SECCIÓN 2.3 Cómo usar medidas científicas · En todas las medidas ... 0.014 403 0 km e. 30 000. cm c. 1002 m f. 0.000 625 000 kg ... Cómo multiplicar y dividir con cifras significativas

(a) (b)

Dardos en unárea pequeña

= Gran precisión

Área centradaen el blanco

= Gran exactitud


= Gran precisión

Área alejadadel blanco

= Poca exactitud

Términos clave

exactitudprecisiónerror porcentualcifra significativanotación científicadirectamente proporcionalinversamente proporcional

Cuando un científico hace la misma medición dos veces, es común que el resultado sea diferente la segunda vez. Eso no significa que el científico ha cometido un error. La fiabilidad de una medición por lo general está limitada por el instrumento que se usa. Por ejemplo, es difícil medir la longitud de una carretera con una vara de un metro. Cuando un científico comunica una medición, debe informar acerca de la falta de certeza.

No es lo mismo exactitud que precisión.

Para muchas personas, los términos “exactitud” y “precisión” significan lo mismo. Sin embargo, en ciencias tienen un significado muy específico. La exactitud se refiere a qué tanto se aproxima una medición al valor correcto o aceptado. La precisión se refiere a qué tanto se aproximan entre sí las mediciones realizadas de la misma manera. Los valores de las mediciones son exactos cuando se aproximan al valor aceptado. Los valores de las mediciones son precisos cuando se aproximan entre sí.

Imagina que se lanzan cuatro dardos al centro, o blanco, de un tablero. La exactitud de los lanzamientos está determinada por la proximidad entre los dardos y el blanco. La precisión de los lanzamientos está determinada por la proximidad entre los cuatro dardos.

Gran precisión Observa los dos tableros de la derecha. En ambos casos, los dardos impactaron cerca unos de otros, por lo que los lanzamientos fueron precisos. Sin embargo, como el lanzador quería dar en el blanco, los lanzamientos fueron exactos solamente en el tablero de la izquierda.

REPASO DE LA LECTURA

1. ¿Qué diferencia hay entre exactitud y precisión?

Cómo usar medidas científicas

SECCIÓN 2.3

Los lanzamientos fueron muy precisos en los dos tableros, pero fueron muy exactos solamente en el tablero (a).

43MEDIDAS Y CÁLCULOS


= Gran precisión

Área centradaen el blanco

= Gran exactitud

Dardos en unárea grande

= Poca precisión

Área centradaalrededor del blanco

= Gran exactitud(en promedio)

(a) (b)Gran exactitud En los dos tableros de la derecha, la región en la que impactaron los dardos está centrada en el blanco. En ambos casos, los lanzamientos fueron exactos. Sin embargo, los lanzamientos fueron exactos y precisos solamente en el tablero de la izquierda.

En los experimentos científicos, es importante ser exactos y precisos. En cada par de tableros, el segundo tablero ilustra los problemas que puede haber si falta una de las dos cualidades.

Razonamiento crítico 2. Aplicar Imagina que lanzas cuatro dardos al siguiente tablero.

Tus lanzamientos son imprecisos e inexactos. Dibuja cuatro “X” en el tablero que muestren un conjunto de dardos lanzados sin precisión ni exactitud.

Error porcentualPara comparar la exactitud de un valor experimental con el valor correcto o aceptado, debes calcular su error porcentual. Para calcular el error porcentual, resta el valor aceptado al valor experimental, divide la diferencia entre el valor aceptado y, por último, multiplica por 100.

Error porcentual = Valor experimental - Valor aceptado

____________________________ Valor aceptado

× 100

El error porcentual es positivo si el valor aceptado es menor que el valor experimental. El error porcentual es negativo si el valor aceptado es mayor que el valor experimental.

Razonamiento crítico 3. Razonar ¿Cuál es el error porcentual si el valor experimental

es igual al valor aceptado?

