Sección 5.2 Sección 5.2 Problemas en Flujo BidimensionalProblemas en Flujo Bidimensional

Teoría de Flujo SubterráneoTeoría de Flujo Subterráneo

Semestre 2008-1Semestre 2008-1

Alberto Rosas MedinaAlberto Rosas Medina

En esta sección se consideran las soluciones analíticas en 2 En esta sección se consideran las soluciones analíticas en 2 dimensiones. Mientras que el análisis matemático nos dimensiones. Mientras que el análisis matemático nos permite escribir soluciones bastante generales para flujo permite escribir soluciones bastante generales para flujo multidimensional.multidimensional.

La discusión empieza con La discusión empieza con líneas de flujolíneas de flujo y y líneas líneas equipotencialesequipotenciales y se presentan condiciones bajo las cuales y se presentan condiciones bajo las cuales este conjunto de líneas son ortogonales a otras.este conjunto de líneas son ortogonales a otras.

Esto es usado como una base para la construcción de Esto es usado como una base para la construcción de soluciones gráficas. Entonces se considera una solución soluciones gráficas. Entonces se considera una solución analítica especifica para un problema bidimensional definido analítica especifica para un problema bidimensional definido sobre una sección vertical cruzada correspondiente a una sobre una sección vertical cruzada correspondiente a una pendiente del cerro, identificando patrones de recarga y pendiente del cerro, identificando patrones de recarga y descarga y desarrollando una simple pero bastante general descarga y desarrollando una simple pero bastante general panorama de flujo dinámico subterráneo y su relación con la panorama de flujo dinámico subterráneo y su relación con la superficie hidrológica. superficie hidrológica.

Finalmente se considera extensiones a sistemas más Finalmente se considera extensiones a sistemas más

complejos que incluyen ciertos campos de heterogeneidadcomplejos que incluyen ciertos campos de heterogeneidad

5.2.1 Soluciones Gráficas5.2.1 Soluciones Gráficas El método de solución gráfica está basado sobre la El método de solución gráfica está basado sobre la

observación que las líneas de flujo son perpendiculares observación que las líneas de flujo son perpendiculares a las líneas equipotencialesa las líneas equipotenciales

Definición 1Definición 1. . streamlinestreamline: Es una curva en el espacio : Es una curva en el espacio que es tangente casi donde quiera al vector de flujo que es tangente casi donde quiera al vector de flujo volumétrico volumétrico . .

En un estado de equilibrio, un streamline traza la En un estado de equilibrio, un streamline traza la trayectoria de una partícula moviéndose en el campo de trayectoria de una partícula moviéndose en el campo de flujo.flujo.

El campo de flujo está dado por los gradientes en carga El campo de flujo está dado por los gradientes en carga hidráulica dados por la ley de Darcy.hidráulica dados por la ley de Darcy.

Cuando el material es isotrópico la conductividad Cuando el material es isotrópico la conductividad hidráulica es un único número. Así en un medio hidráulica es un único número. Así en un medio isotrópico el vector de flujo está en la misma dirección isotrópico el vector de flujo está en la misma dirección que el gradiente . que el gradiente .

Cuando el material es Cuando el material es anisotrópico, anisotrópico, la situación no es la situación no es simple por que el mapeo entre y envuelve una simple por que el mapeo entre y envuelve una matriz con valores de conductividad hidráulica y por lo matriz con valores de conductividad hidráulica y por lo tanto los valores de tanto los valores de yy son generalmente no colinealesson generalmente no colineales

Por ahora se asume isotropía, así estamos asegurando Por ahora se asume isotropía, así estamos asegurando que que y y tienen la misma dirección. Por lo tanto tienen la misma dirección. Por lo tanto podemos decir que podemos decir que streamlinesstreamlines sigue la dirección de sigue la dirección de

por que esta dirección es la misma que , la cual por que esta dirección es la misma que , la cual sirve para definir los sirve para definir los streamlinesstreamlines..

Definición 2. Definición 2. Líneas equipotenciales: son líneas por las Líneas equipotenciales: son líneas por las cuales el potencial o carga hidráulica es constante.cuales el potencial o carga hidráulica es constante.

