SECUNDARIA Matemáticas 3...Matemáticas 3 SECUNDARIA SOLUCIONARIO. 3 SOLUCIONARIO S E C U N D A R I A Matemáticas. ice Unidad 1 1 Me preparo 2 S 1. Múltiplos y divisores 4 S 2

Matemáticas 3 S E C U N D A R I A

SOLUCIONARIO

3

SOLUCIONARIO

S E C U N D A R I A

Matemáticas

Índice

Unidad 1 1Me preparo 2S 1. Múltiplos y divisores 4S 2. Números primos 12S 3. Máximo común múltiplo y máximo común divisor 17S 4. Polígonos semejantes 25S 5. Criterios de semejanza de triángulos 32S 6. Medidas de tendencia central y de dispersión 38

Lo que aprendí 46Convivo 48Evaluación 48

Unidad 2 50Me preparo 51S 7. Ecuaciones cuadráticas 53S 8. Resolución de ecuaciones cuadráticas 60S 9. Relación entre variación y ecuación cuadrática 66S 10. Características de la variación 72S 11. Análisis de la variación cuadrática 80S 12. Variaciones diversas 88S 13. Eventos mutuamente excluyentes 96

Lo que aprendí 102Convivo 104Evaluación 104

Unidad 3 � 105Me preparo 106S 14. Expresiones algebraicas de segundo grado 108S 15. Expresiones algebraicas de ecuaciones y funciones 117S 16. Teorema de Pitagoras 122S 17. Razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) 125S 18. Resolución de triángulos rectángulos 128

Lo que aprendí 137Convivo 139Evaluación 139Matemáticas prácticas 139

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Unidad 1

U1

2

Matemáticas 3 • Infinita • Unidad 1

14

U1 1. Contestalassiguientespreguntas.

a)¿Cuálessonlosprimeroscuatromúltiplosde4y5quesonmúltiplosdeambos

simultáneamente?

b)Escribeunnúmerodetrescifrasqueseadivisiblepor2,3,4y5,queseamayor

a235ymenora242 2. Marcalosnúmerosquealdividirlosentre1yelmismosuresiduosea0.

a)11 , b)12 , c)13 , d)15 , e)18 , f)19

3. Dividecadanúmeroentre10.Escribesuresiduo.

a)40 c)120 e)450

b)94 d)343 f)640g)¿Quécaracterísticaobservasenlosnúmerosquesondivisiblesentre10ytie-

nenresiduocero?

4. CarlosyRobertocorrenalrededordeunapistacircular.CarlosesmáslentoqueRobertoyporcadatresvueltasquedaRobertoalapista,Carlosledados.

a)SiRobertodiodocevueltasalapista,¿cuántasdioCarlos?

b)DespuésdelasdocevueltasdadasporRoberto,¿cuántasvecesseencontrarán

loscorredoressiCarlosda14vueltas?

5. Aunaasambleaasisten435personasyserequiereformarequiposdemásde2personasperomenosde30.Todoslosequiposdebentenerelmismonúme-rodepersonasycadapersonasólopuedeestarenunequipo.

a)¿Decuántosintegrantessepuedenformarlosequipos?

b)¿Cuántosequiposhayencadacaso?

6. Setienen4cortesdetela,de15m,18my35m.Sevanacortarenpartesiguales,sinquesobre.¿Cuántomedirácadatrozoycuántostrozoshabrá?

7. Setienen30alumnosdeprimerodesecundaria,18alumnosdesegundoy24alumnosdetercero.Sevanaformarequiposparaelcampamento,juntándo-lossindistincióndegrado.¿Cuántosintegrantesdebetenercadaequipoparaquetenganelmismonúmerodeintegrantes,ycuántosequiposseformarán?

8. Trescamionessalenatresrutasdistintas.Unotardaenregresaralabase180minutos,otrotarda120minutosyeltercero70minutos.Sisalieronalas6de

lamañana,¿volveránasalirjuntosala1p.m.?

Usatécnicasparadeterminarelmcm

yelMCM

Determinayusaloscriteriosde

divisibilidadylosnúmerosprimos

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20,40,60y80.

Elúltimodígitoescero.

4,residuo:0. 12,residuo:0. 45,residuo:0.

9,residuo:4. 34,residuo:3. 64,residuo:0.

Ochovueltas.

De3,5y29integrantescadaequipo.

1metroyson68trozos.

Seisintegrantesysepuedenformar12equipos.

No,porquevuelvenacoincidir

alos2520min=42h,quesonmásquelas7hquehayentre6:00y13:00.

De3integrantes,hay145equipos;de5,hay87;yde29,hay15.

Seisveces.

✗ ✗ ✗

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9. Indicalasfigurasqueestánaescalarespectoalafiguraroja.

10.Trazalasfigurasquesepiden.a)Construyeuntriánguloaescaladeltriánguloazulconunarazónde0.5.

11.Trazauntriángulosemejanteaotroquesesabequetieneunángulode45°,otrode90°yelladoentreambosesde2cm.Elfactordeescaladebeserde2.5.

12.Lasiguientetablamuestralospreciospromediodeldólarenelmesdeenero,correspondientesalaño2011hastael2018.Calculamoda,media,mediana,rangoydesviaciónmedia.(Fuente:http://edutics.mx/iJZ.Consulta:20denoviembrede2018).

Construyepolígonossemejantes.Determinayusacriteriosdesemejanzadetriángulos

Comparalatendenciacentral(moda,medianayrango)ydispersión(rangoydesviaciónmedia)deunconjuntodedatos

Año Cotización

2011 12.16

2012 13

2013 12.72

2014 13.47

2015 14.99

2016 18.13

2017 20.69

2018 18.62

α=30º

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Moda:nohaymodaporquetodoslosvalores

aparecenconlamismafrecuencia.Media:15.46.

Mediana:eslamediaentre13.47y14.99,quees

14.23.

30º1.5

1.5

45º90º

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Múltiplos y divisores

Múltiplos

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1. a) 3 km, 6 km, 9 km, 12 km y 15 km.b) Habrá 20 señalamientos en total.c) No, porque los señalamientos en ese tramo estarán en el kilómetro 30 y 33.d) Información relevante: longitud de carretera, distancia entre señalamientos. Información no rele-

vante: nombres de los lugares.e) Respuesta libre (R. L.).

2. Respuesta modelo (R. M.). Se debe centrar en que los kilómetros donde se pondrán los señalamientos corresponden a números múltiplos de 3.

Determinación de múltiplos1. a) 4 u2.

b) 8 u2, 12 u2, 16 u2 y 20 u2, respectivamente. c) Los elementos 8 a 10 tienen área 32 u2, 36 u2 y 40 u2, respectivamente. Y los elementos de 20 a 23,

tienen área 80 u2, 84 u2, 88 u2 y 92 u2 , respectivamente.

