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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA.
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL. UNIDAD 099, D.F. PONIENTE.
“OTRA VISIÓN DE LA APLICACIÓN DIDÁCTICA DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS I
EN EL COLEGIO DE BACHILLERES EN EL D. F.”.
T E S I S QUE PARA OBTENER EL TITULO DE
MAESTRO EN EDUCACIÓN CON CAMPO EN PLANEACIÓN EDUCATIVA
PRESENTA ENRIQUE PEREYRA ORTIZ
México, D. F. . OCTUBRE DE 2003.
“OTRA VISIÓN DE LA APLICACIÓN DIDÁCTICA DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS I,
EN EL COLEGIO DE BACHILLERES EN EL D. F.”.
RESUMEN.
A medida que los alumnos de Nivel Medio Superior avanzan en el sistema escolar se detecta un alarmante incremento de analfabetismo matemático funcional. El problema en la actualidad no se ha podido resolver; ninguna reforma educativa lo ha podido atacar de raíz, debido al desconocimiento de su etiología, lo cual abre una brecha al análisis y ala investigación dentro de esté ámbito educativo. El trabajo que aquí se presenta es una propuesta didáctica innovadora para los docentes de la signatura de Matemáticas I (álgebra), en el Colegio de Bachilleres en el D.F. Para desarrollar la investigación se consideraron los objetivos curriculares del Plan de Estudios con el cual fue creado el Colegio de Bachilleres, vigente al presente, para obtener un instrumento con la modalidad de evaluación que permitiera delimitar la problemática. A partir de esto se elaboró un Manual Didáctico de Matemáticas I (álgebra), como propuesta alternativa con la finalidad de lograr un conocimiento estructurado, contribuir a que el estudiante construya su propio conocimiento, se encuentre altamente motivado y se incremente el desempeño académico.
ABSTRACT.
As the students of Half Superior Level advance in the school system an alarming increment of functional mathematical illiteracy it is detected. The problem at the present time has not been possible to solve; no educational reformation has been able to him to attack of root, due to the ignorance of its etiology, that which opens a breach to the analysis and wing investigation inside educational environment is. The work that here is presented it is an innovative didactic proposal for the educational of the signature of Mathematical I (algebra), in the School of High schools in the D.F. to develop the investigation were considered the curricular objectives of the Plan of Studies with which the School of High schools was created, effective to the present, to obtain an instrument with the evaluation modality that allowed to define the problem. Starting from this a Didactic Manual of Mathematical I was elaborated (algebra), as proposal alternative with the purpose of achieving a structured knowledge, to contribute to that the student builds her own knowledge, be highly motivated and the academic acting is increased.
TABLA DE CONTENIDO.
Introducción.
TEMAS.
Capítulo 1. INFORME DIAGNÓSTICO DE LA PROBLEMÁTICA. PAGINAS,
1.1 IDENTIFICACIÓN GEOGRÁFICA DE UBICACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Contexto Geográfico.
La cuenca del Valle de México y su orografía. Hidrografía.
Situación Jurídica. Iluminación y asoleamiento. Condiciones climatológicas.
Urbanización e impacto ambiental.
1.2 DESCRIPCIÓN HISTÓRICA DEL CONEXTO. Orígenes, un lugar poblado desde antiguo.
Iztacalco durante el Virreinato.. Iztacalco en el México Independiente; frente a
un nuevo proyecto de Nación.
1.3 CONTEXTO ECONÓMICO, POLÍTICO Y SOCIAL DE LA POBLACIÓN Iztacalco contemporáneo.
¿Cómo vive la gente en Iztacalco?.
1.4 LA POBLACIÓN MAGISTERIAL Y SUS CARACTERÍSTICAS.. Características del cuerpo académico de Matemáticas I.
1.5 POLÍTICA EDUCATIVA.
Marco Institucional del Sistema o Subsistema. Marco normativo del Sistema Educativo Nacional.
Educación Media Superior. Colegio de Bachilleres..
Orientación Filosófica. 1.6 MARCO INSTITUCIONAL DE ACTUALIZACIÓN Y SUPERACIÓN PROFESIONAL.
La población magisterial su actualización académica.
1.7 ESQUEMAS Y PERFILES PROFESIONALES DEL MAGISTERIO EN SERVICIO. Cuerpo Académico de Matemáticas I.
Capítulo 2. DISEÑO INVESTIGATIVO DEL DIAGNÓSTICO.
2.1 PROBLAMATICA EDUCATIVA. La revolución en la enseñanza de la Matemática.
Problemática educativa detectada.
2.2 ESTADO DEL ARTE. Fundamentación teórica de la propuesta.
2. 3. 4. 5. 8. 9. 11. 13. 17. 18. 25. 28. 35. 37 46. 49. 52. 54. 57. 59. 62. 70. 71.
2.3 JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO
Metodología de la investigación. La enseñanza de las Matemáticas centrada en la Historia.
La enseñanza de las Matemáticas basada en la Psicología. 2.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El papel de la enseñanza de las Matemáticas. 2.5 PLANTEAMIENTO DE LA HIPÓTEIS.
La formulación de la hipótesis.
2.6 OBJETIVO. Propósitos u objetivos de la investigación. Objetivos que se persiguen en el trabajo.
2.7 POBLACIÓN QUE PRESENTA LA PROBLEMÁTICA.
Importancia de la Educación Media Superior. 2.8 SELECCIÓN DE LA MUESTRA.
Diseño de la Muestra. Teorización en la investigación.
Teoría del Muestreo. ¿Cómo se decide el tamaño de la población?.
2.9 DISEÑO DEL INSTRUMENTO.
Modelo de evaluación. 2.10 ANALISIS DE LOS DATOS RECABADOS.
Análisis de Varianza. 2.11 INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS QUE ARROJO EL INSTRUMENTO.
Evaluación de los resultados del dominio del lenguaje algebraico. 2.12 VINCULACIÓN DE LA HIPÓTESIS CON LA PROBLEMÁTICA Y LOS
RESULTADOS OBTENIDOS EN EL ESTUDIO. ¿De que manera se puede enseñar Matemáticas?.
2.13 DIAGNÓSTICO DE NECESIDADES.
El ámbito de la didáctica y la problemática. Capítulo 3. PROPUESTA ALTERNATIVA DE SOLUCIÓN A LA
PROBLEMÁTICA.
3.1 MARCO JURÍDICO. Principios y legislación vigente fundamental del sistema educativo
mexicano 3.2 IMPLICACIONES SOCIALES.
La matemática, objeto de cultura y herramienta de trabajo La matemáticas y el desarrollo social.
El conocimiento matemático y la sociedad
79. 81. 84. 98. 104. 108. 113. 114. 118. 119. 120. 121. 122. 132. 140. 156. 164. 168. 173. 176. 179.
3.3 OBJETIVOS DE LA PROPUESTA ALTERNATIVA.
La Didáctica de las Matemáticas I. Objetivo Principal.
Objetivos Secundarios.
DESARROLLO DE LA PROPUESTA ALTERNATIVA DEL MANUAL DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS I.
Objetivos del Manual.
1. Concepción del Proceso de Enseñanza-Aprendizaje.
2. Objetivos.
3. Planeación.
4. Métodos y Procedimientos.
Estructura de los contenidos de las unidades del programa 231.
de Matemáticas I
1.1 OPERANDO CON LOS NUMEROS REALES. 233. 1.1.1 ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS. 236.
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS DE DIFERENTES SISTEMAS. 239.
1.1.3 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES. 242.
1.1.4 SIGNOS DE AGRUPACIÓN. 245.
1.2 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA. 248.
1.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MÉTODOS ARITMÉTICOS. 251. 1.2.2 RAZONES Y PROPORCIONES. 254.
1.2.3. MODELOS ALGEBRAICOS: UNA GENERELACIZACIÓN. 257.
2.1 EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS. 260. 2.1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. 266. 2.1.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 268. 2.1.3 LA OPERATIVIDAD DE LOS POLINOMIOS. 271. 2.2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. 274. 2.2.1 PRODUCTOS NOTABLES. 277.
2.2.2 FACTORIZACIÓN. 280. 2.2.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. 283.
3.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 287.
3.1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. 290.
3.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCOGNITA. 293.
3.2 SISTEMA DE ECUACIONES. 296.
3.2.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN
SISTEMA DE ECUACIONES. 299.
3.2.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES. 302.
181. 185. 186. I87. 189. 199. 215. 225.
5. Recursos Didácticos.
6. Evaluación.
7. Motivación.
8. Bibliografía.
EPÍLOGO.
Necesidades Didácticas formativas del Profesor de Matemáticas.
BIBLIOGRAFÍA Y HEMEROGRAFÍA.
311. 319. 329. 339. 341 345.
CAPITULO 1.
.INFORME DIAGNÓSTICO DE LA
PROBLEMÁTICA
1.1 IDENTIFICACIÓN GEOGRAFICA DE UBICACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA.
El Contexto Geográfico: la cristalización de una metrópoli es un proceso secular
que surge de la evolución social en interacción con el entorno geográfico, la ciudad
de México se localiza en la parte suroeste de la cuenca homónima [Fig. 1]. 1
Fig. 1. Zona
Metropolitana del Valle de México, su zona de influencia en la zona conurbada con el Estado De México
Capital de la República, es la entidad más pequeña del país, pues su superficie
sólo representa el 0.1% del territorio nacional;2 a su vez ocupa aproximadamente la
tercera parte de la depresión lacustre (Valle) de México y se localiza al sudeste de
dicho accidente geográfico; que tiene tales relieves, clima y agua que han favorecido
su poblamiento desde épocas prehistóricas y determinado, en la actualidad ciertas
características del crecimiento de su mancha urbana.
El clima, su carácter volcánico y las pendientes y drenajes determinaron en
gran medida la naturaleza de sus suelos, destacando los que poseen mal drenaje
con sales, los derivados de cenizas volcánicas y aquellos con mal drenaje pero ricos
en materia orgánica; esta geomorfología influye en el tipo de vegetación que la
cubre, lo cual presenta un entorno ecológico muy satisfactorio que permitió la
presencia del hombre desde 20 000 años antes de nuestra era.
2
1 Departamento del Distrito Federa y El Colegio de México. Atlas dela Ciudad de México. El Colegio de México, 1987. Pág. 11 -40 2 Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. México Hoy. INEGI, México, 1994. Pág. 51
La cuenca del Valle de México y su Orografía: se puede dividir en tres zonas:
meridional, septentrional y nororiental, la gran cuenca de México es montañosa y
esta desmembrada al oriente, al poniente y al sur por las Sierras Nevada, Las Cruces
y Chichinautzin, pudiendo ser subdividida en cuencas de diferentes tamaños y
niveles que forman planicies [Fig. 2]. 3
Fig. 2. Zona
Metropolitana del Valle de México, su zona de influencia en la zona conurbada con el Estado De México
Su orografía consiste en colinas, sierras y serranías que accidentan su
superficie al norte, sur y sureste, quedando solo al oriente una pequeña región en la
cuál solo se asientan las planicies, la orografía de la depresión lacustre esta
integrada al norte por la sierra de Teposotlán, Tezontlalpan, Pachuca y Navajas que,
en conjunto, forman la llamada Sierra Norte; en la parte Este de la depresión se
localiza la Sierra Nevada, donde están los dos grande volcanes Popocatepetl y el
Ixtaccihuatl y que, además, comprende las sierras de Patlachique y Río Frío, en la
parte Sur se localizan las sierras de Cuautzín y Ajusco.
3
3 Departamento del Distrito Federal. MEMORIA de las obras del SISTEMA de DRENAJE PROFUNDO del DISTRITO FEDERAL. Talleres Gráficos de la Nación, Tomo I. , México, 1975. Pág. 26
La Hidrografía de la Cuenca del Valle de México, los ríos San Joaquín y Los
Morales, que nacen en el Monte de las Cruces, juntan sus aguas para dar origen al
Río Consulado que pasa por la colonia Valle Gómez, las Calzadas de los Gallos y
Melchor Ocampo; se encuentra entubado y cubierto con amplias y modernas
avenidas [Fig. 3].4.
Fig. 3, Hidrografía de la Cuenca del Valle de México, con base en las características de sus corrientes superficiales, la cuenca se ha dividido en once zonas hidrológicas, donde la mayor parte de los ríos son de carácter torrencial, con avenidas de corta duración.
Los ríos Tacubaya y San Borja, que nacen en Cuajimalpa y el Desierto de los
Leones respectivamente, se unen para formar el Río de la Piedad que se encuentra
actualmente entubado; habiéndose construido y siguiendo su desarrollo la Avenida
Viaducto Piedad, entre otros se encuentran los ríos Tlalnepantla y los Remedios que
nacen en la Sierra de Monte Alto, sus aguas son recogidas por medio de un canal,
entre los cerros de Chiquigüite y Santa Isabel; el río Magdalena es el curso más largo
y el más caudaloso del Distrito Federal, recibe como afluente a los Ríos Eslava,
Loreto y San Ángel; el Río Churubusco que esta formado por los Ríos Mixcoac,
Barranca del Muerto y la Magdalena, otras corrientes la constituyen los Ríos San
Juan de Díos y la Buenaventura; se han entubado o canalizado todos los ríos del
Distrito Federal
4
4 Departamento del Distrito Federal. MEMORIA de las obras del SISTEMA de DRENAJE PROFUNDO del DISTRITO FEDERAL. Talleres Gráficos de la Nación, Tomo I. , México, 1975. Pág. 71
Situación Jurídica: territorialmente y jurídicamente, la delegación de Iztacalco ha
sufrido varios cambios, como lo demuestran las diferentes fuentes de información en
diferentes épocas [Fig. 4]5: .
Fig. 4. Es una extensión la más pequeña de las delegaciones, sin embargo su densidad demográfica es la más alta con 34 260 personas por km2 (1990),
Sobre todo, desde que se le menciona de manera objetiva; en el primer censo
general de la República Mexicana de 20 de octubre de 1895 se le considera a
Iztacalco como parte perteneciente al municipio denominado Guadalupe Hidalgo;
ahora Gustavo A. Madero.
La Secretaría de Fomento, Colonización e industria organizó el 2° Censo de 28
de octubre de 1900, en el cual menciona a la prefectura de Guadalupe Hidalgo y a
Iztacalco como parte de ello, con una extensión territorial de 75 Km2. Además del
pueblo de Iztacalco la prefectura contenía a los pueblos de San Andrés Tetepilco,
Peñón de los Baños, La ladrillera, Santa Anita, La Magdalena, Zacahuitzco, los
ranchos de San Andrés, La Cruz, Puente de los Cuartos, La Viga y Colonia Valle
Gómez.
5
5 Distrito Federal e INEGI.. Iztacalco. Cuaderno Estadístico INEGI, Gobierno del Distrito Federal, México, 2000. Pág. 9
Con datos del 4° Censo de 30 de noviembre de 1921, organizado por el
Departamento de Estadística Nacional, menciona a Iztacalco como un terreno yermo,
estéril y como pueblo perteneciente a la jurisdicción de Iztapalapa; según decreto de
18 de agosto de 1931, Iztacalco se constituye en Delegación, independizándose de
Iztapalapa, lo cual venía realizando desde el 15 de octubre de 1929, fecha en que se
llevó a cabo el censo nacional de agricultura, ganadería e industria preparatorio al
efectivo de 15 de mayo de 1930, y en el que se menciona sus linderos hacia el norte
hasta la Nueva Atzacoalco, que pertenecía a Guadalupe Hidalgo, en una extensión
territorial de 58.34 Km2. y limites con el Estado de México hacia los municipios de los
Reyes y Chimalhuacán.
De acuerdo con el VIII Censo General de Población de 8 de junio de 1960,
Iztacalco contaba con una extensión territorial de 21.84 Km2. localizada de acuerdo
con las siguientes coordenadas geográficas.
Latitud Norte 19 grados, 23 minutos, 22 segundos. Longitud Oeste 99 grados, 7 minutos, 16 segundos. Altitud 2 240 metros sobre el nivel del mar.
De acuerdo al decreto publicado en el Diario Oficial, de 29 de diciembre de
1970, en el artículo 10°, fracción 3ª, Iztacalco fue reducido considerablemente por su
punto nordeste, según se desprende del siguiente enunciado mismo.
A partir del centro de la mojonera Los Barcos que define uno de los vértices de
la línea limítrofe entre el Distrito Federal y el Estado de México, se dirige por esta
línea hacia el Suroeste por el eje de la calle 7, al centro de la mojonera Pantitlán, de
donde se separa de la línea limítrofe y sigue por la calle 7 con el mismo rumbo
Suroeste, cruzando la Calzada Ignacio Zaragoza, hasta el eje de la Avenida Canal de
San Juan, por el que se encamina en la misma dirección hasta el eje de la calle
Canal de Tezontle por el cual va al Poniente hasta interceptar el eje de la Avenida
Ferrocarril de Río Frío; por éste se dirige al Noroeste y llega al eje de la calle Oriente
217.
6
Por él continúa hacia el Sur hasta la calle Río Amarillo, por cuyo eje sigue al
Poniente hasta el eje del Río Churubusco; por éste cambia de dirección al Suroeste
hasta el eje de la Calzada Apatlaco, por el que se encamina al Poniente hasta cruzar
el eje de la Calzada de la Viga, por el cual sigue al Sur hasta su cruce con el eje de
la Avenida Playa Pie de la Cuesta, por este eje toma rumbo al Poniente hasta su
confluencia con el eje de la Avenida Presidente Plutarco Elías Calles; en este punto
cambia de rumbo dirigiéndose al Noreste, entronca con la calle Axayácatl y sobre su
eje continúa en la misma dirección, llega al eje de la Calzada Santa Anita, por el cual
se dirige al Poniente hasta el eje de la Calzada de Tlalpan y sobre éste, va hacia el
Norte hasta su cruce con el eje del Viaducto Presidente Miguel Alemán; cambia de
dirección al Oriente, cruza la Avenida Río Churubusco y entronca con el eje de la
Avenida Río de la Piedad y sobre este continua rumbo al Sureste, y Noreste,
cruzando la Calzada Ignacio Zaragoza, hasta el eje antiguo cauce del Río
Churubusco; por este eje se dirige al Noreste; prosigue al Oriente por el eje del
cauce desviado de este Río, hasta llegar a la mojonera Los Barcos, punto de partida.
Iztacalco: Por el oriente, a partir del centro de la mojonera llamada: Ilatel de los
Barcos, sigue hacia el oeste por la línea recta hasta encontrar el río Churubusco,
sigue por este occidente hacia el suroeste sobres u eje, cruza la calzada de Ignacio
Zaragoza y continua hacia el sur hasta encontrar la acera norte de la Calzada de
Miramontes se dirige hacia el sur, llega a la confluencia de esta calzada con la
Avenida Morelos, sobre cuya acera norte se dirige hacia el oriente hasta llegar a la
acera poniente de la calzada de la Viga por la cual se dirige hacia el norte, llega a la
altura de la calzada de Apatlaco, por la cual se dirige hacia el oriente sobre su acera
norte hasta la confluencia de ésta con el Río Churubusco, por cuyo eje sigue al
noreste se dirige al sureste; cruza el Río Churubusco en línea recta, llega a la acera
noreste del camino a Río Frío, sobre la que continua hacia el sureste; hasta
encontrar la acera poniente de la Avenida Canal de San Juan, sobre la cual sigue al
norte, pasa por el centro de la mojonera Pantitlán, de la que sigue por la línea
limítrofe del D: F: con el Estado de México hasta llegar a la mojonera Llatel de los
Barcos, punto de partida.
7
Iluminación y asolamiento: el hombre es un ser que consciente emplea las
fuentes de energía natural en provecho propio, una de estas fuentes es la radiación
solar; sabemos la manera cómo la luz solar hiere la superficie del globo terrestre, en
su rodar cotidiano sobre su eje y en su girar alrededor del sol, a la distancia media de
149 503 000 Km a que la Tierra está del Sol, el paralelaje solar, o ángulo que desde
el centro del sol mide el radio del ecuador terrestre es de 8”.80; si dividimos cada uno
de las 24 horas del día de 15° en 60 arcos de 15’, se obtendrían 1 440 generatrices,
pertenecientes a los minutos del día. [Fig. 5].6
Fig. 5 Líneas
trazadas entre los dos respectivos ángulos que forman el plano del ecuador con la declinación máxima positiva de 23° 27’ del día 21 de junio y la máxima negativa de 23°27’ del día 22 de diciembre, que dan los rayos meridionales
Las horas totales de iluminación en Iztacalco, son 12:00: en verano (22 de
junio); amanece 5:28 AM., anochece 18:32 PM., horas totales son 13:04; en invierno
(21 de diciembre), amanece 6:28 AM. , anochece 17:32 PM.; horas totales son
11:04, el proyecto de construcción escolar de las edificaciones del Plantel 03
Iztacalco del Colegio de Bachilleres, tomo en cuenta estas características de
iluminación y asoleamiento, para satisfacer ampliamente los aspectos de
iluminación.
86 Alfredo Plazola Cisneros. Arquitectura Habitacional. 1ª Reimpresión, LIMUSA, México, 1985. Pág.184
Condiciones Climatologícas: el Distrito Federal presenta condiciones
climatológicas especiales, ya que de acuerdo con su latitud, debía tener clima
tropical [Fig. 6]7..
Fig. 6
Fotografía de la ciudad de México tomada desde satélite. CNES 1986; reconocida como una de las más grandes del mundo, la magnitud y gravedad de sus problemas conlleva a una concepción integral de las políticas y estrategias tendientes a mejorar su perfil.
Sin embargo, la altitud de la Ciudad de México se encuentra a 2 240 m sobre el
nivel del mar; influye para darle características de variabilidad constituyendo a ésta
misma otros factores tales como deforestación, el desecamiento de lagos y la falta de
vegetación; según la clasificación de D’Martenne el clima del Distrito Federal
corresponde al subtropical de altura, tipo Valle de México con temperatura inferior a
20° C períodos de lluvia y seca bien definidos, de acuerdo con la clasificación de
Thornthwaite basada en dos índices; una de eficiencia de la temperatura y otro de la
afectividad de la lluvia, es clima templado, subhúmedo, con lluvias deficientes en
9
7 Departamento del Distrito Federal y El Colegio de México. ATLAS de la CIUDAD DE MÉXICO. El Colegio de México. , México, 1987. Pág. 3
invierno, presentes en verano y una precipitación pluvial anual promedio de 64.85
m3.
La temporada de lluvias comprende, en esta región, desde mediados de mayo,
hasta fines de septiembre, y, ocasionalmente, hasta el 10 de octubre, la media anual
de lluvias obtenidas en datos colectados en 60 años, es el siguiente: Enero 8.5 mm. Febrero 5.8 mm. Marzo 9.8 mm. Abril 21.9 mm. Mayo 54.3 mm. Junio 112.4 mm.
Julio 149.0 mAgosto 137.1 mSeptiembre 116.0 mOctubre 50.1 mNoviembre 16.1 mDiciembre 7.9 m
El promedio de lluvias anuales en 60 años es de 695.3 mm, la máxima sequía
en 60años se registro en 1915 con 369.5 mm, la mayor abundancia de lluvias se
registro en el año de 1968 con 1 097 mm. ; siendo la humedad correspondiente Enero 57 % Febrero 42 % Marzo 42 % Abril 41 % Mayo 54 % Junio 57 %
Julio 71 % Agosto 73 % Septiembre 73 % Octubre 68 % Noviembre 65 % Diciembre 62 %
Se notan dos períodos completamente definidos: período frío, que comprende:
diciembre, enero y febrero con temperaturas promedio de 13.3, 12.2 y 12.0 grados
centígrados; corresponde a abril en 17.0 grados de promedio mensual; mayo 17.4 y
junio con 16.9 grados.
Los vientos dominantes provienen del nordeste en forma de vientos razantes y
convectivos, su velocidad es de 0.3 hasta 3.5 m-seg. , con un promedio de 2.5 m-
seg. ; mediana zona de turbulencia norte y nordeste de Iztacalco, con una presión
atmosférica de 775 milibarios.
10
Urbanización e Impacto Ambiental: la urbanización y el desarrollo se relacionan
por numerosos factores demográficos, económicos y culturales, dando por resultado
una multiplicación de los centros de concentración y un aumento en la población
urbana.
Así, donde el agua era salada, aprovecharon la sal dejando que el agua se
evaporara ya que Iztacalco es una palabra náhuatl que significa: en la casa de la sal
o casa blanca; donde la tierra era escasa y el agua abundante, idearon una manera
de hacer tierra para asentar su vivienda y sembrar sus alimentos, fue así como
construyeron las chinampas [Fig. 7]8
Fig. 7. La palabra Chinampa procede del náhuatl: chinamitl, que quiere decir seto o cerca de cañas y, pan, se basó en la elaboración de una empalizada que los cultivadores fijaban en el fondo de lago. La rellenaban con piedras, plantas acuáticas y otros materiales que extraían del ecosistema lacustre
La creciente degradación del ecosistema del Valle de México, el aire sucio que
obliga a medidas de emergencia que irritan aún más a la población, no son producto
de situaciones circunstanciales ni climáticas; son resultado de casi cinco décadas de
incapacidad criminal de las autoridades federales el 23 de noviembre de 1991 el
Índice Metropolitano de la Calidad del Aire (IMECA) registró 340 puntos de ozono,
cifra record de contaminación. [Fig. 8]9.
8 Ibiden. Pág. 283
11
12
Año Mayor que 100 Mayor que 200 Mayor que 300 1986 228 21 0 1987 284 26 0 1988 329 67 1 1989 329 15 0 1990 320 84 3 1991 353 173 8 1992 333 123 11 1993 324 80 1 1994 344 93 0 1995 324 88 0
Fig. 8.
Número de días con lecturas IMECA superiores a los 100, 200 y 300 puntos; 1986- 1995.
La corriente migratoria y las presiones demográficas del propio crecimiento
vegetativo de la ciudad, desembocó en una expansión desordenada de la Delegación
Iztacalco, a través de procedimientos de invasión-regularización;10 el proceso de
urbanización implica modificaciones del paisaje y del ambiente en su totalidad, con
problemas que radican en la pérdida de especies, contaminación de cuerpos de
agua, suelos y aire, en donde las áreas verdes son relictos de la naturaleza
Capítulo aparte constituye el polvo del antiguo Lago de Texcoco y todo tipo de
partículas sólidas que se depositan en la Delegación de Iztacalco; el polvo que se
precipita está compuesto principalmente por partículas superiores a las 10-20 micras,
se ha calculado que el promedio de partículas de polvo depositadas cada año en 1
km2, asciende a 276 toneladas en la Delegación Iztacalco; cuyos efectos sobre la
salud de los habitantes, son tan preocupantes como los que se producen sobre los
ecosistemas, ya que se han encontrado correlaciones positivas y significativas entre
concentraciones ambientales de partículas de la fracción respirable y la morbilidad y
mortalidad de la población; ya que, los niveles IMECA han sobrepasado el rango de
los 200 puntos de manera significativa.11
9 Fuente Red Automática de Monitoreo Atmosférico, Departamento del Distrito Federal, DDF. Niveles máximos mensuales de ozono en la Ciudad de México, INEGI, con datos del DDF. 10 Ibiden. Pág. 284 11. María Eugenia Negrete y Boris Graizbord. Población, espacio y medio ambiente de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México. Colegio de México, México, 1999, Pág. 53
1.2 DESCRIPCIÓN HISTÓRICA DELCONTEXTO DE LA PROBLEMÁTICA.
Orígenes, un lugar poblado desde antiguo: El territorio que actualmente
corresponde a la Delegación Iztacalco se encuentra en medio de lo que fuera el lago
salado de Texcoco, donde sobresalía un islote, la séptima familia nahuatlaca que
salió de Aztlán12 rumbo a la cuenca de México, después conocida como mexica, se
asentó en esa isla13, los cuales deben haberse provisto de sal con un aparejo muy
similar al que actualmente es emblema de la delegación; los más importantes
códices que registraron la historia de México14 desde su pasado prehispánico dan
cuenta de su existencia [Fig. 9].15
Fig. 9. para explicar la causa por la que se habían dividido en dos bandos, yendo en el camino, se encontraron dos bultos, comenzaron a disputar y se dividieron en dos; escogiendo el que contenía maderos los que les serían de mayor utilidad que la piedra preciosa del otro, descubriendo el fuego, al restregar los maderos.
En el período prehispánico, la actual delegación se reducía a un islote rodeado
por las aguas del Lago de Texcoco y habitado por un escaso número de pobladores; 12 Alfonso Toro. Compendio de Historia de México. 3ª Edición, Editorial Patria, México, 1938. Pág.186 13 Manuel M. Moreno. La organización política y social de los aztecas. Secretaria de Educación Pública. Instituto Federal de Capacitación del Magisterio, Biblioteca Pedagógica de perfeccionamiento profesional, No. 33, 3ª Edición, México, 1964. Pág. 106. 14 Josefina García Quintana y José Rubén Romero Galván. México – Tenochtitlan y su problemática lacustre. Instituto de Investigaciones Históricas, UNAM. 1978. Pág. 113 - 119 15 Bernal Díaz del Castillo. La Historia Verdadera de la Conquista de la Nueva España, Porrúa, México, 1987. Pág. 56
13
la pequeña localidad,16 se encontraba a una distancia media entre Tenochtitlan y el
poblado de Iztapalapa, en los siguientes dos siglos la localidad no creció
significativamente debido a que su superficie estaba amenazada constantemente por
las aguas del lago [Fig. 10]17.
Fig.10. El
vocablo náhuatl Iztacalco significa” en la casa de la sal”, es decir, donde se recoge o se produce y Glifo de Iztacalco, códice Mendocino
Por la alta densidad mineral de las aguas de Texcoco, es probable que los
habitantes de Iztacalco hicieran una industria de la extracción de sal, de donde
vendría su nombre, derivado del náhuatl iztatl (sal), calli (casa) y el locativo co (en),
que podría interpretarse como “en la casa de la sal” o “casas de la sal”.
Como apoyo a esta interpretación del significado de Iztacalco, existen varios
códices18. en los que el pictograma correspondiente es justamente un horno o filtro
para la obtención de sal, el que aparece en el códice Mendocino es el mismo
símbolo que en nuestros días sirve de emblema a la delegación;19
16 Salvat. México Antiguo, Tomo 3, Salvat Mexicana de Ediciones, S.A. de C.V., México, 1978. Pág. 202 17.N. Molins Fábregas. El Códice Mendocino y la economía de Tenochtitlan. Biblioteca Mínima Mexicana. Vol. 30, México, 1978. Pág. 46 18 Alfonso Toro. Compendio de Historia de México. 3ª Edición, Editorial Patria, México, 1938. Pág.187
14
19 Miguel Otón de Mendizábal. Influencia de la distribución geográfica de los grupos indígenas de México. Museo Nacional de Arqueología, Historia y Etnografía. México, 1928. Pág. 142-144.
La Etnográfia no proporciona datos precisos para averiguar la patria de origen
de los antiguos mexicanos [Fig. 11] pues en tanto Mason20 hace notar muchas
semejanzas entre la civilización mexicana,21 y la de los indios pueblos de Nuevo
México, Seler22, las encuentra entre ella y la civilización de los huicholes del Nayarit,
y también se ha hecho notar la analogía entre ciertas creencias de los antiguos
mexicanos,23 con las de algunos habitantes de Alaska, tales como los koluscasnos y
esquimales.
Fig. 11.
Iztacalco y sus pueblos vecinos, situados en una zona de pantanos e isletas, formaba parte de una zona agrícola de la cuenca de México.
La lingüística, en cambio sí se ha utilizado para edificar hipótesis,24 la familia
lingüística a la que pertenece el náhuatl o mexicano, es el shoshoni azteca que
comprende tres ramas la shoshoni: lengua del sur de Utha, Nevada y Colorado; la
pima: lenguas del sur de California y Sonora y la azteca: lengua náhuatl y sus
dialectos, pipil y niquirame de Guatemala y Nicaragua; todas ellas con un origen
común.25
20 Alden Mason, J. “Tepecano, Piman Languaje of Western México”, Annals, New York Academy of Science, vol 25, (New York, 1917). 21 Citado en Norma Fernández Quintero, op cit., Pág. 12 – 15. 22 Eduard Seler. “On the Present State of our Knowledge of the Mexican and Central American Hieroglyphic Writing”, Proceedings of the 13th. International Congress of Americanists. (New York, 1905). 23 Ángel María Garibay. Veinte himnos sacros de los nahuas. Seminario de Cultura Náhuatl. Instituto de Historia de la UNAM. México. 1958. Pág. 249 – 250. 24 Vicente Riva Palacio. México a través de los Siglos. Tomo I, Editorial Cumbre, México, 1956. Pág. 462
1525 Alfonso Toro. Compendio de Historia de México. 3ª Edición, Editorial Patria, México, 1938. Pág.194
Iztacalco durante el Virreinato: después sería una estancia de Tenochtitlan26, a
la que abastecía de diversos productos provenientes del lago y de la agricultura
intensiva de las chinampas; como comunidad rural27, pasó al gobierno colonial“ como
“estancia”28, que intentó aprovechar la organización social y administrativa indígenas
para establecer el cobro de tributos y la división territorial [Fig. 12].29
Fig. 12.
Mapa de los barrios de Iztacalco.
Según el sistema administrativo español30 establecieron “estancias”
aprovechando en gran parte el existente antes de la conquista; distintos aspectos:
económicos, administrativo,31 militares y ceremoniales; de la organización social”,32
también se sabe que podía designar desde las tribus nahuatlatas México33 hasta
“barrios o aldeas que comprendían un pequeño número de familias”.34
26 Francisco Javier Clavijero. Historia antigua de México. Sociedad de Bibliófilos, México. 1997. Pág. 112. 27 Códice Ramírez. Innovación. México. 1979. Pág. 35. 28 Códice Osuna. Ediciones del Instituto Indigenista interamericano. México. 1947. Pág. 283 – 287. 29 Norma Fernández Quintero. “Iztacalco Colonial/ Estudio histórico – artístico” (tesis). Colegio de Historia, Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM, México. 1992. Pág. 9-11. 30 Charles Gibson. Los Aztecas bajo el dominio español (1521 – 1810). Siglo XXI Editores, México, 2000, Pág. 134. 31 Ibíd. ,Pág. 207 32 Pedro Carrasco. “La sociedad mexicana antes de la Conquista”, en Historia general de México, versión 2000. Centro de Estudios Históricos. El Colegio de México. México, 2000. Pág. 190. 33 Salvat. México Antiguo. Salvat Mexicana de Ediciones, México, 1978. Pág. 176
1634 Ibíd.
A finales del siglo XVIII la legislación cambió35 para tratar de integrar a la
población indígena en la sociedad novohispana, de la que hasta entonces había
estado segregada; paradójicamente, el primer intento formal de integración
significaría a la larga la perdida de territorios comunales a los que estaban
íntimamente ligados el carácter agrícola36 y las costumbres de Iztacalco y otros
pueblos similares.
En menos de cien años la ciudad terminó por absorber totalmente a los pueblos
más cercanos; sin embargo, la invasión encontró una fuerte resistencia de los
pobladores a diluirse en el nuevo orden impuesto desde afuera, a pesar de ubicarse
junto al núcleo político y económico del país, mantuvieron hasta tiempos recientes
una autonomía económica, social y religiosa,37 frente al orden urbano, que termino
por absorberlos; la paulatina extinción de la condición rural de las comunidades
marco los últimos años de historia independiente de los pueblos de la periferia de la
capital.38
En Iztacalco, como en otros lugares de la zona chinampera del sureste de la
capital, los españoles dejaron la agricultura en manos indígenas, por lo que la lucha
por la tierra fue un problema que se volvió realmente serio, es decir irreversible,
cuando la ciudad misma fue la que trató de expandirse y fue también en las
comunidades rurales indígenas en las que fue posible mantener por más tiempo la
separación racial que los españoles buscaban, que en la ciudad, donde el mestizaje
se presentó desde fechas tempranas era cada vez más una ilusión y en donde por la
ausencia de mezcla sobrevivieron costumbres y formas de vida y de gobierno
enraizadas anteriores a la Conquista.39
35 Bernardino de Sahún. Historia general de las cosas de la Nueva España. Editorial Porrúa. México. 1981. t. IV. Pág. 172 36 Charles Gibson. Los Aztecas bajo el dominio español (1521 – 1810). Siglo XXI Editores. México. 2000. Pág. 414. 37 Ángel Ma. Garibay K. Visión de los vencidos, relaciones indígenas de la conquista. Biblioteca del estudiante universitario, No. 81. UNAM, México, 1982. Pág. 171 38 Salvat. México Antiguo. Salvat Mexicana de Ediciones, México, 1978. Pág. 160
17
39 Alejandro Rosas Robles. Catálogo nacional / Monumentos inmuebles y muebles de Iztacalco. Pág. 41 y Norma Fernández Quintero, “Iztacalco colonial / Estudio histórico – artístico” (tesis), Colegio de Historia, Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. México, 1992, Pág. 98
Iztacalco en el México Independiente, frente a un nuevo proyecto de nación: la
llegada de la independencia significó para las comunidades indígenas tener que
enfrentarse a varios cambios sucesivos de la legislación que intentaban adoptarla a
nuevas condiciones políticas y sociales y que correspondían a proyectos distintos
para la construcción de la nueva nación [Fig. 13]. 40
Fig. 13.
Aunque la creación de los ayuntamientos era un primer paso hacia la integración política de las comunidades indígenas, la distancia respecto a la ciudad continuó
Con la independencia, el cambio político en las comunidades de los indios era
la consecuencia de un proceso en el que participaba la misma metrópoli, en gran
parte por un vacío de poder durante la guerra napoleónica, que generó una reacción
que culminaría con la adopción de la constitución de Cádiz en 1812; en 1813- 1814
se ordenó “que se extinguieran las comunidades de los indios para erigirse en
ayuntamientos constitucionales allí donde hubiera número suficiente de habitantes y
el lugar adecuado”.
En 1814 el virrey Félix María Calleja revocó las nuevas leyes, se discutió la
desaparición de las parcialidades y su incorporación “al gobierno económico y
1840 Ibíd. , Pág. 22 -23
político de la ciudad”;41 los cimientos de la estructura social de las comunidades
también eran minados con la sustitución de la propiedad colectiva por la individual.42
El ayuntamiento de la capital quería aprovechar los beneficios del nuevo
sistema y reclamaba los barrios aledaños,43 pero y los bienes de las extinguidas
parcialidades44 ; en cambio, Iztacalco – como otros ayuntamientos – reclamó la
integración del pueblo de la Magdalena Mixiuhca, vecino suyo, y, como éste,
dedicado al cultivo de chinampas, aun cuando no pertenecían al mismo curato.45
Los maestros eran uno de los gastos importantes de los pueblos, por lo cual
solicitaban dinero a la junta; no así en Iztacalco, que desde el principio había logrado
sustraerse de la administración general y donde el paisaje, la abundancia de
recursos y la organización propia del pueblo habían permitido la independencia
desde un principio; en los pueblos del sur; los maestros eran los mejor pagados y
sus escuelas se hallaban bien provistas, en Mixiuhca hasta pudieron permitirse pagar
a un encargado para que cuidara que los niños asistieran a la escuela y partidas para
materiales de la escuela, para sombreros y para vestir a los alumnos, del sur eran los
alumnos que llegaron a estudiar en los colegios de San Gregorio y de San Idelfonso.
Cuando se promulgó la Constitución de la República Federal, en 1824, se creó
también el Distrito Federal, asentado en un área circular de dos leguas de radio a
partir de la plaza mayor de la ciudad de México [Fig. 37],46 para los pueblos indígenas
del sureste de la ciudad la situación era mejor que para otros: Santa Anita, Iztacalco
y la Magdalena Mixiuhca percibían arriba de cuatro mil pesos anuales por la renta de
sus potreros, por lo que “podía obligárseles a sufrir los gastos de obra de albañilería
41 Ibíd. , Pág. 25 42 Ibíd. , Pág. 45 43 Cf. Ibid., Pág. 58 44 Documento citado en Ibíd. , Pág. 74 45 Ibíd. , Pág. 55
1946 Cf. Ibid., Pág. 56
y carpintería que exige la nueva planta de sus escuelas, en el día abandonadas y
desiertas”.47
Debido a que la Constitución prohibía a las parcialidades poseer o administrar
bienes raíces, se repartieron 255 hectáreas en 533 lotes de los potreros de Tlacotal,
Bramaderos y Zaldívar entre los jefes de familia de Iztacalco. la modificación de las
formas de entender a la sociedad y su proyección en leyes y programas de
gobierno,48 iban de la mano con la transformación del tamaño, la vida económica y el
aspecto de la ciudad; el Distrito Federal había pasado en sus tres cuartos de siglo de
vida por numerosas transformaciones territoriales y administrativas [Fig. 13]. 49
Fig. 14. el
ayuntamiento de Iztacalco defendía el rechazo a quienes no eran indios y contra las autoridades distritales, pues quería manejar los bienes de la comunidad como propios del municipio.
Después de su formación en 1824, fue absorbido por el Departamento de
México en 1836, fue Distrito de México en 1854, virtual Estado del Valle de México
en 1857, Distrito federal reducido en 1862 y nuevamente Departamento – bajo el
segundo imperio – en 1865, restaurado el Distrito Federal extendió sus limites en 47 Andrés Lira, Op. Cit., Pág. 240 48 Diccionario universal de historia y geografía. Tipografía de Rafael y Librería de Andrade. México, 1853. t. III. Pág. 84 –86, citado en Hira de Gortari Rabiela y Regina Hernández Franyuti, Op. Cit., Pág. 124
20
1899 y en 1917, antes de la supresión del régimen municipal y la creación en su
lugar de un departamento central y trece delegaciones.50.
También dependió de la prefectura de Guadalupe Hidalgo un corto período y
luego perdió su carácter de municipalidad para convertirse en parte de la de
Iztapalapa en 1903; el 13 de diciembre de 1922 volvió a su calidad de municipio libre,
con los mismos limites territoriales, y por ultimo se transformo en delegación,
primeras compañías fraccionadoras y urbanizadoras; Mixiuhca, como Santa Anita,
Iztacalco y otros pueblos, habían perdido sus potreros.51 con la caída del porfirismo
los pueblos de las extinguidas parcialidades creyeron que podían volver al antiguo
orden de las cosas;
El gobierno de Díaz había expedido, el 18 de diciembre de 1909, un decreto en
el que se disponía el reparto de los ejidos de los pueblos entre los jefes de familia
que los formaban, en 1909, como en 1811, se trataba de convertir a los comuneros
en pequeños propietarios; el gobierno de Madero expidió una circular, en enero de
1912, con intención en todo similar a la anterior: deslindar las tierras y entregarlas a
los jefes de familia.52
Tras el triunfo de Venustiano Carranza, en 1914, los vecinos de la Magdalena
Mixiuhca creyeron aprovechar una legislación un tanto más favorable y solicitaron la
restauración de los ejidos del pueblo, pero la restitución no se logró; Iztacalco
también solicitó la restitución de sus tierras el 9 de febrero de 1916,53
49 Iztacalco 1994, Op. Cit., Pág. 25 50 Cf. Hira de Gortari Rabiela y Regina Hernández Franyuti. La ciudad de México y el Distrito Federal, una historia compartida, Instituto de Investigaciones “Doctor José María Luis Mora”. Departamento del Distrito Federal. México. 1988. Pág. 84 – 87; también Iztacalco 1994, Op. Cit., Pág. 23 – 29. 51 Andrés Lira. Op. Cit., Pág. 274 52 Ibíd. , Pág. 276
21
53 .Hira de Gortari Rabiela y Regina Hernández Franyuti. La ciudad de México y el Distrito Federal, una historia compartida, Instituto de Investigaciones “Doctor José María Luis Mora”. Departamento del Distrito Federal. México. 1988. Pág. 89
En 1928 se reformó la Constitución de, suprimiéndose el régimen municipal en
el Distrito Federal, que quedo bajo el mando directo del gobierno de la republica, a
partir del primero de enero de 1929, el territorio del Distrito federal quedó dividido en
trece delegaciones entre ellas Iztacalco, quien tenia apenas el 0.7 por ciento de la
población total del Distrito Federal, un poco más de 9 mil habitantes, y su territorio
era de 58,3 kilómetros cuadrados [Fig. 13].
Fig. 15. estos cambios significaban en teoría el reconocimiento de la mayoría de edad para los indígenas, por otro lado implicaron el fin de la propiedad comunal, alrededor de la cual se sostenía una estructura social de gran cohesión y estabilidad, y que había mantenido separada por siglos del orden que pertenecía a la vecina ciudad de México
El crecimiento explosivo de la ciudad se inició ya en el último cuarto del siglo
XIX, pero a partir del siglo XX se aceleró drásticamente, la ciudad que en 1858 tenía
un área de 8.5 kilómetros cuadrados, se amplió 4.7 veces54 y para 1910 tenía una
superficie de 40.5 kilómetros cuadrados; la población también se incrementó
enormemente en esos cincuenta años: de 200 mil paso a 471 mil habitantes; pero a
22
54 Gustavo Garza Villarreal. “El carácter metropolitano de la urbanización en México, 1900 – 1988”, en Ángel Bassols Batalla (coordinador), El desarrollo regional en México; teoría y práctica, Instituto de Investigaciones Económicas, UNAM, México, 1992. Pág. 188
pesar de que el crecimiento demográfico creció 2.3 veces, la densidad media de la
población disminuyo por el crecimiento del área urbana.55
La reforma de 1970 tomó gran parte del territorio de Iztacalco para la creación
de las Delegaciones Benito Juárez y Venustiano Carranza, con lo que se convirtió en
la Delegación más pequeña del Distrito Federal: apenas 1.6 por ciento del total y un
territorio de 23.3 kilómetros cuadrados,56 el crecimiento exponencial de la población
llevó rápidamente al límite un proceso de transformación que se había presentado de
forma paulatina.
A partir de 1930 la urbanización rebasó los doce cuarteles en los que se
localizaba toda la ciudad y comenzó a expandirse hacia las delegaciones aledañas,
entre 1930 y 1950 se aceleró el crecimiento de las delegaciones que rodeaban el
núcleo y comenzó la expansión hacia el exterior del Distrito federal.
La persistencia de la reivindicación de lo indígena y rural, y sus manifestaciones
culturales, precisamente cuando la realidad de la urbanización estaba en pleno
proceso de expansión, puede explicarse de varias maneras. Una de ellas es la
histórica resistencia a la asimilación de la que tanto se ha hablado en estas líneas;
pero también se explica por la tendencia nacionalista e indigenista del México
posrevolucionario, cuando los propios detentadores del poder apoyaban el desarrollo
de un arte y una cultura nacionales que adoptaron como símbolo y fuente de
inspiración las culturas y las formas artísticas indígenas.
Así, frente al problema real que significaba la integración de un grupo de
población que había permanecido tradicionalmente apartado del grueso de la
sociedad, el indio se convirtió en una entelequia distante.57 un estereotipo fácilmente
55 María Dolores Morales. “La expansión de la ciudad de México, el caso de los fraccionamientos”, en Andrés Lira, Op. Cit., Pág. 240 56 Iztacalco 1994, Op. Cit.. Pág. 47
23
57 Luis Castillo Ledón. “El paseo de la Viga y de Santa Anita”, en Remembranzas del canal de la Viga, Iztacalco y Santa Anita. Op. Cit. , Pág. Pág. 63 – 64.
24
manipulable, de esta forma una descripción de los habitantes de Iztacalco en la
tercera década del siglo XX:
Resulta, pues azaroso intentar un rescate de las tradiciones de un lugar, sobre
todo de uno que, como Iztacalco, ha experimentado cambios tan drásticos tanto en
su composición demográfica como en su fisonomía; persisten todavía, es verdad,
muchas fiestas tradicionales en los barrios antiguos de Iztacalco, así como
movimientos que a su manera luchan por reivindicar la identidad indígena de los
descendientes de los antiguos pobladores del valle, pero es igualmente cierta la
diversidad de la población de Iztacalco y su integración a la vida de la ciudad;
naturalmente, un cambio físico tan drástico en la zona modificó la forma de vida de
sus habitantes, su economía y sus formas de relacionarse entre sí como miembros
de una comunidad; en esta colectividad, pequeña y estrechamente ligada a los lagos
y al canal, que fue durante siglos predominantemente rural.
Pero la cultura no es una herencia fija de tradiciones y costumbres del pasado
que se puedan perpetuar de forma artificial; no es un deber ser sino un devenir, que
se construye y se mantiene por los miembros mismos de la comunidad58, y que se
incluye por definición todos los cambios que en ella se presentan; había vínculos
estrechos relacionados con la propiedad comunal de la tierra y con festividades
religiosas que fomentaban y requerían la participación periódica de sus integrantes;
sin embargo, en un corto tiempo perdió muchos de los rasgos que daban sentido a
dichos vínculos.
Al conocer las viejas costumbres y festividades de un Iztacalco que hoy vive
otro ritmo y con una fisonomía radicalmente distinta a la del pasado, sus habitantes
actuales se hacen dueños de una riqueza que pueden integrar en la que ahora sea
su propia cultura y su propia identidad, otorgarle un nuevo sentido a un espacio
geográfico que no debería enajenarse de su historia.
58 Iztacalco 1994, Delegación Iztacalco, Departamento del Distrito Federal, México, 1994. Pág. 54.
1.3 CONTEXTO ECONÓMICO, POLÍTICO Y SOCIAL DE LA POBLACIÓN.
Iztacalco contemporáneo: durante el siglo XX Iztacalco enfrentó la
transformación más radical que se presentó en su territorio probablemente desde la
Conquista: de los 9 mil habitantes que tenía en los años treinta a los más de 500 mil
de la actualidad, hubo una gran inmigración, fragmentación de los terrenos, cambios
del uso del suelo, urbanización, industrialización [Fig. 16].59
Fig. 16
Fotografía de la ciudad de México tomada desde satélite. CNES 1986; reconocida como una de las más grandes del mundo, la magnitud y gravedad de sus problemas conlleva a una concepción integral de las políticas y estrategias tendientes a mejorar su perfil
Tiene una superficie de 2 306 ha. que significan 1.5% de la correspondiente al
D.F., es en su extensión la más pequeña de las delegaciones, sin embargo su
densidad demográfica es la más alta con 34 260 personas por kilómetro cuadrado;
estas transformaciones se manifestaron de forma tan rápida y drástica por su
25
cercanía con el núcleo original de la ciudad y por que en los terrenos abiertos a las
nuevas colonias y fraccionamientos se podía albergar a un mayor número de
personas que dependía de actividades económicas más ligadas a la ciudad que al
campo; el cambio de la división social del trabajo estuvo estrechamente ligado al de
la urbanización; de acuerdo con el XII Censo General de Población y Vivienda 2000,
en la delegación Iztacalco habitan 411,321 personas, cifra que representa el 4.77 %
de la población total del Distrito Federal [Fig. 17].60
POBLACIÓN POR DELEGACIÓN Y SEXO, SEGÚN
SALARIOS MÍNIMOS, 2000. Fig. 17.
Iztacalco es una
Población ocupada. Total Hombres Mujeres 172,568 105,304 67,264
delegación en
donde la
mayoría de la
población
económicamente
De 0 ingreso a 2 salarios mínimos Total Hombres Mujeres 74,121 42,447 31,674
activa ocupada
tiene ingresos
bajos, lo cual
repercute de
Más de 2 salarios mínimos. Total Hombres Mujeres 89,882 57,862 32,020
manera lógica
en el nivel
socioeconómico
de la población
en general
No Especificado. Total Hombres Mujeres 8,565 4,995 3,570
Un poco más de la mitad de la población mayor de 12 años en Iztacalco (321
958 personas) es económicamente activa, del total que suman 175 568 personas,
59 Departamento del Distrito Federal y El Colegio de México. ATLAS de la CIUDAD DE MÉXICO. El Colegio de México, México, 1987, Pág. 183
26
60 INEGI. Cuaderno Delegacional: Iztacalco. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática, México, 2 000. Pág. 69
107 340 son hombres y 68 278 son mujeres; hoy, de la población ocupada, 74 121
tienen ingresos de entre cero y dos salarios mínimos, 62 706 más de dos y hasta
cinco salarios mínimos y 27 176 más de cinco salarios mínimos, una cantidad
significativa 37 277 trabaja por su cuenta [Fig. 18].61
POBLACIÓN POR DELEGACIÓN Y SEXO, SEGÚN
SALARIOS MÍNIMOS, 2000. Fig. 18.
Iztacalco es una
Población ocupada. Total Hombres Mujeres 172,568 105,304 67,264
delegación en
donde la
mayoría de la
población
económicamente
De 0 ingreso a 2 salarios mínimos Total Hombres Mujeres 74,121 42,447 31,674
activa ocupada
tiene ingresos
bajos, lo cual
repercute de
Más de 2 salarios mínimos. Total Hombres Mujeres 89,882 57,862 32,020
manera lógica
en el nivel
socioeconómico
de la población
en general No Especificado.
Total Hombres Mujeres 8,565 4,995 3,570
Iztacalco ocupa el segundo lugar (11%) en cuanto al porcentaje de uso
industrial, mezclado con habitación y servicios, con respecto al total del Distrito
Federal; en Iztacalco también se realizan actividades primordiales, como la
manufactura y el comercio, sin embargo, no hay oficinas, las cuales
complementarían las actividades existentes y fomentarían el empleo; según el censo
2761 Tabulados básicos. Op. Cit. Pág. 71
económico publicado por el INEGI en 1994 y el Programa de Desarrollo urbano de
1997.62
¿Cómo vive la gente en Iztacalco?: con una superficie de 23 kilómetros
cuadrados, Iztacalco es la delegación más pequeña del Distrito Federal; la creciente
urbanización de la periferia de la zona metropolitana de la ciudad de México ha
contribuido, por otra parte, a una mayor centralización de la delegación [Fig. 19].63
Fig. 19. Del
equipamiento urbano 83.15% se distribuye en zonas habitacionales, como las que se observan al fondo y 9.8% de equipamiento deportivo, parte de él es donde se ubica el Palacio de los Deportes
Según el Programa de Desarrollo Urbano para Iztacalco de 1997, esta
delegación está completamente urbanizada, se ubica dentro de lo que se conoce
como el primer contorno del Distrito federal, por lo que se le considera bien situada y
comunicada,64 la organización del espacio de la Delegación Iztacalco, comprende
seis zonas distintas con características propias:
62 Censos económicos 1994 / Resultados definitivos, INEGI, Aguascalientes, 1994; y Programa Delegacional de Desarrollo Urbano de Iztacalco, Op. Cit. Pág. 128 63 Departamento del Distrito Federal y El Colegio de México. ATLAS de la CIUDAD DE MËXICO. El Colegio de México, México. 1987. Pág. 247
2864 INEGI. Distrito Federal, Resultados Definitivos; XI Censo General de Población y vivienda, 2000, Pág. 341
Zona antigua, se ubica en el centro de la delegación y está constituida por los siete
barrios o poblados del período colonial a los que ya se hizo referencia, a la fecha
conserva todavía sus características urbanas: pequeñas calles, callejones, etc.
Zona residencial, se encuentra en la parte nororiente y oriente de la delegación y es
básicamente habitacional, sus colonias principales son la Marte y la Reforma Iztaccihuatl.
Zona de conjuntos habitacionales, esta en la parte sur y centro de la delegación los
conjuntos fueron construidos principalmente por la Dirección de la Habitación Popular del
Departamento del Distrito Federal y posteriormente por el Infonavit. Zona de transición, se localiza al oriente de la delegación y es fundamentalmente
habitacional y popular aunque existen también algunas industrias y comercios sus
colonias principales son la Agrícola Oriental y la Pantitlán. Zona industrial, se encuentra al norte de la delegación en una franja ancha que va de
oriente a poniente, su concentración mayor se da en la zona de Granjas México, es una
de las zonas industriales más importantes del Distrito Federal en donde predominan las
industrias ligera y mediana, en general es de poca intensidad en el uso del suelo.
Zona deportiva, se ubica al norte de la delegación y se conoce como Ciudad Deportiva
ocupa una superficie de 1.6 km2 donde se encuentran el Palacio de los Deportes, el
velódromo, la pista de carreras de automóviles, la sala de armas, etc., dentro de la
delegación opera como centro urbano de la zona de Zaragoza en el área de Pantitlán.
Los antiguos canales de la delegación se han convertido en avenidas como son
las calzadas de la Viga y Tlalpan, Río Churubusco (circuito interior), el Viaducto
Piedad y la Calzada Ignacio Zaragoza que son vías de acceso controlado; las
avenidas más importantes son Plutarco Elías Calles, el Canal de Tezontle y la
Avenida de Apatlaco; Añil, Plutarco Elías Calles, Playa Villa del Mar y Pie de la
Cuesta y cuatro ejes en sentido norte-sur: Andrés Molina Enríquez, calzada de la
Viga, Francisco del Paso y Troncoso y Rojo Gómez.
En la estación terminal Pantitlán, la más concurrida de todo el sistema,
confluyen cuatro líneas distintas del Metro, pero otras tres líneas también cruzan el
territorio de la delegación, por lo que suman en total nuevas estaciones: Pantitlán,
Puebla, Ciudad Deportiva, Viaducto, Santa Anita,, Agrícola Oriental, Canal de San
Juan, Coyuya e Iztacalco [Fig. 20].65
2965 Internet, http://www\Iztacalco\Iztacalco\Delegación Iztacalco.htm
DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LOS USOS DE SUELO EN
IZTACALCO SEGÚN ÁREA URBANA, 1980-1997
Fig. 20 Este fenómeno se explica por el crecimiento de las delegaciones y municipios vecinos de Iztacalco. por lo que el uso habitacional del suelo ha disminuido y el uso comercial ha aumentado, lo que ha traído como consecuencia el encarecimiento del terreno
VIVIENDAS PARTICULARES HABITADAS DE IZTACALCO POR TIPO DE MATERIAL EN TECHOS, PISOS Y MUROS, 1990 Y 2000
Concepto Tipo de techos Lámina de cartón Palma, tejamanil o madera Lámina de asbesto o metálica Teja Losa de concreto, bóveda de ladrillo Otros materiales No especificado Tipo de paredes Lámina de cartón Carrizo, bambú o palma Embarro o bajareque Madera Lámina de asbesto o metal Adobe Tabique, tabicón, block, etc. Otros materiales No especificado Tipos de pisos Tierra Cemento firme Mosaico u otro recubrimiento No especificado
1990 Absolutos
93,815 5,428 151
13,138 58
73,775
614 651
93,815 499
8 30
519 5507 314
90,690 639 609
93,815 865
54,350
37,932 668
2000 Absolutos
98,234 1,989
81 11,218
42
84,001 28
875 98,234
97 1
16 304 249 144
96,585 39
799 98,234
280 48,279
48,772
903
30
Pero en las últimas décadas el siglo XX la población que había crecido
incesantemente desde los años treinta hasta alcanzar la máxima densidad de todo
el Distrito federal. 66
POBLACIÓN DE IZTACALCO SEGÚN GRANDES GRUPOS DE EDAD Y SEXO, 1980-2000
15-64 años Total
331,764 293,984 283,347 274,047
H
159,968 139,683 134,472 129,286
M
171,796 154,301 148,875 144,761
65 y más.
Total H M Total
17,62420,67223,72927,745
7,2168,762
10,21211,650
10,408 11,910 13,517 16,095
232 364 543
6,023
Comenzó a disminuir a un ritmo también acelerado; entre 1980 y 1990 hubo
una perdida de población de 76 mil habitantes, y entre 1990 y 1995 de otros 29 mil
habitantes, este fenómeno se debe a un proceso de expulsión paulatina de
población, en gran parte por el aumento del costo de la tierra debido al crecimiento
de las zonas aledañas, que ha dado una posición más céntrica a la delegación,
así como el agotamiento de las reservas territoriales para crecimiento urbano;67
En Iztacalco viven, según el último censo de población y vivienda del INEGI
(2000), 413 321 personas, de las cuales 196 mil son hombres y 215 32|1 son
mujeres,68 hay una densidad de 17 857 habitantes por kilómetro cuadrado,
mientras que en el Distrito Federal es de 5 737 habitantes por kilómetro cuadrado
[Fig. 21].
