergey Brin, que, percert, i com a curiositat que no fa gaire vaigsaber, el mateix nom de Google porta aquestacomponent matematica mes personal: el seuorigen es googol (10100). Pero mes enlla de

74 SCM/Notıcies 44

l’anecdota del nom, hi ha molts mes matematicscom ell. Per exemple, Jeffrey Inmelt, CEO aGeneral Electric, matematic amb MBA a Har-vard, que diu que «usa la seva part matematicadiariament, mentre que la part del MBA notan diariament». I la llista podria ser molt mesllarga, fins i tot, sense creuar l’ocea, tenim, perexemple, Rosa Garcıa que fins aquest any va serCEO de Siemens Espanya i que sempre comentaque «la societat sencera s’ha de reinventar».Francament, no crec que sigui pura casualitat:es una combinacio de tot. Es cert que aquestagent te, a mes, altres fortaleses pero penso queaquesta visio global del matematic tambe hainfluenciat per aconseguir el lloc on son.

Creus que aquesta tendencia de tenirdiversos exemples de maxims directiusamb formacio matematica es a causa del’entorn mes canviant que vivim, o creusque abans ja es donava i no n’erem tanconscients?Amb aquesta revolucio 4.0 crec que, engeneral, ha crescut aquesta tendencia. Hiha estudis (https://cincodias.elpais.com/cincodias/2018/07/09/companias/1531135542_579443.html) que indiquen quea Anglaterra i a Franca, per exemple, un 9%del total de les ocupacions en empreses usenhabilitats matematiques, i generen un 16% delPIB a Anglaterra i un 15% del PIB a Franca.Aixo abans no passava, i es molt rellevant.Justament ara, com que els canvis van moltrapid i, com deiem, hi ha molta incertesa, esquan mes es necessiten perspectives diferents ioriginals. A mes, els alts directius s’adonen quehan de potenciar cada vegada mes el lideratgecol·laboratiu, es a dir, que sols no poden acausa, precisament, de l’entorn tan canviant.

Tampoc ha de ser facil trobar solucionsamb tanta complexitat, incertesa i velo-citat de canvi.Tens tota la rao. Els anomenats «ambientsVUCA» (volatils, incerts, complexos i ambigus)son tot un repte, pero la ment matematicase’n surt molt be en la incertesa i, d’altrabanda, esta acostumada a resoldre problemescomplexos, a entendre la complexitat de cosesque ni tan sols s’han vist, a obrir camins queencara no s’han explorat. En aquests ambients

tenim molts dels elements que poden ajudarque l’esser huma no se senti tan incomode enla velocitat, en la incertesa, en la complexitat.

I no corre el risc de fer-ho des d’un puntde vista massa abstracte, poc practic?

El matematic es capac d’abstreure’s i veuremoltes relacions entre aspectes que podriasemblar que no estan relacionats, acostant-se asolucions pragmatiques. Moltes vegades s’estandient les mateixes coses pero des de punts devista diferents. Per tant, el que cal avui dia esconnectar els diferents llenguatges.

Aquest aspecte es unic i singular delmatematic?

Es forca singular en el sentit de l’abstraccio ide la capacitat de bregar amb la complexitati amb la incertesa, pero no es unic delsmatematics o dels cientıfics, i justament elque la societat necessita son perspectivesben diferents. Per exemple, els llenguatgesdels dissenyadors o dels artistes, en general,proporcionen tambe perspectives diferents;amb la qual cosa, abstraient-nos, com amatematics, podem dir que la capacitatd’aportar no es unica dels matematics, perdescomptat, sino diferent. Hi ha un estudirelativament recent, encara que no es concloenti esta ressenyat a Scientific American (https://www.scientificamerican.com/espanol/noticias/en-que-se-diferencia-el-cerebro-de-un-matematico-del-de-un-simple-mortal/), que revela que el cervellmatematic no utilitza tant la part del cervellassociada al processament del llenguatge, sinoque «un alt nivell de reflexio matematicarecicla regions del cervell associades amb unconeixement evolutivament antic de nombresi espai». I el que es molt interessant, tambe,parlant dels artistes, es que quan un matematicveu la bellesa en una demostracio matematicas’activen en el cervell els mateixos impulsosque s’activen quan es gaudeix d’una pinturameravellosa o quan s’escolta una musicaexcepcional.

Curios. . .

No es gens concloent, pero sı que es interessantque la part en la qual un matematic veu la

SCM/Notıcies 44 75

bellesa i l’elegancia en una demostracio estaconnectada amb l’estetica artıstica; i, d’altrabanda, la reflexio matematica abstracta usazones del cervell que aparentment no son lesque es pensava originalment.

Heus aquı un aspecte de la connexioentre les matematiques i la musica, unavegada mes. . .

De fet, la musica, sobretot la classica, tambe temolta estructura matematica.

Ja ho diuen que alguns matematics ialguns musics son genis (. . . i bojos!).

(riu) Es cert. Jo n’he conegut molts quefreguen la genialitat o la bogeria i, sı, hi veigalguna semblanca. No es una generalitzaciopero sı que hi ha gent, sobretot entre els quidediquen la seva vida per complet a l’art o ala matematica, que desenvolupa la capacitatde tenir idees genials; encara que tambe totsdiuen, com deia Picasso, que el 80% es la feina.Es com una intuıcio o inspiracio que no vesola, que hi es present. Penso que una partdel que anomenem «intuıcio» prove d’aquestacapacitat de connexio: tens molts elementsen l’inconscient i el cervell els connecta. Jopersonalment m’atreviria a dir que una partimportant de la meva tesi de doctorat la vaigfer dormint! I em despertava i ho escrivia perno oblidar-ho. De manera que diria que sı, quetens la inspiracio artıstica o matematica, peroesta barrejada amb com ho vas relacionant tot.

Malgrat que la frustracio tambe es mesgran quan la idea o la genialitat noaconsegueix sortir, tot i que s’intentiinsistentment.

Aixo es molt rellevant. El matematic es molt«resilient», quan alguna cosa no li surt, segueix,prova, explora algun altre camı, apren i obrenous camins. Aquesta resiliencia es molt ne-cessaria en aquesta nova era.

Ens perdem en els detalls de vegades?

Be, crec que es un complement: el matematicte la visio global pero, a la vegada, es moltdetallista i va al detall, i d’aquesta manera tensels dos aspectes. «The devil is in the details»,

deia un d’aquests genis matematics que vaigtenir l’oportunitat de coneixer.

Creus que el CEO de Google, de vegades,es pot permetre que li surti la seva partmatematica i es perdi en els detalls perestar segur d’una decisio?

Possiblement aconsegueix combinar tots dosaspectes, el detall i la visio global, amb el balancadequat, depenent de com de crıtic sigui el temai del temps disponible. Es veritat que en el monacademic es requereix molta mes ciencia pura isolidesa mentre que en el mon empresarial, comhem comentat, cal pactar amb la imperfeccio.Per aixo es molt necessari tenir un alt graud’intel·ligencia emocional.

Quina gran area de creixement la in-tel·ligencia emocional!

Penso que no tan sols els matematics, sinoque totes les persones en general estem pocacostumades a desenvolupar la intel·ligenciaemocional. S’ha de treballar la intel·ligenciaemocional, cal ser capacos de tenir un autoco-neixement, de connectar amb tu mateix i ambl’altre des del cor, tenir capacitat d’autolide-ratge i poder canviar el mindset cap la tevapropia autotransformacio. Pero el mindset noes canvia de manera racional, ni de maneraabstracta. El mindset va lligat a descobrirles nostres creences que ens fixen lımits ies combina amb aconseguir petits passos queens fan avancar en comportaments i emocionsdiferents del que hem viscut (que ens han portatal mindset actual) i experimentat. Sobretotexperimentant, corregint i experimentant denou. Fins que la nova creenca ja forma partde tu.

Com es fa aixo dels «petits passos» quecomentes?

Hi ha moltes maneres de fer-ho i una einaque considero molt util es llegir el llibre deKegan Immunitat al canvi, en que comparteixels nivells de complexitat del canvi fins a arribaral nivell mes alt, el 5 en la seva classificacio, quees ser capac d’autotransformar-se.

76 SCM/Notıcies 44

Una lectura molt recomanable per aldesenvolupament personal pero tambeprofessional.Fins ara no es donava tanta importancia aaquest canvi de mindset, que barreja emo-cio, comportaments, racionalitat i complexitat,pero, cada vegada mes, la societat i les em-preses busquen aquesta capacitat i habilitaten els seus lıders. I es logic, perque no sabemcom evolucionara el mon. Com hem comentatabans, nomes veiem aproximacions. Per tant,es l’unica manera que tenim per adaptar-noscontınuament.

Quin consell donaries a un matematic quevulgui entrar al mon empresarial? Compodria treballar aquest autoconeixement iautotransformacio mes enlla de la lecturade Kegan?Hi ha tallers molt potents per aconseguir aixo ique oferim a Musarion. Pero sobretot es tracta

d’aconseguir ser conscient de les barreres queprovenen d’algunes de les nostres experiencieso creences i que ens limiten. El primer pas esconscienciar-nos que les tenim, i sobre aquestabase hi treballem i traslladem els canvis decomportament al dia a dia, tant de les personescom a individus, com en l’ambit d’equips i a lesempreses.

Es important que ens deixis les tevesdades de contacte, segur que les necessi-tarem!

Per a qualsevol cosa que necessiteu, podeucontactar-me per LinkedIn, o directament allopisj@gmail.com. Sera un plaer.

Moltes gracies de nou, Jimena, per com-partir el teu temps, la teva experiencia iels teus coneixements amb tots nosaltres.

Gracies a vosaltres!

BitsEl laboratori a classeMartı Prats SolerUAB

Aquest darrer estiu ha tornat a aflorar el debatsobre l’us de tecnologia a l’aula. I es que elpassat juny el Parlament frances va aprovar laprohibicio de l’us de telefons mobils en escolesi instituts, de manera que des del setembre elsalumnes menors de quinze anys no poden usaraquesta tecnologia a classe.

A principis de curs la ministra Celaa esva mostrar disposada a estudiar la iniciativacom a eina per lluitar contra l’addiccio a lesnoves tecnologies tambe a Espanya. El consellerBargallo es va posicionar contra la prohibiciode mobils a l’aula i va recordar que son elscentres educatius els que han de decidir quinpaper tenen les tecnologies en les activitats ques’hi desenvolupen.

En aquesta seccio no entrarem a valorarles consideracions pedagogiques, polıtiques ide salut, pero sembla adequat que dediquem

alguns numeros d’aquesta a descriure alguneseines que poden ser utils per al professoratde matematiques per saber a que renunciemen cas de prohibicio. Vull agrair especialmentla col.laboracio de David Pinyol de l’InstitutObert de Catalunya i de Raul Fernandez del’Institut Vidreres per les seves aportacions, ianimar tots els lectors de la revista a fer-nosarribar els seus suggeriments a mprats@mat.uab.cat.

Phyphox

Els rellotges de polsera s’han anat fent fone-dissos els darrers anys. Ja fa dies que algunsde nosaltres, per esbrinar l’hora quan l’aulano te un rellotge de paret (que haurien de serobligatoris per decret), fiquem furtivament lama a la butxaca, traiem l’aparell i el deixem

SCM/Notıcies 44 77

sobre la taula amb la pantalla mirant amunt,pitgem el botonet per veure l’hora i el girem totseguit per si de cas ens comenca a alertar quetenim hora al dentista o que hem d’actualitzarl’antivirus.

Els telefons actuals tenen una serie desensors que ens permeten fer molt mes quecontrolar el temps. Solen estar equipats ambaccelerometre, giroscopi, sensor de llum, GPS,magnetometre i barometre, aixı com una o duescameres i un microfon per obtenir tota mena dedades que permeten que el telefon es guanyiel (discutible) qualificatiu d’intel.ligent. Ambtota aquesta informacio no podem tenir unlaboratori portatil?

Aquesta es la idea d’un grup d’investiga-dors en fısica experimental de la Universitatd’Aachen, Alemanya, que van desenvoluparl’aplicacio Phyphox1 (PHYsical PHOne eX-periments) per tenir una aplicacio des d’oncontrolar tots aquests sensors. El resultat esuna aplicacio molt facil de fer servir, amb unaorientacio didactica ben marcada.

La pantalla principal ens mostra una llistad’utilitats possibles, comencant per la lecturade les dades «crues» dels sensors, continuantper una llista d’experiments predissenyats agru-pats en acustica, mecanica,. . . on es combinenles diferents dades del telefon, i acabant peruna serie de temporitzadors activats a travesde diferents sensors i altres eines. La majoriadels experiments estan acompanyats d’un vıdeoexplicatiu.

Per posar un exemple, l’experiment «ac-celeracio centrıpeta» ens mostra dos grafics,un conte la relacio entre velocitat angular iacceleracio, i l’altre la relacio entre el qua-drat de la velocitat angular i l’acceleracio.La proposta es col.locar el nostre aparell dinsuna centrifugadora d’enciam, de manera quequedi ben immobil. Quan fem girar la manetal’aparell registrara dades de l’accelerometre i elgiroscopi i anira posant punts als grafics. Comque la relacio entre les magnituds estudiades,un cop fixat el radi de rotacio, es quadratica, enun cas els punts s’aniran distribuint ben a propd’una parabola, i en l’altre cas al llarg d’unarecta. Les dades es poden exportar despres aun full de calcul molt facilment (en CSV).

I, es clar, pensareu que si el mobil es dinsd’una centrifugadora no podem llegir res finsque no surti de dins i amb el tragı comencaraa apareixer soroll al grafic. Pero hi ha dueseines genials. Primer, es pot temporitzar lalectura. I encara millor, amb un parell de clicspodem connectar un ordinador (o qualsevolaparell que tingui explorador d’internet) almobil per engegar, apagar i visualitzar les dadesal moment. No es fabulos? L’unica condicio perfer la connexio es que els dos aparells estiguina la mateixa xarxa.

Tanmateix, la cosa encara es posa mesinteressant en crear experiments nous. L’editorque incorpora l’aplicacio no permet fer gaireres mes que llegir les dades. No obstant aixocada experiment esta vinculat amb un arxiuXML que qui entengui el llenguatge no tardaraa poder modificar per fer petites variacions delsoriginals. A mes al web de Phyphox podemtrobar un editor en lınia que permet dissenyarexperiments des de zero i fer autentiques mera-velles.

VidAnalysis

El Phyphox, de moment, no interactua amb lacamera del mobil. En canvi, hi ha una aplicacio

1https://phyphox.org

78 SCM/Notıcies 44

molt senzilla que ens permet fer estudis decinematica basica amb el telefon. Amb VidA-nalysis2 podem determinar la trajectoria d’unobjecte en una gravacio feta amb la camera.Immediatament, podem veure una serie degrafics que relacionen les dades obtingudes(temps, abscissa, ordenada i variacions d’amb-dues coordenades). Aquestes es poden exportara un full de calcul mitjancant un fitxer CSV.

Aquesta aplicacio te com a inconvenient quecal seleccionar el punt a seguir fotograma afotograma, tasca que es poc precisa quan usemuna pantalla de mobil, a banda de ser una micafeixuga, pero el resultat val la pena.

CulturaLa combinatoria en l’art del segle xxLali BarriereUniversitat Politecnica de Catalunya

Com es poden utilitzar les estructures combi-natories en una obra d’art? Hi ha artistes quetreballen o pensen de manera combinatoria?Si es aixı, quines son les obres fruit d’aquestamanera de treballar? Quines son les similitudsi diferencies entre obres d’art produıdes utilit-zant combinatoria?

Potser pel fet que la combinatoria es unaarea de les matematiques de caracter molttransversal, trobem que es present en l’artdes de l’antiguitat. Tanmateix, el pensamentcombinatori no s’hi troba expressat i explicitatfins molt mes endavant. De fet, la combinatoriano es va establir propiament com a branca deles matematiques fins ben tard, en el marcdels canvis que es van donar en la cienciaa principis del segle passat, i en paral·lelamb els desenvolupaments tecnologics que vandesembocar, entre d’altres, en l’aparicio delsordinadors. Aquests canvis no es produıen demanera aıllada. Tambe els artistes buscavennoves formes d’expressio i en molts casos esbasaven en idees matematiques per proposarnous camins creatius.

I es en aquest moment, amb l’abstraccio i lesavantguardes, primer, i amb l’art conceptual,mes tard, que els artistes van comencar aservir-se de la combinatoria com a eina i perconceptualitzar el seu treball.

Donem aquı una resposta, que nomes potser parcial, a les preguntes de l’inici, fent un re-corregut per les obres d’alguns artistes. Artistesque adopten un enfocament combinatori en laseva obra, i obres en les quals les estructurescombinatories son part del proces creatiu en simateix, mes que no pas una simple eina perarribar a un determinat resultat artıstic. Enaquestes obres, tant si la intencio de l’artistaes fer visible l’estructura combinatoria com sino, aquesta es, de manera expressa i consci-ent, feta part de l’obra, no nomes un mitjacap a un fi.

Musica

La musica ha estat relacionada amb les ma-tematiques des dels seus orıgens. En tots elsmodels matematics que han inspirat o fona-mentat teories musicals, la combinatoria hi

2https://vidanalysis.com/

SCM/Notıcies 44 79

ha tingut un paper perque gairebe tots elssistemes musicals son discrets. Des dels sistemesmusicals de l’edat mitjana fins a l’actualitat,la combinatoria subjau en les escales i elsacords, en les tecniques de composicio, i hiha abundant literatura sobre aquest tema,com per exemple els llibres de Knoblock [11]i Nolan [17]. Benson [2] dedica un capıtola l’estudi de la simetria en la musica, queinclou una seccio sobre change ringing i el grupde permutacions, i una altra sobre l’us delteorema d’enumeracio de Polya en la resoluciode problemes de comptatge relacionats amb lamusica. Read [20] presenta alguns problemescombinatoris musicals, centrats en Messiaen iStockhausen. Sethares [23] va portar a termeun original estudi sobre el ritme, amb un capıtoldedicat als seus aspectes combinatoris. De fet,quan es veu la composicio com una metodologiade la decisio, el rang d’opcions que un sistemamusical proporciona es, sempre, un problemacombinatori (vegeu el capıtol 9 del llibre deLoy [14]).

Al segle xx, igual com les convencionsde la pintura figurativa van ser radicalmenttransformades amb l’arribada de l’abstraccio,tambe les formes musicals fonamentals es vanveure modificades pel pas de la musica tonala l’atonalitat. Els musics que volien tren-car amb la tradicio van comencar a explo-rar nous territoris sonics, per als quals esrequerien noves metodologies. Aquesta novamanera de pensar va donar lloc a una presenciames forta de la combinatoria en les obresmusicals.La musica dodecafonica. Un d’aquests noussistemes es la musica dodecafonica, tambeconeguda com com a «serialisme», desenvo-lupada per Arnold Schoenberg [22]. Aques-ta metodologia de composicio, basada enles permutacions de les 12 notes de l’escalacromatica, va ser mes tard transformada enun sistema encara mes organitzat, anomenat«serialisme integral».