Página 17d) Una expresión a la que pueden llegar los alumnos es: área = 4 × n, donde n es el número de cua-

dritos que componen la figura.e) R. M. Se multiplica por 4 el número de la posición.

2. a) • Sí, cualquiera de ellos se obtiene multiplicando 9 por 1, 2, 3, 4, 5 o 6.• Regla general: 9 × n. Donde n se refiere al término n.• El veintiseisavo término es 234. Se obtiene multiplicando 26 por 9.• El veintiseisavo múltiplo de 9 es 234. • Son iguales. Entonces la sucesión es de los múltiplos de 9.• Expresión algebraica: n × 9.

b) Expresión algebraica: n × 8. Se puede validar para todos los valores, por ejemplo, un múltiplo de 8 es 48, que es igual a 6 × 8, entonces si n = 6, en la expresión algebraica, el 48 es parte de un po-sible resultado de la expresión.

c) R. M. No tiene sentido; puede mencionar a los alumnos que siempre habrá un múltiplo mayor.

Múltiplos comunes3. Trazando los pasos de cada uno. Se puede observar que coincidirán a los 6 pasos.

a) Representando con marcas los pasos de cada uno para ver en qué números coinciden. b) Coincidirán 3 veces. A los 6, 12 y 18 pasos. c) Son múltiplos comunes de 2 y 3.

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L1

Inicio

Desarrollo

Figura 1.2.

Número de pasos

Martha

Luis

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19


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Página 184. a) Revisando en qué números coinciden las tres letras. Tomará las 3 pas-

tillas juntas 24 horas después, es decir, a las 8 a.m. del día siguiente.b) Tomará las pastillas A y B, y B y C simultáneamente 24 horas después,

es decir, a las 8 a.m. del día siguiente, mientras que las pastillas A y C coincidirán 12 horas después, es decir, a las 8 p.m. del mismo día.

c) Los múltiplos comunes de 6, 8 y 12 son 24, 48, 72, etcétera. El mínimo común múltiplo es 24. Todos los múltiplos comunes a 6, 8 y 12 son también múltiplos de 24; se puede ver en la figura.

5. A las 20:36, es decir, 6 minutos después. a) R. M. Marcando una P cada 2 minutos y una S cada 3 minutos en re-

ferencia al primer y segundo semáforo, respectivamente. Después, se observa en qué minutos coinciden ambos semáforos.

b) Sí. Porque 21:30 son 60 minutos después de 20:30, y en la casilla 60 sí coinciden ambos semáforos.

c) 15 veces. Se pueden contar en la tabla.

Página 19Problemas de múltiplos6. a) 14, 21, 28, 35, 42, 49.

b) 24, 36, 48, 60, 72, 84.c) 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144.

7. 26, 39, 52 y 91.8. 20, 40, 60, 80, 100.9. 24, 48, 72.10. R. M. Un múltiplo común de 12, 20 y 45 es 180, por lo que en el kilómetro 210 = 30 + 180 volverán a

coincidir los tres lugares. También, como 390 y 570 km son múltiplos comunes de 12, 20 y 45, se pue-den tomar como respuestas correctas.

11. R. M. Un múltiplo común de 3, 5 y 7 es 105, por lo que las tres personas se volverán a reunir 106 = 105 + 1 días después, es decir, el 16 de abril. Además, 30 de julio es correcto también.

12. a) En 24 cm. b) Mario utilizó 4 cubos y Sandra 3.

13. R. L.

1. Los señalamientos coincidirán en 15, 30, 45 y 60 km.2. a) Los múltiplos comunes de 2, 3 y 4 son 12, 24, 36, etcétera. Por lo que 12, 24 y 36 minutos después

volverán a encenderse al mismo tiempo.b) Cinco veces.

Divisores

Página 20

1. a) Sí. Se pueden formar 8 parejas. b) No. Porque si se forman 5 equipos sobraría una persona.c) Se pueden formar 8 equipos de 2 personas; 4 equipos de 4 personas; y 2 equipos de 8 personas.d) R. M. La división. Si al dividir por un número entero el residuo es cero, entonces todos tendrían un

equipo. e) Información relevante: el número de personas que aparecen en la imagen, el número de equipos

que pueden formarse sin que nadie se quede solo. Información no relevante: que las personas van a desarrollar un proyecto.

Cierre

L2

Inicio

U1 Lección 1. Múltiplos

Secuencia 1

Figura 1.3. Tabla de 10 por 10. Cantidades en horas.

Figura 1.4. Tabla de 10 por 10. Cantidades en minutos.

4. Reúnanse en equipo. Analicen la situación y respondan.María ha enfermado y su médico le ha prescrito tomar tres pastillas de medicamentos diferentes. La pastilla A es cada 6 horas, la B es cada 8 horas y la C es cada 12 horas. María de-cide comenzar a tomar las tres pastillas simultáneamente a las 8 a. m. ¿Cuándo volverá a tomarlas al mismo tiempo? a) Consideren la tabla de la figura 1.3. El número de cada casilla

se refiere a horas. Marquen con una A los múltiplos de 6, con una B los de 8 y con una C los de 12. ¿Cómo pueden usar los números marcados para saber cuándo María volverá a tomar

las tres pastillas simultáneamente?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

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71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

b) ¿A qué hora tomará nuevamente las pastillas A y B simultáneamente? ¿Y las pasti-

llas A y C? ¿Y las pastillas C y B?

c) En grupo, con la guía de su profesor, comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Reflexionen: ¿cuál es el míni-mo múltiplo común a 6, 8 y 12? ¿Hay alguna relación entre este número y aquellos que son múltiplos comunes a 6, 8 y 12? ¿Piensan que esto mismo pase con cualquier cantidad de números dados?

5. Reúnanse en equipos. Analicen la situación y respondan.

Los múltiplos comunes a dos o más números son aquellos que son múltiplos de dichos números simultáneamente. Por ejemplo, los primeros tres múltiplos comu-nes de 3 y 4 son 12, 24 y 36.

En una avenida hay dos semáforos a una cuadra de distancia uno de otro. El primero se prende en verde cada 2 minutos y el segundo, cada 3 minutos. A las 20:00 horas ocurrió un apagón y a las 20:30 se restableció la electricidad e inmediatamente ambos semáforos se reiniciaron y se prendieron en verde simultáneamente. ¿A qué hora se pondrán simultáneamente en verde los semáforos? a) Consideren la figura 1.4. ¿Cómo pueden usarla para responder la

pregunta?

b) ¿A las 21:30 h estarán simultáneamente en verde los dos semáfo-

ros? ¿Por qué?

c) ¿Cuántas veces se habrán puesto simultáneamente los dos semá-

foros en verde en una hora y media?