66 Ibíd., Pág. 249 67 Programa Delegacional de Desarrollo Urbano de Iztacalco, Departamento del Distrito federal, México, 1997. Pág. 37
31
68 Tabulados básicos / Distrito Federal / XII Censo General de Población y Vivienda, 2000, Instituto Nacional de Estadística. Geografía e Informática, Aguascalientes, 2001, Pág. 94
POBLACIÓN DE IZTACALCO
1950-2000 Población total
Año. Iztacalco. 1950. 33,945. 1960. 198,904. 1970. 477,331. 1980. 570,377. 1990. 448,322. 1995. 418,982. 2000. 411,321.
Fig. 21. El crecimiento poblacional de la delegación alcanzó su punto más alto en el período que abarca de 1960 a 1980.
POBLACIÓN DE 15 AÑOS Y MÁS DE IZTACALCO ALFABETA Y ANALFABETA SEGÚN SEXO
1970-2000. Nivel. 1997- 1998. 1998-1999.
Total Preescolar a/ Primaria Secundaria b/ Técnico c/ Bachillerato
Alumnos
117,111 15,155 49,822 28,913 6,698
16,23
Maestros
6,307674
2,1342,005
4321,062
Escuelas
414 147 176 68 7
16
Alumnos
Maestros
Escuelas
11,60515,21849,25728,212
6,38116,537
6,312 712
2,109 1,990
418 1,083
412147175697
14
La educación básica, en la sociedad occidental moderna se dispone de un
sistema de enseñanza que tiene como misión la educación y adaptación social de
todos los ciudadanos ya que no todos pueden estudiar aunque quieran, desde la
infancia hasta el momento en que verifican su entrada, como fuerzas productivas en
la sociedad,69 en Iztacalco hay 56 912 personas mayores de 18 años con instrucción
3269 Internet, \Iztacalco\Delegación Iztacalco.htm
superior, frente a 223 291 que carecen de ella; 70 19 811 habitantes no tienen
ninguna instrucción y hay 7 856 analfabetos mayores de 15 años;71 existen 92 910
personas que no tienen estudios después de la primaria y 164 129 carecen de
instrucción media superior y 2.7% son población analfabeta.72
NÚMERO DE ALUMNOS, MAESTROS Y ESCUELAS DE IZTACALCO POR NIVEL EDUCATIVO, 1997-1998 Y 1998-1999.
Nivel 1997- 1998 1998-1999
Total. Preescolar a/. Primaria. Secundaria b/. Técnico c/. Bachillerato d/.
Alumnos 117,111 15,155 49,822 28,913 6,698 16,23
Maestros
6,307674
2,1342,005
4321,062
Escuelas
414147687
16
Alumnos 11,605 15,218 49,257 28,212 6,381 16,537
Maestros
6,312 712
2,109 1,990
418 1,083
Escuelas
412147175697
14
La población estudiantil es muy heterogénea, ya que asisten a clase de todos
los estratos económicos y sociales. pues acuden de todos los puntos de la zona
metropolitana y de muy diversas escuelas como antecedente educativo: secundarias
diurnas y técnicas; en Educación Media Superior hay 14 escuelas, siendo una de
70 SEP. Prontuario Estadístico, Fin de Cursos 1998-199, Educación Preescolar, Primaria, Secundaria y Normal en el Distrito Federal. SEP. Dirección General de Planeación, Programación y Presupuesto; Dirección de Análisis y Sistemas de Información. Pág. 197 71 SEP. Prontuario Estadístico, Fin de Cursos 1998-199, Educación Preescolar, Primaria, Secundaria y Normal en el Distrito Federal. SEP. Dirección General de Planeación, Programación y Presupuesto; Dirección de Análisis y Sistemas de Información. Pág. 47
33
72 INEGI. Distrito Federal, Resultados Definitivos; Tabulados Básicos. Conteo de Población y Vivienda, México, 1995. Pág. 112
ellas el Colegio de Bachilleres [Fig. 22],73 el Colegio de Bachilleres se ha distinguido
por su compromiso con la calidad de los servicios educativos que presta en sus 20
planteles en la Zona Metropolitana.
Fig. 22 la C de la
palabra Colegio se
integra con una
espiral que significa
desarrollo continuo,
evolución
permanente, hacia
delante, como lo
señala la flecha, la B
de Bachilleres
simboliza la
educación, son los
libros, base de todo
estudio. a TAVO y a
ROSY, han
constituido, una
campaña de
motivación que
exhorta a mejorar su
promedio a los
alumnos
El desarrollo económico requiere de una creciente inversión de tierra, trabajo y
capital, pero los resultados del trabajo no podrá superase si no se genera el
conocimiento, las habilidades y la productividad necesarias, a través de la educación;
ya que es el medio fundamental para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura; es
proceso permanente que contribuye al desarrollo del individuo, medio del que
dispone el hombre para desarrollar su capacidad creativa y su naturaleza
esencialmente social.
3473 Internet. edu.mx // www. cbachilleres.educ.mx
1.4 LA POBLACIÓN MAGISTERIAL Y SUS CARACTERISTICAS.
Características del cuerpo académico de Matemáticas I: desde el punto de vista
conceptual, puede señalarse que la abundante investigación realizada por personal
del Centro de Actualización y Formación de Profesores (CAPF) perteneciente al
Colegio de Bachilleres, no les ha permitido definir con exactitud que caracteriza a un
buen docente en la especializad de matemáticas o en que consiste la buena
docencia en el ámbito de educación media superior; ya que al respecto existen
múltiples aproximaciones que identifican atributos del buen docente, tales como el
dominio de la materia, el establecimiento de un clima académico favorable, la
asistencia a la clase, la comunicación efectiva con los alumnos, el manejo de
herramientas pedagógicas apropiadas, entre otros; empero, nadie ha logrado
identificar la fórmula mágica de la buena docencia, quizás, por sus múltiples
componentes personales y creativos que se conjugan con los pedagógicos.
La concepción generalizada que tienen los padres de familia y los alumnos
sobre la población magisterial de la academia de matemáticas del Plantel 03
Iztacalco del Colegio de Bachilleres es que imparten una buena enseñanza de
educación media superior, ya que presentan grandes habilidades y dominio sobre las
asignaturas, esto sugiere que la comunidad tiene una concepción intuitiva de lo que
es una buena enseñanza; sin embargo para realizar prácticas de evaluación serias –
que pueden calificarse de objetivas– el Colegio de Bachilleres necesita contar con
definiciones clara y, en lo posible, con evidencias sólidas de lo que es una buena
docencia.
Desde el punto de vista metodológico, el campo no es menos problemático,
para evaluar la docencia en el ámbito medio superior, se han desarrollado múltiples
enfoques en los que intervienen diversos actores de los procesos educativos e
institucionales: los directivos, los colegas o pares, los propios maestros y, por
supuesto, los estudiantes; de todos los enfoques, ninguno puede calificarse como el
35
mejor para evaluar cuestiones tan complejas como la calidad, la pertinencia, la
relevancia o la eficiencia del ejercicio docente[Fig. 23].74
Fig. 23
SELECCIÓN DE PERSONAL ACADÉMICO DE NUEVO INGRESO
C O N V O C A T O R I A S P Ú B L I C A S D E
E N E R O 1 9 9 9 A E N E R O 2 0 0 2
A S P I R A N T E S R E G I S T R A D O S
S E L E C C I O N A D O S D E S P U É S D E L
P R O C E S OC O N T R A T A D O S
C O N T R A T A D O S T I T U L A D O S
7 2 1 3 3 1 3 9 76 3 8
1 0 0 %4 8 2 7 6 %
En el Colegio de Bachilleres se tiene que tomar decisiones sobre los docentes
que aspiran a ser miembros del cuerpo académico, para lo cual el departamento de
admisión de personal del Centro de Actualización y Formación de Profesores
(CAPF), realiza una evaluación diagnóstica inicial, su experiencia dentro del área,
compromiso y competencias pedagógicas, en este contexto se fundamentan sus
decisiones relativas a su contratación.[Fig. 24].75
NIVEL ACADEMICO
Fig. 24
CARACTERISTICAS DEL PERSONAL ACADÉMICO, 3059 ACADÉMICOS AL PRIMERO DE JUNIO DE 2002. PASANTE
25%
TÉCNICO11%
TITULADO64%
36
74 Internet. edu.mx // www. cbachilleres.educ.mx 75 Ibíd.
1.5 POLÍTICA EDUCATIVA.
Marco institucional del sistema o subsistema: la Conferencia Internacional sobre
la Crisis Mundial de la Educación convocada por la UNESCO y realizada en octubre
de 1967 analizó, entre otros, un problema que se presentaba en el ámbito mundial el
desbordamiento de la matrícula estudiantil.
En el escenario de esta Conferencia se hicieron propuestas que buscaban no
sólo responder a la demanda cuantitativa, sino hacerlo de manera cualitativa con
nuevas concepciones sobre la educación, se consideró que no bastaban reformas
parciales, era necesario innovar los conceptos, enfoques y estructuras básicas de la
educación, la cual hasta ese momento no había podido enfrentar la crisis de la
creciente demanda, se requería, entonces, un cambio para elevar la calidad y la
eficiencia en la educación.
Para el caso de México, a petición del Ejecutivo Federal, la Asociación Nacional
de Universidades e Institutos de Enseñanza Superior (ANUIES) realizó, a partir de
1970, una serie de estudios cuya finalidad era plantear una oferta educativa, a través
de la cual se pudiera responder a la creciente demanda de educación en los niveles
medio superior y superior.
Un primer producto de estos estudios se presentó en la XIII Asamblea General
Ordinaria de esta asociación realizada en Villahermosa, Tabasco, en abril de 1971,
en la que se señaló:
“El nivel superior de la enseñanza media, con duración de tres
años, deberá ser formativo en el sentido genérico de la palabra; más que informativo o enciclopédico, se concebirá en su doble función de ciclo terminal y antecedente propedéutico para estudios de licenciatura, incorporará los conocimientos fundamentales tanto de las
37
ciencias como de las humanidades y, en forma paralela, capacitará específicamente para la incorporación al trabajo productivo”.76
Con base en esta concepción, en la XIV Asamblea General Ordinaria realizada
en Tepic, Nayarit, en octubre de 1972, se presentó un modelo de estructura
académica para el bachillerato, de cuya discusión y aceptación se derivó el siguiente
acuerdo: La adopción de una nueva estructura académica en el ciclo
superior de la enseñanza media debe caracterizarse en lo fundamental por:
a) La realización de las actividades de aprendizaje en tres
áreas de trabajo, actividades escolares, capacitación para el trabajo y actividades paraescolares.
b) La división de las actividades de aprendizaje de carácter
escolar en dos núcleos: uno básico o propedéuticos, que permitiría el aprendizaje de la metodología y la información esencial de la lengua, las matemáticas, las ciencias naturales, las ciencias históricas-sociales y las humanidades, y en el núcleo de actividades selectivas que preemitirían un aprendizaje de contenidos de cierta especialización que en forma flexible se adecuarían a los intereses y propósitos del estudiante.
c) La realización de actividades de capacitación para el
trabajo en estrecha relación con las actividades escolares, utilizando con frecuencia recursos externos y tomando en cuenta las condiciones económicas y ocupacionales de la región.
d) Las actividades paraescolares destinadas a satisfacer
intereses no académicos del estudiante en los campos cívico, artístico y deportivo, que podrían ser libres y no sujetarse a evaluación.77
En mayo de 1973, la ANUIES realizó el “Estudio sobre la demanda de
educación de nivel medio superior y nivel superior en el país y proposiciones para su
solución”, en el que se específico la capacidad de atención a la demanda para el
nivel medio superior en la Zona Metropolitana de la Ciudad de México en ese año, la
cual era de 83 000 estudiantes. De este total el 48.2% era atendido por la UNAM, el 76 ANUIES. “Declaración de Villahermosa”, XIII Asamblea de la ANUIES, en Revista de la Educación Superior, XX, México, 1971; Pág. 26, 158 – 159
3877 ANUIES. “Acuerdos de Tepic”. , en Revista de la Educación Superior, 1 (4), México, 1972. Pág. 50 - 57
24% por el IPN, el 12% por escuelas incorporadas a la UNAM, el 4.4% por las
escuelas Normales y el 11.4% por las escuelas incorporadas a la SEP.
Además de la marcada desproporción de estas cifras la UNAM atendía a casi
la mitad de los estudiantes y, junto con el IPN, al 72.2% en ese año se registraba un
déficit de aproximadamente 17 000 plazas y se calculaba que para 1980 podía
crecer hasta 83 000, cifra equivalente a la capacidad de atención en 1073.
De acuerdo con el estudio mencionado, el supuesto de que el déficit podría ser
cubierto con un mayor crecimiento de la UNAM y del IPN, además de que no
resolvía el problema de la concentración de servicios, implicaba una población
estudiantil excesiva en estas Instituciones, de la cual la mayor parte correspondía al
nivel medio superior y consecuentemente una modificación de los fines y prioridades
de las mismas.
Por ello, como una manera de atender a la demanda de educación en el nivel
medio superior y contribuir al fortalecimiento de las instituciones existentes, la
ANUIES recomendó al Ejecutivo Federal:
La creación por el Estado de un organismo descentralizado que pudiera denominarse Colegio de Bachilleres, institución distinta e independiente de las ya existentes, que coordinaría las actividades docentes de todos y cada uno de los planteles que la integraran, vigilando y evaluando que la educación que en ellos se imparta corresponda a programas, sistemas y métodos valederos en el ámbito nacional; y que sus estudios sean equivalentes y tengan igual validez que los que imparten la UNAM, el IPN y las demás instituciones educativas que ofrecen este nivel de estudios.78
La recomendación fue aceptada. La nueva institución sería regida por la
concepción del bachillerato plasmada en la Declaración de Villahermosa y la
estructura académica, acordada en la Asamblea de Tepic, conformaría una base
para la elaboración del primer plan de estudios del Colegio de Bachilleres.
3978 Colegio de Bachilleres. Antecedentes. Colegio de Bachilleres, México, mayo 1973. Pág. 16 - 17
Así considerando “la necesidad que confrontan la juventud mexicana de
capacitarse profesionalmente para responder a los requerimientos que plantea el
desarrollo económico, social y cultural de la nación”,79 se creó el Colegio de
Bachilleres como un sistema que amplía las oportunidades de educación en el nivel
medio superior, contribuyendo a la transformación de los métodos y contenidos de la
enseñanza, y cuyas finalidades generales fueron definidas originalmente de la
siguiente manera:
1. Que sea formativo, entendiendo por formación el desarrollo
de las habilidades y actitudes que caracterizan el pensamiento racional: objetividad, rigor analítico, capacidad crítica y claridad expresiva. Una formación de esta naturaleza hará posible que el estudiante asuma una actitud responsable, lúcida y solidaria como miembro de una comunidad.
2. Que capacite para el ejercicio de los métodos y el uso de la
información básica de las ciencias de la naturaleza y la cultura.
3. Que permita el dominio de las técnicas y destrezas de una actividad especializada y económicamente productiva.80
Así surgió el Colegio de Bachilleres como un organismo del Gobierno Federal
con posibilidad de establecer planteles en cualquier estado de la Republica, los
cuales dependerían de él en lo orgánico, en lo académico y en lo financiero,
iniciando sus actividades en septiembre de 1973, con tres planteles en la Ciudad
de Chihuahua y cinco más en la Zona Metropolitana de la Ciudad de México, a partir
de febrero de 1974.
Posteriormente se desarrollaron las bases jurídicas que determinaron la
creación de cada Colegio de Bachilleres como organismo descentralizado en su
respectiva Entidad Federativa, dotados de autonomía orgánica y administrativa,
apoyado en lo financiero por un convenio del Gobierno del Estado con la Secretaría
de Educación Pública y, al inicio, asesorado en lo académico por el Colegio de
79 Colegio de Bachilleres. Decreto de Creación y Estatuto General. Colegio de Bachilleres, México, 1975. Pág. 4
40
80 Colegio de Bachilleres. Concepción general y estructura académica. Colegio de Bachilleres, México, 1973. Pág. 2
Bachilleres de la Ciudad de México; este marco sentó las bases para la
conformación del Sistema Nacional de Colegios de Bachilleres.
Durante sus primeros nueve años, el Colegio de Bachilleres de la zona
metropolitana de la Ciudad de México tuvo un crecimiento acelerado: de 1974 a
1982, su matrícula aumento de 11 837 alumnos a 66 616; su planta docente, de 324
a 2 845 y el número de planteles habían pasado de 5 a 19. A partir de 1863, en sus
20 planteles del Colegio atiende a una población aproximada de 83 000 alumnos en
la modalidad escolarizada y 35 000 en la modalidad abierta; su personalidad
académico fluctúa entre 3 000 y 3 200 profesores.
Simultáneamente, el Sistema Nacional Colegio de Bachilleres amplió su
cobertura en el país, expandiéndose a 25 estados de la República que, con 605
planteles y 15 456 docentes, atienden a más de 326 000 alumnos.
Con respecto al desarrollo académico del Colegio de Bachilleres de la Ciudad
de México se hace a continuación una breve síntesis:
El primer producto de estos estudios se presentó en la XIII Asamblea General
Ordinaria de la ANUIES en Villahermosa Tabasco, en abril se 1971, en la que se
estableció el siguiente acuerdo:
“El nivel medio superior de la enseñanza media con duración de tres
años deberá ser formativo más que informativo o enciclopédico, se concebirá en su doble función de ciclo terminal y antecedente propedéutico para estudios de licenciatura, incorporará los conocimientos fundamentales tanto de las ciencias como de las humanidades y, en forma paralela capacitara específicamente para la incorporación al trabajo productivo”.81
41
81 Elisa Ramírez Vera y José Sánchez Vargas, Jefa y analista del Departamento de Análisis y Desarrollo Curricular, respectivamente del Centro de Evaluación y Planeación de la Dirección de Planeación Académica del Colegio de Bachilleres, en “Antecedentes Históricos de Nuestro Plan de Estudios”., Gaceta Colegio de Bachilleres, Año XXIII, IV Época, febrero 17 de 2003, No. 479 Pág. 22
El primer plan de estudios del Colegio fue congruente con el modelo propuesto
en la XVI Asamblea de la ANUIES, en cuanto a sus objetivos y su estructura
académica, que comprendió un núcleo básico con las materias propedéuticas
obligatorias, un núcleo complementario con las materias optativas y un núcleo de
capacitación para el trabajo que incluía una serie de capacitaciones. Las áreas de
conocimiento en las que se organizaron las asignaturas del núcleo básico fueron
cinco: Matemáticas, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales y Humanidades, Lengua
y Literatura, así como Lengua Extranjera.
En 1975 comenzó a ser punto de discusión en el ámbito nacional el diseño de
un tronco común para el plan de estudios, y cuya pertinencia fue analizada por los
directores de enseñanza media superior.
En julio de 1981 se llevó a cabo la “Reunión para el Estudio de los Problemas
del Bachillerato”, creándose una comisión interinstitucional en donde participaron el
Colegio de Ciencias y Humanidades, la Escuela Nacional Preparatoria, la Asociación
Nacional de Universidades e Institutos de Enseñanza Superior, la Subsecretaria de
Educación e Investigación Tecnológica, la Dirección General de Educación Media
Superior y el Colegio de Bachilleres.
Los documentos generados sirvieron de base para la discusión en el Congreso
Nacional de Bachillerato, celebrado en Cocoyot, Morelos, en marzo de 1982, en
donde se concluyó y se recomendó:
“...el bachillerato es una fase de la educación de carácter
esencialmente formativo, que debe ser integral y no únicamente propedéutico.
Al bachillerato, se le debe ubicar como un ciclo con
objetivos y personalidad muy propios, para un grupo de edades en el que es necesario que los conocimientos den una visión universal, y que tenga a la vez una correlación con la realidad del país y de cada región.
42
Se considera que la finalidad esencial del bachillerato es generar en el joven el desarrollo de una primera síntesis personal y social, que le permita su acceso tanto ala educación superior como a la comprensión de su sociedad y de su tiempo, así como su posible incorporación al trabajo productivo”.82
Para ello. se debe propiciar en el bachiller:
“La adopción de un sistema de valores propios:
La participación crítica en la cultura de su tiempo.
La adquisición de los instrumentos metodológicos necesarios para su formación y su acceso al conocimiento científico.
La consolidación de los distintos aspectos de su personalidad
que permita desarrollar su capacidad de abstracción en términos de autoaprendizaje”.83
En el mismo Congreso se determinó, para este ciclo educativo, el
establecimiento del tronco común, entendido éste como el universo de lo básico para
desarrollar en el estudiante una cultura integral, misma que adquirió carácter
normativo a partir de la publicación del Acuerdo 71 de la SEP.
Para instrumentar el Acuerdo, se conformaron comisiones de especialistas
quienes elaboraron los programas maestros correspondientes a las materias del
tronco común, trabajo que sirvió de base para la expedición del Acuerdo 77, que en
su artículo segundo establece que para cada materia habrá un programa maestro
flexible.
En junio de 1982, la Junta Directiva del Colegio de Bachilleres resolvió que la
Institución incorporara el tronco común al plan de estudios y que se hicieran las
modificaciones necesarias, considerando que:
82 Secretaría de Educación Pública. , “Congreso Nacional del Bachillerato”. SEP, México, 1982: Pág. 16
4383 Secretaría de Educación Pública. , “Congreso Nacional del Bachillerato”. SEP, México,:Pág. 36 - 37
“...la adopción del tronco común implica un cambio radical, tanto por la orientación esencialmente formativa del currículo como por la metodología seguida para la reestructuración y enfoque de los contenidos programáticos. El tronco común no es sólo un cambio de nombre en las asignaturas sino una estrategia integral para la articulación, dosificación y distribución de los contenidos y procesos académicos”.84
Como resultado de las modificaciones:
“Se reestructuró la organización de las asignaturas en función
de cinco áreas de conocimiento: Matemáticas, Ciencias Naturales, Ciencias Histórico-Sociales, Metodología-Filosofía y Lenguaje-Comunicación”.
Se elaboraron 19 programas nuevos correspondientes a las
asignaturas del tronco común y se reelaboraron 13 programas de asignatura propedéuticas obligatorias, en virtud de la necesidad de mantener la coherencia entre todas las materias y asignaturas del núcleo básico.
Una vez concluidos los trabajos de la incorporación del tronco común, se
realizaron estudios sobre la orientación, estructura y operación de las materias
optativas y e las capacidades, ya que no podían quedar a la zaga de los cambios
realizadas en el núcleo básico.
Con base en dichos estudios, de 1985 a 1987 se procedió a desvincular las
materias optativas de las capacitaciones, reorganizando a las primeras en función de
las áreas de conocimiento del núcleo básico.
Asimismo, se elaboraron nuevos programas para un primer grupo de
asignaturas optativas. Por otra parte, la función de las capacitaciones tuvo una
reorientación con base en el cual algunas fueron reestructuradas y se implantaron
nuevas.
En 1989, el “Programa para la Modernización Educativa (1989-1994)”, emitido
por el Gobierno Federal, postuló en sus objetivos para la Educación Media Superior
4484 Colegio de Bachilleres., Antecedentes. Colegio de Bachilleres, México, 1982: Pág. 10
la necesidad de concertar las transformaciones requeridas para lograr que los
estudios del nivel respondan, por su pertinencia a las expectativas de los
demandantes, así como a los requerimientos del desarrollo nacional y regional.
Los planes y programas de estudio, en este sentido, deben proporcionar la
formación humanística, científica y tecnológica necesarias para que el estudiante se
incorpore a una sociedad en desarrollo, refuerce su identificación con los valores
nacionales y su comprensión de los problemas del país, mediante una metodología
que lo lleve al desarrollo de su capacidad para aprender por sí mismo, de manera
crítica y sistemática.
En este marco, a partir de 1991, con fundamento en su “Programa de
Desarrollo Institucional de Mediano Plazo 1991- 1994”, el Colegio de Bachilleres
planteó entre sus proyectos, la definición de un Modelo Educativo que le permitiera
recuperar la experiencia del Colegio e incorporar los avances registrados en los
ámbitos de la psicología educativa, la pedagogía y la didáctica.
Como resultado de dicho proyecto, se elaboró una primera versión que fungió
como elemento normativo en la actualización de los programas de estudio, proceso
iniciado paralelamente, dicha versión fue ajustada tomando en consideración la
experiencia obtenida de su aplicación y enriquecida con las aportaciones del
personal académico y directivo; como definición de su identidad institucional y
sustento de su práctica educativa.
Quienes por cierto, proviene de múltiples disciplinas y emplean los más
variados métodos de investigación, para estudiar estas estructuras de la educación
media superior, e incidir en ellas para lograr”reformas educativas” significativas;
vinculadas con las prácticas escolares y los procesos de aprendizaje, temas como el
currículo, la formación y actualización de profesores,
45
La gestión de la Institución o el aprovechamiento de los medios electrónicos,
como en el “Programa de Desarrollo Institucional de Mediano Plazo 1991 - 1994” del
Colegio de Bachilleres, o el “Programa de Formación Permanente” que actualmente
trata de implantar dicha Institución en coordinación con la Secretaría de Educación
Pública.
Marco normativo del Sistema Educativo Nacional: sus funciones están
normadas por los artículos 3ª Constitucional; 7ª, 47ª y 49ª de la Ley General de
Educación, así como por la Ley Orgánica de la Administración Pública, de las que se
derivan su Estatuto General que da direccionalidad a la vida académica del Colegio,
en él se precisan los fines, estructura y atribuciones de cada uno de los órganos que
constituyen al Colegio y se sientan las bases para el desarrollo de las funciones
académicas sustantivas de profesores, administrativos, directivos, técnicos y
alumnos.
El Artículo Tercero Constitucional establece que la educación que imparte el
Estado debe desarrollar armónicamente todas las facultades del ser humano, así
como fomentar en éste el amor a la Patria y la conciencia de la solidaridad
internacional en la independencia y la justicia; así mismo, con base en los resultados
del progreso científico, la educación debe luchar contra la ignorancia y sus efectos,
las servidumbres, los fanatismos y los prejuicios, además de ser democrática y
nacional, en tanto que atienda a la comprensión de los problemas del país, al
aprovechamiento de sus recursos, a la defensa de su independencia económica, así
como la continuidad y acrecentamiento de su cultura.
La Ley General de Educación enfatiza el papel de la educación como medio
para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura; como proceso permanente que
contribuye al desarrollo del individuo y a la transformación de la sociedad; como
factor determinante para la adquisición de conocimientos y la formación de un
sentido de solidaridad social, y como una forma de proteger y acrecentar los bienes y
valores que constituyen el acervo cultural de la nación.
46
A la letra destacan, para los fines del presente trabajo, los siguientes artículos:
ARTÍCULO 7, la Educación que imparta el Estado, sus organismos
descentralizados y los particulares con autorización o con reconocimiento de validez
oficial de estudios tendrá, además de los fines establecidos en el segundo párrafo
del artículo 3° de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, los
siguientes:
I. Contribuir al desarrollo integral del individuo, para que ejerza plenamente sus capacidades humanas;
II. Favorecer el desarrollo de facultades para adquirir
conocimientos, así como la capacidad de observación, análisis y reflexiones críticos;
III. Fortalecer la conciencia de la nacionalidad y de la
soberanía, el aprecio por la Historia, los Símbolos Patrios y las Instituciones Nacionales, así como la valoración de las tradiciones y particularidades culturales de las diversas regiones del País;
IV. Promover, mediante la enseñanza de la lengua nacional –
el español-, un idioma común para todos los mexicanos, sin menoscabo de proteger y promover el desarrollo de las lenguas indígenas;
V. Infundir el conocimiento y la práctica de la democracia
como la forma de Gobierno y convivencia que permite a todos participar en la toma de decisiones al mejoramiento de la sociedad;
VI. Promover el valor de la Justicia, de la observancia de la ley
y de la igualdad de los individuos ante ésta, así como propiciar el conocimiento de los Derechos Humanos y el respeto a los mismos;
VII. Fomentar actitudes que estimulen la investigación y la
innovación científica y tecnológicas;
VIII. Impulsar la creación artística y propiciar la adquisición, el enriquecimiento y la difusión de los bienes y valores de la cultura universal, en especial aquellos que constituyen el Patrimonio Cultural de la Nación;
IX. Estimular la Educación Física y la practica del deporte;
X. Desarrollar actitudes solidarias en los individuos para crear
conciencia sobre la preservación de la salud, la planeación familiar y 47
la paternidad responsable, sin menoscabo de la libertad y del respeto absoluto de la dignidad humana, así como propiciar el rechazo de los vicios;
XI. Hacer conciencia de la necesidad de un aprovechamiento
racional de los recursos naturales y de la protección del ambiente, y XII. Fomentar actitudes solidarias y positivas hacia el trabajo,
el ahorro y el bienestar general.
ARTÍCULO 47, los contenidos de la educación serán definidos en planes y
programas de estudio.
En los planes de estudio deberán establecerse:
I. Los propósitos de formación general y, en su caso, de adquisición de las habilidades, y las destrezas que correspondan a cada nivel educativo;
II. Los contenidos fundamentales de estudio, organizados en
asignaturas u otras unidades de aprendizaje que, como mínimo, el educando debe acreditar para cumplir los propósitos de cada nivel educativo;
III. Las secuencias indispensables que deben respetarse entre
las asignaturas o unidades de aprendizaje que constituyen un nivel educativo, y
IV. Los criterios y procedimientos de evaluación y acreditación
para verificar que el educando cumple los propósitos de cada nivel educativo.
En los programas de estudio deberán establecerse los propósitos específicos
de aprendizaje de las asignaturas u otras unidades de aprendizaje dentro de un Plan
de Estudios, así como los criterios y procedimientos para evaluar y acreditar su
cumplimiento. Podrán incluir sugerencias sobre métodos y actividades para alcanzar
dichos propósitos.
ARTÍCULO 49, el proceso educativo se basará en los principios de libertad y
responsabilidad que aseguren la armonía de relación entre educandos y
educadores, desarrollará la capacidad y las aptitudes de los educandos para
aprender por sí mismos, y promoverá el trabajo en grupo para asegurar la
48
comunicación y el diálogo entre educandos, educadores, padres de familia e
instituciones públicas y privadas.
Educación Media superior: la Educación Media Superior forma parte del
Sistema Educativo Nacional y de acuerdo con el artículo 37 de la Ley General de
Educación comprende:
...”el nivel de bachillerato, los demás niveles equivalentes a
éste, así como la educación profesional que no requiere bachillerato o sus equivalentes...”
El nivel de bachillerato se ubica después de la educación básica –secundaria- y
constituye un requisito para realizar estudios superiores.
Este nivel de educación tiene, como principal referente histórico, la creación en
1867 de la Escuela Nacional Preparatoria, desde entonces ha tenido diversas
transformaciones motivadas principalmente por los vertiginosos avances científicos y
tecnológicos, así como por un crecimiento acelerado de la demanda.
En los años sesenta, a través de reuniones de la ANUIES, se analizaron de
manera sistemática las características y objetivos del nivel medio superior,
culminando con el “Congreso Nacional del Bachillerato”, en Cocoyoc, Morelos en
marzo de 1982, en el que se definieron las siguientes características del bachillerato:
a) La universalidad de sus contenidos de enseñanza –
aprendizaje.
b) Iniciar la síntesis e integración de los conocimientos fragmentaria o disciplinariamente acumulados.
c) Ser la última oportunidad, en el sistema educativo formal,
para establecer contacto con los productos de la cultura en su más amplio sentido, dado que los estudios profesionales tenderán siempre a la especialización en ciertas áreas, formas o tipos de conocimiento, en menoscabo del resto del panorama científico cultural.85
4985 Secretaría de Educación Pública., “Congreso Nacional del Bachillerato”. SEP, México,:Pág. 35
De esta concepción se desprenden las metas o fines del bachillerato:
En virtud de que el bachillerato es la etapa en que culmina la educación básica anterior a la especialización y quizá es la última instancia en la cual el educando tiene contacto con la cultura universal, se hace indispensable que dicho sistema le proporcione una cultura integral básica que vaya acorde con la época en la que vive.
Se trata de hallar las bases racionales de los distintos
elementos culturales que el alumno se apropia y acepta, y de llegar a una primera síntesis personal, intelectual y moral – social, como producto propio, lo que supone la adopción conciente de un sistema de valores que proviene de la crítica de las concepciones filosóficas de su tiempo.
El acceso al conocimiento científico se racionaliza cuando el
educando pone en práctica, en su proceso de aprendizaje de las ciencias, una concepción simplificada de la ciencia, fundada en tres principios básicos: observar, racionalizar y aplicar, ubicando la importancia del conocimiento teórico científico en todo el proceso de investigación.
En su proceso de crítica, racionalización y participación de los
valores, conocimientos y cambios de la cultura de su medio, el bachiller obtiene los instrumentos metodológicos para el manejo de las ciencias y para el desarrollo del autoaprendizaje necesario para su formación.86
Para regular la estructura cunicular del bachillerato, dicho Congreso propuso el
establecimiento de un tronco común que respondiera a los siguientes objetivos:
1. Trasmitir a los educandos del bachillerato la cultura universal básica,
atendiendo tanto a sus intereses y necesidades individuales comunes y sociales,
cuanto a los objetivos, filosóficos y políticos de las instituciones de enseñanza.
2. Propiciar tanto la vinculación racional entre las instituciones educativas
cuando el desarrollo de éstas según modelos propios congruentes con sus objetivos.
3. Favorecer la permeabilidad horizontal del bachillerato.87
86 Ibid., Pág. 36
50
87 Secretaría de Educación Pública. “Acuerdo no. 71 por el que se determinan objetivos y contenidos del ciclo de bachillerato”, en el Diario Oficial de la Federación., mayo 1982. Pág. 44 – 45
Estas propuestas adquirieron un carácter normativo a partir de la publicación de
los acuerdos 71 y 77 de la SEP, que en sus aspectos más relevantes establecen:
Acuerdo 71:
ARTÍCULO 1° El bachillerato es un ciclo de estudios que tiene como antecedente la
educación secundaria. Su finalidad esencial es generar en el educando el desarrollo de una primera síntesis personal y social que le permita su acceso a la educación superior, a la vez que le dé una comprensión de su sociedad y de su tiempo y lo prepare para su posible incorporación al trabajo productivo.
ARTÍCULO 3° El Plan de estudios del bachillerato se integrará por un “tronco común”, un área propedéutica, que relacionara directamente al ciclo con la educación superior y otra de asignaturas optativas que pueden responder a los intereses del educando o a los objetivos de la institución que imparte los estudios y a asuntos de interés para la región en los que éste se encuentre.
ARTÍCULO 7° La Secretaria de Educación Pública recomienda a los estados, municipios e instituciones autónomas la aplicación de estos criterios en los cursos de bachillerato que de ellos dependen, a efecto de procurar la unificación de las modalidades de impartición.88
Acuerdo 77:
ARTÍCULO 1° Corresponde a la Secretaría de Educación Pública expedir los programas maestros de la materia y cursos que integran la estructura curricular del tronco común del bachillerato y establecer los procedimientos de evaluación.
ARTÍCULO 2° Para cada materia habrá un programa maestro flexible que tendrá como elementos fundamentales los contenidos, articulaciones, clasificaciones, distribución y cargas horarias.
ARTÍCULO 3° Cada institución educativa estructurara los contenidos y determinará los métodos de enseñanza- aprendizaje de conformidad con los respectivos programas maestros aprobados, y de acuerdo con las diversas modalidades de bachillerato que esté autorizada a impartir.89 88 Secretaría de Educación Pública. “Acuerdo no. 71 por el que se determinan objetivos y contenidos del ciclo de bachillerato”, en el Diario Oficial de la Federación., mayo 1982. Pág. 11 – 13
51
89 Secretaría de Educación Pública. Acuerdo por el que se adiciona el diverso no. 71 que determina objetivos y contenidos del ciclo bachillerato”. en el Diario Oficial de la Federación., septiembre 1982. Pág. 33 - 34
Colegio de Bachilleres: el Colegio de Bachilleres fue creado por decreto
presidencial, en septiembre de 1973, con objeto de impartir e impulsar educación
correspondiente al nivel medio. Se caracteriza por ser un organismo descentralizado
del Estado con personalidad jurídica y patrimonio propio [Fig. 25].90
Fig. 25. En la actualidad la población escolar que acude al Colegio esta integrada por más de 98 mil estudiantes en el sistema escolarizado que asisten a sus 20 planteles y cerca de 31 640 en el sistema abierto; además el Colegio de Bachilleres es la institución más grande del país en el ámbito medio superior al contar con otros 683 planteles en 24 Estados de la República Mexicana
Sus funciones están normadas como se mencionó en los apartados anteriores,
por los artículos 3° constitucional; 7°, 47° y 49° de la Ley General de Educación, así
como por la Ley Orgánica de Administración Pública, delas que se deriva su Estatuto
General.
5290 Agenda del Estudiante. Colegio de Bachilleres. Edición 2001, México, 2001. Pág. 1
El Estatuto General da direccionalidad a la vida académica del Colegio, en él se
precisan los fines, estructura y atribuciones de cada uno de los órganos que
constituyen al Colegio y se sientan las bases para el desarrollo de las funciones
académicas sustantivas de profesores, administrativos, directivos, técnicos y
alumnos.
Para los fines de este documento son particularmente importantes, de este
Estatuto, los artículos 2° y 3°.
El artículo 2° establece, como objetivos generales del Colegio:
I. Desarrollar la capacidad intelectual del alumno mediante la obtención y aplicación de conocimientos;
II. Conceder la misma importancia a la enseñanza que el aprendizaje;
III. Crear en el alumno una conciencia crítica que le permita adoptar
una actitud responsable ante la sociedad;
IV. Proporcionar al alumno capacitación y adiestramiento en una técnica o especialidad determinada.
El artículo 3°, párrafo primero, señala que será función del Colegio: impartir
educación correspondiente al ciclo superior del nivel medio a través de las modalidades
escolar y extraescolar.
En este marco, para la educación media superior y superior se establecen
políticas que se concretan en los siguientes objetivos:
- Mejorar la calidad de los elementos y agentes del proceso educativo: personal
académico, planes y programas de estudio, estudiantes, infraestructura y equipamiento,
organización y administración.
- Mejorar la calidad de la evaluación de las instituciones que conforman el Sistema
Nacional de Educación Meda Superior.
53
Orientación filosófica: de acuerdo con el artículo tercero constitucional, la
educación tiene como propósito facilitar el desarrollo integral del Hombre, en su
devenir como ser individual y como ser social, como producto y como productor de la
cultura.
Es por ello que se requiere asumir el compromiso educativo desde una posición
que fundamente la política académica institucional y oriente las acciones
emprendidas por el Colegio; en este sentido, la reflexión sobre las diversas
concepciones educativas y las formas actuales de enseñanza plantea la necesidad
de revisar y explicitar los valores que la sustentan, sus propósitos últimos y las
nociones de aprendizaje y enseñanza que deben orientar la práctica educativa.
Bajo estas consideraciones, se plantea el sustento filosófico del Colegio de
Bachilleres desde tres perspectivas:
1. La teleológica.
La naturaleza de la práctica educativa comprende tres dimensiones
fundamentales: la dimensión humana, la dimensión social y la dimensión ambiental,
como componentes inseparables para explicar y transformar la realidad; cada una de
estas dimensiones concreta los fines del Colegio respecto al Hombre, a la sociedad y
a la naturaleza.
La dimensión humana se centra en los valores, expectativas y necesidades del
Hombre en su interacción con la naturaleza y la sociedad; la dimensión social
considera los intereses, las necesidades y los valores del desarrollo colectivo –
grupos, instituciones y comunidades-, la dimensión ambiental reúne los elementos
desde los que se reconocen, estudian y proponen las formas de relación del Hombre
y de la sociedad con el ambiente natural.
54
Integradas estas tres dimensiones en una totalidad, el Colegio de Bachilleres
tiene como finalidad contribuir a la realización del individuo para el logro de una
mejor calidad de vida.
La realización, entendida como el desarrollo armónico y continuo de las
capacidades y potencialidades del individuo para el logro de sus metas.
La calidad de vida, considerada como la satisfacción de las necesidades
afectivas, materiales, sociales y culturales del individuo, mediante el ejercicio de la
creatividad y de la interacción para el análisis y la solución de los problemas de su
entorno social y natural.
2. La axiológica.
La práctica educativa asume el desarrollo de los dinamismos básicos del
estudiante, con la tendencia a perfeccionar al Hombre en todas sus dimensiones;
para ello, el Colegio de Bachilleres define para el estudiante el desarrollo y
consolidación de los valores formulados en los siguientes puntos:
- Aprecio a la vida y a la dignidad de las personas, así como al integridad y
estabilidad de sí mismo y de la familia.
- Lealtad a la Patria, defensa de su soberanía, así como respeto a sus tradiciones e
historia, lo que implica un sentimiento de pertenencia y orgullo respecto a la nacionalidad
mexicana y de unión e identificación con sus conacionales, sin distinción de raza, grupo
étnico o lugar de origen, credo, ideología, edad, sexo o condición socioeconómica.
- Tolerancia respecto a las creencias, costumbres, preferencias y valores que no
coincidan con os propios, reconociendo el derecho a diferir delos grupos o individuos que los
sustentan.
55
56
- Respeto y reconocimiento al derecho propio y al de los demás, con un sentido de
justicia y de igualdad entre los hombres y entre las naciones.
- Aprecio y defensa de la libertad y la democracia de la libre expresión de las ideas y
de la igualdad de oportunidades en lo político, económico y social.
- Responsabilidad y compromiso en el aprovechamiento, la conservación y el
desarrollo del medio natural.
- Aprecio por la expresión del arte y la belleza.
3. La epistemológica.
La educación considera al sujeto individual y social como constructor de sus
conocimientos; desde esta perspectiva se plantea la construcción como una forma de
integrar el conocimiento en interacción con los objetos, la integración es la
conjunción de diferentes interpretaciones en torno a un objeto de conocimientos,
para:
- La explicación del objeto de conocimiento mediante la aplicación de los aportes de
diversas disciplinas.
- La contextualización de las necesidades e intereses de los sujetos, tanto
individuales como comunitarios, dentro del conjunto de condiciones sociales e históricas en
que se desenvuelven.
- El desarrollo intelectual, mediante la construcción de conocimientos nuevos, en los
que se subsumen e integran conocimientos y procesos más elementales.
1.6 MARCO INSTITUCIONAL DE ACTUALIZACIÓN Y SUPERACIÓN PROFESIONAL.
La población magisterial su actualización académica: la necesidad de satisfacer
la creciente demanda de educación, ha provocado que exista una improvisación de
distintos profesionales que laboran como profesores de enseñanza media superior y
superior, sin que tengan debida o ninguna preparación para ello, debido a lo cual el
Colegio de Bachilleres ha destinado una mayor cantidad de recursos humanos u
materiales tendientes a fincar sólidamente una formación adecuada del docente,
creando el Centro de Actualización y Formación de Profesores (CAPF), con la
finalidad de lograr la profesionalización del personal académico de la Institución, por
medio de estudios [Fig. 26],91 actividades y eventos conducentes a su formación
psicopedagógica y a su actualización continua en las asignaturas que imparte.
Fig. 26. La excelencia académica: se fomenta entre el personal de la Institución, la voluntad de superación de los docentes, su interés de aprender es reconocida por el Colegio de Bachilleres,
Las características de la actualización del magisterio y la capacitación de los
profesores en servicio del área geográfica de la problemática, es que se realiza a
través de cursos íntersemestrales impartidos por la Dirección de Planeación
Académica mediante el Centro de Actualización y Formación de Profesores (CAFP)
con la finalidad de ofrecer elementos algunos elementos teóricos- metodológicos que
apoyen su práctica educativa en el Colegio de Bachilleres, al termino de ellos la
institución expide constancias de los mismos:
57
58
Una de las finalidades del Proyecto para la Formación y Actualización
Académica del Colegio de Bachilleres es el refuerzo permanente de los saberes
disciplinarios, pedagógicos y el desarrollo de estrategias y metodologías para la
enseñanza en el Marco del Modelo Educativo y los programas de la asignatura; que
pretenden conjuntar los saberes y haceres que el profesor ha adquirido en su
formación académica, en los siguientes campos:
o Campo Disciplinario. o Campo metodológico. o Campo psicopedagógico.
En razón de lo anterior, el Colegio de Bachilleres considera como
características deseables en su personal académico:
• La comprensión amplia de los fundamentos normativos, filosóficos y
metodológicos que sustenta el Colegio y que orienta la practica educativa en la
Institución.
• El dominio e integración de los conocimientos disciplinarios y pedagógicos
que requiere para la planeación, desarrollo y evaluación cotidiana de las actividades
inherentes a su función.
• El uso y fomento de su creatividad en el proceso de aprendizaje y
enseñanza.
• El uso adecuado de los recursos materiales, humanos y técnicos, que tenga
a su alcance para el desarrollo de la práctica educativa.
• El interés por su superación como académico en lo disciplinario, lo
psicopedagógico y en su práctica cotidiana, de manera responsable y comprometida.
91 “Programa para la Actualización Académica y Formación Docente”, Intersemestre Julio- Agosto 2000, Colegio de Bachilleres, Dirección de Planeación Académica. Centro de Actualización y Formación de Profesores. Academia de Matemáticas
1.7 ESQUEMAS Y PERFILES PROFESIONALES DEL MAGISTERIO EN SERVICIO.
Cuerpo académico de matemáticas I: los integrantes de la Academia de
Matemáticas son 64 profesores con estudios de Licenciatura en Matemáticas,
Ingeniería, Administración, Contaduría, etc., de los cuales ocho tiene grado de
Maestría y dos de Doctorado [Fig. 27].92
Nombre. Nacimiento. Formación. Ingreso. Grupos. Arellano Mora Héctor. Barrera González José E. Buendía Constantino Víctor A. Buendía Constantino Bernardo. Castrejón Villar Apolo. Guerrero Chávez Luisa. Lepe Díaz Gregorio. Lojero Velásquez Amalia. Martínez Aguilar Emiliano. Méndez Heredia Albino. Pereyra Ortiz Enrique. Rodríguez Flores Teodoro. Sánchez Torres Roberto. Tovar Espinosa Vicente. Aroche Sandoval Luis M. Cruz García Cuauhtemoc. Durán Romero Alfonso. Hernández Terreros Ma Angeles. Lozano Callejas Ernesto. Mata Holguín Patricia. Rodríguez Aguilar Alfonso. Rodríguez Flores Teodoro. Román Cuevas Juan. Rodríguez Yánez Taurino.
1/12/61 16/11/59 17/03/51 25/02/47 6/04/49 25/08/59 11/04/47 6/09/69 83/08/64 3/06/43 31/10/53 9/11/59 1/11/40 6/03/49
21/06/56 7/07/39 16/10/61 14/10/40 7/11/47 2/08/41 27/08/50 9/11/59 8/02/52 2/01/68
Ing. Mecánico, UNAM. Ing. Mecánico, UAM. Ing. Electricista, IPN. Ing. Químico, IPN. Matemático, Normal Superior. Ing. Geofísico, UNAM. Pasante Ing. Comunicaciones IPN Matemática, UAM. Ing. Electricista, IPN. Ing. Electricista, IPN, MAESTRIA. Ing. Civil, IPN, MAESTRIA. Ing. Civil, UNAM. Matemático, Normal Superior. Ing. Civil, UNAM.
Ing. Civil, IPN. Pasante Ing. Civil, UNAM. Ing. Industrial, IPN. Ing. Químico, UNAM. Ing. Comunicaciones, IPN. Matemática, UAM. Ing. Civil, IPN, MAESTRIA. Ing. Civil, UNAM Ing. Químico, UNAM. Ing. Civil, IPN.
23/02/98 15/05/88 22/10/95 2/03/82 3/10/95 6/04/92 1/11/77 6/04/92 1/09/99 9/10/74 7/03/85 21/02/02 12/1/78 20/08/01 21/04/84 3/04/81 9/03/89 1/01/74 16/10/79 2/12/91 21/02/02 21/02/02 1/3/78 24/03/00
MATUTINO 103, 110. 117 112 111 104, 113 108, 114 118 115 116 109 102,106, 119 107 104, 105 101
VESPERTINO 146 148 135 135, 147 136, 138, 141 137, 141, 149 134 131 132, 135, 143 140, 142
Fig. 27 Relación de docentes de los turnos matutino y vespertino que imparten la asignatura de Matemáticas I en el Plantel 3 Iztacalco del Colegio de Bachilleres.
La formación profesional o perfil profesional de cada docente, con sus atributos
particulares, actividades, estilos, da como resultado el tipo de ejercicio de la
enseñanza de la asignatura de Matemáticas I, por parte de cada uno de ellos; el cual
59
92 Información proporcionada por el Departamento de Personal, del Colegio de Bachilleres, Plantel 3 Iztacalco.
60
se establece por medio de la evaluación de la práctica docente, denominada
evaluación académica en el contexto del Colegio de Bachilleres.
La que se restringe a las labores docentes, en la que interviene la formación,
las experiencias y las estrategias pedagógicas de cada profesor en particular,
aunadas a otras cualidades personales que forman parte del proceso de la
interacción didáctica; en el Colegio de Bachilleres, la evaluación de la docencia ha
sido y sigue siendo un tema que genera polémica en torno a aspectos conceptuales,
metodológicos y operativos; siempre que se plantea la evaluación de los docentes
surgen dudas, controversias, cuestionamientos y preocupaciones en los
académicos.93
Por supuesto, el sector crucial de la educación desde el punto de vista de la
puesta en marcha de un sistema y de un proceso de desarrollo, es que el
profesorado debidamente formado para el ejercicio de su profesión, constituye un
factor importante de la comunidad.
93 Manuel Zymelman. Fondos públicos para financiar la educación. Editorial Pax-México, México, 1974. Pág. 42- 47
CAPITULO 2.
DISEÑO INVESTIGATIVO DEL DIAGNÓSTICO.
2.1 PROBLEMÁTICA EDUCATIVA.
La revolución en la enseñanza de la Matemática: desde que Platón recomendó
la enseñanza de la Aritmética y de la Geometría, hasta la actualidad, las autoridades
que han coincidido con él, fueron tantas y tan prestigiosas que nadie ha osado poner
en duda la necesidad ineludible de que la Matemática ocupe un lugar de privilegio en
cualquier plan de estudios,94 sin embargo; en octubre de 1952 el Comité
internacional de Enseñanza Matemática, formalizó la Revolución en la Enseñanza
Matemática; una Matemática viva, en evolución, en crecimiento.95
En un primer instante, el énfasis se puso sobre los contenidos más que en los
métodos; otras veces se introdujo solamente una abundante simbología que
complicó tanto a alumnos como a docentes; hubo un abandono notable del cálculo
algorítmico (que sigue siendo indispensable), se confundió, a veces, actividad
matemática con actividad manual o estética y, casi siempre, abstracción con
formalización; estas deformaciones obligaron a prestar atención sobre los métodos
de enseñanza y comenzó a hablarse de la enseñanza moderna de la matemática,
más bien que de la enseñanza de la Matemática moderna; los métodos más clásicos
de enseñanza, curiosamente, siguen totalmente vigentes en la práctica.
Los estudios antropológicos de los sistemas de numeración y calculo en
poblados primitivos, han convencido plenamente del isomorfismo funcional entre el
pensamiento matemático espontáneo del joven y el de algunos pueblos actuales
94 Leopoldo Varela y Juan A. Foncuberta. “La revolución en la enseñanza de las Matemáticas veinte años después”, artículo publicado en Limen, revista de orientación didáctica, Numero 44, Segundo trimestre 1974, Año XII, México, 1974. Pág. 37-38
62
95 Jean Dieudonné. “La Escuela Francesa Moderna de Matemáticas”, Conferencia en la Biblioteca Nacional de Madrid, 21 de noviembre de 1961.
cuyos sistemas de contaje se asemejan mucho a los que describen la historia de las
matemáticas;96
La abstracción, no puede ser más que la organización de las acciones sobre los
objetos concretos a los que el alumno tiene acceso, es evidente que no existen
matemáticas sin abstracción, pero ésta puede ser de niveles muy diferentes, las
acciones que llevan a la comparación cuantitativa de dos conjuntos implican una
abstracción de grado distinto al de la utilización comprensiva de la serie numérica y
ésta aún del de su representación gráfica por medio del sistema indoarábigo; todo
avance en el pensamiento matemático implica un avance en el razonamiento en
general y ello obliga a reestructuraciones y reorganizaciones, de la misma manera
que un nuevo descubrimiento científico obliga al reajuste o a la radical modificación
de las viejas teorías.
¿Somos buenos en matemáticas?, a primera vista parece una pregunta
sencilla, que recibe un “sí” o un “no” por respuesta, se está acostumbrado a pensar
que el conocimiento matemático es una consecuencia de ser o no ser buenos en
matemáticas en la escuela; este tipo de actividades se sustentan en ciertos
conceptos sobre las matemáticas, los cuales plantean que ésta es un lenguaje, como
sostienen diversos autores, 97 en este caso aprender matemáticas consistiría en
conocer y hacer uso de las codificaciones, orales y escritas, que para la matemática
se han establecido socialmente.
Desde el punto de vista de la semiótica se podría retomar que todo signo, para
ser tal, requiere el establecimiento de una relación entre significante y significado y
en muchos casos también de un referente, si se coincide con este planteamiento
96 Montserrat Moreno. El pensamiento Matemático, en: “La pedagogía Operatoria. Un enfoque Constructivista”. Barcelona. Laia, 1983, Pág. 59-64
63
97 Teresina Nunes y Peter Bryant. Las matemáticas y su aplicación, la perspectiva del niño. Siglo XXI, México, 1997. Pág. 138-139
entones la carencia del significado hace que necesariamente el signo deje de ser
signo. 98
¿Con qué objeto se enseña las Matemáticas?: se podría responder que en la
actualidad la enseñanza de las matemáticas no tiene frontera y un plan de estudios
elaborado para una nación, debe poderse aplicar también a otra; después de un siglo
de discusiones nacionales e internacionales, que las perspectivas comunes de hoy
se deben a las uniformidades de factores fundamentales entre las naciones, es decir
factores, económicos, sociales y psicológicos, por una parte los países civilizados,
sienten todos la necesidad de impartir una instrucción de carácter general.
A las matemáticas que se estudiaban hasta hace unos cincuenta años se les
daba el nombre de “matemáticas clásicas"; se da en cambio el nombre de
“matemáticas modernas” a aquellas cuya esencia se debe a las leyes operatorias
que han permitido su elaboración, es esta axiomatización la que constituye
precisamente la base de las matemáticas modernas, sustituyendo esta última a la
primera.99
Son varias las aproximaciones que se han tenido en el estudio del proceso de
enseñanza-aprendizaje con el objeto de conocer el contexto en que se verifica, las
características de los elementos que en él intervienen, las interacciones que se
ponen en juego, los procedimientos y medios para su realización; en la enseñanza, la
sistematización de la enseñanza de la Matemática no es otra cosa que la aplicación
de los conceptos y principios básicos de la comunicología, la psicología y la teoría de
sistemas al estudio, interpretación y organización de ese proceso.100
98 Myriam Nemirovsky. “La matemática, ¿es un lenguaje? en: Álvarez, Ma. Del Carmen. “Acerca de la Numeración Reflexiones y Propuestas”, México, DIE-CINVESTAV-IPN, 1985, Pág. 55 99 G. Choquet. “Las nuevas matemáticas y el maestro”, conferencia sustentada durante el First Interamerican Conference on Mathematical Educatión, efectuado en Bogotá, Colombia, 1961; publicada en la Memoria de este congreso a cargo del Bureau of Publications, Teachers College, Nueva York, Colubia University Press, 1962.
64
100 CAFP. Curso propedéutico para Profesores. Colegio de Bachilleres. Centro de actualización y Formación de Profesores. Secretaria General Académica. Dirección de Planeación Académica. México, 1981, Pág. 9-12
Ante las perspectivas metodologícas existentes a principios del siglo XX, y las
consideraciones, de que a todas ellas les faltaba cierto rigor científico, y como base
para ello un rigor matemático, se fue creando una nueva perspectiva desde una
concepción sistémica, influida en su proceso de formación algunos elementos del
positivismo lógico y otros del materialismo histórico-dialéctico; para explicar el
proceso de formación de la teoría, Bertalanffy consideró con esas bases del
pensamiento para la interpretación de los fenómenos.101
Las Matemáticas consideradas en la actualidad como un sistema se debe
suponer como un ente o fenómeno integrado que engloba todos los aspectos y
niveles que lo componen, caracterizándose por su interrelación mutua; la
determinación de los conceptos en la teoría general de los sistemas, no ha seguido
la secuencia de considerar a cada elemento aislado, y luego integrarlos poco a poco
hasta llegar al conocimiento buscado; los conceptos fundamentales de ésta son
adoptados de otras ciencias, siguiendo el objeto de la propuesta sistemática de
unificar la ciencia y el análisis científico.102
En esta explicación se sintetiza la importancia que se tiene de las Matemáticas
con el concepto de sistema, en el que se conjugan todos los elementos que contiene
como objeto de estudio subjetivamente seleccionado pero que posee en sí una
cohesión interna o isomorfismo,103 el cual se sustentan en la idea de que sus
componentes tienen similitudes considerables por lo que pueden encontrarse leyes
que tengan una estructura análoga en los diferentes campos, circunstancia que
permite a las Matemáticas emplear modelos sencillos o de más fácil conocimiento
para fenómenos complicados de otras ciencias,104 tiene una utilidad particular en los
estudios interdisciplinarios y en la identificación de correspondencias funcionales en
101 Bertalanffy, Ludwig von. Teoría general de los sistemas .Fundamentos, desarrollo, aplicaciones. Colección Ciencia y Tecnología, Fondo de Cultura Económica, México,1976. 102 Gutiérrez Pantoja, Gabriel. Metodología de las Ciencias Sociales I..2ª edición, Colección textos universitarios en ciencias sociales. Oxford, México, 2002. Pág. 218- 226 103 Cfr. Bertalanffy, Ludwig von, op. cit., Pág. 195-210
65104 Ibídem, Pág. 40
los principales procesos de los distintos sistemas;105 en la sistematización de la
enseñanza, en su acepción más amplia, define un conjunto de elementos que se
interrelacionan para lograr un fin común.106
En ese sentido, un sistema puede ser dividido, para su análisis, en los
elementos que lo integran, a la vez que puede, en un momento dado, quedar
integrado dentro de una organización mayor, donde se inserta recibe el nombre de
suprasistema, por ejemplo:
El Colegio de Bachilleres es un sistema integrado por diversos
planteles relacionados entre sí, cuya finalidad es la de impartir enseñanza, para formar alumnos del nivel medio superior.
A su vez, cualesquiera de los planteles del Colegio de Bachilleres.
puede ser analizado como un sistema, ya que cumple con las características de la definición que se ha presentado, es decir, cada plantel está integrado por elementos: profesores, alumnos, personal administrativo, instalaciones, equipo, interrelacionados para un fin; sin embargo, cada plantel, como parte de la institución llamada Colegio de Bachilleres, viene a ser un subsistema de él.
Pero eso no es todo, el Colegio de Bachilleres no esta aislado, sino que se encuentra en relación con otros sistemas: Escuela Nacional Preparatoria, Colegio de Ciencias y Humanidades, preparatorias particulares, etc.; que forman parte del nivel educativo medio superior; en este caso el nivel medio superior de la enseñanza, representa el suprasistema donde se inserta el sistema: Colegio de Bachilleres.
El suprasistema (escuela) influye en el sistema (enseñanza de la asignatura) y
en los subsistemas (profesor, alumnos, recursos, contenido de la materia), pero a su
vez, los subsistemas se influyen entre sí; el profesor selecciona los recursos
didácticos, los cuales por sus características delimitan la forma de transmisión del
conocimiento, la preparación previa, o antecedentes de los alumnos, marca el
contenido que pueden aprender, y así, cada elemento influye y es influido por los
105 Lieber, Robert J., Theory and world politics. Winthrop-Prentice Hall, Nueva Jersey, 1972. Pág. 122
66106 C. West Churman. El enfoque de Sistemas. Editorial Diana, México, 1973, Pág.46-48
demás, lo que aquí interesa es el proceso organizado mediante el cual la sociedad
promueve la enseñanza.
