5 Las Funciones Trigonométricas

Sección 5.2 (parte 2)

Funciones Trigonométricas de

Angulos y aplicaciones

Razones trigonométricas de otros ángulos

Podemos extender

las definiciones

expuestas de la

funciones

trigonométricas a

ángulos que no son

agudos si colocamos

el plano cartesiano

dentro de un círculo

con el Origen en el

Centro.

radio

Razones trigonométricas de otros ángulos

• Consideremos un radio,

que se rota en la

dirección positiva (en

contra de las manecillas

del reloj).

• Al detener la rotación, se

forma un ángulo central,

θ cuyo lado terminal

interseca el círculo en

algún punto (x, y).

• El arco interceptado

tiene la misma medida

que el ángulo central θ

θ

Trigonometría del círculo

Primer Cuadrante

Los valores de las funciones trigonométricas son positivos.

Trigonometría del círculo (cont)

Segundo Cuadrante

Algunos valores de las funciones trigonométricas son positivos y otros negativos.

Trigonometría del círculo (cont)

Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

RESUMEN:

Si θ es un ángulo en posición estándar en un sistema

de coordenadas rectangulares y P(x, y) es un punto

sobre el lado terminal de θ (distinto al origen) tal que

d(O, P) = r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 entonces,

Trigonometría del círculo (cont)

Nota: Se entiende que si ocurre un 0 en el denominador, la función trigonométrica correspondiente NO estará definida.

Ejemplo

• Si θ es un ángulo en

posición estándar en un

sistema de

coordenadas

rectangulares y si

P(–15, 8) está en el lado

terminal de θ,

determinar los valores

de las seis funciones

trigonométricas de θ.

Solución (cont) • Aplicando la definición de las funciones

trigonométricas para x = –15, y = 8, primeramente

debemos determinar r.

Ejemplo

determine los valores

de las seis funciones

trigonométricas de θ.

y = -0.25x

El lado terminal de θ

(un ángulo en

posición estándar)

está en el 4to

cuadrante y coincide

con la recta

y = -0.25x ,

Solución (cont.) • Como el lado terminal de θ

está en el cuadrante IV,

comenzamos buscando un

punto que pertenece a la

recta en ese cuadrante.

• Si sustituimos en y = -0.25x

x=4 entonces y = –1, y por lo

tanto P(4, –1) está en el lado

terminal de θ.

• Aplicamos las definiciones

trigonométricas con

x = 4, y = -1,

P(4, -1)

r = 𝑥2 + 𝑦2 = 16 + 1 = 17

P(4, -1)

Solución (cont.) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 =

𝒚

𝒓=

−𝟏

𝟏𝟕

𝐭𝐚𝒏 𝜽 =𝒚

𝒙=

−𝟏

𝟒

𝐬𝐞𝒄 𝜽 =𝒓

𝒙=

𝟏𝟕

𝟒

P (4, -1)

cos θ =x

r=

4

17

csc 𝜃 =𝑟

𝑦=

17

−1= − 17

co𝑡 𝜃 =𝑥

𝑦=

4

−1= −4

=−𝟒 𝟏𝟕

𝟏𝟕 =

− 𝟏𝟕

𝟏𝟕

Signos • La siguiente tabla muestra los signos de las

funciones trigonométricas en cada cuadrante:

Ejemplo • Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades

para hallar las otros valores

trigonométricos.

• Solución De los signos, concluimos

que el ángulo está en el cuadrante II.

• Usando la relación sin2 θ + cos2 θ = 1 y

el hecho de que el coseno es

negativo en el segundo cuadrante

podemos determinar que:

Solución (cont.)