La primera fornada de compositors se-rialistes, la Segona Escola de Viena, va serun grup de compositors dels inicis del seglexx format per Arnold Schoenberg i els seusdeixebles, entre ells Alban Berg i Anton We-bern. Amb l’objectiu de destruir l’expecta-tiva de tonalitat, el serialisme treballa amb12-tone rows, permutacions sense repeticio de

les 12 notes. Schoenberg va establir una seriede regles estrictes que ell va anomenar Met-hod of Composing with Twelve Tones Whichare Related Only With One Another [22].Resumint:

• Per a una composicio es tria una permutaciode les 12 notes, que s’anomena basic set.Es pot veure com una sequencia de notesi tambe com una sequencia d’intervals, i espot denotar per una permutacio del conjunt0, 1, . . . , 11. Les notes es poden usar lliure-ment en qualsevol octava.

• Les notes s’utilitzen successivament en lacomposicio, a mesura que es van necessitant,de manera que quan la sequencia s’acaba estorna a la primera nota.

• El compositor tambe pot utilitzar les per-mutacions obtingudes del basic set per al’aplicacio de les operacions seguents:

– Inversio. Substituir cada nota pel seuoposat (modul 12).

– Retrogradacio. Llegir la sequencia enordre invers.

– Retrogracio invertida. Composicio deles operacions d’inversio i retrogradacio.

– Transposicio per n semitons. Sumar n acada nota (modul 12).

Despres de la Segona Guerra Mundial,una segona fornada de compositors, entre ellsPierre Boulez i Milton Babbit, inspirats peltractament sistematic de l’altura, el ritme, ladinamica i l’articulacio de les composicionsd’Anton Webern, van crear una nova forma demusica. El serialisme integral es una metodo-logia de composicio que fa un pas mes enllaen les tecniques dodecafoniques. Essencialmentconsisteix a aplicar la tecnica de les permuta-cions de 12 notes als altres parametres mu-sicals. Per exemple, Olivier Messiaen esta-bleix series o modes de 36 altures, 12 arti-culacions o atacs, i 7 graus d’intensitat enla seva obra Mode de valeurs et d’inten-sites, una peca que no era estrictament dode-cafonica pero que va inspirar, igual que abansho havia fet Anton Webern, el segon grupde compositors.

80 SCM/Notıcies 44

Tom Johnson. Un altre compositor que utilit-za la combinatoria en la seva obra es Tom John-son [6]. De fet, tota la seva obra esta basada enidees matematiques, i es de llarg el compositorque ha fet i fa un us de la combinatoria mes clari mes directe, amb un punt de vista totalmentdiferent del dels compositors serialistes. John-son utilitza la combinatoria per definir l’estruc-tura de les seves composicions, utilitzant fins itot configuracions ben complexes, com dissenyscombinatoris.

Tanmateix, com ell mateix admet, un delsseus objectius es fer la seva musica accessible,comprensible, i el seu proces i la seva estruc-tura matematica (combinatoria) facil de per-cebre. Ha estat sovint anomenat «l’home quecompta».

Johnson dibuixa grafs i diagrames perrepresentar i entendre les estructures quedespres pot usar o no en les seves composi-cions. Ha col·laborat amb el matematic FranckJedrzejewski per explicar el contingut combi-natori tant de la seva musica com dels seusdibuixos al llibre Looking at Numbers [10].

Una seleccio de les tecniques utilitzades enles obres combinatories de Tom Johnson, desdel 2000, inclou:

Particions d’enters. Utilitzades per construiracords amb la mateixa altura mitjana. A l’obraTrio, els tres instruments toquen acords quesumen 72 mentre que a Hexagons es combinendues sumes, 30 i 31.

Subconjunts. A Mocking, tres percussionistestoquen ritmes construıts triant 4 nombres dife-rents entre 1 i 8. Johnson els representa coma sumes des de 10 = 1 + 2 + 3 + 4 fins a26 = 5 + 6 + 7 + 8, en un graf que connectaels subconjunts amb elements comuns.

Dissenys combinatoris. Treballant ambblock designs, Johnson identifica els elementsdels blocs amb parametres musicals, com al-tures i ritmes, i utilitza l’estructura d’aquestsblocs per generar un fil a traves del materialmusical, i enllaca els blocs pels seus elementscomuns.

A Vermont Rhythms, utilitza 42×11 ritmesbasats en el disseny (11, 6, 3), mentre que BlockDesign for Piano esta construıda a partir deldisseny 4-(12, 6, 10) definit per 30 blocs base i

un automorfisme del grup de permutacions de12 elements. La partitura Kirkman’s Ladies esva inspirar en el conegut problema proposat pelReverend Kirkman el 1847 a The Lady’s andGentleman’s Diary:

«Fifteen young ladies in a school walk outthree abreast for seven days in succession:it is required to arrange them daily so thatno two shall walk twice abreast.»

La solucio d’aquest problema involucra sis-temes de triples de Kirkman, un cas especial dedisseny combinatori. En la partitura, Johnsonusa un disseny (15, 3, 1) amb 13×35 blocs. Comell mateix explica:

«In my score, entitled Kirkman’s Ladies, the15 ladies become a scale of 15 notes, and thedaily walks of five rows, three ladies in eachrow, become phrases of five chords with threenotes in each chord. Each lady/note occursonce in each sequence of five chords, eachpair of ladies walks together once a week,and by the end of the 13 weeks/sections,all 455 possible trios of women, all 455possible combinations of three notes, havepassed by.» (Vegeu [10], pag. 39.)

b ¼ kv!

ðv# tÞ!ðk # tÞ!

k!

The following table with u and v defined by mapping x!ðxþ 1Þ mod 13ð Þ þ 1 produces 13 disjoint KTS(15)s which

form a large set of KTS(15)s. Each row is a parallel class.

A Pasch configuration, as we have already seen, is a4-cycle arising from a set of four triples on six points,

awx; ayz; bwz; bxy

and it is worth looking at that now, as this pattern becomesinteresting later on as well. If you choose any diagonal linein Fig. 4.3, take the two triplets at the end of this line andthen combines them with the two triplets that form theorthogonal line, you will find a Pasch configuration. Thecircle whose center is (1,2,3) has diagonal elements:(6,11,13), (4,11,15), (6,9,15) and (4,9,13) that form a Paschconfiguration. Moreover, each portion of each circle forms aparallel class. The following solution drawn in Fig. 4.3(blocks are written vertically)

with a ¼ 10, b ¼ 11,..., f ¼ 15, has 56 parallel classesand 105 Pasch configuration. But it is not always the casefor all non-isomorphic designs. The 80th solution

Fig. 4.2 The (15,3,1) solution used in Kirkman’s Ladies

111111122222233333344445555666777892468ace457abd45689c789b69bc89a8adab3579bdf689cefa7bfdecdefeadfcfdbfeec

1; 2; 10 3; 5; 13 6; 11; 12 8; 9; u 4; 7; v

1; 3; 8 4; 5; 9 6; 7; 13 10; 12; u 2; 11; v

1; 4; 12 2; 8; 13 7; 9; 11 3; 6; u 5; 10; v

1; 5; 7 2; 9; 12 3; 10; 11 4; 13; u 6; 8; v

1; 6; 9 2; 3; 4 7; 8; 10 5; 11; u 12; 13; v

1; 11; 13 4; 6; 10 5; 8; 12 2; 7; u 3; 9; v

2; 5; 6 3; 7; 12 4; 8; 11 9; 10; 13 1; u; v

111111122222233333344445555666677772468ace4589cd4589cd89ab89ab89ab89ab3579bdf67abef76bafecdefdcfeefcdfedc

40 4 Kirkman’s Ladies, a Combinatorial Design

Dibuix de Tom Johnson usat a Kirkman’s Ladies.(Amb permıs de l’autor.)

La combinatoria en la literatura

En la literatura cal distingir la poesia de laprosa, perque la metrica i els patrons rıtmicspresents en la poesia son, d’alguna manera,

SCM/Notıcies 44 81

estructures combinatories. A mes les permuta-cions s’han fet servir en poesia almenys des delsegle xii. La sextina, inventada pel trobadorprovencal Arnaut Daniel, es una estructuramolt coneguda que es basa en les permutacionsde sis elements. Una altra forma poetica famosaes la poesia proteana, en la qual s’utilitzenpermutacions de paraules, de la qual l’exemplemes antic que es conserva data del 1561 (vegeuHiggins [9]).

Al segle xx, trobem permutacions en latecnica del cut-up dels dadaistes, i en lesobres del pioner de la poesia digital BrionGysin, entre d’altres (vegeu Funkhouser [7]).En prosa, les tecniques narratives innovado-res de l’escriptor argentı Julio Cortazar s’es-capen de la linealitat temporal. La seva obrames famosa es la novel·la Rayuela, en la qualel lector pot decidir en quin ordre llegir elscapıtols. En la mateixa lınia, trobem la novel·laComposition no. 1, de l’escriptor frances expe-rimental Marc Saporta, sense un ordre establertper a la lectura de les pagines.

Oulipo. L’«Ouvrier de Litterature Potenti-elle», Oulipo, va ser un grup d’escriptors imatematics fundat el 1960 per Francois LeLionnais i Raymond Queneau (ambdos ma-tematics) com una reaccio contra la literaturatradicional, en particular la romantica, i contrael surrealisme. El grup treballava fonamental-ment amb dos objectius. Primer, generar el queells anomenaven una «potencialitat», propor-cionar metodologies per crear obres potencials,fins i tot si no s’acabaven realitzant, crear «elllibre de totes les histories». I segon, escriureamb «restriccions» o regles per elaborar novesformes i estructures que servissin com a suporta noves obres literaries. Aquesta visio tecnicistade la literatura, que vol utilitzar el llenguatgede manera mes abstracta i entendre’l com unamena de joc de construccio on els signes quees poden muntar seguint regles, combinacionso algoritmes, es el que dona a les obresd’Oulipo el seu caracter combinatori. ClaudeBerge, membre d’Oulipo i, com a matematic,reconegut expert en combinatoria i teoria degrafs, explica a [3] com la literatura d’Oulipoesta relacionada amb la combinatoria i pro-posa diverses maneres de representar l’estruc-tura combinatoria d’algunes obres dels Oulipoutilitzant grafs.

Els autors seguents van ser membres desta-cats d’Oulipo:

Raymond Queneau. La seva obra Cent millemilliards de poemes (1961) es, de fet, un con-junt de 10 sonets. Com que cada sonet segueixla mateixa rima, cada vers d’un dels sonets porser reemplacat pel vers de la mateixa lınia dequalsevol dels altres sonets, sense trencar cap deles regles formals. D’aquesta manera, l’autor vames enlla de la utilitzacio de la permutacio, ambel proposit de tenir el conjunt sencer de poemestot junt, cosa que mostra la potencialitatde l’obra.

George Perec. La vie, mode d’emploi (1978)es una descripcio extremadament detallada deles habitacions d’una casa i de tot el que allı estroba, inclosos els ocupants, en un cert instantde temps. Al llarg de la novel·la s’estableixennombroses connexions entre les estances, elsobjectes, els personatges, que creen una xar-xa, una novel·la de novel·les. L’escriptura deLa vie, mode d’emploi involucra diversos esque-mes combinatoris. Per exemple, les habitacionses corresponen amb els elements d’un quadratllatı ortogonal d’ordre 10, que consisteix endos quadrats llatins sobre dos conjunts S iT de n elements (en aquest cas 10) definitssobre el mateix quadrat n × n, de manera quecada parell (s, t) del producte cartesia S × Tapareix exactament una vegada. A mes, en laprimera part de la novel·la, els moviments enla casa, es a dir, el quadrat 10 × 10, seguei-xen un camı hamiltonia segons els movimentsd’un cavall en un tauler d’escacs d’aquestesdimensions [18].

Italo Calvino. Calvino, un escriptor italiaque es va unir al grup Oulipo en la darreraetapa de la seva carrera, va escriure novel·lesque contenen potencialment moltes historiesdiferents, les quals han de ser construııdes pellector. L’obra de Calvino en aquesta etapa haestat anomenada «literatura combinatoria» [5].Com a precursor de l’hipertext, anomenavales seves novel·les «hipernovel·les». Els llibresmes coneguts que va escriure en aquest pe-riode son Le citta invisibili (1972), una seriede relats que descriu ciutats fantastiques, Ilcastello dei destini incrociati (1973), en elqual va utilitzar combinacions de cartes del

82 SCM/Notıcies 44

tarot, i Se una notte d’inverno un viaggia-tore (1979), una col·leccio d’histories entre-creuades, algunes de les quals interrompudesper accidents com un error tipografic (ex-pressament comes per l’autor). En els tresllibres citats, el relat es concebut com unaxarxa de relats.

La combinatoria en l’art visual

La interaccio entre art i geometria ha existitdes de l’antiguitat. En les primeres decades delsegle passat, comencant amb els experimentsdel cubisme i l’expressionisme, l’art visual vapassar del figuratiu a l’abstracte. Van sorgirun gran nombre de moviments, alguns delsquals inspirats per les matematiques i, en el casdel constructivisme, l’abstraccio geometrica i elminimalisme, per les formes geometriques messimples. Les composicions no representacionalstractaven de produir formes geometriques onles mides i i altres caracterıstiques de cadauna d’aquestes formes, les relacions entre elles,els colors usats en tota l’obra, van esdevenirels motius definidors de l’abstraccio. Aquestesobres d’art eren concebudes com combinacionsde formes i colors. A [13], Lorenzi i Francavi-glia fan una descripcio molt detallada de lesrelacions entre geometria i art durant elsegle xx.

En alguns casos, la geometria es la partvisual d’una obra que es basa en estructuresi metodologies combinatories. Malgrat el fortcaracter geometric de les obres dels artistesde les avantguardes, el pensament combinatorija comenca a ser present en els artistes. Perexemple, Paul Klee, Vassily Kandinsky, i JosefAlbers, que van ser mestres a la coneguda escolaBauhaus en el perıode d’entre guerres, van serinfuenciats pels treballs de Wilhelm Ostwald,un quımic guardonat amb el premi Nobell’any 1909, que va utilitzar la combinatoriacom una forma creativa i interdisciplinariade pensar, en arees com l’organitzacio delconeixement i en la seva teoria dels colors iles formes (vegeu l’estudi de Hapke [8]). Lesnotes de classe de Paul Klee mostren comutilitzava grafs per representar les relacionsentre colors.

A partir d’aquell moment, amb l’abstracciogeometrica alguns artistes comencen a uti-litzar idees combinatories. L’interes per les

matematiques en general es tradueix tambe perun interes per la combinatoria en particular.Cap a mitjan segle xx la combinatoria esfa mes present en l’art visual. Els casos mesparadigmatics son els artistes conceptuals quetreballen de manera geometrica i els pionersde l’art digital, els primers artistes que vandecidir utilitzar l’ordinador per realitzar lesseves obres.

Notes de classe de Paul Klee. (Online-Data Base,Zentrum Paul Klee, domini public.)

Els tres artistes seguents, Sol LeWitt, VeraMolnar i Manfred Mohr, son els mes represen-tatius d’aquesta epoca, i en el seu art podemobservar tres maneres diferents d’aproximar-sea la combinatoria.

Sol LeWitt. Incomplete cubes, 1974. (Per cortesiad’Art Gallery of New South Wales.)

Sol LeWitt. Artista conceptual, LeWitt esconegut per la seva serie d’obres sobre el cubi pels seus murals. La primera obra sobre el

SCM/Notıcies 44 83

cub, Serial Project #1 (1966), mostra les 36configuracions possibles que resulten de doscubs disposats un dins de l’altre, cada un ambdos parametres, «superfıcie» (obert/tancat)i «altura» (baix/mitja/alt). En el text queacompanya l’obra [12], LeWitt descriu les re-gles combinatories que defineixen la defineixen.Variations of incomplete cubes (1974) es unaaltra obra combinatoria: la construccio de totesles figures que es poden obtenir eliminantarestes d’un cub.

Pel que fa als murals, molts d’ells segueixenregles combinatories, sovint explicitades en eltıtol, com per exemple, Wall Drawing #118,Fifty randomly placed points all connected bystraight lines (1971), Wall Drawing #450,A wall is divided vertically into four equalparts. All one-, two-, three- and four-partcombinations of four colors (1985) i WallDrawing #493, The wall is divided verticallyinto three equal parts. All one-, two-, and three-part combinations of three colors (1986).

Sol LeWitt. Wall drawing #413, 1984. (Percortesia de MASS MoCA.)

L’interes de Sol LeWitt a fer visible al’observador l’estructura combinatoria de l’obracontrasta amb la idea de Donald Judd, unartista que utilitzava sequencies numeriquesen el seu art, i que va influenciar LeWitt enles seves obres primerenques. Judd pensavaque les matematiques de la seva obra havi-en d’estar d’alguna manera amagades o, simes no, deixar-les menys clares a l’observador(Rottman [21]).

Vera Molnar. Vera Molnar [24], que va rebreuna formacio en pintura classica, treballavaamb una gran varietat de tecniques com collage,guaix, llapis. Tot i aixo, la seva fama prove delfet de ser una pionera de l’art digital. Utilitzaval’ordinador com una eina per desenvolupar unllenguatge sistematic. «Its immense combinato-rial capacity facilitates the systematic investi-

gation of the infinite field of possibilities», vadir [19].

Vera Molnar. Structure de Quadrilateres, 1987.(Per cortesia de Spalter Digital Art Collection.)

En la seva obra, influenciada per les ideesde Max Bill [4], que proposava ajudar-se deles matematiques per renovar el llenguatgeartıstic, Molnar utilitza figures geometriquescom quadrats, cercles i lınies, amb emfasi en larepeticio. A mes de l’us de figures geometriquessimples (tal com ella diu, «I love squares»), lesseves obres es basen en una investigacio de lespossibilitats expressives del contrast entre ordrei desordre, que assoleix combinant irregularitatso aleatorietat amb una estructura, donada perla combinatoria.

Vera Molnar. Hommage a Durer, 1989-2004.(Relectura per L.B. Projecte Recode.)

84 SCM/Notıcies 44

Un tema recurrent en l’obra de Molnar esla representacio i la descomposicio de la mallaquadrada 3 × 3, i de dimensions mes grans,una estructura combinatoria que descompon idesconstrueix de maneres variades en un grannombre d’obres, a vegades fins i tot utilitzantpoliominos. Una d’aquestes obres es Hommagea Durer, una serie iniciada el 1948, en la qualva treballar al llarg de mes de 50 anys. Unalınia que segueix una permutacio dels quadratsd’una malla 4 × 4 representa un quadratmagic, que fa referencia al quadrat magic dela pintura Melencolia I, d’Albrecht Durer. Ambla mateixa idea, genera permutacions diferentsi les col·loca en els quadrats d’una malla5× 5, 10× 10, 20× 20. . .