De la misma forma en que se describió el Colegio de Bachilleres se puede
analizar el proceso de enseñanza como un sistema, por ejemplo la enseñanza de
una asignatura: el sistema en este caso está integrado por el Profesor, los alumnos,
los medios, recursos didácticos, el propio contenido de la signatura, cada uno de
esos elementos representa un subsistema y el suprasistema corresponde a la
escuela donde se realiza la enseñanza. [Fig. 29] 107 MEDIOS Y RECURSOS EXTERIORES
PROCESO EDUCATIVO.
1. PROPÓSITOS Y PRIORIDADES.
para orientar las actividades del sistema.
2. ESTUDIANTES. cuyo aprendizaje es el propósito principal del sistema.
3. DIRECCIÓN
para coordinar, dirigir, evaluar el sistema.
4. - ESTRUCTURA Y HORARIO para ordenar el tiempo y la afluencia de estudiantes según diferentes objetivos.
5, - CONTENIDO
la esencia de lo que los estudiantes deben aprender.
6. - PROFESORES proporcionar ayuda y organizar el proceso del estudio.
7. - MATERIAL DIDÁCTICO
libros, pizarrones, mapas, películas, laboratorio
8. - ESCUELAS Y EDIFICIOS para facilitar todo el proceso.
9. - TECNOLOGÍA
todas las técnicas empleadas para realizar la labor del sistema.
10 CONTROLES CUALITATIVOS
normas de admisión, puntuaciones, exámenes, “modelos”.
11. -INVESTIGACIÓN
para mejorar los conocimientos y los resultados del sistema
12. - COSTOS
indicadores de la eficacia del sistema.
Fig. 29.
Cuadro I LOS PRINCIPALES COMPONENTES DE UN SISTEMA EDUCATIVO, presenta un diagrama simplificado con algunos de los componentes internos más importantes de un sistema educativo
RESULTADOS DE LA ENSEÑANZA.
67
107 Philip H. Coombs. “Análisis de Sistemas”, Memoria y otros presentes. En BÁSICA, revista de la escuela y del maestro, año III, Julio-Agosto de 1996, núm. 12, Pág. 53-58
El cuadro I, no obstante no muestra todo cuanto debe tenerse en cuenta en un
análisis de sistemas, queda limitado a los componentes internos del sistema
separados de su medio ambiente, sin embargo, puesto que es la sociedad la que
proporciona al sistema educativo los medios necesarios para su funcionamiento, del
mismo modo que se espera del sistema educativo una contribución vital para la
sociedad; así mismo muestra los múltiples componentes de las aportaciones de la
sociedad al sistema educativo, seguidos de los múltiples productos de este sistema
que vuelven a la sociedad, sobre la cual causan diversos impactos. [Fig. 30].
Aportaciones de la sociedad.
Resultados para la sociedad.
Conocimientos ya
existentes.
Valores.
Metas
Publicación y
mano de obra
calificada.
Producto
económico e
ingresos.
Fines
educativos
Contenido.
Estudiantes.
Profesores,
etc.
Finanzas.
Materiales.
SISTEMA EDUCATIVO
INDIVIDUOS EDUCADOS.
para servir a la
sociedad y como
individuos y miembros
familiares.
Porque la educación
mejoró su conocimiento
básico y manual.
Poder de razonamiento
y crítica.
Valores, actitudes,
motivaciones.
Poderes de creatividad
e innovación.
Aprecio a la cultura.
Fig. 30.
Cuadro II.
INTERACCIONES
ENTRE UN
SISTEMA
EDUCATIVO Y SU
MEDIO
AMBIENTE
Hay que añadir algo más, los medios necesarios a la enseñanza así como su
sus resultados deben ser examinados en sus relaciones externas con la sociedad, ya
que éstas revelan las limitaciones de los recursos que restringen el sistema y los
factores que determinan su productividad para la sociedad
Los cuadros I y II incluyen cuestiones como: el significado de “dirección”, la
naturaleza de la “tecnología” educativa, el significado de “eficiencia” y “calidad”, y
dudas sobre la certeza de las indicaciones proporcionadas por las aportaciones en
cuanto a la calidad de las realizaciones educativas; conviene aclarar la relación que
68
existe entre los dos cuadros, el primero enfrentándose con los aspectos internos de
un sistema educativo, y el segundo con sus implicaciones externas, como sistemas
autopoiéticos, es decir, de sistemas que se auto-organizan a partir de su distinción
con respecto a un entorno.108
Estas reflexiones deberían hacer caer en la cuenta que los sistemas complejos
no están organizados bajo un concepto de unidad simple; la unidad del sistema
educativo no viene dada por la fijación de un ideal, sino que radica en la
especificación funcional de sus códigos y programas.
Teóricamente es crucial percatarse de que la reflexión sobre la identidad de la
pedagogía sólo puede darse a partir de la unidad del sistema,109 los tratamientos
clásicos no han dejado de ver que el sistema educativo adquiere sentido en el
cumplimiento de un fin, incapaces de distinguir entre el sistema social, el
organizacional y el interactivo.
La binariedad del código asegurar un operar autopoiético, es decir las
matemáticas como sistemas realizan esta producción y reproducción utilizando sus
propios elementos y estructuras para generar sus propios elementos y estructuras,
esto supone que ella es a la vez productora y producto de sí misma.
En el cambio de óptica que esta teoría provee queda evidenciada que la
conducta didáctica factualmente tiene un efecto selectivo, una y otra vez se
encuentra esto como un hecho inevitable, por lo tanto, si la reflexión del sistema
108 Emilio González Díaz. “Reflexiones acerca de la ciencia como sistema social autopoiético de
comunicación”. Braga. Santiago de Compostela, marzo de 1998. Pág. 27-69
69
109 Josefina Ontiveros. Didáctica y teoría de sistemas, hacia una articulación teórica. (tesis doctoral). Facultad de Filosofía y Letras, Universidad Autónoma de México, 1995. Pág. 78-96
70
educativo ha de centrarse en la unidad de operación que permite especificar al
sistema y a la teoría del sistema. 110
Entonces, lo que se pretende a través de la sistematización de la enseñanza es
definir, organizar e interrelacionar todos los elementos que participan en la
enseñanza, con el objeto de lograr su propósito, es decir, el aprendizaje de los
alumnos.
Problemática educativa detectada: partiendo del hecho de que existe un
retroceso muy notable en las habilidades matemáticas de los educandos de
educación media superior a medida que aumenta su permanencia en el sistema
escolar, destaca el alarmante incremento del analfabetismo matemático funcional, la
falta de capacidad para manejar números y otros síntomas de deterioro educativo.
Ya que al interior del aula se encuentran serios problemas de aprendizaje, lo
cual no es atribuible al maestro ni a los alumnos que tienen dificultades en la “lectura”
matemática (dislexia) y en las más sencillas operaciones de cálculo (discalculia), sino
de los alumnos que realizan un aprendizaje mecánico, de bases débiles y sin afirmar
un auténtico razonamiento del simbolismo numérico y sus relaciones.
Al enfrentar el problema que actualmente no se ha podido resolver y ninguna
disposición burocrática, ni ninguna reforma educativa han podido atacarlo de raíz,
por la sencilla razón de que se desconoce su etiología, lo cual abre una avenida al
análisis y a la investigación dentro del ámbito educativo.
110 Josefina Ontiveros. Niklas Luhmann. “Una visión sistémica de lo educativo”, en Perfiles Educativos, tercera época, volumen XIX, Número 78, del Centro de Estudios sobre la Universidad, Universidad Nacional Autónoma de México, 1997. Pág. 24-38
2.2 ESTADO DEL ARTE.
Fundamentación teórica de la propuesta: refiriéndose al tema en cuestión,
Castelnuovo en su “Didáctica de las Matemáticas Modernas”, hace un importante
análisis de las corrientes pedagógicas y didácticas que más han influido en la
enseñanza de las matemáticas, Comenio, Pestalozzi, Decroly, Montessori, Jean
Piaget, Hans Aebli, Louis Jhoannet, etc., son estudiados en sus aportaciones a la
metodología de la enseñanza, en una secuencia que conduce de la didáctica general
a la particular de las matemáticas, abordando el extenso panorama de la enseñanza
moderna de la matemática.
Existen diversas investigaciones sobre el fracaso escolar y la didáctica de las
matemáticas que han sido realizadas por la Sección de Matemáticas Educativa,
CINVESTAV perteneciente al Instituto Politécnico Nacional; en una de ellas se
menciona que “la educación matemática considera la labor que realiza el profesor
dentro del salón de clase, las teorías de aprendizaje así como el diseño y desarrollo
de planes y programas”.111
“Si bien las escuelas son diferentes: la escuela de la primera infancia, la
escuela de la infancia, la de la adolescencia y la de la juventud, no queremos que se
enseñe cosas diferentes, sino las mismas cosas de maneras distintas: Queremos
decir las cosas que pueden hacer al hombre verdaderamente hombre, a los sabios
verdaderamente sabios, acercarlos según la edad y el nivel de preparación que debe
siempre tender a elevarlos ulteriormente”.112
111 Guillermina Waldegg. “Constructivismo y educación matemática”, tomado de Educación Matemática (2).
Vol. 4, CINVESTAV, IPN, México, 1992. Pág. 7-15 112 Jan Amos Komenski (Comenius), Didáctica Magna, Porrúa, México 1996. Pág 69
71
He aquí como se expresaba Comenius distinguía diferentes estratos, según la
edad y a cada uno de éstos señalaba un determinado programa de instrucción, no se
trataba de cambiar temas, sino de tratar los mismos con maneras diversas a medida,
precisamente de la posibilidad de comprensión de los alumnos y considerados desde
un punto de vista siempre más amplio, extendiéndose como una espiral, así se forma
la cultura ”de modo tal”, dice Comenuis “que aquello que se ha aprendido hoy
refuerce aquello que se aprendió ayer y abra el camino para lo que se aprenderá
mañana”; hoy en términos modernos, se dice que una instrucción que sigue esta
metodología se logra por ciclos.
Consideraciones expuestas en la obra Cómo Gertrudis instruye a sus hijos de
Enrico Pestalozzi, escrita en 1801, dicen: “los muchachos instruían a los muchachos,
ellos buscaban realizar lo que yo les decía, y lograban de tal modo descubrir, por sí
mismos y por diversos caminos, los medios más convincentes.
Los métodos de Montessori y Decroly siguen caminos didácticos opuestos;
ambos son activos, pero el primero es un método sintético, el segundo es analítico,
tales métodos han sido criticados por la psicología moderna, debido a: que los
materiales y los útiles tiene por objeto facilitar el paso de lo cuantitativo a lo
cualitativo, el alumno es obligado a seguir ciertos pasos que le son sugeridos, si no
por el maestro, por el material mismo con el que trabaja.
En Piaget; su concepción del material, o mejor dicho del recurso al objeto y la
acción, es notablemente distinto; a la de los pedagogos que se han mencionado;113
propone que en el alumno nacen primero las estructuras topológicas, después, casi
simultáneamente, las de tipo algebraico, por ejemplo, la reversibilidad de las
acciones; posteriormente; nacen las de orden; ahora bien, aparte del interés
psicológico, el hecho verdaderamente notable es que tales estructuras corresponden
72
113 Para un material que tiene estos fines, el lector puede encontrar muchas ideas en el folleto de J. Piaget, B. Boscher, A. Chatelet. Introducción al cálculo; puede consultarse también el folleto de C. Gattegno, Guía introductoria para los números en colores. Neuchatel, Delachaux y Mniestlé, 1961.
a aquéllas sobre las cuales, según la escuela de Bourbaki114, está basada toda la
estructura matemática.
Ya que al interior del aula se encuentran serios problemas de aprendizaje,
antecedentes investigativos, relacionados, que se han realizado además de los
anteriormente citados, son:
• “Método integral para el aprendizaje de la matemática inicial” de Oscar V. Oñotivia, Ed. Guadalupe.
• “La formación docente para la innovación educativa, el caso del currículo con orientación cognoscitiva” de Roberto Barocio Quijano, Ed. Trillas.
• “La enseñanza agradable de las Matemáticas”. Colección textos Politécnicos. Serie Matemáticas, de Steen, Ed. Limusa.
• “La enseñanza de las Matemáticas en la escuela Primaria”, Taller para maestros, Programa Nacional de Actualización Permanente, Secretaria de Educación Pública.
• “Fichero de actividades didácticas Matemáticas”. Educación secundaria. Secretaria de Educación Pública.
• “La matemática en la Escuela I”. Antología. Universidad Pedagógica Nacional.
• “La matemática en la Escuela II”. Antología. Universidad Pedagógica Nacional.
• “Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño”, de Terenziha Nunes, Ed. Siglo XXI.
• “Teoría del Conocimiento”, de Miraflor Aguilar Rivero. Facultad de Filosofía y Letra. UNAM.
• “¿Por qué y cómo determinar estándares de calidad en educación física y matemáticas en el modelo de escuelas de tiempo completo y tiempo oficial, de la educación primaria del Distrito Federal?, de Ávila Blanco J. L., Ed. Particular.
• “La Planeación Curricular”, de José A. Arnaz. Ed. Trillas. • “Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las
Matemáticas”. Luz Manuel Santos Trigo, Grupo Editorial Iberoamérica. • “Álgebra recreativa”, de Y. Perelman, Ed. MIR. • “El fracaso de la matemática moderna, ¿Por qué Juanito no sabe sumar?”,
de Morris Kline, Ed. Siglo XXI. • “Matemáticas Antología”, Texto para el primer año de la Licenciatura en
Educación Preescolar y Primaria. Secretaria de Educación Pública.
73
114 Sobre las ideas de los bourbaquistas y su matemática moderna, véase en particular, Nicolas Bourbaki, Elementi di storia della matemática. Feeltrinelli, Mitlán, 1963.
• “Matemáticas”. Libro para el maestro. Educación Secundaria. Secretaria de Educación Pública.
• “Antología para la actualización de los profesores de enseñanza media superior”. Problemas de la enseñanza de las matemáticas. UNAM.
• “Sigma, el Mundo de las Matemáticas”, de James R. Newman, Ed. Grijalbo. • “El Hombre que calculaba”, de Malba Tahan, Ed. Noriega-Limusa. • “Matemáticas e imaginación”, de Kasner Newman, Ed. CECSA.
En los últimos años la resolución de problemas ha sido identificada como una
actividad importante en el aprendizaje de las matemáticas, en el proceso de
aprender matemáticas se pone atención especial al tipo de problemas o situaciones
problemáticas que aparecen en la instrucción matemática misma. 115
Además, un aspecto notable se relaciona con las actividades en que el
estudiante intencionalmente busca los significados de las ideas matemáticas.116 y
discute el sentido de las soluciones de los problemas117; así, al observar
sistemáticamente el comportamiento de los expertos al resolver problemas y
contrastar estas observaciones con el trabajo de los estudiantes ha sido de gran
utilidad para identificar y explicar diferencias importantes entre ellos, en donde se
nota la dificultad de los estudiantes para tener acceso a los recursos que les
ayudaran a presentar caminos de solución.118
En los últimos 50 años las matemáticas han tenido un avance significativo tanto
en su desarrollo propio como en sus aplicaciones; esto ha promovido la necesidad
de examinar la naturaleza y evolución de esta disciplina, este interés ha identificado
un amplio mosaico de concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas
115 Luz Manuel Santos Trigo. Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas” 2ª Edición, Grupo Editorial Iberoamérica., México, 1997, Pág. 1-8 116 Kleiner, I. Famous problems in mathematics: An outline of a course. For the Learning of Mathematics, USA, 1986, Pág. 31-38 117 Schoenfeld, A. Mathematics , technology, and higher order thinking. In R. S. Nickerson & P. Sodhiates Eds., Technology in education: Looking toward 2020. Hillsdale, NJ: Laerence Erlbaum Associates.1988.
74
118 Shoenfeld, A. Problem solving in the mathematics currículo: A report, recomendation and an annotated bibliography. Washington, D.C., Mathematical , 1983, Pág. 30-38
incluyendo aquellas que la relacionan con una estructura axiomática, con un
conjunto de fórmulas y reglas.
Estas diversas concepciones poseen una influencia directa en la forma de
enseñanza y el tipo de investigaciones que se realizan en educación matemática,
nuevas tecnologías han puesto a discusión la importancia de realizar
manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel, en contraste, el uso de la
tecnología ha contribuido a conceptuar a las matemáticas como un medio para
resolver problemas.
En la práctica de enseñar matemáticas generalmente el profesor adopta un
modelo de enseñanza donde se reflejan elementos de su propia experiencia como
estudiante, este modelo va acompañado de ideas respecto al papel del mentor, a los
tipos de problemas de clase y de tarea, al tipo de evaluación del estudiante, al uso
de un libro de texto y al papel del educando en el salón de clases.
En realidad, cada profesor posee un modelo o una caracterización de lo que
son las matemáticas y cómo pueden ser aprendidas por los estudiantes, su modelo
influye en las decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el
contenido en el salón de clases. 119
Aun cuando en cada civilización se han encontrado usos de algún
conocimiento matemático y sus aplicaciones, es virtualmente imposible presentar
una definición satisfactoria o una caracterización completa de lo que son las
matemáticas; esta dificultad, quizás, se relaciona con el crecimiento y extensión de
esta disciplina;120 el intento de caracterizar a las matemáticas se relaciona con la
discusión de cuáles son los fundamentos de esta disciplina, reflexionar sobre los
fundamentos implica abordar diversas escuelas de pensamiento y sus controversias. 119 Coob, P. The tension between theories of learning and instruction in mathematics education. Educational Psychologist. 1988, Pág. 87-107
75
Estas entidades no son creadas y no cambian con el tiempo, cualquier
indagación dentro de esta corriente posee una respuesta definitiva dependiendo si el
sujeto puede o no llevar a cabo esta indagación; de acuerdo con los platónicos, un
matemático es un científico empírico similar a un geólogo, no pude inventar las
cosas porque éstas existen de antemano, lo más que puede hacer es
descubrirlas.121
Otro punto de vista, conocido como formalismo, relaciona el desarrollo de las
matemáticas con un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas: existen reglas
que se usan para derivar y demostrar teoremas, proposiciones y fórmulas, aun
cuando formalistas y platónicos tienen puntos de vista opuestos acerca de la
existencia y realidad de las entidades matemáticas, coinciden en cuanto a los
principios de razonamiento que son permisibles en la práctica de las matemáticas.
Existe otro punto de vista, el constructivista que afirma que las matemáticas
pueden obtenerse solamente a través de una construcción finita de pasos
verificables, donde estas tres corrientes de pensamiento consideran al contenido
matemático como un producto.122
Para los plátonistas, el contenido eran los elementos de una matemática
clásica, sus definiciones, sus postulados y sus teoremas, para los construtivistas, los
contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía
patrones válidos de razonamiento123; para los formalistas, las matemáticas contenían
estructuras axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus
problemas, por ejemplo las paradojas; en la segunda mitad del siglo XX, el
120 Davis, R. B. Learning mathematics: The cognitive science approach to mathematics education. Ablex, New York, 1986, Pág. 143-160 121 Davis P. J. y Hersh, R. The mathematical experience, Birhkaûser, Boston. 1981. Pág. 17 122 Dossey, J. A. The nature of mathematics: Its role and its influence. In D. Grows Ed., Handbook of research on
mathematics teaching and learning. National Council of Teachers of Mathematics. New York: Mac Millan, Pág. 38-48
76
123 Romberg, T. Mathematics learning: GAT we have learned in ten years. In C. Collins & J. N. Mangieri (Eds), Teaching thinking: An agenda for the twenty-first century. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 1992. Pág. 43-64
formalismo llegó a ser la actitud filosófica predominante en los libros de textos y
programas oficiales de matemáticas, la corriente constructivista permaneció con
pocos partidarios.124
Los matemáticos en la práctica real de desarrollar matemáticas, pocas veces
reflexionan sobre la naturaleza de las matemáticas, en el desarrollo de las ideas
matemáticas es común que el matemático trabaje como si la disciplina describiera un
objetivo existente en la realidad donde la práctica de trabajar en esta disciplina
puede ser falible; sin embargo, cuando es cuestionado sobre la naturaleza de las
matemáticas, frecuentemente niega esta noción y la describe como un juego de
símbolos sin sentido.125
El trabajo diario del matemático no es controlado por la idea de validar cada
caso con argumentos formales, sino que este procede guiado por la intuición en la
exploración de conceptos y sus interacciones.126 estas ideas apuntan a un
reconocimiento de que el desarrollar matemáticas debe aceptarse como una
actividad no gobernada estrictamente por alguna escuela de pensamiento, es decir,
que incorpore los elementos que describen la practica de hacer matemáticas, lo que
hace un matemático al trabajar las ideas matemáticas y no normar el trabajo sobre la
base de una corriente de pensamiento.127
En la propuesta se consideran aspectos tales como la resolución de problemas,
la necesidad de comunicarse matemáticamente, y la búsqueda de las conexiones de
las matemáticas con otras disciplinas.128 esa idea concibe a las matemáticas como
una disciplina falible, cambiante y similar a otras disciplinas los resultados
124 Davis P. J. y Hersh, R. The mathematical experience, Birhkaûser, Boston. 1981. Pág. 56 125 Ibídem, Pág. 58 126 Hersh, R. Some proposal for reviving the philosophy of mathematics. en T. Tymoczko (Ed.), New directions in the philosophy of mathematics. Boston: Birkhaûser, 1986. Pág. 9-28 127 Barbeau, F. E. Mathematics for the Public. Paper presented at the meeting of the International Commission on Mathematics Instruction, Leeds University, England, 1989
77
128 National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
78
producidos por las computadoras y sus aplicaciones están cambiando
profundamente la forma de desarrollar las matemáticas y su manera de
aprenderlas.129
Se identifican tres puntos de orientaciones del currículo matemático, en la
presentación del contenido matemático:130
a. El currículo francés: el cual enfatiza el aspecto formal de las
matemáticas, esta tendencia curricular también se refleja en Bélgica con el trabajo
de Georges Papy, y en Québec, Canadá, con Zoltan Dienes.
b. El currículum británico: el cual le da mucha importancia a las
aplicaciones de las matemáticas, los conceptos matemáticos deben estudiarse
gradualmente, deben ser introducidos en un nivel intuitivo y desarrollados en
paralelo con otras ideas intuitivas, de tal forma que los patrones y los marcos
lógicos emerjan gradualmente.
c. El currículum norteamericano: intenta asociar la resolución de
problemas al aprendizaje de las matemáticas.
129 Steen, L. On the shoulder of giants. New approaches to numeracy. Washington D. C.: National Research Council. 1990, Pág 84 130 Ernest, P. The knowledge, beliefs, and attitudes of the mathematics teacher: A model, British Educational Research Journal, 1989. Pág. 33-36
2.3 JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO.
Metodología de la investigación: en su origen, el método se reproduce en la
Grecia antigua, el vocablo está formado por las raíces etimológicas methodos cuya
composición meta: el sitio al que se pretende llegar; y odos que significa vía o
camino, es en síntesis la vía para llegar a una meta, esto es, dentro de las
actividades cognoscitivas, el procedimiento que se sigue para investigar y conocer la
realidad que rodea al objeto de estudio.
Se propone un modelo de evaluación con la modalidad de entrevista, el tipo de
estudio de acuerdo al proceso es deductivo es decir, va de lo general a lo particular,
así como eminentemente descriptivo y documental debido a la indagación de la
recopilación de diferentes materiales bibliográficos que dan sustento a la
investigación; por lo que la investigación es de tipo documental y descriptivo.
A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta, se
produce un cambio curricular importante en la enseñanza de las matemáticas
escolares, la nueva matemática o matemática moderna; las bases filosóficas de este
movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en 1959,
en el transcurso del mismo, se propuso “abajo Euclides”.
Es decir ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter
deductivo de la matemática y que partiera de unos axiomas básicos en
contraposición a la enseñanza falsamente axiomática de la geometría imperante en
aquellos momentos; en ese mismo seminario en otra intervención va en el mismo
sentido: “... disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los números
79
enteros, donde estudiar los principales conceptos del álgebra, como son la relación
de orden, la estructura de grupo, la de anillo ...”.131
Estas dos intervenciones se pueden considerar como paradigmas del
movimiento que se inicia, pues la primera dibuja el enfoque que ha de caracterizar la
enseñanza de la matemática y la otra cuál es el contenido más apropiado, la idea en
principio parecía bastante lógica y coherente; por un lado se pretendía transmitir a
los alumnos el carácter lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo unificar
los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y los
conceptos de relación y función de la matemática superior.
Fracasando el movimiento conocido como la matemática moderna, ya que los
alumnos no se aprenden los conceptos ni las estructuras superiores y además
siguen sin dominar las rutinas básicas del cálculo; produjo nuevos movimientos
renovadores como el denominado: retorno a lo básico: (back to basic).
Supuso para las matemáticas escolares retomar la práctica de los algoritmos y
procedimientos básicos de cálculo, después de un tiempo, se hizo evidente que tal
retorno a lo básico no era la solución razonable a la enseñanza de las matemáticas,
los alumnos en el mejor de los casos aprendían de memoria los procedimientos sin
comprenderlos; a finales de los setenta empezó a cuestionarse la propuesta “retorno
a lo básico”, como una actividad social y no sólo como campo de investigación
educativa.132
La enseñanza de las Matemáticas centrada en la Historia; es otro enfoque a
considerar, la historia de las Matemáticas se ha escuchado, es por lo general una
131 García Cruz, Juan Antonio. “La didáctica de las matemáticas: una visión general”.
http://nti.educa.rcanaria.es/rtee/didmat.htm
80
132 Freudenthal, Hans. “Mayor Problems in Matehematics Educatión”, en Educational Studies in Mathematics, Vol. 12, No. 2, 1981, Pág. 133-150. Traducción Alejandro López Yánez, UNAM, conferencia sustentada en la Sesión Plenaria del ICME 4, en Berkeley, el 10 de agosto de 1980.
pérdida de tiempo y esfuerzo, había y todavía hay una buena razón para esta actitud,
al contrario del Arte y la Literatura, las Matemáticas así como la Física y las otras
Ciencias Naturales son acumulativas, Miguel Ángel, Homero y Cervantes no han
perdido su atractivo, pero ¿quién además de un especialista, leería a Arquímedes,
Cardan o Cavalieri?.133
Los nombres de los grandes matemáticos aparecen en los libros de texto sin
mucha o ninguna explicación, como fantasmas de difuntos execrables, o como
etiquetas solamente; en el Arte y la Literatura se pone especial atención a las
personas relacionadas con las grandes obras, permanecen vivos para la posteridad
Leonardo Da Vinci, Miltón, Goethe, Whitman, etc., inclusive perduran más como
personas que autores; sus descubrimientos matemáticos fundamentales de todas las
épocas, han encontrado, por lo general, su lugar apropiado en las Matemáticas
actuales.
¡He aquí a la Historia como creadora de ideas!, pero se debe distinguir entre lo
que es un enfoque genético o evolucionista y lo que se llama enfoque metodológico,
los evolucionistas ven a las Matemáticas y a las Ciencias Sociales en general, como
el resultado preliminar de un viaje de descubrimiento contínuo, que empieza en el
pasado y se extiende hasta el presente, creando un siempre progresivo conocimiento
y entendimiento; ha habido altas y bajas, pero a largo plazo la tendencia ha sido
ascendente, los resultados del pasado han sido trasladados al lenguaje presente, el
pasado se relaciona con el presente, el resultado es en muchos aspectos una
construcción armoniosa.134
El método evolucionista, tal como sigue en los libros de historia, es lo mejor
para aquellos estudiantes que tienen curiosidad por saber que ha sucedido en las
Matemáticas en el pasado, que se relaciona con la época actual, por ejemplo el 133 Srruik, D. J. ¿Por qué estudiar historia de las Matemáticas?. The UMAP Jornal, 1980, Pág. 3-28
81
concepto de rigor está históricamente delineado, Euclides era riguroso en su época,
y fue un paradigma para siglos posteriores, pero su rigor ya no es satisfactorio: aun
el rigor de Gauss, impresionante para los primeros años del siglo XIX y en muchos
aspectos aún hoy en día, ahora requiere de precisión; debemos considerar las
demostraciones en su propio contexto contemporáneo, y se debe diferenciar lo que
en la actualidad es un error y lo que es una deficiencia en el rigor.
Todavía hay otra forma de estudiar la historia de las Matemáticas, y de la
Ciencia en general, es el lado social, la relación entre el conocimiento y la sociedad;
la Sociología del conocimiento ha recibido una considerable atención en el siglo XX y
en especial la Sociología de las Matemáticas, no es difícil encontrar la razón: las
Matemáticas han llegado a estar profundamente involucradas en materias de
importancia para la industria y el gobierno, ¿pero cuál fue su relación en el pasado?.
Hay personas que negarían ese tipo de relación, excepto en su forma más
superficial, si se habla de las Matemáticas de los babilonios, de los griegos, del
Renacimiento o de las modernas, simplemente el contexto social de las coordenadas
en el tiempo y en el espacio de dicho marco, aparte de esto, las Matemáticas son
una libre creación de la mente, el genio es un fenómeno accidental y no esta
constreñido a limites sociales.
Los sociólogos de las Matemáticas tratan de establecer la relación entre la
convulsión social y la científica, pero los períodos de gran estabilidad social, también
han dejado su huella en el género de Matemáticas que se cultivaron durante tales
períodos, como las chinas, babilonias, egipcias, que conservan su carácter esencial
durante siglos, incluso milenios, ¿cuál es la razón por la que todas estas
Matemáticas, a pesar de su aparente diversidad, tiene esencialmente un carácter
aritmético-computacional?; la prueba lógica a partir de axiomas y postulados, las
82
134 C.S. Smith, “A highly personal view of Science and its history”, Annals of Science, Num. 34, Inglaterra, 1977, Pág. 49-56
abstracciones desprovistas de aplicaciones, resultaron un rompimiento con esta
tradición, cuando apareció una nueva forma de organismo social en las playas del
Mar Egeo: las Ciudades-Estado griegas o Polis, el mundo occidental y el Medio
Oriente jamás han sido los mismos desde entonces, tampoco las Matemáticas.
¡Hay algunos rasgos de la Matemática como disciplina que pueden inferirse al
estudiar su historia?, un primera probabilidad de respuesta a esta pregunta, puede
ser: “en muchas ciencias una generación destruye lo que otra ha construido y
establece lo que la otra desecha, solamente en matemáticas cada generación
construye la nueva historia sobre la vieja estructura”.135
Pero algunos matemáticos toman la posición de que las revoluciones no
ocurren en matemáticas pero si ocurren en áreas tales como la nomenclatura, el
símbolismo y el rigor, dicha posición llega a ser más fácil de entender si se distingue
entre el contenido matemático y su forma; el contenido de la matemática consiste de
sus métodos y resultados, y la forma de esta se refiere a la notación simbólica y a las
cadenas de argumentos lógicos.
La unidad de las matemáticas se extiende notablemente a su contenido y
forma; antes señalada, aunque la demostración es parte de la forma de las
matemáticas es posible hablar del contenido de una demostración; por otro lado,
mucho contenido de la matemática no se habría descubierto si no se hubiera tenido
avances en la forma.
Los avances en la forma han facilitado también el aprendizaje de las
matemáticas, así el método de análisis aplicado a la solución de problemas
aritméticos ha puesto al alcance de la escuela moderna problemas que han
desafiado a los mejores matemáticos europeos hace mil años.
83
135 Víctor Byers. “¿Por qué estudiar historia de las Matemáticas?”. International Jornal in Mathematics .Education for Science and Technology. Vol. 13, 1982, Pág. 59-66
La enseñanza de las Matemáticas basada en la Psicología: se ha intentado por
parte de los psicólogos de dar forma a la enseñanza de las matemáticas, desde la
labor asociacionista de Edward L. Thorndike hasta los estudios actuales del
procesamiento de la información en el pensamiento matemático, pasando por la
Gestalt, la escuela de Piaget y diversas ramas de la psicología conductista y
cognitiva americana.
Es sobre todo un intento de dar forma y dirección de un sector de estudios qué
se ocupa de cómo se lleva a cabo el pensamiento matemático experto, de cómo se
desarrolla esa experiencia, y de cómo la enseñanza puede mejorar el proceso de
aprendizaje de las matemáticas, que se base tanto en la estructura del contenido
como en los principios de la cognición y del aprendizaje.
Se quiere conocer que proporción de experiencia y de intelecto hace posible
aquello que se llama capacidad matemática, no solamente como la ejecución
humana adquiere habilidad, sino cómo la ejecución humana de habilidades
matemáticamente significativas adquieren soltura y como se integran dichas
habilidades en el contexto de la resolución de problemas matemáticos; dado que la
matemática es una actividad intelectual más que física, se debe intentar comprender
lo que sucede dentro de la mente de la gente.
La psicología del aprendizaje del contenido, a principios del siglo XX los
trabajos de Thorndike fueron las primeras manifestaciones de una psicología de la
educación basada en el aprendizaje de los contenidos,136 en los años 50, los
psicólogos conductistas volvieron a interesarse por los problemas de la instrucción y
algunos sobre todo B. F. Skinner, empezó a aplicar sistemáticamente a la educación
los principios del análisis conductual y de la teoría del refuerzo.
84
136 Thorndike, E. L. Educational psychology. Vol. II. The Psychology o Learning. Nueva York: Teachers College, Columbia University, 1913.
La contribución de Thorndike a la psicología de las matemáticas consistió en
centrar la atención sobre el contenido del aprendizaje, y hacerlo además en el
contexto de un contenido determinado,137 si era cierto lo que sugería que los vínculos
se creaban a base de repetir pares de estimulo-respuesta, entonces parecía que la
labor del profesor consistía simplemente en ofrecer cantidades adecuadas de
ejercicios en un orden apropiado, para cada tipo de problema; el profesor debía
identificar el vínculo que conformaban el programa de estudios en cuestión y
ordenarlos, poniendo primero los más sencillos y colocándolos de tal forma que el
aprendizaje de los sencillos facilitase el aprendizaje de los más difíciles que
aparecerían más tarde.
A la teoría del aprendizaje de Thorndike, y al método de instrucción por medio
de ejercicios que parecía derivarse de la misma, no faltaron detractores, incluso
procedentes de la propia psicología asociacionista; en los primero tiempos surgió una
corriente poderosa que se oponía a la teoría de los vínculos, incluía entre otros a
Brownell que se contraponía por varios motivos al método de ejercicios; sin una
enseñanza cargada de significados prácticos, que sirviese para poner de manifiesto
las interrelaciones, los ejercicios de práctica servirían para que los estudiantes
concibiesen las matemáticas como “una masa de elementos no relacionados entre sí
y de datos independientes”.138
Basándose en el criterio de las variables estructurales, se descubrió que
algunas de dichas variables tenían una influencia muy marcada sobre la dificultad del
problema verbal, para dar respuestas correctas:
1) El número de operaciones aritméticas necesarias para llegar a la solución; 2) La secuencia de los problemas, es decir, si el problema se resolvía por
medio de las mismas operaciones que el anterior y en el mismo orden;
137 Thorndike, E. I. The psychology of arithmetic. Nueva York: The Mac Millan Co, 1922.
85
138 Brownell, W. A. Psychological considerations in the learning and the teaching or arithmetic. The teaching of arithmetic, the tenth tearbook of the National Council of Teachers o f Mathematics. Nueva York: Teachers College, Columbia University, 1935.
3) La longitud del problema, es decir, el numero de palabras del enunciado; 4) La variable llamada profundidad, es decir la complejidad gramatical del
enunciado; 5) Si era preciso o no una conversión de unidades de medida.
Otras variables estructurales que se habían manejado como hipótesis
resultaron ser no significativas, entre ellas el número de pasos necesarios para llegar
a la solución.139
Durante dos decenios, a partir de los 50, los enfoques conceptuales de la
pedagogía de las matemáticas consiguieron ganar cada vez más terreno a los
enfoques tradicionales basados en el cálculo, se pusieron en marcha en los Estados
Unidos proyectos entre otros, el School Mathematics Study Group (SMSG), el
Harvard Mathematics Project, el Mathematics Research Group (MERG) de la
Universidad de Pennsylvania, el Arithmetic Projet de la Universidad de Illinois, el
Madison Projet y el Minnemast Project, con el objetivo expreso de determinar cuál
era la mejor manera de enseñar los conceptos y los principios que aporten
coherencia al contenido de las matemáticas, es decir las estructuras de las
matemáticas.
Los matemáticos ofrecieron la idea de que el aprendizaje significativo sería la
consecuencia de enseñar a los estudiantes el substrato matemático de los conceptos
y de las habilidades, es decir, las estructuras de las matemáticas; en otras palabras,
abogaban por un enfoque de las matemáticas más conceptuales que de cálculo, la
significatividad de la enseñanza no sólo dependería de la relevancia de las
habilidades de cálculo en las tareas de la vida real, sino también de la medida en que
se encuadrara en la integridad del contenido de las matemáticas.
86
139 Loftus, E. F. y Suppes, P. Structural variables that determine problems-solving difficulty in computer-assisted instruction. Journal of Educational Psychology, 1972, 63 (6), Pág. 531-542
¿En que consisten exactamente las estructuras de las matemáticas?, la
mayoría de los profanos nunca han concebido las matemáticas como nada más que
una colección de procedimientos que sirven para resolver cálculos, pero cualquier
matemático sabe que las matemáticas forman un sistema unificado de conceptos y
de operaciones que explican algunos patrones y relaciones que existen en el
universo; además de conceptos y operaciones, hay declaraciones más o menos
abstractas de patrones y relaciones expresadas en forma de axiomas o de reglas en
fórmulas matemáticas que dan significado a dichos patrones en relación con los
otros, y además, existe un cuerpo de procedimientos que permite manipular
conceptos y patrones de forma ordenada y precisa.
Cuyas partes están ensambladas de forma intrincada, de hecho las
matemáticas tal como se conocen han ido evolucionando a lo largo de miles de años
por el trabajo acumulado de muchos matemáticos individuales, se puede concebir su
historia como un descubrimiento de “modelos” y de relaciones y una búsqueda
progresiva de interpretaciones simbólicas exactas de dichos fenómenos.
Si se pretende conseguir que los estudiantes más jóvenes adquieran una
comprensión de las estructuras matemáticas, se debe hacer algo más que limitarse a
señalar dichas estructuras, se debe determinar también qué capacidades
cognoscitivas aportan los alumnos al aprendizaje de las matemáticas, y como se
interrelacionan con las capacidades de los estudiantes los actos de enseñanza que
presentan dichas estructuras.140
Bruner protagonizó un resurgimiento del interés por los procesos cognoscitivos
humanos: los medios por los que los organismos consiguen, retienen y transforman
la información”,141 Piaget había sugerido que el desarrollo suponía una
reestructuración constante de los datos y de las relaciones, consecuencia de las 140 Bruner, J. S. Some theorems on instruction illustrated with reference to mathematics. The Sixtythird Yearbook of the National Society for the Study of Education, Núm. 63, 1964, Pág. 306-335
87
interacciones de los alumnos con su entorno y de su manipulación activa del mismo;
apoyándose en parte en las ideas de Piaget sobre el desarrollo, Bruner se centró
como se representan los resultados de estos episodios interactivos en la mente del
estudiante; afirma que las estructuras matemáticas se pueden ir formando en las
mentes, a base de proporcionar experiencias que permitan desarrollar
representaciones enactivas, icónicas y simbólicas de los conceptos, en ese orden, se
plantea la hipótesis de que estas representaciones mentales sean de formas o
modos en que se recuerdan las experiencias de aprendizaje, y en ultimo extremo los
conceptos.
Mucho antes de que las conferencias de 1959, en Woods Hole y de Cambridge
(Massachussets) articulasen la necesidad de enseñar las estructuras matemáticas de
manera significativa, la psicología de la “Gestalt” que se importó de Europa en los
años 20, marcaba un enfoque fundamentalmente distinto del aprendizaje, citando
datos experimentales que las teorías asociacionistas no eran capaces de explicar
fácilmente, los trabajos de Max Wertheimer, preocupado por el aprendizaje y la
enseñanza de las matemáticas, y que pretendía poder demostrar de forma
espectacular las diferencias de resultados que se podían obtener mediante el
aprendizaje puramente memorístico y mediante el aprendizaje con significado.142
La tesis central de la psicología de la “Gestalt” es que el pensamiento y la
percepción están dominados por una tendencia innata aprehender la estructura,
siendo así, la experiencia de la percepción o del pensamiento consigue una
organización que es superior a la suma de los elementos o estímulos elementales
identificables, la organización de la experiencia está controlada por la tendencia a
buscar buenas “Gestalts”, cierres o equilibrios psicológicos.
141 Bruner, J. S., Goodnow, J. J., y Austin, G. A. A study of thinking. Nueva York: Wiley, 1956.
88
142 Wertheimer, M. Untersuchung zur Lehre von der Gestalt, II, Psychologist Forshung, 1923, Pág. 301-350. Traducido y resumido como “Laws of organization in percentual forms” en W. D. Ellis (comp.), A source book of Gestalt psychology. Nueva York: Harcourt, Brace & World, 1938.
En sus presentaciones del dominio del todo sobre las partes en los problemas
matemáticos, Wertheimer intentó demostrar que la aprehensión de las estructuras
subyacentes, interpretables como estructuras matemáticas, llevaba al pensamiento
productivo y a la resolución elegante de problemas, esto se debía a que el conseguir
un “insight”, 143 sobre las estructuras del problema, el que lo abordaba comprendía la
relevancia y las funciones de los componentes del problema y de los procedimientos
conocidos de resolución, que le sugerían caminos hacia la solución.
El proceso de conseguir el “insight”, lo analizó Duncker en parte, distinguió
entre el procesamiento desde arriba, que partía del análisis de los objetivos y del
replantea miento del problema, y el procesamiento desde abajo, que partía del
análisis de los elementos del problema; la misma distinción se puede trazar en los
análisis actuales de la ejecución cognitiva, aunque puede ser más fácil estudiar en la
práctica la interrelación entre los dos tipos de procesamiento que sus diferencias.144
En un intento de desarrollar una teoría guestáltica del aprendizaje, Katona
sugirió que el aprendizaje significativo, como la resolución de problemas, dependía
de una presentación que explicitase o que permitiese al estudiante descubrir por sí
mismo la estructura matemática subyacente; si se comprendían los principios que
subyacen en el contexto del aprendizaje y de la resolución de problemas, se podían
reconstruir las soluciones, ampliarlas y recordarlas.145
Por contraste, el aprendizaje mecánico parecía limitar la capacidad del
estudiante de recordar y generalizar lo aprendido, la visión “guestáltica” de la
resolución de problemas afirma que el “insight” surge de una comprensión del
143 Este término puede traducirse aproximadamente por “comprensión súbita”, sin embargo, encierra algunos matices que dificultan enormemente la búsqueda de un término castellano con el mismo significado, habida cuenta de este hecho y de que es un término habitual en el vocabulario psicológico, se ha optado por mantenerlo sin traducir en la mayoría de los textos donde aparece citado. 144 Duncker, K. On problem-solving. Psychological Monographs, 1945, Núm. 58, Pág. 1-112
89
145 Katona, G. Organizing and memorizing: Studies in the psychology of learning and teaching. Nueva York: Hafner, 1967, Pág. 49-98
problema como un todo y de la relación de las partes con el todo, Polya, influido por
la teoría de la Gestalt, ha desarrollado una serie de pistas que animan a quien
resuelve un problema a reconsiderarlos objetivos del problema, a buscar en su
memoria problemas similares que haya resuelto antes, y analizar los materiales o los
datos del problema,146 estas pistas o sugerencias pueden resultar útiles para
promover el replanteamiento del problema y el análisis de objetivos que faciliten la
aparición del “insight”.
Para tratar el tema de la comprensión en términos de procesamiento de la
información se tiene que ampliar y explicar el concepto de la naturaleza de la
memoria a largo plazo; recordando que en casi todos los modelos de procesamiento
de la información se establece una diferencia entre la memoria de trabajo, en la que
se almacena temporalmente la información, y lo que se llama a veces memoria
semántica o memoria a largo plazo, es donde se almacena todo lo que sabe el
individuo, de forma permanente. 147
La matemática como actividad posee dos características fundamentales: una
lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un
conjunto de problemas y la otra el tratamiento específicamente matemático de las
situaciones; esta dos componentes caracterizan los diferentes estilos o enfoques en
la enseñanza de la matemática: estructuralismo, mecanicismo, empirismo y realista.
Estructuralismo: para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico
deductiva; el estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la
geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo
caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado; a los
146 Polya, G. Mathematical discovery: On understanding, learning, and the teaching problem solving. Vol. I, Nueva York: Wiley & Son. 1962, Pág. 48-79
90
147 Gagné, R. M., y Brown, L. T. Some factors in the programming of conceptual learning. Journal of Experimental Psychology, 1961, No. 62 , Pág. 313-321
alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado,
siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje.
Mecanicismo: el estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la
matemática como un conjunto de reglas, a los alumnos se les enseña las reglas y las
deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos, se presta poca
atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos y
mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido.
Empirismo: toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo
concreto, la enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias
y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el
aprendizaje.
Realista: el estilo realista parte así mismo de la realidad, pero al contrario que
en la empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la
atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc.; es una enseñanza
orientada básicamente a los procesos.148
Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay un camino, pensar uno mismo,
permitir que los alumnos participen en la construcción del conocimiento es tan
importante a más que exponerlo, hay que convencer a los estudiantes que la
matemática es interesante y no sólo un juego para los más aventajados, por lo tanto,
los problemas y la teoría deben mostrase a los estudiantes como relevante y llena de
significado; todas las propuestas que se han hecho, establecen que enseñar
ninguna, cómo enseñar; desde la psicología educativa ha habido dos contribuciones
148 Ha sido desarrollado por los miembros del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht
www.fi.uu.ni.
91
claras a la enseñanza de las matemáticas, una conforma lo que se ha dado en llamar
la corriente conductista o neoconductista y la otra la corriente cognitiva
Corriente cognitiva: a comienzos del siglo XX E. L. Thorndike inició una serie
de investigaciones en educación que caracterizarían con el paso del tiempo, a lo que
se ha de nominado como corriente conductista o neoconductista en educación
matemática; se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de
respuestas satisfactorias, ideó un tipo de entrenamiento en el que los vínculos
establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían reforzadas mediante
ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.
El propio Thorndike denominó conexionismo o asociacionismo a este tipo de
psicología; el aprendizaje es el producto de un funcionamiento cognitivo que supone
ciertas conexiones o asociaciones de estímulo y respuesta en la mente de los
individuos: por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse
sobre la base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados
de este proceso se podrían objetar en cambios observables de la conducta de los
alumnos.
En 1922 publicó su libro The Psychology of Arithmetic, en él presentaba el
principio central de su teoría del aprendizaje; todo el conocimiento incluso el más
complejo esta formado por relaciones sencillas, vínculos entre estímulos y
respuestas, así, la conducta humana, tanto de pensamiento como de obra, lo cual se
puede analizar en términos de dos sencillos elementos, si se reduce la conducta a
sus componentes más elementales, se descubría que consistía en estímulos o
sucesos exteriores a la persona y respuestas o reacción a los sucesos externos; si
se premia a una respuesta dada a un estímulo propuesto, se establece un vinculo
fuerte entre estímulo y respuesta; cuanto más se recompensa la respuesta más
fuerte se hace el vínculo y por lo tanto, se sugería que uno de los medios más
92
importantes del aprendizaje humano era la práctica seguida de recompensas (ley del
efecto).
Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética
afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado
de vínculos que conformaban la disciplina a enseñar en este caso la aritmética, una
vez formulados todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio
para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los
resultados de los alumnos, es decir el centrar la atención sobre el contenido del
aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmética.
El aprendizaje acumulativo de Gagné: el problema central aquí es la
transferencia desde un aprendizaje a otro, Robert Gagné, con su teoría del
aprendizaje acumulativo dio este paso, las tareas más sencillas funcionaban como
elementos de las complejas, así al estar las tareas más complejas formadas por
elementos identificables se posibilitaba la transferencia de lo sencillo a lo complejo,
propuso analizar las habilidades disgregándolas en subhabilidades ordenadas,
llamadas jerarquías del aprendizaje; de esta manera para una determinada habilidad
matemática, por ejemplo la suma de números enteros.
Entre las críticas más recientes al diseño de instrucción (instructional design),
pues con este termino se conoce a la tecnología educativa derivada de los trabajos
de Gagné, la más clara es la que se refiere a que el diseño de instrucción centra su
interés en una descomposición lógica de los contenidos y, por tanto, el diseño puede
hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos; de esta forma están elaborados los objetivos del programa oficial vigente de la asignatura de
matemáticas I que se imparte en el primer semestre, en el Colegio de Bachilleres.
Además, pone el énfasis en los aspectos más conductistas de lo que significa
ser competente en matemáticas definiendo “objetivos de conducta”, se presupone
93
que tal diseño debería estar en manos exclusivamente de expertos, quienes son los
indicados para establecer los contenidos, los problemas y las secuencias, no parece
que de cabida a concepciones alternativas de la actividad matemática y parece
implicar que el diseño curricular “riguroso”, al tener en cuenta la textura lógica de los
contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje.149
La cognición no comienza con los conceptos, sino todo lo contrario, los
conceptos son el resultado del proceso cognitivo,150 las matemáticas, más que
ningún otro dominio científico permite dar definiciones explícitas desde muy pronto,
por ejemplo, los números pares e impares pueden definirse a partir de los números
naturales, pero la dificulta radica en como definir a los números naturales, tales
números se generan a partir del proceso de contar, en vez de a partir de una
definición, de esta manera pasan a formar parte del sentido común.151
La teoría desarrollada por Jean Piaget: a la que denominó epistemología
genética sobre la construcción del conocimiento por los individuos, 152 su centro de
interés es la descripción del desarrollo de los esquemas cognitivos de los individuos
a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales; el principio central de
la teoría de Piaget sobre la construcción del conocimiento es la equilibración.153
Se lleva a cabo mediante dos procerosos, íntimamente relacionados y
dependientes, que son la asimilación y la acomodación; cuando un individuo se
enfrenta a una situación, en particular a un problema matemático, intenta asimilar
dicha situación a esquemas cognitivos existentes, es decir, intentar resolver tal
problema mediante los conocimientos que ya posee y que sitúan en esquemas 149 L.B. Resnick y W.W. Ford. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Paidos. Ministerio de Educación y Ciencia, España, 1990, Pág. 76 150 Freudenthal, H., Revisiting Mathematics Education. Kluwer Academic Publishers. 1991. Pág. 18 151 Shell Centre. El lenguaje de funciones y gráficas. (traducción de Félix Aguayo). Ministerio de Educación y Ciencia. Servicio Editorial Universidad del País Vasco, 1990. Pág. 29 152 Piaget, J. Y garcía, R. Psicogenésis e Historia de La Ciencia, Siglo XXI Editores, México, 1982. Pág. 74
94
conceptuales existentes, como resultado de la asimilación, el esquema cognitivo
existente se reconstruye o se expande para acomodar la situación; el binomio
asimilación-acomodación produce en los individuos una reestructuración y
reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes; si los individuos construyen su
propio conocimiento.154
La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por Piaget y es
central en su teoría de la construcción del conocimiento, Piaget llama así a la
abstracción que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los
objetos.155
La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisolubles: un proceso de
reflexión o proyección que hace pasar lo que es abstraído de un plano inferior a otro
superior, por ejemplo de la acción física a la representación mental y un producto de
la reflexión en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción
cognitiva, sobre el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano precedente.
En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre objetos
concretos, físicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y
operaciones interiorizadas actúan sobre objetos abstractos y las coordina para
formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos, siendo así que el sujeto
reconstruye lo así abstraído en un plano superior nuevo, cuyo funcionamiento es
distinto y que tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general.
Piaget señaló su carácter constructivo, por lo tanto no de descubrimiento, pues
la abstracción reflexiva consistente en traducir una sucesión de actos materiales en
153 Piaget, J. La equilibración de las estructuras cognitivas. Problema central del desarrollo. (Traducción de Eduardo Bustos). Siglo XXI, España, 1990. Pág. 31 154 García, R. La epistemología Genética y la Ciencia Contemporánea. Homenaje a Jean Piaget en su centenario. Gedisa, Barcelona, 1997. Pág. 41
95
155 Beth, E. W., y Piaget, J. Epistemología Matemática y Psicología: relaciones entre la lógica formal y el pensamiento real. Editorial Crítica. Grijalbo, Barcelona. Pág. 212
un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructuras se comprenden
en un acto simultáneo, la abstracción reflexiva se refiere, por tanto, a las acciones y
operaciones del sujeto y a los esquemas que le conducen a construir y es, por lo
tanto, puramente interna al sujeto.
Lo que constituye la génesis del conocimiento y que aporta su cualidad
constructiva son las acciones y no la mera observación; pues por medio de las
acciones se desencadena el proceso de abstracción reflexiva en el individuo y su
conclusión será la construcción mental de un nuevo ente abstracto, objeto o
concepto más general.
Procesamiento de la información: frente a la teoría de Piaget sobre la forma
en que las personas comprenden los conceptos y, a partir de ciertos estudios
realizados en el campo de la computación sobre habilidades lingüísticas de los
humanos, surge en la década de los sesenta la teoría de nominada procesamiento
de la información.
La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la
mente actúa (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo
(información); toda la información es procesada por una serie de memorias, que
procesan y almacenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas
limitaciones en su función, la combinación de tales memorias constituyen el sistema
de procesamiento de la información.
La información entra en el sistema a través de un registro de entrada sensorial
llamado a veces memoria icónica o “buffer sensorial”, esta primera memoria, es
capaz de recibir información visual, auditiva o táctil directamente del entorno y puede
recibir mucha información al mismo tiempo, pero solo puede almacenarla durante
una fracción muy pequeña del mismo después del cual se pierde;
96
97
La memoria que se encarga de recoger la información situada en el primer
componente, la memoria icónica, es la memoria de trabajo o a corto plazo, la
memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmente la información
codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de
la información, es decir, donde se realiza el proceso de pensar.
Por último se encuentra la memoria a largo plazo o semántica, en este
componente el sistema es donde se almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el
individuo de forma permanente; cómo se almacena y cómo se utiliza la memoria
semántica por el individuo es una cuestión clave en este modelo de construcción del
conocimiento por los individuos.
2.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El papel de la enseñanza de las Matemáticas: en la mayor parte de los países
avanzados se dieron importantes reformas educativas durante los años sesentas,
siendo la enseñanza de las matemáticas uno de los ejes centrales de ese proceso;
poco a poco, esos cambios conceptuales fueron pasando a otros países y fueron
adoptando diferentes formas, de acuerdo, por supuesto, con las características del
medio local y la influencia de educadores y científicos prominentes.
A esas primeras reformas se sucedieron otras como respuesta a importantes
críticas y reacciones y, posteriormente como respuesta a los avances tecnológicos,
fundamentalmente a la introducción de las computadoras en la enseñanza, pero no
todo el mundo esta de acuerdo con estas reformas educativas;156 fracaso de las
reformas que muchos matemáticos y educadores tienen, sin embargo, la lista de
personalidades que han intervenido en las modificaciones conceptuales de los
planes y programas de estudio en los niveles medio superior en los diferentes países
es impresionante, ¿qué es lo que ha fallado?.157
En todos los períodos de desenvolvimiento cultural, las matemáticas han sido
reconocidas como uno de los altos valores del conocimiento humano, en el siglo
XVIII, toda persona educada se sentía obligada tanto a estar al corriente de los
avances científicos importantes como a conocer la última obra del poeta de moda; en
nuestra época, aunque el conocimiento del público medio acerca de los avances
científicos es muy pobre, se reconoce a las matemáticas como el fundamento de
todas las ciencias y la tecnología, la importancia de la enseñanza de las matemáticas 156 José Antonio de la Peña. “La enseñanza de las Matemáticas: la crisis de las reformas”, publicado en Universidad de México, El Universo de las Matemáticas. Revista de la Universidad Autónoma de México, marzo-abril, Número 578-579, México, 1999. Pág. 12-18 157 En los Estados Unidos se publicó en 1962 un informe llamada On the Mathematics Currículo for the High School firmado por 75 matemáticos prominentes entre los que se encontraban L. Ahlfors, G. Birkoff, H. Coxeter,
98
va, sin embargo, mucho más allá; en el nivel medio superior, se considera a las
matemáticas como la introducción al pensamiento lógico y sistemático.
A lo largo de los años, las matemáticas fueron ganando espacio en la
enseñanza, en cierto momento, las matemáticas pasaron a jugar en Francia el papel
que antes correspondía al latín;158 sin embargo, a lo largo de siglos, el contenido de
los programas de matemáticas en el nivel medio superior se mantenía esencialmente
constante y no distaba mucho de los conocimientos que ya tenían los griegos
clásicos; se enseña aritmética poniendo énfasis en el desarrollo de las habilidades
para llevar a cabo operaciones mentalmente y se enseña geometría siguiendo el
método axiomático trazado en los Elementos de Euclides.159
Para algunos autores, 160 la fecha en que arranca la primera gran reforma en la
enseñanza de las matemáticas puede fijarse con la llamada teoría de conjuntos que
fue desarrollada a finales de siglo XIX y principios del XX principalmente por el
matemático Georg Cantor, esta teoría permite formular con claridad ideas intuitivas
tales como el infinito y cardinalidad de un conjunto, y permitió demostrar formalmente
que hay conjuntos infinitos que tienen diferente cantidad de elementos, sin embargo,
el álgebra de los conjuntos, es decir las reglas de operación: intersección, unión,
diferencia, etc., entre conjuntos habían sido definidas y estudiadas años atrás por el
matemático George Boole; para principios del siglo XX se consideraba a la teoría de
conjuntos como la base fundamental de todas las matemáticas. G. Polya y otros. En Europa, la influencia en diferentes momentos de J. Piaget, G. Papy, H. Freudenthal, J. Leray, J. Dieudonné y R. TOM ha sido notable. 158 P. Samuel, “Mathématiques, latin et sélection des elites”, en R. Jaulin (ed.), Pouquoi la Mathématique?. En este sentido es digno de mencionar que la reforma educativa en tiempos de Napoleón incluía a las matemáticas y al latín como el centro de la enseñanza. 159 Otra característica históricamente importante de la enseñanza de las matemáticas consistía en que éstas no eran consideradas propias para las mujeres, todavía en 1963 el reporte oficial de la educación inglesa, conocido como Newsom Report, recomendaba que las muchachas hicieran a un lado el estudio de las matemáticas para favorecer el estudio de las humanidades.
99
En ciencias, el orden lógico en que se puede presentar una disciplina en los
textos no es, en general, el orden histórico en que los descubrimientos fueron
hechos, en matemáticas, el método axiomático iniciado por Euclides, alcanza su
culminación con el uso sistemático de la teoría de conjuntos llevado a cabo por
Nicolás Bourbaki,161 que a partir de 1940 inicia la publicación de una magna obra que
pretende presentar todas las matemáticas, según este enfoque, hay tres tipos
fundamentales de estructuras en matemáticas: algebraicas, de orden y topológicas; a
partir de las cuales se pueden desarrollar los demás conceptos matemáticos.162
Las primeras reacciones contra la reforma en la enseñanza de las matemáticas
se dieron probablemente en Francia, se hace una crítica severa tanto al optimismo
excesivo generado por el uso de la teoría de conjuntos elemental como la manera en
que se enseña. 163 en la Gran Bretaña la reacción fue más lenta.