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SP P P P P

P P P P P

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U1 Lección 1. Múltiplos

Secuencia 1

Figura 1.3. Tabla de 10 por 10. Cantidades en horas.

Figura 1.4. Tabla de 10 por 10. Cantidades en minutos.

4. Reúnanse en equipo. Analicen la situación y respondan.María ha enfermado y su médico le ha prescrito tomar tres pastillas de medicamentos diferentes. La pastilla A es cada 6 horas, la B es cada 8 horas y la C es cada 12 horas. María de-cide comenzar a tomar las tres pastillas simultáneamente a las 8 a. m. ¿Cuándo volverá a tomarlas al mismo tiempo? a) Consideren la tabla de la figura 1.3. El número de cada casilla

se refiere a horas. Marquen con una A los múltiplos de 6, con una B los de 8 y con una C los de 12. ¿Cómo pueden usar los números marcados para saber cuándo María volverá a tomar

las tres pastillas simultáneamente?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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b) ¿A qué hora tomará nuevamente las pastillas A y B simultáneamente? ¿Y las pasti-

llas A y C? ¿Y las pastillas C y B?

c) En grupo, con la guía de su profesor, comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Reflexionen: ¿cuál es el míni-mo múltiplo común a 6, 8 y 12? ¿Hay alguna relación entre este número y aquellos que son múltiplos comunes a 6, 8 y 12? ¿Piensan que esto mismo pase con cualquier cantidad de números dados?

5. Reúnanse en equipos. Analicen la situación y respondan.

Los múltiplos comunes a dos o más números son aquellos que son múltiplos de dichos números simultáneamente. Por ejemplo, los primeros tres múltiplos comu-nes de 3 y 4 son 12, 24 y 36.

En una avenida hay dos semáforos a una cuadra de distancia uno de otro. El primero se prende en verde cada 2 minutos y el segundo, cada 3 minutos. A las 20:00 horas ocurrió un apagón y a las 20:30 se restableció la electricidad e inmediatamente ambos semáforos se reiniciaron y se prendieron en verde simultáneamente. ¿A qué hora se pondrán simultáneamente en verde los semáforos? a) Consideren la figura 1.4. ¿Cómo pueden usarla para responder la

pregunta?

b) ¿A las 21:30 h estarán simultáneamente en verde los dos semáfo-

ros? ¿Por qué?

c) ¿Cuántas veces se habrán puesto simultáneamente los dos semá-

foros en verde en una hora y media?

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A BB

BB B

B

BB

B BB

B

AACC

CC

C

C

CC

A AA

AAA A

AA

A

AA

A


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6


f) R. L.2. R. L.

Significado de divisor1. R. L

a) Tabla 1.1. Primera fila: 1, 56, 56, 0, Sí. Segunda fila: 2, 56, 28, 0, Sí. Tercera fila: 4, 56, 14, 0, Sí. Cuarta fila: 7, 56, 8, 0, Sí. Quinta fila: 8, 56, 56, 0, Sí. Sexta fila: 14, 56, 4, 0, Sí. Séptima fila: 28, 56, 2, 0, Sí. Octava fila: 56, 56, 1, 0, Sí.

Página 21b). No, porque al dividir 56 entre un número diferente de cuadritos de los que están en la tabla, el

residuo no es cero.c) R. L. El dividendo debe ser múltiplo del divisor para que el residuo sea cero.

2.

a) • 5 = 45 ÷ 9; 45 = 5 × 9• 76 = 456 ÷ 6; 456 = 76 × 6• 77 = 231 ÷ 3; 231 = 77 × 3• 22 = 154 ÷ 7; 154 = 22 × 7

R. M. Se observa que el divisor es múltiplo del dividendo.b) R. M. Debe existir un número entero que, al multiplicarlo por uno de los dos números, el resultado

sea el segundo número. Es decir, uno de los dos números debe ser múltiplo del otro.c) R. L.

3. a) Sí, porque al dividir 12 entre cada uno de ellos, el residuo es cero.b) 1, 2, 4, 8 y 16. R. M. Estos divisores arrojan residuo cero, mientras que cualquier otro divisor arroja

residuo distinto de cero.

Página 22c) Sí. R. M. Porque si tiene un divisor, el cociente relacionado con éste también será otro divisor.

Además, el 1 y el número mismo son siempre divisores.d) 14: 1, 2, 7 y 14. 19: 1 y 19. 26: 1, 2, 13 y 26. 31: 1 y 31.e) Sí, porque al dividirlo entre 1, el cociente es el número y el residuo es 0.f) Sí, porque al dividirlo entre sí mismo, el cociente es 1 y el residuo es 0.g) El 1 y el mismo número.h) R. L. Los alumnos pueden argumentar que el divisor no puede ser cero porque no tendría sentido

hablar de cuántas veces cabe el cero en un número natural. Dicho en el contexto de los repartos, no es posible repartir una cantidad entre cero personas.

Divisores comunes4. a) R. L. Una relación que podrían observar los alumnos es que ambos números son pares. También pue-

den decir que son divisibles entre 7. Ayudaría en que se podrían formar bolsas con 2 o 7 chocolates.b) • 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

• 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.c) Que tienen algunos divisores en común.d) 1, 2, 7 y 14.e) R. L. Los alumnos podrían decir, en resumen, que el número de bolsitas depende de los divisores

que estén en ambas listas. Por ejemplo, Maritza podría hacer 10 bolsitas con 7 chocolates cada una; 6 de chocolates amargos y 4 de chocolate dulce.

Desarrollo

U1Secuencia 1. Múltiplos y divisores

Secuencia 1

b) ¿Se podrán repartir los cuadritos en un número diferente a los mostrados en la tabla

1.1, de la página 20, de manera tal que se cumpla la condición de reparto? Explica.

c) En grupo, con la guía de su profesor, comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Reflexionen: dadas dos can-tidades, dividendo y divisor, ¿cómo deben ser éstas para que el residuo de la división sea cero? Escriban una conclusión en su cuaderno.

2. Reúnanse en equipo. Efectúen las divisiones y completen la tabla 1.2. Luego respondan.

Tabla 1.2

División 45 ÷ 9 94 ÷ 8 123 ÷ 5 456 ÷ 6 231 ÷ 3 154 ÷ 7

Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

a) Consideren las divisiones en las que el residuo es cero. Para cada una escriban el cociente en función del dividendo y el divisor; y el dividendo en función del divisor

y el cociente. ¿Qué observan?

b) ¿Qué condiciones deben cumplir dos números naturales para que al dividirlos el

residuo sea cero?

c) Comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias, argumenten. Co-rrijan si es necesario. Verifiquen las condiciones que tiene un número para ser divisor de otro proponiendo varios ejemplos ante el grupo.