Los lanzamientos fueron muy exactos en los dos tableros, pero fueron muy precisos solamente en el tablero (a).

44 CAPÍTULO 2

PROBLEMA DE EJEMPLO

Un estudiante mide la masa y el volumen de una sustancia y calcula que su densidad es igual a 1.40 g/mL. El valor correcto, o aceptado, de la densidad es 1.30 g/mL. ¿Cuál es el error porcentual de la medición que hace el estudiante?

SOLUCIÓN

1 ANALIZA Determina cuál es la información conocida y la información desconocida.

Información conocida: Valor experimental = 1.40 g/mL, Valor aceptado = 1.30 g/mL

Información desconocida: Error porcentual

2 PLANIFICA Escribe una ecuación para hallar la información desconocida a partir de la información conocida.

Error porcentual = Valor experimental - Valor aceptado

___________________________ Valor aceptado × 100

3 RESUELVE Inserta los valores conocidos y calcula.

Error porcentual = 1.40 g/mL - 1.30 g/mL

____________________ 1.30 g/mL

× 100 = 7.69%

4 REVISA TU TRABAJO

Decide si el resultado tiene sentido.

El error porcentual debe ser positivo porque el valor experimental es mayor que el valor real. El error debe ser pequeño porque el valor se aproxima al valor correcto.

PRÁCTICA

A. ¿Cuál es el error porcentual de una medición de masa de 17.7 g si el valor correcto es igual a 21.2 g?

Error porcentual = - _________________________ × 100 =

B. En un experimento, se hace una medición y se determina que un volumen es igual a 4.26 mL. ¿Cuál es el error porcentual si el valor correcto es igual a 4.15 mL?


Error de mediciónEn todas las mediciones siempre existe algún grado de error o incertidumbre. Por ejemplo, la destreza de la persona que hace la medición limita la fiabilidad. Los instrumentos de medición limitan la precisión con la que se puede determinar un valor. Además, la lectura de las balanzas, las reglas y los cilindros graduados depende de la precisión de las marcas que tiene el instrumento.

Como ejemplo, observa la regla de la ilustración. Esta regla se puede usar para determinar la longitud de un objeto en forma precisa hasta el dígito de los décimos. No hay dudas de que el clavo mide entre 6.3 cm y 6.4 cm de longitud. Sin embargo, es difícil decidir si el valor debe leerse 6.35 cm o 6.36 cm. El lugar de los centésimos es algo incierto, aunque se puede hacer una estimación razonable de ese dígito. Para expresar el rango, se puede incluir un valor de más menos, como 6.36 cm ± 0.01 cm.

Las cifras significativas son cifras medidas con precisión, más un dígito estimado.

En ciencias, los valores de las mediciones se comunican por medio de cifras significativas. Las cifras significativas son todos los dígitos conocidos con certeza más un dígito final que es estimado.

Por ejemplo, se decidió que la longitud del clavo de la fotografía anterior era 6.36 cm. Todos estos dígitos son significativos, incluso el dígito incierto. Todos contienen información y están incluidos en el valor.

El término significativo no implica certeza. En todas las medidas comunicadas correctamente, el dígito final es significativo pero no se tiene certeza de él. Los dígitos no significativos nunca se comunican.

Cómo determinar el número de cifras significativasSi una medida no tiene ningún dígito que sea cero, entonces todos los dígitos son significativos. Por ejemplo, la longitud del clavo, 6.36 cm, tiene tres dígitos distintos de cero y, por lo tanto, tres cifras significativas. Sin embargo, el dígito cero puede ser significativo o no según cómo se use. En las reglas de la tabla de la página siguiente se resume cómo determinar si un cero es un dígito significativo.

La longitud de un clavo se mide con una regla en centímetros.

Razonamiento crítico 4. Explicar ¿Por qué 6.4 cm no sería una medida apropiada para el clavo del diagrama?