Manfred Mohr. cubic limit, 1972–1975. (Ambpermıs de l’autor.)

Manfred Mohr. Manfred Mohr [15], pintorexpressionista abstracte i music de jazz, es vasentir atret per la geometria algorıtmica genera-da per ordinador despres de descobrir l’esteticade la informacio de Max Bense [1] a l’inici de ladecada de 1960. El 1969 va programar els seusprimers dibuixos per ordinador. Des de llavorsha seguit desenvolupant i escrivint algoritmesper a les seves idees visuals i produeix el seu artexclusivament amb ordinador. Com ell explicaa [16]:

«The first step in that direction was anextended analysis of my own paintings and

drawings from the last ten years. It re-sulted in a surprisingly large amount ofregularities, determined of course by myparticular aesthetical sense, through whichI was able to establish a number of basicelements that amounted to a rudimentarysyntax. After representing these basic cons-tructions through a mathematical forma-lism, and setting them up in an abstractcombinatorial framework, I was in a posi-tion to realize all possible representations ofmy algorithms.»

Manfred Mohr. space.color, 2000. (Amb permıs del’autor.)

Manfred Mohr. Subsets, 2003-2005. (Amb permısde l’autor.)

SCM/Notıcies 44 85

El 1973, Mohr va iniciar la seva obrasobre el cub, que ha continuat fins a l’ac-tualitat amb obres de complexitat creixent,sobre hipercubs multidimensionals i les sevespropietats combinatories. Per exemple, la seriespace.color consisteix a seleccionar recorregutssobre camins que passen per les diagonals del’hipercub de dimensio 6, per despres acoloriralguns dels plans que es poden formar.

A Subsets, l’algoritme selecciona un subcon-junt de cubs, construıts a partir de l’hipercubde dimensio 11, i despres decideix quines careshan de ser blanques i quines negres.

Una resposta inacabada

Aquest ha estat un petit recorregut per lesobres combinatories dels artistes visuals, es-criptors i musics que personalment consideromes interessants i representatius. La tria, pero,no es fruit del caprici. S’ajusta a un proposit:el de mostrar les variades formes en les qualsla combinatoria es manifesta a traves de lesdisciplines artıstiques. Pero hi ha altres artistesque no hem vist aquı per manca d’espai. Aixıcom hi ha altres disciplines, com son el cinema,la fotografia, la dansa. I tot el mon de les artselectroniques.

Referencies

[1] M. Bense. Aesthetica II - AesthetischeInformation. Agis-Verlag, 1956.

[2] D. Benson. Music: A Mathematical Offe-ring. Cambridge University Press, 2006.

[3] C. Berge, «Para un analisis potencial dela literatura combinatoria». A: H. Salceda,ed. OULIPO. Atlas de Literatura Potenci-al, 1: Ideas Potentes. Pepitas de Calabaza,Logrono, Spain, 2016.

[4] M. Bill, «The Mathematical Approachin Contemporary Art». A: K. Stiles andP. Selz, eds., Theories and Documentsof Contemporary Art. A Sourcebook ofArtists’ Writings, University of CaliforniaPress, 1996, pp. 74–77.

[5] I. Calvino, «Appunti sulla narrativa comeprocesso combinatorio». Nuova Corrente,46-47, 1968.

[6] Editions 75 – works by Tom Johnson.http://www.editions75.com/.

[7] C. T. Funkhouser. Prehistoric Digital Po-etry. An Archaeology of Forms, 1959-1995.The University of Alabama Press, 2007.

[8] T. Hapke, «Wilhelm Ostwald’s Combina-torics as a Link Between In-formation andForm». Library Trends, 61(2): 286–303,2012.

[9] D. Higgins. Pattern Poetry: Guide to anUnknown Literature. SUNY Press, 1987.

[10] T. Johnson i F. Jedrzejewski. Looking atNumbers. Springer, 2014.

[11] E. Knoblock, «The Sounding Algebra: Re-lations Between Combinatorics and Musicfrom Mersenne to Euler». A: G. Assayag,H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues, eds.,Music and Mathematics. A Diderot Mat-hematical Forum, Springer, 2002.

[12] S. LeWitt, «Serial Project #1»., Aspen, 5-6, 1967.

[13] M. G. Lorenzi i M. Francaviglia, «TheRole of Mathematics in Contemporary Artat the Turn of the Millenium». Aplimat- Journal of Applied Mathematics, 4(4):215–238, 2011.

[14] G. Loy. Musimathics. The mathematicalFoundations of Music. Vol.1. The MITPress, 2006.

[15] Manfred Mohr. http://www.emohr.com/.

[16] M. Mohr. Computer graphics. Uneesthetique programmee. WeberdruckPforzheim, 1971.

[17] C. Nolan, «On Musical Space and Combi-natorics: Historical and Conceptual Pers-pectives in Music Theory». A: R. Sar-hangi ed., Proceedings of Bridges 2000:Mathematics, Music, Art, Architecture,Education, Culture, pp. 201–208, Winfield,Kansas, 2000.

[18] G. Perec, «Quatre figures pour La Viemode d’emploi». In: Oulipo Atlas delitterature potentielle, Gallimard, 1981, pp.387-395.

86 SCM/Notıcies 44

[19] J.-M. Place, «Vera Molnar, Regard surmes images». Revue d’esthetique, 7, 1984.

[20] R.C. Read, «Combinatorial problems inthe theory of music». Discrete Mathema-tics, 167-168: 543–551, 1997.

[21] M. Rottman, «Donald Judd’s Arithmeticsand Sol LeWitt’s Combinatorics. On theRelationship Between Visual and Mathe-matical in New York Art Around 1960». InM. Emmer, ed., Imagine Math 3. Betwe-

en Culture and Mathematics, Springer,2015.

[22] A. Schoenberg, «Composition with TwelveTones». A: Style and Idea. Selected Wri-tings of Arnold Schoenberg, Faber & Faber,1975, pp. 102–143.

[23] W.A. Sethares. Rhythm and Transforms.Springer, 2007.

[24] Vera Molnar. http://www.veramolnar.com/.

Heisenberg i Bohr a «Copenhaguen»Pep BujosaAssociacio Catalana de GeoGebra

Com recordareu, en aquesta seccio del numeroanterior, vaig parlar de l’obra de teatre que elgrup l’Enjolit va representar a Barcelona sobreel teorema de Fermat. En el col·loqui, al finalde la representacio a la qual vam assistir un bongrapat de persones vinculades directament ambles matematiques, el professor Sebastia Xambova preguntar als actors si havien vist l’obra deteatre Copenhaguen. Ells van respondre que no,pero que n’havien sentit a parlar. A quina obraes referia el professor Xambo?

Avui us parlare d’aquesta obra, que vampoder veure al Teatre Nacional de Catalunyaentre el 28 d’abril i el 6 de juny de 2011.

L’autor

Michael Frayn n’es l’autor. Va neixer a Londresl’any 1933 i te una amplia produccio teatral,farcida de diversos premis. Tambe ha estat

traductor i adaptador a l’angles de Tolstoii, sobretot, de Txekhov. En la temporada1985–86, es va representar al Romea una adap-tacio seva de Mel salvatge, de Txekhov, dirigidaper Pere Planella i, al Condal, la seva Peldavant i pel darrera, que va ser un gran exitde public i crıtica.

«Copenhaguen»Va estrenar Copenhaguen l’any 1998 al Na-tional Theatre de Londres, on es van fer mesde 300 representacions. L’abril del 2000 es vaestrenar a Broadway i va guanyar els premisTony a la millor obra, millor actriu i millordireccio. Dos anys mes tard, va ser adaptadaal cinema per Howard Davies.

Despres de tot aquest exitos recorregut,arriba a Barcelona l’any 2011. L’abril s’estrenaal Teatre Nacional de Catalunya sota la direccioRamon Simo i amb l’actuacio memorable, deRosa Renom, Lluıs Marco i Pere Arquillue.

L’argumentL’obra tracta de la famosa reunio que vantenir els fısics Niels Bohr, danes, i WernerHeisenberg, alemany, el 1941 a la ciutat deCopenhaguen, en qualitat de mestre i d’anticdeixeble, i enemics per la situacio dels seusdos paısos durant la Segona Guerra Mun-dial. En aquell moment, Alemanya ja haviaocupat Dinamarca. En realitat, del contingut

SCM/Notıcies 44 87

d’aquella reunio n’ha transcendit molt poc.Tant Bohr com Heisenberg no van donar ex-plicacions del que van parlar en la seva breutrobada. Aquı l’autor aprofita aquest misteriper suposar com podia haver transcorregutla trobada.

Relata que el presumpte tema principal dela conversa va ser el paper de fısica teorica i, pertant, d’alguna manera, de les matematiques,en el desenvolupament de l’energia nuclear,amb el perill que representava que els alemanyspoguessin fabricar la bomba atomica abans queels aliats.

Formalment, situa els dos fısics i Margarida,dona de Bohr, com a tres esperits que esretroben despres de la mort. D’aquesta manerapoden comentar tot el que va passar quaneren vius, ara que ja son lliures de qualsevolinterpretacio de les seves actuacions.

Recorden quan es van coneixer:

MARGARIDA: . . . El primer que van fer quanes van coneixer es anar a caminar. Despresd’aquella conferencia a Gottingen, Niels, im-mediatament, va anar a cercar a aquell joveatrevit que havia questionat les seves ma-tematiques i se’l va emportar a caminar pelcamp. Caminar, parlar, coneixer-lo. . . Moltade la fısica del segle xx la van fer a l’airelliure. . .

Recorden el seu treball conjunt:

HEISENBERG Ah! Quins anys aquells! Aquellstres anys! I que curts que se’m van fer!

BOHR Del 1924 al 1927.

HEISENBERG Des que vaig arribar a Copen-haguen a treballar amb tu.

BOHR Fins que te’n vas anar a fer-te carrecde la teva catedra de Leipzig.

HEISENBERG Tres anys d’una primavera as-pra, vigoritzant, tıpica del nord d’Europa.

BOHR Al final de la qual tenıem la mecanicaquantica, el principi d’incertesa. . .

HEISENBERG Tenıem la teoria de la comple-mentarietat. . .

BOHR Tenıem la totalitat de les interpreta-cions del grup de Copenhaguen.

HEISENBERG Novament Europa amb tota laseva gloria. Un nou renaixement, amb Alema-nya en el lloc que es mereixia, en el centre detot. I qui va obrir el camı?

MARGARIDA Vosaltres dos.

Heisenberg, el calculadorHeisenberg (1901–1926) volia doctorar-se ini-cialment en matematiques, en concret en teoriade nombres. De mica en mica, es comencaa interessar per la fısica teorica i acaba fentel doctorat sobre la turbulencia dels fluids.En el seu treball demostra el gran talentmatematic que te i, en canvi, es menys habilen l’experimentacio de laboratori.

88 SCM/Notıcies 44

Aquesta destresa matematica sera fonamen-tal en tota la seva trajectoria cientıfica. Pera ell, les matematiques son fonamentals per aqualsevol avenc en la nova fısica que estavendesenvolupant. Tant es aixı, que, com ha ditel personatge de MARGARIDA, quan encaraera molt jove va gosar corregir matematicamentel ja famos Neils Bohr. El 1925 proposa laseva mecanica matricial. Una eina matematicaque sera fonamental per arribar al seu principid’incertesa, basic per a tot el desenvolupamentde la mecanica quantica.HEISENBERG . . . Recordo la nit en que les ma-tematiques van comencar a harmonitzar ambel principi d’incertesa. Sı, va ser terriblementesgotador. Cap a les tres de la matinada acon-segueixo resoldre el problema. Semblava comsi mires a traves de la superfıcie del fenomenatomic i veies un bell mon interior. Un mond’estructures purament matematiques. I sı, eramolt felic!

Pero, de que van parlar el 1941?Durant l’obra, es van fent diferents aproxima-cions del contingut especıfic de la seva conversa.Com que no es coneix exactament que es vandir, l’autor fa una proposta:

BOHR . . . I vam sortir. A fora, sota els arbresde la tardor. A traves dels carrers foscos perpor dels possibles bombardejos. . . Amb total in-diferencia ell comenca a fer-me la pregunta ques’havia preparat.HEISENBERG ¿Te algu, com a fısic, moral-ment el dret de treballar en l’explotacio practicade l’energia atomica?MARGARIDA El gran xoc.BOHR M’aturo. S’atura.MARGARIDA Aixı es com treballaven.HEISENBERG Ell em mira, horroritzat.MARGARIDA Finalment, ara sap on es i queesta fent.HEISENBERG Ell fa mitja volta.MARGARIDA Just quan ha comencat el xoc,ja s’ha acabat.

BOHR Ja tornem cap a casa, rapidament.

MARGARIDA Ja estan tots dos escapant unde l’altre, en la foscor.

HEISENBERG La conversa s’ha acabat.

BOHR La nostra societat tambe.

HEISENBERG I la nostra amistat.

En tota la representacio van parlant tantdels progressos cientıfics que van protagonitzarcom de la repercussio historica i moral de lafabricacio de la bomba atomica en el projecteManhattan, en el qual va participar Bohr. Imentrestant, a Alemanya, Heisenberg seguiatreballant per als nazis en la fabricacio d’unreactor nuclear que tambe podria esdeveniruna bomba. Sempre ens quedara el dubte delgrau de col·laboracio real de Heisenberg en elsavencos atomics alemanys o si, de manera cons-cient, els va frenar. Pero per que va anar a visi-tar Bohr el 1941? Que volia d’ell? La incognitacontinua. . .

Copenhaguen, Barcelona, Madrid

Si us heu quedat amb ganes de veure aquestamagnıfica obra, teniu la oportunitat de fer-ho a Madrid. Del 23 de maig al 30 dejuny de 2019 es representara al Teatro de laAbadıa, sota la direccio de l’argentı ClaudioTolcachir (L’omissio de la famılia Coleman)i amb l’actuacio d’Emilio Gutierrez Caba,Carlos Hipolito i Malena Gutierrez. http://www.teatroabadia.com/es/temporada/544/copenhague/

SCM/Notıcies 44 89

«Numeros y figuras» de Hans Rademacher i Otto ToeplitzFrancesc ManosasUniversitat Autonoma de Barcelona

El llibre de Hans Rademacher i Otto Toeplitz vaser publicat per primera vegada l’any 1930 ambel tıtol Von Zahlen und Figuren i ha esdevingutun classic de la divulgacio matematica. Els dosautors van ser investigadors forca actius. HansRademacher (1892-1969), alumne de Constan-tin Caratheodory, va centrar els seus treballsen la teoria analıtica de nombres, mentre queOtto Toeplitz (1881-1940), que va ser deixeblede David Hilbert, es sobretot conegut perun criteri sobre transformacions regulars desuccessions que deixen el lımit invariant. Uncorol·lari d’aquest resultat es el conegut criteride Stolz.

El llibre te 28 capıtols independents. Encada un es presenta, es discuteix i es resol unproblema diferent. Els temes que s’hi abordenestan majoritariament relacionats amb la teoriade nombres i la geometria plana, tot i que hiha dues magnıfiques incursions en el mon de latopologia. Tambe hi trobem un parell decapıtols dedicats als nombres irracionals i a lesseves aproximacions per nombres racionals.

Els autors exposen i resolen alguns pro-blemes isoperimetrics classics, argumenten elcaracter indispensable del compas per a lesconstruccions de la geometria elemental, fanconsideracions sobre el triangle ortic com unproblema de mınims, i en definitiva tracten ambuna gran elegancia molts altres temes de la ge-ometria analıtica i sintetica: poliedres regulars,xarxes de corbes que es tallen, corbes tancadesamb punts multiples. . . Pel que fa a questionsaritmetiques, donen bonics resultats sobre ladistribucio dels nombres primers (amb una deli-ciosa prova de la seva infinitud deguda a Euler),els nombres perfectes, el problema de Waring,els nombres pitagorics. . . Hi trobareu tambedivertits problemes de combinatoria, un passeigpels fonaments de la ma de la teoria de conjuntsi una introduccio al problema dels quatre co-lors, per a la qual s’introdueix de manera moltintuıtiva la caracterıstica d’Euler i es demostraque cinc colors son suficients. Aixo es, tan sols,un petit tast de la gamma de temes tractatsen el llibre.

90 SCM/Notıcies 44

Malgrat que els problemes abordats sonprofunds, els coneixements necessaris per po-der seguir les argumentacions son del totelementals. De fet, els raonaments podenser perfectament entesos per qualsevol lectoramb els coneixements d’algebra i geometriaque s’imparteixen en l’educacio secundaria.Per descomptat, el lector ha de tenir in-teres i curiositat pel raonament matematic.L’exposicio dels resultats i els argumentsde les demostracions es fan amb una granclaredat didactica.

Val a dir que molts dels teoremes i demos-tracions presentats son originals de personat-

ges clau de la historia de les matematiques.Aixı, Euclides, Cantor, H.A. Schwartz, Fermat,Lagrange, Liouville, Euler, Jordan hi apareixensovint citats, i algunes de les seves proves,reproduıdes.

Queda clar, doncs, que es tracta d’una obramolt adequada per als alumnes de batxilleratque mostren interes per les matematiques.D’altra banda, es tambe molt recomanable pera estudiants de grau i fins i tot per a matematicsi cientıfics en general. La lectura de cada undels capıtols constitueix un autentic plaer perals qui ens dediquem professionalment a lesmatematiques.

Relat breu: El caramelXavi RocaInstitut RBIV Cambrils

L’altra nit vam anar al teatre. L’Angela m’ha-via sorpres amb un sobre escrit amb la sevalletra infantil i suggerent, dins del qual vaigtrobar dos rectangles de cartro plastificat ambels codis de barres, les numeracions dels seients,uns quants logos i el tıtol de l’obra. Incendis, deWajdi Mouawad. Abans d’entrar vam comentarel tipus de public que hi havia. La majoriaera gent gran, jubilats que van al teatre pertradicio, residus i resistencia de la vella burgesiade la ciutat de Reus. Vam pujar fins a l’ultimpis i vam prendre el nostre seient al galliner.De seguida ens vam adonar que, tan lluny del’escenari, haurıem de forcar una mica la vista,tolerar el cruixir dels seients cada vegada quealgu canvies de postura, i aguditzar l’oıda. Toti aixı jo em sentia felic de ser alla, li vaigagrair un cop mes a l’Angela el seu regal, iem vaig concentrar en l’obra. Els actors em vanagradar, vaig entrar sense esforc en l’argument,i vaig pensar que havia d’anar mes al teatre,que per que dimonis no ho feia mes sovint.Tot anava be, la vida era meravellosa quanun la condimentava amb cultura, i l’Angelasimbolitzava aquesta il·luminacio inspiradora.D’aquesta especie d’amor instantani, d’aquestretrobament amb el magnetisme de l’art, vasorgir llavors un sentiment molt intens per ella,pels seus detalls, per com parla, per com pensai per com sent. Tot estava be en aquells seientsals quals cada vegada ens acostumavem mes,pero llavors l’Angela em va oferir un caramel.