En 1976, un reporte del Ministerio de Educación culpaba de los fracasos a los
profesores y no a los métodos de enseñanza, sin embargo, para 1988 se aprobó el
Education Act que se alejaba deliberadamente de la filosofía del Comité Plowden;164
en los Estado Unidos en donde se señalaba una serie de errores en los programas
reformados, como empleo injustificado y abundante de símbolos, vocabulario
pedante, olvido de motivaciones físicas, pobreza de los ejercicios, mediocridad de los
autores de los programas, entre otros.165
160 Morris Kline, Why Johnny Can’t Add: the Failure of the New Math, St. Martin Press, 1973. 161 Nicolás Bourbaki es el nombre genérico usado por un grupo de distinguidos matemáticos franceses, entre los que se cuentan Cartan, Dieudonné, Chevalley, Weil, Serre; el nombre recuerda a un militar del ejercito suizo que perdió todas las batallas en las que participó. 162 Véase por ejemplo, J. Piaget, L’enseigement des mathématiques. Neuchatel, 1955, y Remarques sur l’éducation mathématique, Math. Ecole 58, 1973. Según Piaget, aparecen en el niño, en primer lugar, las nociones algebraicas, tales como A – A = 0; en segundo lugar, las estructuras de orden, tales como las seriaciones; por último, aparecen las nociones topológicas, tales como la idea de conjuntos, separación, etcétera. 163 René thom, Les mathématiques modernes: une erreur pédagogique et philosophique?. L’age de la Science 3, 1970. Resulta interesante que este artículo fue escrito antes de que en México comenzara a enseñarse la teoría de conjuntos. 164 Véase el artículo”Plowden’s Progress”, en The Economist, junio 20-26, 1998. El informe en que se basó el Acta de Educación de 1988 criticaba principalmente las ideas de Piaget que durante veinte años habian evitado que los maestros tomaran una parte más activa en el aprendizaje de los alumnos.
100
165. Kline, Morris. El fracaso de la matemática moderna. ¿Por qué Juanito no sabe sumar?. Ed Siglo XXI, 14° Ed., México, 1996, p. 147.
En un número reciente del Notices de la American Mathematical Society dice
que “el modelo actual de educación matemática [en los Estados Unidos, se entiende]
probablemente va a ser recordado en la historia de la educación como un fracaso
espectacular”, 166 y al igual que los alumnos del Plantel 3 Iztacalco del Colegio de
Bachilleres, informa que muchos de los estudiantes que ingresan a la universidad no
saben mucho de aritmética o álgebra, no pueden trabajar en un nivel abstracto y no
pueden relacionar las matemáticas con el mundo a su alrededor.
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publicó el Curriculum
and Evaluation Standards for School Mathematics donde evaluó el estado de la
enseñanza de las matemáticas en los diferentes niveles y hace propuestas para
mejorar el contenido y métodos de enseñanza, la meta es lograr que los estudiantes
desde el nivel elemental hasta el nivel medio superior, consigan:
1) Aprender el valor de las matemáticas; 2) Confiar en sus habilidades matemáticas; 3) Aprender a resolver problemas matemáticos; 4) Aprender a comunicarse matemáticamente; 5) Aprender a razonar matemáticamente.
Por supuesto, estas metas son muy ambiciosas, para lograrlas se requerirá de
cursos especiales de preparación para los actuales maestros de matemáticas y una
mejora sustancial en la preparación de los futuros maestros; la reforma emprendida
en México en los noventas al parecer cuenta con un amplio apoyo de los
maestros.167 Sin embargo el énfasis de la enseñanza de las matemáticas sigue
estando en las mecanizaciones; en todo caso la SEP debería investigar
cuidadosamente cuáles son las habilidades que los profesores están realmente
166 Ronman Kossak, “Why Are We Learning this?, Notices AMS, diciembre, 1995, en su artículo, Kossak crítica muchas de las premisas usadas por la comisión que preparaba el NCTM Standards.
101
167 Véase, por ejemplo, J. A. Pescador Osuna, “Evaluación de la Reforma 1992”, en Educación 2001, núm. 39, 1998. En este artículo se informa que la actitud de los maestros hacia la reforma educativa era favorable en 80% en 1992 y continua siéndolo en 66% en 1998, factores limitantes del optimismo respecto alas reformas son, por supuesto, las condiciones económicas, así como la falta de programas efectivos de preparación, actualización y superación profesional para el maestro.
desarrollando entre sus alumnos y debería de capacitarlos para que las metas
deseadas puedan ser alcanzadas.168
El planteamiento del problema objeto de la investigación contempla a la
comprensión de las Matemáticas como una actividad compleja cognitiva de
procesamiento de información, cuyo objetivo es la comprensión del mensaje escrito,
es decir es la aplicación de estrategias cognitivas, procedimientos u operaciones
mentales que realiza el alumno lector durante el procesamiento de información del
texto de matemáticas con el objetivo de comprender su significado.
Centrando la actuación sobre la reflexión de la práctica en el aula, donde el
enseñar se basa en el pensar, hasta hace algunos años, dominar las operaciones
algebraicas y aprender una serie de algoritmos era indicador fundamental de ser
competente en matemáticas. 169
La evaluación 170 proporciona un juicio sobre la calidad de los procesos 171 y
resultados obtenidos, así como la introducción de las modificaciones y rectificaciones
que se estimen necesarios para lograr un alumno activo, efectivo, estratégico,
autónomo, cooperativo y responsable.
La metacognición de la comprensión de las Matemáticas, será el conocimiento
de la naturaleza de los procesos y estrategias 172 que el alumno lector ejecuta
cuando se enfrenta a la abstracción de un enunciado verbal, de un texto escrito o con
gráficas e imágenes y traducirlos a una expresión algebraica; así como el control que
168 Algunos datos para documentar la afirmación propuesta, respecto a los resultados que se han obtenido en la educación matemática en 1990, se llevaron a cabo dos exámenes nacionales, el análisis de los resultados lo presentó Gilberto Guevara Niebla en “México:¿un país de reprobados?”, Nexos, 162, junio, 1991, esta materia fue la de menor promedio entre las otras que formaron parte del examen. 169 Santos Trigo, Luz Manuel. Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, 2° Ed., México, 1997, p. 7l. 170 Novak, Joseph D. Aprendiendo a aprender. Ed. Martínez Roca, Barcelona, 1999, p. 135. 171 Kline, Morris. El fracaso de la matemática moderna. ¿Por qué Juanito no sabe sumar?. Ed Siglo XXI, 14° Ed., México, 1996, p. 141.
102172 Polya, G. ¿Cómo plantear y resolver problemas?. Ed. Trillas, 16° Ed., México, 1990, p. 164.
103
pueda ejercer sobre dichos procesos y estrategias a fin de optimizar la comprensión
misma.173
¿Qué no hace?; debido a que la comprensión de las matemáticas, con
símbolos, operaciones y gráficas, es una temática difícil y de la que el alumno tiene
poca información, exige más tiempo y esfuerzo que si se trata de una interpretación
más fácil y familiar, como es el caso de un problema social. 174,
-¿Para qué lo hace?; al enfrentarse ante la abstracción de un problema de la
naturaleza va con unos determinados objetivos y expectativas desde los cuales
interpreta el mensaje verbal o escrito, para alcanzar una definición algebraica
adecuada.175 para lo cual orienta sus conocimientos de tipo sintáctico, que ponen en
relación los símbolos matemáticos y algebraicos, constituyendo unidades mayores
como las ecuaciones con una estructura determinada, integrando los conocimientos
previos y con el contexto situacional e intencionalidad.176
Con el fin de ubicar y precisar los elementos fundamentales de la problemática
se establece el objeto de estudio; bajo el enunciado: Otra visión de la aplicación
didáctica del programa de Matemáticas I en el Colegio de Bachilleres en el D. F; da
lugar al diseño, ensayo y aplicación de instrumentos de evaluación de la didáctica
matemática empleada por los docentes de matemáticas I (variable independiente), al
interior del aula, en el Plantel 03 Iztacalco perteneciente al Colegio de Bachilleres, en
el turno matutino, como un medio para el desarrollo del pensamiento matemático del
alumno (variable dependiente).
173 Cuevas Aguilar, Silvia. Didáctica de la Aritmética y la geometría. SEP, Biblioteca Pedagógica de Mejoramiento Profesional No. 56, México, 1969, p. 101. 174 Peterson. Teoría de la aritmética. Ed. LIMUSA, 14° Ed. México, 1996, p. 291. 175 Para una discusión de este punto véase: José Antonio de la Peña. “Matemáticas para hermeneutas”, revista Universidad de México, núm. 566, 1998.248 176 Un ejemplo de la alarmante ignorancia de conocimientos científicos por el público en general queda mostrada en una reciente encuesta, por la Scientific American, septiembre, 1998. Pág. 13, a la pregunta”¿Cuánto tiempo tarda la tierra en dar una vuelta alrededor del Sol?, sólo contestaron correctamente el 70% de los encuestados en la Ciudad de México, en los Estados Unidos fue de 48% de los encuestados.
2.5 PLANTEAMIENTO DE LA HIPOTESIS.
La formulación de la hipótesis: implica el reconocimiento lo más completo
posible de la situación objeto de estudio determinando posibles fuente como:
La simple reflexión. Escenas cotidianas de la comunidad. Relaciones en la comunidad. Formas y culturas no valoradas. Metodología, técnicas y procedimientos del área objeto de estudio. Tradiciones olvidadas o en conflicto. Prácticas dominantes y emergentes. Consultas y charlas con colegas y/o asesores. Lagunas, deficiencias. Experiencias previas. Distinguir entre causas y efectos, síntomas y problema. Establecimiento de necesidades.. Inventario de recursos. Definición de alternativas más factibles.
Toda investigación se inicia con la identificación de una cuestión a resolver, la
cual debe reunir dos condiciones básicas: poseer cierta relevancia científico-social y
ser susceptible de análisis, y lo que se requiere para su mejoramiento.177 el problema
detectado es realmente ¿por qué los jóvenes no aprenden matemáticas como
debieran?.
La enseñanza aprendizaje de las matemáticas en el aula del Plantel 3 Iztacalco
del Colegio de Bachilleres es interpretada como una situación de interacción humana
en un ambiente institucionalizado, este análisis se emplea para identificar el proceso
oculto en el salón de clase, y por tanto la constitución del significado a través de la
interacción humana, el impacto del ambiente institucional, el desarrollo de la
104
177 Freudenthal, Ham, “Mayor Problems in Mathematics Education”, en Educational Studies in Mathematics, vol. 12, No. 12. 1981, pp. 133-150. Traducción Alejandro López Yánez, UNAM.
personalidad y el proceso de reducción de la complejidad del aula; de ahí, se
desprenden experiencias que reflejan la realidad del salón de clases.
Clave del proceso de investigación es la captación de la información que
permita delimitar el tema y ayude a avanzar en el análisis de la realidad problemática
y la comprobación de las características cuantificables de dichos instrumentos
constituyen los objetivos básicos que debe cubrir el aparato dedicado a la medición,
cuya información no sea únicamente de índole cuantitativa, sino también cualitativa.
También hay que tener presente que no se trata de evaluar a las personas, sino
de evaluar los procesos en que ellas están implicadas o de los que son
responsables, es esencial darse cuenta de que no se evalúa, única o
fundamentalmente, para rendir cuentas sino que el valor ético y social más
importante de la evaluación es su capacidad para vislumbrar el estado de las cosas,
valorarlo juzgarlo, diagnostico y ofrecer información que ayude a tomar decisiones en
colaboración para la mejora del tema objeto de investigación.
El proceso de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede verse más
adecuadamente como una interacción que forma una parte distintiva de la vida del
participante, hay cuatro aspectos al respecto que merecen una discusión más
detallada puesto que representan áreas de la investigación.178
1º La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se realizan a través de la
interacción humana, es un tipo de influencia mutua, una interdependencia de las
acciones a muchos niveles tanto del maestro como del alumno; no es una relación
unilateral de emisor-receptor, inevitablemente, el encuentro inicial del alumno con las
matemáticas está mediado por los padres, compañeros de juego y maestros.
105
178 Bauersfeld, Henrich, “Hidden dimensions in the oo-called reality of mathematics classroom”, en Educational Studies in Mathematics, Vol. II, No. 1, 1980, Traducción Alberto Díaz Cadena, CELE, UNAM.
La reconstrucción del alumno del significado matemático es una construcción
vía negociación social de lo que quiere decir y de cuál actuación del significado
obtiene la sanción del maestro o compañero, ¿cómo se puede esperar encontrar
información adecuada acerca de la enseñanza y del aprendizaje cuando se descuida
la constitución de interacción de los significados individuales?.
2º La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se realiza en instituciones
que la sociedad ha establecido explícitamente para producir significados compartidos
entre sus miembros, los cuales representan y reproducen a sus instituciones y por
eso los primeros tienen impactos característicos sobre las interacciones humanas
dentro de lo institucional.
3º La enseñanza-aprendizaje de las matemáticas constituye una parte distintiva
de la vida del estudiante, al igual que la del maestro, cualquiera que sea activo en las
matemáticas, aprenderá algo acerca de sí mismo. Especialmente debido a que la
actividad sucede en situaciones de interacción, por otra parte, sólo se puede
aprender matemáticas si se involucra uno de modo activo, su conocimiento previo de
las materias y acciones relacionadas.
Por lo tanto la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas se encuentra
profundamente relacionada con el mundo de los símbolos y significados creados por
el hombre, con el sentido común y con la vida cotidiana; la enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas depende de las condiciones sociales e históricas, ¿cómo se puede
hacer predicciones de las habilidades matemáticas de un alumno y de sus
oportunidades para desarrollar estas habilidades?, si no es por medio de la
cuidadosa relación de tales enunciados con su personalidad y antecedentes.
4º Los científicos no son los únicos que tienen problemas para tratar asuntos
altamente complejos, la orientación de las acciones y decisiones en el salón de
clases continuamente requiere una disminución de la complejidad.
106
107
Hasta la fecha, el análisis ha sido incapaz de reducir las complejidades dentro
del aula de las matemáticas, con el propósito de guiar las decisiones del profesor;
donde resulta determinante la comprensión de las matemáticas para tener
significaciones; pues con estas es posible descubrir normas, como un medio para el
desarrollo del pensamiento en sus tres niveles: conocimiento, comprensión y
aplicación;
Ya que hay que saber lo que se hace al hacer esto o aquello para provocar la
superación de lo intuitivo a lo formal, cuya estructuración o construcción requiere de
dos métodos: la intuición y el formalismo; presentes tanto en las llamadas
matemáticas tradicionales como en las matemáticas modernas.
Los rubros anteriormente especificados confluyen con la importancia que los
implica en el siguiente enunciado de la investigación: ¿cómo influye en los alumnos la falta de innovación didáctica por parte de los profesores en el proceso de Enseñanza-Aprendizaje de los contenidos curriculares que se imparten en el programa de Matemáticas I del primer semestre del Plantel 03 Iztacalco del Colegio de Bachilleres?.
2.6 OBJETIVO.
Propósitos u objetivos de la investigación: cada vez son más los pedagogos,
matemáticos y maestros de matemáticas que reconocen explícitamente el hecho de
que las posiciones filosóficos y las teorías epistemológicas relativas al conocimiento
matemático ejercen una influencia determinante sobre la educación matemática.
No sólo en la labor que realiza el docente en el interior del aula sino aquellos
otros factores que intervienen y hacen posible que la matemática se enseñe y se
aprenda como son el diseño y el desarrollo de planes y programas de estudio.179
Se distinguen claramente dos grandes tradiciones científicas: la que privilegia
las explicaciones dadas en términos de finalidades, de intervenciones, de motivos y
de razones —la tradición hermenéutica (comprender)— y la que identifica la
explicación científica con la explicación casual y deja poco espacio a las finalidades
—la tradición positivista; que es de naturaleza causal y consistente en subordinar los
casos particulares a las leyes generales.
Por lo que se refiere a los procedimientos metodológicos, el enfoque positivista-
cuantitativo, en cuanto adopta el método de las ciencias naturales, implica el análisis
de los fenómenos observables que son susceptibles de medición, análisis
matemático y control experimental.
La validez interna y la fiabilidad son requisitos básicos del rigor y la credibilidad
científica; el control experimental, la observación sistemática del comportamiento y la
correlación son los procedimientos fundamentales para conseguir el rigor del método
científico [Fig. 31]:
108
179 J.J. Gordon, William. “Sintáctica: el desarrollo de la capacidad creadora”, Ed. Herrero Hermanos, México, 1963, p.37.
Racionalista
Naturalista
Fig. 31 Los paradigmas racionalista y naturalista
Naturaleza de la realidad
Supuesto que haya una realidad única.
Supuesto que hay múltiples realidades.
Interrelación.
Naturaleza de la relación
investigación-objeto
El investigador se distancia del objeto de
la investigación.
El investigador y las personas investigadas
están interrelacionados,
se influyen.
Naturaleza de los
enunciados legales Es la posible la generalización.
No es posible la generalización.
Métodos Preferencia cuantitativa.
Preferencia cualitativa.
Criterios de la
calidad Validez interna o rigor.
Validez externa o relevancia.
Fuentes de la teoría Preferencia del tipo
hipotético-deductivo.
Teoría que nace de los datos de
la práctica.
Diseño Preestructurado y
descrito paso a paso y previamente.
Abierto, emergente, flexible; se desarrolla y evoluciona
durante la investigación.
Escenario Controlado, de
laboratorio. En el mundo real.
109
El enfoque cuantitativo se plantea como alternativa al paradigma positivo, al
haberse constatado que las investigaciones llevadas a cabo bajo aquellos supuestos
han planteado cuestiones equivocadas, han seguido métodos muy restrictivos y han
contribuido de forma precaria e insignificante tanto a la comprensión de los
fenómenos y acontecimientos que ocurren en el interior del aula como, en especial, a
su regulación normativa.
El paradigma cualitativo se puede entender, como el conjunto de posiciones
interrelacionadas respecto al mundo social que proporciona un marco filosófico para
el estudio organizado del mismo, un paradigma representa una “matriz disciplinar”
que abarca generalizaciones, supuestos, valores, creencias y ejemplos compartidos
de lo que contribuye el interés profundo de una disciplina; el paradigma proporciona
a cada disciplina un marco en el que los fenómenos pueden ser significativamente
analizados y se orienta hacia el desarrollo de un esquema aclaratorio (modelos y
teorías) que permite situar los problemas y las cuestiones en un marco de búsqueda
de soluciones, así se tiene [Fig. 32]:
Investigación educativa Investigación sobre la
educación
Construye un concepto de
acción desde la perspectiva que los
participantes tienen de ella.
Conceptualiza desde una perspectiva más allá
de la acción.
Fig. 32 Diferencias entre la
Emplea conceptos para sintetizar la
particularidad de las situaciones.
Emplea conceptos definitivos, definidos operacionalmente,
necesarios para realizar generalizaciones.
investigación educativa y la investigación sobre la educación
Utiliza datos cualitativos. Utiliza datos cuantitativos.
Busca una teoría de la acción
en la clase.
Pretende elaborar una teoría formal.
Su método básico es el
estudio de casos. Emplea el método experimental.
La investigación la validen docentes y alumnos.
Pretende generalizaciones formales por medio
de los procedimientos científicos.
Los conceptos se
desarrollan y revisan mientras se estudia el caso.
Los conceptos se definen a priori.
Participación del profesorado y el alumnado.
Profesorado y alumnado son sólo objeto
de investigación.
La observación es
participativa. La observación se realiza desde fuera con categorías prefijadas.
110
El paradigma sociocrítico: el mejor precedente de este enfoque lo estableció
P. Freire, en la actualidad, los principales autores que se ocupan del paradigma socio
crítico son J. Habermas, T. S. Popkewitz, H. Giroux, M. Apple, W. Carr y S. Kemmis;
de acuerdo con este paradigma, la enseñanza debe situarse en contextos
sociopolíticos, de intereses y valores, de conflictos, por lo cual se concibe la realidad
social como el punto de partida de los fenómenos educativos; en este sentido, la
investigación tiene que comprometerse ante conflictos para transformar la realidad;
se aspira a construir una teoría que desde la reflexión en la acción, desde la praxis
como encuentro crítico entre teoría y práctica, trate de orientar la actividad educativa
[Fig.33].
Power Empírico Interpretativo Crítico
Fig. 33 Enfoques de los
paradigmas en la actualidad.
Kemmis y
Carr Positivista Interpretativo Sociocrítico Martín Reproductivo Constructivo Reconstructivo Habermas Empírico-
analítico Hermenéutico Crítico Giroux Empírico-
analítico Hermenéutico Sociocrítico
La clásica división entre paradigma cuantitativo y paradigma cualitativo se ha
enriquecido o ampliado en los últimos años con diferenciales aportaciones, sobre
todo al enfoque cualitativo, de las que se han derivado dos concepciones: la
interpretativa y la crítica, los trabajos de W. Carr y S. Kemmis, J Habermas, S.
Grundy, etcétera, con mayor o menor atención sobre lo didáctico y lo curricular,
enriquecen las concepciones actuales; ofrece posibilidades para lograr una
transformación del sistema educativo a través de la formación del profesorado como
agente activo y crítico de la enseñanza.
111
Los nuevos paradigmas, orientado hacía los análisis sobre la enseñanza y su
contexto, y tratan de averiguar qué hay detrás de la actuación cognitivas implícitas en
los procesos de enseñanza / aprendizaje; en la investigación se pretende determinar
la comprensión de las matemáticas por parte de los alumnos de primer semestre
turno matutino del Plantel 3 Iztacalco del Colegio de Bachilleres, en términos
operativos del diagnóstico se consideran los siguientes aspectos:
• Sistematización de la información: a partir de los resultados de fin de cursos, el cual se llevó a cabo con el grupo 119 de 1er.semestre en el Ciclo Escolar 2000: en el Plantel 03 Iztacalco del Colegio de bachilleres, ubicada en Av. Troncoso y Francisco del Paso esquina Av. Girasoles, Col. Picos, Delegación Iztacalco.
• Naturaleza y magnitud de las necesidades: con las lecturas,
considerándolas como actividades básicas que tenían una relación directa con la asignatura, debido a la dificultad en comprender el contenido de ellas a partir de las estrategias solicitadas, pero esto se puede interpretar a la falta del habito de la lectura por parte de los alumnos.
• Factores más relevantes: por su carácter formativo las matemáticas
son una disciplina fundamental para lograr los propósitos del área de formación básica.
En la actualidad el conocimiento y la innovación, están considerándose como
fuerza productiva180, para acceder a ello, es necesario que los educandos desarrollen
a su máxima capacidad su pensamiento creativo, la imaginación, la habilidad para
resolver cualquier problema de matemáticas que se le presente, sólo así estarán en
condiciones de conocer y transformar su realidad.181
Objetivos que se persiguen en el trabajo: dentro del contexto de la educación
media superior en el Colegio de Bachilleres, resulta determinante la comprensión
180 La versión original fue escrita por José Antonio Aguilar, de IDEA, consultores en educación, para el Programa Regional de Desarrollo Educativo, de la Organización de Estados Americanos.
112
181 Aguilar, José Antonio y Block, Alberto. Planeación escolar y formulación de proyectos. Ed. Trillas, México, 1975, pp. 46-55.
113
matemática del alumno, como un medio para el desarrollo del pensamiento
matemático en sus tres niveles; conocimiento, comprensión y aplicación; para
provocar la superación de lo intuitivo a lo formal; concebidos y formulados como una
descripción de los resultados generales que deben obtenerse en el proceso
educativo al impartirse la signatura de Matemáticas i,, como una mejor respuesta de
la institución para satisfacer a un conjunto de necesidades sociales actuales:
Como objetivo general:
Se puede considerar: diseñar e implantar una guía didáctica de Matemáticas I,
basada en acciones didácticas adecuadas que cubran los contenidos curriculares del
programa de Matemáticas I (álgebra) desde un enfoque constructivista y permita a
los alumnos adquirir la comprensión lectora en el área que les permita adquirir la
comprensión matemática y dominar los contenidos programáticos.
Como objetivos específicos se pueden considerar:
I. Analizar los contenidos curriculares del programa de Matemáticas I del
Plan de estudios de Matemáticas del Colegio de Bachilleres y confrontarlo con
los contenidos didácticos de los fascículos de Matemáticas I, editados por la
propia Institución;
II. Realizar un diagnostico que identifique y confirme la problemática
propuesta para la investigación, de la falta de innovación didáctica de los
contenidos curriculares de la asignatura de Matemáticas I: álgebra, en el
Plantel 03 Iztacalco, como principal obstáculo para que los alumnos no
adquieran la compresión matemática en el área;
III. Realizar un diagnóstico que identifique y confirme la problemática.
2.7 POBLACIÓN QUE PRESENTA LA PROBLEMÁTICA.
Importancia de la Educación Media Superior: las características actuales de la
economía y de la sociedad están cambiando de manera vertiginosa, estos cambios
ejercen una fuerte presión por contar con ciudadanos sólidamente preparados que
asuman los retos y las oportunidades del mundo actual y desempeñarse con
flexibilidad, creatividad y habilidad para trabajar en equipo [Fig. 34].182
Fig. 34 OFERTA
DEL
BACHILLERATO
GENERAL,
PROCESO
COMIPEMS.
En las sociedades dinámicas existe una fuerza de trabajo cuya educación
promedio mínima es de doce años, sin embargo, en México, el modelo educativo de
la media superior está estructurado para seleccionar para los estudios superiores, de
114
182 Laurence Wolff & Claudio de Moura Castro. Secondary Education in Latin America and the Caribbean: The Challenge of Growth and Reform. Inter-American Development Bank, Sustainable Development Departament, Washington D.C., January 2000. Pág. 117
tal manera que la exclusión aparece como un mecanismo que contribuye a mantener
la calidad. [Fig. 35]
Fig. 35 MATRÍCULA
DE PRIMERO
A SEXTO
SEMESTRES,
POR
PERIODO
LECTIVO Y
GÉNERO
Los intentos de conjugar crecimiento con innovación educativo de los años
setenta, reforzaron la inercia propedéutica del bachillerato [Fig. 36].
Fig. 36
MATRICULA
PROMEDIO
SEMESTRAL POR
CUATRIENIO
Ante esta situación, el modelo de educación técnica terminal, que surgió a
finales de la misma década, tampoco aseguró el éxito en la escala requerida de este
115
modelo; para los años noventa, las opciones propedéuticas retomaron tasas de
crecimiento muy altas y la educación técnica terminal dejó de crecer [Fig. 37].
Fig. 37
EGRESO
ANUAL DEL
SISTEMA
ESCOLAR,
POR GÉNERO
(%)
Estos procesos llevaron a la preparación brindada por la Educación Media
Superior del Colegio de Bachilleres muestre muchas deficiencias y disfunciones que
propician la falta de pertinencia y calidad y el alto índice de abandono escolar, que es
de un 45% respecto a los que la inician [Fig. 38].
Fig. 38 EGRESO DEL SISTEMA ESCOLAR POR CUATRIENIO Egreso
histórico del
sistema
escolar al 18
de agosto de
2002: 257,825
egresados
116
A pesar de que desde hace más de veinte años se ha aceptado que “el
bachillerato tiene un carácter esencialmente formativo, integral y propedéutico con
objetivos propios, destinados a impartir conocimientos y desarrollar habilidades que
proporcionen al educando una visión universal, vinculada a su vez con la realidad del
país y de cada una de sus regiones, que le permitan comprender su sociedad y lo
prepare para su posible incorporación al trabajo productivo”,183 en la realidad no ha
sido posible llevarlo a instrumentación alguna.[Fig. 39]
Fig. 39
SISTEMA
ESCOLAR
APROBACIÓN Y
PERMANENCIA
Por lo que la población que presenta la problemática, son todos los alumnos inscritos en el Colegio de Bachilleres, a nivel Nacional.
117183 Acuerdo No. 71, Artículo Primero, 28 de enero de 1982.
2.8 SELECCIÓN DE LA MUESTRA.
Diseño de la muestra: si fuera posible, debiera investigarse toda la población,
en la mayoría de los casos, la población es muy numerosa y el tiempo así como el
presupuesto del investigador son limitados; por lo tanto, debe efectuarse una
representación al azar de la población
El tipo de diseño de la muestra que debe utilizarse depende del objetivo del
estudio y de la unidad de análisis que se utilizará, de su distribución geográfica y de
la distribución de las otras variables fundamentales; hay varias maneras de construir
muestras, y la pregunta que tiene que responder el investigador es qué representa
realmente la muestra para su estudio, en el caso de que el estudio sea descriptivo y
se quiera predecir la distribución en la población (valores paramétricos) la muestra
debe ser probabilística; pero, cuando el estudio tiene como objetivo establecer las
relaciones entre variables de tipo exploratorio, la probabilidad no es el único e
indispensable requisito.
Para mostrar la relación entre la fuerza de gravedad, tiempo y longitud, Newton
no necesitó recurrir a una muestra representativa de todos los objetos pesados del
mundo, para incluirlos en una situación experimental; no es necesario que el
investigador domine, en un estudio sociológico, cada aspecto teórico de la muestra,
pero sí es un requisito indispensable la cooperación de una estadística en el caso de
que sea necesario; desgraciadamente los diseños de muestras demasiado complejos
no pueden ser aplicados, puesto que las informaciones fundamentales en las cuales
la muestra ha sido tomada son incompletas, impracticables, etc.
Teorización en la investigación: partiendo de que existen dos niveles de
teorización: el nivel taxonómico, donde se hace hincapié en las definiciones y cuyo
resultado será una taxonomia o una tipología o un esquema clasificatorio; y de un
118
nivel teórico proposicional, con el propósito de explicar de la forma más apropiada, a
los fenómenos sociales, entre ellas la probabilística.184
Considerando conceptos y constructos que son introducidos en la teoría por
medio de definiciones o por medio de operaciones, en le caso de las ciencias
empíricas se trata de desarrollar un sistema conceptual que tanto en el ámbito de
definiciones nominales como de definiciones operacionales permitan el contraste de
la teoría con la realidad.
Las variables entonces describen los fenómenos y en general tienden a ser de
dos tipos: variables categóricas que son complejas y que se miden en el ámbito de
categorías nominales y las variables que representan dimensiones de los fenómenos
admitiendo grados de variación que se miden a niveles ordinales, intervalares o
racionales;185 ya que permite hacer más flexibles el concepto de “variable real”
tradicional, demasiado sujeto a las nociones de atributos y de naturaleza-esencia; las
variables analíticas requieren como criterio de validación solamente una reflexión
sobre los significados de las expresiones que las constituyen, mientras que las
variables empíricas requieren del análisis empírico; 186
En el presente trabajo se considera como variable dependiente el aprendizaje
del álgebra por parte de los alumnos se primer semestre en el Colegio de Bachilleres
y como variable independiente a la didáctica que emplean los docentes que imparten
la asignatura de matemáticas I.
Teoría del muestreo; “universo” o “población” son palabras utilizadas
técnicamente para referirse al conjunto total de elementos que constituyen la
población total está delimitado, pues, por problemáticas de tipo teórico; si la 184 Ernest Ángel. The Structure of Science, Problems in the Logic of Scientific Explanation. Harcourt, Brace & World, Nueva York, 1961. Pág. 56-72 185 Carl Hempel. Fundamentals of Concept Formation in Empirical Science. International Encyclopedia of Unified Sciencie. Vol. II, Núm. 7; y Hubert Blalok, Theory Construction: Prentice may, Nueva Jersey, 1969. Pág. 17-38
119
referencia es hacia individuos humanos, el universo o población estará constituido
por la población total de los alumnos del Colegio de Bachilleres de la Zona
Metropolitana.
Los parámetros poblacionales o simplemente parámetros, o valores
“verdaderos” caracterizan las distribuciones en la población o universo, éstos pueden
ser valores de ciertas distribuciones de variables aleatorias tales como la media
aritmética o la desviación estándar.
Se denomina muestra a un subconjunto del conjunto total que es el universo o
población; la teoría del muestreo tiene como propósito establecer los pasos o
procedimientos a través de los cuales sea posible hacer generalizaciones sobre la
población a partir de un subconjunto de la misma, con un grado mínimo de error.
Los valores muestrales son los estadísticos computados a partir de las
muestras, y con los cuales se buscará estimar los parámetros poblacionales; ya que
una muestra debe en general satisfacer dos condiciones;187
1) En ella debe ser posible poner a prueba hipótesis sustantivas, esto es,
proposiciones acerca de las relaciones entre variables;
2) Debe ser posible poner a prueba hipótesis de generalización, de la muestra
al universo, sobre las proposiciones establecidas en la muestra.
El problema del muestreo surge cuando la población a estudiar es demasiado
numerosa como para implicar costos de energía, tiempo y dinero insuperables para
un solo investigador, se trata entonces de seleccionar a un subconjunto que minimice
esos factores al mismo tiempo que no se produzca perdida de precisión.
186 Carl Hempel, Op. Cit. Pág. 43
120187 Galtung, J. Teoría y Métodos de la investigación Social. EUDEBA, Buenos Aires, 1966. Pág. 46-62
121
¿Cómo se decide el tamaño de la muestra?: a medida que la muestra es más
pequeña, la probabilidad de error es mayor, entonces las decisiones en la
determinación del tamaño de la muestra se plantean de la siguiente manera:
compatibilizar la disponibilidad de recursos (que normalmente son escasos) con la
precisión deseada en las estimaciones.
En otros términos seleccionar una muestra de tamaño tal que se logre un
máximo de precisión, con un tamaño mínimo de muestra;188 no interesa tanto el
tamaño exacto de la muestra como la “ganancia” en términos de significación que el
investigador puede obtener aumentando un número determinado de unidades,189
para ello es necesario conocer los valores parámetros; los niveles de significación
mayormente utilizados en ciencias sociales son de 0.05 y 0.01.
Ventajas del muestreo aleatorio simple: no supone el conocimiento previo de
ninguna de las características de la población de la cual se va a extraer la muestra,
esto es, a diferencia del muestreo estratificado, por ejemplo no es necesario conocer
la frecuencia relativa con que se dan las características poblacionales encada uno de
los estratos; esto significa que una muestra aleatoria simple está libre de los sesgos
que se pueden introducir por el uso de ponderaciones incorrectas en las unidades
muéstrales; tiende a reflejar todas las características del universo, esto es, cuando el
tamaño de la muestra crece, ésta se hace cada vez más representativa del universo
o población.
Desventajas: supone un listado completo de todas las unidades que componen
la población, obviamente en muchos casos nos se cuenta con una lista completa y
actualizada de la población; para la investigación se eligieron a los alumnos de los
grupos 102, 106 y 119 de Matemáticas I, del turno matutino, Plantel 03 Iztacalco, del
Colegio de Bachilleres.
188 Blalock, H. Social Statistics. Mc Graw Hill, Kogakusha, Tokio, 1972. (Edición en español): Estadística Social. Fondo de Cultura Económica, México, 189 Galtung, Op. Cit., Pág. 65-67
2.9 DISEÑO DEL INSTRUMENTO.
Modelo de Evaluación: un modelo de evaluación que intenta analizar el proceso
utilizado por los estudiantes para identificar a los símbolos matemáticos y la relación
que existe entre ellos; esta evaluación de los aspectos mencionados no puede ser
realizada usando solamente ejercicios para resolver con lápiz y papel, es importante
diseñar actividades adecuadas que capturen información de los momentos
identificados en el modelo, las entrevistas desempeñan una herramienta importante
en esta forma de evaluación.
Así podemos tener lo que se llama entrevista a través de un problema190 y se
pude definir como sigue:
Un estudiante se sienta ante una mesa, se le proporciona papel, lápiz u otros instrumentos, se le presenta un problema para resolver, el entrevistador este presente para recabar la información. Normalmente antes de empezar a trabajar se le pide al estudiante que hable en voz alta y explique y anote tan detalladamente como pueda lo que está haciendo y por qué decide hacerlo; todo este proceso puede ser grabado o incluso filmado. El observador toma nota durante el transcurso de la sesión e inmediatamente después puede añadir algunos comentarios que hayan resultado importantes durante el desarrollo de ésta.
Algunos aspectos que se deben de considerar son por ejemplo el grado en que
se pide al estudiante que describa sus ideas, el tiempo de verbalización y la
profundidad de las ideas, el tipo de materiales o equipo que se le proporciona y el
formato preparado por el observador o evaluador antes de la entrevista así como su
nivel de intervención por parte del entrevistador.
122
190 Davis, R. B. Learning mathematic: The cognitive science approach to mathematics education. ED. Ablex, New York, 1986. Pág. 87.
Perkins (1991) sugiere algunas ideas191 que pueden ser de utilidad en el uso de
este tipo de entrevistas, antes de comenzar la misma se recomienda al estudiante
que:
Diga lo que esta en su mente, que no se guarde lo que considera como conjeturas, ideas vagas, imágenes o intenciones.
Que hable tan continuamente como pueda, que diga algo cada cinco segundos aun si dice “estoy en blanco”.
Que hable fuerte con un tono que se escuche. Que analice las cosas como normalmente lo hace. Que no trate de describir eventos pasados, que describa lo que hace en ese momento, que no piense por un momento y luego trate de describir lo que pensaba.
En este plan general para realizar una entrevista es importante señalar que un
aspecto importante es el tipo de símbolo matemático o el tipo de problema en que interviene y que el estudiante trabajará, algunas características que debe presentar son:
Que sean un reto, que sean difíciles pero accesibles. Que demanden un plan y una reflexión, es decir que no se pueden resolver instantáneamente.
Que permitan diferentes métodos o estrategias de solución. Que algunos incluyan varias soluciones, así una solución completa puede requerir encontrar todas las soluciones o decidir cuántas soluciones existen.
Que incluya una variedad de procesos matemáticos y operaciones pro no en forma obvia o rutinaria.
Que de ser posible que el estudiante diga y anote los procesos y operaciones empleadas
Finalmente se debe reportar si el estudiante obtuvo la respuesta correcta del
problema, si lo hizo con o sin ayuda del entrevistador, indicar la cantidad de tiempo
en cada fase para obtener la solución y los comentarios pertinentes adicionales, lo
cual resalta la parte cualitativa de la evaluación.
123
191 Perkins, D.D. Knowledge as design: teaching thinking through content. In. J. B. Baron & R. J. Sternberg (Eds), Teaching thinking skills: Theory and practice. New York W. H. Freeman, 1987, pp. 62-85.
Sin embargo para aspectos de carácter cuantitativo se puede asociar una
escala que le asocie un número determinado, como por ejemplo:
Puntos. Trabajo mostrado por el estudiante. 0 – 1 Nada de trabajo o ideas sin relación. 2 –3 Identifica los símbolos o datos pero sin procedimiento alguno. 4 – 5 Usa los datos pero la estrategia no es clara. 6 – 7 Introduce un plan apropiado, pero este es incompleto. 8 – 9 Existe un plan claro y apropiado, pero hay un error en los
cálculos o la respuesta es incorrecta. 10 Selección completa y clara.
Además en el proceso de evaluación se pueden establecer algunos indicadores
asociados con la identificación semántica del símbolo matemático o con sus
relaciones en el problema pudiéndose tener las siguientes estrategias:
Solución.
Desarrollo.
Estrategias usadas.
Correcta Incorrecta Indeterminada. En blanco.
Completo. Incompleto. No requerido. Sin unidades. Sin conteo. Sin desarrollo
Operaciones numéricas. Uso del álgebra. Lista sistemática tabla o un diagrama. Ensayo y error. Búsqueda de patrones. Casos simples. Indeterminada.
A continuación se presenta un ejemplo que puede servir de guía para preparar
una entrevista, destacando el empleo de diversos métodos o formas de resolución,
los cuales no son exhaustivos ni se espera que sean los que seleccione el alumno,
siendo este:
Pedro y María visitaron una granja el fin de semana donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?.
124
Es importante que antes de realizar la entrevista se trabaje el símbolo
matemático y sus relaciones dentro de la problematización, a continuación se dan
algunas posibles soluciones:
Método pictórico este incluye el uso de figuras, dibujos o diagramas como
medio para representar al símbolo matemático, en este caso el estudiante puede
dibujar los animales o representarlos mediante un diagrama y usarlos como
referencia para aumentar la cantidad o eliminar algunos de acuerdo al número de
patas.
Método de ensayo y error este método puede ser usado originalmente por el
estudiante, pude incluir varias direcciones de acuerdo con el tipo de ensaye que elija,
como:
método de intercambio en el cual fija un número determinado de cerdos o
gallinas y los empieza a intercambiar de acuerdo al número de patas y disminuir el
número de cerdos de uno en uno compensando cada cerdo con las gallinas
correspondientes, repitiendo este procedimiento se llega a la solución del problema.
método de conteo puede iniciarse con cualquier número de gallinas y cerdos,
por ejemplo 10 gallinas y 9 cerdos, contando el total de patas se tiene que 20 + 36 =
56, se nota que faltan cuatro patas, entonces la siguiente selección pueden ser 9
gallinas y 10 cerdos, esto lleva a 18 + 40 = 58 patas, en este caso faltan 2 patas;
125
naturalmente la siguiente selección conlleva a considerar 8 gallinas y 11 cerdos, lo
que produce la solución deseada.
La construcción de una tabla puede ayudar al estudiante a seleccionar el
número sistemáticamente, por ejemplo iniciando con los casos extremos (sólo
gallinas o cerdos) y tomando en cuenta la información se puede generar:
gallinas cerdos patas
19 0 36 0 19 76
10 9 56 8 11 60
El método de correspondencia también puede aparecer en la identificación
del símbolo matemático y sus relaciones en la solución del problema, la idea es
pensar en una correspondencia entre el número de patas y cabezas, dos formas son;
• Supongamos que las gallinas se sostienen con una sola pata y que los cerdos sólo
con dos patas, entonces estarían pisando tierra solamente la mitad de las patas es
decir 30 patas.; en este número la cabeza de una gallina se cuenta solamente una
vez, mientras que la cabeza de los cerdos se cuenta dos veces, restándole a 30 el
numero de cabezas (19), resulta el número de cabezas de cerdo; esto es 30 – 19 =
11 cerdos, con esta información se tiene que hay 8 gallinas.
• Otra variante del método de correspondencia es imaginarse que todos los
animales se sostienen con dos patas, entonces habría 38 patas y 60 – 38 = 22, que
serían las patas de cerdo que faltan, entonces hay 11 cerdos.
Un método semi-algebraico este se puede identificar cuando el estudiante por
ejemplo utilice g =cantidad de gallinas y c = cantidad de cerdos; de aquí puede
escribir que g + c = 19 o g = 19 – c, tomando esto como base, el estudiante puede
explorar las posibles combinaciones que puedan satisfacer la expresión del número
de patas:
g 19 - c 2(g) + 4(19 –c) patas 4 19 – 4 2(4) + 4(15)= 68 6 19 – 6 2(6) + 4(13) = 62 8 19 - 8 2(8) + 4(11) = 60
126
Método algebraico, el álgebra también puede ayudar a resolver el problema,
una forma puede ser representando la información dada con un sistema de
ecuaciones, este sistema, que incluye dos ecuaciones con dos incógnitas, se puede
resolver utilizando los procedimientos rutinarios:
número de gallinas = x número de cerdos = y número de cabezas x + y = 19 (1) número de patas 2x + 4y = 60 (2) Multiplicando (1) por 2 y restando (2), se obtiene: 2y = 22 Así y = 11 y x = 8
Otra representación algebraica donde se incluya solamente una variable, por
ejemplo x puede representar el número de gallinas y (19 – x) el número de cerdos,
esto lleva a que
2x + 4(19 – x) = 60,
es decir 2x + 76 – 4x = 60,
de donde x = 8.
Método gráfico:
127
Preguntas potenciales para ayudar al estudiante en el desarrollo de la
entrevista (en caso de que se requiera):
¿De que trata el problema?. Entendimiento general del
símbolo matemático del
enunciado del problema:
Entiendo la relación entre
el número de cabezas y
patas:
¿Puedes explicar con tus propias palabras de que se trata el problema? ¿Qué es lo que sabes?, ¿Qué a lo que se quiere encontrar?. ¿Qué número de patas le corresponde a cada cabeza?.
Diseño de un plan y su implantación.
Exploración:
Selección y uso de
“estimación”:
Selección y uso de
“ensayo y error”:
Selección y uso de
“eliminación de
posibilidades”:
Selección y uso de un
método algebraico
¿Tienes alguna idea que representan los símbolos matemáticos y sobre qué tipo de estrategia puedes usar para resolver este
problema?. ¿Puedes pensar un número determinado de gallinas y cerdos?. ¿Con qué numero puedes iniciar?. ¿Qué números siguen ahora?. ¿Podrías tener 10 gallinas (cerdos)?. ¿Por qué?, ¿Te podría ayudar una tabla?. ¿Podrías usar álgebra para resolver este problema? ¿Cuáles son las variables?, ¿Cómo las representarías? ¿Qué ecuaciones puedes escribir para representar el problema?. ¿Cómo podrías resolver o encontrar el valor de algunas de las variables?
128
Hoja de captura de información: Evaluación del proceso de los estudiantes al
identificar semánticamente a los símbolos matemáticos. Nombre _________________________________. Fecha de nacimiento _________. Grado _________________________. Fecha __________________. Tiempo _____. Problema: Pedro y María visitaron una granja el fin de semana donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?. Herramientas disponibles:
Enunciado del problema. Papel, lápiz, colores
Entendimiento: Problema entendido rápidamente. Evidencia:____________________________.
Dificultad con “identificación del número de patas”. “relación entre el número de cabezas y el número de patas”.
Otro: _________________________________________________________. Preguntas, tipo de ayuda y comentarios: Selección de estrategias: Método pictórico usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas veces .Comentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Método de
ensayo y error usada inicialmente exclusivamente
algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
129
Método de
Intercambio usada
inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Conteo usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Correspondencia usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas veces . Comentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Semi-algebraico usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas veces . Comentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Método algebraico usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesVariables utilizadas
x y representación de una ecuaciónComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
130
Método gráfico usada inicialmente exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Posibilidades
descartadas:
usada
inicialmente
exclusivamente algunas veces lo guiaron a la solución con ayuda
siempre algunas vecesComentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Monitoreo o autoevaluación:
Conexiones matemáticas consideradas o discutidas. Planes alternativos mencionados o considerados. Progreso con la estrategia seleccionada. Verosimilitud de la solución, verificación de las operaciones.
Comentarios:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
131
2.10 ANÁLISIS DE LOS DATOS RECABADOS.
El análisis de los datos recabados: se basara en un análisis de varianza, el cual
como se sabe representa las desviaciones algebraicas de la media aritmética que es
de bastante utilidad en la estadística, ya que por medio de ellas se crean modelos
estadísticos dinámicos de los fenómenos naturales; estas desviaciones algebraicas
también son útiles para crear otras mediciones y variables de gran utilidad en esta
parte de las matemáticas, como es la varianza o variancia, dada por la expresión
siguiente:192
S2 = Σ( Xi - X )2 es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a N la media aritmética.
Esta medida de la variabilidad representa una medición por medio de la cual se
percibe en donde se ubican las cantidades de la muestra respecto a la media
aritmética, por ejemplo considérese las muestras numéricas dadas por las dos
series: 20, 30, 70 y 38, 39, 43.
Se observa que la media aritmética es la misma en los dos conjuntos de las
cantidades dadas, ya que: ( 20 + 30 + 70)/3 = 40 y ( 38 + 39 + 43 )/3 = 40; si se
realiza una representación gráfica par observar la tendencia central de la media
aritmética en cada uno de los conjuntos numéricos se tiene:
_______ 20 ____ 30 ______ 40 ____________________________ 70 ____
________________ 38_39_ 40 _ 43 ________________________________
132
192 BUENDÍA C., E. “La llave del éxito en Estadística”. 2° ed. Ed LIBUDI, México, 2002. Pág. 165-67.
Nótese en la última recta numérica como varia la posición central de la media
aritmética, en el segundo caso ella esta en la vecindad de los datos, ligeramente más
separada del numero 43, pero en la primera representación gráfica se aprecia una
fuerte distancia respecto al numero 70, lo cual refleja la influencia que tienen sobre la
media aritmética los valores extremos de un conjunto numérico.
Las varianzas se denominaran s12 y s2
2 respectivamente para los dos conjuntos
de datos proporcionados, teniéndose:
s12 = 1/3 [ (20 – 40)2 + (30 – 40)2 + (70 – 40)2] = 1/3[ 400 + 100 + 900] = 466.7
s2
2 = 1/3 [ (38 – 40)2 + (39 – 40)2 + (43 – 40)2] = 1/3[ 4 + 1 + 9] = 4.7
Por lo tanto, se debe mantener en mente que si el valor de la variancia es
grande, indica que existen valores extremos en el conjunto de números que definen
la media aritmética y cuando las cantidades que se consideran para obtener la media
no se disparan, la varianza es menor que en el primer caso mencionado y la media
aritmética se encuentra más cercana a las cantidades que definen a la media
aritmética, en este ultimo caso las anomalías no son mayores, respecto a cuanto la
varianza es una cantidad considerablemente mayor; para definir la varianza que por
mucho es la medida de variación usada con mayor frecuencia, se observa que la
dispersión de un conjunto de datos es pequeña si los valores se acumulan alrededor
de su media y que es amplia si los valores se acumulan de forma esparcida
alrededor de su media 193.
Al aplicar el análisis de varianza es para decidir si las diferencias observadas
entre más de dos medias se puedan atribuir al azar o si existen diferencias reales
entre las medias de las poblaciones de las que se efectuó el muestreo, ya que se
quiere decidir con base en datos muestrales si en realidad existe alguna diferencia
en la efectividad de seis métodos para la solución de problemas algebraicos, el
procedimiento que se presenta para este propósito es un instrumento estadístico
133193 LINCOYAN PORTUS, G. “Curso práctico de estadística”. 2° ed. Ed. Mc Graw Hill. México, 2000, Pág. 64.
poderoso conocido como el análisis de varianza, ANOVA, para preguntar si una
diferencia observada en la efectividad de los métodos de la enseñanza de las
matemáticas se debe a estos métodos y a la didáctica matemática que los profesores
usan y no a la inteligencia de los estudiantes a quienes se enseña.
134
Se deben hacer dos suposiciones que son críticas para el método con el que se
analizaran los resultados en el problema; 194
1. - Las poblaciones de las que se efectuara el muestreo tiene distribuciones aproximadamente iguales.
2. - Todas estas poblaciones tienen la misma desviación estándar.
El análisis de varianza poblacional obtenido a partir de los resultados de los 148
exámenes aplicados a los alumnos de primer semestre de la asignatura de
Matemáticas I en el colegio de bachilleres; dando un peso a cada variable de:
1 Pictórico
2 Intercambio
3 Conteo
4 Semialgebraico
5 Algebraico
6 Gráfico
Se recurrió el programa computacional SPSS (versión 10) para Windows, que
es un programa de computadora que se utiliza para realizar una gran variedad de
análisis estadísticos, desde los más sencillos a los más extensos y ofrece un sistema
eficiente, integrado, potente y fácil de usar para organizar y analizar datos,
Bien de una manera interactiva (a través de cuadros de diálogo) o como un
programa organizado con base en sentencias, en el que se procesan muchas tareas
de una sola vez;195 lográndose los siguientes resultados:
194 FREUND, John E. “Estadística elemental”. 8° ed. Ed. Prentice Hall, México 1992. Pág. 386.
135
195 CAMACHO ROSALERS, Juan. “Estadística con SPSS para Windows". 9° VERSIÓN, Ed. Alfaomega. México, 2001. Pág. 163.
Frequencies Statistics.
MÉTODO
N Valid 148 Missing 2
Mean 2.21 Median 2.00 Mode 2
Std. Deviation .98 Variance .97 Range 4
Minimum 1 Maximum 5
Sum 327 Statistics.
ACIERTOS
N Valid 53 Missing 97
Mean 1.94 Median 2.00 Mode 2
Std. Deviation .79 Variance .63 Range 2
Minimum 1 Maximum 3
Sum 103
El propósito del procedimiento de análisis de varianza fue analizar la
variabilidad de las respuestas y asignar componentes de esa variabilidad aciertos a
cada uno de los conjuntos de variables independientes representadas por el método.
136
Graph
MÉTODO
Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid Pictógrama 33 22.0 22.3 22.3
Intercambio 69 46.0 46.6 68.9 Conteo 36 24.0 24.3 93.2 Semi-algebraico 2 1.3 1.4 94.6 Algebraico 8 5.3 5.4 100.0 Total 148 98.7 100.0
Missing System 2 1.3 Total 150 100.0
ACIERTOS
Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid Pictógrama 18 12.0 34.0 34.0
Intercambio 20 13.3 37.7 71.7 Conteo 15 10.0 28.3 100.0 Total 53 35.3 100.0
Missing System 97 64.7 Total 150 100.0
137
El programa SPSS analiza problemas de diferencias de medias T_TEST para
situaciones en las que se comparan dos medias para muestras independientes o una
media con respecto a la media poblacional
T-Test Group Statistics
ACIERTOS N Mean Std. Deviation Std. Error Mean MÉTODO Pictógrama 18 1.00 .00 .00
Intercambio 20 1.25 .44 9.93E-02 Group Statistics
MÉTODO N Mean Std. Deviation Std. Error Mean ACIERTOS Pictógrama 33 1.45 .51 8.80E-02
Intercambio 20 2.75 .44 9.93E-02 Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
t-test for Equality of
Means
F Sig. t df Sig. (2-tailed)
Mean Difference
Std. Error Difference
95% Confidence
Interval of the Difference
Lower Upper MÉTODO Equal
variances assumed
51.158 .000 -2.384 36 .023 -.25 .10 -.46 -3.73E-02
Equal variances
not assumed
-2.517 19.000
.021 -.25 9.93E-02 -.46 -4.21E-02
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
t-test for Equality of
Means
F Sig. t df Sig. (2-tailed)
Mean Difference
Std. Error Difference
95% Confidence
Interval of the Difference
Lower Upper ACIERTOS Equal
variances assumed
9.231 .004 -9.451 51 .000 -1.30 .14 -1.57 -1.02
Equal variances
not assumed
-9.760 44.324
.000 -1.30 .13 -1.56 -1.03
138
139
Si el resultado es no significativo (probabilidad mayor que 0.05), se concluye
que la muestra si pertenece a la población de media igual a 2 que corresponde al intercambio, la diferencia que se plantea, estadísticamente hablando, no es que las
medias sean distintas, sino que el resultado es estadísticamente significativo como
los resultados obtenidos con una diferencia menor o igual al 5%.
Concluyendo que el análisis de varianza aplicado para probar la hipótesis de la
pregunta de la investigación: ¿ cómo influye en los alumnos la falta de innovación
didáctica por parte de los profesores del Colegio de Bachilleres Plantel 03 Iztacalco en el
proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos curriculares que se imparten en el
programa de Matemáticas I del primer semestre, período 2002-A?; esperando que el alumno resolviese el problema por un método algebraico o gráfico. el cual indica una
media poblacional de 2.21 que corresponde a la variable método de intercambio con una
gran consistencia debido a la varianza de 0.98, confirmado por la media 1.94 de la variable
de aciertos a la solución del problema con una varianza 0.63 que corresponde también al
método de intercambio.
Por lo que se confirma la hipótesis planteada en él diagnostico de que la
didáctica matemática aplicada por los docentes al impartir la asignatura de
Matemáticas I no es la adecuada; ya que esta muy lejos del método algebraico al
que se debería llegar el alumno.
2.11 INTERPRETACIÓN DE LOSDATOS QUE ARROJO EL INSTRUMENTO.
Evaluación de los resultados del dominio del lenguaje algebraico: esta
investigación se planteo como objetivo reconstruir las prácticas de enseñanza-
aprendizaje del Colegio de Bachilleres en la Zona Metropolitana; a través de los
argumentos de los estudiantes, el propósito de esto es reconsiderar el papel que
tradicionalmente se ha asignado al docente, al apoyo familiar y a los antecedentes
socioeconómicos y académicos de los estudiantes en los procesos de reprobación y
aprobación
La reconstrucción de estas prácticas tiene como eje de análisis el instrumento
de medición aplicado a los alumnos de primer semestre sobre la asignatura de
Matemáticas I; esta perspectiva analítica tiene como base la idea de considerar las
posibilidades de aprendizaje de los estudiantes, más que enjuiciarlos y calificarlos
desde una perspectiva teórica o normativa, esto no implica dejar de tomar en cuenta
la propia responsabilidad de los estudiantes en los procesos de reprobación.
La metodología seguida en el estudio de los factores que influyen en los
procesos de reprobación-aprobación de los estudiantes de Matemáticas I, de primer
semestre del Plantel 3 Iztacalco del Colegio de Bachilleres, se realiza a partir de
indicadores estadísticos publicados por la Institución de las materias de más alto
índice de reprobación incluidas las matemáticas, objeto de análisis del presente
estudio.
Posteriormente se aplico el instrumento de medición en entrevistas a
estudiantes de primer semestre en forma aleatoria, con el propósito de identificar
perspectivas y roles dentro de los procesos de reprobación, por medio de categorías
y conceptos, todos estos elementos discursivos utilizados en la construcción del
140
cuestionario o instrumento de medición de la evaluación del dominio del lenguaje
algebraico.
El instrumento fue aplicado a 150 alumnos de los grupos 102, 106 y 119 de
primer semestre en la asignatura de Matemáticas I, la muestra representa el 7.5 %
de la matrícula del Plantel 3 Iztacalco del Colegio de Bachilleres, en su totalidad del
turno matutino; en forma simultanea a la aplicación del instrumento se aplicaron
entrevistas con base en los supuestos empleados en la construcción del instrumento
y se realizaron observaciones de interacción en el salón de clases, los resultados se
presentan a continuación.
A partir de los objetivos del Colegio de Bachilleres, como una institución de
educación media superior para los jóvenes de la Zona Metropolitana, a través de la
cual éstos pudieran continuar estudios universitarios, comprender la cultura y la
sociedad de su época e incorporarse al trabajo productivo [Fig. 40 ];
Fig. 40 Egreso
anual del
sistema
escolar, por
genero en
porciento.
45%
55%
44%
56%
47%
53%
44%
56%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
98-B / 99-A 99-B / 00-A 00-B / 01-A 01-B / 02-A
Todo esto, según la institución, por medio de un proceso de síntesis colectivo,
crítico y activo de aprendizaje de los estudiantes, en la comprensión de los
fundamentos de su sociedad y su cultura para su conservación y su recreación.
141
La reprobación de los estudiantes se presenta como un obstáculo para la
consecución de estos objetivos académicos de la institución y de los estudiantes
mismos del Plantel 3 Iztacalco del Colegio de Bachilleres, los resultados de la
muestra indican que 63.6% de los alumnos han reprobado una o más materias y que
43% de ellos tienen un rendimiento promedio de calificaciones de 6 o menos, en
otras palabras, aproximadamente 2 de cada 3 estudiantes del Plantel 3 Iztacalco
tiene problemas de reprobación.
En general, los niveles de reprobación de los estudiantes del turno matutino son
menores que los del turno vespertino en todos los planteles del Colegio de
Bachilleres de la Zona Metropolitana, [Fig.41].
Fig. 41.
Reprobación en
Matemáticas I,
en diferentes
planteles de la
zona centro del
Área
Metropolitana.
Sin embargo, hay que destacar que también se diferencian según el género de
los estudiantes, las alumnas tienen menores niveles de reprobación (54.1%), que los
alumnos (71.5%), la mayoría de las mujeres se concentra en un rendimiento
académico medio, 58.4%, es decir con un promedio entre 7 y 8, mientras que la
142
mayoría de los hombres tiene un rendimiento académico bajo, 50.4%, o sea tienen
un promedio de 6 o menos.
Este tipo de rendimientos por género se mantiene con ligeras variaciones en las
proporciones independientemente del turno al que asistan los estudiantes, en todos
los casos las mujeres obtienen mejores rendimientos académicos que los hombres.
Los estudios clásicos de reprobación y atraso escolar, hacen un gran énfasis en
los antecedentes socioeconómicos de los estudiantes y en algunos aspectos del
proceso de enseñanza-aprendizaje en el salón de clases; sin embargo es un hecho
que las aspiraciones de los alumnos de bachillerato tienen un peso muy importante
sobre ambos factores, así como sobre el apoyo que puedan recibir de su familia,
sobres su participación en el proceso de enseñanza-aprendizaje y sobre su
rendimiento académico, los jóvenes presentan en sus aspiraciones una síntesis de la
interacción de estos elementos y del valor que asignan al bachillerato.