3. Reúnanse en parejas. Respondan.

a) ¿Los números 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores de 12? ¿Por qué?

b) ¿Cuáles son los divisores de 16? Expliquen.

Un número natural b es divisible entre otro natural a ≠ 0, si el cociente da como resultado una cantidad entera, es decir, si el residuo es cero. En símbolos, b

a= c

donde c es un entero.También se dice que un número natural b es divisible por otro natural a ≠ 0 si

existe un natural c tal que b = a × c, es decir, que b es múltiplo de a.Si b es divisible entre a ≠ 0 entonces se dice que se tiene la divisibilidad del nú-

mero b entre a. Por ejemplo, se tiene la divisibilidad de 45 entre 9 pues 459

= 5 o también 45 = 9 × 5.

21

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f) Con 2 chocolates en cada una puede hacer 21 y 14 bolsas de chocolate amargo y dulce, respec-tivamente. Con 7 chocolates en cada una puede hacer 6 y 4 bolsas de chocolate amargo y dulce. Con 14 chocolates en cada una puede hacer 3 y 2 bolsas de chocolate amargo y dulce.

g) R. L. El máximo común divisor de 28 y 42 es 14. Sí, aparece en la lista de los divisores en común. Para determinar los divisores comunes a tres números se puede utilizar la misma técnica: comparar las listas de divisores de cada número y ver en qué números coinciden las tres listas.

Página 23Problemas de divisores5. a) 1, 3, 5, 15.

b) 1, 2, 4, 8, 16, 32.c) 1.d) 1, 3.e) En la pareja de números 45 y 64. R. L. Los alumnos pueden decir, de manera suficiente, que se debe

a que todos sus divisores son diferentes. De manera más avanzada podrían decir que es porque sus factores son diferentes.

6. Las respuestas posibles son 60, 75, 90, etcétera. 7. Medirá 250 m porque los divisores en común de 500 y 750 son 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250. 8. Hay dos posibilidades: 60 y 80 dulces. R. L. La razón es que el número buscado debe ser múltiplo de 4

y de 5; 20 es una posibilidad, pero como debe estar entre 50 y 100, entonces se busca un múltiplo de 20 entre esos números.

9. La menor cantidad es 24. Los alumnos pueden pensar que la solución es 48; si nota que les cuesta trabajo responder, sugiérales que hagan una lista con los múltiplos de cada número para que las comparen.

10. R. L. En caso necesario, recuérdeles el uso de las listas de los divisores de cada número para compararlas.

1. Se podrían formar 10 parejas. De nuevo, no se podrían formar equipos de tres personas porque si se forman seis equipos, dos personas quedarían fuera.

2. a) El volumen máximo es 10 L, pues de todos los divisores en común de 250, 360 y 540, que son 1, 2 y 10, 10 es el más grande.b) Se necesitarán 115 envases, pues el líquido es 250 + 360 + 540 = 1 150 L.

Criterios de divisibilidad

Página 24

1. a) No. R. M. La condición de que no sobre ningún libro se cumple, pero no la de utilizar la menor can-tidad de cajas, ya que se necesitan 25.

b) Se necesitarían menos cajas, 25 – 15 = 10, 10 cajas menos.c) No, porque con cajas de 9 libros se llenarían 16 cajas, pero sobrarían 6 libros.d) Con 2 libros, se necesitarían 75 cajas; con 3 libros, 50 cajas; con 5 libros, 30 cajas; con 6 libros, 25

cajas; con 10 libros, 15 cajas; con 15 libros, 10 cajas.e) Sí. R. L. Los alumnos pueden usar diversos métodos, como conteo o multiplicaciones.f) Información relevante: el número de libros, la condición de acomodar los libros en el menor nú-

mero de cajas sin que sobre ninguno. Información no relevante: el lugar del contexto, decir que se necesitan cajas más ligeras.

g) R. L.2. R. L. Los alumnos pueden realizar conteos o las demás operaciones, como multiplicación o suma,

para estimar su resultado.

Cierre

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Inicio


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Divisibilidad entre 2, 5 y 101. a) Sí. R. M. Los alumnos pueden decir que todos los números se pueden acomodar por parejas, tam-

bién, pueden decir que se pueden alternar por su paridad (pares o impares).

Página 25b) Están en la columna derecha.c) No. R. L. Los alumnos pueden decir que todos los múltiplos del 2 están en la segunda columna o

que cualquier número de la columna izquierda, al ser dividido entre 2, el residuo es 1. Es posible que algunos se adelanten y digan que es porque la última cifra de los números de la primera co-lumna es impar.

d) R. M. Su última cifra es 2, 4, 6, 8 o 0.e) R. M. Un número es divisible entre 2 cuando su última cifra es 2, 4, 6, 8 o 0.f) R. L.

2. a) En la quinta columna.b) R. M. Todos los números divisibles entre 5 se pueden escribir como: n × 5.c) Primera columna: (n × 5) – 4. Segunda columna: (n × 5) – 3. Tercera columna: (n × 5) – 2. Cuarta co-

lumna: (n × 5) – 1.d) No. R. L. Los alumnos pueden decir que las expresiones algebraicas para esas columnas no son de

la forma n × 5. También que cualquier número de esas columnas, al ser dividido entre 5, el residuo es distinto de cero. Asimismo, pueden observar que todos los múltiplos del 5 están en la quinta columna.

e) El último dígito es 0 o 5.f) R. M. Un número es divisible entre 5 cuando su última cifra es 5 o 0.g) R. L.

3. a) En la décima columna.

Página 26b) En la décima columna, pues los números de cualquier otra columna no son divisibles simultánea-

mente entre 2 y 5.c) El último dígito es 0.d) R. M. Un número es divisible entre 10 cuando su última cifra es 0.e) R. L.

Divisibilidad entre 44. a) En la cuarta columna.

b) R. M. Todos los números divisibles entre 4 se pueden escribir como: n × 4.

Página 27c) No. R. M. Los números que están en la primera y tercera columnas son impares. Los números que

están en la segunda columna, al dividirlos entre 4 dan residuo 2.d) R. M. Solamente 4 y 8 son divisibles entre 4. Todos son divisibles entre 4. En todos los números di-

visibles entre 4, los números formados por sus últimos dos dígitos son divisibles entre 4. e) R. M. Un número es divisible entre 4 cuando el número formado por sus últimas dos cifras es divi-

sible entre 4.f) R. L.

Desarrollo


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Divisibilidad entre 3, 6 y 95. a) Ver figura derecha.

b) En la tercera columna.c) R. L. Los alumnos pueden observar una sucesión

que se forma con el último dígito de cada número. También pueden notar que si se suman los dígi-tos de cada número, el resultado cumple algo en particular.

d) R. M. Si se suman los dígitos de los números de la tercera columna, el resultado es divisible entre 3. Además, estos números son todos los múltiplos del 3.