46 CAPÍTULO 2

Reglas para determinar los ceros significativos

Regla Ejemplos

1. Los ceros que aparecen entre los dígitos distintos de cero son significativos.

a. 40.7 L tiene tres cifras significativas.b. 87 009 km tiene cinco cifras significativas.

2. Los ceros que aparecen delante de todos los dígitos distintos de cero no son significativos.

a. 0.095 897 m tiene cinco cifras significativas.b. 0.0009 kg tiene una cifra significativa.

3. Los ceros que aparecen al final de un número y a la derecha del punto decimal son significativos.

a. 85.00 g tiene cuatro cifras significativas.b. 9.000 000 000 mm tiene 10 cifras significativas.

4. Los ceros que aparecen al final de un número pero a la izquierda del punto decimal pueden ser significativos o no significativos. Si un cero no ha sido medido ni estimado y es solamente un indicador de posición, no es significativo. Un punto decimal colocado detrás de los ceros indica que son significativos.

a. 2000 m puede tener entre una y cuatro cifras significativas según cuántos ceros sean indicadores de posición. Para las medidas dadas en este libro, considera que 2000 m tiene una cifra significativa.

b. 2000. m tiene cuatro cifras significativas debido a la presencia del punto decimal.

PRÁCTICA

C. Determina el número de cifras significativas de las siguientes medidas.

a. 28.6 g

b. 3440. cm (ver regla 4)

c. 910 m (ver regla 4)

d. 0.046 04 L (ver regla 2)

e. 0.006 700 0 kg (ver reglas 2 y 3)

D. Determina el número de cifras significativas de las siguientes medidas.

a. 804.05 g d. 400 mL

b. 0.014 403 0 km e. 30 000. cm

c. 1002 m f. 0.000 625 000 kg

E. Supón que te comunican el valor “siete mil centímetros” . ¿Cómo debe expresarse el número si se busca que tenga las siguientes cifras significativas?

a. 1 cifra significativa

b. 4 cifras significativas

c. 6 cifras significativas


Cómo redondear cifrasCuando sumas, restas, multiplicas o divides dos medidas, las cifras significativas deben reflejar la fiabilidad del resultado. En las reglas que aparecen al final de esta página se determina, en parte, cómo redondear el resultado. El redondeo de una medida también está determinado por la operación (suma, resta, multiplicación o división) que se realiza.

Cómo sumar o restar con cifras significativasSupón que hay dos medidas de masa: 25.1 g y 2.03 g. La primera medida tiene un dígito a la derecha del punto decimal, en el lugar de los décimos. No hay información sobre los posibles valores del dígito de los centésimos.

Si sumas 25.1 g más 2.03 g sin tener en cuenta las cifras significativas, el resultado es 27.13 g. Sin embargo, no tiene sentido que la suma sea más precisa que una de las medidas individuales. Por lo tanto, cuando se suman o se restan dos medidas, el dígito final del resultado debe ser significativo en ambas medidas originales.

Cómo multiplicar y dividir con cifras significativasPor lo general, una calculadora arroja muchos más dígitos de los justificados por las medidas. Por ejemplo, supón que usas una calculadora para dividir 3.05 g entre 8.47 mL. La calculadora mostrará un resultado numérico igual a 0.360094451. El resultado contiene dígitos que no están justificados por las medidas que se usaron para calcularlo. En la multiplicación y la división, el resultado no puede tener más cifras significativas que la medida con menos cifras significativas.