Las aspiraciones de los estudiantes del Plantel 3 Iztacalco en edad de asistir a
dicha escuela, sintetizan también un análisis de las alternativas de trabajo que ofrece
el mercado regional y del valor de la educación en el mismo, una comparación de las
proporciones de jóvenes entre 15 a 19 es del 45% y entre 20 a 24 años de edad es
de sólo 14%196 que asisten a la escuela, esto significa que, aproximadamente, sólo
uno de cada tres jóvenes continua el ciclo medio superior a la universidad.
Aunque esto sólo es una estimación, proporciona una idea de la orientación que
toman los jóvenes durante su paso por el bachillerato como uno de los factores que
se debe considerar en el manejo del rendimiento académico, las cuales también
están influenciadas por el contexto socioeconómico en que se desenvuelven.
196
143 Cálculo con base en cifras estadísticas editadas por el Colegio de Bachilleres.
Las entrevistas llevadas a cabo con los estudiantes del Plantel 3 Iztacalco
indicaron efectivamente que sus aspiraciones se asocian a su rendimiento
académico y al valor que le asignan al bachillerato, cuando se analiza el valor futuro
del bachillerato se observa que en general, el valor simbólico del bachillerato de que
el Colegio de Bachilleres les prepara para “ser alguien en la vida”(54.3%), es mayor
que el práctico mejorar su situación económica, asistir a la universidad (29.9%) o
contribuir al desarrollo tecnológico [Fig. 42].
Fig. 42 Expectativas de los alumnos a futuro, después de egresar del Colegio de Bachilleres
Algunos de los comentarios vertidos durante la aplicación del instrumento,
fueron los siguientes:
Me interesa pasar las materias porque son una etapa que hay que pasar (alumna de bajo rendimiento académico).
Nunca me he imaginado en la universidad, mire me conformo con salir de bachilleres y no ir a la universidad; quiero, saliendo, trabajar y si se puede estudiar para médico veterinario, pero si no se puede, voy ha trabajar de lo que sea (estudiante de bajo rendimiento académico).
No me gusta mucho la escuela, solo vengo a sacar un 6, pero si repruebo la mayoría de las materias prefiero que me den de baja.
144
Los estudiantes que no han reprobado ninguna materia, por su parte, les
preocupa más cómo podrían aplicar lo que aprenden en la escuela, fuera de ella en
el futuro, o simplemente aprender (61.9%), las expresiones de este tipo de
estudiantes indican las dimensiones del futuro a largo plazo que construyen
simbólicamente.
[Espero] entrar a la universidad o a un tecnológico y espero que
mis papás me apoyen y seguir trabajando (alumno de alto
rendimiento académico).
Mi objetivo es generar un nivel cultural alto y que me pueda
sostener en un futuro en mi vida propia (alumno de alto rendimiento
académico).
Yo no quiero seguir la misma línea, uno tiene la capacidad de
seguir adelante, de elegir una carrera y no ser uno más de la bola,
de estar arriba por ti, sin amolar a los de abajo (alumno de alto
rendimiento académico).
Yo voy a ser ingeniero, porque no me imagino en contabilidad, ni
en recursos humanos, ni de médico, porque a mime gustan mucho
las matemáticas y aunque todas las carreras llevan muchas
matemáticas, la ingeniería aplica matemáticas avanzadas (Alumno
de alto rendimiento académico).
Cuando sea grande voy a ser ingeniero, voy a tener una casa
padre y una familia bonita, yo me imagino dirigiendo una empresa
muy joven y que lo hago bien, que soy muy responsable y que la
relación con los demás va a ser buena, buen trato muy sociable
(alumno de alto rendimiento académico).
Yo espero terminar mi carrera y desempeñarla bien, a lo mejor
esperan ver en mi un sustento económico a futuro y yo lo veo, a la
vez, como una responsabilidad y como un deber (alumno de alto
rendimiento académico).
145
Como puede observarse, estas aspiraciones se refieren a entrar a una
universidad, ejercer un liderazgo social y técnico a través de una carrera y responder
a la responsabilidad familiar, esta responsabilidad asumida de manera simbólica en
su discurso tiene como base el apoyo familiar, el cual, como se verá más adelante,
es fundamental para el tipo de compromiso que asumen los estudiantes de alto
rendimiento que parecen tener una motivación ya interna.
La delimitación de la influencia de las aspiraciones de los estudiantes del
Plantel 3 Iztacalco sobre su rendimiento académico y su relación con el apoyo
familiar, no significa que se relegue el papel de los recursos institucionales y
cognoscitivos con que cuentan los estudiantes, estas son consideradas en este
análisis, sólo que, a diferencia de cómo se ha hecho tradicionalmente, se parte de
las aspiraciones de ellos por que, además de haber resultado significativas, se
utilizan para identificar los límites de lo que pueden hacer, delimitando las
dimensiones de lo que ellos quieren, y de lo que creen que deberían y podrían hacer.
Esta perspectiva lleva una ventaja sobre los modelos causales tradicionales
retrospectivos; los enfoca prospectivamente a partir de la síntesis que los
estudiantes hacen de su complejidad, pero sin desechar sus recursos, sino
adecuándolos a un análisis prospectivo de lo que ellos mismos señalan.
Los recursos familiares de los alumnos se citan tradicionalmente como la base
de un buen rendimiento académico, aunque con frecuencia se refieren a los recursos
económicos o a la organización familiar apara la consecución de estos, sin
considerar contextos regionales, los cuales tienen efectos distintos sobre el
rendimiento académico, como se observará en este análisis de los resultados.
El nivel socioeconómico, de manera general, pareciera no tener ninguna
influencia sobre los niveles de reprobación, sin embargo, cuando se hace el análisis
por estratos, se observa claramente su influencia; el nivel socioeconómico, medido a
146
través de la ocupación del padre, tiene una relación inversa a los niveles de
reprobación; esto significa que una mayor jerarquía ocupacional del padre significa
mayores niveles de reprobación, rspearman = 0.14, p = 0.03, n = 163, o con otros
indicadores, un menor promedio se asocia a una mayor ocupación jerárquica; parte
de la explicación de la influencia de los recursos económicos familiares en los
niveles de reprobación tiene que ver con el apoyo familiar no material, el apoyo moral
por parte de los padres generalmente no se hace explícito en las investigaciones.
Su análisis, sin embargo, parece ser igualmente importante, en especial cuando
las condiciones materiales para la asistencia a la escuela resultan insuficientes en
mucha medida, esto es parte de lo que afirman los estudiantes, como se observa en
el resultado de las entrevistas.
Los alumnos del Plantel 3 Iztacalco opinan que quienes obtienen buenas
calificaciones se debe más al interés que “le ponen al estudio”, a pesar de los
problemas económicos y familiares, los problemas familiares, separación de los
padres, mala comunicación con el padre, generalmente falta de ella, o violencia
familiar en contra de la madre, según los estudiantes, no debería impedir cumplir con
la escuela, “estudiar y hacer sus trabajos”; esta idea, expresada en forma de meta,
es muy difícil de implementar en su práctica escolar cotidiana; a la gran mayoría le
resulta complicado sustraerse de sus problemas familiares con relación a su
rendimiento académico; el 68% de ellos lo consideran así.
Los recursos docentes son otros de los elementos que resultaron con una
influencia significativa sobre los niveles de reprobación, tanto a nivel general, rspearman
= -0.14, p = 0.01, n = 155; el significado de esta asociación indica que, aunque la
mayoría de los estudiantes están de acuerdo conque los maestros los presionan con
tareas y participación para que suban de calificaciones.
147
En comparación con sus compañeros que no han reprobado ninguna materia,
quienes aceptan menos ese tipo de presión, este elemento habría que considerarlo
para las estrategias de enseñanza tendientes a reducir los niveles de reprobación
[Fig. 43].
Fig. 43
Opinión de
los
estudiantes
en cuanto al
poder
consultar a
los docentes
sobre sus
dudas de
clase.
La otra dimensión de los recursos docentes que resulto asociada de manera
significativa a los niveles de reprobación fue su accesibilidad, los estudiantes
consideran que el personal docente es el menos accesible de los recursos
institucionales (36.5%), cuando se le compara con la accesibilidad de los
funcionarios (21.7%), esto es más marcado en los alumnos de más bajo rendimiento
académico.
En esta dimensión hay una ruptura en el dialogo entre maestros y alumnos, lo
cual los educandos lo perciben así:
El trato hacia todos nosotros en el salón es similar, el maestro es más exigente con algunos, que con otros, pero el respeto y todo eso, es igual (alumno de nivel académico bajo).
148
Ahora, como ser humano el maestro se altera, a veces se enoja, normalmente lo hacen enojar los compañeros que están desinteresados en la clase, son los que más echan relajo, que se paran; pero sin embargo, les prestan más atención, sin querer a los “vagos” que los “aplicados”, llamándoles un poco la atención (alumno de nivel académico alto).
Con los maestros casi no tengo ninguna relación, con ellos, no, como que me dan miedo para hablarles, siento como que son superiores y te regañarían si les preguntas algo (alumna de promedio académico bajo).
Los maestros le dedican más tiempo a los compañeros inteligentes, cuando nos reunimos los amigos, platicamos y comentamos todos que el maestro le dedica más tiempo a los otros y es por eso que nosotros nos sentimos menos en el salón; yo pienso que por eso nos salíamos, por que las clases nada más eran para algunos (alumno de nivel académico bajo).
En general, los estudiantes consideran que las matemáticas son materias que
son poco estimulantes (84.5%):
Para que suba mis calificaciones, lo que necesito, pues... no sé, tal vez que la clase fuera un poco más amena, por que a veces son aburridas y como que té estas durmiendo (alumna de nivel académico alto).
El material didáctico que prefiero para aprender son los libros, videos y haciendo ejercicios y que el maestro se apoye en papel bond y que te pase diagramas (alumno de nivel académico alto).
Existen otros elementos, que por su influencia generalizada afectan a la
mayoría de los alumnos independientemente de su nivel de reprobación, esto se
refiere a ciertos estilos de enseñanza de los maestros que son desaprobados por los
alumnos; entre ellos se encuentran el dictado en clase, el predominio de la
exposición oral y el tipo de ejemplos y elementos auxiliares utilizados en el salón de
clase.
En lo general los estudiantes rechazan que el maestro “dicte en toda la clase
(49.4%) y que en palabras de los estudiantes, “[...] se la pase hablando en clase
(86.7), también en general, cerca de la mitad de los estudiantes (48.1%) consideran
149
que entenderían mejor la clase si los maestros utilizaran “ejemplos cotidianos”, en
lugar del uso del “gis y el pizarrón” (69.6%) y “laminas ilustrativas” (52.6%).
La biblioteca y la Dirección del plantel resultaron recursos asociados a los
niveles de reprobación de manera general para los dos turnos [Fig. 44].
Fig. 44
Empleo de la
biblioteca por
los alumnos
durante el
transcurso
del semestre.
El uso de la biblioteca es muy específico, 85% de los estudiantes señalaron que
prácticamente sólo se utiliza para cumplir con un trabajo asignado en clase, aunque
el porcentaje disminuye, opero directamente, conforme aumenta el nivel de
reprobación
Cuando se utiliza el promedio de rendimiento como variable dependiente se
encuentra el mismo patrón de uso de la biblioteca y rendimiento académico, los
estudiantes que menos la usan son los de rendimiento académico más bajo (37.3%).
150
La Dirección del plantel es un recurso sólo para el 28.2% de los estudiantes de
toda la muestra, para el resto de los estudiantes la figura del director les produce
más preocupación que la posibilidad de considerarlo como un recurso.
No me gusta que no pueda exentar nadie porque el Director es muy autoritario, algunos maestros quieren hacerlo, pero el Director les dijo que nadie exentaría (estudiante de alto rendimiento académico).
La reprobación en las áreas de las ciencias exactas, como era esperado, es
mucho más alta que en las ciencias sociales, química, física y matemáticas
comprenden el 62% de materias reprobadas de los estudiantes en la muestra.
Los resultados de la evaluación sobre el dominio del lenguaje algebraico hecha
a los estudiantes de la muestra indica algunas de las dimensiones del problema de la
reprobación en matemáticas; la traducción de enunciados verbales a enunciados
algebraicos se encuentra positivamente asociada al rendimiento académico de los
estudiantes.
Interpretación de los datos que arrojó la aplicación del instrumento.
o El 31.76% tiene dificultad con la “identificación del número de pata”. o El 36.47% tiene dificultad con la “relación entre el número de
cabezas y el número de patas”. o El 25.88% tiene dificultades de identificación de los símbolos
matemáticos. o El 23.52% utiliza la estrategia pictórica, llegando el 12.94% al
resultado pedido. o El 49.41% utiliza el método de ensayo y error en su modalidad de
intercambio, llegando al resultado pedido el 14.11%. o El 25.88% utiliza el método de ensayo y error en su modalidad de
conteo, llegando al resultado pedido el 10.58%. o El 9.41% utiliza el método de ensayo y error en su modalidad de
construcción de tablas, llegando al resultado pedido el 5.88%. o El 1.17% utiliza la estrategia del método semi-algebraico, ninguno
llega al resultado. o El 5.88% utiliza la estrategia del método algebraico, ninguno llega
al resultado.
151
o El 5.88% presenta un desarrollo lógico matemático coherente. o El 9.41% verifica la solución obtenida.
Los resultados muestran que una proporción pequeña de los no reprobados
(2.8%) fueron capaces de llevar a cabo la tarea de “traducción”, comparados con sus
compañeros que sólo reprobaron una o dos materias (1.4 %) y aquellos que
reprobaron tres o más (1.6%); conviene destacar que en esta misma evaluación de
matemáticas el resto de alumnos (94.12%) de bajo rendimiento académico no fueron
capaces de formular enunciados algebraicos a partir del enunciado verbal de un
problema real.
Los resultados sobre la evaluación del dominio de estos procesos de
“traducción” muestra algunas de las dimensiones básicas sobre las que hay que
empezar para la solución de problemas de rendimiento en matemáticas, física y
química, básicamente desde los procesos de representación pictográfica, hasta la
representación simbólica y de traducción de enunciados algebraicos [Fig. 45].
Fig. 45 El
apoyo
familiar es un
aspecto que
incide de
manera
determinante
en el
rendimiento
académico de
los alumnos.
152
Los antecedentes académicos de estudiantes en cualquier nivel de escolaridad
son generalmente mediadores de su rendimiento académico, la muestra de los
estudiantes del Plantel 3 Iztacalco (82.6%), al ingresar, habían tenido un rendimiento
académico medio en la secundaria, el resto (17,4%) eran estudiantes de secundaria
de rendimiento académico alto; los resultados muestran que en el transcurso del
bachillerato los estudiantes redujeron su rendimiento académico.
El 48.9% de los estudiantes de rendimiento académico medio pasaron a tener
rendimiento académico bajo, otro 48.9% se mantuvo en el mismo nivel y tan sólo el
2.2% logró ascender al rendimiento académico alto.
De los estudiantes con antecedentes de secundaria de rendimiento académico
alto, sólo el 17% mantuvo su rendimiento, la mayoría de ellos (81.4%) disminuyó en
su rendimiento académico y el resto el 1.7% se ubicó en el nivel más bajo; donde los
estudiantes de mayor rendimiento académico (5.8%) en secundaria obtuvieron un
mejor puntaje en la prueba de dominio de lenguaje algebraico, mientras que los
alumnos con menores niveles de rendimiento académico (85.6%) en la secundaria
obtuvieron menores puntajes de esa misma prueba.
El análisis global de los procesos de reprobación en la percepción de los
estudiantes indica que los siguientes elementos analíticos se asocian de manera
significativa a los niveles de reprobación en el Colegio de Bachilleres de la Zona
Metropolitana:
1) Sus aspiraciones,
2) El apoyo familiar y los recursos económicos,
3) La estrategia de aproximación del docente para resolver los
problemas de reprobación y su disponibilidad,
4) El uso de la biblioteca,
5) El tipo de liderazgo ejercido por el director del plantel,
6) La capacidad de traducción de enunciados verbales en
enunciados algebraicos,
7) Los antecedentes académicos.
153
De estas asociaciones sólo permanecen como válidas las aspiraciones de los
estudiantes, los recursos familiares, los recursos docentes, los institucionales y los
antecedentes académicos de secundaria; una mayor sistematización requiere de su
jerarquización y la evaluación de sus relaciones de dependencia e interdependencia,
en este sentido se ha previligiado el carácter prospectivo ofrecido por los argumentos
de los estudiantes, al reconstruir dimensiones entre la forma en que los estudiantes
consideran que deberían de utilizarse los recursos a su alcance y su relación con los
niveles de reprobación, desde esta perspectiva, las aspiraciones de los estudiantes
marcan la pauta sobre la interpretación del problema de la reprobación [Fig. 46].
Fig. 46
Empleo de la
biblioteca por
los alumnos
durante el
transcurso
del semestre.
73.42%
78.92% 79.09%
70.00%
80.00%
90-B / 94-A 94-B / 98-A 98-B / 02-A
Las aspiraciones de los estudiantes indican un horizonte distinto del marcado
por los objetivos del Colegio de Bachilleres de la Zona Metropolitana, no en cuanto al
valor propedéutico universitario, sino en cuanto a su valor práctico y simbólico.
La inmediata práctica del valor de los contenidos del bachillerato (para pasar los
exámenes) de los estudiantes con materias reprobadas, se contrapone a un valor
simbólico orientado a su aplicación en un futuro, fuera de la escuela, o simplemente
aprender.
Cuando el contexto en donde se desenvuelve, ofrece pocas opciones de
estudios o de trabajo que valoren el nivel educativo alcanzado, este asomarse al
154
futuro, o fuera de la escuela resulta poco atractivo, particularmente si las estrategias
docentes no utilizan ejemplos cotidianos.
O aunque así fuera, los códigos de los problemas sociales de la realidad
resultan difíciles de representar en códigos analíticos algebraicos [Fig. 47].
Fig. 47.
existen
ciertos
correlatos de
proceso de
pensamiento
para ejercitar
en los
procesos de
traducción de
problemas en
enunciados
analíticos
algebraicos.
Parece que los estudiantes que más reprueban, atrapados en los esfuerzos de
sobrevivencia escolar, no tienen tiempo de asomarse al futuro ni fuera de la escuela,
ni vislumbran estrategias docentes que los tomen en cuenta sin asignarles una
presión mayor a la que ya tienen.
155
2.12 VINCULACIÓN DE LA HIPÓTESIS CON LA PROBLEMÁTICA Y LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN EL ESTUDIO.
¿De qué manera se puede enseñar las Matemáticas?: se ha llegado a la parte
más delicada de la propuesta, ¿de qué manera se puede enseñar las matemáticas?,
¿cuál o cuales métodos son los mejores para seguirlos?, el tema obliga a quien
escribe a expresar las ideas propias y entrar en el fondo del asunto de las
metodologías ajenas, si alguien se propusiese escribir sobre métodos, en armonía
con las páginas que lo preceden, se propondría visualizar iguales temas y llegaría a
extraer iguales conclusiones; porque partiendo de las premisas expuestas hasta
ahora, no se pude más que llegar a consecuencias determinadas que son ciertas
hipótesis, que deben seguir cierta tesis.
Evidentemente, hipótesis y tesis no están tirantes entre sí en una rígida línea
como en una ciencia abstracta, porque los factores humanos y psicológicos que
intervienen en la enseñanza presentan toda una problemática, incierta y apasionante.
Aun cuando existen varios factores que influyen en el éxito en el estudio de las
matemáticas, un factor que se considera importante es la forma como los profesores
enseñaron a los estudiantes para reconocer y usar ciertas estrategias en el estudio
de las matemáticas, es importante que en el proceso de aprender matemáticas el
estudiante se desenvuelva en un medio similar, al de la didáctica de las matemáticas
empleada por sus profesores, cuando trabajan con las ideas matemáticas.197
Es decir, aprender matemáticas significa que el educando identifique,
seleccione y use estrategias comúnmente usada por sus profesores al resolver
problemas, ya que comúnmente se asocia a las matemáticas con la certeza,
156
identificándolas como la disciplina donde se pueden obtener respuestas correctas
rápidamente, estas ideas poseen una influencia cultural y frecuentemente se
confirman en el salón de clases.198
Una práctica común en la instrucción matemática es que los maestros muestran
a los estudiantes solamente los movimientos correctos al resolver un problema, por
ejemplo, siempre seleccionan el método adecuado, trabajan correctamente las
operaciones y obtienen una solución correcta, los estudiantes piensan que el resolver
problemas es un acto de seleccionar una serie de “trucos” que son solamente
accesibles a unos cuantos.199
Un punto de vista opuesto a los anteriores acepta a las matemáticas como una
disciplina falible, cambiante y semejante a otras disciplinas como un producto de la
inventiva humana; un punto de vista dinámico de las matemáticas tiene
consecuencias importantes en el aprendizaje, por ejemplo, la enseñanza de las
matemáticas incluye el aceptar que los estudiantes pueden crear o desarrollar sus
propios conocimientos matemáticos.200
La dificultad de definir el término problema está ligada con la relatividad del
esfuerzo de un individuo cuando éste intenta resolver “un problema”, es decir,
mientras que para algunos estudiantes puede representar un gran esfuerzo al
intentar resolver un problema, para otros puede ser un simple ejercicio rutinario;
197 Schoenfeld, A. Explorations of students’ mathematical beliefs and behavior. Journal for Research in Mathematics Education, USA, 1989. Pág. 338-350 198 Schoenfeld, A. Ideas in the air: Speculations on small group learning, environment and cultural influences on cognition, and epistemology. International Journal o Educational Research. 1989. Pág. 77-78 199 Lester, F. K. Jr. Building bridges between psychological and mathematics education research on problem solving. En F. K. Lester y J. Garofalo (Eds), Mathematical problem solving. Issues in research, Philadelphia: The Franklin Institute, 1982. Pág. 55-85
157
200 Romberg, T. A. Perspective on scholarship and research methods, en D. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning. National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmillan. 1992. Pág. 49-64
Así, el que exista un problema no es una propiedad inherente de la tarea
matemática, la palabra está ligada a la relación o interacción entre el individuo y esa
tarea, el termino problema es una tarea que es difícil para el individuo que está
tratando de hacerla.201
Raramente la presentación de la solución de un problema por parte
del profesor dura más de cinco o diez minutos, a los estudiantes nunca les queda la impresión de que uno puede dedicar horas, mucho menos días, semanas, o meses, trabajando en un problema ..., se les priva de la oportunidad de mostrar algún progreso en la resolución de problemas complicados y como consecuencia se les reprime de la esperanza de atacarlos a aquellos que son capaces de trabajar estos problemas.202
Por otra parte, el uso de problemas rutinarios encontrados en los libros de texto
se identifica más con el empleo de procesos mecanizados o memorísticos, por lo
tanto, la selección de los problemas para discutir dentro y fuera del salón de clases
establece la dirección y el tipo de actividades que se deben desarrollar durante el
curso.203
Respecto a la clasificación de los problemas matemáticos, se sugiere dos tipos
de categorías, en la primera identifica aquellos en donde se pide encontrar algo, aquí
se dan algunas condiciones o datos y la idea del problema es determinar el valor de
alguna incógnita, en este tipo de problemas se debe especificar claramente las
condiciones que debe satisfacer la incógnita; la otra categoría la relaciona con
problemas donde algo debe ser probado. 204
La forma en que se enuncia un problema también influye en su significado, en
un sentido general, un problema matemático se identifica como un problema que
201 Schoenfeld, A. Mathematical problem solving. New York: Academic Press. 1985. Pág. 178- 184 202 Schoenfel, A. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognición, and sense making in mathematics. En D. Gerouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning. National Council of Teachers of Mathematics, New York: Macmillan. 1992. Pág 373-379 203 Steinhaus, H. One hundred problems in elementary mathematics. New York: Dover. 1979, Pág.. 117
158204 Polya, G. How to solve it. Princeton University Press. 1945. Pág. 147-164
requiere conocimientos matemáticos para resolverlo205 y para el cual no existe un
camino directo o inmediato para obtener su solución o soluciones.206
La idea fundamental en la concepción de lo que es un problema es que el
alumno se enfrenta a una variedad de situaciones en donde sea necesario analizar y
evaluar diversas estrategias en las diferentes fases de solución, es decir, en el
entendimiento del problema, el diseño e implantación de algún plan de solución, y en
la verificación de la solución y la búsqueda de conexiones el estudiante usará
diagramas, tablas, ejemplos y contraejemplos, así como los ajustes necesarios para
avanzar o resolver el problema; en esta perspectiva, la palabra problema incluye
situaciones en donde se identifique el aprendizaje de determinado contenido, así por
ejemplo, se puede pensar en el problema de aprender el concepto de función o el de
límite.
En varias ocasiones, es importante que el estudiante formule problemas a partir
de alguna información específica, que pueda ser dada o que el estudiante deba
consultar, es fundamental presentar una imagen del término problema consistente
con el que se identifica en el campo de las matemáticas, es decir, existen problemas
que pueden resolverse en poco tiempo, otros que requieren más análisis y discusión,
y por lo tanto un período más largo para determinar la solución.207
Con relación al conocimiento relevante asociado con el dominio de los recursos,
se pueden identificar cinco tipos de conocimientos que influyen en el uso de los
recursos que posee el alumno:
205 Schoenfeld, A. Problem solving in the mathematics curriculum: A report, recommendation, and an annotated bibliography. Washington, D. C.: Mathematical Association of America. 1983. Pág. 178 206 Kilpatrick, J. A retrospective account of the past twenty-five years of research on teaching mathematical problem solving. En E. A. Silver (Ed). Teaching and learning mathematical problem solving: Múltiple research perspective. Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum.
159
207 Schoenfeld, A. H. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics, en D. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning. National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmillan. !992. Pág. 386-402
Conocimiento informal e intuitivo acerca del dominio, la disciplina o del
problema a resolver: en general, a las matemáticas se les identifica como un cuerpo
de conocimientos donde existe un lenguaje codificado y un conjunto de significados
que el estudiante debe aprender.
En este proceso, el estudiante desarrolla intuiciones acerca de las matemáticas
y la forma de aprender esta disciplina, estas intuiciones, o conocimiento informal, se
relacionan con las ideas de que los estudiantes tienen acerca del uso de los
conceptos en el mundo real, por ejemplo la forma en que usan la idea de límite en el
contexto diario se ha encontrado que influye en la forma en que los estudiantes
interpretan este concepto desde el punto de vista matemático, es importante
mencionar que muchas veces este conocimiento informal de los estudiantes les
impide entender el concepto matemático.
Hechos y definiciones: durante el proceso de resolución de un problema, el
estudiante debe utilizar algunos hechos necesarios para plantear o seleccionar algún
camino de solución; sin embargo esta información puede tomar varias formas en el
proceso mostrado por el estudiante al resolver el problema, por ejemplo, esta
información puede ser completamente desconocida por el estudiante, y por tanto
carece de la menor idea de que es válida; puede sospechar que el hecho es válido
pero no estar seguro, y no encontrar la forma de probarlo; sospecha que la
información es verdadera y la utiliza con confianza en la resolución de problemas, es
decir, un inventario de recursos no solamente incluye los conocimientos, hechos y
definiciones básicas, sino también la forma en que el estudiante recuerda este
conocimiento y tiene acceso a él para resolver el problema.
Procedimientos rutinarios: aquí se identifican técnicas no algorítmicas que se
utilizan para resolver ciertos tipos de problemas, por ejemplo, en el cálculo, el
resolver un problema de máximos o mínimos involucra una serie de procedimientos
160
rutinarios, es decir, seleccionar una variable independiente, obtener una fórmula para
la variable dependiente, derivar, determinar los puntos críticos, y así sucesivamente.
Se ubica este tipo de procedimientos a un nivel táctico y se separa de las
habilidades en el ámbito estratégico; estas ultimas incluyen decisiones acerca de un
plan para resolver un problema y la evolución de éste durante el proceso de solución,
así, cuando el estudiante tiene acceso a un procedimiento rutinario, generalmente no
incluye decisiones estratégicas, el monitoreo o control del proceso se vuelve
importante sólo cuando hay un error en la implantación de estos procedimientos.
Conocimiento acerca del discurso: la percepción que el estudiante tenga acerca
de las reglas al resolver un problema determina la dirección y los recursos que utiliza
en el proceso de solución.
Errores consistentes o recursos débiles: cuando un estudiante comete un gran
número de errores en procedimientos simples, se puede pensar que es el resultado
de un mal aprendizaje, un aspecto importante relacionado con los errores
sistemáticos de los estudiantes se ubica en la suposición de que el estudiante es una
tabla rasa que aprenderá eficientemente lo que el profesor le presente o enseñe.
Los métodos heurísticos; en esta categoría se ubican las estrategias
generales que pueden ser útiles para avanzar en la resolución de un problema, por
ejemplo en el proceso de resolver un problema, un individuo puede explotar
analogías, introducir elementos auxiliares en el problema o trabajar problemas
auxiliares, descomponer o combinar algunos elementos del problema, dibujar figuras,
variar el problema, o trabajar con casos específicos.
Es fácil aceptar la importancia y el potencial de las estrategias heurísticas al
resolver problemas matemáticos; sin embargo, ¿cómo deben ser enseñadas éstas a
los estudiantes?, esta pregunta ha preocupado tanto a los educadores matemáticos
161
como a los pedagogos; parece que no es suficiente que el alumno conozca las
diversas estrategias, sino que es importante que participen en experiencias
relacionadas con el cuándo y cómo utilizarlas.
Estrategias metacognitivas; un aspecto central en la resolución de problemas
es el monitoreo o autoevaluación del proceso utilizado al resolver un problema,
donde el matemático y el maestro de matemáticas reconocen que el resolver
problemas va más allá del solo uso de una colección de técnicas y habilidades; la
evaluación o monitoreo del progreso durante la resolución de problemas y el estar
conscientes de las propias capacidades y limitaciones también son aspectos
importantes en la resolución de problemas, las que se identifican con las estrategias
metacognitivas.
a) El conocimiento acerca del propio proceso, la descripción del proceso
personal de pensar;
b) El control y la autorregulación, qué tan bien es capaz cada quien de
seguir lo que se hace cuando se resuelve algún problema y qué tan
bien se ajusta la persona al proceso o ejecución de acciones,
tomando en cuenta las observaciones que se hagan durante la
evolución de éste.
c) Creencias e intuiciones, las ideas acerca de las matemáticas que se
muestran en el trabajo matemático y cómo se relacionan o se
identifican éstas con alguna tendencia en la resolución de problemas.
Sistemas de creencias: en esta categoría se ubica la concepción que el
individuo tenga acerca de las matemáticas, en este contexto, lo que se piensa acerca
de esta disciplina determina la forma de cómo se selecciona determinada dirección o
método para resolver un problema, las creencias establecen el contexto dentro del
cual funcionan los recursos, las estrategias heurísticas y el control.
162
163
Conceptos ingenuos: un ejemplo que pudiera ilustrar la presencia de este tipo
de falso aprendizaje se relaciona con el concepto de límite, a estudiantes que habían
tomado un curso de cálculo se les cuestionó, por un lado, acerca del límite de una
sucesión que modelaba el crecimiento de una planta y, por otro lado, el límite de la
misma sucesión pero en un contexto matemático.
Muchas de las ideas simplistas que los estudiantes poseen al llegar al salón de
clases persisten a pesar de la instrucción formal que reciben en sus cursos, en
matemáticas, por ejemplo cuando los estudiantes se enfrentan a problemas donde
sólo tienen que aplicar reglas, algoritmos o fórmulas, generalmente se observa cierta
fluidez y eficiencia al resolverlos, sin embargo, cuando se les pide explicar o
interpretar cierta información, estos mismos estudiantes muestran dificultades.208
Conceptos rituales: este comportamiento se identifica cuando los estudiantes
aplican los conocimientos en una forma ritual; esto es, son incapaces de tratar
situaciones nuevas o diferentes aun cuando tengan el conocimiento base adecuado
para afrontar tal situación, en este contexto, el estudiante puede ser muy bueno para
resolver ecuaciones donde tenga que reducir términos semejantes y aplicar
procedimientos específicos, pero nuestra poca sensibilidad en la identificación de la
lectura de los problemas que se relacionen con las ecuaciones.
Es decir, los estudiantes desarrollan ideas de cómo trabajar ejercicios
matemáticos basados en procedimientos que abstraen de su propia experiencia, así,
los procedimientos que emplean los estudiantes no necesariamente reflejan el
enfoque y los alcances de los métodos estudiados en clase; lo que el estudiante
piense de las matemáticas tiende a influenciar la forma de trabajar los problemas
matemáticos.
208 Santos Trigo, L. M. Hacia el desarrollo de una comunidad matemática en el salón de clases. Hoja Informativa. Grupo de Estudios Sobre la Enseñanza de la Matemática del Bachillerato. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav.-IPN.
2.13 DIAGNÓSTICO DE NECESIDADES.
El ámbito de la didáctica y la problemática: como se ha dicho anteriormente, el
entorno del hombre es un conjunto infinito de procesos que se encuentran
interconectados y qué actúan recíprocamente unos sobre otros, no se trata de un
conjunto de cosas terminadas por completo, sino de una realidad compleja en la cual
los procesos, a veces aparentemente estables, pasan por un cambio interrumpido de
devenir y de causalidad, estos procesos se encuentran en un desarrollo incesante,
cada uno en particular, como en sus diversos agrupamientos y todos en conjunto.209
La contradicción al interior de los procesos existentes y entre los diferentes
procesos es una propiedad fundamental de la existencia del objeto de estudio el
analfabetismo funcional matemático de los alumnos de educación media del Colegio
de Bachilleres; la contradicción interior es la causa básica del desenvolvimiento de
este proceso, donde las causas externas son las condiciones del cambio, en tanto
que las condiciones internas forman la base del cambio.
La certeza del presente desarrollo racional radica en su confirmación práctica,
porque si bien es cierto que la investigación científica se desarrolla igualmente en la
dimensión racional, “también es innegable que las reflexiones racionales se apoyan
en la actividad práctica”.210
La investigación y los avances prácticos siguen diferentes paradigmas,
empleando el paradigma de las ciencias naturales combinado con el de las ciencias
humanas que tratan de una realidad social objetiva: dando la combinación como
resultado una interpretación de una realidad educativa objetiva; con el uso de
164
209 María De Jesús Granados Salas. Principios fundamentales de la investigación científica. Raúl Juárez Carro Editorial, México, 1999. Pág. 98-99 210 Bauersfeld, Henrich, Hidden dimensions in the oo-called reality of mathematics classroom. en Educational Studies in Mathematics Vol. II, No. 1, 1980, by D. Reidel Publishing Company.
conceptos bien definidos y cuantificables, y el análisis de las relaciones existentes
entre ellos por medios estadísticos, para integrar los resultados y de transformar este
conocimiento en condiciones específicas para el aprendizaje y enseñanza de las
matemáticas. al interior del aula.
El modelo educativo en el Colegio de Bachilleres considera como entorno o
contexto al conjunto de factores, procesos y agentes económicos, políticos y
tecnológicos que de forma positiva o negativa, inciden o pueden incidir en el futuro
cercano, para el cumplimiento de la misión y/o vision institucional, que busca una
formación integral del alumno, y para alcanzar esto, a partir de los resultados de la
presente investigación, los cuales indican que se deben subsanar primero las
siguientes necesidades:
En la práctica docente, el enfoque del proceso está basado en las teorías conductistas;
Los conocimientos que se enseñan son principalmente de tipo declarativo; El proceso esta centrado en el Profesor, en donde lo más importante es la manera como expone sus conocimientos;
El principal método de enseñanza es el de exposición de conceptos; No se toma en cuenta la estructura inicial de los conocimientos del alumno; No se diseñan las actividades que debe hacer el alumno para aprender las Matemáticas;
Los profesores carecen de una formación que les permita enseñar con el modelo constructivista;
La evaluación se hace con los resultados obtenidos, entendidos como el cumplimiento de los objetivos curriculares propuestos.211
También se determinó que: la mayoría de las decisiones del profesor con
relación a su salón de clases, se toman por medio del sentido común y la intuición y
no por medio del análisis racional utilizando métodos científicos; sus acciones no se
basan en una percepción diferenciada de los eventos del aula, no se muestran
abiertos a cambios contextuales, “conociendo” a los alumnos, y/o utilizando las
nociones previas que los educandos presentan, considerando que las actividades de
165
211 Enrique Pereyra Ortiz. “Otra visión de la aplicación didáctica del programa de Matemáticas I en el Colegio de Bachilleres en el D.F.” Estudio diagnóstico, VI encuentro regional de investigación educativa, Campeche, Campeche; Universidad Pedagógica Nacional, 2002, Pág. 2-4
166
estructuración de los participantes, docentes y educandos, forman o constituyen la
situación social entre ellos mismos.212
Parece probable que la innovación en la enseñanza de las matemáticas, no
será de un tipo muy radical a menos que las categorías que usen los profesores para
organizar lo que saben de sus alumnos y para determinar que cuentan como
conocimiento, sufra un cambio fundamental.213
Sin la capacitación de los profesores, aparentemente no se deja muchas
oportunidades para este cambio, ¿cómo es posible que un profesor principiante
supere los 23 o más años de sus propias experiencias como alumno?.
Sin embargo, si se norma el conocimiento y conducta de la enseñanza a través
de situaciones dentro del aula, entonces también se podrá cambiar ese conocimiento
y conducta formados, a través de situaciones al interior del aula; de esta manera, el
profesor aprenderá a enseñar o a cambiar su patrón de enseñanza a través de una
enseñanza reflejada,
Desde un principio el profesor debe reducir la complejidad de la situación de
enseñanza-aprendizaje, v.gr. vía un número reducido de alumnos a los cuales
enseñar, o a una cantidad reducida de tiempo para la lección, pero no reducida en
calidad como sucedería, con los juegos de simulación o los análisis de clases
grabadas; debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de
enseñanza aprendizaje, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los
alumnos pueden ser interpretadas y que tal interpretación ayudó a conocer mejor los
modos en que el pensamiento y el aprendizaje tiene lugar.
212 Mehan, H. Learning Lessons: Social Organization in the Classroom (Lecciones de Aprendizaje; La Organización Social en el Salón de Clases), Harvard University Press, Cambridge, 1979. Pág. 81 213 Keddie, N. Classroom knowledge (Conocimiento del salón de clases), en M.F.D. Young (ed.), Knowledge and Control, Collier-Macmillan, Londres, 1975. Pág. 127
PROPUESTA ALTERNATIVA DE SOLUCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA. .
CAPITULO 3.
3.1 MARCO JURÍDICO.
Principios y legislación vigente fundamental del Sistema Educativo Mexicano:
los documentos legales fundamentales en vigor en materia educativa son la
Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, en especial sus articulo 3º y
31º; la Ley General de Educación, la Ley Orgánica de la Administración Pública
Federal, y el Reglamento Interior de la Secretaria de Educación Pública.214
En cuanto a la educación y la cultura, el Plan Nacional de desarrollo 2001-2006,
en su política social plantea como propósitos fundamentales para el sector educativo
los siguientes: promover el desarrollo integral del individuo y de la sociedad
mexicana; ampliar el acceso de todos los mexicanos a las oportunidades educativas
y a los bienes culturales, deportivos y de recreación; y mejorar la prestación de los
servicios relacionados con éstos.
El cumplimiento de estos propósitos implica vigorizar la cultura nacional e
impulsar el desarrollo de las culturas étnicas, populares y regionales; fortalecer la
formación y superación profesional del magisterio, relacionar adecuadamente la
educación al sistema productivo; alfabetizar al mayor número posible de mexicanos
hasta ahora privados de este servicio; atacar las causas de deserción y reprobación y
avanzar hacia la educación de diez grados para todos los mexicanos; acrecentar la
eficiencia y calidad de los servicios de educación básica y normal mediante la
descentralización.
Los elementos centrales de la estrategia representan la intención de consolidar
la política educativa y cultural, para lograr un mejor equilibrio entre la cantidad de los
servicios y la calidad con que se ofrecen, enfatizando necesariamente este último
aspecto.
168
214 Ministerio de Educación de México. Sistemas Educativos Nacionales, México. Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Madrid, 1994. Pág. 42 -49
Por lo que se refiere a la educación media y superior, el Plan Nacional de
Desarrollo 2001-2006, establece que se propiciará un crecimiento más equilibrado y
ordenado de la matrícula media y superior.
Dentro del marco del artículo 3º. Constitucional, se vincularan más
estrechamente los planes y programas de la educación media y superior con las
necesidades del desarrollo de la sociedad.
El artículo tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos
y la Ley General de Educación son los principales documentos legales que regulan el
sistema educativo nacional; esos documentos definen los principales objetivos,
intenciones y fundamentos educativos y se establecen las disposiciones de carácter
normativo, técnico, pedagógico, administrativo, financiero y social; donde el Ejecutivo
Federal determina los planes y programas de estudio para toda la República.
La Ley General de Educación amplía algunos de los principios establecidos en
el artículo tercero constitucional; esta Ley señala que todos los habitantes del país
tiene las mismas oportunidades de acceso al sistema educativo nacional, que la
educación es medio fundamental para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura, que
es proceso permanente que contribuye al desarrollo del individuo y a la
transformación de la sociedad y que es factor determinante para adquirir
conocimientos, el proceso educativo debe asegurar la participación activa del
educando y estimular su iniciativa y su sentido de responsabilidad.
El artículo 10º de la Ley General de Educación señala que el sistema educativo
nacional esta integrado por:
1. Los educandos y los educadores;
2. Las autoridades educativas;
3. Los planes, programas, métodos y materiales educativos;
169
4. Las instituciones educativas del Estado y de sus organismos
descentralizados;
5. Las instituciones de los particulares con autorización o con
reconocimiento de validez oficial de estudios;
6. Las instituciones de educación superior a las que la ley otorga
autonomía.
El nivel Medio Superior comprende tres tipos de educación: propedéutica,
propedéutica-terminal y terminal, los dos primeros e imparten en la modalidad
escolarizada y abierta, la cual atiende generalmente a la población de 16 a 19 años
de edad que haya obtenido el certificado de la secundaria; el bachillerato general
pretende ampliar y consolidar los conocimientos adquiridos en secundaria y preparar
al educando en todas las áreas del conocimiento para que elija y curse estudios
superiores; ofreciendo especialidades para el trabajo, no otorgan títulos pero en el
documento de certificación consta la especialidad que el alumno cursó.
Los Colegios de Bachilleres son el segundo tipo de bachillerato universitario
propedéutico más numerosos en cuanto a matricula y el tercero en el conjunto de
instituciones de este nivel educativo, existen dos tipos el Colegio de Bachilleres de
México y los Colegios de Bachilleres Estatales.
En conjunto, la educación media superior creció 73% entre 1976 y 1882, ellos
indica el fuerte impulso otorgado a la educación vinculada al trabajo, dentro de la
estrategia de descongestionamiento de la demanda de educación superior y de
incorporación de egresados jóvenes a las actividades económicas.
El Colegio de Bachilleres México cuenta con 20 planteles en la zona
metropolitana de la Ciudad de México y 12 centros en los estados con los que
mantienen convenios de asesoria y supervisión académica, técnica y administrativa,
además, incorpora a planteles privados.
170
Se fortalecerán las instituciones educativas superiores de las entidades
federativas, en especial las de menor desarrollo, en un esquema que tienda a la
constitución de un sistema de educación superior debe establecer mecanismos de
coordinación con el sistema nacional y los sistemas estatales de planeación de
desarrollo, todo ello en un marco de pleno respeto a la autonomía universitaria.
En julio de 1981, la Coordinación Nacional para la Planeación de la Educación
Superior (CONPES) presentó ante la XX Reunión de la Asamblea General de la
Asociación Nacional de Universidades e Institutos de Educación Superior (ANUIES)
el proyecto de Plan Nacional 1981-1991, mismo que fue aprobado por los rectores y
directores de las universidades e instituciones de educación superior.
El Plan Nacional constituyo el primer instrumento en su género diseñado con la
participación de las Instituciones de Educación Superior (IES), la ANUIES y el
gobierno federal, la fundamentación central del Plan fue racionalizar el crecimiento y
coordinar este nivel educativo con las necesidades del desarrollo nacional.
Los objetivos de los Colegios de Bachilleres son proporcionar una educación
formativa e integral desarrollando la capacidad intelectual del alumno mediante la
obtención y aplicación de conocimientos; dar la misma importancia a la enseñanza
que al aprendizaje; crear en los alumnos conciencia crítica que les permita adoptar
una actitud responsable ante la sociedad y proporcionarle capacitación y
adiestramiento para el trabajo en una técnica o especialidad determinada; de esta
manera se espera que el egresado cuente con elementos que le permitan acceder a
aprendizajes más complejos, tanto en la educación superior como en la vida diaria.
Los Colegios de Bachilleres tiene órganos de gobierno centrales por entidad
federativa y en cada uno de sus planteles, su estructura académica está integrada
por las áreas de formación propedéutica, de capacitación para el trabajo y la
paraescolar, cuentan también con una división por áreas de servicios.
171
172
El plan de estudios esta dividido en dos grandes grupos de asignaturas y
actividades; el propedéutico y el de capacitación para el trabajo, el primer grupo
ocupa alrededor del 80% del tiempo del plan y el segundo el 20%; en el primer grupo
se incluye el tronco común establecido por la SEP, cuyo propósito es dotar al
estudiante de una formación básica; el sector público tiene mayor número de
planteles que el privado.
El área de formación laboral está constituida por una serie de aprendizaje
orientados hacia la preparación para el trabajo en actividades específicas de los
sectores industrial y de servicios.
Como cambios en 1992, el Colegio de Bachilleres, por su parte, implantó siete
programas en el área de formación básica, actualizó los programas de las
asignaturas del tercero y cuarto semestres y revisó los programas de las asignaturas
del segundo semestre de formación básica, además de 10 asignaturas, en el quinto
semestre, de formación para el trabajo.215
215 Secretaría de Educación Pública. Informe de Labores 1991-1992. México, SEP-DGPPP. 1992.
3.2 IMPLICACIONES SOCIALES.
La Matemática, objeto de cultura y herramienta de trabajo: el hombre es un
animal limitado, y entre sus muchos defectos hay uno que ha jugado un papel
fundamental en la historia de los números; no posee percepción directa e inmediata
de grupos de objetos mayores de 4 unidades; es decir, sin aprendizaje previo, sólo
puede reconocer de un golpe cuándo un grupo esta formado por 1, 2, 3 o 4
individuos.
A partir de ahí, se ve obligado a contar, y es precisamente eso lo que viene
haciendo desde tiempos inmemoriales con el fin de adaptarse al medio, aprovechar
las oportunidades del entorno, evitar amenazas y transmitir bienes a otros miembros
de la especie.
Todavía es un misterio la determinación del momento exacto en que el ser
humano aprendió a contar, pero lo que si está claro es que, para ello, debió de
servirse de ciertas herramientas de apoyo, incluso hoy en día, algunos grupos
étnicos de Oceanía, América, Asia y África emplean un lenguaje matemático que
sólo incluye las palabras uno, dos y muchos; pero esto no quiere decir que sean
incapaces de ordenar las cantidades, algunos utilizan sistemas de muescas en
madera, otros apilan piedrecillas y otros recurren a partes de su cuerpo como los
dedos, los ojos o las orejas para realizar sus cuentas.216
Así el numero cardinal, a menos que no pase de algunas unidades, no puede
ser aprehendido por la actividad sensorial inmediata, las lenguas de los pueblos
primitivos, tan ricas en detalles concretos inútiles, ya se menciono que no poseen
173
216 Jorge Alcalde. “Magia y misterios de los números”. Año XVI, No. 5 Muy Interesante, México, 2001. Pág. 5-9
ninguna palabra para designar un número superior a cuatro, se limitan a decir
inmediatamente: hay muchos.217
Se reprocha a menudo a las matemáticas su inaccesibilidad, que la convierte en
el privilegio de un grupo restringido que pretende comprenderlas, ciertamente no se
puede negar que la incomprensión matemática es uno de los fenómenos más
extendidos; pero el hecho de que su diagnóstico y su etiología sean más fáciles de
hacer que los de la incomprensión literaria, artística o técnica, no implica que esta
incomprensión sea de hecho más corriente o más peligrosa que cualquier otra, a fin
de cuentas, el resultado medio de los estudios literarios o clásicos es tan
decepcionante como el de los estudios matemáticos.
Se llega inclusive a reprochar a la cultura matemática su mismo rigor, que está
en una oposición tan acentuada con las contingencias y los azares de la vida
corriente; sería peligroso formar en serie lógicos puros, convencidos de su propia
superioridad hasta el punto de rehusarse a transigir con ninguna de las servidumbres
practicas del siglo; pero este pretendido rigor es más bien un aspecto didáctico que
una verdadera característica de la matemática en sí, es de desear, pues, que la
enseñanza matemática no exagere el dogmatismo y multiplique, por el contrario,
recurriendo a la historia de la ciencia, para eso no es necesario de ninguna manera
novelarla.
Por lo demás, la cultura matemática no es privilegiada más que en apariencia,
como todo pensamiento humano y más especialmente como pensamiento de
carácter simbólico, la matemática está condenada a oscilar entre los dos polos del
realismo del nominalismo; ya que se pretende que las matemáticas puras entran en
el alma por los sentidos; se sostiene que los conceptos matemáticos en apariencia
los más abstractos, tienen su raíz en la experiencia más común. 217 Rene Dugas. “La matemática, objeto de cultura y herramienta de trabajo”, en Antología de Matemáticas, Lecturas Universitarias, No. 7, Coordinación de Humanidades, traducción y selección Miguel Lara Aparicio.
174
El problema de la existencia en matemáticas no se reduce, pues, a una simple
verificación de no-contradicción, se encuentra, entonces, desplazado: ¿que es un
hecho matemático?; esta cuestión plantea problemas de la psicología, de la cual la
matemática no puede creerse independiente, esto equivale a decir que los conceptos
matemáticos son tan contingentes, tan precarios y tan susceptibles de revisión como
los conceptos de cualquier otra ciencia humana.
De este modo, la matemática se encuentra destronada de su usurpada
reputación de rigor absoluto y de abstracción exclusivamente lógica, esta
circunstancia es mucho más feliz de lo que pudiera creerse a primera vista, es ella la
que explica que la matemática pura pueda progresar, en el verdadero sentido del
término, ampliando sin cesar sus conceptos.
Volviendo a la enseñanza de las matemáticas, se sabe que esta disciplina tiene
como objeto esencial dar a los estudiantes una verdadera técnica que les permita
luego abordar fácilmente los dominios más vastos y más actuales del análisis general
y de la física matemática, sin embargo, las matemáticas especiales, aun
conservando el carácter técnico que constituye su valor, pueden y deben
evolucionar, orientándolas deliberadamente cada vez más hacia el análisis.
No entra en el propósito del trabajo discutir la unicidad o la diversidad de las
matemáticas actuales, hechas las reservas necesarias sobre esta cuestión de
doctrina y sobre el carácter “totalitario” de las teorías modernas, logísticas o físicas,
que pretenden reconstruir íntegramente el análisis y la mecánica a partir de sus
axiomas primeros, persiste el hecho de que la matemática, como todas las otras
ramas de la técnica actual, obliga al investigador a especializarse, por esta
especialización hay que pagar un rescate, que es la desaparición del matemático
universal, a la vez geómetra, analista, y físico; en estas condiciones se comprende
hasta que punto se hace delicada la tarea de la enseñanza media superior.
175UNAM, México, 1990, Pág. 34-41
La Matemática y el desarrollo social: no se puede emitir un juicio válido sobre el
desarrollo de las matemáticas aislando arbitrariamente este desarrollo de su
contexto, de su medio ambiente, pues el proceso de este desarrollo es demasiado
complejo y está demasiado ligado al devenir general de la humanidad para que al
aislarlo, no se lo mutile profundamente hasta el punto de llegar a ser ininteligible; no
puede hacer abstracción del carácter humano y social de las matemáticas pues los
matemáticos y las sociedades en las cuales éstos evolucionan forman un todo
inseparable,218
Por el contrario, es reintegrando la evolución de las matemáticas al desarrollo
social que es posible comprender cómo, nacidas de las necesidades técnicas de la
sociedad, han adquirido poco a poco una amplitud prodigiosa y una preeminencia
soberana, y cómo, en fin, en la sociedad actual, por uno de esos retornos tan
frecuentes en la historia, se han convertido en uno de los cimientos ideológicos
fundamentales de la civilización.
Se necesita por tanto, recurrir a la historia para aclarar las interacciones entre el
desarrollo de las matemáticas y el desarrollo social, de manera somera se
mencionara algunos episodios de estas interacciones, pues es imposible exponer en
este breve espacio una historia de las matemáticas.
El concepto de número nació de la necesidad técnica de alcanzar el número
cardinal, el primer matemático fue quizás un pastor de genio que, para contar los
animales de su ganado, ideó una técnica de enumeración o de correspondencia,
llegando en el fondo a captar el número cardinal por intermedio del número ordinal.
176
218 Jacques Chapellon. “Las matemáticas y el desarrollo social”, en ”, en Antología de Matemáticas, Lecturas Universitarias, No. 7, Coordinación de Humanidades, traducción y selección Miguel Lara Aparicio. UNAM, México, 1990, Pág. 193-203
La más rudimentaria de las economías agrícolas necesita informes numéricos
acerca de las estaciones, esto implica la resolución de problemas ligados al
establecimiento de un calendario, es sabido cuán estudiadas han sido las cuestiones
de cronología, y por consiguiente de astronomía, en las más diversas civilizaciones
primitivas, además la decoración del cuerpo humano, las herramientas y los
instrumentos, el arte del alfarero y las preocupaciones arquitectónicas que surgieron
cuando el hombre se puso a construir, implicaban algunas de las consideraciones
geométricas que a menudo permanecieron en una etapa puramente empírica, pero
que otras veces alcanzaron un nivel más elevado.
Los comienzos de las matemáticas son los de todas las ciencias; la presión de
las necesidades sociales eleva poco a poco el nivel de la especulación científica lo
que primitivamente no era más que una colección de recetas empíricas; el desarrollo
inicial de las matemáticas está condicionado, pues, por las fuerzas productivas de
una sociedad en continúa transformación; las particularidades del progreso
matemático corresponden a las particularidades del progreso social.
Existe un paralelismo fiel entre el progreso social y la actividad matemática, los
países socialmente atrasados son aquellos en los que la actividad matemática es
nula o casi nula, sin embargo, una vez dado el impulso inicial, las relaciones entre los
dos desarrollos se hacen más complicadas que las de un simple condicionamiento
en sentido único, pues los progresos de las matemáticas reaccionan a su vez y en
forma cada vez más potente, sobre la evolución social.
Las ciencias más avanzadas, las grandes técnicas de la producción tienden a
adquirir una estructura cada vez más matemática, utilizan los resultados matemáticos
del pasado, pero también plantean, en forma cada vez más imperiosa nuevos
problemas, a veces protestan cuando las matemáticos no están en condiciones de
dar soluciones inmediatas, exigen siempre nuevos progresos; más aún, tienden a
modificar el pensamiento tradicional de los matemáticos.
177
Las diversas partes de las matemáticas están estrechamente ligadas entre sí,
de suerte que toda adquisición nueva tiene repercusiones más o menos lejanas
sobre el conjunto de las matemáticas y, desde este punto de vista, influye sobre el
progreso de la técnica y por consiguiente sobre el desarrollo social; es por eso que,
sin dejarse dominar por el punto de vista de la utilización inmediata, conviene
estimular las investigaciones matemáticas en todos los dominios.
Pero entonces lejos de prevenir de una contemplación solitaria y casi mística de
los grandes matemáticos, el movimiento matemático de una época está íntimamente
ligado a la actividad de los hombres de esta época, estas interacciones continuas
entre la actividad de los matemáticos y os progresos de las ciencias y las técnicas
tiene un carácter oscilante, se podría decir; pero las oscilaciones no son regulares,
son inestables y, lejos de amortiguarse, su intensidad aumenta sin cesar; elevan
simultáneamente el nivel de la producción científica y el de la potencia técnica.
De ello resulta una aceleración del desarrollo social y la permanencia de la
estructura social actual se ve quebrantada, por eso las matemáticas son un factor
importante en la elaboración de la sociedad futura; la a matemáticas en fin,
juntamente con las otras ciencias y las técnicas constituyen la base del humanismo
moderno, de ese humanismo científico que es el único que puede dar un sentido a
las aspiraciones del hombre moderno, del hombre real actual, y de este modo
también preparan el advenimiento de las estructuras sociales del futuro.
178
El conocimiento matemático y la sociedad: la necesidad de hacer acceder a la
mayoría de los individuos a un nivel de conocimientos matemáticos que sobrepase la
aplicación de las cuatro operaciones aritméticas fundamentales o rudimentarias,
hacia las actividades e computo o de medición, apareció en la segunda mitad del
siglo XX, al mismo tiempo los contenidos de la enseñanza propuestos por las
escuelas elementales y de educación media superior se transformaron: con una
orientación centrada en la adquisición de los puntos de vista globalista y de la
actividad axiomática, estos contenidos eran netamente más formales; esta doble
transformación preciso inmediatamente los problemas que antes se planteaban,
tanto en lo referente a las posibilidades de los sujetos como en lo que concierne a los
caracteres del objeto.219
En estas condiciones la enseñanza de las matemáticas debe concebirse
pensando en la mayoría de los educandos, sin embargo suele observarse que
muchos individuos en todos los actos de la vida y que tienen buen éxito en las demás
disciplinas, fracasan en matemáticas.
Las matemáticas se convirtieron así, en un instrumento de selección por el
fracaso que corre el riesgo de volver inoperante la manifestación de otras aptitudes
no menos importantes para las actividades del sujeto y sobre todo para el ejercicio
de las profesiones correspondientes; si no se hace nada por remediar el fracaso en
matemáticas, el cuerpo social mismo se verá afectado, por una parte, porque así se
privará de competencias que le serían muy útiles, por otra parte, por que el miedo al
fracaso en matemáticas muchos alumnos se alejan de las actividades científicas.
El profesor es un profesional que por lo general se ha iniciado en la práctica de
la enseñanza, mediante ensayo y error, que ha logrado un nivel de competencia y
179
219 Louis Not. “El conocimiento matemático”, en: Las pedagogías del Conocimiento. Ed. Fondo de Cultura Económica, México, 1983. Pág. 44-45
180
capacitación con escasa ayuda institucional, es tarea del profesor ayudar as sus
alumnos a introducirse en una comunidad de conocimientos y capacidades que otros
ya poseen; su trabajo es una actividad social que lleva a cabo mediante el desarrollo
y puesta en práctica del currículo de matemáticas.
El desempeño adecuado de esta actividad profesional, que consiste en la
educación de los jóvenes bachilleres mediante las matemáticas, exige el desarrollo y
puesta en práctica de un complejo plan de formación; el profesor ha de tener
formación y conocimientos adecuados para controlar y gestionar la diversidad de
relaciones que se presentan en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
El profesor de matemáticas necesita conocimientos sólidos sobre los
fundamentos teóricos del currículo y sobre los principios para el diseño, desarrollo y
evaluación de las unidades didácticas de matemáticas; cuando los profesores no
tienen una formación teórica adecuada ven limitada sus funciones a las de meros
ejecutores de un campo de decisiones cuya coherencia y lógica no dominan y no
entienden.
El objeto matemático participa de un universo de formas relacionales, en donde
se sitúa entre las formas puras del pensamiento que corresponden a los objetos
lógicos y a los objetos concretos de la experiencia empírica, y la matemática de la
actualidad se inclina más del lado de los primeros que del lado de los segundos; el
formalismo parece prevalecer sobre la intuición.220
220 E, Cassierer. “La philosophie des formes symboliques”, III, Pág. 423.
3.3 OBJETIVOS DE LA PROPUESTA ALTERNATIVA.
La Didáctica de las Matemáticas I, se entiende como la ciencia del estudio y de
a ayuda al estudio de las matemáticas, su objetivo es llegar a describir y caracterizar
los procesos de estudio - o procesos didácticos- de cara a proponer explicaciones y
respuestas sólidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que
estudian matemáticas.