Si observa cierta dificultad para que los alumnos encuentren la relación, ayúdelos con ejemplos concretos hasta que ellos mismos deduzcan la regla.

e) R. M. Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es un número divisible entre 3.

Página 28f) R. L.

6. a) Se ubican en la sexta columna.b) Sí, porque su última cifra es par (2, 4, 6, 8, 0).c) Sí, porque la suma de sus cifras da como resultado

un número divisible entre 3.d) R. M. Un número es divisible entre 6 cuando su úl-

tima cifra es par y cuando la suma de sus cifras da como resultado un número divisible entre 3. Dicho de manera más corta, un número es divisible entre 6 cuando es divisible entre 2 y 3 simultáneamente.

e) R. L.7. a) Se ubican en la novena columna.

b) La suma de los dígitos de los números de la novena columna resulta un número que es divisible entre 9. La relación radica en que estos números, que son los múltiplos del 9 (novena co-lumna), cumplen con esta propiedad.

c) R. M. Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus dí-gitos resulta un número divisible entre 9 o múltiplo de 9.

d) R. L.

Página 29Problemas de criterios de divisibilidad8. a) Entre 7 b) Entre 2 c) Entre 2

d) Entre 3, 5 y 9. e) Entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10. f) Ninguno de los anteriores.

9. 1005 y 9975.10. Hay 24 números que se pueden obtener al cambiar el lugar de las cifras de 8125. Divisibles entre 2:

8 152, 8 512, 1 582, 1 852, 5 182 y 5 812. Divisibles entre 3: ninguno es divisible entre 3, sin importar el orden, porque la suma: 8 + 1 + 2 + 5 = 16 no es divisible entre 3. Divisibles entre 5: 8 125, 8 215, 1 285, 1 825, 2 185 y 2 815. Divisibles entre 9: ninguno es divisible entre 9, sin importar el orden, porque la suma: 8 + 1 + 2 + 5 = 16 no es divisible entre 9.

11. 60.12. a) 120, 45 y 170.

b) Para 120 ovejas se necesitan 24 corrales; para 45 se necesitan 9; y para 170 se necesitan 34.13. a) x = 6 b) x = 5 c) x = 3 d) x = 5 e) x = 114. Dos números, el 24 y el 42.15. R. L.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180


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1. Serían 160 libros y se podrían empacar sin que sobre ninguno en cajas de 20 libros.2. a) Sí, porque 126 es divisible entre 2, pues termina en un número par; es divisible entre 3 y 9 porque

la suma de sus cifras es 9; y es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 y 3. b) 126 también es divisible entre 14, 18, 21, 42 y 63. Estos valores sirven para saber qué otros rectán-

gulos se pueden formar, por ejemplo, 14 × 9, 21 × 6, etcétera.c) Para que el rectángulo pueda tener un lado de 5 o 10 canicas, habría que añadir 4 canicas, pues

130 es divisible entre 5 y 10.

Generalización de propiedades con expresiones algebraicas

Página 30

1. a) Para la tabla de 15 cm se obtienen 7 porciones de 2 cm y una de 1 cm. Para la tabla de 18 cm se obtienen 3 porciones de 5 cm y una de 3 cm.

b) R. M. Las medidas son 1 y 3 cm. Los divisores comunes de 15 y 18 son 1 y 3. Si se cortan las maderas en estas medidas, no sobran porciones.

c) Sí. Porque 1 y 3 son divisores de 15 + 18 = 33.2. R. L. Al final de las reflexiones, pregunte si un divisor común a dos números a y b es también divisor

de la suma a + b.

Múltiplos y divisibilidad1. a) R. M. Si b

a = c, y c es un número entero.

b) R. M. Si existe un número entero c, tal que b = a × c = ac.c) R. M. Si a = 2 × c = 2c, y c es un número entero.d) R. M. Si b = 2 × c + 1 = 2c + 1, y c es un número entero.

e) R. M. 5a + 5b5 = a + b. Es importante que primero resuelvan cómo es un múltiplo de 5, es decir, de

la forma 5c. 2. a) R. L. La respuesta de este ejercicio se debe basar en los resultados obtenidos de la multiplicación

de varias parejas. Permita que los alumnos elaboren sus propias conclusiones.

Página 31b) Sí. R. L. Los alumnos pueden dar diversas explicaciones; una de ellas es que, si un número es par,

es decir, con terminación 2, 4, 6, 8, 0, el siguiente número forzosamente tendrá terminación 1, 3, 5, 7, 9, es decir, será impar.

c) R. M. Sí. Porque un número par se puede escribir como 2a, y al dividirlo entre 2 se obtiene que 2a2 = a, el cual es un número entero.

d) R. M. Sí. Porque al multiplicar un número b por 2, se obtiene 2b, el cual es par.e) R. M. Sí. Porque ya se vio en el inciso b) que, de dos números consecutivos, uno de ellos es par, es

decir, es de la forma 2a, y al multiplicarlo por el otro número b, se obtiene 2ab = 2c, el cual es par.f) R. L.

3. a) R. M. Sí. Porque si un número b es divisible entre 3, entonces b3

= a, con a, entero. Despejando b, se obtiene que b = 3a.

b) R. L. Recuerde a los alumnos que una terna significa un grupo de tres.c) a, a + 1, a + 2d) a + a + 1 + a + 2 = a + a + a + 1 + 2 = 3a + 3

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Desarrollo


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e) R. M. Dividiendo 3a + 3 entre 3, se obtiene que 3a + 33 = 3a

3 + 33 = a + 1, el cual es un número en-

tero, por lo que 3a + 3 sí es divisible entre 3.

f) R. L.

Página 324. a) R. M. Se escriben los cinco números consecutivos en términos del primero, se suman, se simplifica

y se comprueba que el resultado es divisible entre 5. b) R. M. a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = a + a + a + a + a + 1 + 2 + 3 + 4 = 5a + 10.

5a + 105 = 5a

5 + 102 = a + 2, el cual es un número entero. Por lo que la suma de cinco números con-

secutivos es divisible entre 5.5. a) R. L. Se escriben los n números consecutivos en términos del primero, se suman, se simplifica y se

comprueba que el resultado es divisible entre n. a + a + 1 + a + 2 + … + a + n − 1 = na + 1 + 2 +

… + n − 1 = na + n(n + 1)2 . Y al dividir el resultado entre n se obtiene: na

n + n(n − 1)n × 2 = a + n − 1

2 , el

cual es un número entero sólo si n es impar.