Reglas para redondear números

Si el dígito que sigue al último dígito que se debe conservar es:

entonces el último dígito debe:

Ejemplo (redondeado a tres cifras significativas)

mayor que 5 aumentarse en 1 42.68 g ⟶ 42.7 g

menor que 5 permanecer igual 17.32 m ⟶ 17.3 m

5, seguido por uno o más dígitos distintos de cero

aumentarse en 1 2.7851 cm ⟶ 2.79 cm

5, no seguido por uno o más dígitos distintos de cero y precedido por un dígito impar

aumentarse en 1 4.635 kg ⟶ 4.64 kg (porque 3 es impar)

5, no seguido por uno o más dígitos distintos de cero y precedido por un dígito significativo par

permanecer igual 78.65 mL ⟶ 78.6 mL (porque 6 es par)


5. De acuerdo con la tabla de abajo, ¿cómo redondearías el valor 3.245 g al lugar de los centésimos más cercano?

Cuando sumas o restas, alinear verticalmente

los valores puede ayudarte a determinar el número correcto de cifras significativas que tendrá el resultado. Por ejemplo,

25.1 g

+ 2.03 g

2 7.1 g

DATOÚTIL CONSEJOS

48 CAPÍTULO 2

Factores de conversión y cifras significativasAnteriormente, en este capítulo, aprendiste cómo se usan los factores de conversión para convertir una unidad en otra. Esos factores de conversión, por lo general, no presentan incertidumbre. Por ejemplo, en un metro hay exactamente 100 centímetros. Si tuvieras que usar el factor de conversión 100 cm/m para convertir metros en centímetros, el 100 no limitaría el grado de certeza de la respuesta.

Una medida de conteo también es exacta. Por ejemplo, supón que tienes 10 tubos de ensayo con 5.67 mL de un líquido en cada uno. El número 10 es exacto. No debería ser un límite para las cifras significativas de un cálculo. Puedes comunicar con certeza que tienes 10 veces 5.67 mL, o un total de 56.7 mL de líquido.

Reglas para la suma y la resta Ejemplos

1. Para los números decimales, la suma o la diferencia debe tener el mismo número de cifras significativas después del punto decimal que la medida con el menor número de dígitos a la derecha del punto decimal.

25.1 g + 2.03 g = 27.1 g3.70 mL – 0.493 mL = 3.21 mL17 cm + 5.7 cm = 23 cm

2. Para los números enteros, el último dígito significativo de la suma o la diferencia debe ser igual que el último dígito significativo de la medida menos precisa.

5400 g + 365 g = 5800 g2710 mL – 1000 mL = 2000 mL

Regla para la multiplicación y la división Ejemplos

1. El producto o el cociente no debe tener más cifras significativas que la medida conocida con el menor número de cifras significativas.

3.05 g ÷ 8.47 mL = 0.360 g/mL3.7 m × 16.5 m = 61 m 2 18 g ÷ 2.34 cm 3 = 7.7 g /cm 3

PRÁCTICA

F. Realiza los siguientes cálculos. Expresa las respuestas con el número correcto de cifras significativas.

a. 5.44 m – 2.6103 m c. 2.099 g + 0.05681 g

b. 2.4 g/mL × 15.82 mL d. 87.3 cm – 1.655 cm

G. Calcula el área de un cristal rectangular que mide

1.34 μm por 0.7488 μm.

H. Un plástico tiene una densidad de 1.2 g/c m 3 . Un portarretratos tiene un marco formado por dos láminas de plástico que miden 28 cm por 22 cm por 3.0 mm.

¿Cuál es la masa del marco?


La notación científica se usa para expresar números muy grandes o muy pequeños.

A veces, las medidas son muy pequeñas o muy grandes. Por lo general, no es práctico dar medidas con muchos ceros, como 23 000 000 000 000 ó 0.000 000 000 000 001 79. Por lo tanto, las medidas suelen darse en notación científica.

En notación científica, los números se escriben en forma M × 10 n , donde M es mayor o igual que 1 y menor que 10, y n es un número entero. Cuando se escriben números en notación científica, solo se muestran las cifras significativas.

Por ejemplo, para escribir 65 000 km en notación científica y mostrar que los dos primeros dígitos son significativos, escribirías 6.5 × 10 4 km. Si quisieras mostrar que los tres primeros dígitos son significativos, escribirías 6.50 × 1 0 4 km.