En aquell moment, xuclar un caramel em vasemblar una activitat idonia. La funcio durariaunes tres hores i absorbir amb intencionada iextremada lentitud aquell caramel, vaig pensarque seria una bona metafora del gaudi lent iesmicolat que ens esperava. El vaig acceptar,i despres de la breu batalla per no fer sorollamb l’embolcall, va comencar l’experiencia. Alprincipi vaig percebre la presencia del caramelamb claredat. A traves de la llengua, em vaigimaginar uns rierols minusculs que em mullavenel coll amb el seu gust, crec recordar que detaronja. Em van venir llavors records d’infancia,de quan em bevia els gots de Fanta que emdonava la meva mare a glops molt curts perqueem dures mes, i de com discutia amb les mevesdues cosines sobre les seves estrategies respecteal mateix assumpte. En un altre moment hauriamossegat el caramel, destruıt els vidres internsi fer-lo cruixir per obtenir una sola dosi, mesrapida i intensa. Pero aquesta vegada no.L’obra progressava amb solvencia i el guioproposava unes superposicions temporals quefuncionaven, i que m’agradaven. No em perdiadetall del que passava a l’escenari pero, almateix temps, analitzava les evolucions delcaramel dins la boca, com si estigues veient unapel·lıcula muda per un canal, i escoltant unamusica independent per l’altre.

Vaig descobrir llavors que, tot i haver-hi unarelacio directa entre la periodicitat i la forca deles meves absorcions amb el grau d’intensitat

SCM/Notıcies 44 91

amb que notava el gust del caramel, hi haviaun flux que se m’escapava. Si jo exercia unabreu i lleugera forca sobre el caramel, sentiael gust de la mateixa manera, breu i lleugera.Pero si llavors immobilitzava la musculatura,encara que estigues molt disminuıda, percebiaun minuscul corrent de caramel desfent-se,avancant sense el meu permıs. Imagino queel simple contacte amb la saliva el dissoliade manera independent a la meva voluntat.Durant un temps em vaig mantenir atent a lesdues obres, la de teatre i la del caramel, i emvaig concentrar a detectar el moment exacteque el caramel arribes a la seva fi. Per desgraciano ho vaig aconseguir perque llavors el text esva imposar per sobre de tot, i em vaig oblidardel caramel.

En una de les escenes, un dels personatgesva resultar ser professora de matematiques, i vaparlar sobre la solitud dels matematics, sobre elgrau d’abstraccio de les seves teories, i sobre lainsolubilitat de certs problemes. Era el paragrafd’introduccio a un curs de teoria de grafs, unaassignatura que sempre em vaig penedir de nohaver cursat a la universitat.

Un graf no es res mes que un conjunt depunts i de camins que els uneixen, un conceptesenzill i del qual es desprenen molts teoremesi aplicacions boniques. El text explicava elconcepte de graf de visibilitat d’un polıgondel pla (una representacio dels vertexs que espoden veure entre ells) i el relacionava amb lacomplexa trama familiar de l’obra. La idea emva semblar genial. Em vaig girar cap a l’Angelai la vaig mirar amb les celles arquejades, iella em va picar l’ullet. L’actriu parlava de lainsolubilitat del problema invers a l’habitual:donada una aplicacio teorica, trobar el seu grafde visibilitat, i per tant el polıgon concordant.Despres subratllava que, precisament en laimpossibilitat de trobar solucions a aquestproblema, hi residia la seva bellesa. La ideano em resultava nova, i vaig pensar en elsteoremes de Godel. Pero veure-la aplicada auna obra com aquella em va tornar a semblargenial. Va ser llavors quan, absort en elsrecords universitaris i en el perque d’aquellainexistencia de solucions, em vaig adonar ques’havia consumit el caramel.

Jo no se per que m’afecten tant aquestescoses, pero he de reconeixer que allo em vaentristir. Vaig pensar que la meva boca, l’obra

de teatre i el caramel formavem el nostre propigraf, i que jo havia estat incapac de mantenirvius els nostres camins. El meu desig erahaver estat capac d’assistir al moment que elcaramel desaparegues, com si pogues presenciarl’instant exacte que una magnitud que s’esvaeixarriba a la quantitat zero. Tampoc exagerarei dire que allo em va torbar en exces, perosı confesso que no vaig poder oblidar-ho. Pocdespres la funcio va arribar a la seva pausa,i vam sortir a fumar. Despres de comentar elprimer acte, li vaig explicar a l’Angela el quem’havia passat amb el caramel. Li va semblardivertit, i em va dir que no em preocupes, queencara li’n quedaven mes. En aquell momentem vaig sentir avergonyit d’actuar com un nen,pero tambe felic per veure acomplert el meudesig, i impacient per tornar a pujar al galliner.Un cop asseguts, li vaig demanar el carameli me’l vaig posar a la boca amb una serietatmes propia d’un experiment cientıfic, com si enlloc d’un simple caramel m’estigues posant a laboca una capsula amb una droga experimental,l’efecte de la qual em preparava per investigar.Aquest cop em vaig esforcar a no moure ni unsol muscul de la boca, i a deixar que aquellflux inevitable de gust actues per si sol. L’obraseguia el seu curs i jo seguia immobil, pendentde si es desfeia, i a quina velocitat ho feia. Per laseva banda, la historia responia als seus interro-gants a un ritme convincent, pero ja no hi haviareferencies matematiques. Estar concentrat enels dos objectes no representava gaire esforc,pero hi va haver un moment que tot allo emva semblar ridıcul, i vaig pensar que m’estavacomportant d’una manera capritxosa, volentrepetir un plaer la bellesa del qual consistia enla seva unicitat, i no a produir-se quan a mi emvingues de gust. Cansat d’esperar, vaig exercirllavors per primera vegada una succio a aquestsegon caramel. La impressio que em va produirno va ser tan clara com esperava, suposo quea causa del temps que portava instal·lat a lameva boca, havent-me embolicat en el seu saborla saliva. El sorprenent va ser que, just llavors,la mateixa actriu d’abans va tornar a parlarsobre matematiques.

En aquell moment em vaig tensar. Haviadubtat de mi mateix, havia pensat que lesmeves preocupacions eren ximpleries, pero aral’atzar em donava la rao. La situacio del primeracte s’estava repetint, i em vaig preparar,

92 SCM/Notıcies 44

aquesta vegada, per fer-ho millor. M’hauriaagradat disposar de mes caramel per gaudird’aquest segon intent, pero, tot i petit, el seuvolum era acceptable, aixı que vaig reprendrela concentracio per no perdre el fil de capdels altres dos vertexs —l’obra i el caramel—del meu nou graf. L’actriu va parlar llavorsde la conjectura de Siracusa, una proposicioque afirma que, si un pren qualsevol nombrenatural, i li aplica unes determinades opera-cions, sempre s’acaba obtenint el numero u.L’algoritme consisteix a dividir per dos quanes te un nombre parell, i calcular el triple mesu si es te senar. A la conjectura de Siracusa se laconeix tambe com els «nombres de calamarsa»,i tot i que s’ha comprovat amb infinitat denombres que sempre acaba en el numero u,encara ningu no ha trobat la demostracioteorica.

Era la segona idea matematica que aparei-xia a l’obra i em va semblar igual de bona quel’altra, pero aquesta vegada jo tenia clar queno em deixaria despistar, i vaig seguir atenta les evolucions del caramel. Per il·lustrar enque consistia la conjectura i comprovar quefuncionava, el personatge va posar un exemple.Va comencar per un nombre que no recordo, iva aplicar tots els passos de l’algoritme. Cadavegada que obtenia un nombre parell, el dividiaper dos, pero si n’obtenia un de senar, llavorsel multiplicava per tres i li sumava u. Enaquell moment no vaig poder evitar perdre’men associacions d’idees, encara que aquestavegada aplicades al caramel. D’una manerarapida, gairebe instintiva, em vaig trobar apli-cant l’algoritme de la conjectura de Siracusa,dins de la meva boca. Cada vegada que esproduıa una divisio per dos, jo xuclava elcaramel imaginant que l’atreia cap als meussentits, de la mateixa manera com ho fan elsnumeros de calamarsa quan s’acosten a l’u. Perla seva banda, quan sortia un nombre senar illavors calia multiplicar per tres i sumar u, jorelaxava la boca, pensant que aixı permetia queel caramel s’allunyes, tot i saber que, tard od’hora, tornaria cap a mi.

Just abans de comencar a sincronitzar lessuccions de la meva boca amb les operacionsque recitava l’actriu, el volum del caramel jahavia disminuıt, i suposo que, per aixo mateix,se’m va ficar al cap acabar-me’l al mateix tempsque l’actriu arribes al numero u. Atret per la

bellesa de les simetries i les sincronies, em vasemblar que aquella era una coincidencia per-fecta en aquell moment, aixı que vaig comencara xuclar amb mes forca cada vegada que caliadividir per dos. L’objectiu, en realitat, no eragaire factible. L’actriu recitava els calculs ambforca velocitat, i en canvi la desintegracio d’uncaramel acostuma a ser lenta. Tot i aixo, vaiginsistir tant a xuclar en el moment adequat que,quan l’actriu finalment va arribar al numero u,em vaig passar de forca, i em vaig empassar elque quedava de caramel.

En aquell moment em vaig quedar para-litzat. Havia acabat el meu segon caramel,havia fet coincidir el seu final amb el finalde la conjectura, pero no havia respectat lacondicio que la seva consumacio fos lenta, jaque me l’havia empassat de cop. Llavors vaigtornar a sentir-me ridıcul per dedicar-me aestupideses com aquelles i tenir aquell tipus depensaments, i em vaig dir que ja n’hi havia proude rucades, que em concentres d’una vegadaen l’obra. Despres del sorprenent gir en queel pare d’una de les protagonistes resultavaser al mateix temps el seu germa, l’obra vaarribar a la part final. Jo ja no pensava en elcaramel pero llavors, a traves d’un altre delspersonatges, el guio va tornar a fer referenciaa les matematiques. Aquesta vegada es discutiasobre la veracitat de la formula u mes u iguala dos. En aquest cas, el sımil proposat erames senzill. Si el germa era tambe el pare, esque dues persones eren la mateixa, es a dir, umes u era igual a u, el mateix resultat que ala conjectura de Siracusa. En aquell momentvaig pensar en els caramels, pero, fart dedesconcentrar-me en preocupacions absurdes,vaig decidir ignorar-me a mi mateix.

L’obra va acabar, els aplaudiments vandurar una merescuda eternitat, i despres vamsortir del teatre. Als dos ens havia encantatl’obra, i vam anar a fer una cervesa percomentar-la. Abans d’arribar, pero, l’Angelaem va preguntar pel segon caramel. Em vafer una mica de vergonya explicar-li que haviapassat i en que havia pensat, pero ho vaig fer. Livaig explicar llavors que, despres de sentir-meidentificat mitjancant el caramel, primer ambla idea dels grafs i despres amb la dels numerosde calamarsa, l’unic que em quedava pendentera trobar alguna cosa dins meu que li donessentit al fet que u mes u podria ser igual a u.

SCM/Notıcies 44 93

L’Angela em va mirar amb uns ulls entremaliatsi somrients, i es va prendre un temps per parlar.Es va aturar, em va agafar una ma amb la seva,i amb l’altra va buscar alguna cosa a la bossa.Vaig trigar poc a endevinar que feia. En efecte,va treure un tercer caramel, va obrir la ma perensenyar-me’l, i em va dir:

— Se t’ha escapat el primer caramel. . . It’has empassat el segon caramel.

Mentre deia aixo va moure el dit ındex duesvegades, representant la suma d’u mes u. Comsi estigues fent-me un truc de magia, va acostarllavors el tercer caramel.

— Quants caramels veus aquı?

— Un —li vaig respondre.

— Doncs ja ho tens. U mes u es igual a u.

Despres d’allo, no hi havia altra opcio queriure. Avui, dies despres, escric sobre aixo sensela menor idea ni de la utilitat, ni del significatdel que va passar. Tampoc se per que ho escric.L’unica reflexio que se m’acut es que sı, quehauria d’anar mes al teatre. Aixı que, Angela, siestas llegint aixo, fes el favor de mirar el correu.T’he enviat un enllac amb una obra que te bonapinta. Es a Barcelona, pero si et ve de gustpodem anar a veure-la. Ah, i no et preocupis.Aquesta vegada porto jo els caramels.

Raco biograficLeonhard Euler (1707–1783): el mestre de tots nosaltresMaria Rosa Massa-EsteveUniversitat Politecnica de Catalunya

El segle xviii va ser un perıode de desen-volupament de la transmissio del coneixementcientıfic a traves de les academies i de lesseves publicacions, de la correspondencia idels viatges europeus de reis, emperadors icientıfics. Considerat un dels matematics mesprolıfics de la historia, Leonhard Euler (1707–1783),(Youschkevitch, 1971; Calinger, 2015),que durant la seva vida va viatjar des de Basileafins a Sant Petersburg, on va fer-hi dues estadesi tambe una estada a Berlın, se’ns presenta comun dels protagonistes d’aquesta circulacio delconeixement (Massa-Esteve, 2018).

De fet, Euler al llarg de 873 memoriesi llibres va contribuir al desenvolupament dela hidraulica, la hidrodinamica, la teoria delsvaixells, l’elasticitat i la mecanica dels cossosrıgids, aixı com de la teoria de nombres, deles series infinites, del concepte de funcio,de les funcions de variable complexa, de lesequacions diferencials, del calcul de variacions,de l’astronomia, etcetera (Gray, 1985). Lesseves obres completes contenen 70 volums (unes25.000 pagines) i si el pes relatiu quantitatiues considerable no ho es menys el seu pesqualitatiu.

Com exposarem mes endavant, una de lescontribucions mes importants d’Euler a lahistoria de les matematiques van ser els treballssobre analisi algebraica, que van constituir elspilars del desenvolupament de l’analisi real delssegles posteriors.

Figura 1. Leonhard Euler (1707–1783)

94 SCM/Notıcies 44

La vida d’EulerEuler va neixer el 15 d’abril de 1707, a Basilea(Suıssa), en el si d’una famılia vinculada a lafe calvinista, tant el seu pare com el seu avien van ser ministres. Va entrar a la Univer-sitat de Basilea als tretze anys i va estudiarmatematiques amb un dels millors matematicsde l’epoca, Johann Bernoulli (1667-1748). Ames, Bernoulli li feia classes setmanals elsdissabtes a la tarda, li recomanava textos perllegir i l’ajudava en questions sobre conceptesmatematics, metodes de demostracio i resoluciode problemes (figura 1).

Les primeres contribucions d’Euler son dequan tenia 19 o 20 anys. Ja l’any 1727 Eulerva obtenir el segon premi en un concurs sobretemes d’investigacio convocat per l’Academiedes Sciences de Parıs. En el seu treball es-tudiava la manera mes eficient de col·locarels pals en un vaixell. Va intentar quedar-se a la Universitat de Basilea, pero no hova aconseguir (Calinger, 2015, 35). Per reco-manacio de Christian Wolff (1700–1782), el1726, el president de la recentment inauguradaAcademia de Ciencies i Arts de Sant Petersburg(figura 2), Laurent Blumenstrot (1692–1755) liva demanar a Euler que s’hi incorpores i aquestva acceptar.

Figura 2. Academia de les Ciencies i Arts de SantPetersburg

Aquesta academia de Sant Petersburg va serprojectada durant molts anys per Pere el Gran(1672–1725), quan va viatjar per Europa ambl’objectiu de familiaritzar-se amb les invencionsi els nous desenvolupaments de la Il·lustracioeuropea. Un document amb el projected’aquesta academia va ser presentat al Senat deRussia per Pere el Gran el gener del 1724. Allas’especificava que hi hauria tres departaments,un de ciencies matematiques, un de fısica iquımica experimentals i, seguint l’Academia deBerlın, fundada per Leibniz el 1700, un tercer

d’humanitats. Encara que Pere el Gran vamorir el gener del 1725, a finals d’aquest mateixany la seva vıdua Caterina I la va inaugurar(Gouzevitch i Gouzevitch, 2008; Schulze, 1985;Gordin, 2000).

Mes tard, el 5 d’abril del 1727, Eulerva abandonar Basilea per incorporar-se al’Academia de Sant Petersburg i va roman-dre alla durant 14 anys impartint classes icol·laborant en l’organitzacio (Calinger, 1996).Entre els cientıfics que van arribar a l’academiaentre el juny i el desembre del 1725 hi havia:Jacob Hermann (1678–1733), Joseph-NicolasDelisle (1688–1768), Christian Goldbach (1690–1764), Georg Bernhard Bulfinger(1693-1750),Friedrich Christoph Mayer (1697–1729), Nico-las Bernoulli (1695–1726), i Daniel Bernoulli(1700–1782). Aquests academics eren obligats atrobar-se cada setmana per presentar i debatretemes cientıfics molt diversos, que abastavendes de la forma de la Terra fins a si lescreences cartesianes, newtonianes i wolffianesque hi havia vida a la Lluna es podien confirmar(Massa-Esteve, 2017). Els academics havien depublicar els seus resultats i contribucions enles actes de l’Academia titulades CommentariiAcademiae scientiarum imperialis Petropoli-tanae. De fet, Euler participava activamenten aquestes trobades i en els projectes queel Govern encomanava a l’academia per tro-bar solucions a problemes tecnologics, comara el disseny de mapes, o be la construc-cio de vaixells, encara que les seves princi-pals contribucions van ser en matematiques:analisi, teoria de nombres i mecanica. Aixı, el1741 ja tenia preparats uns 90 treballs delsquals en va publicar 55, inclosos dos volumsde mecanica.

D’aquesta primera etapa assenyalarem dosfets, el seu matrimoni a finals del 1733 ambKatharina Gsell, filla del pintor suıs G. Gsell,amb qui va tenir tretze fills, cinc dels quals vanmorir essent infants, i, a mes, que a causa d’unesfebres, Euler va perdre l’ull dret el 1738.

A la mort d’Anna Leopoldovna, regentad’Ivan VI, el 1740, i en veure el seu futur incert(a causa, possiblement, de la seva condiciod’estranger), el 1741, Euler va acceptar lainvitacio de Frederic II el Gran de Prussiaper incorporar-se a l’Academia de Ciencies deBerlın (figura 3).