6. a) Sí. Porque 8 472 es divisible entre 2 y 3, pues es par y la suma de sus cifras, 21, es divisible entre 3.b) Sí. Porque 9 366 es divisible entre 2 y 3, pues es par y la suma de sus cifras, 24, es divisible entre 3.c) R. M. Diciendo que, como cada uno es divisible entre 6, entonces la suma lo es.d) R. M. También será divisible entre 6, pues el resultado será par y divisible entre 3.e) R. M. Que la suma también es divisible entre c.

f) a + bc = a

c + bc , y como c divide a a y b, entonces a

c + bc es un número entero. Por lo tanto, c di-

vide a a + b.

7. a) Verdadero, pues (113)(20)4 = (113) 20

4 = (113)(5), es un número entero.

b) Verdadero, pues 100 + 134 = 100

4 + 134 = 25 + 3 + 1

4 , el cual no es un entero.

c) Falso. Sí lo divide, pues (13)(100)4 = (13) 100

4 = (13)(25), el cual es un entero.

d) Verdadero, pues a + b + c3 = a + b

3 + c 3 , donde el primer sumando es entero, pero el segundo no lo

es.e) Verdadero, pues b2

3 = bb 3 = b b

3 , es entero porque b

3 es entero.

Página 33Problemas de generalización de propiedades

8. a) Sí. 34

32 = 32 32

32 = 32 b) Sí. 34 57

32 53 = 32 53 32 54

32 53 = 32 54 c) Sí. 34 = 32 32

d) x = y = z = 0. En otro caso 5Z nunca será múltiplo de 2 o 3.9. R. M. Carlos tuvo razón, pues para que 11 368 botellas se puedan empacar en paquetes de 24 y 6 bo-

tellas, se necesita que 11 368 sea divisible entre 6, ya que 6 es común divisor de 24 y 6. 10. a) De 3, 5, 15 y 29.

b) De 3:,145 equipos; de 5, 81 equipos; de 15, 29 equipos; y de 29, 15 equipos. c) R. L.

1. R. M. La única medida con la que se pueden cortar las tres tablas en porciones iguales sin que sobren otras porciones es 1 cm, porque los divisores de 25 son 5 y 5, de 26 son 2 y 13, y los de 27 son 3, 3 y 3. Entonces, 1 es la única solución, ya que es común divisor.

Cierre


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2. A pesar de su complejidad, este ejercicio es interesante porque obliga a los alumnos a usar el pensamiento lateral, pues la pura lógica no será suficiente para que obtengan la solución. R. M. 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, entonces las tres edades posibles son: (1-1-72); (1-2-36); (1-3-24); (1-4-18); (1-6-12); (1-8-9); (2-2-18); (2-3-12); (2-4-9); (2-6-6); (3-3-8); (3-4-6). Sumando las edades de cada combinación se obtiene: 1 + 1 + 72 = 74; 1 + 2+ 36 = 39; 1 + 3 + 24 = 28; 1 + 4+ 18 = 23; 1 + 6+ 12 = 19; 1 + 8 + 9 = 18; 2 + 2+ 18 = 22; 2 +3 + 12 = 17; 2 + 4 + 9 = 15; 2 + 6 + 6 = 14; 3 +3 + 8 = 14; 3 + 4 + 6 = 13. De todos los resultados, el 14 se repite dos veces. Alfonso ya conocía el número del salón, y era el 14, porque de haber sido otro número no hubiera pedido más información, y con el 14 hay dos posibles soluciones: (2-6-6) y (3-3-8). Como hay un hermano mayor, la solución es (3-3-8).

Números primos

Números primos y compuestos

Página 34

1. a) R. M. Con el grupo de tercero D, pues 36 tiene como divisores a 2, 3, 4, 6, 9, 12 y 18, por lo que se pueden formar rectángulos de 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. Con 41 no se pueden formar rectángu-los porque no tiene divisores diferentes de 1 y 41.

b) Información relevante: con grupos de 36 y 41 se quieren formar arreglos rectangulares. Información no relevante: todo el contexto.

c) R. L.

2. R. L. Los alumnos pueden decir que, de todas las formas que hay de acomodar a los alumnos de ter-cero A, el arreglo rectangular jamás estará completo, es decir, alguna esquina estará vacía.

Números primos y compuestos1. Tabla 1.3. 1: 1. 5: 1 y 5. 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. 15: 1, 5, 3 7 15. 17: 1 y 17. 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. 27: 1, 3, 9 y 27.

31: 1 y 31. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. a) 5, 17 y 31.b). 12, 15, 20, 27 y 36.c) • R. M. 1, pues sólo el 1 tiene un divisor. • R. L. 3, 7, 11, 19 son algunos ejemplos. • R. L. 4, 9, 25 son algunos ejemplos. • R. L. El 6, 15, 21, son algunos ejemplos.

Página 35d) • R. M. Se podría separar a los números naturales en grupos, según la cantidad de divisores que

tenga cada uno. • R. M. Una agrupación posible es por la cantidad de divisores de cada número. Pero otra agrupa-

ción más importante, fácil y útil sería en dos grupos: uno para los números con 2 divisores y otro para los números con más de 2 divisores.

S2

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Inicio

Desarrollo

Piensa y sé crítico

El objetivo de este ejercicio es que los estudiantes noten que un problema puede tener más de una solución y que, después, hagan la equivalencia de las dos expresiones algebricas obtenidas a partir de las soluciones.

Juan y Carmen, están en lo correcto, pues n3 ÷ 4 = n

2 ÷ 6 = n3 × 4 = n

2 × 6 = n12


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e) R. L. Los alumnos deben llegar a la conclusión de que, en efecto, todos los números se pueden se-parar en los grupos propuestos. Para aclararlo, pida que digan cualquier número y que busquen su grupo. Ellos se darán cuenta de que ningún número se queda sin grupo. Por último, explíqueles que una conjetura es una formulación que se cree que se cumple para todos los números.

2. a) R. L. Pida a los alumnos que lleven un registro en su cuaderno de todos los números mencionados.b) R. L. Cuide que los procedimientos y explicaciones de los alumnos se basen en la cantidad de di-

visores de cada número. 3. a)

Página 36b) Sí, porque el 2 solamente es divisible entre el 1 y él mismo. Todos los múltiplos del 2 son compues-

tos, pues son divisibles entre 2.c) El 3 es primo porque solamente es divisible entre 1 y él mismo. Todos los múltiplos del 3 son com-

puestos, pues son divisibles entre 3.d) Cuide que los alumnos encierren los números que son primos.e) R. M. Los números que no fueron tachados son primos, pues cumplen la definición de ser divididos

únicamente entre el 1 y ellos mismos. Los números tachados son compuestos porque son múltiplos de otro número diferente de 1 y de ellos mismos, por lo que dicho número los divide.

f) Algunos ejemplos son 3 y 7, y 13 y 17.g) Algunos ejemplos son 5 y 11, y 17 y 23.h) R. L. Valide los procedimientos de los alumnos. R. M. SÍ, porque si un número se tachó por ser múl-

tiplo de otro, quiere decir también que es divisible por éste. Entonces, se podría decir que ambas formas de tachar los números de la criba son equivalentes.