Para escribir un número en notación científica, sigue estos dos pasos.

1. Para determinar M, mueve el punto decimal del número original hacia la izquierda o la derecha de modo que solo quede un dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal. Quita todos los ceros que no sean significativos.

2. Para determinar n, cuenta el número de lugares que moviste el punto decimal. Si lo moviste hacia la izquierda, n es positivo. Si lo moviste hacia la derecha, n es negativo.

PRÁCTICA

I. Escribe las siguientes medidas en notación científica.

a. 0.000 12 mm

b. 560 000 cm

c. 33 400 kg

d. 0.000 4120 s

J. Las siguientes medidas están escritas en notación científica. Escríbelas en forma normal.

a. 7.050 × 1 0 3 g

b. 4.000 05 × 1 0 7 mg

c. 2.3500 × 1 0 4 mL

Esta calculadora científica muestra el formato más común de la notación científica. El número que aparece es 5.44 × 1 0 7 .

50 CAPÍTULO 2

Operaciones matemáticas con notación científicaLos números en notación científica pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse como cualquier otro número. A continuación se dan las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir dos números en notación científica.

Suma y resta1. Si los exponentes de los dos números son diferentes, vuelve a

escribir uno de los números para que los dos números tengan el mismo exponente.

2. Para hallar el nuevo valor de M, halla la suma o la diferencia de los valores de M de los dos números. Mantén el mismo valor de n.

Ejemplo: 5.93 × 1 0 6 kg – 4.2 × 1 0 5 kg = 5.93 × 1 0 6 kg – 0.42 × 1 0 6 kg = 5.51 × 1 0 6 kg

Multiplicación y división1. Para hallar el valor de M en un producto, multiplica los dos

valores de M. Para hallar el valor de M en un cociente, divide el primer valor de M entre el segundo valor de M.

2. Para hallar el nuevo valor de n en un producto, suma los dos valores de n. Para hallar el valor de n en un cociente, resta el segundo valor de n al primer valor de n.

Ejemplo: (2.6 × 1 0 8 s)(4.7 × 1 0 4 s) = (2.6)(4.7) × 1 0 8+4 s = 12 × 1 0 12 s = 1.2 × 1 0 13 s

Muchas veces, el resultado de estos cálculos no está expresado en notación científica. Si M es menor que 1 o mayor o igual que 10, se debe mover el punto decimal. Si el punto decimal se mueve un lugar hacia la izquierda, n aumenta en 1. Si el punto decimal se mueve un lugar hacia la derecha, n disminuye en 1.

PRÁCTICA

K. Realiza los siguientes cálculos y expresa los resultados en notación científica.

a. 4.2 ×1 0 4 kg + 7.9 × 1 0 3 kg

b. (5.23 × 1 0 6 μm)(7.1 × 1 0 –2 μm)

c. 5.44 × 1 0 7 g ÷ 8.1 × 1 0 4 mol

d. 8.40 × 1 0 5 km – 3.1 × 1 0 5 km

Recuerda que una calculadora no muestra el número correcto de cifras significativas después de realizar una operación.


Los problemas de ejemplo son guías para resolver problemas similares.

Para aprender a analizar y a resolver este tipo de problemas se necesita práctica y un enfoque lógico. En esta sección, harás un repaso de un proceso que puede ayudarte a analizar los problemas en forma efectiva.

Paso 1 AnalizaEl primer paso consiste en leer el problema detenidamente por lo menos dos veces y analizar la información que contiene. Identifica y escribe los datos del problema e identifica lo que se te pide que halles.

Paso 2 PlanificaEl segundo paso consiste en desarrollar un plan para resolver el problema. El plan debe mostrar cómo usarás la información conocida para hallar la información desconocida. Por lo general, hacer un dibujo que represente el problema puede ayudarte a visualizar el problema.