SCM/Notıcies 44 95

En arribar a Berlın, el paıs es trobava enmigd’una gran crisi i Euler va haver de donarclasses particulars per mantenir la seva famılia.Aixı ho va fer amb la princesa Filippina VonSchwendt (dama de la noblesa parenta delrei Frederic) i aquestes llicons, mes endavant,van ser publicades a Russia en tres volums, elprimer el 1768 i el darrer el 1772, amb el tıtol:Lettres a une princesse d’Allemagne sur diverssujets de physique et de philosophie. Aquestaobra, considerada una de les primeres obres dedivulgacio cientıfica, va tenir molt d’exit i se’nvan fer dotze edicions en el frances original, nouen angles, sis en alemany, quatre en rus i duesen suec. Tambe n’hi ha d’italianes, espanyoles idaneses (Massa-Esteve, 2007).

Figura 3. Entrada de l’antiga Academia deCiencies de Berlın

Encara que Euler a Berlın treballava per ales dues Academies (la de Sant Petersburg i lade Berlın), el 1744 esdevingue el promotor de latransformacio, junt amb Maupertuis, que n’erael president, de l’antiga Societat de Cienciesde Berlın en la Reial Academia de Ciencies i

Belles Arts de Berlın. Euler va ser nomenatdirector de la classe de matematiques d’aquestaacademia i membre del seu comite directiu; almateix temps que dirigia la biblioteca, formavapart de la comissio de revisio de publicacio delstreballs cientıfics.

Durant aquest perıode, Euler va incremen-tar considerablement la varietat de les sevesinvestigacions. Va competir amb Jean Le RondD’Alembert (1717–1783) i amb Daniel Ber-noulli per establir els fonaments de la fısicamatematica i va ser tambe protagonista de re-llevants discussions amb Clairaut i D’Alembertsobre la teoria dels moviments de la Lluna i delsplanetes. Alhora, Euler va elaborar la teoriadel moviment dels solids, va crear l’aparellmatematic de la hidrodinamica, va desenvo-lupar amb exit la geometria diferencial desuperfıcies, i va estudiar intensivament optica,electricitat i magnetisme. Euler va prendre parten molts debats i discussions sobre diversestematiques cientıfiques i filosofiques, com arasobre les monadologies de Leibniz i de Wolff,el principi de mınima accio de Maupertuis, elslogaritmes dels nombres negatius, la soluciode l’equacio de la corda vibrant, etcetera. Alllarg de la seva estada a Berlın va prepararno menys de 380 treballs, dels quals se’nvan publicar 275, incloent-hi diversos llibresd’extensio considerable.

El 1759, Maupertuis va morir i Euler vaesdevenir la figura de referencia a l’academiasota la supervisio del rei Frederic II el Gran.Les diferencies entre el rei i Euler eren evi-dents, tant en el caracter com en la manerad’entendre i valorar la ciencia. El rei estimavala poesia i li semblaven poc practiques lesmatematiques; diuen que a Euler l’anomenava«ciclopi matematic». Quan el 1763 Euler vasaber que el rei pensava nomenar D’Alembertpresident de l’academia, va escriure a SantPetersburg i Caterina II la Gran li va feruna oferta per tornar-hi. De fet, D’Alembertno va acceptar, pero altres conflictes de tipusfinancer, durant el 1765, entre Euler i el rei, elvan decidir a anar-se’n i el 9 de juliol de 1766va abandonar Berlın.

En el seu retorn a Sant Petersburg va serrebut amb grans honors, tot i que en arribar-hi va perdre totes les seves possessions en unincendi i, poc temps despres, el 1773 va morir

96 SCM/Notıcies 44

la seva dona. Tanmateix, tres anys mes tard esva casar amb la seva cunyada.

En la seva segona estada a Sant Petersburg,l’acompanyaven tres dels seus fills. Un d’ells,Johann Albrecht, va esdevenir academic, vaocupar la catedra de fısica i, a partir del1769, va ser nomenat secretari permanent del’academia.

Poc temps despres d’instal·lar-se de noua Sant Petersburg, una malaltia va deixarEuler completament cec, no podia llegir iescrivia amb guix en una pissarra amb granslletres. Malgrat la ceguesa, les seves activitatscientıfiques no van cessar. La seva memoriaera fantastica i tenia molts ajudants, entreels quals els seus fills, i alguns deixebles iacademics que ell convidava. Tot sovint, dictavaels seus treballs, pero la majoria de les vegadess’establia una discussio i Euler desenvolupavales seves idees, calculava mentalment taulesi donava exemples. Els articles d’Euler de lasegona estada a Sant Petersburg eren breusper causa de la ceguesa. Tot i aixo, va escriurediversos llibres amb l’ajuda del seu fill Albrechti alguns academics.

Euler va continuar participant amb altresactivitats a l’Academia de Sant Petersburg.Junt amb el seu fill, era membre de la comissioque dirigia aquesta entitat, encara que el 1774van deixar-ho a causa de les seves diferenciesamb Orlov, que n’era el president. Va treballarfins a l’ultim dia de la seva vida. Era el 18de setembre de 1783, Euler va fer classe dematematiques als seus nets. Despres va fer unscalculs a la pissarra i mes tard es va reuniramb Lexell i Fuss per discutir sobre el planetaUra, que s’acabava de descobrir. A les cinc de latarda es va asseure i va dir: «M’estic morint».Efectivament, a les set de la tarda d’aquellmateix dia moria Euler, el gran geni de les ma-tematiques. Immediatament despres de la sevamort va rebre molts homenatges per part del’Academia de Sant Petersburg, de l’Academiede Sciences de Parıs i de la comunitat cientıficaeuropea. Les seves restes mortals es trobena Sant Petersburg.

Les contribucions d’Euler

En els seus treballs, Euler presentava les ma-tematiques connectades amb les aplicacions a

altres ciencies, a problemes tecnologics i a lavida publica. Les seves contribucions abracenels coneixements de les matematiques pures iles matematiques mixtes, que es troben a laclassificacio de les matematiques del 1754 del’Encyclopedie de D’Alembert. Els enciclope-distes havien recollit les idees i la classificaciode les matematiques feta per Francis Baconel 1605 en matematiques pures: la geometriai l’aritmetica; i, en matematiques mixtes: laperspectiva, la musica, l’astronomia, la cosmo-grafia, l’arquitectura, l’enginyeria, etc. (Massa-Esteve et al., 2011). Per aquest motiu no ensha d’estranyar que Euler, com a bon il·lustrat,treballes en un gran ventall de tematiques queavui identifiquem com a diferents disciplineso, fins i tot, com a disciplines independentsde les matematiques.

Aixı, ja l’any 1727, va escriure primer unamemoria sobre el so (Knobloch, 2008) i trestextos: un sobre les trajectories recıproquesen la geometria diferencial, un segon sobre latautocrona en la mecanica i un tercer sobrel’elasticitat de l’aire.

Figura 4. Portada de Summis serierumreciprocarum (1735)

En la seva primera estada a Sant Peters-burg va tractar amb series infinites, com aral’integral Beta (1729), els sumatoris de seriesinfinites (1735) i el problema de Basilea (1735)(Calinger, 1996). A la correspondencia d’Olden-burg trobem una carta del 26 de febrer de 1673

SCM/Notıcies 44 97

de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) queexpressava el seu interes en el treball de seriesde Pietro Mengoli (1626/27-1686). Oldenburgli va contestar (6 de marc de 1673) reenviantuna carta de John Collins en que l’autorexplicava que Mengoli havia trobat la sumade series infinites amb els numeros figurats enel denominador i, a mes, la demostracio de ladivergencia de la serie harmonica. Tanmateix,Mengoli no havia estat capac de trobar la sumainfinita dels recıprocs dels numeros quadratsque es el que ara s’anomena «problema deBasilea». Euler va trobar i demostrar la solucio,a la tardor del 1735, una sisena part de pi alquadrat, i li va comunicar al seu amic DanielBernoulli (figura 4).

Euler va publicar els seus dos volums demecanica: Mechanica sive motus scientia analy-tice exposita (1736) i tambe va solucionar elproblema dels Ponts de Konisberg (1735–pub.1741).

En la seva estada a Berlın va escriure unamonografia sobre el calcul de variacions (1744)(Fraser, 1994); un treball fonamental sobre elcalcul d’orbites (1745); un treball sobre artille-ria i balıstica (1745); un llibre d’analisi que vaesdevenir fonamental per al desenvolupamentde l’analisi: Introductio in Analysin infinitorum(1748) (figura 5), com despres explicarem; untractat sobre vaixells i navegacio, preparatja en una versio anterior a Sant Petersburg(1749); la seva primera teoria del moviment dela Lluna (1753); un volum de calcul diferen-cial: Institutiones calculi differentialis (1755),i, finalment, el tractat sobre la mecanica desolids: Theoria motus corporum solidorum seurigidorum (1765).

De la seva segona estada a Sant Petersburgdestaquem les 775 pagines de Theoria motuumlunae. . . (1772), que van ser completades ambl’ajuda del seu fill Albrecht, i els academicsKrafft i Lexell, que se citen en el tıtol del llibre.Krafft tambe el va ajudar en els tres volums deDioptrica (1769–1771). Tot i aixo va publicarels tres volums d’Institutiones calculi integralis(1768–1770), les principals parts de la qual jahavia acabat a Berlın. Tambe va publicar unaversio abreujada de Scientia navalis. Theoriecomplete de la construction et de la manoeuvredes vaisseaux (1773), que va ser traduıda al’angles, italia i rus, i que li va proporcionar

grans sumes de diners dels governs rus ifrances. Fuss, jove suıs, convidat per Euler, elva ajudar a preparar l’obra Eclaircissementssur les etablissements publics. . . (1776), queva ser molt influent en el desenvolupa-ment de les assegurances: moltes companyi-es empraven els seus metodes de solucio iles seves taules.

Figura 5. Portada de la Introductio in AnalysinInfinitorum (1748)

Euler era un creador, en les seves contribuci-ons va intentar obrir nous camps, i aixı va donara coneixer nous sımbols, com ara el nombree per representar la base dels logaritmes, elnombre i per representar els complexos, la lletraF i els parentesis per a les funcions; tambe vadonar noves definicions, noves formules, nouspolinomis (anomenats «d’Euler»), integrals eu-lerianes, lınies d’Euler, etcetera. No obstantaixo, les seves contribucions van ser decisivessobretot en tres arees: en el calcul de diversesvariables, especialment aplicat a la fısica ambla introduccio de les equacions amb derivadesparcials; en la teoria i aplicacio de les equacionsdiferencials ordinaries i, finalment, en l’us delsmetodes analıtics i procediments algebraics endiferents parts de la matematica (Ferraro, 2010;Fraser, 1989).

98 SCM/Notıcies 44

L’analisi algebraica: la contribucio d’Euler

La publicacio l’any 1591 de l’obra In ArtemAnalyticen Isagoge de Francois Viete (1540-1603) va ser un dels punts clau per al desen-volupament dels procediments algebraics enla matematica. Viete va introduir a la se-va obra una nova algebra emprant la sevalogıstica especiosa, on els sımbols d’aquestaart analıtica (o algebra) poden ser empratsper representar no nomes nombres, com enels treballs precedents del Renaixement, sinotambe valors de qualsevol magnitud, ja siguinlongituds, superfıcies, volums o angles. Elsprocediments analıtics li permetien afirmar queamb aquestes eines podia solucionar tots tipusde problemes. Amb la difusio dels treballsde Viete, molts altres autors van comencar aconsiderar la utilitat del llenguatge simbolic idels procediments algebraics per resoldre tottipus de problemes i per obtenir nous resultats(Massa-Esteve, 2006). Aquest proces d’algebrit-zacio de les matematiques va ser desenvolupatprimerament amb la creacio de la geometriaanalıtica a traves de les obres de Rene Descartes(1596–1650) i Pierre de Fermat (1601–1655),i amb les contribucions al calcul diferencial atraves dels treballs d’Isaac Newton (1642–1727)i Leibniz.

Mes tard, en el segle d’Euler, ja es vatreballar per difondre i estudiar aquests tre-balls, tot aplicant els procediments analıticsper construir nous teoremes, nous objectes,noves regles i nous metodes. Aixı, figurescom Daniel Bernoulli, D’Alembert, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), Pierre-Simon La-place (1749–1827) i el mateix Euler vananar perfeccionant els metodes analıtics i elsvan utilitzar per solucionar satisfactoriamentproblemes celestes i terrestres. De fet, espot afirmar que amb els desenvolupamentsanalıtics dels seus treballs, aquest grup d’au-tors van posar els fonaments per a la crea-cio d’una nova branca de les matematiquesanomenada «analisi».

Es poden esmentar algunes evidencies ales contribucions d’Euler a l’analisi; aixı, enla seva primera estada a Sant Petersburg,per exemple, les seves contribucions a lesseries infinites que emprava per calcular lesintegrals Beta (1729) i alguns exemples d’e-quacions a la mecanica (1736); pero el mes

important van ser les contribucions a la reso-lucio d’equacions sistematicament sumariadesper Euler en el seu famos llibre sobre laintroduccio a la teoria de funcions (1748),en la seva obra sobre diferenciacio (1755),en la d’integracio (1768–1770), aixı com enl’algebra (1770).

A tall d’exemple, adjuntem alguns dels seusraonaments en deduir el valor de la integralBeta B(3/2,3/2) en un text que va presentara l’Academia de Sant Petersburg el 1729, ique va publicar el 1730 a Comentarii aca-demiae scientiarum imperialis Petropolitanae,titulat «De progressionibus transcendentibus,seu quarum termini generales algebraice darinequeunt».

(«Sobre les progressions transcendents», esa dir, aquelles que els termes generals deles quals no es poden expressar algebrai-cament) (Dutka, 1991; Delshams & Massa-Esteve, 2008).

En aquest text, Euler, a traves de 29apartats, vol trobar el terme general d’unaprogressio formada pels termes, 1, 2, 6, 24, . . .,es a dir, n!, i remarca la seva preocupacio, jaque sap que no es pot expressar algebraicamentper a tots els valors de n. Donats a1, a2, a3, . . .,trobar el «terme general» per a nosaltres voldir trobar l’expressio (funcio) f(x), tal quean = f(n) de tal manera que el valor anpot ser extrapolat per valors no enters den: ax = f(x).

Vegeu com Euler raona que es possible queel terme general d’aquesta progressio no tinguinomes termes algebraics, sino tambe termes quedepenen de quadratures (expressio empradaper designar el que avui anomenem «arees» o«integrals definides»).

«Jo havia suposat previament que el termegeneral de les series 1, 2, 6, 24 . . ., podia serdonat, si no algebraicament, com a mınimexponencialment. Pero, despres d’haver vistque alguns termes intermedis depenen de laquadratura del cercle, vaig reconeixer queni quantitats exponencials ni algebraiquesson adequades per expressar-ho. Per alterme general d’aquesta progressio s’hand’incloure altres quantitats que depenen dela quadratura del cercle o d’altres quadratu-res, pero que no poden ser representades per

SCM/Notıcies 44 99

cap formula algebraica o exponencial. Empreguntava de quina manera les formulesdiferencials serien apropiades per expressarel terme general de la progressio. Un termegeneral ha de tenir n per substituir i trobarels termes. Pero una formula diferencialha de contenir alguna quantitat variable.No te sentit prendre n, n no es la varia-ble d’integracio, sino que, despres que laformula hagi estat integrada, n hauria deservir per a la formacio de la progressio.»(Euler, 1730, 39)

Pel que fa al procediment analıtic en aquestcas, podem constatar la facilitat d’Euler en elseu us de l’infinit i tambe remarcar com calculaamb les series infinites de manera formidable(Ferraro, 2007). Aixı comenca calculant la Betaintegral amb el desenvolupament de la formuladel binomi obtenint un producte infinit.Vegeu aquests desenvolupaments a Delshams &Massa-Esteve (2008).

∫ 1

0xedx(1− x)n= 1 · 2 · 3 · 4 . . . n

(e+1) · (e+2) · · · (e+n+1) .

El tractament de la idea d’interpolacioen l’obra d’Euler es tambe original. De fet,Euler no calculava ni interpolava deduint unageneralitzacio a partir dels calculs fets cas percas, sino que mes aviat buscava una expressiogeneral algebraica on poder manipular i trobartots els termes, inclosos els termes interme-dis (Delshams & Massa-Esteve, 2008; Massa-Esteve & Delshams, 2009).

Euler tambe va eliminar gradualment l’e-videncia geometrica en les seves proposicionsdel calcul integral. Es pot observar que Eulercalculava un gran nombre d’integrals definidesque corresponien a quadratures (arees) de fi-gures geometriques, i en cap cas dibuixava lafigura que estava quadrant. A mes, tampoc nodescrivia de manera retorica els elements quepermetrien dibuixar la figura geometrica quequadrava.

Mitjancant procediments analıtics, no ge-ometrics, va buscar la relacio entre els expo-nents de les expressions algebraiques de lesfigures que quadrava i els valors de la quadratu-ra. D’aquesta manera, establia una classificacio

de les integrals que permetia demostrar almateix temps moltes propietats de cada tipus,sense necessitat de fer-ho cas per cas. (Capo-bianco et al., 2017; Delshams&Massa-Esteve,2008).

Euler considerava l’analisi algebraica unapart de les matematiques, ja que els seusprocediments facilitaven la generalitzacio i lacomprensio de les solucions dels problemes decorbes i dels problemes de mecanica, a travesde l’establiment d’equacions i funcions quea mes analitzava amb procediments infinits.Efectivament, Euler va desenvolupar una teoriaanalıtica de funcions i una teoria analıtica d’in-tegracio. Realment, les contribucions d’Eulera l’analisi algebraica van esdevenir el llegatmes important, ja que van constituir el puntde partida per a la construccio de l’analisireal. Aixı, el 1786 quan Euler ja havia mort,Condorcet ja emfasitzava aquest punt en elseu elogi: «I un no podra evitar de mirarl’obra d’Euler com la revolucio que ha tor-nat l’analisi algebraica un metode lluminos,universal, aplicable a tot i fins i tot facil».(Condorcet, 1786).

Algunes reflexions

A l’edat de 20 anys, Euler va arribar a treballaren una dinamica academia creada per Pereel Gran. Alla va aprendre i al mateix tempsva millorar el seu coneixement mitjancant lesinteraccions amb els altres academics, com araHermann, Bernoulli, Delisle i Goldbach. A mes,l’academia li va donar la gran oportunitat de ferrecerca i ampliar el ventall de temes d’investi-gacio. Es important assenyalar que les troba-des setmanals a l’academia per debatre temescientıfics i les seves corresponents publicacionsvan donar lloc a una extraordinaria quantitatde material per a la investigacio i el progres delconeixement cientıfic.

La contribucio d’Euler es pot veure com lamaterialitzacio del projecte de Pere el Gran.L’esperit d’Euler, combinant utilitat i prestigi,es l’encarnacio de l’ideal de Pere el Gran iCaterina II, que va ser heretat per la Russia dela Il·lustracio. Euler pot considerar-se un focusde connexio entre la ciencia europea i Russia,un dels actors principals en la transferenciai difusio del coneixement que, per la seva

100 SCM/Notıcies 44

mobilitat, les seves xarxes professionals a totEuropa i la seva fama, va facilitar el movimentd’idees i especialment va ser essencial per aldesenvolupament de l’analisi.