Decimos desde geometría analítica que por definición, el Decimos desde geometría analítica que por definición, el gradiente de cualquier función tiene una dirección que gradiente de cualquier función tiene una dirección que es perpendicular a líneas de valores constantes de la es perpendicular a líneas de valores constantes de la función. Por lo tanto el gradiente de carga hidráulica función. Por lo tanto el gradiente de carga hidráulica debe ser perpendicular a las líneas de carga hidráulica debe ser perpendicular a las líneas de carga hidráulica constante, lo cual significa que constante, lo cual significa que streamlinesstreamlines deben ser deben ser perpendiculares a las líneas equipotenciales en un perpendiculares a las líneas equipotenciales en un medio isotrópico. medio isotrópico.

De esta observación podemos graficar el flujo de líneas De esta observación podemos graficar el flujo de líneas basado en la relación de ortogonalidad entre líneas basado en la relación de ortogonalidad entre líneas equipotenciales y líneas de flujo. equipotenciales y líneas de flujo.

Red de Flujo ClásicasRed de Flujo Clásicas

En el campo de mecánica sólida y fundación de En el campo de mecánica sólida y fundación de ingeniería, uno esta con frecuencia interesado en flujo a ingeniería, uno esta con frecuencia interesado en flujo a través o alrededor de estructuras de ingeniería que través o alrededor de estructuras de ingeniería que envuelve la subsuperficie y agua subterránea o quizás envuelve la subsuperficie y agua subterránea o quizás construcción de diques por encima de la tierra que crea construcción de diques por encima de la tierra que crea un nuevo medio poroso (e.g. un dique de tierra) con un nuevo medio poroso (e.g. un dique de tierra) con posibilidades de flujo asociado a través del objeto.posibilidades de flujo asociado a través del objeto.

Como un ejemplo, considere la situación mostrada en la Como un ejemplo, considere la situación mostrada en la figura 5.7, donde la expansión de material impermeable figura 5.7, donde la expansión de material impermeable es introducida dentro de la tierra que sirve como un es introducida dentro de la tierra que sirve como un dique. dique.

El charco de agua sobre el lado izquierdo del dique El charco de agua sobre el lado izquierdo del dique (detrás del dique) y flujos lejos (fuera alejándose) sobre (detrás del dique) y flujos lejos (fuera alejándose) sobre el lado derecho. Podemos representar el flujo en este el lado derecho. Podemos representar el flujo en este sistema por uso del principio de ortogonalidad, dado que sistema por uso del principio de ortogonalidad, dado que podemos identificar fronteras apropiadas por que tanto podemos identificar fronteras apropiadas por que tanto la carga hidráulica es constante (una línea equipotencial) la carga hidráulica es constante (una línea equipotencial) o no existe flujo en la dirección normal a la frontera, (en o no existe flujo en la dirección normal a la frontera, (en

tal caso la frontera corresponde a streamline).tal caso la frontera corresponde a streamline).

Esquema de un dique

En la figura 5.8, las líneas etiquetadas En la figura 5.8, las líneas etiquetadas A-BA-B y y E-F-G-H-I-E-F-G-H-I-J J son líneas a través de las cuales no ocurre flujo. Por son líneas a través de las cuales no ocurre flujo. Por que el vector de flujo no tiene componente en la que el vector de flujo no tiene componente en la dirección normal a la línea, y la única componente no dirección normal a la línea, y la única componente no cero puede ser en la dirección tangente a la línea. Por lo cero puede ser en la dirección tangente a la línea. Por lo tanto, por definición de un streamline, las líneas tanto, por definición de un streamline, las líneas A-BA-B y y E-F-G-H-I-JE-F-G-H-I-J son son streamlinesstreamlines. Las líneas etiquetadas. Las líneas etiquetadas D-F D-F y y I-CI-C son líneas de igual carga hidráulica, con la carga son líneas de igual carga hidráulica, con la carga por por D-FD-F es igual a es igual a HHLL y la carga por y la carga por I-CI-C es igual a es igual a HHRR. . Así cualquier representación del sistema de flujo a Así cualquier representación del sistema de flujo a través del medio poroso debe incluir equipotenciales por través del medio poroso debe incluir equipotenciales por D-FD-F y y I-C I-C, y streamlines por , y streamlines por A-BA-B y y E-F-G-H-I-JE-F-G-H-I-J. .

