República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la educaciónU. E. “Colegio La Salle”Mérida, estado Mérida.

Sucesiones y progresiones.

Carlos Yánez #17.Erik Díaz #39.

4to año. Sección “A”.

“La matemática es la música de la razón”James Joseph Sylvester

INTRODUCCIÓNLa Matemática (del griego μάθημα “Mathema", que significa conocimiento, estudio

o aprendizaje) es el estudio general de temas como las cantidades (números), la estructura, el espacio y el cambio. Hay una gama de puntos de vista entre los matemáticos y filósofos sobre el alcance exacto y la definición de las matemáticas.

Los matemáticos buscan patrones y los utilizan para formular nuevas conjeturas. Los matemáticos demuestran la verdad o falsedad de las conjeturas con pruebas matemáticas. Cuando las estructuras matemáticas son buenos modelos de fenómenos reales, entonces el razonamiento matemático puede dar lugar a una idea o predicción sobre la naturaleza. A través del uso de la abstracción y de la lógica, la matemática se desarrolló a partir del conteo, el cálculo, la medición y el estudio sistemático de las formas y los movimientos de los objetos físicos. La Matemática práctica ha sido una actividad humana datando tan atrás como existen registros escritos. La investigación necesaria para resolver problemas matemáticos puede tomar años o incluso siglos de investigación sostenido.

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SUCESIONESUna sucesión es un conjunto de números reales ordenados. En cada sucesión

tenemos una serie de números que ocupan una respectiva posición respecto a los demás términos. {1; 2; 3; 4; 5;...} es una sucesión distinta a la sucesión {5; 4; 3; 2; 1;....} ya que aunque observemos los mismos valores, el orden en que se encuentran es diferente; así la primera sucesión tiene como primer término el 1, mientras que la segunda tiene como primer término el 5.

Límite de una sucesión: es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión:

- Sucesiones convergentes: son las que tienen límite.- Sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito

.

Tipos de sucesiones:Sucesiones monótonas: Sucesiones estrictamente crecientes: se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.an+1>an

Sucesiones crecientes: se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes: se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.an+1<an

Sucesiones decrecientes: se dice que una sucesión es decreciente si cada término es mejor o igual que el anterior.an+1≤ an

Sucesiones constantes: se dice que una sucesión es constante si todos sus términos son iguales.an =an + 1

Sucesiones acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión. A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.an ≥ k

Sucesiones acotadas superiormente: una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.k ≤ an ≤ K'

TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN

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Cada uno de los elementos que forman una sucesión recibe el nombre de término y cuando queremos nombrar estos valores en forma general, lo hacemos mediante una letra con subíndice (an), la cual nos indica la posición del término al que nos estamos refiriendo.En la sucesión {2; 4; 6; 8;...} si hablamos del término a3 estamos nombrando al tercer elemento de la sucesión, cuyo valor es 6. Lo expresamos diciendo que: a3 = 6

PROGRESIONES ARITMÉTICASUna progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de

dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9… es una progresión aritmética de cuadro constante 2. Así como: 5; 2; −1; −4 es una progresión aritmética de constante «−3».

TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es   y la diferencia común es d, entonces el término n-ésimo de la sucesión viene dada por , n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero. , n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:  De diferencia 

Tenemos que:

...

Sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

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(I)Expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos   y   ( ) de la progresión anterior y pongámoslo en función de :

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

(II)Expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia   de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ( )

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ( )

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior. Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ( )

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICADentro de la suma de una progresión aritmética podemos encontrar una

explicación básica desde los términos de principio hasta los ejemplos terciarios:Si a1, a2, a3,. . .an,. . . es una progresión aritmética con diferencia d, entonces la n-ésima suma parcial Sn está dada por la expresiones Sn = n 2 [2a1 + (n − 1) d]Sn = n 2 (a1 + an)

Un ejemplo para sumar las progresiones lo encontramos en la siguiente explicación:Para hallar la suma de los primeros 12 términos de la progresión aritmética 7, 13, 19

Solución: Vamos a buscar el último término de la progresión con d = 6; a1 = 7; an = a1 + (n − 1) d, entonces a12 = 7 + (12 − 1)6 = 73.Ahora tenemos a12 = 73, y usando la formula Sn = n/2 (a1 + an). S12 = 12/2 (7 + 73) = 480.

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PROGRESIONES GEOMÉTRICASUna progresión geométrica es un tipo de sucesión, es decir, una colección

ordenada e infinita de números reales, donde cada término se obtiene multiplicando una cantidad constante al término anterior.EjemploSi consideramos la sucesión que tiene como primeros términos:a= (3, 6, 12, 24, 48,…)Y hacemos el cociente de cada término por el anterior,a2 / a1=6/3=2,a3 / a2=12/6=2,a4 / a3=24/12=2,a5 / a4=48/24=2.