4. a) R. M. Ya sabemos que el 2 es primo. Si hubiera otro número primo diferente de 2, por definición de número par, éste sería divisible entre 2, con lo cual no cumpliría la definición de número primo.

5. a) La afirmación falsa es: el número es par. El número buscado es 29.b) Las afirmaciones falsas son: el número es divisible entre 55 y es menor que 10. El número buscado

es 5.c) R. L. Cuide que las afirmaciones de los alumnos contengan los conceptos divisibilidad, múltiplos,

mayor que o menor que, par o impar y números primos.

Página 37Problemas de números primos6. a) 45 es compuesto porque es divisible entre 1, 3, 5, 9, 15 y 45.

b) 31 es primo porque solamente es divisible entre 1 y 31.c) 49 es compuesto porque es divisible entre 1, 7 y 49.d) 81 es compuesto porque es divisible entre 1, 3, 9, 27 y 81.e) 452 es compuesto porque es divisible entre 1, 2, 4, 113, 226 y 452.

7. a) Es compuesto porque es par y no es el 2. b) 5 es divisible entre 5 y es primo. Los demás números mayores que 5 y divisibles entre 5 son com-

puestos por esta misma razón.

U1

Secuencia 2

Secuencia 2. Números primos

d) Reúnanse en equipo. Consideren sus resultados de la actividad 1 c) y respondan.• ¿Podrían dividir a los números naturales en grupos de cierto tipo? ¿Cuáles?

• Si no consideran al 1, ¿cómo los agruparían?

e) En grupo, y con la guía de su profesor, comparen sus resultados y procedimientos. En caso de haber diferencias, argumenten. Corrijan de ser necesario. Discutan: ¿todos los números naturales se pueden dividir en los grupos que propusieron? Propongan ejemplos, hagan una conjetura y escríbanla en su cuaderno.

2. Reúnanse en parejas. Hagan lo que se pide. Nómbrense como alumno A y alumno B.a) El alumno A propone dos números naturales: uno primo y otro compuesto y se los

dice al alumno B. El alumno B debe determinar cuál es cuál. Luego se invierten los papeles. Por cada dos aciertos se gana un punto, no importa en qué turno se van sumando. Jueguen hasta que uno de los dos llegue a 5 puntos.

b) En grupo, con la guía de su profesor, comenten acerca de sus procedimientos para determinar si un número natural es primo o compuesto.

3. Para determinar cuáles números son primos se puede usar la llamada criba de Eratóstenes (figura 1.12). Haz lo que se pide.

a) El 1 no es primo ni compuesto. Táchalo para no tomarlo en cuenta.

Para hacer una distinción entre números naturales, los matemáticos se refieren a ellos como números primos y compuestos: un número natural mayor que 1 es pri-mo si los únicos divisores que tiene son el 1 y él mismo; un número es compuesto si tiene más de dos divisores diferentes, entre los que están el 1 y él mismo. El nú-mero 1 no es primo ni compuesto.

Figura 1.12 Tabla para aplicar la criba de Eratóstenes para determinar números primos menores que 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Criba de Eratóstenes. Es un procedimiento para determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado.

Glosario

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14


c) 3 es divisible entre 3 y es primo. Los demás números mayores que 3 y divisibles entre 3 son com-puestos por esta misma razón.

d) Es compuesto porque, además de ser divisible entre 9, es divisible entre 3, pues 3 divide a 9.8. a) 211.

b) 2203 y 0223.9.

U1

Secuencia 2


Problemas de números primos 6. Indica si cada número es primo o compuesto y por qué.

a) 45

b) 31

c) 49

d) 81

e) 452

7. Responde.a) Si un número es divisible entre 4, ¿ese número es primo o compuesto? ¿Por qué?

b) Si un número es divisible entre 5, ¿ese número es primo o compuesto? ¿Por qué?

c) Si un número es múltiplo de 3, ¿ese número es primo o compuesto? ¿Por qué?

d) Si un número es múltiplo de 9, ¿ese número es primo o compuesto? ¿Por qué?

8. Haz lo que se pide. Escribe en tu cuaderno los procedimientos y responde aquí.a) Indica todos los números primos de tres cifras que se pueden formar con los dígitos

1, 1 y 2. b) Considera todos los números que se pueden formar con los dígitos del año 2023 y

escribe los que sean primos. 9. Con el número 1 y ocho números primos se puede construir un arreglo (figura 1.13)

en el que al sumar los números de las filas, las columnas y las diagonales se obtiene siempre el mismo resultado: 111. Escribe los números que faltan en el arreglo.

7 43

37

Figura 1.13.

1. Retoma la situación de la actividad de inicio y responde, completa o corrige tus respuestas. Si juntan los dos grupos de alumnos, ¿cuantos arreglos rectan-gulares pueden obtener?

Reflexiona acerca de los conocimientos o habilidades que necesitabas al ini-cio y que ahora has adquirido. Escribe en tu cuaderno una conclusión.

2. Un par de números primos que se diferencian en 2 (es decir, dos números im-pares consecutivos que son primos) se llaman primos gemelos. Ejemplos de primos gemelos son: (3, 5), (5, 7), (11, 13), …a) Encuentra tres parejas más de números primos gemelos.

Cierre

Entra a la página www.edutics.mx/wjH para conocer otras clasificaciones de números, además de los primos y los compuestos. (Consulta: 20 de noviembre de 2018).

Conoce más

Dos números primos se llaman "gemelos" si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Los matemáticos han conjeturado que hay infi nitos primos gemelos pero no han logrado demostrarlo. Hay ocho parejas de primos gemelos entre 0 y 100, ¿cuáles son?

Portafolio

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Cuaderno de evidenciasPáginas 9 y 10

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61

73 1

31 13 67

1. 41 + 36 = 77. El único arreglo rectangular que se puede formar al juntar los dos grupos es de 7 × 11.2. a) Algunos ejemplos son (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).

Factorización y descomposición en números primos

Página 38

1. a) El punto A divide al lado en 3 y 7 m. El punto B divide al lado en 4 y 6 m. Los puntos C y D quedan determinados por A y B.

b) Todas las áreas (12, 18, 28 42, 100) y las medidas de los lados (4, 6, 10) son números compuestos porque, al menos, 2 es divisor. Las otras medidas (3, 7) son primos porque sus únicos divisores son el 1 y ellos mismos.

c) 12 = 3 × 4, 18 = 3 × 6, 28 = 4 × 7, 42 = 6 × 7.d) Información relevante: las medidas de los lados del cuadrado y las áreas buscadas. Información

no relevante: el contexto del agricultor.e) R. L.