Decide qué factores de conversión, fórmulas matemáticas o principios químicos necesitarás para resolver el problema. Tu plan puede incluir un único cálculo o una serie de cálculos con diferentes factores de conversión. Una vez que comprendas cómo debes proceder, puedes hacer un bosquejo de los pasos de tu solución en una tabla o un diagrama de flujo.

Paso 3 ResuelveEl tercer paso consiste en usar los datos y los factores de conversión para llevar a cabo tu plan. Asegúrate de controlar las unidades y de redondear el resultado al número correcto de cifras significativas.

Paso 4 Revisa tu trabajoAnaliza tu respuesta y decide si es razonable. Asegúrate de que las unidades de la respuesta sean las que esperabas. Usa números más simples y redondeados, y repite los cálculos para verificar el orden de magnitud de tu respuesta.


6. ¿Qué paso de este proceso de resolución de problemas incluye insertar valores en una ecuación y hallar el valor desconocido?

Recuerda!Un problema no siempre da toda la información que necesitas para hallar una solución. Por ejemplo, quizá necesites buscar un valor en la tabla periódica.

52 CAPÍTULO 2

PROBLEMA DE EJEMPLO

Calcula el volumen de una muestra de aluminio que tiene una masa de 3.057 kg. La densidad del aluminio es igual a 2.70 g/c m 3 .

SOLUCIÓN

1 ANALIZA Determina cuál es la información conocida y la información desconocida.

Información conocida: masa = 3.057 kg, densidad = 2.70 g/c m 3

Información desconocida: volumen del aluminio

2 PLANIFICA Determina las ecuaciones y los factores de conversión que necesitas.

Como la densidad está dada en g/c m 3 y la masa está dada en kg, debes hacer una conversión entre g y kg. La relación entre g y kg es 1000 g = 1kg.

Para completar el problema, necesitas la ecuación para hallar la densidad. Deberás reordenarla para hallar el volumen.

D = m __ V ⇒ V = m __ D

3 RESUELVE Inserta los valores conocidos y calcula.

Debes redondear el resultado a tres cifras significativas porque la medida menos precisa, la densidad, tiene tres cifras significativas.

V = 3.057 kg

_________ 2.70 g/c m 3

× 1000 g

______ kg

= 1.13 × 1 0 3 c m 3

4 REVISA TU TRABAJO

Decide si el resultado tiene sentido.

La unidad del resultado es una longitud cúbica y en el problema se pedía un volumen. Una estimación del orden de magnitud sugiere que el resultado correcto debe ser aproximadamente 1000 c m 3 .

3 __ 3 × 1000 = 1000


PRÁCTICA

L. Un reloj adelanta 0.020 segundos por minuto. ¿Cuántos segundos adelantará el reloj en exactamente seis meses, suponiendo que, en cada mes, hay exactamente 30 días?

SOLUCIÓN

1 ANALIZA ¿Cuál es la información conocida y la información desconocida?

Información conocida: El reloj adelanta segundos por minuto.

Información desconocida:

2 PLANIFICA ¿Qué ecuaciones y factores de conversión necesitas?

El resultado final debe estar en segundos. El tiempo que adelanta el reloj está dado en segundos por minuto. Necesitas tres factores de conversión. Completa las relaciones entre las unidades.

minutos = 1 hora

horas = 1 día

días = 1 mes

El resultado final será el número de segundos que adelanta el reloj por mes multiplicado por meses.

3 RESUELVE ¿Cuál es la respuesta correcta?

Escribe tres factores de conversión en la siguiente ecuación. Luego, realiza el cálculo y cancela todas las unidades.

t = 0.020 segundos

______________ minuto × × × × 6 meses

=

4 REVISA TU TRABAJO

¿El resultado tiene sentido?

¿El resultado tiene las unidades correctas?

Explica cómo podrías estimar tu resultado para determinar si el orden de magnitud es correcto.