Podemos ver que este cociente es siempre un mismo número: 2. Así que podemos definir esta sucesión de forma recursiva multiplicando por 2 para obtener el siguiente.Haciendo una definición formal, diremos que una progresión geométrica, (an) n∈N, es una sucesión en que el cociente entre dos términos consecutivos es constante, es decir:an+1an=rPara cualquier natural n. Llamaremos a la constante r razón de la progresión.EjemploLa sucesión (1, 3, 9, 27, 81,…) es una sucesión geométrica de razón r=3.La sucesión (1, 2, 4, 8,…) es una sucesión geométrica de razón r=2.La sucesión (1, 14, 116, 164, 1256,…) es una sucesión geométrica de razón r=14.

CÁLCULO DEL TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICAAl último término lo representamos por  siendo n el número de términos de

la progresión. Ejemplo: 2. 4. 6. 8. 10. 12

Esta progresión tiene 6 términos y  será   También podemos decir que el enésimo término, es decir,   vale 12.

En una progresión de 20 términos el último corresponderá a Al término que ocupa el lugar 19 podemos escribir: 

Al término que ocupa el lugar 18 podemos escribirlo  o  cualquiera de las dos formas es válida.

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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICALa suma de los términos de una progresión geométrica se realiza de la siguiente

manera siguiendo cada paso:Sumo todos los términos que están a la izquierda del signo =Sumo también los términos que están a la derecha del signo =A la derecha del signo = veo que todos los términos contienen como factor a la razón, por lo que saco factor común y dentro del paréntesis aparecen la suma de todos los términos de la progresión geométrica menos el último.

La suma indicada que tienes a la izquierda del signo = representa la suma de todos los términos menos el primero. Podría escribir cuanto tengo a la izquierda del signo = del modo siguiente: , es decir, la suma de todos los términos de la progresión menos el primero.

Lo que tienes dentro del paréntesis a la derecha del signo = es la suma de todos los términos menos el último.La suma anterior podemos escribirla:

En la última igualdad quito paréntesis: Los términos que contienen S los paso a la derecha del = y a la izquierda de este signo el término:  Saco factor común a S: Despejo el valor de S y me queda:

La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón menos el primero dividido por la razón menos 1.

A veces es mejor usar la fórmula de la suma en función del primer término y de la razón. Para ello sustituyo en la fórmula de la suma el valor de 

Puedo sacar factor común al primer término quedándome:

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CONCLUSIÓNMuchas situaciones de la naturaleza y del entorno del ser humano obedecen un patrón que permite mostrar un comportamiento determinado de cierto fenómeno en particular. Dicho patrón puede obtenerse a partir de una secuencia matemática; es por esto la importancia de estudiar las sucesiones como instrumento para analizar, clasificar y hallar conclusiones de dichas situaciones.Las progresiones son herramientas muy utilizadas en álgebra, ya que ayudan a simplificar conjuntos finitos o infinitos, permiten acotar conjuntos, hallar límites, entre otras. Las progresiones pueden clasificarse en aritméticas o geométricas. Las primeras son aquellas que son suma de elementos anteriores mientras las segundas corresponden al producto de elementos anteriores.

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BIBLIOGRAFÍA Matemáticas divertidas: Citas célebres [En línea]. [Consulta: 31/05/15]. Disponible

en: http://www.matematicasdivertidas.com/Citas%20celebres/citas%20celebres.html

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Definición de sucesión – Qué es, Significado y Concepto [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://definicion.de/sucesion/

Definición de razón matemática – Qué es, Significado y Concepto [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://definicion.de/razon-matematica/

Definición de progresión – Qué es, Significado y Concepto [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://definicion.de/progresion/

Unidad 1: Análisis de sucesiones y progresiones. [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551109/unidades/UNIDAD_1/index.html

Sucesiones y progresiones - Vitutor. [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://www.vitutor.com/al/sucesiones/res.html

Introducción a las Sucesiones. [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://www.amolasmates.es/progresiones/teoria_sucesiones.htm

Progresión aritmética – Wikipedia, la enciclopedia libre. [En línea]. [Consulta: 02/06/15]. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica#T.C3.A9rmino_general_de_una_progresi.C3.B3n_aritm.C3.A9tica

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ÍNDICEIntroducción.

2.Sucesiones.

3.Término general de una sucesión.

4.Progresiones aritméticas.

4.Término n-ésimo de una progresión aritmética.

4.Suma de los términos de una progresión aritmética.

5.Progresiones geométricas.

6.Cálculo del término n-ésimo de una progresión geométrica.

6.Suma de los términos de una progresión geométrica.

7.Conclusión.

8.Bibliografía.

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