G H

F I

Esquema de un dique con líneas de frontera etiquetadas

Con esta información, y los requisitos del conjunto de Con esta información, y los requisitos del conjunto de streamlinesstreamlines y equipotenciales debe ser mutuamente y equipotenciales debe ser mutuamente ortogonales, podemos construir un conjunto de tales ortogonales, podemos construir un conjunto de tales líneas. Una representación es la figura siguiente.líneas. Una representación es la figura siguiente.

Líneas streamlines y equipotenciales para el problema (embalse represa dique)

Mientras el número de equipotenciales y streamlines, y Mientras el número de equipotenciales y streamlines, y sus espacios, pueden ser elegidos arbitrariamente sus espacios, pueden ser elegidos arbitrariamente (restringido únicamente por los requisitos de (restringido únicamente por los requisitos de ortogonalidad), esto es con frecuencia útil para seguir ortogonalidad), esto es con frecuencia útil para seguir una manera más sistemática para construcción de estas una manera más sistemática para construcción de estas líneas. En particular con frecuencia intentamos graficar líneas. En particular con frecuencia intentamos graficar líneas y del flujo que ocurre entre cualesquiera dos líneas y del flujo que ocurre entre cualesquiera dos streamlines adyacentes es el mismo, y la carga streamlines adyacentes es el mismo, y la carga descendiente entre cualesquiera dos líneas descendiente entre cualesquiera dos líneas equipotenciales es el mismo.equipotenciales es el mismo.

Un mapa hidrológico se refiere a una representación grafica Un mapa hidrológico se refiere a una representación grafica de flujo subterráneo basado sobre líneas equipotenciales y de flujo subterráneo basado sobre líneas equipotenciales y streamlines aplicadas a un acuífero dentro del cual el streamlines aplicadas a un acuífero dentro del cual el promedio vertical ha sido aplicado (sección 4.5.2 para promedio vertical ha sido aplicado (sección 4.5.2 para adicional discusión de este tópico). Por lo tanto el mapa adicional discusión de este tópico). Por lo tanto el mapa representa la carga hidráulica y el flujo volumétrico en el representa la carga hidráulica y el flujo volumétrico en el plano (x,y) en donde el flujo dentro del acuífero es asumido plano (x,y) en donde el flujo dentro del acuífero es asumido para ser esencialmente horizontal. Para materiales para ser esencialmente horizontal. Para materiales homogéneos e isotrópicos, el principio de ortogonalidad homogéneos e isotrópicos, el principio de ortogonalidad puede ser aplicado. Por lo tanto streamlines pueden ser puede ser aplicado. Por lo tanto streamlines pueden ser esquematizadas (dibujadas) basadas sobre conocimientos de esquematizadas (dibujadas) basadas sobre conocimientos de líneas equipotenciales. La aplicación práctica de este campo líneas equipotenciales. La aplicación práctica de este campo de mapas tiene soporte (depende) sobre la observación de de mapas tiene soporte (depende) sobre la observación de mediciones de niveles de agua en pozos son directamente mediciones de niveles de agua en pozos son directamente medidos de carga hidráulica sobre la longitud de el pozo de medidos de carga hidráulica sobre la longitud de el pozo de investigación. investigación.

Y para pozos investigados dentro del mismo acuífero, las Y para pozos investigados dentro del mismo acuífero, las mediciones del nivel de agua entonces proporcionan puntos mediciones del nivel de agua entonces proporcionan puntos de medidas carga hidráulica. Mapas topográficos basados de medidas carga hidráulica. Mapas topográficos basados sobre esta medición de pozos entonces proporciona líneas sobre esta medición de pozos entonces proporciona líneas equipotenciales, por que por definición una línea de nivel es equipotenciales, por que por definición una línea de nivel es una línea por la cual el valor de la variable siendo contoured una línea por la cual el valor de la variable siendo contoured es constante. Cuando la variable es la carga hidráulica, el es constante. Cuando la variable es la carga hidráulica, el contorno son líneas equipotenciales. Una vez que estas contorno son líneas equipotenciales. Una vez que estas líneas son graficadas, streamlines pueden ser construidas líneas son graficadas, streamlines pueden ser construidas usando el principio de ortogonalidad. Un ejemplo de tal mapa usando el principio de ortogonalidad. Un ejemplo de tal mapa es proporcionado por la fig. 5.10, donde las mediciones del es proporcionado por la fig. 5.10, donde las mediciones del nivel del agua en las inmediaciones (alrededor) de dos pozos nivel del agua en las inmediaciones (alrededor) de dos pozos de bombeo son contoured, y desde estos contours de bombeo son contoured, y desde estos contours direcciones de flujo son inferidas y graficadas.direcciones de flujo son inferidas y graficadas.