Euler va ser un creador de nocions i metodesclau dins les matematiques pures i mixtes,encara que en molts casos el seu valor haestat reconegut molts anys despres de la sevamort. Efectivament, molts treballs matematics,sobretot d’analisi, desenvolupats en el segle xixes van fonamentar en els resultats obtingutsanteriorment per Euler. Aixı, el 1950, el recone-gut historiador de la matematica Carl B. Boyerafirmava en la seva ponencia del CongresInternacional de Matematics de Massachussetsque l’obra Introductio in Analysin Infinitorum(1748) d’Euler va ser el llibre mes important peldesenvolupament de l’analisi de l’era moderna,equiparable amb el rol desenvolupat pels Ele-ments d’Euclides en la geometria i amb el rolde l’obra de Mohamed Ben-Musa al-Khwarizmien l’algebra.

Euler va ser un gran mestre i un magnıfic di-vulgador. Quan exposava ho feia amb senzillesai explicava el camı recorregut fent observacionssobre els intents tant si eren fructıfers com sino ho eren. Aixı, per calcular B(3/2,3/2) Eulerraona com fara la demostracio, mes endavantmostra un camı amb el qual no troba la solucioi tambe en raona els motius. Llegir Euler esaprendre, no unicament amb el desenvolupa-ment dels seus resultats, sino tambe en llegirles seves explicacions i raonaments quan elcamı que empren no es profitos (Massa-Esteve,2007). De fet, les seves obres actualment estroben accessibles en lınia (vegeu referencia);aixı doncs, el nostre millor suggeriment pot ser,seguint les paraules de Laplace: «Llegiu Euler,ell es el mestre de tots nosaltres».

Referencies

[1] R. Calinger. «Leonhard Euler: The FirstSt. Petersburg Years (1727-1741)». Histo-ria Mathematica 23 (1996), 121–166.

[2] R. Calinger. Leonhard Euler: mathematicalgenius in the Enlightenment. Princeton:Princeton University Press (2015).

[3] G. Capobianco, M.R. Enea i G. Ferraro.«Geometry and Analysis in Euler’s inte-

gral calculus». Archive for History of ExactSciences 71 (2017), num. 1, 1–38.

[4] M.J.A. Condorcet. «Eloge de M. Euler».A: Histoire de l’Academie Royale des sci-ences pour l’annee 1783. Parıs: ImprimerieRoyale (1786), 37-68.

[5] A. Delshams i M.R. Massa-Esteve. «Con-sideracions al voltant de la funcio Betaa l’obra de Leonhard Euler (1707-1783)».Quaderns d’Historia de l’Enginyeria IX(2008), 59–82.

[6] J. Dutka. «The Early History of theFactorial Function». Archive for History ofExact Sciences 43 (1991), num. 3, 225–249.

[7] L. Euler. «De progressionibus transcen-dentibus seu quarum termini generalesalgebraice dari nequeunt».(1730/31). A:Opera Omnia, serie 1, vol. XIV, 1–24. AComentarii academiae scientiarum Petro-politanae (1738), 5, 36–57, E019.

[8] G. Ferraro. The rise and the Developmentof the Theory of Series in the 18th andearly 19th centuries. Series: Sources andStudies in the History of Mathematics andPhysical Sciences, Springer (2007).

[9] G. Ferraro. «Euler’s Analytical Program».Quaderns d’Historia de l’Enginyeria XI(2010), 175–198.

[10] C.G. Fraser. «The Calculus as AlgebraicAnalysis: Some Observations on Mathe-matical Analysis in the 18th Century».Archive for History of Exact Sciences 39(1989), 317–335.

[11] C.G. Fraser. «The origins of Euler’s va-riational calculus». Archive for History ofExact Sciences 47 (1994), num. 2, 103–141.

[12] M.D. Gordin. «The Importation of BeingEarnest: The Early St. Petersburg Aca-demy of Sciences». Isis 91 (2000), num- 1,1–31.

[13] I. Gouzevitch i D. Gouzevitch. «Intro-ducing mathematics, building an empire:Russia under Peter I». A: Robson-Stedall(eds.), The Oxford Handbook of the His-tory of Mathematics. Nova York: OxfordUniversity Press (2008), 353–373.

SCM/Notıcies 44 101

[14] J. Gray. «Leonhard Euler: 1707-1783».Janus-Revue Internationales de l’histoiredes sciences, de la medecine, de la pharma-cie et de la technique LXXII (1-3) (1985),171–192.

[15] E. Knobloch. «Euler transgressing lımits:The infinite and music theory». Quadernsd’Historia de l’Enginyeria IX (2008), 9-24.

[16] M.R. Massa-Esteve. «Algebra and Geo-metry in Pietro Mengoli (1625–1686)».Historia Mathematica 33 (2006), 82–112.

[17] M.R. Massa-Esteve. «Leonhard Euler(1707–1783): l’home, el creador i el mes-tre». Metode 55 (2007), 35–38.

[18] M.R. Massa-Esteve. «Sankt-Peterburgskaja Akademija Nauk otPetra I do Ekateriny II:and LeonardEjler». A: Petro primo Catharina secunda;Dva monarha, dev epohi -preemstvennost’,razvitie, reformy. Evropejskij Dom (2017),190–202.

[19] M.R. Massa-Esteve. «The circulation ofscientific knowledge in Euler’s first stage atSaint Petersburg Academy of Sciences». A:F. d’Angelo (ed.), The scientific dialoguelinking America, Asia and Europe between

the 12th and the 20th Century. Theoriesand techniques travelling in space andtime. Napoli: Viaggiatori (2018), 262–276.

[20] M.R. Massa-Esteve i A. Delshams. «Eu-ler’s Beta integral in Pietro Mengoli’sworks». Archive for History of Exact Sci-ences 63 (2009), 325–356.

[21] M.R. Massa-Esteve, A. Roca-Rosell iC. Puig-Pla. «Mixed mathematics in engi-neering education in Spain: Pedro Lucuce’scourse at the Barcelona Royal MilitaryAcademy of Mathematics in the eighteenthcentury». Engineering Studies 3 (2011),num. 3, 233–253.

[22] L. Schulze. «The Russification of the St.Petersburg Academy of Sciences and Artsin the eighteenth century». British of Jour-nal of History of Sciences 18 (1985), 305–335.

[23] A.P. Youschkevitch. «Leonhard Euler». A:C.C. Gillispie (ed.), Dictionary of Scien-tific Biography. Nova York: Scribner’s 9(1971–1991), 467–484.

Les obres d’Euler en lınia: http://www.math.dartmouth.edu/˜euler/ o be The EulerArchive.

Problemes

Juanjo RueUniversitat Politecnica de Catalunya

Torna a passar el perıode de bon temps i, sense adonar-nos-en, ja ens tornem a plantar enmig delfred. I no hi ha res millor per suportar el fred i la pluja que estar amb una xocolata calenta i unbon problema matematic per treballar! Aquı en presentem uns quants amb els quals creiem que,modestament, podem oferir una estona ben agradable de pensar i de treballar en allo que tant ensagrada a tots: les matematiques.

Passem, doncs, al material matematic. Comencem pels agraıments a tots els que han contribuit aaquesta entrega plantejant problemes de tota mena: a Miquel Amengual i a Joaquim Nadal (des deCala Figuera i Llagostera, respectivament), tots dos amb problemes geometrics molt interessantsi entretinguts; a Jose Luis Dıaz-Barrero, des de Barcelona, amb una de les seves desigualtats i,finalment, a Xavier Ros-Oton, des de Zuric. A la redaccio en guardem uns quants mes per a lapropera. . . i no dubteu que qualsevol problema interessant sera mes que benvingut en aquestespagines.

102 SCM/Notıcies 44

Tambe volem donar les gracies a tots els que ens han fet arribar solucions dels problemes proposatsen el numero anterior. El problema que ha ocupat mes esforcos ha estat, sense cap mena de dubte,el 149. Especialment en aquest hem rebut solucions de tota mena, tot i que la majoria no s’hanrestringit a la restriccio «purament euclidians». A causa de l’extensa varietat de solucions rebudes,en aquesta ocasio publicarem la brillant, elegant i elemental solucio del proponent, junt amb unasolucio d’Esteve Casas.

Abans d’acabar, volem fer el comentari habitual: per enviar qualsevol proposta (solucions, proble-mes a resoldre, comentaris, . . . ), dirigiu-vos a l’adreca de correu electronic seguent:

juan.jose.rue@upc.edu.

Tambe, per tal de facilitar la feina a aquest humil escrivent, el material en TEX o LaTEX (i enespecial les figures i dibuixos!) sera rebut amb molta mes satisfaccio d’esperit. Doncs res mes. . . Atreballar en els problemes proposats s’ha dit!

Problemes proposats

A153. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Sigui 4ABC un triangle amb CAB < 90 iAB = AC. Sigui P un punt del costat BCtal que BP > PC. Denotem per D i E elsrespectius peus de les perpendiculars tirades deP a AB i CA.Provau que [4APD] > [4APE], on [4XY Z]denota l’area del triangle 4XY Z.

A154. (Proposat per Xavier Ros-Oton, Univer-sitat de Zuric, Zuric.)Sigui ann≥0 una successio de nombres realspositius. Demostreu que si la serie

a1a0

+ a2a0 + a1

+ ana0 + · · ·+ an−1

+ ...

es convergent, aleshores la serie∑n≥0 an tambe

ho es.

A155. (Proposat per Jose-Luis Dıaz Barrero,BarcelonaTech UPC, Barcelona.)Siguin a1, a2, . . . , an, n nombres positius talsque a1 + a2 + . . .+ an = 1. Demostreu que

14

n∑k=1

(ak − ak+1)2

ak + ak+1+

n∑k=1

(akak+1

)1/2≤ 1.

(En aquesta formula els subındexs es considerenmodul n, i, per tant, an+1 = a1.)

A156. (Proposat per Joaquim Nadal i Vidal,Llagostera.)En el triangle 4ABC, ABC = 60. Sigui Mel punt mig del segment AB. Sigui Z(X) =AX + XM on X es un punt del segment BC.Trobeu l’area i el perımetre del triangle 4ABCsabent que el mınim valor de Z(X) es 21 i queaquest mınim s’obte quan X es el peu de labisectriu de l’angle BAC.

Solucions

A149. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Denotem per I l’incentre d’un triangle 4ABC.Demostreu, fent servir metodes purament eu-clidians:

1. Si AI +BC = BI +CA = CI +AB, llavors4ABC es equilater.

2. Si AIBC = BI

CA = CIAB , llavors 4ABC es

equilater.

3. Si AI · BC = BI · CA = CI · AB, llavors4ABC es equilater.

Solucio 1: (Solucio del proponent.)Veguem cada punt per separat:

1. Suposem que BI+CA = CI+AB. Tindrem,de manera equivalent que

CA− CI = AB −BI. (1)

Siguin D i E els respectius punts dels costatsAC i AB del triangle 4ABC tals que CD =

SCM/Notıcies 44 103

CI i BE = BI. Aleshores,

AE = AB−BI = (per (1)) = CA−CI = AD.

A

B CP

DE

I

**

Sigui ara P la interseccio de la recta quepassa per A i I amb el costat BC. Ara,els parells de triangles (4ADI,4AEI) i(4ADP,4AEP ) son iguals (via la relaciocostat-angle-costat) amb DI = EI i DP =EP . Consequentment, 4IPD i 4IPE soniguals (ara via la relacio costat-costat-costat)amb DIP = EIP . Per tant, com que

DIP = CIP + DIC

=(CAI + ICA

)︸ ︷︷ ︸

teorema angleexterior

+(

90 − 12 ICD

)︸ ︷︷ ︸4ICD es isosceles

amb CD = CI

=(1

2BAC + 12ACB

)+(

90 − 14ACB

)

= 90 + 12BAC + 1

4ACB.

Analogament,

EIP = 90 + 12BAC + 1

4ABC,

i, per tant, ABC = BCA. Analogament,BCA = CAB. Es a dir, ABC = BCA =CAB, i, per tant, 4ABC es equilater.

2. La demostracio es per contradiccio: suposemAB > CA. Aleshores, sera BI > CI. Pertant,

AB

CA> 1 > CI

BI.

Aixı doncs, CIAB < BI

CA , i hem arribat acontradiccio.

A una contradiccio analoga s’arriba si supo-sam AB < CA. Llavors ha de ser AB = CA.Analogament, CA = BC. Es a dir:

AB = BC = CA

i, per tant, 4ABC es equilater.

3. Sigui novament P el punt obtingut de tallarel segment BC amb la recta que passa perA i per I. Ates que BI · CA = CI · AB,tindrem BI

CI = ABCA = BP

PC i pel recıproc delteorema de la bisectriu interior en deduımque BIP = P IC . En consequencia,

ABI = BIP − BAP = P IC− PAC = ICA.

i

ABC = 2 · ABI = 2 · ICA = ACB.

Per tant, AB = CA. Analogament, CA =BC.

Solucio 2: (Solucio d’Esteve Casas, Sant Celo-ni.)En primer lloc, presentem el dibuix sobre elqual es basaran els raonaments i les nota-cions. Hi denotem per IA, IB, IC els puntsde tangencia de la circumferencia inscrita altriangle

aABC. Denotarem per R el radi de

la circumferencia inscrita.

A

B

C

I

IA

IB

IC

CI

BI

AI

R

Usarem tambe expressions del tipus BA2 perdenotar el quadrat de la longitud del segmentBA. Aleshores podem observar que es complei-xen les relacions:

104 SCM/Notıcies 44

AIC = AIB,

BIC = BIA,

CIA = CIB,

AC = AIB + CIB,

CB = CIA +BIA,

AB = AIC +BIC ,

i, mitjancant el teorema de Pitagores,

AI2 = R2 +AI2C ,

BI2 = R2 +BI2C ,

CI2 = R2 + CI2B.

Ara podem combinar (mitjancant la diferencia)aquestes relacions per deduir-ne que

CI2 −BI2 = CI2B −BI2

C , (∗)

CI2 −AI2 = CI2B −AI2

C , (∗∗)

BI2 −AI2 = BI2C −AI2

C . (∗ ∗ ∗)

Analitzem ara cada un dels casos que ensdemanen d’estudiar.1. A mes, tenim que es compleix que AI+BC =BI + CA = CI + AB. En aquesta situacio larelacio (∗) es

(CI−BI)(CI+BI) = (CIB−BIC)(CIB+BIC).

Usant ara que CI − BI = CA − AB i queCIB + BIC = CIA + BIA = BC, obtenimque la relacio anterior es igual a la relacio(CA − AB)(BI + CI)(CIB − BIC)(CB). Fi-nalment, com que CIB − BIC = CA − AB,concloem que

(CA−AB)(BI + CI) = (CA−AB)CB.

Per tant, tret que el triangle sigui degenerat (isuposem que no ho es), CI + BI > CB; pertant, ens cal que CA − AB = 0. Aixı doncs,CA = AB = CB que correspon al triangleequilater.2. Denotem per k al quocient AI

BC = BICA = CI

AB .Per tant

CI2 = k2AB2 = k2(AIC +BIC)2,

BI2 = k2CA2 = k2(CIB +BIB)2,

AI2 = k2BC2 = k2(AIA +BIA)2.

En aquest cas, la relacio (∗) es tradueix com a

k2(AIC+BIC)2−k2(AIB+CIB)2 = CI2B−BI2

C ,

que es pot reescriure de la forma

k2(BIC − CIB)(2AIC +BIC + CIB)

= (CIB −BIC)(CIB +BIC).

Observeu que l’ultima expressio representa unaigualtat amb termes de signe contrari perquehi ha BIC − CIB en una banda de la igualtati CIB − BIC A l’altra. Per tant, l’unicapossibilitat que es compleixi es CIB −BIC = 0o CIB = BIC . Usant raonaments similars amb(∗∗) i (∗ ∗ ∗) tenim que CIB = AIC i BIC =AIC , i aixo implica que AC = AB = BC. Es adir, el triangle es equilater.

3. Finalment, suposem que AI · BC =BI · CA = CI · AB = k per un cert valork. A partir d’aquı obtenim que

CI2 = k2

AB2 , BI2 = k2

AC2 , AI2 = k2

CB2 .

Per tant (∗) , en aquest cas s’expressa de lamanera seguent:

k2[ 1AB2 −

1CA2

]= k2CA

2 −AB2

AB2CA2

= CI2B −BI2

C .

Aixı doncs,

k2 (CA−AB)(CA+AB)AB2CA2

= (CIB −BIC)(CIB +BIC)

= (CA−AB)(CIA +BIA)

= (CA−AB)CB,

i, per tant, si fos CA 6= AB,

k2CA+AB

AB2CA2 = CB.

Novament, a partir de (∗∗) i (∗ ∗ ∗), arribarıema les expressions similars (si AB 6= CB i CA 6=CB):

k2CB +AB

AB2CB2 = CA, k2CA+ CB

CA2CB2 = AB.

SCM/Notıcies 44 105

Tenim, doncs, la relacio:

k2(AB + CA)CB = k2(CB +AB)CA

= k2(CA+ CB)AB

= AB2BC2AC2.

Comparant, per exemple, els termes de laprimera igualtat obtenim que (CA+AB)CB =(CB + AB)CA, d’on es pot deduir que ne-cessariament es compleix que CB = CA.De manera similar es dedueixen les igualtatsdels altres costats, i, per tant, el triangle esequilater.

A150. (Proposat per Xavier Ros-Oton, Univer-sitat de Zuric, Zuric.)Sigui p(x) = xn + an−1x

n−1 + ... + a1x + a0.Suposem que p te totes les arrels reals, i siguia el maxim de totes elles. Proveu que per a totx ≥ a es compleix que

p′(x) ≥ n [p(x)]n−1

n .

Solucio: (Solucio de Francesc Fite, Institutd’Estudis Avancats, Princeton, Estats Units.)

Denotem per α1, ..., αn les seves arrels (ambpossible repeticio de nombres si hi ha arrelsmultiples) i ordenades en ordre decreixent (pertant, α1 = a). Per comencar, si x = a es clar quep′(a) ≥ 0 = p(a). Aixı doncs, suposem d’aquıen endavant que x > a.Tenim aleshores que per tota x > a que p(x)> 0 i

p′(x)p(x) = d

dxlog p(x)

= d

dx[log(x− α1) + · · ·+ log(x− αn)]

= 1x− α1

+ · · ·+ 1x− αn

≥ n n

√1

x− α1· · · 1

x− αn

= n1

n√p(x)

,

on hem usat la desigualtat entre la mitjanaaritmetica i la geometrica. Observeu tambe queen les derivades del logaritme no hi apareix elvalor absolut ates que x > a, i, per tant, totesles fraccions son positives.