Retoma los principios de la Didáctica General, ya que como toda ciencia
recurre al apoyo de otras disciplinas y, en la mayoría de los casos, a la filosofía, para
establecer un marco referencial; en tanto, la propia filosofía pretende determinar su
naturaleza y su quehacer epistemológico, fundamentándose en ella misma; ubicar el
binomio demostración-explicación en las matemáticas, en un contexto filosófico,
parte del convencimiento de que la naturaleza de las ideas analizadas en el presente
trabajo, pertenecen a la epistemología, en el más amplio sentido del término;221 “la
demostración en matemáticas” la manera como esta singular ciencia ofrece verdades
que no son triviales y alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente
científico puede apetecer.222
Esto quiere decir, entre otras cosas, que el procedimiento que tenían, por
ejemplo, los matemáticos antiguos, griegos y medievales, para hablar de épocas muy
concretas, no es el mismo que se emplea en las matemáticas contemporáneas; en
unas épocas fue de importancia fundamental lo relativo a qué es un sistema
axiomático, mientras que en otras no lo fue tanto, inclusive, la demostración quizá no
se considera de la misma manera en todas las épocas de las matemáticas.
Fue a partir de la década de 1980 cuando se planteó el debate en los términos
actuales, al parecer traducido como currículum lo que antes, en español, se
181
221 Serrano, Jorge A. El binomio-demostración. Ed. Trillas. México, 1991. Pág. 30-36, 159-174
denominaba programa escolar, programación, planificación, etcétera, la distinción
entre ambos concepción debe considerar dos cuestiones previas: la primera, que la
didáctica no se reduce al campo del currículum; la segunda, que los términos
proceden de tradiciones diferentes, la alemana (didaktik) y la anglosajona
(currículum); con el desarrollo y la organización de las escuelas en Austria, Prusia y
el sur de Alemania hacia fines del siglo XVIII y principios del XIX se vio la necesidad
de estructurar un marco teórico que permitiera a la administración la formulación de
normas y guías para los inspectores y las instituciones formadoras de docentes. 223
La difusión por Europa de dichas formulaciones contribuyó a la clasificación y al
análisis del término “didáctica”, con el que se denotaba la aproximación a los tres
elementos básicos de cualquier proceso educativo formal: el contenido, lo que se
aprende - enseña, el aprendiz, quien aprende y el docente, quien enseña;224 los dos
recursos fundamentales para que las instituciones educativas logren su consecución
son el currículum y la enseñanza, ambos constituyen la base de la educación.225
El concepto de pedagogía ha sido sustituido por el de ciencias de la educación
como consecuencia del proceso de diferenciación de las disciplinas pedagógicas,
donde, el hecho de que el término “enseñanza” sea polisémico, hace que se preste a
una interpretación ambigua en ocasiones, etimológicamente procede del latín in-
signare, que significa poner un signo, señalar, molestar; en sentido coloquial,
equivale a transmitir conocimientos o a instruir, acciones que requieren
intencionalidad y relación de comunicación de sistema, etcétera; detrás de un diseño
se encuentran concepciones, creencias, valores, etcétera, además de los
conocimientos de las personas que lo ejecutan.226
222 Poincaré, J. H., El valor de la Ciencia. Espasa – Calpe, Argentina. Buenos Aires. 1946. Pág. 34 223 Habermas, J. Knowledge and Human Interest, 2a ed. Londres, Heinemann. (Traducción al castellano), Conocimiento e interés, Madrid, Taurus, 1986. Pág. 121-143 224 Ángel Díaz Barriga. Didáctica y currículo. Convergencias en los programas de Estudio. Nuevomar, Colección Problemas Educativos, México, 1984. Pág. 31 225 Kemmis, S. Action research in retrospect and prospect”. Documento presentado al congreso anual de la Australian Asociation for Research in Education, Sydney, 1980. Pág. 76
182226 Gimeno Sacristán, J. El currículum: una reflexión sobre la practica, 2ª ed, Morata, México, 1989. Pág. 79-84
La influencia del positivismo ha dado lugar a una extensa difusión de la
racionalidad instrumental, es decir, a la tendencia a contemplar todos los problemas
prácticos como asuntos técnicos,227 que en la práctica o curricular, el objeto de
análisis y desarrollo son los componentes aplicados del currículo [Fig. 48].228
Interés Saber Medio Ciencia
Fig. 48. Modelo de análisis de las diferentes teorías de las didácticas
Técnico
Instrumental (explicación
casual)
El trabajo Las empírico-
analíticas o naturales
Práctico
Práctico (comprensión)
El lenguaje
Las
hermenéuticas o interpretativas
Emancipatorio
Emancipatorio
(reflexión)
El poder Las ciencias críticas
Contar con bases didácticas teóricas e instrumentales que le permitan al
docente planificar su trabajo, tomar decisiones fundamentadas y encauzar sus
actuaciones en el logro de las finalidades establecidas por un plan de formación
socialmente determinado.229
Frente al predominio o la exclusividad del planteamiento positivista han
aparecido nuevos enfoques, nuevos paradigmas y nuevas metodologías de
investigación, todos estos factores están llevando a una reconceptualización de los
fenómenos y procesos de enseñanza que obligan a tratar la investigación didáctica
227 Carr, W. y Kemmis, S., Op cit. Pág. 89-103 228 Habermas, J. Theory and Practice. Londres, Heinemann. (Traducción al castellano), Teoría y Praxis. Estudios de la filosofía social. Madrid, Tecnos, 1987, Pág. 74-89
183229 Ferrero de Pablo, L. Las matemáticas en la educación obligatoria. Kapeluz, Argentina, 1998. Pág. 134
no sólo como una cuestión formal o metodológica, sino como una actividad que tiene
importantes implicaciones [Fig. 49].230
Fig. 49 pues
los docentes
pueden actuar
individual o
colectivamente
en la
organización
de la
enseñanza
La intervención pedagógica en el aula debe partir de la situación real del
alumnado, es decir, de los distintos grados de conocimiento matemático que los
escolares poseen; para atender a los diferentes ritmos y estilos de aprendizaje de los
alumnos, los contenidos matemáticos deberán estar graduados en diferentes niveles
de profundidad, en este sentido, son particularmente útiles las actividades abiertas,
que admiten distintas respuestas o distintos grados de elaboración de los mismos.
En esta visión, lo que importa son las actuaciones docentes y los resultados
obtenidos por los alumnos, se supone que mediante determinadas pautas de
184
230 Lynn Arthur Steen. La enseñanza agradable de las MATEMÁTICAS. Colección Textos Politécnicos, Serie Matemáticas. Mathematical Sciences Education Board National Research Council. Noriega Editores. México, 1998. Pág. 8
actuación, cuanto más programadas mejor, valiéndose de determinados materiales y
recursos, es posible conseguir de los alumnos aquello que se pretende [Fig. 50].231
Fig. 50. Por otra
parte, la doble
vertiente de la
didáctica como
teoría —
búsqueda de
descripciones y
explicaciones—
y, sobre todo,
como
orientación de
la práctica,
como búsqueda
de soluciones a
los problemas
de la realidad
educativa,
obliga a su
replanteamiento
epistemológico
El desarrollo de la propuesta del Manual de Didáctica de Matemáticas I, retoma como propósitos fundamentales:
Objetivo principal: la de innovar la didáctica empleada por los docentes
que imparten esta asignatura en los primeros semestres del Colegio de Bachilleres.
185
231 Oscar V. Oñativia. Y L. Yolanda B. De Baffa Trasci. Método Integral para el aprendizaje de la Matemática Inicial. 2ª Edición, Editorial Guadalupe. Buenos Aires, Argentina, 1983. Pág. 10
Objetivos secundarios: adquirir el conocimiento didáctico del campo de actuación en el que el profesor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea
como educador, ya que no le basta con dominar los contenidos técnicos de su
materia; lo anterior, da origen a la propuesta de solución de la problemática en forma
de Manual Didáctico de Matemáticas I:
MANUAL DE DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS I.
Álgebra
Para Nivel Medio Superior.
186
.
OBJETIVOS DEL MANUAL.
¿Por qué un manual de didáctica de las matemáticas?, al escribir un
manual sobre la didáctica de la matemática o de cualquier otra disciplina nacen naturalmente, las dudas de carácter prejuicioso, en lo referente al significado etimológico del término “didáctico”, o sea, “arte de la enseñanza”, y si se meditamos sobre cuanto se ha dicho en cada época sobre este apasionante tema: “no hay un método que enseñe el arte de hacer escuela”, “no existe una técnica de la enseñanza”, “nadie puede enseñar como llegar a ser maestro”, se tiene que abstener de cualquier consideración o juicio para no turbar la libertad pedagógica de cada maestro.
Por otra parte, doctrinas filosóficas, indagaciones pedagógicas, investigaciones psicológicas y cuestiones sociales llevan a la enunciación de principios fundamentales de didáctica general que no pueden ser ignorados si se quiere dar a la enseñanza una proyección seria; en el campo específico de la enseñanza de la matemática, nadie puede sustraerse a aquellos hechos, sin duda considerados graves y que se presentan a menudo en las escuelas de educación media superior, es difícil relacionarlos, por que desafortunadamente son muchos, más entre ellos es necesario considerar dos puntos:
La lección de matemáticas resulta en general aburrida, pesada y a menudo difícil, ciertos conceptos no son afirmados, aun cuando el profesor se afane en repetirlos y busque aclararlos con numerosas explicaciones; de algunas propiedades no se entiende inmediatamente el sentido; es notable “la incomprensión por la matemática” que ha inducido, incluso a grandes matemáticos a escribir artículos y libros, también es peculiar el temor a las matemáticas que los psicoanalistas continúan buscando en el ser humano.
Los jóvenes que actualmente salen de las escuelas de educación media superior tienen la idea de que las matemáticas consisten, por una parte en un puro mecanismo y por la otra, que se trata de una construcción perfecta y completamente terminada, ignorando si se puede hacer o no algún descubrimiento con esta disciplina.
Esta incomprensión de toda esencia del curso impartido es bastante
seria, ya que los alumnos que terminan el ciclo advierten muy a menudo
187
inmensas lagunas que ha dejado la enseñanza de la matemática, y culpan a la escuela; la culpan de haberlos lanzado a la vida sin dotarlos de la comprensión y aplicación del lenguaje de las matemáticas que es en nuestros días tan esencial como el lenguaje ordinario: la importancia que tiene hoy una cultura matemática, entendiéndola como un habito mental matemático más que una suma de conocimientos.
En estas páginas de didáctica no se propone dictar reglas para enseñar mejor ni se quiere proveer al maestro de una fórmula mágica para facilitar la comprensión de las matemáticas por parte del alumno, pero sí se examinaran aquellas dificultades que se presentan en la transmisión de los conceptos matemáticos por parte del profesor y las que surgen en la mente del alumno en el momento de aprender.
Antes de empezar a leer a este manual, conviene preguntar
¿QUE SE PRETENDE CON SU LECTURA?.
Este manual intenta ser
NO
- La solución instantánea de los problemas del profesor de matemáticas;
- Un cuerno de la abundancia inagotable lleno de recursos, ideas geniales, directrices;
- Un “vademécum” que indique qué hacer, cómo y cuándo en cualquier circunstancia;
- Un maravillosos análisis filosófico-pedagógico del método matemático.
SINO
- Un alto para la reflexión; - Un indicador de fallas usuales en la enseñanza de las
matemáticas; - Una orientación hacía posibles soluciones; - Un medio de despertar inquietud hacia el descubrimiento de
nuevos procedimientos por parte de los profesores de matemáticas.
Esto y no otra cosa encontremos en sus páginas:
188
TABLA DE CONTENIDO.
Introducción. i.
TEMAS.. PAGINAS,
Objetivos del Manual.
1. Concepción del Proceso de Enseñanza-Aprendizaje.
2. Objetivos.
3. Planeación.
4. Métodos y Procedimientos.
Estructura de los contenidos de las unidades del programa de
Matemáticas I.
1.1 OPERANDO CON LOS NUMEROS REALES. 1.1.1 ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS.
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS DE DIFERENTES SISTEMAS.
1.1.3 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES.
1.1.4 SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
1.2 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA.
1.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MÉTODOS ARITMÉTICOS. |1.2.2 RAZONES Y PROPORCIONES.
2.1 EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS. 2.1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. 2.1.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 2.1.3 LA OPERATIVIDAD DE LOS POLINOMIOS. 2.2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. 2.2.1 PRODUCTOS NOTABLES.
2.2.2 FACTORIZACIÓN. 2.2.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.
3.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
3.1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.
3.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCOGNITA.
3.2 SISTEMA DE ECUACIONES.
3.2.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN
SISTEMA DE ECUACIONES.
3.2.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.
I. 1. 13. 29. 41. 49. 51.
i
5. Recursos Didácticos.
6. Evaluación.
7. Motivación.
8. Bibliografía.
61. 81. 93. 109.
ii
MANUAL DE DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS I.
Álgebra Para Nivel Medio Superior.
.
Es frecuente que:
EL PROFESOR
después de una magnifica explicación en clase, constate que los alumnos no entendieron, y que llegue a la conclusión de que:232
Los alumnos
• no estudiaron nada de lo anterior
o bien
• son francamente incapaces de
aprender Matemáticas
Ante esto, muchos profesores:
• Se angustian, • Se desesperan...
... o bien:
• Buscan cómo mejorar su clase, • Cómo transmitir mejor sus
conocimientos de matemáticas.
1. CONCEPCIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA I.
189
232 MARTÍNEZ, J., Murillo, H. y Carrasco, L. Manual de Didáctica de la Matemática. Centro de Didáctica U.N.A.M., Programa Nacional de Formación de Profesores, Asociación Nacional de Universidades e Institutos de Enseñanza Superior. México. 1972. Pág, 1-148.
Por otra parte,
EL ALUMNO
- aun considerando como competente a su profesor,
- responde a la enseñanza de la
matemática...
- con aversión hacia ella por considerarla “árida”...
memorizando
definiciones. fórmulas y como aplicarlas teoremas, etc.
... ¿se debe esto a que la Matemática es en sí árida y difícil, o a la forma en que se realiza el proceso enseñanza- aprendizaje?.
Comparemos dos situaciones, simplificadas en orden a la claridad:
190
¿Cómo se realiza el proceso enseñanza- aprendizaje de la matemática?.
Situación A. EL PROFESOR. • Da definiciones y principios. • Escribe fórmulas. • Las deduce. • Explica la forma de manejarlas. • Resuelve ejercicios como ejemplos.
• Deja otros ejercicios para ser resueltos por los alumnos
• Menciona algunas aplicaciones. Mientras LOS ALUMNOS • Copian en sus cuadernos. • Preguntan dudas. • Hacen preguntas como: ¿cuándo es el examen mensual?.
Situación B.
PROFESOR Y ALUMNOS
• Inician una reflexión
sobre un fenómeno o situación propuestos.
• Utilizan algunos
símbolos que les permiten formar un modelo matemático de este fenómeno.
• Dentro del modelo
obtienen resultados, y • Retornan al fenómeno
ya mejor comprendido.
191
Obviamente las dos situaciones didácticas son diferentes:
- ¿En qué forma participan los alumnos?. - ¿Cuál es el papel del profesor?. - ¿Qué pretende cada profesor?. - ¿Tiene algún valor formativo saber aplicar una regla que
aparece como por “arte de magia”?. - ¿Qué valor tiene dedicar un poco de tiempo a la reflexión
sobre una situación concreta que nos lleva a deducir una regla?.
La diferencia en las diversas situaciones didácticas estriba en la forma como cada profesor concibe el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
En la situación A, el profesor concibe el proceso enseñanza –aprendizaje de la Matemática como una simple:
TRANSMISIÓN DE
• Definiciones de principios teóricos • Procedimientos de mecanización de
tales principios y definiciones • Aplicaciones. • Métodos de aplicación.
192
En la situación B, el profesor concibe el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática como él:
LOGRO PAULATINO DE LA COMPRENSIÓN, VALORACIÓN Y ASIMILACIÓN INTERNA POR PARTE DE EL ALUMNO DE UN METODO DE
• Interpretación humana de la naturaleza
• Creatividad humano-teórica.
• Transformación indirecta de la
naturaleza.
En la situación A, el alumno es un órgano receptor que aprende y repite los procedimientos seculares matemáticos; su actividad se limita a tratar de captar lo que los grandes matemáticos han descubierto, y llegar a poder utilizarlo.
¿En cual de las dos situaciones se conduce al alumno a un auténtico aprendizaje?:
En la situación B, porque participando el alumno en el planteo de posibles soluciones, partiendo de una situación concreta, encuentra mayor significado en lo que realiza; esta forma se ajusta más a la manera de proceder del pensamiento.233
193
233 PIAGET, J. La enseñanza de las matemáticas. Ed. Aguilar, México. 1968. Pág. 48
De esta manera,
El alumno:
• Depende conscientemente de su actividad propia;
• Llega a concebir la matemática como algo vivo y humano;
• Se apropia más profusamente de los principios y el espíritu matemático;
• Llega a poder explicar con más precisión y riqueza las teorías matemáticas.
Por que la Matemática es:
• UN MODO DE PENSAR;
• UN CAMPO DE EXPLORACIÓN DE LA NATURALEZA;
• UN CAMPO DE CREACIÓN HUMANA;
• UN LENGUAJE SIMBÓLICO.
RECORDEMOS: Muchos profesores buscan mejorar su clase, cómo transmitir mejor sus conocimientos de matemáticas,
194
Sin embargo, en la mayoría de los casos no se encuentran cómo hacerlo;
- ¿Se debe esto a que las matemáticas y su
enseñanza son áridas y difíciles en sí mismas?;
- ¿Es posible que se pueda cambiar radicalmente la enseñanza?.
ES IMPRESCINDIBLE LLEGAR HASTA UN ANÁLISIS DE NUESTRA MISMA CONCEPCIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.
Una concepción dinámica de dicho proceso nos permitirá experimentar:
• un flujo de nuevas ideas,
• de modificaciones
• y mejoras constantes;
PUESTO QUE:
De la concepción que el profesor tenga del proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática dependerá que propicie la participación de los alumnos en todo el proceso, de acuerdo con su nivel de madurez, experiencias, etc.
195
Además de ello también dependerá la manera de precisar:
• Lo que se proponga alcanzar OBJETIVOS;
• La organización que le dé al curso PLANEACIÓN;
• La forma en que
va a realizar lo propuesto
METODOS Y PROCEDIMIENTOS
TÉCNICAS DE DINAMICA DE GRUPOS
RECURSOS DIDÁCTICOS.
• Las formas de apreciar los logros
alcanzados EVALUACIÓN.
Concretando, ¿Qué es aprender matemáticas?:
COMPRENDER
no solamente conocer o recibir pasivamente conocimientos
VALORAR
aceptar como algo importante, útil y de trascendencia para su vida personal
UN METODO
NO un conjunto de sistemas y principios doctrinales “recetas”
ASIMILAR INTERNAMENTE
hacer suyos la comprensión y los valores adquiridos de tal manera que pasen a formar parte activa de su personalidad
Interpretación humana de la naturaleza, Creatividad humano-teórica, Transformación indirecta de la naturaleza:
196
LA MATEMÁTICA COMO INTERPRETACIÓN HUMANA DE LA NATURALEZA.
Un poeta analizan un evento
Un econometrista
El poeta utiliza sus rimas.
El econometrista utiliza la estadística.
El poeta dan una interpretación de los hechos.
El econometrista
Esta interpretación del poeta y del econometrista es una interpretación del hombre.
La poesía nació de la tensión interna que lleva al hombre a captar y transmitir algunos aspectos de la Naturaleza como él los percibe, de una menara representativa, como una interpretación simbólica, por medio de la palabra de lo emotivo.
La Matemática nació de la necesidad humana de precisar y transmitir algunos aspectos de la Naturaleza de una manera representativa, como una interpretación simbólica de lo mensurable.
LA MATEMÁTICA ES UTILIZADA POR EL HOMBRE
PARA INTERPRETAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA NATURALEZA.
197
LA MATEMÁTICA COMO CREATIVIDAD HUMANO-TEORICA.
La matemática no se limita a satisfacer la necesidad de dar una
interpretación simbólica de una realidad, sino que:234
198
• Encuentra un método de desarrollo:
• Tiene expansión libre;
• Alcanzas puntos de vista cada vez más elevados, abstractos y generales.
Un matemático puede
• Crear un modelo simbólico a partir de una realidad, que le permita interpretarla, obtener resultados y volver a esa realidad;
• Ampliar una teoría ya elaborada
obteniendo nuevos resultados dentro de ella.
• Formular un conjunto de
axiomas que le permitan mediante un proceso de deducción, llegar a caracterizar un sistema o una estructura.
LA MATEMÁTICA ES UN CONSTANTE
ESTÍMULO A LA MENTE CREATIVA.
234 SORENSON, Herbert. La psicología en la educación. Ed. El Ateneo. Buenos Aires, 1971. Pág. 67- 72
.
Cuando profesores y alumnos iniciamos un curso de matemáticas
empezamos a recorrer un camino, pero...
... ¿sabemos a dónde queremos llegar?.235
¿Qué actitud tomamos frente al programa escolar?
Nos preocupa fundamentalmente cubrirlo en su totalidad; No lo tomamos en cuenta; Nos detenemos a pensar cómo vamos a utilizarlo para llevar a nuestros alumnos a un verdadero aprendizaje de la matemática
Tal vez esperamos que nuestros alumnos:
Entiendan las explicaciones; Aprueben el curso: Sean influidos por el estudio de la matemática en su formación personal; Comprendan la importancia de la matemática con otras áreas de aprendizaje. Correlacionen sus conocimientos de matemáticas con otras áreas
2. OBJETIVOS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS I.
199
235 CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la matemática moderna. Serie de Matemáticas. Ed. Trillas, México, 1970. Pág.
12-14
de aprendizaje.
Y los alumnos a su vez esperan del curso:
Que no sea muy difícil. Que logren aprobar; Que sea algo interesante; Que se les aclare para qué sirve la matemática; Que el curso termine pronto porque no les gusta.
Tanto alumnos como profesores tiene ideas
diferentes acerca de lo que desean alcanzar durante el curso.
Será necesario que ambos precisen a dónde quieren llegar, cómo hacerlo y cómo comprobar que lo han logrado, para ello, el profesor deberá especificar, antes de iniciar su trabajo, los OBJETIVOS que desea alcanzar, es decir:
Los cambios de comportamiento que
espera lograr en sus alumnos y que se manifiestan en su forma de PENSAR, EXPRESARSE, SENTIR y ACTUAR.
200
¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA ESPECIFICACIÓN DE OBJETIVOS EN EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
DE LA MATEMÁTICA.
Una vez seleccionados y clarificados los objetivos, el profesor podrá:236
• Hacer una PLANEACIÓN general del curso;
• Elegir el METODO y PROCEDIMIENTOS que considere mas adecuados para alcanzar los objetivos propuestos.
• Seleccionar los RECURSOS DIDÁCTICOS: - Ejemplos, ejercicios y problemas. - Actividades que los alumnos realizarán dentro y
fuera del aula. - Material didáctico.
• ORGANIZAR AL GRUPO, aplicar técnicas de dinámica de grupo.
• REALIZAR . . .
• EVALUAR . . .
LA ESPECIFICACIÓN DE OBJETIVOS CONSTITUYE LA BASE DE LA CUAL EL PROFESOR PARTIRA PARA PLANEAR, REALIZAR Y EVALUAR EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.
236 CONTRERAS, J., La autonomía del profesorado, Ed. Morata, Madrid, 1997. Pág. 23
201
LOS OBJETIVOS SON EL EJE DE TODA ACTIVIDAD DOCENTE.
Una vez que el profesor formula los objetivos que pretende alcanzar en su curso.
realizar una exploración en el grupo, por medio de preguntas orales, cuestionarios, entrevistas, etc.
con el fin de darse cuenta de las condiciones del grupo en cuanto a necesidades.
202
Intereses.
Habilidades. Heterogeneidad, etc.
y APRECIAR si los objetivos que se propuso son susceptibles de realización de acuerdo con la realidad de los alumnos.
Si la respuesta es:
SI, continua en el proceso de la enseñanza-aprendizaje; NO, hace un AJUSTE de los objetivos que se había propuesto en un principio tratando de que la especificación sea REALISTA.
LOS OBJETIVOS DEBEN ELABORARSE EN
FUNCIÓN DE LOS ALUMNOS.
Ahora bien,
¿QUÉ OBJETIVOS SE PUEDEN PROPONER EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA?.
Recordemos:
203
Esperamos un cambio en la forma de PENSAR, EXPRESARSE, SENTIR y ACTUAR de nuestros alumnos.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, este
cambio puede operarse en las AREAS COGNOSCITIVA y AFECTIVA.
La primera involucra comportamientos como:237
Recordar
Comprender
Razonar
Resolver problemas
Formar conceptos
Analizar
sintetizar EL ÁREA COGNOSCITIVA.
204
237 BLOOM, Benjamín. Taxonomía de los objetivos de la educación. La clasificación de las metas educacionales.
Ed “El Ateneo”, Buenos Aires, 1972. Pág. 45 –63
Abarca:
- desarrollo de
capacidades;
- adquisición de conocimientos;
- desarrollo de
habilidades.
El desarrollo de capacidades y habilidades se refiere al manejo y aplicación que se hace de los conceptos adquiridos.
Los conceptos adquiridos sólo tienen valor en tanto se utilicen en situaciones nuevas.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES Aportación de Información técnica específica al planteo
solución de un problema nuevo
CAPACIDADES Procesos mentales Que intervienen en la organización y reorganización de materiales.
205
EL ÁREA AFECTIVA.
Abarca los objetivos que se refieren a:
- Un tono
emocional;
- Un sentimiento;
- Un grado de aceptación o rechazo..
Describen cambios en los
- INTERESES
- APRECIACIONES
- VALORES Y ACTITUDES. Y una integración personal de tales valores.
206
Estos cambios incluyen una amplia variedad de comportamientos que van desde los más simples hasta los más complejos; por tanto, se adquieren lenta y gradualmente. Es decir:
Las conductas que se van logrando en el área afectiva, van pasando por ciertos niveles, como son, por ejemplo:
- el simple tener conciencia de un fenómeno o estímulo y ser capaz de percibirlo . . .
el estudiante desarrolla algún grado de conciencia respecto de la Matemática en su relación con diferentes áreas de la cultura.
- ser capaz de prestarle atención e interesarse por ello, demostrando cierto entusiasmo . . .
el estudiante se interesa por dicho asunto y procura ampliar su información.
- responder al fenómeno o estímulo con un sentimiento positivo . . .
el estudiante busca por si mismo ejemplos fe dichas relaciones.
207
- llegar a valorizar o evaluar por sí mismo; lo cual va a llevarlo a formarse un criterio personal.
El estudiante valora la Matemática por la relación que existe con todas las actividades humanas y es capaz de justificar dicho valor. Todo este proceso va llevando al alumno a adoptar una posición ante la vida.
Relaciones entre las Áreas cognoscitiva y afectiva.
Las metas u objetivos del dominio cognoscitivo son las que predominan en la educación sistemática.
Generalmente los profesores sólo nos proponemos metas de este tipo, e implícitamente se encuentran las del área afectiva.
Ejemplo:
Al proporcionar información a los estudiantes y guiarlos en su
aplicación, se esta logrando despertar su interés, cambiar ciertas actitudes, apreciar dichas informaciones; etc.
En ocasiones, utilizamos una meta del área afectiva para tratar
de alcanzar una del área cognoscitiva.
Ejemplo:
Se despierta el interés del estudiante sobre ciertos temas, para que pueda aprenderlos mejor; Las secuencia más generalizada es la primera.
Los comportamientos de las áreas cognoscitiva y
afectiva forman una unidad Se les separa a fin de analizarlos y comprenderlos
mejor. Cada uno de los dominios participa en el otro.
208
Un profesor de matemáticas puede proponerse que sus alumnos:
- Aprendan de memoria conceptos y los repitan textualmente.
Para lo cual bastará con que él se los comunique verbalmente. Ejemplo: “Una función es una relación que existe entre dos variables, tal que a un valor de una de ellas le asocia un solo valor de la otra”. Conozca algunos ejemplos de solución de problemas concretos.
Sin embargo lo conveniente es que:
Guiados por el profesor a través del análisis de experiencias directas y lleguen por sí mismos al concepto.
Ejemplo: ¿existe alguna relación entre la talla y la edad de un niño?, ¿la demanda de cierto artículo en el mercado y su precio?, ¿entre el conjunto matrículas de la escuela “x” y el conjunto de alumnos de la misma?.
- ¿Pueden precisar estas relaciones?;
- ¿Qué elementos intervienen en ellas?; etc. ...
Desarrolle la habilidad para resolver simbólicamente problemas concretos.
Comprenden conceptos y
sus formulaciones.
209
que puedan ser resueltos por el profesor Aprenda de memoria demostraciones de ciertas propiedades y teoremas. que puedan ser expuestas por el profesor
Traduciendo el problema al lenguaje matemático hacia un modelo, obteniendo resultados dentro de ese modelo y refiriéndolos nuevamente a su problema.
intentando demostrar propiedades y teoremas, partiendo de un conjunto dado de axiomas, por ejemplo:
“Si a, b y c representan números reales y sí a = b, entonces,
a + c = b +c
El alumno deberá demostrarlo a partir de los axiomas de cerradura y sustitución y de las propiedades transitiva y de simetría de la igualdad definidas en el conjunto de los números reales.
210
Comprenda razonadamente procesos de deducción a partir de definiciones (axiomas).
Valore la matemática únicamente como ciencia abstracta. Lo que se puede lograr a base de una exposición teórica de conceptos, demostraciones y ejemplos.
Mediante la conciencia de que los logros hasta ahora alcanzados dentro de ella han sido creados por seres humanos y también sintiendo en algún momento de su estudio que es capaz de participar de esa creatividad, construyendo sus propios modelos matemáticos, inventando problemas, etc.
Valore además, la matemática como actividad humano creativa.
Los tres primeros casos corresponden a propósitos del área cognoscitiva; el último al área afectiva; otros objetivos pueden ser:
211
AREA COGNOSCITIVA:
Lograr que el alumno:
- Desarrolle la capacidad de elaborar un modelo simbólico a partir de una situación concreta.
Dejando que él proponga los posibles modelos y las soluciones que se ajusten a esa realidad para llegar posteriormente a una solución formal;
Adquiera capacidad para llegar deductivamente a conclusiones a nivel más o menos intuitivo.
En la discusión de un problema, sin aplicar las reglas formales correspondientes:
- Desarrolle la habilidad de resolver problemas abstractos simbólicamente.
- Adquiera capacidad para llegar deductivamente a conclusiones de una manera formal;
- Comprenda y llegue a realizar procesos inductivos de generalización.
212
AREA AFECTIVA:
Lograr que el alumno:238
Valore la matemática como interpretación de laNaturaleza y como herramienta para transformarla indirectamente.
Mediante reflexiones hechas en clase sobre los ejemplos utilizados, investigación en artículos y conferencias de divulgación, etc., a lo largo de todo un ciclo de enseñanza-aprendizaje.
Valore las limitaciones de una ciencia exacta
Cotejando los resultados obtenidos dentro de una teoría con su realización y utilidad concreta en la Naturaleza y su complejidad total, de la cual se abstrajo la teoría; confrontando una teoría con preguntas que no puede responder, etc.;
Valore la matemática como clave cultural de comunicación;
Valore la matemática dentro de su contexto histórico;
213
238 RICO, L. Dimensiones y componentes de la noción de currículo, en L. Rico (ED.). Bases teóricas del currículo de
matemáticas. Revista Suma, núm. 24., 1998. Pág. 5–19.
Integre los valores anteriores dentro de una cosmovisión personal.
Estos ejemplos se refieren a objetivos generales del estudio de las
matemáticas, además el profesor deberá especificar, los PROPOSITOS:
LOS OBJETIVOS:
Del curso. De cada unidad didáctica y formativa. De cada lección o tema.
Es conveniente que la redacción de
UN OBJETIVO. 239
- esté hecha en forma directa.
• Que el alumno resuelva . . . y no: resolver . . .
- sea unívoca y precise la conducta deseada.
• Que el alumno resuelva ecuaciones de 1er grado y no: que el alumno “sepa” ecuaciones de 1er grado.
214
239 MAGER, R. F. La confección de los objetivos para la enseñanza. Ed. Salesiana, Caracas, 1970. Pág. 37 -49
3. PLANEACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS I.
Algunas veces al terminar un curso, nos hemos dado cuenta de que:
- No nos alcanzó el tiempo de terminar el programa;
- Dejamos de tratar algunos temas esenciales;
- La evaluación final nos indica que los resultados
obtenidos no fueron los que propusimos:
- Las actividades realizadas por los alumnos fueron dispersas e infructuosas, de tal manera que los resultados no correspondieron al tiempo y al esfuerzo invertidos;
Recordamos que:
- Algunas veces llegamos al salón de clases sin saber cómo
empezar a tratar el tema, o qué recursos emplear para aclarar y afianzar el aprendizaje;
- Otras veces tuvimos que improvisar ejercicios que, lejos de
aclarar, confundieron más a los alumnos;
- Nos concretamos a utilizar los mismos ejemplos y ejercicios de todos lo años.
¿Podemos evitar estas situaciones?.240
SI; para ello,
en la enseñanza-aprendizaje es necesario partir de una PLANEACIÖN adecuada basada en los OBJETIVOS, que nos guíen en la REALIZACIÓN y EVALUACIÓN de nuestro trabajo.
215
240 RICO, L. Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas, Revista EMA, núm. 1. 1996, Pág. 4 – 24
El profesor de matemáticas planea su curso basándose en las respuestas que de a las siguientes preguntas:
¿CON QUIEN voy a realizar el proceso enseñanza-aprendizaje?:
CON ESTUDIANTES:
Que están ubicados en una realidad;
Social Económica Personal
nivel socioeconómico, nivel cultural y familiar urbana - rural sólo estudian trabajan y estudian capacidades habilidades preferencias
Que tienen ciertos intereses de acuerdo con
Su edad Su formación anterior Sus aspiraciones
tener diversiones. tener novio(a). tener amigos. secundaria. bachillerato técnico. profesionista.
216
Que ya tienen un concepto de la matemática, surgido de sus experiencias anteriores
Es difícil. Es abstracta. Enseña a pensar. Es bonita. Es interesante. Es imposible aprobarla.
Que van a estudiarla por diversas razones
Es básica para su carrera Es, materia obligatoria; Le gusta Necesita el certificado de este ciclo.
Que están habituados a . . .
Memorizar fórmulas. Resolver ejercicios mecánicamente. Copiar del pizarrón. Mientras el profesor expone.
Que piensan que
Nacieron para reprobar. Pueden aprender si se esfuerzan. Sólo los más inteligentes tienen éxito Si les toca un buen profesor saldrán adelante.
Con estudiantes que viven determinado
momento histórico-cultural y que también poseen un acervo de experiencias con relación a la matemática
217
¿PARA QUÉ
Voy a realizar el proceso enseñanza-aprendizaje?241
Para lograr objetivos tales como:
CONOCIMIENTO
Del desarrollo histórico de la Matemática y en particular de la rama que va estudiar, así como su ubicación dentro de la cultura. De los problemas generales de la Matemática. Del método matemático y su aplicación a otras áreas del conocimiento.
COMPRENSIÓN.
De los principios generales de la rama de la Matemática que va a estudiar. De los procesos de razonamiento inductivo y deductivo. Del desarrollo y la evolución constantes dela Matemática. Del método matemático y su correlación con el método científico. De la relación que existe entre lo que está estudiando y las demás ramas de la Matemática.
218
241 MORSE, WINGO. Psicología aplicada a la enseñanza. Ed. Pax. México, 1972. Pág. 48-53
HABILIDAD para
Manejar el lenguaje simbólico. Plantear y resolver problemas. Manejar los conceptos básicos de la rama de la matemática que esta estudiando. Realizar procesos de generalización.
. . . y otros
Para que los alumnos, en un trabajo conjunto
con el profesor, lleven a cabo determinados cambios de comportamiento, mediante el proceso enseñanza- aprendizaje de la Matemática; es decir, alcancen los objetivos previamente establecidos.
219
¿CÓMO Voy a realizar el proceso enseñanza-aprendizaje?
. . . Análisis de situaciones concretas. . . . Aplicación de resultados. . . . Discusión en grupos de
posibles soluciones a un problema determinado.
. . . Exposición de temas investigados
por los alumnos . . . Organización de los alumnos en
pequeños grupos para la resolución de ejercicios.
De acuerdo con:
- Los objetivos
Propuestos.
- Los contenidos programáticos.
- El tiempo Disponible.
- Las características de los alumnos
220
Seleccionando el MÉTODO, los
PROCEDIMIENTOS, los RECURSOS DIDÁCTICOS y las TÉCNICAS de dinámica de grupo más adecuadas.
Una vez que el profesor se ha contestado las preguntas: CON QUIEN, PARA QUE, COMO realizar el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
- REVISA EL PROGRAMA POR DESARROLLAR.
-CONSIDERA EL TIEMPO DISPONIBLE PARA EL CURSO
Días hábiles. Posibles suspensiones. Período de vacaciones. Período de exámenes.
- TOMA EN CUENTA EL NIVEL DEL GRUPO.
Bachillerato. Vocacional. Profesional.
- EXPLORA EL NIVEL DE PREPARACIÓN DE LOS ALUMNOS.
- ESPECIFICA Y JERARQUIZA LOS OBJETIVOS.
Generales del curso Específico de cada unidad didáctica. Inmediatos de cada tema.
- ESTABLECE LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN PARA COMPROBAR SI LOS OBJETIVOS PROPUESTOS HAN SIDO ALCANZADOS.
- SELECCIONA EL METODO, PROCEDIMIENTOS RECURSOS Y TÉCNICAS MÁS ADECUADAS.
- CONSIDERA LAS CORRELACIONES CON LAS OTRAS MATERIAS.
221
ELABORA UNA PLANEACIÓN REALISTA, PRECISA Y FLEXIBLE DE SU TRABAJO.
¿CUÁNDO REALIZAR LA PLANEACIÓN?.
Algunos profesores,
• “estudian” el tema antes de cada clase • estructuran mentalmente el desarrollo del tema,
basándose en sus años de experiencia docente;
“preparan” sus clases,242
y no planean explícitamente ni su curso, ni cada una de las lecciones o temas por tratar
La mayoría de los profesores.
Quizá toman en cuenta
• para que sirve, • en cuento tiempo se va Cada tema del
a desarrollar, programa escolar. • de que manera se puede
enseñar, etc.
Planean implícita y parcialmente y aun de manera inconsciente el curso, unidades y temas,
Pero . . .
Ni precisan ni aclaran sus objetivos concretos, Ni van mucho más lejos en su proceso de planeación.
Al principio del curso PLANEACIÓN GENERAL.
Al inicio de:
242 GAGO, Antonio. Elaboración de cartas descriptivas guía para preparar el programa de un curso. Curso básico para la
formación de Profesores. Área 2: Sistematización de la Enseñanza. Ed. Trillas. México. 1979. Pág. 68-89
222
- cada unidad didáctica.
- cada lección.
PLANEACIÓN PARCIAL.
RESUMIENDO: Planear implica:
• Mucho más que la preparación intuitiva de una clase, de una unidad o de un curso.
- La planeación
Especificando:
- objetivos - tiempo - -actividades de los alumnos - recursos auxiliares - formas de evaluación
- La planeación de los temas señalando:
- objetivo -.técnicas - recursos auxiliares - evaluación
Lo cual permitirá lograr
- Cohesión con las clases inmediatas anteriores y posteriores.
- Congruencia a través del curso. - Precisión al evaluar. - Correlación con otras materias, etc.
223
Constante del curso en general parcial de las
unidades.
MAYOR EFICACIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.
Planeación de una Unidad. - Objetivos - Tiempo - Actividades de los
alumnos. - Recursos auxiliares. - Evaluación.
Planeación de una clase, lección o tema: - Objetivos - Técnica - Recursos didácticos - Evaluación
Planeación del curso:
- Especificación de objetivos. - Jerarquización de temas. - Distribución del tiempo. - Selección del método y procedimientos. - Actividades de los alumnos. - Recursos auxiliares. - Formas de evaluación. - Correlaciones con otras materias.
224
4. MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS DEL PROCESO DE
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS I.
Una de las preguntas que se plantea un profesor cuando planea su curso es:
¿CÓMO VOY A REALIZAR EL PROCESO ENSEÑANZA–APRENDIZAJE?243
• Exponiendo los temas de una manera “comprensible”;
• A partir de demostraciones que hagan más objetiva la enseñanza;
• Promoviendo la investigación por parte de los alumnos para
que se interesen más en el curso;
• Utilizando algunas técnicas de dinámica de grupo que permitan una participación organizada de los alumnos en la clase;
• Utilizando el interrogatorio para conducir al alumno al
descubrimiento de conceptos y teorías;
• Analizando situaciones concretas que les permitan llegar a conclusiones
Seleccionando el MÉTODO, los
PROCEDIMIENTOS, los RECURSOS DIDÁCTICOS y las TÉCNICAS de dinámica de grupos más adecuadas.
225
243 RICO, L. Diseño curricular en Educación Matemática: Una perspectiva cultural. Ed. Alfar, en Llinares, S. y Sánchez, V.
(Eds.), Teoría y práctica en Educación Matemática, Sevilla, 1990. Pág. 78 - 92
¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE ESTA SELECCIÓN DEL MÉTODO EN EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE?.
Algunos profesores:
• Llegan y exponen la clase sin permitir que los alumnos participen;
• Hacen anotaciones en el pizarrón para desarrollar así toda la clase;
• Piden a los alumnos que lean en sus libros y comentan lo leído, aplican posteriormente lo estudiado a algunos ejercicios;
• Dictan algunas notas y explican;
• Al hacer la evaluación parcial o final, se asombran por los resultados tan pobres y deficientes;
• Y suelen preguntarse por qué, si trabajaron con tanto empeño, los alumnos no aprendieron.
Del método que el profesor utilice
dependerá el grado de participación que los alumnos tengan en clase, así como el logro de un auténtico aprendizaje por parte de éstos.
226
¿CÓMO REALIZAR EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN LA MATERMÁTICA?.
Tomando en cuenta que, de una manera muy simplificada, la Matemática puede considerarse:
- Como una disciplina abstracta que:
• Postula principios abstractos simbólicos o axiomas;
• Define leyes para operar con los símbolos;
• Desarrolla una teoría deduciendo nuevos principios y propiedades a partir de los primeros.
O bien
• Parte de un conjunto de situaciones con propiedades comunes;
• Selecciona en él lo que le interesa;
• Simboliza lo seleccionado
• Encuentra leyes en los símbolos que reflejan relaciones en las
situaciones;
• Formula una teoría.
Históricamente, el segundo desarrollo dio origen a la Matemática.
227
Como una herramienta de la ciencia
• Formula simbólicamente descripciones, relaciones, principios
y leyes a partir de un fenómeno o evento;
• Obtiene resultados abstractos, que encontraran su
interpretación en la realidad;
Normalmente, la ciencia utiliza la Matemática partiendo del primer aspecto.
Partiendo de la naturaleza misma
de la Matemática, utilizando el MÉTODO que permita a profesor y alumnos llegar, de la mejor manera posible, al logro de los objetivos propuestos.
228
Tradicionalmente, el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática se realiza
Considerando a la Matemática como una ciencia abstracta
• Dando definiciones, -en ocasiones intuitivamente-;
• Dando reglas operacionales, -o de
inferencia-; • Tratando de que el alumno
obtenga habilidad en las operaciones, -demostraciones-.
PARTIENDO, EN CLASE, DE UNA TEORÍA
considerando a la Matemática como una herramienta de la ciencia.
• Resolviendo ejemplos abstractos; • Resolviendo ejemplos concretos
ENSEÑANDO, UNA VEZ CONOCIDA LA TEORÍA, SUS APLICACIONES.
229
si el profesor concibe el método en el proceso enseñanza-aprendizaje partiendo . . .
. . . del desarrollo inductivo
de la Matemática
Situación concreta teoría Unificación de Situaciones por sus principios comunes.
. . . de la forma en que normalmente la utiliza la ciencia.
fenómeno o evento modelo matemático
fenómeno o evento
EL ALUMNO SE DESENVUELVE
DINÁMICAMENTE SINTIENDO LA NECESIDAD, POSIBILIDAD Y UTILIDAD DE LA ABSTRACCIÓN, SIMBOLIZACIÓN Y GENERALIZACIÓN MATEMÁTICAS.
230
Este es el caso de un profesor que, tratando de que sus alumnos se
introduzcan:244
Cada lección cubre un contenido principal y uno o más contenidos relacionados, correspondientes al Plan de estudios de la Asignatura de Matemáticas I “álgebra” vigente.
SITUACIÓN PROBLEMA se trata de plantear una situación en un contexto conocido por el estudiante, ya sea escolar, familiar, lúdico, etc.; la idea es motivar el interés del estudiante mediante una situación en la cual, si bien representa un reto intelectual para él, sus conocimientos previos y el contexto familiar le sirven como elementos para enfrentar ese reto.
Las situaciones-problema pretenden cumplir las distintas áreas de interés del alumno al presentarle temas relacionados con la escuela con sus diversiones, con el hogar, además de otros temas de interés general.
SITUACIÓN PROBLEMA
ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN, una vez presentada la situación-problema, esta sección pretende guiar el razonamiento del estudiante por uno de los caminos que lo lleven a la solución del problema.
Se proponen preguntas de dificultad creciente, cuya respuesta debe conducir al joven a resolver el problema planteado.
En todo momento se invita al alumno a intentar otro tipo de acercamiento y a discutir las soluciones obtenidas con sus compañeros y con su profesor.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
ESTRUCTURA DE LOS CONTENIDOS DIDÁCTICOS.
En el estudio razonado y significativo de las matemáticas, a partir de sus conocimientos previos, ya sean formales o producto de sus experiencias cotidianas y situaciones de interés para él.
La resolución de problemas se reconoce hasta el momento como un método eficaz para propiciar el aprendizaje efectivo, de largo plazo.
231
244 WALDEGG, G., Villaseñor R., y García V. Matemáticas en contexto, aprendiendo matemáticas a través de la resolución de problemas. Grupo Editorial Iberoamérica, México. 1998. Pág. 12- 137
FORMALIZACIÓN, esta sección contiene de manera resumida y simple, los elementos del conocimiento establecido, sobre los cuales se fundamenta la disciplina; se trata de definiciones, algoritmos y explicaciones breves que ayudaran al estudiante a ubicar su comprensión del problema dentro del conocimiento universal.
Aunque tal aspecto representa el contenido central de los textos tradicionales, en este manual corresponde sólo a una parte del acercamiento y no es, por cierto la más importante; con ello se quiere reducir al máximo la tendencia a la memorización y al aprendizaje corto.
FORMALIZACIÓN
APLICACIÓN, en este punto se intenta diversificar los contextos de aplicación de los contenidos tratados en la lección, mediante problemas en situaciones más generales: ciencias, economía, medio ambiente, etc; se busca con ello contribuir en la construcción del concepto a partir de la confluencia de sus distintos significados.
APLICACIÓN
Es la sección que pretende ejercitar ciertas habilidades y poner a prueba las estrategias de solución recientemente adquiridas por el educando, por medio de problemas semejantes a los tratados en la lección.
Para algunos temas se incluyen también ejercicios de mecanización para motivar el desarrollo de habilidades computacionales, o bien propuestas de investigación; para ampliar y consolidar los conocimientos y habilidades matemáticas y las capacidades apara aplicar la aritmética y el álgebra.
EJERCICIOS.
VISIÓN HISTÓRICA son textos breves, biografías, comentarios sobre temas afines a los tratados en la sección, mostrando una visión globalizadora del conocimiento matemático.
VISIÓN HISTÓRICA.
232
Al sumar dos numerosa enteros obtengo cierta cantidad, pero al sumar sus recíprocos obtengo la cuarta parte de esa misma cantidad, ¿es eso posible?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema; discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1 Si llamas x y y a los dos números desconocidos, ¿cómo expresarías su suma?.
2 Recuerda que el recíproco de un número cualquiera se obtiene dividiendo 1 entre ese número, por ejemplo el recíproco de 5 es
51 . ¿Cuál es el
recíproco de x?, ¿y el de y?.
3, ¿Cómo expresarías la suma de los recíprocos de xy de y?. Encuentra la expresión algebraica de la suma.
4. ¿Puedes realizar las operaciones indicadas?. Imagínate que son números, ¿cómo sumarias éstos?. Aplica las reglas para sumar fracciones numéricas.
5. Analizar la expresión que obtuviste, ¿cómo es el numerador?, ¿Cómo es el denominador?, ¿en algunos de ellos aparece la suma de x y y?, ¿en cuál?.
6. ¿Qué significa que la suma de los recíprocos de los números sea la cuarta parte de la suma de los números?. En la expresión que obtuviste en el punto 4, ¿puedes imponer esta condición?, ¿qué senecesita?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
1.1 OPERANDO CON LOS NUMEROS REALES.
UNIDAD I Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Operaciones básicas de números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Estimación de resultados.
233
.El ingeniero Mercado pide un préstamo de $ 3 000 000 para construir casas. Cada casa que construye tiene un costo de $ 200 000 y la vende en $ 250 000, ¿Cómo puede saber cuál será su capital después de haber construido 5, 10, 15 casas? 344,
¿Para cuantas casas le alcanza el préstamo?, ¿qué sucedería si en cada casa ganará $ 60 000?.
¿y si el préstamo inicial fuera de $ 2 500 000?.
APLICACIÓN
“Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado”.
En la expresión no puede figurar aparte de los cuatro cuatros, ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como log, lím, etc.”.
Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100.
A veces será necesario recurrir al signo de factorial !, que se indica después del número y equivale al producto de todos los números naturales desde 1 hasta el número dado, por ejemplo;
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Con el auxilio del factorial de cuatro se escribe fácilmente la expresión:
4! + 4! + 44
= 49
Véase ahora la expresión:
4! X 4 + 44
= 97
La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3.
EJERCICIOS
.
234
344 JOHNSON, GLENER, GARCIA. Explorando la matemática. Mc Graw Hill, Inc. Tomo I. E.U.A., 1967. Pag. 54
BLAISE PASCAL (1623 – 1662). Sin lugar a dudas, Blaise Pascal, pudo haber sido uno
de los talentos más grandes en la historia de las matemáticas, su contribución más original fue en la teoría de la probabilidad, la cual comparte con el famoso matemático francés, Pierre Fermat , quien pudo haberlo ideado fácilmente él sólo. Aun cuando Pascal hizo contribuciones de primera
categoría en matemáticas, sentía una pasión malsana por las sutilezas religiosas desperdiciando su talento en la infructuosa búsqueda de respuestas a problemas irresolubles. Nació en la provincia francesa de Auvernia en junio de
1623, el niño fue dotado de una mente brillante y aquejado por un cuerpo débil, su padre temía quebrantar la salud del niño, trataba de apartarlo del estudio de las matemáticas, no obstante Blaise a la edad de 12 años insistió en saber qué era la geometría, al obtener una clara explicación de su padre, que era a su vez matemático, el muchacho se introdujo inmediatamente en el estudio de la geometría, logrando incluso, la demostración de algunos teoremas sin ayuda de ningún libro. Alrededor de los 16 o 17 años, Pascal había escrito un
asombroso ensayo sobre las secciones cónicas, incluyendo teoremas nuevos y completos acerca de las propiedades de estas curvas, tan profundo fue este trabajo que Descartes no podía creer que hubiera podido ser hecho por alguien tan joven, y lo atribuía al padre. A la edad de 18 años, Pascal había inventado la
primera máquina calculadora del mundo e iniciando su trabajo en física y mecánica, a los 31 años le propusieron un problema relativo al reparto de una apuesta en un juego no concluido, y en conjunto con Fermat, establecieron los resultados básicos de la teoría
VISIÓN HISTÓRICA.
235
de la probabilidad.
“la suma de un número y su cuarta parte es igual
a 15; señale de qué numero se trata”.
SITUACIÓN PROBLEMA
El papiro de Rhind es un documento encontrado en las
ruinas de una pequeña construcción antigua en Tebas; el papiro fue adquirido en 1858 por un anticuario escocés A. Henry Rhind y la mayor parte de él se conserva en el Museo Británico donde se le llamó así en honor a Rhind. El pergamino era una especie de manual de matemáticas que contenía ejercicios y ejemplos prácticos de aritmética.
ESTRATEGIA DE
SOLUCIÓN
La solución egipcia por ”falsa posición”, es como sigue, suponiendo que el número es 4, un número (4) sumado su cuarta
parte ( ) da 15; pero da 5.
Y se necesitan 15, que es tres veces el 5 que se obtuvo, por tanto la respuesta correcta debe ser tres veces la respuesta dada, es decir 3 x 4, o sea 12.
Trate de utilizar el método de la “falsa posición” para resolver los siguientes problemas:
1. La suma de un número con su sexta parte es 21, ¿cual es el número?.
2. La suma de un número a su mitad y su cuarta parte es igual a 28. Encuentre el número.
3. Si se suma un número con sus dos terceras partes, y de la suma se resta una tercera parte de ella, se obtendrá
FORMALIZACIÓN
441 de
1.1.1 ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
236
10 como resultado. ¿cuál es el número?. Escriba en notación binaria los números del 1 al 7, obteniéndose lo siguiente
Decimal.
Binario.
1 2 3 4 5 6 7
1 10 11
100 101 110 111
Posteriormente señale tres columnas con las letras A, B y C., en la columna A liste los números que tienen un 1 en el lugar de las unidades cuando están escritos en notación binaria, en la columna de B indique los números que tienen un 1 en la segunda posición a partir de la derecha, en notación binaria y en C escriba los números que presentan un 1 en la tercera posición.
A B C 1 3 5 7
2 3 6 7
4 5 6 7
Pídale alguien que piense en un número de éstos y qué sólo le indique las columnas en las que aparece; suponga que el número pensado fue el 6 ( que aparece en las columnas B y C), obtenga la suma de los números en la parte superior de las columnas B y C, esta suma es 2 + 4 = 6, que es el número deseado; ¿puede decir por qué ocurre así?.
APLICACIÓN
El 14 de julio de 1965, un a cámara instalada en la sonda espacial Mariner IV tomó las primeras fotografías del planeta Marte y las envió en forma de señales de radio hacia la Tierra, en donde una computadora recibió las “fotografías” en forma de numerales binarios formados por seis bits (un bit es un digito binario), el sombreado de cada punto en la fotografía final, fue determinado por seis bits.
El numeral 000000dos (0 en base diez) indicaba un punto
blanco y el numeral 111111dos (63 en base diez) denotaba un punto negro, los 62 numerales intermedios representaban distintos sombreados que iban del gris al negro, para obtener una fotografía completa se necesitaban 40 000 puntos, ¡cada uno de los cuales constaba de seis bits!.
1. Si uno de los numerales recibidos fue el 110111dos , ¿puede decir que numeral decimal le corresponde?.
2. ¿El punto que corresponde al numeral recibido en el problema anterior representa una sombra de color gris cercana al blanco o al negro?.
3. ¿Cuál es el numeral binario que representaría el gris más claro que no llegue al blanco?.
4. ¿Cuál es el numeral binario que constituiría el gris más
EJERCICIOS
.
237
oscuro que no llegue al negro?. 5. ¿Puede decir qué numeral binario representaría el
sombreado correspondiente al número 31?.
¿CÓMO CONTABAN LOS MAYAS?.
Lo que podemos leer dentro de los textos y las inscripciones que los mayas nos legaron está constituido esencialmente por datos numéricos, astronómicos y calendarios.
Como los otros pueblos de las América precolombina, los mayas contaban no con base 10 sino por veintenas y potencias de 20, la razón, se ha dicho, se debía a la costumbre de sus ancestros de contar no sólo con los diez dedos de las manos sino también con los de los pies.
Para darnos una idea precisa de esta manera de contar, vemos los nombres de los números en una variante del idioma maya utilizado actualmente en Yucatán (el maya se habla todavía en los estados de Yucatán, Campeche, Tabasco, una parte de Chiapas y Quintana Roo, así como en casi toda Guatemala, El Salvador y el oeste de Honduras).
1 hun 2 ca 3 ox 4 can 5 ho 6 uac 7 uuc 8 uaxac 9 bolon 10 lahun 11 buluc 12 lahca (lahun + ca = 10 + 2) 13 ox-lahun (3 + 10) 14 can-lahun (4 + 10) 15 ho-lahun (5 + 10) 16 uac-lahun (6 + 10) 17 uuc-lahun (7 + 10) 18 uaxac-lahun (8 +10) 19 bolon-lahun (9 +10)
VISIÓN HISTÓRICA.
238
- Somos hermanos explicó el más viejo y recibimos como herencia esos 35 camellos, según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed Namir una tercera parte y a Harim, el más pequeño, el joven, sólo la novena parte..
No sabemos sin embargo, como efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos, ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado aceptable; si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición?.
SITUACIÓN PROBLEMA
- Muy sencillo, dijo Beremiz, el Hombre que Calculaba, antes de hacer el reparto, permítanme que una a esos 35 camellos este bello jamal, que, inmediatamente pasó a incrementar la cáfila que debía ser repartida entre los tres herederos. amigos míos, dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos que como ahora ven son 36.
Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, hablo así: Tendrías que recibir amigo mío, la mitad de 35, esto es 17 y medio, pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto 18; nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división.
Y dirigiéndose al segundo heredero, continuó: y tú Hamed, tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más, recibirás un tercio de 36, estro es 12; no podrás protestar, pues también tu sales ganando con la división. Y por fin dijo al más joven, según la última voluntad de tu padre, tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte de del otro, sin embargo, te daré la novena parte de 36 o sea, 4, tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado que a todos a favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado de 34 camellos; de los 36 camellos sobran por tanto dos, uno como saben pertenece al bagdalí, mi amigo y
ESTRATEGI
A DE
SOLUCIÓN
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS DE DIFERENTES SISTEMAS..
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números Racionales.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se exploren varias posibilidades.
239
compañero, otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia.
Hecha la partición de acuerdo con las determinaciones del testador, quedaría un resto:345 17
Se advierte, pues, que la suma de las tres partes no es igual a 35 sino a:
33. Y existe por tanto un resto
¿Cómo hacer el aumento de las partes de cada heredero?, aumentando una unidad el dividendo, de 35 a 36, el resto pasaría a ser de dos camellos. Hubo un error por parte del testador, Beremiz con el artificio empleado distribuyó los 17 entre los tres herederos, aumentando la
parte de cada uno y se quedo con la parte entera de la fracción excedente.
FORMALIZACIÓN
8133
983
3211
21
=++
81
18171
81
323335 +=+−
18
La suma de dos números es 70. Si dividimos el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el residuo es 10. Encuentre dichos números.
Los catetos de un triángulo rectángulo suman 7 cm. Si se divide el cateto mayor entre el menor., el cociente es 1 obteniendo también 1 como residuo. ¿cuánto vale la hipotenusa del triángulo?.
Dos números enteros pares consecutivos satisfacen las siguientes condiciones: si al cociente del menor entre l mayor se le resta el recíproco del numero obtenido al sumar dos unidades al numerador y al denominador de la fracción, se obtiene
−.¿Cuales son?
Cierto numero de amigas deciden tejer manteles para vender. Para tener un ingreso en un plazo menor, deciden tejerlos de cuadros, uniendo cada semana los que tejen durante ese lapso. Todas tejen semanalmente el mismo numero de cuadros. La primera semana reúnen 108 cuados, la segunda semana 116, la tercera 76. Al finalizar la tercera semana cada una ha tejido 75 cuadros. ¿cuantas personas tejen?. La diferencia de dos números positivos es 121. Si dividimos el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo es 17. Encuentra los números.