Supongamos un sistema bidimensional (x,y) y las Supongamos un sistema bidimensional (x,y) y las principales direcciones de la conductividad hidráulica principales direcciones de la conductividad hidráulica alineadas con los ejes coordenadas, así que en el alineadas con los ejes coordenadas, así que en el sistema coordenado (x,y) la matriz de conductividad sistema coordenado (x,y) la matriz de conductividad hidráulica está dada porhidráulica está dada por

Considerando la dirección resultante de flujo cuando el Considerando la dirección resultante de flujo cuando el gradiente de carga hidráulica está alineado en el ángulo gradiente de carga hidráulica está alineado en el ángulo αα desde el eje x. desde el eje x.

Donde denota la magnitud del vector .Donde denota la magnitud del vector .

Las ecuaciones gobernantes de flujo derivado de la ley Las ecuaciones gobernantes de flujo derivado de la ley de Darcy: de Darcy:

El ángulo en el cual fluye el agua está dado por El ángulo en el cual fluye el agua está dado por ββ, y se , y se define comodefine como

Cuando el material es isotrópico entoncesCuando el material es isotrópico entonces

Lo cual significa que Lo cual significa que

Sin embargo, cuando el vector de flujo no está Sin embargo, cuando el vector de flujo no está alineada con el vector gradiente de carga excepto alineada con el vector gradiente de carga excepto cuando el gradiente pasa alineado con las direcciones cuando el gradiente pasa alineado con las direcciones principales de la conductividad hidráulica.principales de la conductividad hidráulica.

Dado que se considera un sistema anisotrópico se Dado que se considera un sistema anisotrópico se define un nuevo sistema coordenado, en el cual el define un nuevo sistema coordenado, en el cual el vector de flujo y el gradiente de carga están alineados. vector de flujo y el gradiente de carga están alineados.

El nuevo sistema coordenado se obtieneEl nuevo sistema coordenado se obtiene

Entonces el vector de flujo están dados por Entonces el vector de flujo están dados por

Por lo tanto el cálculo de la dirección de flujo muestra Por lo tanto el cálculo de la dirección de flujo muestra que el flujo está en la nueva dirección del gradiente de que el flujo está en la nueva dirección del gradiente de carga definido en el nuevo carga definido en el nuevo sistema coordenadosistema coordenado,,

así en el espacio transformado, las direcciones de flujo así en el espacio transformado, las direcciones de flujo

pueden ser determinados desde el análisis de red de flujo.pueden ser determinados desde el análisis de red de flujo.

Material interfaz y ley tangenteMaterial interfaz y ley tangente

Heterogeneidad de materiales, propiedades tales como Heterogeneidad de materiales, propiedades tales como conductividad hidráulica significa que el valor de la conductividad hidráulica significa que el valor de la propiedad cambia con la localización en el espacio.propiedad cambia con la localización en el espacio.

La línea o superficie cruzada con la cual la propiedad La línea o superficie cruzada con la cual la propiedad cambia es llamado material interfaz.cambia es llamado material interfaz.

En un sistema de agua subterránea saturado, el movimiento En un sistema de agua subterránea saturado, el movimiento a través de un material interfaz obedece a dos reglas a través de un material interfaz obedece a dos reglas fundamentales.fundamentales.