Finalment, podem multiplicar els dos costats dela desigualtat per p(x), i finalment obtenim que

p′(x) ≥ n p(x)n√p(x)

.

Comentari a la solucio: noteu que la desi-gualtat es dona amb igualtat (usant la desi-gualtat aritmeticogeometrica) si i nomes sip(x) = (x− a)n.

A151. (Proposat per Jose-Luis Dıaz Barrero,BarcelonaTech UPC, Barcelona.)Sigui n un enter no negatiu. Demostreu que

n∑k=1

√√√√(nk

)k −√k2 − 1√

k(k + 1)FkF2n≤ 4

√n

n+ 1 ,

on Fn denota l’n-essim nombre de Fibonacci,definit per F0 = 0, F1 = 1, i per n ≥ 2,Fn = Fn−1 + Fn−2.

Solucio: (Solucio de Bruno Salgueiro Fanego,Viveiro, Lugo.)Farem la prova per induccio sobre n. Per n = 1,tant el terme de l’esquerra com el terme de ladreta de la desigualtat son iguals a 2−1/4. Pertant, la desigualtat es certa ja que es certa enparticular la igualtat.Suposem ara que n ≥ 2, el terme de l’esquerrade la desigualtat es pot interpretar com elproducte escalar de dos vectors en Rn ambcomponents (per k = 1 fins a n)√√√√(n

k

)FkF2n

i

√√√√k −√k2 − 1√

k(k + 1)

=

√√√√ k√k(k + 1)

−√

(k − 1)(k + 1)√k(k + 1)

=

√√√√√ k

k + 1 −

√k − 1k

.

Per tant,

n∑k=1

√√√√(nk

)k −√k2 − 1√

k(k + 1)FkF2n

=n∑k=1

√√√√(nk

)FkF2n

√√√√√ k

k + 1 −

√k − 1k

106 SCM/Notıcies 44

Aplicant ara la desigualtat de Cauchy-Schwartza aquest sumatori obtenim (despres de simpli-ficar les arrels quadrades) que

n∑k=1

√√√√(nk

)FkF2n

√√√√√ k

k + 1 −

√k − 1k

≤

√√√√ n∑k=1

(n

k

)FkF2n

√√√√ n∑k=1

√k

k + 1 −

√k − 1k

.

La suma que apareix en el segon factor sesimplifica de manera trivial i obtenint

√nn+1 .

D’altra banda, es compleix la identitat entrenombres de Fibonnacci F2n =

∑nk=1

(nk

)Fk, que

es pot demostrar directament usant l’expressioexplıcita Fr = 1√

5(φn1−φn2 ), on φ1 i φ2 son arrelsdel polinomi 1− x− x2 (φ1 es l’arrel de modulmes gran).En resum, hem obtingut que√√√√ n∑

k=1

(n

k

)FkF2n

√√√√ n∑k=1

√k

k + 1 −

√k − 1k

=

√1 4

√n

n+ 1 = 4

√n

n+ 1 ,

que es el que volıem demostrar.Comentari a la solucio: si n > 1, la desigualtates de fet estricta. En efecte, usant que ladesigualtat de Cauchy-Schwartz es dona ambigualtat si i nomes si els dos vectors consideratsson proporcionals, podem deduir que la relaciodemanada es donara amb igualtat si es com-pleix que per tot valor 1 ≤ k ≤ n− 1√√

kk+1 −

√k−1k√(n

k

) FkF2n

=

√√k+1k+2 −

√kk+1√( n

k+1)Fk+1F2n

.

Fent ara k = 1 en aquesta relacio veiem quel’unica tria valida per n per tal que es doni laigualtat es 4√

3 − 1, que evidentment no es unnombre enter.

A152. (Proposat per Joaquim Nadal i Vidal.Llagostera.)Considerem dues rectes l1 i l2 que es tallen en elpunt A, i sigui P un punt a l’interior de l’angleA. Traceu pel punt P dues rectes r1 i r2 queformin entre si un angle recte, tal que r1 (resp.r2) talla l1 (resp. l2) en el punt L (resp. M) ambla condicio que els triangles 4APL i 4APMtinguin la mateixa area.

Solucio: (Solucio de Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Comencem amb l’analisi de la configuracio.Siguin L′ i M ′ els peus de les perpendicularsa AP per L i M , respectivament. Aleshores,LL′ ⊥ AP i MM ′ ⊥ AP . Per tant, els segmentsLL′ i MM ′ son paral·lels.Les arees dels triangles 4APL i 4APM espoden expressar com 1

2AP · LL′ i 1

2AP ·MM ′,respectivament. Si s’igualen aquestes dues ex-pressions i es divideixen per 1

2AP s’obte que,de fet, LL′ = MM ′.

l1

l2A

P

L

M

L′

M ′

Se segueix, per tant, que el quadrilaterLL′MM ′ es un paral·lelogram (te dos costatsiguals i paral·lels). Ates que les diagonals d’unparal·lelogram es bisequen mutuament, la rectaque uneix els punts A i P passa pel punt mitjadel segment LM . I com que LPM = 90, veiemque la circumferencia de diametre LM passaper P .Vista l’analisi podem passar a la construccio:escollim un punt Q, diferent de A i de P , quepertany a la semirecta AP . Sigui R el punt del1 tal que el segment QR es paral·lel l2 i S elpunt simetric de A respecte de R en la recta l1.Si considerem T el punt d’interseccio amb l2 dela recta QS, s’obte

SQ

QT= SR

RA= 1,

i d’aquı obtenim que SQ = QT. Tenint presentque S, Q i T estan alineats, Q es el punt mitjadel segment ST .

l1

l2A

P

L

M M∗Q

RS

T

V

L∗

SCM/Notıcies 44 107

Finalment, si considerem V un dels puntsd’interseccio amb AP de la circumferencia dediametre ST , tindrem SV T = 90 i les rectes

tracades pel punt P i paral·leles a SV i V T sondues rectes r1 i r2 que compleixen el que ensdemanaven.

MatemotsXavier GraciaUniversitat Politecnica de Catalunya

Recordeu que es tracta d’un joc de llengua(vegeu l’article introductori al numero 33 dela SCM/Notıcies). Cal resoldre els enigmeslinguıstics seguents, a partir de la definiciodonada i les pistes incloses.

Exemple: «Regions de l’espai que omplen labenzinera» (7 lletres). La resposta es «octants»,que son les regions de l’espai determinades pelsplans coordenats, i que sonen igual que elsoctans de la gasolina.

En cas de dubte podeu trobar-ne les respos-tes al peu de pagina.3

1. Pot ser angle, devot del deure o tram debudell (5 lletres)

2. Els nombres preferits pels fotografs (8 lletres)

3. Pot ser pla, conjugat i tambe vitamınic (7lletres)

4. Es propia dels cossos, pero tambe n’hi ha defutbol i d’infanteria (7 lletres)

5. En tenen els vectors, i tambe els circuitselectronics (10 lletres)

6. Calcula el volum de les obres completes deLebesgue (6 lletres)

7. El ritme mes apropiat per construir unpolıgon de 17 costats (6 lletres)

8. Compareixenca en societat d’un grup d’alge-bristes (11 lletres)

Tesis

• GEMMA COLLDEFORNS PAPIOL va llegir la seva tesi, dirigida perLuis Ortiz Gracia i Cornelis W. Oosterlee, titulada Wavelet Approach inComputational Finance, el dia 23 de febrer de 2018. La tesi correspon alDepartament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

En el mon de les finances computacionals, tantels preus de derivats com la gestio de riscoshan atret molt d’interes entre els professionalsi l’academia. La tesi proporciona tecniquesbasades en ondetes a fi de millorar algunesde les metodologies utilitzades en aquestesarees. Les ondetes son famılies de funcions quees poden traslladar i dilatar arbitrariament

generant bases ortogonals de L2(R) a partird’una funcio ψ ∈ L2(R):

ψa,b(x) = |a|−12ψ

(x− ba

), a, b ∈ R, a 6= 0.

En relacio amb elles, ha sorgit una col·lecciode metodes d’inversio de Fourier que es basen

3 RespostesalsMatemots:5.components;8.presentacio;1.recte;6.mesura;2.negatius;7.compas;3.complex;4.divisio.

108 SCM/Notıcies 44

en l’aproximacio de funcions a partir de laprojeccio en la base d’ondetes, de tal maneraque els coeficients de l’expansio s’expressenmitjancant la transformada de Fourier de lafuncio a aproximar.

El metode SWIFT (Shannon wavelet in-verse Fourier technique) per valorar opcionsd’estil europeu en un subjacent s’ha publicat ipresentat recentment com una tecnica precisa,robusta i altament eficient basada en les onde-tes de Shannon. Motivats per la valoracio d’untipus d’opcions exotiques anomenades «opcionsarc iris», que depenen de diversos actius, undels objectius de la tesi es l’extensio multidi-mensional del metode SWIFT [1]. Gracies ala naturalesa de les ondetes de Shannon, noes necessari un truncament a priori del rangd’integracio, es te una estimacio de l’error i esfa us d’algorismes de la transformada rapida deFourier per accelerar els calculs.

En l’ambit de gestio de risc, son els regu-ladors els que s’encarreguen de determinar laquantitat de capital que les entitats finance-res han de guardar per estar preparades persuportar perdues inesperades. Es l’anomenat«comite de Basilea» el que s’encarrega delsreguladors bancaris mundials. Recentment, elcomite ha revisat els estandards establerts pelcapital mınim per risc de mercat i, entre altrescanvis, suggereix, d’una banda, moure l’us estesde la mesura de risc VaR cap a la mesura ES, i,l’altra banda, considerar la incorporacio del riscderivat a causa de la no-liquiditat del mercat.Es per aixo que un segon objectiu de la tesies presentar un nou metode numeric basat en

SWIFT per als calculs del VaR i l’ES amb unhoritzo de temps estocastic per tenir en compteels problemes de liquiditat del mercat [2].

El risc de credit es el risc de perduesper part del deutor en cas que no compleixiels acords i en general es la principal fontde risc en un banc comercial. En la tesi,s’investiga el problema de calcular les mesuresde risc de credit de les carteres sota els modelsmultifactorials gaussians i de t-copula. Es bensabut que els metodes de Montecarlo, queson els que generalment s’empren, son moltexigents des del punt de vista computacionalen aquestes situacions. Per millorar aquestsproblemes, en la tesi es presenten tecniquesnumeriques eficients i robustes basades en lesondetes de Haar per recuperar la funcio dedistribucio acumulada de la variable de perduesa partir de la seva funcio caracterıstica [3].

Referencies[1] G. Colldeforns-Papiol, L. Ortiz-Gracia i

C.W. Oosterlee, «Two-dimensional Shan-non wavelet inverse Fourier technique forpricing European options». Appl. Numer.Math. 117 (2017), 115–138.

[2] G. Colldeforns-Papiol i L. Ortiz-Gracia,«Computation of market risk measures withstochastic liquidity horizon». J. Comput.Appl. Math. 342 (2018), 431–450.

[3] G. Colldeforns-Papiol, L. Ortiz-Gracia iC.W. Oosterlee, «Quantifying credit port-folio losses under multi-factor models». Int.J. Comput. Math. 0 (2018), 1–22.

• ALBERTO DEBERNARDI PINOS va llegir la seva tesi, dirigida perSergey Tikhonov, titulada Convergencia i integrabilitat de transformades deFourier, el dia 12 de marc de 2018. La tesi correspon al Centre de RecercaMatematica i al Departament de Matematiques de la Universitat Autonomade Barcelona.

En aquesta tesi principalment s’estudien dosproblemes de les transformades integrals

Tf(y) =∫ ∞

0K(x, y)f(x) dx, y ∈ (0,∞),

on K es un nucli de tipus Fourier: la con-vergencia uniforme i la seva integrabilitat. En

gran part de la tesi una de les hipotesis centralses la de monotonia general.

Les funcions monotones generals [11, 13] de-finides a (0,∞) son aquelles funcions localmentintegrables i localment de variacio afitada per a

SCM/Notıcies 44 109

les quals existeixen constants C, λ > 1 tals que∫ 2x

x|f ′(t)| dt ≤ C

∫ λx

x/λ

|f(t)|t

dt,

per a tot x > 0 (aquesta definicio es potestendre de diverses maneres a subconjunts deRn, i inclus generalitzar a (0,∞), tal com es faa[5, 7]). La motivacio darrere la condicio de mo-notonia general es que les funcions monotones(decreixents) satisfan les desigualtats∫ 2x

x|f ′(t)| dt ≤ f(x) ≤ 2

∫ x

x/2

|f(t)|t

dt,

amb la qual cosa es pot esperar que les fun-cions monotones generals puguin reemplacarles funcions decreixents en una gran quantitatde resultats. De fet, aquesta generalitzaciocompren una varietat de funcions molt mesamplia que nomes les funcions decreixents. Perexemple, qualsevol funcio f(x) = xγ , γ ∈R, es monotona general. Una altra observaciointeressant es que en la definicio estem con-siderant implıcitament funcions a valors com-plexos, mentre que les funcions decreixents sontıpicament positives.

Donada una transformada T es importanttenir eines per decidir si les integrals parcialsTNf(y) =

∫N0 K(x, y)f(x) dx convergeixen de

manera uniforme cap a la funcio Tf(y), ja queen cas afirmatiu, aquesta ultima funcio con-servaria propietats desitjables de les funcionsTNf(y), com ara la continuitat o la integrabi-litat. A mes, el fet que a les transformades detipus Fourier els nuclis K(x, y) son tıpicamentoscil·latoris fa que en el cas general sigui mesaviat difıcil donar condicions suficients per ala convergencia uniforme de TNf(y), a part deles condicions trivials. Per exemple, en el casgeneral la transformada del sinus∫ ∞

0f(x) sin xy dx

convergeix uniformement si f ∈ L1(1,∞) ixf(x) ∈ L1(0, 1), pero la condicio f ∈ L1(1,∞)es massa restrictiva (i, de fet, es una condiciosuficient trivial). En canvi, si suposem que f esmonotona general (seguint la idea de [1] per aseries de Fourier amb coeficients decreixents),aquesta hipotesi pot ser relaxada tal com esfa a[7], on es demostra que la condicio f ∈L1(1,∞) es pot substituir per xf(x)→ 0 quan

x → ∞, cosa que en general no es certa. Defet, en el cas de funcions monotones generals lacondicio xf(x) → 0 quan x → ∞ es mes febleque f ∈ L1(1,∞).

Una altra famılia de transformades per ales quals hem obtingut condicions necessaries isuficients per a la seva convergencia uniformeson les transformades de Hankel amb pesospotencials [2, 4, 6]

Lαµ,νf(r) = rµ∫ ∞

0(rx)νf(x)jα(rx) dx,

on jα es la funcio de Bessel normalitzadad’ordre α ≥ −1/2. L’interes en l’estudi d’aques-ta famılia de transformades resideix en el fetque moltes transformades classiques es podenrepresentar mitjancant un operador Lαµ,νf(r),com ara la transformada del sinus o cosinus, ola transformada de Fourier de funcions radialsen Rn.

Finalment, s’estudien desigualtats de nor-mes [8]

‖Tf‖Lq(u) ≤ C‖f‖Lp(v) (2)

en espais de Lebesgue amb pesos Lp(v), Lq(u),on la constant C es independent de f . Con-cretament, per a les transformades de tipusFourier [10] trobem condicions necessaries osuficients en els pesos u i v per tal que ladesigualtat (2) es compleixi per a tota f ∈Lp(v), mitjancant les desigualtats de Hardy.Per a funcions monotones generals les condici-ons que garanteixen (2) es poden relaxar, i, defet, utilitzant la mateixa tecnica que a [6], queconsta en trobar fites superiors per a la funcioprimitiva del nucli K(x, y) (com a funcio de x,i amb constant additiva nul·la), es troben lescondicions necessaries i suficients per tal que ladesigualtat (2) es compleixi quan u i v son pesospotencials, i aixı s’unifiquen aixı els resultatsde diversos articles, com ara [3, 9], i [12], i se’ntroben de nous per a transformades amb nuclisoscil·latoris.

Referencies

[1] T. W. Chaundy i A. E. Jolliffe, «Theuniform convergence of a certain classof trigonometrical series». Proc. LondonMath. Soc. S2-15 (1916), num. 1, 214–216.

110 SCM/Notıcies 44

[2] L. De Carli, «On the Lp-Lq norm of theHankel transform and related operators».J. Math. Anal. Appl. 348 (2008), 366–382.

[3] L. De Carli, D. Gorbachev i S. Tikhonov,«Pitt and Boas inequalities for Fourier andHankel transforms». J. Math. Anal. Appl.408 (2013), num. 2, 762–774.

[4] A. Debernardi, «Hankel transforms of ge-neral monotone functions», acceptat.

[5] A. Debernardi, «Uniform convergence ofdouble sine transforms of general mono-tone functions». Anal. Math. 43 (2017),num. 2, 193–217.

[6] A. Debernardi, «Uniform convergence ofHankel transforms». J. Math. Anal. Appl.468 (2018), num. 2, 1179–1206.

[7] A. Debernardi, «Uniform convergence ofsine integrals with general monotone func-tions». Math. Nachr. 290 (2017), num. 17-18, 2815–2825.

[8] A. Debernardi, «Weighted norm inequa-lities for generalized Fourier-type trans-forms and applications». enviat.

[9] D. Gorbachev, E. Liflyand i S. Tikhonov,«Weighted Fourier inequalities: Boas’ con-jecture in Rn». J. Anal. Math. 114 (2011),99–120.

[10] D. Gorbachev, E. Liflyand i S. Tikhonov,«Weighted Pitt inequalities for integraltransforms», acceptat a IndianaUniv. Math., preimpressio a https://pdfs.semanticscholar.org/e419/69b76bc7a287fbab6c0fa0d48f64d2377dfa.pdf.

[11] E. Liflyand i S. Tikhonov, «A conceptof general monotonicity and applications».Math. Nachr. 284 (2011), num. 8-9, 1083–1098.

[12] E. Liflyand i S. Tikhonov, «Extendedsolution of Boas’ conjecture on Fouriertransforms». C. R. Math. Acad. Sci. Paris346 (2008), num. 21-22, 1137–1142.

[13] S. Tikhonov, «Trigonometric series withgeneral monotone coefficients». J. Math.Anal. Appl. 326 (2007), 721–735.