APLICACIÓN
Alicia leyó 98 de las páginas de un libro. Le faltan por leer 25
páginas. ¿cuántas páginas tiene el libro?.
21
345 TAHAN., Malba. El Hombre que calculaba. Noriega Editores. 5a edición México, 1992. Pág. 25 240
Una bomba puede vaciar una cisterna en 21
3 horas, otra la vacía
en 4 horas. ¿en cuanto tiempo vaciaran la cisterna las dos bombas trabajando juntas?.
EJERCICIOS.
GALILEO GALILEI. Galileo Galilei nació en la ciudad italiana de Pisa en
1564 y murió en 1642. Se dice que es el Padre de la Ciencia Moderna por
que encontró una manera de describir matemáticamente la naturaleza y de verificar la validez de esta descripción mediante el experimento. Buscó la manera de expresar matemáticamente la
velocidad de un cuerpo cando cae en función de la distancia que recorre, estaba convencido de que debía haber una fórmula matemática que describiera este movimiento. Lo siguiente es un extracto de su libro Il Saggiatore,
escrito en 1623, en el cual se distingue la concepción matemática de la naturaleza que tiene Galileo: La naturaleza está escrita en ese grandioso libro
abierto ante nuestros ojos (lo llamo Universo). Pero no se puede descifrar si antes no se comprende
su lenguaje y se conocen los caracteres en que esta escrito. Está escrito en lenguaje matemático, siendo sus
caracteres los triángulos, círculos y figuras geométricas. Sin estos medios es imposible comprender una
palabra; sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto.
VISIÓN HISTÓRICA.
241
Un tendero observó que un estante tenía cuatro anaqueles con latas o envases, cada uno de los cuales constaba de cinco hileras de tres latas, contó las que había en cada fila (3) y el número de filas (5) y encontró que tenia 15 latas por nivel, después multiplico el resultado por 4, y se dio cuenta de que tenia (5 x 3) x 4 = 60 latas; su hijo se percató de que había cuatro latas en cada pila. Había tres latas en cada fila, así que cada sección tenia 4 x 3 = 12 latas. Más tarde multiplicó esta cifra por el número de filas y obtuvo (4 x 3) x 5 = 60 envases. ¿Cuál de las propiedades de campo de los números reales, garantiza que el total, calculando de una u otra forma, será el mismo?.
SITUACIÓN PROBLEMA
La persona A afirma que hay tres filas de cinco objetos frente a él, en tanto que la persona B dice que hay cinco filas de tres objetos delante de él.346
¿Cuál de las propiedades de campo de los números reales garantiza que ambos ven la misma cantidad de objetos en total?.
B
o o o o o A o o o o o
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
242
1.1.3 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Propiedades de campo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que distingan su aplicación.
o o o o o Generalmente se afirma que Pitágoras y sus seguidores fueron los primeros en considerar a la teoría de los números; los pitagóricos creían que ciertos números poseían propiedades místicas relacionadas con especulaciones numerológicas, por ejemplo, definían a un numero como perfecto si éste era igual a la suma de sus divisores propios (los divisores propios de un número incluyen todos los divisores del número, excepto el mismo), por ejemplo, 28 es un número perfecto porque los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14, y 1 +2 + 4 + 7 +14 = 28.
FORMALIZACIÓN
En el siglo III A.C. el matemático griego Eratóstenes inventó el
siguiente procedimiento para obtener números primos, listó todos los números desde el 2 hasta cierto numero dado, sobre una placa de cobre, supóngase que del 2 al 50, concluyó que el 2 es primo, pero cualquier múltiplo de 2: 4. 6. 8. etc. Es compuesto porque es divisible entre 2; posteriormente encerró en un círculo al número 2, por ser número primo, y señalo con una perforación con una aguja de acero a todos los múltiplos del mismo.
Enseguida encero en un circulo al número 3 que también era número primo y perforó con la aguja de acero a todos los múltiplos de 3, de modo similar encerró en un círculo al 5 (el siguiente primo), y señalo a sus múltiplos; continuó este procedimiento hasta llegar a la exclusión de números compuestos, hasta que el primer primo exceda el cuadrado del número final de la lista.
¿Podría explicar por razones obvias, porque el método anterior reciba el nombre de Criba de Eratóstenes?.
APLICACIÓN
1. Obtenga todos los números compuestos entre 20 y 30, inclusive.
2. Halle un par de números primos cuya diferencia sea 1.
¿Podría encontrar otro par de números primos, cuya diferencia sea 1?. ¿Por que?.
Escriba cada uno de los números dados como un producto de primos, si el número es primo, señálelo así.
a. 24 b. 41 c. 82 d. 39
EJERCICIOS
.
243
LAS TRAVESURAS DE UNA RAÍZ CUADRADA. Seguramente has oído hablar de Pitágoras, el
matemático griego del siglo VI antes de nuestra era. Junto con sus discípulos estudió las propiedades de los
números naturales; llegaron a creer que todo el universo estaba construido con base en estos números . . . hasta que hicieron un descubrimiento que contradijo la armonía que ellos aparentemente habían encontrado en el mundo. Descubrieron los números que no tienen fin; hay raíces
cuadradas exactas tales como:
= 4 y
= 5 Pero hay otras como:
= 1,41421356...
= 2.64575131...
Que dan por resultado números decimales, con una
sucesión de dígitos después del punto decimal que no se repiten, y que nunca terminan. Se dieron cuenta que, por ejemplo, en cualquier
triángulo rectángulo que tenga sus dos catetos iguales, la hipotenusa nunca podrá expresarse como un número natural ni como una fracción, sino únicamente como uno de estos números decimales. Habían encontrado los números irracionales.
VISIÓN HISTÓRICA.
16
25
2
7
244
Un almacén tiene una gran venta: por lo que decide comprar dos colchas y dos colchones y una lámpara, si el precio de una colcha y un colchón es de $14 + $88 y si pagas $216.
¿Cuánto pagaste por la lámpara?
SITUACIÓN PROBLEMA
El precio de una colcha y un colchón es de $14 + $88, así el precio de dos artículos de cada uno es:
2 x ($14 + $88)
Por lo que el costo de la lámpara es:
Costo = $216 – [2 x ($14 + $88)]
El costo de la lámpara es de $12.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
Se han utilizado dos tipos de símbolos de agrupación, los
paréntesis ( ) y los corchetes [ ], existe un símbolo de agrupación adicional, las llaves ; el orden de estos símbolos de agrupación es [( )] ⟩ . ⟨
Cuando los símbolos de agrupación se presentan dentro de otros símbolos de agrupación, los cálculos en los símbolos de agrupación más internos se efectúan primero.
FORMALIZACIÓN
⟩⟨
1.1.4 SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Operaciones con signos de agrupación.
TEMAS RELACIONADOS. Sumas, multiplicaciones de cantidades con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Reducción de términos.
245
Como pago de un pequeño lote de carneros recibieron, aquí en Bagdad, una partida de vino excelente, envasado en 21 vasijas iguales, de las cuales se hallan:
7 llenas
7 mediadas
7 vacías
Quieren ahora repartirse estas 21 vasijas de modo que cada uno de ellos reciba el mismo número de vasijas y la misma cantidad de vino.
Repartir las vasijas es fácil, cada uno se quedará con siete, la dificultad está, según entiendo, en repartir el vino sin abrir las vasijas; es decir, dejándolas exactamente como están, ¿Será posible, hallar una solución satisfactoria a este
problema?.
APLICACIÓN
En un hotel de las afueras de París se hospedaron
tres amigos, pagando 30 francos por una habitación triple.
El administrador, compadeciéndose de los muchachos, les hizo un descuento y les mando cinco francos con el mozo.
Pero el mozo dio sólo un franco a cada uno de los tres jóvenes y se quedó con los otros dos francos. Entonces, la habitación les costo a los amigos 27 francos, más dos francos del mozo son 29 francos. ¿dónde quedó el otro franco?.
EJERCICIOS.
246
EL GRAN EULER (1707 – 1783). Leonhard Euler es uno de los más de los más grandes
matemáticos de la época moderna. Nació en Basilea, Suiza, y fue discípulo de otro gran
científico, Johann Bernoulli, pero muy pronto superó a su maestro, trabajo en las Academias de Ciencias de Berlín y de San Petersburgo donde escribió la mayor parte de sus obras. Es uno de los científicos más prolijos de todos los
tiempos, a pesar de que los últimos 17 años de su vida sufrió una ceguera total, sus obras completas ocupan más de 100 volúmenes. En 1735, se propuso ganar el premio de París
resolviendo un problema de astronomía que muchos matemáticos de renombre consideraban que tomaría varios meses en ser resuelto, Euler dio la respuesta al problema en tres días de trabajo ininterrumpido, pero el esfuerzo hizo que adquiriera una grave enfermedad, la cual le privo de la vista en el ojo derecho. Al mediodía del 18 de septiembre de 1783, había
esbozado los cálculos de la órbita del planeta Urano, recientemente descubierto. Se le considera uno de los matemáticos más prolíficos
que han vivido, hizo importantes aportaciones en todas las áreas de las matemáticas teóricas y aplicadas, él sugirió que algunas relaciones como y = 2x + 1 debían ser llamados funciones, es decir el valor de y es función del valor de x. En 1755, definía las funciones de la siguiente manera:
“Si algunas cantidades dependen de otras cantidades
de tal manera que si las últimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las últimas...”
VISIÓN HISTÓRICA.
247
En un banquete hay 43 personas entre hombres, mujeres y niños, en total el banquete costo $1 075.00.
Cada hombre pago $45.00, cada mujer, $30.00 y cada niño $15.00; si el número de hombres y mujeres es igual al número de niños menos 1, ¿cuántos hombres hay?, ¿cuántasmujeres? y ¿cuántos niños?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1. Haz una estimación de cuántos niños había en el banquete, ¿por qué crees que ése debe ser el número?
2. Si llamas h al número de hombres, m al número de mujeres y n al número de niños, ¿cómo expresarías que el total de comensales es 43?
3, ¿Qué relación hay entre el número de hombres y mujeres y el número de niños?, ¿cuál es la expresión algebraica de esta relación?.
4. Si cada hombre pagó $45.00 y fueron h hombres, ¿cuál fue el total pagado por ellos?.
5. ¿Cuál fue el total pagado por las mujeres?, ¿y por los niños?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
En una expresión algebraica, es posible que una de las
variables dependa, a su vez, de otra; por ejemplo, supongamos que la variable z depende de la variable y según la expresión: z = y + 4, pero que a su vez, la variable y depende de la variable x según la expresión y = 2x. En este caso, podemos encontrar una expresión algebraica que nos indique como z depende de x:
Z = y + 4, pero como y = 2x, entonces Z = 2x + 4.
FORMALIZACIÓN
1.2 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Reales.
TEMAS RELACIONADOS. Solución de problemas en forma aritmética.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Estimación de resultados.
248
En la escuela, el numero de alumnos es del
número de alumnas, si ingresaran 12 hombres y dejaran de asistir diez mujeres, habría seis alumnos más que alumnas; ¿cuántos alumnos y cuántas alumnas hay actualmente en el plantel.
1. Haz una primera estimación del número total de alumnos y alumnas en la secundaria, ¿crees que sea mayor que 50?, ¿entre 50 y 100?, ¿más de 100?
2 Si llamas x al número de alumnas, ¿cómo expresas el número de alumnos?.
3. Si ingresaran 12 hombres, ¿cuál sería entonces el número de alumnos?, exprésalo algebraicamente.
4. Si dejaran de asistir diez mujeres, ¿cuál sería entonces el numero de alumnas?, exprésalo algebraicamente.
5. ¿Cómo puedes expresar que, en este supuesto caso, el número de alumnos excede el número de alumnas en seis?, exprésalo en una sola ecuación de la variable x.
6. Si encontraste una ecuación en x, simplifícala eliminando paréntesis y reduciendo los términos semejantes, ¿qué expresión obtienes?, compárala con las obtenidas por tus compañeros.
APLICACIÓN
1, El numerador de una fracción es 4 unidades menor que el denominador, si ambos se le suma 1, la
fracción es 43
, ¿de qué fracción se trata?.
2. El denominador de una fracción es igual a su numerador más 2, si se le suma una fracción cuyo numerador sea igual al numerador original más 1 y cuyo denominador sea igual al doble del numerador original más 4, se obtiene, ¿cuál es esa fracción?
EJERCICIOS
.
32
249
MUJERES Y MATEMÁTICAS.
Antiguamente se pensaba que ciertas carreras eran adecuadas sólo para los hombres y otras sólo para las mujeres.
Se creía que las matemáticas representaban una profesión masculina, aunque esta creencia no tiene ninguna base, todavía hoy las mujeres son una minoría en este campo.
En 1907, cuando Emmy Noether recibió su doctorado en matemáticas en Alemania, no había ningún trabajo para las mujeres en esta área.
Además sus colegas no aceptaban su presencia porque, ponían como pretexto, ¡no había baños de mujeres en la Universidad!.
Emmy tuvo que dar sus clases bajo el nombre de un amigo suyo para poder recibir un salario.
Cuando el surgimiento del nazismo forzó a los judíos a salir de Alemania en 1933, Emmy Noether emigró a Estados Unidos donde fue contratada como profesora en una Universidad de Pennsylvania.
Sus resultados en matemáticas produjeron algunos de los más importantes cambios en el álgebra moderna.
VISIÓN HISTÓRICA.
250
Mauro y Rosa están en una tienda de autoservicio tratando de resolver un dilema: tienen tres envases de jugo de frutas de diferentes marcas, los tres son prismas rectangulares pero con dimensiones distintas, y dicen tener ¡la misma capacidad!
Mauro. -¿cómo pueden tener la misma capacidad si éste es más alto?.
Rosa. –Si, pero la base de esta es menos larga...
Mauro. –Pero tienen el mismo ancho...
¿Quién tiene razón?
Marca Ancho Largo Alto Capacidad A 5 cm 10 cm 12 cm B 5 cm 8 cm 15 cm C 5 cm 6 cm 20 cm
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:347
1. Copia el cuadro anterior en tu cuaderno y haz un dibujo a escala de los tres envases.
2. ¿Es cierto que los tres envases tienen la misma capacidad?, ¿cómo puedes calcularla? (recuerda que la capacidad del cuerpo geométrico es igual a su volumen), completa el cuadro.
3. ¿Crees que haya alguna relación entre la altura y el largo de los envases?. ¿qué sucede con la altura cuando el largo de la base disminuye?, ¿qué sucede con el largo de la base cuando la altura disminuye?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
1.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MÉTODOS ARITMÉTICOS.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
251
Cuando los valores de una cantidad dependen de los
valores de otra cantidad decimos que la primera es función de la segunda.
La primera se llama variable dependiente y la segunda, la variable independiente.
Por ejemplo, la longitud de la circunferencia (C) es función (depende) del radio R, de acuerdo, de acuerdo con la fórmula C = 2 ; la circunferencia es la variable dependiente (depende del valor que le demos al radio) y el radio es la variable independiente (se puede cambiar su valor, sin restricción); a partir de valores conocidos de las variables es posible encontrar valores desconocidos.
FORMALIZACIÓN
Interesa conocer de momento la solución del problema que constituye el epitafio del célebre geómetra griego Diofanto:
“He aquí el túmulo de Diofanto, -maravilla para quien la contempla-; con artificio aritmético la piedra enseña su edad”.
“Dios le concedió pasar la sexta parte de su vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un séptimo en un estéril matrimonio. Pasaron cinco años y le nació un hijo. Pero apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre, cuando murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de la ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su existencia”.
Simbolizando de una manera convencional
APLICACIÓN
- Hierón, rey de Siracusa, mando a sus orfebres cierta cantidad de oro para que hicieran una corona que deseaba ofrecer a Júpiter.
Cuando el rey recibió la obra acabada, comprobó que la corona tenia el peso del oro entregado, pero el color del oro le inspiró desconfianza pensando que pudieran haber mezclado plata con el oro; para aclarar sus dudas consultó a Arquímedes, el geómetra, quien paso mucho tiempo sin poder resolverlo, un día estando en el baño, descubrió el modo de solucionarlo, saliendo gritando: ¡Eureka! ¡Eureka!. ¿Cómo logro la demostración?.
EJERCICIOS.
Rπ
=+++++ 42
57126
xxxx
252
LAS TABLETAS BABILONICAS.
Babilonia fue la principal ciudad de una de las primeras civilizaciones del mundo; fue una de las capitales de Mesopotamia, situada en los valles de los ríos Tigris y Eufrates, en el área que hoy ocupa Irak.
La civilización mesopotámica floreció durante unos 3 600 años, desde 3 500 a. C., hasta la aparición delúltimo texto cuneiforme en el año 75 d. C.
Muchos de los rasgos de la sociedad moderna se desarrollaron por primera vez en las cuatro civilizaciones que florecieron en los valles de los grandes ríos: el Nilo, el Indo y el río Amarillo, tales rasgos dependen del desarrollo de dos lenguajes humanos básicos; las o palabras y los números; nuestra escritura y nuestras matemáticas tienen sus raíces en Mesopotamia.
Durante el antiguo periodo babilónico, los habitantes de Mesopotamia lograron un alto nivel de civilización, pues llevaban a cabo complejas operaciones, como el pago de salarios, determinación de tierras cedidas, división de una herencia, cálculo de interés compuesto y otras.
Tales acciones económicas requerían de habilidades de cálculo considerables, muchas tabletas muestran diferentes tipos de tablas matemáticas que indican que los babilonios poseían esas habilidades.
Mucho de lo que conocemos sobre los babilonios, proviene de una serie de tabletas de arcilla que eran usadas para escribir; cerca de 500 del medio millón de tabletas extraídas por los arqueólogos responden a intereses matemáticos.
Esas tabletas están ahora dispersas en museos y universidades de Europa, Norteamérica e Irak, los textos matemáticos babilonios permanecieron durante mucho tiempo, hasta 1930, sin descifrar, aún ahora existen evidencias que continúan inexploradas.
VISIÓN HISTÓRICA.
253
En una carrera de 130 Km, ¿quién llega primero a la
meta, el auto A que lleva una velocidad de 85 Km./h o el auto B que viaja a 65 Km./h pero que sale, al mismo tiempo que A, 35 Km más adelante?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1, Antes de hacer ningún cálculo haga una predicción, ¿crees que llegue primero A?, ¿B?, ¿por qué?
2. ¿Qué distancia recorre el auto A?, ¿y el auto B?
3. ¿En cuánto tiempo llegaría A la meta si la distancia fuera de 85 Km?.
4. ¿Crees que A tarde más de una hora en recorrer la distancia de la carrera?. ¿menos?, ¿por qué? 5. ¿Crees que haya alguna relación entre la distancia recorrida por el auto A y el tiempo transcurrido?, intenta escribirla algebraicamente, llamada dA a la distancia que recorre y t al tiempo que tarda en recorrerla; en unos ejes coordenados, gráfica la función que encontraste.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
1.2.2. RAZONES Y PROPORCIONES.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Racionales.
TEMAS RELACIONADOS. Variación de magnitudes.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Tratamiento de la información.
254
Las funciones de la forma y = mx + b, donde m y b
son números conocidos, tienen como gráfica siempre una recta. y y = mx +b x
El número m se llama pendiente y el número b es el punto donde la recta corta al eje de las y.
FORMALIZACIÓN
Jesús y Estela están llenando con agua un tanque de 200 litros, Estela tiene una cubeta de 4 litros y Jesús una de 6 litros. ¿de qué manera pueden llenar el tanque?, ¿cuántas cubetas llenas pueden echar cada uno para que se llene el tanque?.
1. ¿Cuántos litros de agua ha echado Estela si lleva cinco cubetas?, ¿y con diez cubetas?.
2. ¿Cuántos litros de agua ha echado Jesús se lleva ocho cubetas?, ¿y con 15 cubetas?.
3.¿Cuántos litros de agua ha echado Estela si lleva N
cubetas?, exprésalo algebraicamente.
APLICACIÓN
Una población de insectos se reproduce continuamente en un ambiente donde los recursos son renovados, sin embargo, conforme aumenta la población, los alimentos disponibles por individuo varían de acuerdo con la ecuación siguiente:
A = 50/p, donde A es la reserva de alimentos (en toneladas) y p es la población (en cientos de individuos), ¿cuál será la reserva de alimentos por individuo cuando la población sea de 2 800 insectos?, ¿y de 3 500?.
255
EJERCICIOS.
RENÉ DESCARTES (1596 – 1650).
Soldado, filósofo y matemático, nació el 31 de marzo de 1596, cerca de Tours, Francia, en la época en que Europa estaba convulsionada por los debates políticos y religiosos, y en la mitad de uno de los grandes períodos intelectuales de la historia de la civilización.
René no fue un niño particularmente precoz y su endeble salud propició que su educación formal se retrasara hasta que tuvo 8 años, su padre lo inscribió en una escuela jesuita, donde el rector se dio cuenta que el niño necesitaba más descanso que el normal, por lo que le aconsejó, que por las mañanas permaneciera en cama hasta la hora que quisiera.
Descartes siguió este consejo, que tuvo efectos positivos en su salud y adquirió el hábito de permanecer hasta tarde en la cama siempre que pudiese.
A los 32 años, aún no había publicado ninguno de sus trabajos y se le persuadió de que preparara sus investigaciones para su publicación, a los 38 años reunió todo lo que había escrito, en lo que sería un gran tratado para el mundo, pero por el temor al descontento eclesiástico que podían suscitar sus conclusiones, se abstuvo de publicarlo.
Finalmente cuando tenía 41 años, sus amigos lo convencieron para que imprimiera su obra maestra, conocida brevemente como “El Método”, la cual fue publicada en 1637, al final de este trabajo había un ensayo sobre geometría, que es probablemente la obra de mayor importancia hecha por Descartes; era geometría analítica, la cual habría de revolucionar el
VISIÓN HISTÓRICA.
256
reino entero de la geometría, y hacer posible, en gran parte, el desarrollo de las matemáticas modernas.
El costo de producción de una bicicleta es de x pesos, el
fabricante vende sus bicicletas al almacén con el 20% más del costo de producción, y el almacén vende las bicicletas al público en el doble de lo que pagó por ellas. ¿Cuál es el precio final de venta de cada bicicleta?, ¿depende este precio final del costo de producción?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1. ¿Cómo es la ganancia del fabricante comparada con la ganancia del comerciante?, ¿mayor, menor o igual?, ¿tu respuesta depende del costo de producción de la bicicleta?.
2. ¿Qué relación hay entre el costo de producción y el precio
en el que el almacén compra la bicicleta al fabricante?, si llamas y a este último, ¿cómo expresarías esta relación algebraicamente?.
3. ¿Qué relación hay entre el precio en el que el almacén compra la bicicleta al fabricante y el precio en el que la vende al público?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
1.2.3. MODELOS ALGEBRAICOS: UNA GENERALIZACIÓN.
Aritmética
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
257
Una fórmula es una ecuación compuesta por números y literales.
Despejar una literal en una fórmula significa dejar esa literal sola en el primer miembro de la ecuación.
FORMALIZACIÓN
En el movimiento de un cuerpo que sigue una trayectoria
circular la fuerza centrípeta (la fuerza con la que se jala el cuerpo hacia el centro de la trayectoria) está dada por la fórmula F = mv2/r, donde m es la masa del cuerpo, v su velocidad y r el radio de la trayectoria.
1. ¿Cuál será la expresión para la velocidad del cuerpo?.
2. ¿Cuáles son las variables que intervienen en la fórmula de la fuerza centrípeta? , analízalas y discute con tus compañeros el significado de la relación; por ejemplo ¿qué pasa con la fuerza cuando la velocidad aumenta?, ¿aumenta o disminuye?, ¿qué sucede si el radio de la trayectoria aumenta?.
3. Para despejar v en la formula, es necesario tenerla en el primer miembro, ¿crees que se altere la ecuación si se intercambian los miembros?, ¿por que? 4. En el término mv2/r, ¿qué operación se realiza entre mv2 y r?, ¿cuál es la operación inversa?, ¿qué tendrías que hacer para quitar la r de ese término?.
APLICACIÓN
En cada una de las siguientes fórmulas, despeja las literales que se indican, ¿puedes identificar las fórmulas?, haz una competencia con tus compañeros.
1. A = bh, despejar b y después h.
2. A = 21
bh, despejar b y después h.
3. e = v0t + 21
at2, despejar v0 y después a.
4. A = π R2, despejar a R.
EJERCICIOS.
258
5. A = 21
(B + b)h, despejar h, después B y finalmente b.
6. e = 21
gt2, despejar g y después t.
EL 15 MÁGICO. En 1878, Sam Loyd inventó un rompecabezas llamado
el 15 mágico que probablemente tú ya conozcas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 El rompecabezas consiste en un marco cuadrado que
encierra 15 pequeños bloques móviles numerados del 1 al 15. Como hay espacio para 16 bloques, queda un espacio
libre para un bloque más, la posición que se ve en la figura se llama posición normal. Como los bloques no pueden salirse del marco, el
espacio libre permite deslizar los 15 bloques a posiciones diferentes. El número de posibles posiciones distintas es de ¡más
de 20 billones ( 20 000 000 000 000 )!. El rompecabezas fue muy popular el siglo pasado y
todavía hoy puede encontrarse en las jugueterías, en muchas ocasiones se organizaron torneos para llegar a un arreglo particular a partir de la posición normal. Naturalmente las competencias eran muy atractivas porque parecía un juego muy fácil, sin embargo, nadie
VISIÓN HISTÓRICA.
259ganó nunca un premio porque se proponían arreglosimposibles.
Un navío que volvía de Serendib, con un cargamento de especias, se vio sorprendido por una violenta tempestad, siendo salvada por tres marineros, el capitán queriendo recompensar a los marineros, les dio cierto numero de monedas (catils), superior a doscientos, no llegaba a trescientos, las cuales fueron colocadas en una caja para que al día siguiente al desembarcar, se repartieran.
Aconteció sin embargo que durante la noche uno de los marineros despertó, se acordó de las monedas y pensó: “será mejor que quite mi parte, así no tendré que discutir y pelearme con mis compañeros”, se levantó sin decir nada a sus compañeros y fue donde se hallaba el dinero. Lo dividió en tres partes iguales, más notó que la división, no era exacta y que sobraba un catil (una moneda). “Por culpa de esta miserable moneda pensó, habrá mañana una discusión entre nosotros. Es mejor tirarla”, el marinero tiró la moneda al mar y volvió cauteloso a su camastro; se llevó su parte y dejó en el mismo lugar lo que le correspondía a sus compañeros.
Horas después. El segundo marinero tuvo la misma idea, fue al arca en que se había depositado el premio colectivo e ignorando que uno de sus compañeros había retirado su parte, dividió ésta en tres partes iguales, sobrando también una moneda, el marinero para evitar futuras discusiones, pensó de igual modo que lo mejor era echarla al mar, y así lo hizo; luego regresó a s u litera llevándose la parte a que se creía con derecho.
El tercer marinero, ¡oh casualidad! Tuvo también la misma idea, de igual modo, ignorando por completo que se le habían anticipado sus dos compañeros, se levantó de madrugada y fue a la caja de las monedas; dividió las que hallara en tres partes iguales, más el reparto también resulto inexacto, sobraba una moneda y, para no complicar el caso, el marinero optó también por tirarla la mar, retiró su tercera parte y volvió tranquilo a su lecho.
SITUACIÓN PROBLEMA
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Expresiones algebraicas.
TEMAS RELACIONADOS. Solución de problemas en forma simbólica.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Traducciones del idioma español al álgebra, y viceversa.
Lenguaje Algebraico.
2.1 EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS.
260
Al día siguiente, llegada la hora de desembarcar, el almojarife del navío encontró un puñado de monedas en la caja, las dividió en tres partes iguales y dio luego a cada uno de los marineros una de esas partes; pero tampoco esta vez fue exacta la división, sobraba una moneda que el almojarife se guardó como paga de su trabajo y de su habilidad.
Desde luego ninguno de los marineros reclamó pues cada uno de ellos estaba convencido de que ya había retirado de la caja la parte de dinero que le correspondía.
¿Cuántas monedas había al principio?, ¿cuánto recibió cada uno de los marineros?.
Beremiz, el Hombre que Calculaba, debía dar una solución completa, y hablo así:
- Las monedas, que eran, según se dijo, más de 200 y menos de 300, debían ser, en principio,
241 monedas.
El primer marinero las dividió en tres partes iguales,
sobrándole una que tiró al mar:
241 : 3 = 80 cociente 1 resto.
Retiró una parte y se acostó de nuevo, en la caja quedaron pues:
241 – (80 + 1) = 160 monedas.
El segundo marinero procedió a repartir entre las 160 monedas dejadas por su compañero, más al efectuar la división, resultó que le sobraba una optando también por arrojarla al mar:
160 : 3 = 53 cociente 1 resto.
Embolsó una parte y regresó a su lecho, en este momento, en la caja solo quedaron:
160 – (53 + 1) = 106 monedas.
A su vez el tercer marinero repartió las 106 monedas entre tres iguales, comprobando que le sobraba una moneda, por las razones indicadas decidió tirarlas al mar:
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
261
106 – (35 + 1) = 70 monedas.
Estas fueron halladas a la hora del desembarque por el almojarife, quien obedeciendo las órdenes del capitán procedió a un reparto equitativo entre los tres marineros.
Más al efectuar la división observó que después de obtener tres partes de 23 monedas, le sobra una:
70 : 3 = 23 cociente 1 resto.
Entrega pues veintitrés monedas a cada marinero y opta por quedarse la moneda sobrante; e definitiva, el reparto de las 241 monedas se efectuó de la manera siguiente:
1° marinero 80 + 23 = 103.
2° marinero 53 + 23 = 76.
3° marinero 35 + 23 = 58.
Almojarife 1.
Arrojadas al mar 3
Total 241
Y enunciada la parte final del problema Beremiz se calló.
Este problema aparece en diversas formas en los libros de entretenimientos matemáticos
Con los recursos de la actualidad podemos resolver de manera general e indicar la fórmula final para l cálculo de la incógnita.
Designando con x el número de monedas la solución sería:
X = 81 K – 2.
Los valores posibles de x son:
79, 160, 241, 322, 403, 484...
Cualquier término de esta sucesión podría servir para el total de monedas en el problema de los tres marineros, era preciso, sin embargo limitar el valor de x. Constando en el enunciado la afirmación de que el número de monedas es superior a 200 y que no legaba a 300, el Hombre que Calculaba adoptó el valor de 241 que era el único que servía para el caso.
FORMALIZACIÓN
262
En la escuela, el numero de alumnos es del
número de alumnas, si ingresaran 12 hombres y dejaran de asistir diez mujeres, habría seis alumnos más que alumnas; ¿cuántos alumnos y cuántas alumnas hay actualmente en el plantel.
1. Haz una primera estimación del número total de alumnos y alumnas en la secundaria, ¿crees que sea mayor que 50?, ¿entre 50 y 100?, ¿más de 100?
2 Si llamas x al número de alumnas, ¿cómo expresas el número de alumnos?.
3. Si ingresaran 12 hombres, ¿cuál sería entonces el número de alumnos?, exprésalo algebraicamente.
4. Si dejaran de asistir diez mujeres, ¿cuál sería entonces el numero de alumnas?, exprésalo algebraicamente.
5. ¿Cómo puedes expresar que, en este supuesto caso, el número de alumnos excede el número de alumnas en seis?, exprésalo en una sola ecuación de la variable x.
6. Si encontraste una ecuación en x, simplifícala eliminando paréntesis y reduciendo los términos semejantes, ¿qué expresión obtienes?, compárala con las obtenidas por tus compañeros.
APLICACIÓN
1, El numerador de una fracción es 4 unidades menorque el denominado, si ambos se le suma 1, la fracción
es
, ¿de q e fracción se trata?. u
2. El denominador de una fracción es igual a su numerador más 2, si se le suma una fracción cuyonumerador sea igual al numerador original más 1 ycuyo denominador sea igual al doble del numeradororiginal más 4, se obtiene , ¿cuál es esa fracción?
EJERCICIO
32
43
S.
263
MATEMÁTICAS Y SUS RELACIONES CON EL ÁLGEBRA.
Como Beremiz, el Hombre que Calculaba inicia sus lecciones de Matemáticas, hablando así a su alumna:
-Cuando miramos, señora, hacia el cielo en una noche encalma y límpida, sentimos que nuestra inteligencia es incapaz para comprender la obra maravillosa del Creador; ante nuestros ojos pasmados las estrellas forman una caravana luminosa que desfila por el desierto insondable del infinito, ruedan las nebulosas inmensas y los planetas, siguiendo leyes eternas, por los abismos del espacio, y surge ante nosotros una idea muy nítida: la noción de “número”.
Vivió antaño en Grecia, cuando aquel país estaba dominado por el paganismo un filósofo notable llamado Pitágoras –Más sabio es Allah!-, consultado por un discípulo sobre las fuerzas dominantes de los destinos de los hombres, el sabio respondió: “los números gobiernan el mundo”.
Realmente, el pensamiento más simple no puede ser formulado sin encerrar en él, bajo múltiples aspectos, el concepto fundamental del número; el beduino que en medio del desierto, en el momento de la plegaria murmura el nombre de Dios, tiene su espíritu dominado por un número: ¡la “Unidad”!, ¡Sí Dios, según la verdad expresada en las páginas del Libro Santo y repetida por los labios del Profeta, es Uno, Eterno e Inmutable!, luego el número aparece en el marco de nuestra inteligencia como símbolo del Creador.
Del número, señora, que es base de la razón y del entendimiento de donde surge otra noción de indiscutible importancia: la noción de “medida”,
Medir, señora, es comparar, sin embargo solo son susceptibles de medida las magnitudes que admiten un elemento como base de comparación; ¿será posible medir al extensión del espacio?. De ninguna manera, el espacio es infinito, y siendo así, no admite término de comparación, ¿será posible medir la Eternidad?, de
VISIÓN HISTÓRICA.
264
ninguna manera, dentro de las posibilidades humanas, el tiempo es siempre infinito y en el cálculo de la Eternidad no puede lo efímero servir de unidad de medida.
En muchos casos, sin embargo, nos será posible representar una dimensión que no se adapta a los sistemas de medidas por otra que puede ser estimada con seguridad; esa permuta de dimensiones, con vistas a simplificar los procesos de medida, constituye el objeto principal de una ciencia que los hombres llaman Matemáticas.
Para alcanzar nuestro objetivo, la Matemática tiene que estudiar los números, sus propiedades y transformaciones, esta parte toma el nombre de Aritmética; conocidos los números, es posible aplicarlos a la evaluación de dimensiones que varían o que son desconocidas, pero que se pueden representar por medio de relaciones y fórmulas. Tenemos así al Álgebra.
Los valores que medimos en el campo de la realidad son representados por cuerpos materiales o por símbolos: en el cualquier caso, estos cuerpos o símbolos están dotados de tres atributos: forma, tamaño y posición, eso constituiría el objeto de la Geometría.
También se interesan la Matemática y el Álgebra por las leyes que rigen los movimientos y las fuerzas, leyes que aparecen en la admirable ciencia que se llama Mecánica.
La Matemática y el Álgebra ponen todos sus preciosos recursos al servicio de una ciencia que eleva el alma y engrandece al hombre, esa ciencia es la Astronomía.
Suponen algunos que, dentro de las Matemáticas, la Aritmética, el Álgebra y la Geometría constituyen partes enteramente distintas: es un grave error; todas se auxilian, mutuamente, se apoyan las unas en las otras, y, en algunos casos, incluso se confunden.
Las matemáticas, señora que enseñan al hombre a ser sencillo y modesto, son la base de todas las ciencias y artes.
265
En un restaurante, existe el siguiente aviso:
“todos los días: 3 tacos $1.39 dólares y 6 tacos $2.39
dólares”.
¿Cuánto costaran 9 tacos?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el
problema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1. Haz una estimación de cuánto costaran los 9 tacos?, ¿por qué
crees que ése debe ser el número?
2. Si llamas h al número de 3 tacos, y m al número de 6 tacos,
¿cómo expresarías que el total de 9 tacos es $3.78 dólares?.
3, ¿Qué relación hay entre el número de 3 tacos y 6 tacos?, ¿cuáles la expresión algebraica de esta relación?.
ESTRATEGIADE
SOLUCIÓN
En álgebra, una expresión es una colección de números
y letras qué representan números (variables), conectados mediante signos de operación, las partes que se suman o restan en estas expresiones se llaman términos; así, xy2 es una expresión con un término; x + y es una expresión con dos términos 7x2 – 2y + z tiene tres términos.
El término “3 tacos” utiliza el número 3 para decir “cuántos”, el número 3 se conoce como coeficiente numérico, cuando dos o más términos son exactamente semejantes, excepto quizá por sus coeficientes o el orden en que los factores se multiplican se denominan términos semejantes, contienen las mismas variables con los mismos exponentes, pero con coeficientes que pueden ser diferentes.
FORMALIZACIÓN
2.1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA.
Lenguaje Algebraico.
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje Algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Simbología.
TEMAS RELACIONADOS. Planteamiento de problemas en forma algebraica.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Traducción de enunciados y expresiones algebraicas.
266
Un tigre come al día 4 Kg. de carne y un ocelote 2 Kg., si en un zoológico se dispone hasta 100 Kg. diarios de carne, ¿cuántos de cada uno de estos animales se pueden tener?.
1. ¿Cuántos kilos de carne comen tres tigres?, ¿y cinco ocelotes?, ¿y t tigres?, ¿y o ocelotes?
2. ¿Cuál es la expresión algebraica para la cantidad de carne que comen t tigres y o ocelotes?.
APLICACIÓN
1. ¿De cuántos modos se pueden tener $250 enbilletes de $10 y $20?.
2. Los boletos para entrar al concierto cuestan $100para el público en general y $50 para estudiantes concredencial, ¿hasta cuántas personas pueden asistir con $1 000?
.
EJERCICIOS
LAS COMPUTADORAS Y LOS ERRORES.
El análisis de los posibles errores en un resultado numérico es fundamental para obtener niveles adecuados de exactitud, sobre todo cuando se utiliza una computadora.
Los datos de entrada frecuentemente no son exactos, pues se basan en experimentos y en observaciones humanas, de igual manera, realizar cualquier cálculo introduce errores; los errores de estas dos fuentes continúan estando presentes a medida que se van realizando cada vez más operaciones, contradiciendo algunos principios matemáticos, por ejemplo la suma es conmutativa, el orden de los sumandos, no importa, el resultado es el mismo. En las computadoras es posible efectuar millones de operaciones aritméticas por segundo, es ahí donde se acumulan, ya que el análisis de errores señala que la cota de los errores de redondeo al sumar se minimiza si sumamos primero los números más pequeños y a la inversa, sumando primero los más grandes; en otras palabras en la computadora, el orden de los sumandos SI puede afectar al resultado.
VISIÓN HISTÓRICA.
267
La edad de Martha es el doble de la de su hermanito Toño, y ambas suman 18.
¿Cuántos años tiene cada uno?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver elproblema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1. Si llamas x a la edad de Martha, ¿cómo expresarías la edad de
Toño?
,
2. ¿Cuál es la expresión algebraica que indica que la suma de las
edades debe ser 18?.
3, Compara la ecuación que obtuviste con la de tus compañerosdiscute con ellos si hay alguna discrepancia.
4. ¿Cómo puedes encontrar el valor de la incógnita en la ecuación que obtuviste?, ¿qué significa esa incógnita?.
5. ¿Cómo encontrarías la edad de Toño?.
ESTRATEGIADE
SOLUCIÓN
Una ecuación lineal en una incógnita es una igualdad que sólo contiene una incógnita y ésta sólo aparece elevada a la primera potencia. Resolver la ecuación es encontrar un valor numérico para la
incógnita que satisfaga la igualdad.
Para resolver una ecuación se debe emplear, el inverso aditivo, el
inverso multiplicativo y los giros de 1800.
FORMALIZACIÓN
2.1.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Lenguaje Algebraico.
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Operaciones con monomios y polinomios.
TEMAS RELACIONADOS. ..Operaciones básicas aritméticas.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Aplicación de las propiedades de campo de los Reales.
268
Hace doce años la edad del tío de Arturo, era de la
edad que tendrá dentro de 20 años, ¿cuál es su edad actual?.
1. Si llamas x a la edad actual del tío de Arturo, ¿cómo expresarías su edad hace doce años?.
2 ¿Cómo expresarías la edad que tendrá el tío dentro de 20 años?.
3.Según el enunciado del problema, ¿cuál es la relación entre estas dos edades?., exprésala algebraicamente.
4. ¿Cómo puedes encontrar el valor de la incógnita en la ecuación que obtuviste?, ¿qué significa esa incógnita?
APLICACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales
1. 3x – 4 = 20.
2. 4x – 5 = 3x
3. 5x + 2 = 3x +6
4. 8x – 4x + 3 = 5x + 2
5. 21 – 6x = 12 – 3x
6. 3x – 5x + 6x – 9 = 7x +2x – 9x +1
7. 2x – 72 = 243 – 3x
8. 3(2x +6) = 4x + 26
9. 5(x – 3) + 2(x + 5) = 3x – 1
10. 3(x –1) + 4(2x + 1) – 5(3x) = -(2 + x)
11. 5(3x + 3) – 2(2x +5) = 3x - 1
S.
EJERCICIO
74
269
¿QUÉ DÍA DE LA SEMANA NACISTE?.
¿Alguna vez te has preguntado en que día de la semana naciste?, a medida que los años pasan, los cumpleaños y los aniversarios ocurren en días diferentes de la semana, cualquiera que sea el día de la semana de tu cumpleaños este año, no será el mismo el año próximo.
Una fecha particular no cae en el mismo día de la semana cada año, porque el número de días en un año (365 0 366) no es divisible entre 7, el número de días de la semana.
Cuando se divide 365 entre 7, el residuo es 1, cuando se divide 366 entre 7 el residuo es 2; esto significa que, respecto a los días de la semana, un cambio de 365 días equivale a un cambio de un día.
A su vez, esto significa que en un año, el día de la semana de una fecha específica se incrementará en un día para el año siguiente, por ejemplo, si en 1997 el 25 de diciembre cae en jueves, en 1998, caerá en viernes y, análogamente, en 1996, el 25 de diciembre fue un miércoles.
Por otra parte, si el año es bisiesto, el día de la semana de una fecha determinada cambiará en dos días, entonces debe hacerse ajustes cada período bisiesto, los años bisiestos pueden reconocerse fácilmente porque son divisibles entre 4 (la excepción son los años que terminan en 00 que no son divisibles entre 400), así, 2004 será un año bisiesto, pero 1700, 1800 y 1900 no lo fueron.
Por ejemplo en 1997, el 12 de octubre fue domingo, queremos saber en que día de la semana cayó en 1987, entre 1987 y 1997 hay 10 años de los cuales tres son bisiestos, 1988, 1992 y 1996; entonces el día de la semana se debe mover hacia atrás 13 días, correspondientes a siete días correspondientes a siete años de un día más tres años de dos días; contando hacia atrás 13 días a partir del domingo, encontramos el lunes, esto significa que el 12 de octubre de 1987 fue un lunes.
VISIÓN HISTÓRICA.
270
El papá de Rocío le propuso el siguiente acertijo: • Piensa un número cualquiera. • Multiplícalo cuatro veces por si mismo. • Divídelo entre el cuadrado del numero que pensaste. • Eleva el resultado al cuadrado. • Divídelo todo entre el número que pensaste multiplicado
cuatro veces por si mismo. • Réstale el número que pensaste • Te queda cero.
¡Cierto dijo Rocío¡, ¿cómo lo adivinaste?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver elproblema, discútelo con tus compañeros y con tu profesor:
1.¿Crees que el papá de Roció de verdad adivino el resultado?,
¿crees que el resultado dependa del número que pensó Rocío?
2. Prueba el acertijo con el número 2, usa tu calculadora para
efectuar las operaciones que se indican, ¿llegaste al mismo resultado?.
3, ¿Cómo puedes denotar un número cualquiera?, ¿y un numerocualquiera multiplicado por si mismo?
4.Escribe algebraicamente cada uno de los pasos del acertijo.
ESTRATEGIADE
SOLUCIÓN
La suma o resta de dos o más monomios o términos se llama polinomio, por ejemplo:
6x4y6z2 + 3xy7 – 5x3y3z3 + 4x8 –9y4
Dos términos que tienen exactamente iguales su parte literal, aunque el coeficiente numérico sea distinto, se llaman términos semejantes.
-5x4y5z9, 6x4y5z9, -98x4y5z9,, 765x4y5z9
FORMALIZACIÓN
2.1.3 LA OPERATIVIDAD DE LOS POLINOMIOS.
Lenguaje Algebraico.
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Operaciones con polinomios Reales.
TEMAS RELACIONADOS. Solución de problemas en forma algebraica.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Aplicar propiedades de campo de los números reales.
271
En el Museo de Historia Natural, hay un descuento para estudiantes, el viernes pasado, 35 alumnos del grupo de 2° y 20 padres de familia que los acompañaron pagaron $375, mientras que los 48 alumnos del grupo de 3° y 18 padres de familia pagaron $420; ¿cuál es el precio de la entrada para el público en general y cuál para los estudiantes?.
1. Si llamas p al precio de la entrada para el público en general y e al precio para estudiantes, ¿cómo expresarías la cantidad que pagaron los alumnos de 2° y sus padres?, ¿cómo expresarías que esta cantidad es igual a $375?.
2. ¿Cómo expresarías la cantidad que pagaron los alumnos de 3° y sus padres?, ¿cómo expresarías que esta cantidad es igual a $420?
3. Compara las expresiones que obtuviste en los incisos 1 y2 con las de tus compañeros, si no son iguales discútanla.
4. Puedes simplificar los coeficientes de una ecuación dividiendo ambos miembros entre el mismo número, ¿puedes simplificar las ecuaciones del sistema que encontraste?, no es necesario que ambas se dividan entre el mismo número, por ejemplo, trata de dividir la ecuación que obtuviste en 1 entre 5, ¿obtuviste números enteros como coeficientes?.
APLICACIÓN
Reduce términos semejantes en los siguientes polinomios:
2
1, 5x y + 3x2y - 6x2y + 8x2y - 10x2y - 3x2y
2. 7xyz -2xy z + 5xy z - 2xy z + 3xy z - 2xyz2
3. 3ab – 2a b + 5a b - 4a b +6ab - 8a b -ab
4 xy – yx + 2xy + 3xy –3yx – 3yx + 4xy – 4yx
5 7x2y3z4 - 7x2y3z4 +3x2y3z4 - 3x2y3z4 +2x2y3z4
S.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
+ 6x2y3z4 +x2y3z4
EJERCICIO
272
GEORGE F. L. P. CANTOR (1845 – 1918).
Fue el primero en hallar una respuesta acertada a los problemas que surgían del estudio de los conjuntos infinitos; nació en Rusia en 1845, pero su familia emigró a Alemania.
A los quince años ingreso al Wiesbaden Gymnasium (escuela preparatoria) donde mostró un constante interés por las matemáticas, su padre trató de persuadirlo de que estudiara ingeniería, sin tener éxito por lo que Cantor continuó con sus estudios de matemáticas hasta obtener el grado de doctor en ciencias en 1867, en la Universidad de Berlín, sus estudios contribuyeron de manera considerable en algunas de las áreas más abstractas de las matemáticas.
Las primeras obras de Cantor, no obstante que eran excelentes, proporcionaron sólo una ligera idea de su gran inventiva y originalidad, fue en sus artículos publicados entre 1874 y 1884 donde aparecieron sus aportaciones más importantes, en ellos ponía en tela de juicio los aspectos básicos de los conjuntos infinitos, aspectos que trataban acerca de la esencia misma del análisis matemático; por lo novedoso de los métodos empleados por él y lo sorprendente de los resultados que obtuvo se le considera un matemático creativo y de singular originalidad.
Como a menudo sucede con las ideas originales, las obras de Cantor fueron objeto de escarnio de parte de la mayoría de sus contemporáneos más famosos; fue hasta años después de su muerte que las ideas de Cantor obtuvieron cierto reconocimiento por parte de sus colegas.
La importancia de su contribución radica en su percepción del significado del principio de correspondencia de uno a uno, y sus consecuencias lógicas, hoy en día muchos de los fundamentos de las matemáticas de fractales se basan directamente en el trabajo de Cantor.
VISIÓN HISTÓRICA.
273
La suma de dos números enteros multiplicados por su diferencia, más el cuadrado de la suma de esos dos números, más el doble de esa suma, es igual a ocho veces la misma suma. ¿Una sola ecuación y dos incógnitas?, ¿se puede resolver?
SITUACIÓN PROBLEMA
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver e
problema; discútelo con tus compañeros y con el profesor. l
1. Si llamas a y b a los dos números desconocidos, ¿cuál será lasuma?, ¿cuál será su diferencia?.
l
l
2. ¿ Cómo expresarías el cuadrado de la suma de a y b?, ¿y sudoble?
3. Puedes escribir en una sola expresión algebraica toda la relaciónenunciada en el problema?, discútelo con tus compañeros.
4. Para poder encontrar la solución de un problema algebraiconecesitas tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.¿cuántas incógnitas tiene este problema?, ¿cuántas ecuaciones tienes?, ¿las podrías resolver?.
5. Si contestaste que NO en la última pregunta, casi tienes razón, sinembargo, ene este caso particular, puedes acercarte a la respuesta siobservas cuidadosamente la ecuación que obtuviste.
6¿Cuántos términos tiene tu ecuación?, encuentras algo en común entodos los términos?, ¿qué es?.
7. Recuerda que en toda ecuación podemos dividir ambos miembrosentre el mismo número sin que se altere la igualdad; ¿podrías dividirtoda tu ecuación entre una misma cantidad para simplificarla?, ¿cuásería esta cantidad?. 8. ¿Qué sucede cuando simplificaste la ecuación?, ¿cuántas incógnitas tiene s ahora?, ¿puedes resolverla?.
9. Si conoces el valor de una incógnita está resuelta la mitad deproblema, ¿qué puedes hacer para conocer la otra incógnita?, ¿hayun solo valor que satisfaga la ecuación?, discútelo con tus compañeros y con tu profesor
ESTRATEGIADE
SOLUCIÓN
2.2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.
Lenguaje Algebraico.
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje Algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Números Reales.
TEMAS RELACIONADOS. Solución de problemas en forma aritmética.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Estimación de resultados.
274
Se llaman factores de una expresión algebraica las expresiones algebraicas que, al multiplicarlas, dan la expresión original, por ejemplo x y (x + 3) son factores de x2 + 3x ya que x2 + 3x = x(x + 3), factorizar una expresión significa expresarla como producto de factores. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor en común, se puede factorizar dividiendo cada término entre el factor común y expresando el polinomio como el producto del factor común por el resultado de las divisiones de cada término; por ejemplo el polinomio:
3x(y – z) + x2(y – z) – 5(y –z). Tiene como factor común (y – z), entonces podemos expresarlas como: (y – z) (3x + x2 – 5).
FORMALIZACIÓN
I. Encuentra los factores del polinomio: ax + bx +ay + by. 1. ¿Existe algún factor que sea común a todos los términos de este polinomio?, ¿sólo a algunos términos?, ¿cuáles?. 2. Considera el polinomio en dos partes, ¿puedes factorizar cada una de ella?, ¿qué resulta?. 3. Observa con cuidado el resultado de la factorización que hiciste, ¿cómo son ahora los términos de tu polinomio?, ¿hay algún factor común?. 4, ¿Puedes ahora completar la factorización del polinomio original?. II. Encuentra los factores del polinomio x3y2z5 + x2y3z3 +x4y3z5 + x4y4z4. 1. ¿Qué tienen en común los términos de este polinomio?, ¿son todos los términos iguales?, ¿Cuál es la diferencia entre ellos?. 2. ¿Cuál es la potencia más pequeña de x de todo el polinomio?, ¿y la de y?, ¿y la de z? 3. ¿Puedes considerar que la potencia más pequeña de x está en todos los términos?, ¿por qué?, recuerda las leyes de los exponentes. 4. ¿Puedes considerar que la potencia más pequeña de y está en todos los términos del polinomio?, ¿y la de z?.
5. ¿Puedes decir ahora cuál es el factor común en todos los términos del polinomio?. Discútelo con tus compañeros y con tu profesor
APLICACIÓN
Encuentra el factor común en cada una de las siguientesexpresiones y una vez que lo hayas determinado, factorízala.
1) x – x2 + x4 + x3 +2x. 2) a2b + ab2. 3) a3 + a2 + a. 4) (x – 2)2 +2(x –2) – x(x – 2). 5) ax2 + abx – bx2. 6) a2 +ab + b2. 7) x2 + 2x – bx – 2b. 8) 3x5y3z + 7x3y5z2 +5x6y4z3 +2x4y6z
275
EJERCICIOS.
KARL FRIEDRICH GAUSS (1777 – 1855).
Ha sido llamado el Príncipe de los matemáticos, nació en Brunswick, Alemania, en la primavera de 1777, su padre era un obrero, quien hizo todo lo posible por impedir que su hijo recibiera la educación adecuada a su gran talento.
Fue sólo por accidente que Gauss se convirtió en matemático, su inquisitiva y perspicaz mente parece h su familia.
Antes de los 3 años de edad, mientras observaba a su pa
de
cual hizo de él uno de
ino su
uando tenía 21 años.
HISTÓRICA.
aber sido heredada por el lado materno de
Durante su vida, Gauss sobresalió debido a su maravillosa habilidad para efectuar asombrosos cálculos mentales, nadie en la historia de las matemáticas puede compararse con él en este aspecto.
dre hacer la cuenta de la nómina semanal, notó un error en el largo cálculo y le dijo a su padre cuál debería ser el resultado, la verificación de las operaciones
mostró que el niño estaba en lo correcto.
Gauss ingresó a los 15 años al Colegio Carolino en Brunswick y en poco tiempo empezó a sumergirse en el estudio de la aritmética avanzada, lo
los dos o tres matemáticos más grandes de todos los tiempos, al egresar de aquella institución en 1795, a los 18 años, ya había inventado el método de los mínimos cuadrados.
Pasando a la Universidad de Gotting, donde terms Disquisitiones Arithemeticae (Investigaciones
Aritméticas), después en la Universidad de Helmstedt, un año después, en donde su tesis doctoral dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra; que establece que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una raíz entre los números complejos, c
Notable inventor, entre otras cosas ideó el telégrafo eléctrico en 1833.
VISIÓN
276
REA TEMÁTICA. Lenguaje algebraico.
TEMA PRINCIPAL.
¿
n im y con el profe
ula e
l cuadradol cuadrado
tienetiene
6. Escribe la expresión algebraica que representa esaelación
r
Algunos productosuadrado de la suma de un binomio (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
Cuadrado de una diferencia (x - y
inomios conjugados (x + y)(x - y)2 = x2
roducto de dos binomios que tiene un término común (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Producto de dos binomios común (ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd.
Cubo de l 2 3 2 2
+
A área del cuadrado grande en la figura?.
a
b a
SITUACIÓN PROBLEMA
que es igual el
b
Antes de leer lo siguie te, olver el problema; discútelo con tus compañeros
1. De acuerdo con l den los lados del cuadrado grande?.
2. ¿ Cómo se calc ?, ¿cuál es el área del cuadrado grande de la figura?.
3. ¿Cuál es el área d do a?. 4. ¿Cuál es el área de que lado b?. 5 De acuerdo con la figura ¿qué relación hay entre las
áreas que encontraste?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
agina una manesor.
a figura, ¿cuá
ra de res
nto mi
l área de un cuadrado
e que la
son:
C)2 = x2 - 2xy + y2.
B + y2 P
on un termino semejante y el otro no c 2
a suma de un binomio (x + y3) = x + 3x y + 3xy
y3.
FORMALIZACIÓN
2.2.1 PRODUCTOS NOTABLES.
Lenguaje Algebraico.
Á
Producto de polinomios. TEMAS RELACIONADOS.
Operaciones con polinomios, potencias.. RECOMENDACIONES / COMENTARIOS.
Comparar procedimientos como productos y como potencias
277
des ste
io?,
Conociendo los productos notables, ¿puedes reconocer 25x2 – 49y2?,
4, ¿Qué operaciones deberías efectuar para factorizar el
que identificaste 3 ?.
5 Una vez efectuadas las operaciones, ¿cómo se factoriza el
pol
APLICACIÓN
Factoriza el siguiente polinomio: 25x2 – 49y2.
1. ¿Qué significa factorizar un polinomio?.
2. Observa cuidadosamente el polinomio dado, ¿pueidentificar una propiedad que tiene los dos términos de epolinom
3. de dónde proviene el polinomio
polinomio de acuerdo con el producto notable en el inciso
inomio?.
ientes productos:
2
EJERCICIOS.
) (2x + 4y)2 11) (-2x+ 3)( -2x –3)
2
) (3xyz –x2 2 2 2 2 2
5 6
7) (x +4)(x – 5) 2 2
8) (3x2y – 1)(3x2y +1) 17) (3abc – b2c) 9) (2yz + x)(3x2y + 1) 18) (4x2y + 5xy2)2
Usando las formulas de los productos notables, encuentra los sigu
1) (3x – x) 10) (4xyz – 1)2 2 3) (2b – c) 12) (3abc- 1)(3abc +5) 4 y z) 13) (5x y 3xy )
) (4 – x)(4 + x). 14) (3x + 6y)(3x – 5y)
) (5x+ y)(-5x2 +y) 15) (5xy2 + 3x3y)(5xy2 – 3x3y)
16) [(x + y + z) – 1]
(abc + bc2)
278
ANIMALES Y NÚMEROS.
es del reino animal.
• Las ballenas viven hasta 500 años.
• La tortuga vive 400 años.
• El cocodrilo, 300 años.
• El elefante, el cuervo, el cisne y el águila, 100 años.
40 años.
• El perro y el gato, 15 años.
• El animal terrestre más veloz es el leopardo chita
• Los insectos constituyen las 4/5 part
• El león y el camello,
• El conejo y la cabra, 5.
de África Occidental que puede alcanzar una velocidad de hasta 145 Km/h.
• El mamífero terrestre más lento es el perezoso ve en América tropical y
• o más grande es el tigre siberiano de pelo o (del hocico a la
punta de la cola extendida).
• El felino más pequeño es el gato de manchas onal que mide 64 cm de
largo.
VISIÓN HISTÓRICA.
de tres dedos, que vicuya velocidad media es de 2.4 metros / minuto.
El felinlargo alcanza 3.15m de larg
rojas de la India Meridi
279
RE TEMÁTICA. nguaje algebraico. PRINCIPA
“Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: la hija mayor se quedaría con una perla y un séptimo de lo que quedara, la segunda hija recibiría dos perlas y un séptimo de lo restante, la tercera joven recibiría tres perlas y un séptimo e lo que quedara,; y así sucesivamente”
es justa y perfecta, ¿cuántas perlas
abí del rajá?.
SITUACIÓN PROBLEMA
d S
h
p s
bió realmente 6 perlas y quedaban 30.
La segunda, de las 30 que se encontró recibió 2 y un séptimo de 8, que es 4, luego recibió 6 y dejó 24.
La tercera, de las 24 que encontró recibió 3 y un séptimo de 21, s decir 3, se quedó pues con 6 y dejo un resto
La cuarta, de las 18 que se encontró, se quedó 4 más un séptimo
e
La hija menor recibió 6 perlas que quedaban.
a factorización consiste en cómo “deshacer” la multiplicación de
polinomios, es el proceso inverso de la mu
ado el producto 15 y le decimos que lo factorice, entonces
escribi
2x2 3x + 6?, pareciera que no hay factor común, pero podemos 3 2 3 2agru
x2(x +2) + 3(x +2) = (x + 2)(x2 +3).
RMALIZACIÓN
i la división propuesta
a?, ¿cuántas eran las hijas
Las perlas eran 36 y tenían que ser divididas entre seisnas.
er o
La primera recibió una perla y un sép decir reci
2
e de 18.
de 14, y un séptimo de 14 es 2, recibió también 6 perlas.