1. Continuidad de la carga hidráulica1. Continuidad de la carga hidráulica 2. Continuidad de flujo normal2. Continuidad de flujo normal Ambos en el sentido matemático.Ambos en el sentido matemático. La primera regla sigue el hecho que una carga hidráulica La primera regla sigue el hecho que una carga hidráulica

discontinua implica un flujo infinito para cualquier discontinua implica un flujo infinito para cualquier conductividad hidráulica finita (Ley de Darcy) lo cual conductividad hidráulica finita (Ley de Darcy) lo cual físicamente es imposible.físicamente es imposible.

La segunda regla se sigue desde el argumento de La segunda regla se sigue desde el argumento de balance de masas: cualquier masa entrante en la balance de masas: cualquier masa entrante en la interfaz, debe emerger del otro lado, porque la interfaz interfaz, debe emerger del otro lado, porque la interfaz no puede almacenar masa (tiene volumen cero).no puede almacenar masa (tiene volumen cero).

Construcción de redes de flujo y mapas hidrológicos cuando el Construcción de redes de flujo y mapas hidrológicos cuando el dominio de interés está compuesto de regiones de materiales dominio de interés está compuesto de regiones de materiales homogéneos, separados por una interfaz A-A´homogéneos, separados por una interfaz A-A´

De un lado, el material De un lado, el material ii, con carga hidráulica h, con carga hidráulica hii, conductividad , conductividad hidráulica Khidráulica Kii ,vector de flujo volumétrico q ,vector de flujo volumétrico q i. i. i=1,2. La dirección i=1,2. La dirección normal a la interfaz denotada por normal a la interfaz denotada por n n y la dirección por la interfaz y la dirección por la interfaz como como s.s.

La continuidad de la carga hidráulica implica que La continuidad de la carga hidráulica implica que

Es decir es la misma por ambos lados de la interfaz.Es decir es la misma por ambos lados de la interfaz.

De la ley de Darcy se tieneDe la ley de Darcy se tiene

Por lo tanto Por lo tanto

Si relacionamos los ángulos y usando la tangente Si relacionamos los ángulos y usando la tangente

La última ecuación nos dice que el cambio de ángulo del La última ecuación nos dice que el cambio de ángulo del vector de flujo a través del material interfaz es vector de flujo a través del material interfaz es gobernado por el contraste de permeabilidad a través gobernado por el contraste de permeabilidad a través de la interfaz.de la interfaz.

En particular si , entonces por lo tanto En particular si , entonces por lo tanto el vector en el material más permeable tiene una el vector en el material más permeable tiene una dirección cerrada paralela a la interfaz, mientras que en dirección cerrada paralela a la interfaz, mientras que en el material menos permeable está cerrado a la dirección el material menos permeable está cerrado a la dirección normal. normal.

Leyes tangentesLeyes tangentes

1.Provee una metodología para la construcción de redes 1.Provee una metodología para la construcción de redes de flujo en material heterogéneo, donde la de flujo en material heterogéneo, donde la heterogeneidad envuelve regiones simples homogéneas heterogeneidad envuelve regiones simples homogéneas separadas por un material interfaz.separadas por un material interfaz.

La segunda consecuencia es que envuelve flujos en La segunda consecuencia es que envuelve flujos en sistemas acuífero-acuitardo estratificado.sistemas acuífero-acuitardo estratificado.

Por que por definición los acuíferos tienen permeabilidad Por que por definición los acuíferos tienen permeabilidad mucho más grande que la permeabilidad en un mucho más grande que la permeabilidad en un acuitardo, líneas de flujo en las inmediaciones de la acuitardo, líneas de flujo en las inmediaciones de la frontera acuífero-acuitardo debe ser cerrado a paralelo a frontera acuífero-acuitardo debe ser cerrado a paralelo a la interfaz en el acuífero y cerrado a la dirección normal la interfaz en el acuífero y cerrado a la dirección normal en el acuitardo. Para estratos que son esencialmente en el acuitardo. Para estratos que son esencialmente horizontales, esta significa que el flujo en el acuífero horizontales, esta significa que el flujo en el acuífero será esencialmente horizontal y el flujo en el acuitardo será esencialmente horizontal y el flujo en el acuitardo será vertical. será vertical.