• CARLES BARRIL BASIL va llegir la seva tesi, dirigida per Angel CalsinaBallesta, titulada Semilinear hyperbolic equations and the dynamics of gutbacteria, el dia 13 de juny de 2018. La tesi correspon al Departament deMatematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

El problema que es tracta en aquesta tesisorgeix d’una serie d’experiments realitzats perla Montserrat Llagostera i el seu equip de laUniversitat Autonoma de Barcelona. Estudienl’us de bacteriofags per tractar la salmonel·la enpollets [2] i, en aquest sentit, estan especialmentinteressades a determinar com la salmonel·la espropaga i persisteix en una poblacio donada,i com els bacteriofags poden afectar aquestsprocessos. Una de les questions que els preo-cupava especialment era l’efecte que tenia lacontaminacio del medi amb bacteris excretatspels pollets infectats.

Per abordar aquesta questio vam partird’un model en el qual es considera la dinamicadels bacteris tant al medi com al llarg del’intestı dels animals. A mes a mes, s’assumeix

tambe que els bacteris de l’intestı poden trobar-se en dos estats diferents: com a partıculeslliures o com a partıcules adherides a l’epi-teli, de manera que les primeres es veuranafectades pel flux intestinal i les segones no.Matematicament, les condicions anteriors peruna poblacio de n animals queden reflectidesen el sistema d’equacions seguent:

∂tuh = γh1 (uh)uh + αhvh − δhuh∂tvh = −ch∂xvh + γh2 (vh)vh − αhvh + δhuh

r =∑h∈H(chvh(lh, t)− λhr)− µr

chvh(0, t) = λhr ,

on h ∈ 1, . . . , n es un ındex per als diferentshostes. Les variables dependents son, d’una

SCM/Notıcies 44 111

banda, uh(x, t) i vh(x, t) que representen, res-pectivament, els bacteris adherits i lliures que estroben a la posicio x de l’hoste h a l’instant t, i,de l’altra, r(t) que es la concentracio de bacterisal medi a l’instant t. La resta de parametresde cada hoste h son: la longitud de l’intestılh, la velocitat del flux intestinal ch, les taxesd’adhesio αh i de despreniment δh per capita,la taxa d’ingestio λh i les funcions γh1 i γh2que donen les taxes de creixement per capitasegons la fase en la qual es trobi el bacteri, queassumim que son diferenciables. Finalment, elparametre µ indica la taxa de degradacio delsbacteris que es troben al medi. Observem quela condicio de frontera indica que la densitatde bacteris a l’inici de l’intestı ve donada perla quantitat de bacteris que l’animal ha ingeritdel medi.

Per determinar si el problema esta benplantejat, es a dir, si per cada condicio inicial deles variables dependents hi ha una i nomes unatrajectoria que satisfa les equacions en «algunsentit» i que, a mes a mes, les trajectories escomporten de manera contınua respecte a lescondicions inicials, utilitzem la teoria de semi-grups i, en particular, la formulacio semilineal[3]. En concret, reescrivim el problema de valorinicial associat al sistema anterior en la forma:

ddtx(t) = ATx(t) +H(x(t))

x(0) = x0 ∈ X ,

on X es un espai de Banach apropiat on prenenvalors les variables dependents. L’operador AT ,que es lineal pero no necessariament continu, esel generador d’un semigrup T fortament conti-nu en X. En canvi, la pertorbacio H es no linealpero mes regular: Lipschitz si es vol provarexistencia i unicitat de solucions, diferenciablesi es vol provar el principi d’estabilitat lineal.

Quan s’intenta reescriure el problema d’a-questa forma, ens trobem amb algun obstacleque ens impedeix aplicar la formulacio semi-lineal. En efecte, si prenem X com l’espai de

funcions integrables aleshores la pertorbacioH no es diferenciable en general, de maneraque no podem analitzar l’estabilitat d’equilibrisutilitzant el principi d’estabilitat lineal. Si,en canvi, prenem X com l’espai de funcionscontınues que satisfan la condicio de frontera,aleshores la pertorbacio H sı que es diferen-ciable pero el seu recorregut se «surt» del’espai X, de manera que no es possible aplicarla formulacio semilineal. Per resoldre aquestinconvenient hem utilitzat una generalitzaciode la teoria semilineal desenvolupada a [4, 5] enla qual s’admeten pertorbacions H que donenvalors a certa extensio de X determinada pelsemigrup T .

Referencies

[1] J. Cerda, J. Martın i P. Silvestre, «Capaci-tary function spaces». Collectanea Math. 62(2011), num. 1, 95–118.

[2] J. Colom, M. Cano-Sarabia, J. Otero,P. Cortes, D. Maspoch i M. Llagostera.«Liposome-Encapsulated Bacteriophagesfor Enhanced Oral Phage Therapyagainst Salmonella spp.». Applied andEnvironmental Microbiology, 81 (2015),num. 14, 4841–4849.

[3] A. Pazy. Semigroups of Linear Opera-tors and Applications to Partial DifferentialEquations. Springer-Verlag, (1983).

[4] Ph Clement, O. Diekmann, M. Gyllen-berg, H.J. a. M. Heijmans i H.R. Thieme.«Perturbation theory for dual semigroups».Mathematische Annalen, 277 (1987), num 4,709–725.

[5] Ph. Clement, O. Diekmann, M. Gyllenberg,H. Heijmans i H. R. Thieme. «Perturbationtheory for dual semigroups. III. NonlinearLipschitz continuous perturbations in thesun-reflexive case». Pitman Research Notesin Mathematics, (1989).

112 SCM/Notıcies 44

• JORDI DELGADO RODRIGUEZ va llegir la seva tesi, dirigida per EnricVentura Capell, titulada Extensions of free groups: algebraic, geometric,and algorithmic aspects, el dia 15 de setembre de 2017. La tesi corresponal Departament de Matematiques de la Universitat Politecnica de Catalunya.

En aquest treball s’usen tecniques geometriquesper estudiar certes extensions naturals delsgrups lliures i resoldre diversos problemes al-gorısmics sobre elles.

A aquest efecte, es considera la famılia degrups lliure-abelians per lliure (Zm × Fn) coma punt de partida per trobar generalitzacionsen dues direccions principals: productes semidi-rectes, i grups parcialment commutatius (PC-groups).

Els quatre projectes constituents d’aquestatesi es descriuen a continuacio.

Productes directes de grups lliure-abelians per lliure [1, 2]. Comencem estu-diant l’estructura dels grups Zm × Fn, ambespecial emfasi en el seu reticle de subgrups iel seu monoide d’endomorfismes, per als qualsdona una descripcio explıcita i es caracteritzentant la injectivitat com l’exhaustivitat.

A continuacio, es parteix dels resultatsobtinguts per atacar diversos problemes al-gorısmics involucrant tant subgrups com endo-morfismes de Zm×Fn. En concret, es demostrala resolubilitat algorısmica del problema de lapertinenca de subgrups (MP), el problema del’ındex finit (FIP), el problema de la intersecciode subgrups (SIP), el problema de la intersecciode classes laterals (CIP), el problema dels puntsfixos (FPP), els problemes de Whitehead (WhP)i el problema de la conjugacio torcada (TCP),per a aquesta famılia de grups.

Reconeixement algorısmic d’extensionscıcliques [3]. A la primera part, es demostrala indecidibilitat algorısmica de diverses propi-etats (com ara generabilitat finita, presentabi-litat finita, abelianitat, finitud, llibertat i trivi-alitat) del grup base de les extensions cıcliquesfinitament presentades. En particular, veiemque no es possible decidir algorısmicamentsi una extensio finitament presentada G o Zadmet un grup base finitament generat. Aquestultim resultat ens permet demostrar tambe

la indecidibilitat algorısmica de l’invariant deBieri-Neumann-Strebel (BNS), un importantinvariant geometric historicament considerat«molt difıcil de calcular en general».

A la segona part, es demostra l’equivalenciaentre el problema de l’isomorfisme (IP) dinsde la subclasse de Z-extensions uniques, iel problema de la semiconjugacio (1

2CP) pera cert tipus d’automorfismes exteriors, quecaracteritzem algorısmicament.

Automats de Stallings per a grups lliure-abelians per lliure [4]. Despres de recrearen un llenguatge purament algorısmic la teoriaclassica de Stallings associant un automata cada subgrup del grup lliure Fn, estenemaquesta teoria a productes semidirectes de laforma Zm o Fn. Concretament, associem unautomat (enriquit amb vectors de Zm) a cadasubgrup de Zm o Fn i demostrem que en elcas de subgrups finitament generats aquestaconstruccio es algorısmica i permet resoldre elproblema de la pertinenca (MP) dins d’aquestafamılia de grups.

La descripcio geometrica obtinguda mostra,a mes (fins i tot en el cas de productes directes),no nomes que la interseccio de subgrups finita-ment generats pot ser infinitament generada,sino que, tambe quan es finitament generada,no es pot afitar el rang de la interseccio entermes dels rangs dels subgrups intersecats.Aquest fet es rellevant perque denega qualsevolpossible extensio de la celebre (i recentmentprovada) conjectura de Hanna Neumann enaquest ambit.

Problemes de la interseccio per a grupsde Droms [5, 6]. Despres de caracteritzar elsgrups parcialment commutatius (PC-groups)que satisfan la propietat de Howson [5], com-binem la versio algorısmica del teorema delssubgrups de Kurosh donada per S.V. Ivanov,amb idees del nostre treball a [1] sobre Zm×Fn,per demostrar la resolubilitat del problema dela interseccio de subgrups (SIP), el problema

SCM/Notıcies 44 113

de la interseccio de classes laterals (CIP), ialtres problemes afins, dins la subfamılia de PC-groups de Droms (com ara aquells PC-groups enque tots els subgrups son de nou parcialmentcommutatius).

Referencies[1] J. Delgado i E. Ventura, «Algorithmic pro-

blems for free-abelian times free groups».Journal of Algebra. 391 (2013), 256–283.

[2] J. Delgado, «Whitehead Problems forWords in free times free-abelian groups»,Extended Abstracts Fall 2012, ser. Trendsin Mathematics, J. Gonzalez-Meneses,M. Lustig, and E. Ventura, Eds. SpringerInternational Publishing, Jan. 2014, 35–38.

[3] B. Cavallo, J. Delgado, D. Kahrobaei iE. Ventura, «Algorithmic recognition ofinfinite cyclic extensions». Journal of Pureand Applied Algebra 221 (2017), num. 9,2157–2179.

[4] J. Delgado i E. Ventura, «Stallings auto-mata for free-abelian by free groups» (enpremsa), 2017.

[5] J. Delgado, «Some characterizations ofHowson PC-groups». Reports@SCM 1(2014), num. 1, 33–38.

[6] J. Delgado, E. Ventura i A. Zakharov,«Intersection problem for Droms RAAGs».International Journal of Algebra and Com-putation, Jul. 2018.

114 SCM/Notıcies 44

El mmaca es troba en un punt molt important de la seva història. Durant els 10 anys de recorregut, hem treballat molt i el projecte ha crescut amb força. L'objectiu d'apropar les matemàtiques a la societat s'està complint i tenim el reconeixement generalitzat de tots els que ens coneixen.

Ara necessitem saber amb qui podem comptar per a poder afrontar els reptes futurs i continuar oferint activitats arreu del territori: necessitem persones.

Però no ens n'amagarem: també necessitem diners. Afortunadament, les donacions fetes en favor del mmaca gaudeixen d'avantatges scals interes-santíssims de ns al 75% de desgravació en l'IRPF.

Ara més que mai necessitem els nostres amics a la vora!

Si vols fer-nos costat, ens ho pots fer saber escrivint a mecenes@mmaca.cat

Des de febrer de 2014, l’Ajuntament de Cornellà ha cedit al mmaca la segona planta del Palau Mercader per instal·lar-hi una exposició permanent.

Disposem de 400 m2 amb sales dedicades a geometria, combinatòria, càlcul, estadística, miralls, l’esfera de la Terra i un espai dedicat especialment als primers cursos de Primària.

Aprotant el magníc entorn del Parc, organitzem jornades singulars a l’exterior: Aniversari (febrer), Dia Pi (març), Dia escolar de les matemàtiques (maig), Dia de Martin Gardner (octubre).

La majoria dels materials del mmaca estan dissenyats i fets a mà per nosal-tres. Utilitzem materials senzills: fusta, cordes, teles, vidre, plàstic.

Regularment programem conferències i altres activitats divulgatives.

Museu de Matemàtiques de CatalunyaPalau Mercader - Parc Can MercaderCarretera de L’Hospitalet, s/n.08940 Cornellà de Llobregat

Entrada gratuïtaDimecres de 17 a 20h

Diumenge de 10 a 14h

Grups amb reserva prèviaMatins de dilluns a divendres

Tallers per a famíliesDiumenge de 10 a 11h

Dilluns i dimecres a la tarda

reserves.cornella@mmaca.cattel. 665233448 (de 10 a 13h)

@mmaca_catwww.mmaca.cat

mmaca.cat

Us convidem a visitar-nos!Us quedareu més temps del que havíeu previst!

M L5Gavarra

L8

R5 R6 R50

R60 S8 S33

Almeda

CARRETERA DE L’HOSPITALET

mmaca

15SORTIDA

PARC CAN MERCADER

L12, L52, L82

Individual members of the EMS, member societies or societies with a reciprocity agree-ment (such as the American, Australian and Canadian Mathematical Societies) are entitled to a discount of 20% on any book purchases, if ordered directly at the EMS Publishing House.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum SEW A21

Scheuchzerstrasse 70CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by theSS

E

EM

SS

E

EM MM

European Mathematical Society

Vladimir Maz’ya (Linköping University, Sweden and University of Liverpool, UK)Boundary Behavior of Solutions to Elliptic Equations in General Domains (EMS Tracts in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-190-3. 2018. 441 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro

The present book is a detailed exposition of the author and his collaborators’ work on boundedness, continuity, and differenti-ability properties of solutions to elliptic equations in general domains, that is, in domains that are not a priori restricted by assumptions such as “piecewise smoothness” or being a “Lipschitz graph”. The description of the boundary behavior of such solutions is one of the most difficult problems in the theory of partial differential equations. After the famous Wiener test, the main contributions to this area were made by the author. In particular, necessary and sufficient conditions for the validity of imbedding theorems are given, which provide criteria for the unique solvability of boundary value problems of second and higher order elliptic equations. Another striking result is a test for the regularity of a boundary point for polyharmonic equations.The book will be interesting and useful for a wide audience. It is intended for specialists and graduate students working in the theory of partial differential equations.

Timothée Marquis (Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium)An Introduction to Kac–Moody Groups over Fields (EMS Textbooks in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-187-3. 2018. 343 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 48.00 Euro

The interest for Kac–Moody algebras and groups has grown exponentially in the past decades, both in the mathematical and physics communities, and with it also the need for an introductory textbook on the topic. The aims of this book are twofold:- to offer an accessible, reader-friendly and self-contained introduction to Kac–Moody algebras and groups;- to clean the foundations and to provide a unified treatment of the theory.The book starts with an outline of the classical Lie theory, used to set the scene. Part II provides a self-contained introduction to Kac–Moody algebras. The heart of the book is Part III, which develops an intuitive approach to the construction and funda-mental properties of Kac–Moody groups. It is complemented by two appendices, respectively offering introductions to affine group schemes and to the theory of buildings. Many exercises are included, accompanying the readers throughout their journey.The book assumes only a minimal background in linear algebra and basic topology, and is addressed to anyone interested in learning about Kac–Moody algebras and/or groups, from graduate (master) students to specialists.

Demetrios Christodoulou (ETH Zürich, Switzerland)The Shock Development Problem (EMS Monographs in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-192-7. 2019. 932 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 128.00 Euro

This monograph addresses the problem of the development of shocks in the context of the Eulerian equations of the mechanics of compressible fluids. The mathematical problem is that of an initial-boundary value problem for a nonlinear hyperbolic system of partial differential equations with a free boundary and singular initial conditions.The free boundary is the shock hypersurface and the boundary conditions are jump conditions relative to a prior solution, condi-tions following from the integral form of the mass, momentum and energy conservation laws. The prior solution is provided by the author‘s previous work which studies the maximal classical development of smooth initial data. New geometric and analytic methods are introduced to solve the problem. Geometry enters as the acoustical structure, a Lorentzian metric structure defined on the spacetime manifold by the fluid. This acoustical structure interacts with the background spacetime structure. Reformulat-ing the equations as two coupled first order systems, the characteristic system, which is fully nonlinear, and the wave system, which is quasilinear, a complete regularization of the problem is achieved.

Hans Triebel (University of Jena, Germany)Function Spaces with Dominating Mixed Smoothness (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-195-8. 2019. 210 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 36.00 Euro

The first part of this book is devoted to function spaces in Euclidean n-space with dominating mixed smoothness. Some new properties are derived and applied in the second part where weighted spaces with dominating mixed smoothness in arbitrary bounded domains in Euclidean n-space are introduced and studied. This includes wavelet frames, numerical integration and discrepancy, measuring the deviation of sets of points from uniformity.These notes are addressed to graduate students and mathematicians having a working knowledge of basic elements of the theory of function spaces, especially of Besov–Sobolev type. In particular, it will be of interest for researchers dealing with ap-proximation theory, numerical integration and discrepancy.

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iecat.net Adreca web: http://www.iecat.net/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

(cal imprimir-a, omplir-la, signar-la i enviar-la a la SCM per correu electronic, fax o correu ordinari)

Tipus de soci: Ordinari Estudiant∗ Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

Dades per a la domiciliacio bancaria

Qui signa aquest document autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat

Catalana de Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte o targeta :

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i digits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

Signatura

Envieu la butlleta d’inscripcio i l’ordre de domiciliacio, que trobareu al web de la SCM, http://blogs.iec.cat/scm/la-societat/fes-ten-soci/, per correu postal o correu electronic, emplenada i signada.Les quotes per a l’any 2018 son les seguents: 40 euros socis ordinaris, 20 euros socis estudiants i membres desocietats amb conveni de reciprocitat i 80 euros institucions.Us informem que les vostres dades seran incorporades a un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’EstudisCatalans (IEC) amb la finalitat de gestionar l’activitat a la qual us inscriviu. Les vostres dades no seran cedidesa tercers, i un cop finalitzada l’activitat es conservaran als efectes de registre historic. Podeu exercir els dretsd’acces, rectificacio, supressio, oposicio, limitacio en el tractament i portabilitat, adrecant-vos per escrit a l’Institutd’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona), o be enviant un correu electronic a l’adreca ldades.

personals@iec.cat.

Desitjo rebre informacio sobre les activitats i les publicacions de l’Institut d’Estudis Catalans i de les sevessocietats filials.

∗Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula

44 Marc Noy, medalla Narcís Monturiol

Conferència MATRIX al MMACA

Reformes educatives a secundària, Manel Sol

Pensions privades i el retorn a les tontines, Montserrat Guillen

Conversa entre Carles Bonet i Narcís Clara

La combinatòria en l’art del segle XX, Lali Barrière

Institutd’Estudis Catalans

Dese

mbr

e 2

018

SCM / Notícies / 44Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

Matematicopoema, Toni Prat

Coberta Notícies 44.indd 1 15/1/2019 9:41:09