La quinta encontró 12 perlas, de ellas recibió 5 y un séptimo de7, s decir 1, luego recibió 6.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN timo de 35: cinco, es
L
ltiplicación, por ejemplo
d
rá 15 = 3 x 5 , de forma análoga ¿podemos factorizar x3
+
par y factorizar: x +2x 3x + 6 = (x + 2x ) + (3x +6)
=
FO
2.2.2 FACTORIZACIÓN.
Lenguaje Algebraico.
Á ALe
TEMA L. Operaciones con Polinomios.
TEMAS RELACIONADOS. Productos y cocientes de polinomios.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Solución de problemas con productos y potencias.
280
Factoriza el siguiente polinomio: 25x2 – 49y2
o s
2 – 49y2
s efectuar para factorizar el polinomio de acuerdo con el producto notable que
ficaste en el inciso 3?.
mo sé actoriza el polinomio?.
1. ¿Qué significa factorizar un polinomio?.
2. Observa cuidadosamente el polinomio dad¿puedes identificar una propiedad que tiene los dotérminos de este polinomio?.
3. Conociendo los productos notables, ¿puedereconocer de dón
,
s? de proviene el polinomio 25x
4. ¿Qué operaciones debería
APLICACIÓN
identi
5. Una vez efectuadas las operaciones, ¿cóf
. x2 – y2 9. a2b4 – a4b2
2. x2 –2xy + y2 1
. x2 +2xy + y2 11. x6y4z2 - 25
6. 4x2 + 2x + 1 14 x2 + 4x
ERCICIOS.
EJ
Factoriza los siguientes polinomios:
1
0. x2 + 5x +6
3
4. 4x2 – 1 12. (x +y)2 – (x –y)2
5. 4x2 – 2x + 1 13. a2 + 4ab + 4b2
+3
7. x2 – 18x + 81 15. x2 + 8x + 15
8 a2b4 + 4ab2 +4 16. 36x2 – 9y2
281
FRASES CÉLEBRES.
La matemática honra el espíritu humano. . LEIBNIZ.
la tica es imperfecta.
AU STO COMPTE.
Sin la matemática no nos sería posible comprender
s pasajes de las Sagradas Escrituras. SAN AGUSTÍN.
Las leyes de la naturaleza son los pensamientos
ticos de Dios. KEPLER.
na ciencia matemática.
KANT.
en la cabeza de Arquímedes
que en la de Homero. VOLTAIRE.
del ingenio
humano. WHITEHEAD.
DESCARTES.
La ciencia, por el camino de la exactitud, sólo tiene
DE MO .
s. FE
a constituye el ideal de la ciencia.
VISIÓN HISTÓRICA.
G. W
Una educación científica que no inicia con matemá
GU
mucho
matemá
Una ciencia natural es tan solo u
Existía más imaginación
La matemática es la creación más original
Toda mi física no es más que una geometría.
dos ojos: la matemática y la lógica. RGAN
La matemática es la ciencia de las cosas que son
evidentes por si mismaLIX KLEIN.
Por la certeza indudable de sus conclusiones, la
matemáticBACON.
282
RA
ÁREA TEMÁTICA. Lenguaje algebraico.
TEMA PRINCIPAL. Operaciones con polinomios..
Tncias en polinomios.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS.
EMAS RELACIONADOS. Productos, cocientes y pote
es..
Una lancha navega 30 Km, río arriba y 54 Km río abajo en 8 horas, navegando a favor de la corriente recorre 3 Km en el mismo tiempo en que recorre 1 Km contra la corriente, ¿cual es la velocidad del río?, ¿cual
e la lancha en aguas tranquilas?
SITUACIÓN PROBLEMA
e
r
8 horas; incógnitas L = velocidad de la lancha en km/h. , = velocidad del río en km/h.
La lancha recorre 3 Km río arriba en el mismo tiempo en ue recorre 1 Km río abajo.
A favor de la corriente, la velocidad de la lancha respecto ala orilla derí
m./L + r) horas
La lancha recorre 30 Km río arriba y 54 Km río abajo en 8horas:
s la velocidad d
Antes de leer lo siguiente, imagina blema, discútelo con tus compañeros y con tu prof
una manera de resolver el p o esor:
1. Aclarar al problema: determinar las velocidades de la corriente y de la lancha.
Datos: la lancha recorre 30 Km río arriba y 54 Km río abajo
en R
q
2. Plan: Traducir la información a un sistema de ecuaciones donde las incógnitas sean L y r.?.
Contra la corriente, la velocidad respecto ala orilla del río es L – r.
l río es L + r, por tanto: la lancha recorre 30 Km
o arriba en 30 Km/(L –r) horas, y 54 Km río abajo en 54 K
3. ¿Qué relación hay?.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
2.2.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CIONALES.
Lenguaje Algebraico.Aplicación de las propiedades de Campo de los Real
283
8=+− rLrL
n que recorre 1 Km
río arriba:
5430+
La lancha recorre 3 Km río abajo en el mismo tiempo e
4. Se puede proponer un cambio de variable para resolvereste sistema de ecuaciones:
sistema
30x
La solución es x = 1/6 edo x e y por su
=6
; = ,
r, (L – r) = 6, (L + r) = 18
mo resolviendo este sistemque:
L =12 Km./h. y r = 6 Km. /h.
Una fracción algebraica elite
Para realizar operaciones aritméticas con fracciones lgebraicas, a
Se siguen las mismas mismas operaciones con fracciones
reglas que e
Suma y resta.
1. Se busca un denominador
3. Se suman o restan los numeradores de las nuevas fracciones;
rLrL −−
+13
x = 1/(L – r) e y = 1/(L + r) y resolver el
+ 54y = 8; 3y = x.
y = 1/18, de donde, reemplazan valor, resultan las ecuaciones:
rL −11
rL +1
181
es deci .
Por últi a de ecuaciones tenemos
s una fracción donde aparecen rales en el numerador, en el denominador o en ambos,
mpleamos para las
numéricas.
común de todos los términos que se vayan a sumar o restar;
2. Se encuentran las fracciones equivalentes a las originales que tengan ese denominador;
4. Se reducen términos semejantes en el numerador.
FORMALIZACIÓN
284
n.
tado es el numerador del producto;
2. Se multiplica el denominador del primer factor por el denominador del segundo factor, el resultado es el
r del producto.
r del segundo factor, el resultado es el
ca el denominador del primer factor por r del segundo factor, el resultado es del
El el triple erador aumenta en 8 y el enominador en 4, el valor de la fracción es, ¿cuál es sa fracción?.
as x al numerador de la fracción, ¿cual es su enominador?
2. , ¿cóm
3. , ¿cóm
4. ¿Cómo expresar algebraicamente la fracción l?, ¿y la fracción modificada?.
Multiplicació
1. Se multiplican el numerador del primer factor por el numerador del segundo factor, el resul
denominado
División.
1. Se multiplica el numerador del primer factor por el denominadonumerador del cociente;
2. Se multipliel numeradodenominador del producto.
denominador de una fracción es 1 menos que del numerador, si el num
de
1. Si llamd
¿Qué significa que el numerador aumente en 8?o se puede expresar?.
¿Qué significa que el denominador aumente en 4?o se puede expresar?.
origina
5. Encuentra una expresión que indique que la
fracción modificada es igual a 11 .
6. ¿Obtuviste una ecuación?, ¿de qué tipo?, ¿es posible resolver
12
la?.
APLICACIÓN
285
En su segunda línea de bolos, Ana anotó 35 puntos
menos que en la primera, su marcador total por dos líneas fue 395.
¿Cuántos puntos anotó en cada línea?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Entender el problema: pregunta: ¿cuántos puntos anotó Ana en cada línea?; datos: el total de 2 líneas fue de 395, en la segunda anoto 35 menos que en la primera .
Se puede anotar esto de la siguiente forma:
Idear y llevar a cabo un PLAN
PRIMERA LÍNEA + SEGUNDA LÍNEA = TOTAL p p – 35 395
2p – 35 = 395
2p – 35 + 35 = 395 + 35
2p = 430
21
(2p) = 21
(430)
Encontrar la RESPUESTA y VERIFICAR
p = 215 en la 1a línea y p – 35 = 180 en la 2a.
215 + 180 = 395
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
3.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
UNIDAD III Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Ecuaciones.
TEMA PRINCIPAL. Ecuaciones lineales.
TEMAS RELACIONADOS. Ecuaciones lineales y de segundo grado.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Manejo de variables y sus relaciones.
287
Algunos problemas se pueden resolver haciendo una lista de una forma sistemática u organizada, lo cual se conoce como lista organizada:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
• ENTENDER el problema. • Desarrollar y llevar a cabo un PLAN. • Encontrar la RESPUESTA y VERIFICAR.
FORMALIZACIÓN
1. 2.1x + 45.2 = 3.2 – 8.4x
2. 1.03 – 0.62x = 0.71 – 0.22x
3. 1.7t + 8 – 1.62t = 0.4t – 0.32 +8
4. 0.42 – 0.03y = 3.33 – y
5. 0.7n – 15 + n = 2n – 8 – 0.4n
APLICACIÓN
Explica el siguiente verso247
Aquí yace el hijo; aquí reposa la madre;
Aquí la hija y el padre
Aquí el hermano y la hermana
Aquí la mujer y el marido
Más sólo hay aquí tres personas
EJERCICIOS
.
288
247 Newman, James R. SIGMA el mundo de las Matemáticas. 6 Tomos, Ed. Grijalbo,, Barcelona,1997, Tomo 6. Pág. 375
CRIPTOGRAFIA.
La criptografía es el arte de la escritura secreta, su
objetivo es transformar un mensaje en un mensaje secreto que sólo puede ser leído por su destinatario legítimo; a esto le sigue la operación contraria llevada a cabo por el destinatario, que consiste en descifrar el mensaje.
Uno de los métodos de la criptografía consiste en reemplazar las cifras de un mensaje numérico por letras, en la trascripción de una operación aritmética o de una ecuación
El destinatario deberá encontrar las cifras que se esconden detrás de las letras; para complicarlas cosas,se puede marcar solamente el lugar de las cifras con un punto o una cruz, en el caso extremo solo se dan cruces.
En esta modalidad aritmética de la criptografía, el procedimiento es una substitución de cifras y la clave una regla aritmética.
Los enunciados no representan dificultades matemáticas, pero en cambio exigen numerosas hipótesis que hay que ir probando una a una y, en consecuencia, cálculos largos y engorrosos que pueden confundirnos.
Fíjate en el siguiente mensaje urgente que mandó un hijo a su padre:
El C de D a las C en punto, necesito $ CDDC.
A A B B B B A A
C
D
D
C
VISIÓN HISTÓRICA.
289
¿Cuánta basura genera una persona cada día?; según la empresa Franklin Associates, LTD, una persona promedio produce alrededor de ¡2.7 libras de basura al día excluyendo los productos a base de papel!, si w y prepresentan la cantidad total de basura y los productos a base de papel que genera una persona es w – p = 2.7, una investigación posterior indico que p = 1.6 libras.
SITUACIÓN PROBLEMA
¿Cuánta basura genera una persona diariamente?.248
En el ecuación w – 1.6 = 2.7, muchos números
pueden reemplazar la variable w, pero sólo uno de ellos hará que la proposición resultante sea verdadera.
Este número se conoce como la solución de la ecuación.
¿Puede hallar la solución de : w – 1.6 = 2.7?.
Puesto que w es la cantidad de basura, w = 1.6 + 2.7
w = 4.3 , que es la solución buscada.
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
3.1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.
Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
290
248 Ignacio Bello. Álgebra elemental. International Thomson Editores. México. 1999. Pág. 99
Las soluciones de una ecuación son las sustituciones de la variable que convierten a la ecuación en una proposición verdadera.
Cuando se encuentra la solución de una ecuación se dice que se ha resuelto.
FORMALIZACIÓN
En la vida diaria y sin darnos cuenta estamos resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita; por ejemplo: supongamos que hemos mandado al hermano a comprar 5 cuadernos con un billete de $50 para pagarlos y nos devuelve $42.50.
¿Cuánto costo cada cuaderno?
Las operaciones que hacemos son rápidas: $50 -$42.50 = $7.50, después $7.50 entre 5 cuadernos igual a $1.50.
Matemáticamente: 5x = 50.00 – 42.50 5x = 7.50, despejando a x se tiene: x = 7.5 /5
x = 1.5
APLICACIÓN
Que fue el precio ya encontrado.249
Dos automovilistas parten de un mismo lugar, a la misma
hora, en la misma dirección pero en sentido opuestos. Si sus velocidades respectivas son de 80 y 90 kilómetros por hora, ¡en cuántas horas se gallarán a 510 kilómetros entre sí?. Una persona contrata por 3 horas un avión que tiene una velocidad de 180 millas por hora en aire tranquilo, le indicaal piloto que vuele hacia el norte lo más lejos posible y que regrese al punto de partida al terminar el tiempo, si durante todo el tiempo sopló un viento del norte con una
291
249 UNAM. 1001 preguntas para ingresar al Bachillerato.. UNAM, 1995. Pág. 145- 146
velocidad de 30 millas por hora, hallar la distancia a la que llegó rumbo al norte.
EJERCICIOS.
GEORGE BOOLE (1815 – 1864).
Hijo de un tendero pobre, nació en Lincoln, Inglaterra el 2 de noviembre de 1815, cuando niño , el mayor anhelo de Boole era ascender en la escala social y dejarel medio en el cual había nacido; con la idea errónea de que el conocimiento del latín y el griego eran la llave para llegar a pertenecer a la alta sociedad, se esforzó por aprender ambas lenguas de una manera autodidacta.250
Boole aprendió los rudimentos de la matemática de su padre, quien por esfuerzo propio alcanzo un nivel superior al de las escuelas comunes, esa era fundamentalmente la instrucción que había recibido en matemáticas, cuando se percató, en su propia escuela, de lo poco informativos que eran los textos de la época, esto lo hizo interesarse profundamente en aprender más matemáticas, lo cual también fue de manera autodidacta, logrando dar incluso su primera contribución original a la materia sin ayuda de nadie más.
En 1848 fuertemente influido por De Morgan, Boole publicó un articulo llamado The Mathematical Analysis of Logic (Análisis matemático de la lógica), a la edad de 34 años, recibió merecidamente, el nombramiento de profesor de matemáticas en el Qeen’s College, en Cook, Irlanda.
En 1854, a la edad de 39 años, publicó: Una investigación de las leyes del juicio, en la cual se fundamentan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad.
VISIÓN HISTÓRICA.
292
Después del trabajo original de Boole, sus ideas se
han ampliado y extendido en muchas direcciones, actualmente, la lógica simbólica o lógica matemática es indispensable para todo aquél que desee entender la naturaleza de la lógica o de las matemáticas.
Un tanque contiene 560 litros de agua y se esta llenando a razón de 45 litros por minuto con agua de otro tanque que contiene 1 100 litros, comunicados entre sí, por una tubería en la parte inferior de ambos tanques, formando vasos comunicantes.
¿En cuánto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos tanques?.
SITUACIÓN PROBLEMA
En el minuto x el primer tanque tiene 560 + 45x litros, mientras que el segundo tanque tiene 1 100 –45x, debemos igualar ambas expresiones y encontrar la x que haga cierta dicha igualdad:
560 + 45x = 1 100 – 45x
Pasamos los términos que contienen a x a un miembro de la ecuación y los otras al otro miembro, empleando la propiedad de campo del inverso aditivo;
560 + 45 x + 45x = 1 100 – 45x + 45x
560 + 90x = 1 100
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
3.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.
Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
293
560 – 560 + 90x = 1 100 – 560
90x = 540, empleando el inverso multiplicativo:
9090x
= 90540
x = 6, los tanque se tardan 6 minutos en igualarse.
Al combinar variables con operaciones obtenemos expresiones algebraicas, así 2x + y , ab, x + y = 17x
Donde las variables representan números, ya sean números naturales, enteros racionales o reales., que satisfacen las siguientes propiedades de campo:
Suma Multiplicación Conmutatividad. Asociatividad. Neutros. Inversos. Distributividad.
x + y = y +x
(x + y) + z = x + (y + z)
x + 0 = x
x + (-x) = 0
x(y + z) = xy + xz
xy = yx
(xy)z = x(yz)
X x 1 = X
x( ) = 1, si x
diferente de cero
FORMALIZACIÓN
Cuando nos proponemos resolver algebraicamente un problema, debemos comenzar por suponer conocidos los valores de las incógnitas (que generalmente se designan con las letras x, y, z).
Luego debemos escribir la igualdad o igualdades que el enunciado de problema impone entre esas incógnitas con otros datos conocidos; así queda planteada la ecuación del problema.
Luego se resuelve esta ecuación, es decir se determinan los valores numéricos de x, y, y z .... que reemplazados en las ecuaciones hacen que los números que resultan en los dos miembros sean iguales.
APLICACIÓN
Se mezclan 8 kilogramos de una aleación de aluminio al 45% con 12 kilogramos de otra aleación del mismo tipo para obtener una del 29% de aluminio.¿cuál es el porcentaje de este metal en la segunda aleación?.
x1
294
¿Cuántos litros de una solución salina al 10% se deben
agregar a 40 litros de otra solución de la misma sal al 25% para obtener una solución salina al 16%?.
Un joyero mezclo 30 gramos de una aleación de oro al 70% con 60 gramos de una aleación del mismo tipo al 40%.
¿Cual es el porcentaje de oro en la mezcla resultante?.
EJERCICIOS.
EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
La obra matemática más famosa de todos los tiempos son los Elementos, escrita por el matemático griego Euclides, trescientos años antes de Cristo.
Los Elementos son trece libros que contienen una serie de teoremas y afirmaciones sobre la aritmética y la geometría conocidas en la época de Euclides, que recibieron el nombre de proposiciones.
El “libro II”de los Elementos contiene 14 proposiciones relativas a lo que se ha llamado el álgebra geométrica, en ellas se representan, mediante figuras y segmentos, algunas de las expresiones algebraicas que hoy conocemos como productos notables, pero en un lenguaje muy diferente al actual.
Euclides empleaba segmentos para representar ,magnitudes y operaba con ellas haciendo uso de los teoremas geométricos.
La siguiente es la proposición 1 del “Libro II” de los Elementos:
Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos , el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la (recta) no cortada y cada uno de los segmentos.
¿podrías representar en una figura lo que dice esta
VISIÓN HISTÓRICA.
295
proposición?.
Pedro y María visitaron una granja el fin de semana
donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?.
SITUACIÓN PROBLEMA
La construcción de una tabla puede ayudar al estudiante a seleccionar el número sistemáticamente, por ejemplo iniciando con los casos extremos (sólo gallinas o cerdos) y tomando en cuenta la información se puede generar:
gallinas cerdos patas 19 0 36 0 19 76
10 9 56 8 11 60
ESTRATEGIA
DE SOLUCIÓN
El método de correspondencia también puede aparecer en la identificación del símbolo matemático y sus relaciones en la solución del problema, la idea es
3.2 SISTEMA DE ECUACIONES .
Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
296
pensar en una correspondencia entre el número de patas y cabezas, dos formas son;
Supongamos que las gallinas se sostienen con una sola pata y que los cerdos sólo con dos patas, entonces estarían pisando tierra solamente la mitad de las patas es decir 30 patas; en este número la cabeza de una gallina se cuenta solamente una vez, mientras que la cabeza de los cerdos se cuenta dos veces, restándole a 30 el numero de cabezas (19), resulta el número de cabezas de cerdo; esto es 30 – 19 = 11 cerdos, con esta información se tiene que hay 8 gallinas.
Otra variante del método de correspondencia es imaginarse que todos los animales se sostienen con dos patas, entonces habría 38 patas y 60 – 38 = 22, que serían las patas de cerdo que faltan, entonces hay 11 cerdos.
Un método semi-algebraico este se puede identificar cuando el estudiante por ejemplo utilice g =cantidad de gallinas y c = cantidad de cerdos; de aquí puede escribir que g + c = 19 o g = 19 – c, tomando esto como base, el estudiante puede explorar las posibles combinaciones que puedan satisfacer la expresión del número de patas:
g 19 - c 2(g) + 4(19 –c) patas 4 19 – 4 2(4) + 4(15)= 68 6 19 – 6 2(6) + 4(13) = 62 8 19 - 8 2(8) + 4(11) = 60
FORMALIZACIÓN
Una ventaja de la notación literal es que permite tratar de
un modo general lo que de otro modo se tendría que
considerar de manera individual, permite por ejemplo,
tratar con todos los polinomios a través de expresiones
generales; axw + byk + c , en geometría analítica su uso
permite estudiar familias enteras de curvas que comparten
un mismo tipo de ecuación.
APLICACIÓN
297
1. El n-ésimo término an de una progresión aritmética es an = a1 + (n – 1)d, donde a1 es el primer término y d es la diferencia común, resuelva para d y n.
2. La distancia focal f de una lente delgada esta dada por:
ψµ111
+=f
Donde µ es la distancia entre el objeto y la lente y ψ es la distancia entre la imagen y la lente, resuelva para f y ψ
EJERCICIOS
.
MIDIENDO EL MUNDO.
Eratóstenes fue un gran matemático de origen griego y el primer hombre 8hasta donde se conoce) que midió la longitud de la circunferencia de la tierra con una exactitud sorprendente.
Calculando 40 834 Km., lo cual, aún en nuestros días, es motivo de admiración, ya que el error fue únicamente de 834 Km.
Eratóstenes nació en el año 276 y murió en 194 antes de Cristo.
Otro gran matemático llamado Al-Biruni de origen persa, que nació en el año 973, calculo usando trigonometría, el radio de la Tierra, para lo cual hizo lo siguiente:
Subió a una montaña de 326 metros, calculó en 34’ el ángulo de depresión de la horizontal y con esta información resolvió el problema encontrando un valor de 6 519.674 Km.
Lo cual es un valor muy próximo al real, su error es de aproximadamente 139 Km.
Al-Buruni murió en el año 1048 después de Cristo.
VISIÓN HISTÓRICA.
298
Pedro y María visitaron una granja el fin de semana
donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?.
SITUACIÓN PROBLEMA
Método pictórico este incluye el uso de figuras, dibujos o diagramas como medio para representar al símbolo matemático, en este caso el estudiante puede dibujar los animales o representarlos mediante un diagrama y usarlos como referencia para aumentar la cantidad o eliminar algunos de acuerdo al número de patas.
ESTRATEGI
A DE
SOLUCIÓN
3.2.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES.
Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
299
Método de ensayo y error este método puede ser
usado originalmente por el estudiante, pude incluir varias direcciones de acuerdo con el tipo de ensaye que elija, como:
método de intercambio en el cual fija un número determinado de cerdos o gallinas y los empieza a intercambiar de acuerdo al número de patas y disminuir el número de cerdos de uno en uno compensando cada cerdo con las gallinas correspondientes, repitiendo este procedimiento se llega a la solución del problema.
método de conteo puede iniciarse con cualquier número de gallinas y cerdos, por ejemplo 10 gallinas y 9 cerdos, contando el total de patas se tiene que 20 + 36 = 56, se nota que faltan cuatro patas, entonces la siguiente selección pueden ser 9 gallinas y 10 cerdos, esto lleva a 18 + 40 = 58 patas, en este caso faltan 2 patas; naturalmente la siguiente selección conlleva a considerar 8 gallinas y 11 cerdos, lo que produce la solución deseada.
FORMALIZACIÓN
Considere el sistema de dos ecuaciones lineales, con dos variables:
a1 + b1 + c1 = 0 , a1, b1 diferentes a cero
a2 + b2 + c2 = 0 , a2, b2 diferentes a cero
En donde x y y representan simultáneamente los
300
mismos números en ambas ecuaciones, por esta razón reciben el nombre de simultaneas.
Un par de valores de x y y que satisfacen a ambas ecuaciones se llama una solución común del sistema, entonces se dice que tiene una solución única.
APLICACIÓN
El peso de una manzana es igual al peso de una
naranja más 100 gramos; el peso de dos manzanas es igual al peso de tres naranjas más 100 gramos.
¿Cuántos gramos pesa una manzana y cuantos pesa una naranja?.
EJERCICIOS.
JOHN QUINCY ADAMS.
En su informe al Congreso en 1821, John Quincy Adams, dijo “ Las pesas y las medidas deben colocarse entre las necesidades cotidianas de cualquier individuo de la sociedad humana, son importantes para la distribución del presupuesto familiar; son indispensables en cualquier ocupación a la que se dedique el hombre, en la medición o reparto de una propiedad, en cualquier transacción de tipo industrial o comercial; en las labores del agricultor; en las obras del artesano; en los estudios del científico o del filósofo; en las investigaciones de los anticuarios, en la navegación del marino y en los desplazamientos de los soldados; tanto en los intercambios de paz, como en las operaciones de la guerra. El conocimiento de ellas al igual que su uso establecido, está entre los primeros aspectos de la educación, y a menudo aquél es aprendiendo incluso por los que no saben leer ni escribir. Dicho conocimiento se fija en la memoria debido a que el hombre lo aplica en su trabajo cotidiano”.
En 1790, la Academia de Ciencias de Francia, a
VISIÓN HISTÓRICA.
301
petición del gobierno de ese país, creó un sistema de pesas y medidas que era al mismo tiempo muy sencillo y científico, las medidas de capacidad (volumen) y masa (peso) se derivaron de la unidad de longitud que era parte de la circunferencia de la Tierra; de esta manera, las unidades básicas se relacionaron unas con otras y con la naturaleza.
Además, los múltiplos y submúltiplos de estas unidades se obtuvieron multiplicando por potencias de 10 o dividiendo entre las mismas, de modo que mediante un simple cambio del punto decimal se evitan todas las mismas de modo que mediante un simple cambio del punto decimal se evitan todas las dificultades de conversión que existen en el sistema inglés, como el de dividir entre 36 para convertir pulgadas en yardas; hoy en día, Estados Unidos y otros países que siguen aún el sistema inglés, por fin están casi a punto de cambiar, de manera oficial, al sistema métrico decimal.
Pedro y María visitaron una granja el fin de semana
donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?.
SITUACIÓN PROBLEMA
3.2.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.
Ecuaciones
ÁREA TEMÁTICA. Aritmética.
TEMA PRINCIPAL. Números Naturales.
TEMAS RELACIONADOS. Números con signo.
RECOMENDACIONES / COMENTARIOS. Que se ejerciten los algoritmos.
302
El álgebra también puede ayudar a resolver el problema, una
forma puede ser representando la información dada con un sistema de ecuaciones, este sistema, que incluye dos ecuaciones con dos incógnitas, se puede resolver utilizando los procedimientos rutinarios:
número de gallinas = x número de cerdos = y número de cabezas x + y = 19 (1) número de patas 2x + 4y = 60 (2) Multiplicando (1) por 2 y restando (2), se obtiene: 2y = 22
Así y = 11 y x = 8
Otra representación algebraica donde se incluya solamente una variable, por ejemplo x puede representar el número de gallinas y (19 – x) el número de cerdos, esto lleva a que
2x + 4(19 – x) = 60, es decir 2x + 76 – 4x = 60, de donde x = 8.
ESTRATEG
IA DE
SOLUCIÓN
Método gráfico:
FORMALIZACIÓN
I. En todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a 180o, dibuja un triángulo donde el ángulo mayor sea 35o más grande que el ángulo menor, y el ángulo menor sea 20o más grande que la diferencia entre el mayor y el mediano.
1. Si llamas a, b, y c a los ángulos interiores de un triángulo, ¿cómo expresarías su suma?, ¿a qué debe ser igual?.
APLICACIÓN
303
2. Supón que a es el ángulo mayor del triángulo, b es
le mediano y c es el menor, ¿cuál es la relación entre a y c?.
3. ¿Qué relación hay entre c y la diferencia de a y b?, ¿cómo puedes expresarlo algebraicamente?.
Resuelve los siguientes sistemas:
1. Entre María, Marcela y Maritza tienen $140. Maritza tiene la mitad de lo que tiene María, y María $10 más de lo que tiene Marcela, ¿cuánto tiene cada una?. 2. La suma de tres números es 300, la suma de dos de ellos es igual a la mitad del tercero y su diferencia es igual a la cuarta parte del tercero, ¿cuáles son los números?.
EJERCICIOS
.
LA GEOMETRIA ANÁLITICA.
La geometría analítica fu desarrollada por el matemático francés René Descartes; en ella se reúnen los métodos del álgebra y los de la geometría para dar lugar a un poderosos instrumento con el que se pueden describir muchos fenómenos de la naturaleza.
Descartes publico en 1637 uno de los libros matemáticos más famosos de todos los tiempos, LaGeometría, en el cual expuso su nueva teoría, y fue determinante para el nacimiento del cálculo diferencial e integral unos 50años más tarde.
Sin embargo, esta famosa obra, La Geometría, no fue originalmente escrita como un libro de matemáticas; Descartes lo incluyó como un apéndice que ilustraba el método de razonamiento que desarrolló en su famoso tratado filosófico llamado Discurso del método para guiar la razón y encontrar la verdad de las ciencias.
VISIÓN HISTÓRICA.
304
305
En el esquema de las coordenadas rectangulares, llamadas también cartesianas en honor a su creador, cualquier punto en el plano puede ser localizado por medio de dos números, sus coordenadas, que representan las distancias horizontal y vertical, a un punto fijo llamado origen.
Con la geometría analítica, Descartes pudo solucionar muchos antiguos problemas geométricos que los griegos no habían podido resolver e hizo posible abordar problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos dando lugar al nacimiento de la mecánica.
¿Resulta Demasiado rígido este método?.
Existe la posibilidad de caer en la rigidez, para evitarlo el profesor:251
• Después del primer ejemplo, podrá omitir la parte que se refiere a “buscar qué cosas conocemos y cuáles desconocemos en la situación”, considerándola implícitamente;
• En cursos avanzados, la “situación concreto” podrá pasar a ser un caso particular de un conjunto de situaciones abstractas;
• Etc.,
¿Resulta demasiado restringido el método? Por el contrario,
Podrá pues, ser tomado como base –nunca como patrón rígido- en el proceso de enseñanza-aprendizaje de cualquier tema.
Deberá adaptar la sucesión de procedimientos a las posibilidades y objetivos concretos del grupo.
Con ligeras adaptaciones es generalizable a todos los campos de la matemática,
Así el
profesor:
• Por medio de confrontaciones con situaciones motivadoras,
• Por medio de preguntas adecuadas,
306
251 ACADEMIA INSTITUCIONAL DE MATEMÁTICAS. Álgebra, para nivel Medio Superior, Guía para el
profesor. Secretaria Académica. Instituto Politécnico Nacional. México. 2001. Pág. 69
• Evitando, en lo posible, dar respuestas directas:
Promueve la búsqueda en sus alumnos, quienes:
Experimentan la investigación, el descubrimiento
Elaboran procedimientos propios,
Reciben las simbolizaciones y procedimientos convencionales de manera natural, palpando cómo simplifican el proceso;
Desarrollan una actividad creativa.
Por otra parte, recordemos que la matemática no debe considerarse únicamente como:252
• una ciencia abstracta. • Una herramienta al servicio de la ciencia y la
técnica;
Sino más profundamente, como
• Actividad humano-creativa:
• Interpretación –conocimiento- de la Naturaleza.
• Herramienta de transformación.
EVITA EL PATERNALISMO: PROMUEVE UNA ACTIVIDAD CREATIVA EN EL ALUMNO COMO CENTRO DEL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.
307
252 COLEGIO DE BACHILLERES. Curso propedéutico para Profesores. Secretaria General Académica.
Dirección de Planeación Académica. Centro de Actualización y Formación de Profesores. México. 1981. Pág. 74
El profesor que:
- Enseña la Matemática como una disciplina vinculada con los demás campos de conocimiento y creación humana.
- Encuadra el estudio en una visión histórica humana;
• Introduciendo un nuevo tema por medio de su desarrollo histórico: cómo nació para responder a una necesidad concreta, qué importancia tuvo y tiene en el desarrollo de la humanidad;
• Buscando una ejemplificación de situaciones actuales en que se utilice el tema –en la Psicología, Antropología, en la Sociología, etc.;
- logrará una formación integrada en el alumno, y
- aumentará la valoración que el alumno dé a la Matemática.
Respondamos, como resumen, a la pregunta;
¿Cuándo se estará propiciando de una manera óptima la enseñanza-aprendizaje de la Matemática?.
308
Cuando el profesor
En lugar de pretender transmitir a sus alumnos sus propios conocimientos
Procurando partir siempre de lo más tangible o imaginable hacia lo más abstracto o teórico.
Cuando los alumnos
En lugar de esforzarse por memorizar fórmulas y cómo aplicarlas
Se esfuerzan primero por comprender qué significan y cómo se llegó a ellas para poder aplicarlas mejor
Cuando profesor y alumnos
• Ponen su interés primordial en la asimilación de un proceso de conocimiento;
• Ponen la asimilación de este proceso como indispensable para desarrollar una habilidad operacional;
Encuadran el desenvolvimiento teórico de este proceso dentro de su desarrollo histórico real.
Promueve que sus alumnos participen activamente en el desarrollo de un proceso matemático, en un ambiente de creatividad y descubrimiento.
309
Cuando la Matemática, de ser una ciencia inventada por y para genios, pasa a ser un método vivo de conocimientos.
Este método, evidentemente, pide un nuevo enfoque también en cuanto a las actividades de los alumnos dentro y fuera de la sesión el profesor puede:253
• Emplear el interrogatorio en un momento de la clase;
• Pedirle a un alumno que exponga el tema;
• Someter a discusión la solución de un problema. Actividades todas valiosas, pero que lo serán más, si están planteadas, preparadas
para manejarse en una forma sistematizada.
Pueden propiciarse discusiones y confrontaciones:
- sobre algún problema y su solución:
• Para simbolizar una situación;
• Para desarrollar un procedimiento de solución;
• Para aclarar su aplicación.
310
253 RICO, L. Conocimiento numérico y formación del profesorado. Discurso de apertura del curso Académico
1995-96. Universidad de Granada, Granada. 1995. Pág. 89-99
- sobre el terreno de utilización del método matemático como conocimiento;
• para reflexionar sobre cuestiones como:
“Nada es cognoscible a menos que sea matematizable”, o “la matemática es tan sólo una explicación de la lógica formal”.
- sobre problemas aún no resueltos por el hombre:
• Para comprender la dificultad;
• Para valorar la matemática como algo vivo y en crecimiento;254
- sobre el campo de aplicación del método matemático como herramienta de transformación indirecta;
Para conocer la utilidad de la Matemática en terrenos como:
• Ciencias exactas; • Ciencias sociales; • Ciencias históricas; • ¿arte?.
311
254 BEAL, G. et al. Conducción y acción dinámica del grupo. Ed. Kapelusz, Buenos Aires, 1971. Pág. 122
5 RECURSOS DIDÁCTICOS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS I.
Los profesores de Matemáticas suelen comentar:255
• “En Historia es fácil proyectar una película para amenizar y hacer comprender la clase, pero en Matemáticas esto es imposible”;
• “No esperarán que proyecte transparencias del desarrollo del número e”;
• “Es absurdo tener con el grupo una discusión sobre la veracidad de 2 + 2 = 4”;
• “En primaria están usando daditos, pero mis alumnos no son niños”;
Que recursos útiles en otras áreas de
la educación o en otros niveles de la enseñanza, son inutilizables en su asignatura,
311
255 PEREZ R. G. et al. Manual de didáctica general. Curso introductorio. A.N.U.I.E.S., México. 1998. Pág. 47- 67
Si se tiene presente que el mejor proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas es el que de lo más sensible o imaginable: fenómeno, evento o caso particular; hacia lo más abstracto o teoría, y en el cual el alumno participa creativamente.256
Es necesario el uso de:
material impreso
• libros; • revistas; • textos programados.
Que ayuden al alumno a adquirir
• una visión más amplia de la materia;
• sus progresos;
• sus diferentes enfoques;
• una mayor habilidad operacional.
Proyecciones fijas cinematográficas
• históricas que presenten las situaciones que dieron origen a alguna teoría matemática -comienzo de la agricultura geometría;
de generaciones de curvas y cuerpos, que visualicen un proceso geométrico de una situación por simbolizar.
312
256 RICO, L. Componentes básicos para la formación del profesor de matemáticas de secundaria. Revista Interuniversitaria
de Formación del Profesorado, núm. 21., 1997. Pág. 33 –34.
Y otro tipo de material como:
• rotafolio,
• carteles,
• ilustraciones,
• figuras imantadas,
• franelógrafo.
Y cualquier otro material didáctico adaptado a la Matemática
¿EXISTE MATERIAL DIDÁCTICO ESPECIFICAMENTE PARA MATEMÁTICAS?.
Ciertamente, algunos diseñados directamente para nivel medio y superior, otros susceptibles de adaptación, se propone algunos ejemplos de material que puede ser construido o conseguido a bajo precio.
- BLOQUES LÓGICOS DE DIENES.
Se utilizan para introducir las nociones de la teoría de los conjuntos, utilizando procedimientos lógicos, por medio de cuatro predicados: forma, tamaño, grosor y color, permiten partir de experiencias concretas para llegar a definiciones y operaciones.
313
En base a un Conjunto Universal que consta de :
Discos. Paralelepípedos rectangulares. Paralelepípedos cuadrangulares. Pirámides triangulares.
Grandes pequeños
Gruesos Delgados.
Azules Rojos. Verdes
- se construyen conjuntos particulares, intersecciones, uniones, complementos;
- se facilita la comprensión de la contención, la igualdad y la equivalencia.;
Por ejemplo, la intersección entre el conjunto de los discos rojos y el conjunto de los objetos pequeños no azules, es el conjunto de los discos pequeños y rojos; y efectivamente esto se comprueba en el conjunto universal.
314
A manera de juegos de mesa para dos o más
participantes, y graduables, de tal manera que todos pueden ser jugados a cualquier nivel, desde doctorado hasta preprimaria, los principales son:257
CONJUNTOS
Alrededor de una cardinalidad finita propuesta, se va construyendo la solución, el nombre de un conjunto, formado por la sucesiones de dados y que responde a un conjunto de cartas, que tenga tal número de elementos.
ECUACIONES
La meta propuesta es un número, en base al cual se va a configurando una solución o ecuación, por medio de sucesiones de dados.
BUFA y PRUEBA
La meta ahora es una proposición simbólica; BUena FórmulA, como la conclusión lógica de una prueba por construirse.
PESQUISAS Y TEORÍAS
315
257 DIENES, GOLDING. Los primeros pasos en la Matemática. 1: lógica y juegos lógicos. Ed. Varazén. México, 1970. Pág.
141 - 193
Un jugador denominado como “nativo” define un
lenguaje formal, con gramática generativa; utilizando sucesiones de fichas de colores, cuerdas; los demás lo interrogan, preguntando si una cuerda concreta es o no oración en su lenguaje.
Y van formulando teorías que expliquen el
resultado de sus pesquisas, hasta llegar, si pueden, a caracterizar el lenguaje del nativo, en un ejercicio no sólo de las gramáticas generativas, sino el método experimental.
En todos estos juegos, cada jugador a su turno mueve un dado de los Recursos, dados arrojados al principio de la partida, al tablero de Juego y gana o pierde según su habilidad en el manejo de los símbolos y su comprensión de los conceptos subyacentes.
SIMBOLOS MAGNETICOS.
Símbolos recortados en cartón grueso o madera con un trozo de imán que pueden adherirse a pizarrones metálicos.
Sirven para visualizar
- la ley dela conmutatividad,
- la ley de la transitividad,
- la generación de proposiciones simbólicas, fórmulas, a partir de otras, mediante el uso correcto de leyes matemáticas,
- etc.
316
Para el mismo efecto puede usarse el franelógrafo, o bien símbolos dibujados sobre mica y proyectados en una pantalla
Desde luego hay instituciones que proveen de material más complejo, películas, tableros binarios, proyectores digitales para computadora, etc, y esta abierto a la creatividad de profesores e investigadores.
Para el uso efectivo de cualquier recurso didáctico:258
Hay que evitar
• la improvisación; • la divagación; • el uso excesivo; • el exceso de confianza en los
medios. .
317
258 COLL, C., Psicología y Curriculum. Ed. Laia, Barcelona, 1987. Pág. 89- 102
Hay que evitar
Que los alumnos participen en la;
• Selección;
• Elaboración;
• Uso. De los recursos, de acuerdo con;
• Sus intereses;
• Su nivel de comprensión;
• Su situación afectiva;
• Sus antecedentes académicos.
Hay que tener presente que:259
318
NINGUN RECURSO DIDÁCTICO POR SI MISMO GARANTIZA EL AUTENTICO APRENDIZAJE.
259 CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la matemática moderna. Serie de Matemáticas. Ed. Trillas, México,
1970. Pág. 239 – 369
6. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS I.
¿QUÉ ES EVALUAR?.
Se ha dicho que aprendizaje significa un cambio de conducta y que en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática esos cambios se producen en dos áreas ;
Cognoscitiva y
valorativa
Esos cambios de conducta son los objetivos que profesor y alumnos se proponen lograr en el desarrollo del curso.;
Es importante que ambos se den cuenta en qué medida fueron alcanzados los objetivos propuestos y cuáles son las formas de conducta adquiridos;
La EVALUACIÖN es la manera de conocer los resultados logrados en el proceso enseñanza-aprendizaje.
319
¿PARA QUE SE EVALUA?.
La evaluación no sólo tiene por objeto;
Permitir al Profesor
• La asignación de calificaciones; • La localización de alumnos
deficientes y alumnos brillantes.
Sino, sobre todo, AYUDAR
al Profesor a
• Localizar deficiencias para revisar los objetivos propuestos;
• Percibir si las actividades, recursos
y procedimientos fueron los más adecuados;
• Y en base a eso hacer los ajustes
necesarios.
Al alumno
• Conocer los resultados de su aprendizaje para estimularlo a seguir adelante, o bien superar aquellos en lo que está deficiente;
• Aumentar su interés y su esfuerzo
por la materia en sí; • ¡no considerar las calificaciones
como lo más importante del curso!..
320
Luego entonces:
• Al planear la evaluación, el profesor podrá promover la participación de los alumnos pidiéndoles sugerencias sobre la forma de realizarla;
• Así, la evaluación será considerada por los alumnos como una actividad natural dentro del proceso enseñanza-aprendizaje;
• Es conveniente que en la interpretación de los resultados participen los alumnos ya que esto ayudará a que se refuerce la autoevaluación.
Los resultados que se obtienen de la evaluación son guía imprescindible, orientación para profesor y alumnos.
La evaluación no es una actividad que concierne sólo al profesor, sino también a los alumnos, ya que ambos están comprometidos en la misma medida en el proceso enseñanza-aprendizaje.
321
¿Es posible evaluar todos los resultados del proceso enseñanza – aprendizaje de la Matemática?260
• Al iniciar el curso el profesor propone determinados objetivos, conductas observables en los alumnos, los cuales:
- pueden no alcanzarse en su totalidad; - no se cumplen en el mismo grado de calidad
y cantidad en todos los alumnos debido a:
capacidades, habilidades, antecedentes escolares, intereses, tipos de inteligencia
• Diferencias Individuales.
• Algunas conductas logradas como:
• “Gusto” por la Matemática;
• Integración de la Matemática en una visión
personal cosmológica.
• “madurez” matemática.
O no son susceptibles de evaluación, o es muy difícil hacerlo realistamente por los procedimientos conocidos.
No todos los resultados del aprendizaje son susceptibles de evaluarse directa y precisamente.
322
260 BLOOM, Benjamín. Taxonomía de los objetivos de la educación. La clasificación de las metas educacionales.
Ed “El Ateneo”, Buenos Aires, 1972. Pág. 84 –96
¿QUE SE DEBE EVALUAR?
Los profesores que en un examen se limitan a pedir a sus alumnos:
- resuelvan una ecuación, - den definiciones, - repitan demostraciones de teoremas,
- utilicen tablas de fórmulas.
Conductas rígidas
Están preocupados por conocer cuántos conocimientos adquirieron sus alumnos ........
lo que revela una enseñanza de la Matemática más informativa que formativa ..........
en la que se da préponderancia a los contenidos ..........
....y se lleva a los alumnos a perderse en un cúmulo de conocimientos ........
sin sentido para ellos ....
que a la larga son olvidados y no propician la transferencia a otras disciplinas.
y
que quizá no les serán de mucha utilidad ......
323
por sus futuras actividades y por el rápido avance de la ciencia
¿CUÁNDO SE DEBE EVALUAR?.
Comúnmente se toma la evaluación como la etapa final de una período del proceso de enseñanza-aprendizaje, con esta evaluación,
el alumno
• “estudia” días antes del examen; • saliendo del examen olvida pronto
lo “aprendido”.
el Profesor
• no descubre las auténticas adquisiciones ni las deficiencias de los alumnos, y obviamente;
• no puede hacer nada para mejorar
aun lo poco que revelan los resultados.
Por el contrario
324
La verdadera evaluación es una actividad que se realiza en forma constante durante todo el proceso enseñanza-aprendizaje
Así, son necesarias en el área cognoscitiva
Permite al profesor darse cuenta del nivel del grupo en cuanto a la preparación previa
• conocimientos;
• comprensión;
• habilidades. Se utiliza;
• al principio de un curso;
• al principio de una unidad;
• para corroborar que los objetivos especificados y la planeación sean adecuados;
• para establecer una comparación con la evaluación final y saber cuál fue el índice de eficiencia del curso.
LA EVALUACIÓN INICIAL.
325
en el área afectiva
El profesor explora intereses y actitudes de los alumnos en relación con 261
• la Matemática en general;
• el aspecto por estudiar. Se utiliza;
• al principio de un curso;
• al principio de una unidad;
• para hacer una última discriminación de los objetivos propuestos;
• para hacer una comparación con la evaluación final y conocer las modificaciones de apreciación respecto a la Matemática a través del curso.
LA EVALUACIÓN PARCIAL.
Permite al profesor y a los alumnos una apreciación de los logros alcanzados tanto en el área cognoscitiva como afectiva, en determinado momento del proceso enseñanza-aprendizaje.
Se utiliza
326
261 LAFOURCADE, Pedro. Evaluación de los aprendizajes. Ed. Kapelusz. Buenos Aires, 1969. Pág. 221 –256
- al terminar una unidad de aprendizaje,
- al terminar un tema,
- al terminar o comenzar una sesión de clase.
Da al profesor y alumnos una visión general de los resultados del curso.
En base a los aspectos fundamentales del curso, en el área cognoscitiva y afectiva; se utiliza al finalizar éste.
LA EVALUACIÓN FINAL.
LA EVALUACIÓN CONTÍNUA.
- La más importante de todas, se logra mediante la comunicación verdaderamente humana entre el profesor y los alumnos, a todo lo largo del curso.
- sobre todo es importante para el área afectiva.
327
- por ser difícil de precisar, usualmente se realiza a nivel implícito, pero
- es altamente conveniente que profesor y alumnos dialoguen continuamente sobre los avances obtenidos.
¿CÓMO EVALUAR?.
Una vez propuesta una serie de objetivos al iniciar el curso, mismos que irán sufriendo sucesivas discriminaciones , profesor y alumnos deberán realizar evaluaciones sucesivas con el fin de comprobar los cambios de conducta observables en éstos.
328
Una evaluación puede ser:
-Formal: planificada y estructurada.
-Informal: espontánea, ya se como cuestionario oral o escrito, diálogo u observación.
Eligiendo las situaciones más apropiadas con respecto a los objetivos que les interesa evaluar.
329
Cuando en un grupo escolar algunos alumnos:
• No asisten regularmente.
• No participan.
• No realizan los trabajos extraclase.
El profesor los califica de “desinteresados” o de “un nivel intelectual asombrosamente bajo”, pero ...
...no solucionará a sí la situación.
¿QUÉ LLEVA A LOS ALUMNOS A ACTUAR ASÍ?.
Se sabe que toda acción humana responde
intereses, personales,
a deseos,
circunstanciales, preocupaciones,
7. MOTIVACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS I.
330
Si los alumnos:
• No le encuentran sentido a la Matemática,
• Les parece una materia árida y aburrida,
• Están decepcionados por sus continuos fracasos.
No participan en el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática;
Para algunos Alumnos la Matemática significa
• Una oportunidad de sobresalir;
• Un camino hacia la
propia seguridad; • El escollo más
retador.
Motivos que lo llevan al estudio de la Matemática.
No existen estímulos que los impulsen a participar en el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática, al sentirla como actividad ajena a sus necesidades, intereses, etc. Y por consiguiente no están motivados para dicho aprendizaje.
331
Motivos que surgen de necesidades que pueden ser
• fisiológicas,
• de seguridad,
• económicas,
• de pertenecer a un grupo,
• de comunicación,
• etc.
que urgen ser satisfechas
El profesor tomará en cuenta que:357
- La necesidad genera interés al buscar su satisfacción,
- El interés genera un motivo al convertirse en el interés más fuerte capaz de promover la acción,
- El motivo genera atención,
- Todo esto mueve al sujeto a actuar. 357 NUTTIN, PIERON, BUYTENDIJK. La motivación. Ed. Proteo. Buenos Aires, 1969. Pág. 12 – 137
332
Necesidad
M O T I V A C I Ó N
Interés
Motivos
Atención
Acción
¿CÓMO HACER PARA QUE UN ALUMNO........
• SE INTERSE EN APRENDER Matemáticas,
• Ponga todo su esfuerzo en dicha actividad,
• Actúe por impulso propio,
• Desee participar en clase,
• Trate de aplicar los conocimientos a situaciones de su vida diaria.
....ESTE MOTIVADO POSITIVAMENTE HACIA EL APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS?.
333
MIENTRAS EL ALUMNO vea en la Matemática
• Una asignatura sin relación con su vida personal,
• Un conglomerado de definiciones y algoritmos.
• Un mal necesario para su carrera,
• Una sucesión de exámenes reprobados ...
....nunca podrá significar nada positivo para él;
EN CAMBIO, si la Matemática es captada por el alumno como:
• Un lenguaje del mundo actual,
• Una manifestación del hombre,
• Un recurso indispensable en la ciencia y en la técnica,
• Un método vivo y dinámico de pensamiento......
334
.....responderá a necesidades de :
• Comunicación,
• Reflexión,
• Formación profesional,
• Formación intelectual.
y constituirá una verdadera motivación del alumno.
Luego entonces:
• mida su calidad profesional en proporción con el número de alumnos reprobados, a mayor porcentaje de reprobación mejor profesor se considera,
• se siente orgulloso de que su materia sólo unos cuantos la puedan aprobar
• desde las primeras clases advierta a los alumnos que las Matemáticas son sumamente difíciles y que sólo aquellos alumnos que asistan con regularidad, que estén atentos a sus explicaciones y que estudien mucho pueden aprobar;
• piense que no todos los alumnos tiene capacidad suficiente para el dominio de las Matemáticas y por tanto, sólo le interesan aquellos que demuestran adelantos en el aprendizaje.
335
• se interesa más por cubrir el programa escolar que por
lograr un auténtico aprendizaje en sus alumnos, “atiborrándolos” de conocimientos que cada vez van teniendo menos significados para los escolares.
• aplique exámenes con un alto grado de dificultad, suponiendo que esto constituye un reto para los alumnos, quienes tratarán de vencerlo y así se esforzarán más por dominar la materia.
Genera motivos.......PERO en contra de la Matemática.
Con estas actitudes del profesor 358
- la sensación de dificultad va aumentando en el alumno,
- lo cual se esfuerza con la recepción constante de fracasos en todas o casi todas sus intervenciones.
de donde se deriva una situación de angustia,
358 SORENSON, Herbert. La psicología en la educación. Ed. El Ateneo. Buenos Aires, 1971. Pág. 257 286
336
que lleva a un auténtico miedo por la asignatura
Estas situaciones se arrastran quizá desde el ciclo primario, y se tiene alumnos que:
- en cuanto se enteran de que tendrán que llevar un curso de Matemáticas, esperan una serie de situaciones desagradables.
- al elegir una carrera o especialidad se informan antes si tienen que estudiar Matemáticas.
es decir ...
....anticipan resultados basados en sus experiencias.
Ante esto, se pregunta nuevamente: ¿QUÉ PUEDE HACER EL PROFESOR PARA QUE LOS ALUMNOS DESEEN APRENDER MATEMÁTICAS?.
INTERESANDOSE efectivamente en sus alumnos
337
Propiciando la PARTICIPACIÓN
Como una necesidad personal que despierta el interés, impulsa al alumno a pensar, proyectar, investigar, etc.;
en la cual el alumno;
• sugiere actividades dentro y fuera del aula;
• propone soluciones a problemas que se planteen en clase;
• analiza los resultados de una investigación;
• discute en grupo;
• colabora en la especificación de objetivos;
• redacta informes, resúmenes, etc.
Aclarando a loa alumnos qué OBJETIVOS se pretenden con el curso, pues si los alumnos conocen los resultados esperados:
338
• toda su actividad tendrá un sentido;
• pondrán todo su esfuerzo en lograrlos;
• cada vez irán sintiéndose más interesados e impulsados a terminar la tarea que iniciaron;
• se sentirán más identificados con el profesor, al percibir que marchan en una misma dirección hacia el logro de metas comunes.
Propiciando un ambiente de COOPERACIÓN 359
En el cual cada alumno sepa que su actuación es necesaria para una cierta actividad, ya sea;
• en equipos,
• por parejas.
359 BEAL, G. et al. Conducción y acción dinámica del grupo. Ed. Kapelusz, Buenos Aires, 1971. Pág. 111 – 174
Ya que la cooperación es una actividad más natural y más estimulante para los alumnos que por ejemplo, la competencia.
BIBLIOGRAFÍA.
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BALDOR, F., Gondin, W., y Sohmer, B. Álgebra intermedia y Geometría Análitica. Ediciones Minerva. México, 1965.
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BRITTON, J. y Bello, I. Matemáticas contemporáneas. 2a edición. Ed. HARLA. México. 1982.
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COLL, C., Psicología y Curriculum. Ed. Laia, Barcelona, 1987.
CRUZ, T. Álgebra. Ed. Ediciones Matemáticas Fáciles. 2a edición. México, 1996.
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FLORES Meyer. Matemáticas Modernas. Editorial Progreso. México. 1972.
GOBRAN, A. Álgebra Elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. México. 1990.
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KASNER, E., y Newman, J.. Matemáticas e imaginación. Ed. CECSA, México, 1972.
LAFOURCADE, Pedro. Evaluación de los aprendizajes. Ed. Kapelusz. Buenos Aires, 1969.
NUTTIN, PIERON, BUYTENDIJK. La motivación. Ed. Proteo. Buenos Aires, 1969.
339
340
NEWMAN, James R. SIGMA el mundo de las Matemáticas. 6 Tomos, Ed. Grijalbo,, Barcelona,1997. ORTIZ. Matemáticas 2. Álgebra y funciones. Publicaciones CULTURAL. México.
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EPÍLOGO.
“Otra visión de la aplicación Didáctica del programa de Matemáticas I, en el Colegio de Bachilleres en el D. F.”
Necesidades Didácticas formativas del Profesor de Matemáticas: el Manual de
innovación didáctica de Matemáticas I, pone a disposición de los profesores de
Educación Media Superior, de la especialidad, conceptos sólidos y útiles de la
Didáctica de las Matemáticas, que sirvan para innovar, profundizar y mejorar su
actividad profesional ya que, por lo general, se ha iniciado en la práctica de la
enseñanza mediante ensayo y error.
Este Manual de innovación didáctica de las Matemáticas I, constituye un intento
de acercar la didáctica específica de las matemáticas a los docentes de Educación
Media Superior que deseen mejorar su labor al interior del aula, sobre qué debe
hacerse, cómo y con quién; con la intención de que sea un elemento enriquecedor de
la labor docente y no un mero adorno tecnocrático a las modalidades educativas de
siempre.
Se prioriza la creación de actividades, al interior del aula, por parte del docente
y del alumno, la propuesta no es una elección arbitraria se sustenta en la incidencia
en el planteo con que Piaget, Ausbel y Vigotski encabezan su psicología educativa
en un sólo principio: “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que
el alumno ya sabe”.
Y quien sino el profesor de aula está en condiciones de conocer “lo que el
alumno ya sabe”, para incorporarle en la planificación de actividades de la estructura
de las matemáticas, sobre todo en relación con los problemas prácticos que se
intentan solucionar; el profesor es un profesional que debe desarrollar un currículo
educativo que tiene objetivos, métodos, procedimientos, reglamentos y contextos
organizativos definidos y preexistentes al que la sociedad y la escuela le imponen
conocer y emplear, integrando al interior del aula, sin que sean simples operarios del
sistema, impartiendo “matemáticas acabadas”.
Al contrario se pretende con la propuesta de innovación didáctica que el
docente tenga injerencia en los enfoques y tratamiento de contenidos, ya que perder
342
el derecho al contenido implica la carencia de la autonomía, de decisión y la
imposibilidad de impartir “matemáticas vivas”, no acabadas, el profesor de
Matemáticas necesita autonomía intelectual y capacidad crítica para el ejercicio de
su profesión.
Para que este manual llegue a manos del lector se involucró mucha gente,
desde los compañeros profesores que insistieron para emprender la módica aventura
hasta los que tuvieron la tediosa tarea de corregir los borradores finales, sobre todo a
los integrantes de las Academias de Matemáticas, tanto del Plantel 03 Iztacalco del
Colegio de Bachilleres, como los de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y
Eléctrica Unidad Profesional Azcapotzalco y la Unidad Profesional Interdisciplinaria
de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas pertenecientes al Instituto
Politécnico Nacional, amigos, y directivos de los planteles, compañeros de estudio,
colegas de otras instituciones como el Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos
del Estado de México, de la Escuela Nacional Preparatoria Plantel 07 o del Colegio
de Ciencias y Humanidades Azcapotzalco dependientes de la Universidad Nacional
Autónoma de México, etc., quienes aportaron lo suyo.
La imposibilidad de ser justo y objetivo a la hora de agradecer lo que cada uno
aportó a este Manual de Innovación Didáctica de Matemáticas I “álgebra”, que es
como toda obra, profundamente colectiva, no sólo en el sentido de cristalizar
conocimientos, ideas, enfoques que provienen de lecturas difíciles de rastrear,
indisolublemente mezcladas con todo el bagaje de los conocimiento que se han
adquirido durante años.
En ese contexto, por otra parte y como suele observarse más nítidamente en
los encuentros y congresos del ámbito educativo, como el “Primer Coloquio sobre el
Aprendizaje de las Matemáticas en el Colegio de Bachilleres” 360 o el “Segundo
343
360 Fuente: Primer Coloquio sobre el Aprendizaje de las Matemáticas en el Colegio de Bachilleres. Auspiciado por el Colegio de Bachilleres, en la Universidad Pedagógica Nacional, del 4 al 7 de junio de 2002.
344
Congreso de Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería y Ciencias Exactas” 361, en
donde se pusieron de manifiesto dos posturas de apropiación de esta nueva
propuesta: quienes abordaron la temática desde un acendrado fundamento teórico,
pero sin aplicaciones concretas y quienes en su quehacer cotidiano en las escuelas y
abogando por un empleo más práctico, hicieron usos que nunca se plasman en la
realidad.
Es de suponer que, por la calidad del trabajo llevado acabo, asociada a una
cuidada y ágil diagramación, el Manual de Innovación Didáctica propuesto, es un
Manual de consulta diaria entre los docentes interesados en implementar nuevas
didácticas en las aulas, probar es la palabra clave; experimentar, equivocarse, volver
a intentarlo, si algo no funciona como se esperaba, detenerse a preguntar ¿se esta
haciendo algo mal?, ¿lo que se esperaba era algo que se sabe que debía suceder o
pareció que...?; sea un error en la operación, o sea la omisión de un paso previo o
necesario, el alumno no lo olvidara fácilmente.
Este texto será una fuente de conocimientos, y también un incentivo para que
otros docentes y coordinadores de matemáticas realicen sus propias propuestas y
aportaciones a la Didáctica de las Matemáticas.
361 Segundo Congreso de Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería y Ciencias Exactas. Realizado en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México, del 17 al 26 de abril de 2003.
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