Por lo tanto la Por lo tanto la ley tangenteley tangente sostiene la suposición de sostiene la suposición de flujo esencialmente horizontal en acuíferos y flujo vertical flujo esencialmente horizontal en acuíferos y flujo vertical en acuitardos. en acuitardos.

5.2.2 Soluciones Analíticas en 2 Dimensiones5.2.2 Soluciones Analíticas en 2 Dimensiones

Las soluciones analíticas de problemas de flujo Las soluciones analíticas de problemas de flujo subterráneo en más de una dimensión tienen más subterráneo en más de una dimensión tienen más complicaciones que las ecuaciones diferenciales complicaciones que las ecuaciones diferenciales ordinarias.ordinarias.

En general, las soluciones analíticas pueden ser En general, las soluciones analíticas pueden ser únicamente derivadas para ecuaciones lineales con únicamente derivadas para ecuaciones lineales con coeficientes constantes definida sobre un dominio cuyas coeficientes constantes definida sobre un dominio cuyas fronteras son paralelas a los ejes coordenados. fronteras son paralelas a los ejes coordenados.

Flujo subterráneo en pequeñas cuencas Flujo subterráneo en pequeñas cuencas hidrográficashidrográficas

Veamos la siguiente figuraVeamos la siguiente figura

Con estas condiciones impuestas, la ecuación de flujo Con estas condiciones impuestas, la ecuación de flujo subterráneo para estado de equilibrio para acuífero subterráneo para estado de equilibrio para acuífero homogéneo e isotrópico provee una descripción homogéneo e isotrópico provee una descripción matemática del problema, la ecuación no puede ser matemática del problema, la ecuación no puede ser resuelta por que la localización de el nivel freático no es resuelta por que la localización de el nivel freático no es paralelo a los ejes coordenados. paralelo a los ejes coordenados.

Se puede obtener la solución si suponemos Se puede obtener la solución si suponemos entonces el problema se traduce en entonces el problema se traduce en

Esta ecuación puede ser solucionada analíticamente, obteniendo una soluciónen series infinitas envolviendo funciones trigonométricas.

1. Nótese que la solución es representada por líneas de flujo 1. Nótese que la solución es representada por líneas de flujo y que las líneas de flujo están únicamente graficadas dentro y que las líneas de flujo están únicamente graficadas dentro del dominio donde la solución es realmente obtenida, esto es del dominio donde la solución es realmente obtenida, esto es en . en .

2. Podemos identificar áreas de 2. Podemos identificar áreas de recargarecarga y y descargadescarga..Recarga: Recarga: Es un área en lo alto de el dominio (en 2-D) Es un área en lo alto de el dominio (en 2-D) esto es realmente una línea de recarga, por que el “área” esto es realmente una línea de recarga, por que el “área” envuelve la dirección envuelve la dirección y y La carga hidráulica decrece con profundidad La carga hidráulica decrece con profundidad Descarga: Descarga: Es un área para la cual la carga hidráulica Es un área para la cual la carga hidráulica incrementa con profundidad. incrementa con profundidad.

3. Se identifican tres zonas generales sobre la figura, las 3. Se identifican tres zonas generales sobre la figura, las cuales son denotadas como:cuales son denotadas como: sistemas de flujo local, sistemas sistemas de flujo local, sistemas de flujo intermedio y sistemas de flujo regional.de flujo intermedio y sistemas de flujo regional.

Sistema de flujo regionalSistema de flujo regional: Tiene su área de recarga en : Tiene su área de recarga en una topografía local (senoidal) alta, y su área de una topografía local (senoidal) alta, y su área de descarga en la topografía adyacente inferior.descarga en la topografía adyacente inferior.

Sistema de flujo intermedioSistema de flujo intermedio: Tiene sus áreas de carga : Tiene sus áreas de carga y descarga separadas por una o más topografías pero y descarga separadas por una o más topografías pero estas no abarcan la longitud entera de la pendiente de la estas no abarcan la longitud entera de la pendiente de la colinacolina

Sistema de flujo regionalSistema de flujo regional: Es un sistema cuya área de : Es un sistema cuya área de recarga incluye el agua divisor y su área de descarga recarga incluye el agua divisor y su área de descarga incluye el valle incluye el valle bottombottom