54 CAPÍTULO 2

Volumen (cm3)

Mas

a (g

)

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60

Datos de masa y volumen del aluminio a 20°C

Las variables que son directamente proporcionales aumentan o disminuyen en el mismo factor.

Dos cantidades son directamente proporcionales si al dividir una entre la otra el resultado es un valor constante. Por ejemplo, las cantidades masa y volumen son proporcionales. En la tabla, al final de la página, se muestran las medidas de masa y volumen de cinco muestras de aluminio diferentes. A medida que aumenta la masa de las muestras, aumenta su volumen por el mismo factor.

Cuando dos variables, x e y, son directamente proporcionales, la relación puede expresarse como y ∝ x, que se lee “y es proporcional a x” . La relación se puede escribir de estas dos formas usando una constante de proporcionalidad k:

y __ x = k o y = kx

La primera ecuación muestra que hay una razón constante entre los valores de dos cantidades que son directamente proporcionales. Observa que, en la tabla, los datos tienen razones que son casi iguales, lo que indica una relación que es directamente proporcional.

La segunda ecuación muestra que una relación directamente proporcional es una línea recta con una pendiente k. La gráfica de toda relación directamente proporcional también pasa por el origen, o el punto (0,0). Tanto los valores de la tercera columna de la tabla que está a continuación como la gráfica demuestran que los datos de la tabla son directamente proporcionales.

Datos de masa y volumen del aluminio a 20 °C

Masa (g) Volumen (c m 3 ) m __ V (g/c m 3 )

54.7 20.1 2.72

65.7 24.4 2.69

83.5 30.9 2.70

96.3 35.8 2.69

105.7 39.1 2.70

En la gráfica se muestra una relación que es directamente proporcional. Observa que, si se extiende, la línea pasa por el origen.

Recuerda!Una variable es una cantidad que puede tener muchos valores.

BUSCA DETALLES

7. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de los datos de la tabla y qué representa?


Presión (kPa)

Vo

lum

en (

cm3)

600

550

500

450

400

300

250

200

150

100

50

0

350

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Volumen versus presión del nitrógeno

Las cantidades son inversamente proporcionales si el valor de una cantidad disminuye cuando el valor de la otra aumenta.

Dos cantidades son inversamente proporcionales si al multiplicarlas el resultado es un valor constante. Por ejemplo, el tiempo que se tarda en recorrer cierta distancia es inversamente proporcional a la velocidad a la que se viaja. A mayor velocidad, menor es el tiempo que se necesita para recorrer esa distancia.

Cuando dos variables, x e y, son inversamente proporcionales, la relación puede expresarse como:

y ∝ 1 __ x

Esto se lee “y es proporcional a 1 dividido entre x” . La relación puede expresarse de esta forma usando una constante de proporcionalidad k:

xy = k

Esta ecuación muestra que el producto de las dos variables dará como resultado un valor constante. En la tabla de abajo se muestra que la presión y el volumen de una muestra de gas nitrógeno son inversamente proporcionales. El producto de la presión por el volumen es casi exactamente el mismo en cualquier momento.

Datos de presión y volumen del nitrógeno a temperatura constante

Presión (kPa) Volumen (c m 3 ) P × V

100 500 50 000

150 333 50 000

200 250 50 000

250 200 50 000

300 166 49 800

350 143 50 100

400 125 50 000

450 110 49 500

La gráfica de una relación inversamente proporcional es una hipérbole. A la derecha se da un ejemplo de este tipo de gráfica, que muestra los datos de la tabla. Los extremos de la gráfica se aproximan al eje de las x y al eje de las y porque a medida que un valor se aleja del cero, el otro valor debe aproximarse al cero.

En la gráfica se muestra una relación que es inversamente proporcional.


8. Dos cantidades son

proporcionales

si su producto es constante.

Dos cantidades son

proporcionales

si su cociente es constante.

56 CAPÍTULO 2

VOCABULARIO1. ¿Qué diferencia hay entre una gráfica que representa datos directamente

proporcionales y una gráfica de datos inversamente proporcionales?

REPASO2. La densidad del cobre es igual a 8.94 g/c m 3 . Dos estudiantes miden, cada uno,

la densidad de tres muestras de la sustancia. Los resultados del estudiante A son 7.3 g/mL, 9.4 g/mL y 8.3 g/mL. Los resultados del estudiante B son 8.4 g/c m 3 , 8.8 g/c m 3 y 8.0 g/c m 3 . Compara los dos conjuntos de resultados en función de la precisión y la exactitud.

3. Realiza los siguientes cálculos.

a. 52.13 g + 1.7502 g b. 16.25 g ÷ 5.1442 mL

4. Realiza las siguientes operaciones. Expresa los resultados en notación científica.

a. 7.023 × 1 0 9 g - 6.62 × 1 0 7 g

b. (8.99 × 1 0 –4 m)(3.57 × 1 0 4 m)

c. 2.17 × 1 0 –3 g ÷ 5.022 × 1 0 4 mL

5. Un estudiante mide la masa de un vaso de precipitados lleno de aceite de maíz. La lectura de la masa es igual a 215.6 g en promedio. La masa del vaso de precipitados es 110.4 g. ¿Cuál es la densidad del aceite de maíz si su volumen es 114 c m 3 ?

Razonamiento crítico6. APLICAR CONCEPTOS La masa de un líquido es 11.50 g y su volumen es 9.03 mL.

¿Cuántas cifras significativas debe tener el valor de su densidad? Explica las razones de tu respuesta.

REPASO DE LA SECCIÓN 2.3


En la suma y la resta, primero debes convertir todos los valores en números que tengan •el mismo exponente de 10. El resultado es la suma o diferencia de los primeros factores, multiplicada por el mismo exponente de 10. Debes redondear el resultado al número correcto de cifras significativas y expresarlo en notación científica.En la multiplicación, debes multiplicar los primeros factores y sumar los exponentes de 10.•En la división, debes dividir los primeros factores de los números y restar el exponente de •10 del denominador al exponente de 10 del numerador.

Todo valor expresado en notación científica tiene dos partes. La primera parte, el primer factor, es un número mayor o igual que 1 pero menor que 10. La segunda parte es una potencia de 10. Para escribir la primera parte, mueve el punto decimal hacia la derecha o la izquierda de modo que quede un solo dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal. Para escribir la segunda parte, cuenta cuántos lugares se movió el punto decimal. El exponente es positivo si el punto decimal se movió hacia la izquierda y negativo si el punto decimal se movió hacia la derecha.

EJEMPLO

Escribe 299 800 000 en notación científica.

Debes mover el punto decimal 8 lugares hacia la izquierda, lo que indica que el exponente será positivo. El valor en notación científica es 2.998 × 1 0 8 m/s.

Escribe (3.1 × 1 0 3 ) (5.21 × 1 0 4 ) en notación científica.

Multiplica los primeros factores y luego suma los exponentes de 10.

( 3.1 × 1 0 3 ) ( 5.21 × 1 0 4 ) = ( 3.1 × 5.21 ) × 1 0 ( 3+4 ) = 16 × 1 0 7 = 1.6 × 1 0 8

Problemas de práctica: Problemas de práctica 18 y 19 del Repaso del capítulo

Tutor de matemáticas NOTACIÓN CIENTÍFICA

6.02 × 1 0 23

primer factor potencia de diez

exponente

299 800 000. m/s8 7 6 5 4 3 2 1

para resolver problemas DATOÚTIL CONSEJOS

58 CAPÍTULO 2

Documents

SECCIÓN 2.3 Cómo usar medidas científicas · En todas las medidas ... 0.014 403 0 km e. 30 000. cm c. 1002 m f. 0.000 625 000 kg ... Cómo multiplicar y dividir con cifras significativas