2. R. L. Es importante que los alumnos obtengan entre sus conclusiones las diversas formas de obtener el área de un rectángulo, por ejemplo, el de 12 m2, como 2 × 6 m o 3 × 4 m, e identifiquen la forma que más les convenga.

Factorización de números naturales

Página 39a) 6, 9, 24 y 45 son compuestos. 13, 31 y 53 son primos.b). R. M. Que hay varias formas de descomponer el número, pero sólo una en números primos.c) R. M. Que no se pueden descomponer en otros números primos.d) R. M. Se escriben todos los divisores del número, como se hizo en la tabla. Luego se toma uno de

ellos y se busca un número entero tal que, al multiplicarlo por éste, dé el número original. Por ejemplo, un divisor de 12 es 3, el número buscado sería 4, pues 3 × 4 = 12.

Cierre

L2

Inicio

Desarrollo

U1

Secuencia 2

1. Analiza la situación, observa la imagen y responde.Un pequeño agricultor tiene un terreno de 10 m por 10 m y lo quiere dividir en cuatro parcelas rectangulares de 12, 18, 28 y 42 m2 respectivamente. a) ¿Dónde debe colocar los puntos A, B, C y D para que el terreno quede dividido como él

lo desea?

Factorización y descomposición en números primos

L2

Factorización de números naturales 1. Completa la tabla 1.4. Analiza el ejemplo. Luego responde.

Tabla 1.4

Número a 6 9 13 24 31 45 53

Todos los divisores de a 1, 2, 3, 6

Descomposiciones de a en forma de producto con

divisores

2 × 31 × 6

Descomposiciones de a en forma de producto con

divisores primos2 × 3

a) ¿Cuáles números son compuestos? ¿Y cuáles primos?

b) ¿Qué observas respecto a las descomposiciones en forma de producto de los nú-

meros compuestos?

c) ¿Qué observas respecto a las descomposiciones en forma de producto de los nú-

meros primos?

Inicio

Desarrollo

b) ¿Las medidas del terreno y las áreas, tanto del terreno como de las parcelas, son números primos o compuestos? Justifica tu res-puesta.

c) En caso negativo, ¿cómo escribes estas cantidades usando los números primos como apoyo?

d) ¿Qué información es relevante para responder y cuál no?e) Describe el procedimiento que realizaste para contestar las pre-

guntas. 2. Reúnanse en equipo. Comparen sus resultados y procedimientos. En caso de haber dife-

rencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Reflexionen sobre la manera en que re-solvieron este problema y bajo qué condiciones la forma de resolverlo se puede aplicar a otros problemas similares

B

D

A C

Un factor es uno de los elementos de la multiplicación. Por ejemplo, en 12 × 30 = 360, los números 12 y 30 son los factores.

Notación

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1, 3, 9 1, 13 1, 2, 3, 4,6, 8, 12, 24 1, 13 1, 3, 5, 9,

15, 45 1, 53

3 × 31 × 9 1× 13

2 × 123 × 84 × 61 × 24

1 × 313 × 155 × 91 × 45

1 × 53

3 × 3 2 × 2 × 2 × 3 3 × 3 × 5


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15


e) R. L. La respuesta es sí, pues sólo hay una forma de descomponer un número en primos. Los alum-nos pueden basar sus conclusiones en la tabla 1.4, donde aparece esta propiedad; permita que la demuestren con ejemplos, pues la generalización es el teorema fundamental de la aritmética. Es importante recordarles que el orden de los factores no importa.

Factorización de un número compuesto en primos2. a)

Página 40b) • 3 150: 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 = 2 × 32 × 52 × 7 • 3 900: 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 13 = 22 × 3 × 52 × 13 • 4 410: 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 7 = 2 × 32 × 5 × 72

c) R. L. Los alumnos pueden decir que una diferencia es que las descomposiciones no son sólo en factores primos y que una similitud es que sólo hay una factorización que resuelve el problema, como en este ejercicio.

3. a) Las formas de factorizar de los alumnos pueden variar un poco con respecto a estos ejemplos. Lo que no puede cambiar son los valores al final de las ramas, con excepción de su orden.

b) 3 250: 2 × 5 × 5 × 5 × 13 = 2 × 53 × 13

Página 41c) R. L. Los estudiantes pueden decir que las factorizaciones son las mismas porque, en realidad, se

está factorizando entre sus divisores, sólo que el orden de la factorización cambia. Una diferencia es que en uno se va dividiendo el número entre factores primos y en el otro se hace con divisores cualesquiera, que luego serán factorizados en números primos. La similitud radica en que con am-bos procedimientos se debe llegar a la misma factorización.

Problemas de factorización4. a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28 b) 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 32 × 52

c) 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = 24 × 5 × 7 d) 5 × 5 × 5 × 5 = 54

e) 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 67 = 23 × 3 × 5 × 675. a) 3 927 es compuesto porque es divisible entre 3 (la suma de sus cifras es 21).

b) 9 973 es primo porque ningún otro número primo menor que él lo divide, en específico los primos menores que 100.

c) 7 027 es primo porque ningún otro número primo menor que él lo divide, en específico los primos menores que 84.

d) 8 633 es compuesto porque es igual a 89 × 97. Esto se puede saber dividiendo 8 633 entre todos los números primos menores que 93, de ahí se obtiene que el 89 lo divide, y el 97, de dividir 8 633 entre 89.

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Secuencia 2


d) Escribe un procedimiento para descomponer en forma de producto un número

natural.

e) En grupo, con la guía de su profesor, comparen sus respuestas. Si hay diferencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Propongan algunos números naturales y ve-rifiquen su procedimiento. Discutan: ¿la forma de descomponer un número en for-ma de producto de números primos es única? ¿Por qué? Escriban una conclusión en su cuaderno.

Factorización de un número compuesto en primosDesarrollaremos algoritmos para factorizar un número compuesto en primos. 2. Reúnanse en equipo. Analicen la situación y hagan lo que se pide.

Georgina es programadora y necesita plantear un algoritmo para factorizar números compuestos para un sistema de autenticación para un banco. Ella ha investigado y encontró el siguiente algoritmo para tal fin.

a) Georgina decide probar con tres números para validar el algoritmo. Completen la factorización de los números que están remarcados.

3 150 2 3 900 2 4 410 2

1 575 2

525 3

175

35 5

7 7

1 1

Factorizar un número natural consiste en la descomposición de un número en for-ma de producto de otros números naturales. Por ejemplo, la factorización de 30 puede ser 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10 o 5 × 6, mientras que para 31 es 1 × 31.

1. Se escribe el número compuesto y a la derecha se tra-za un segmento vertical.

2. A la derecha del número compuesto (del otro lado del segmento) se escribe el menor primo que lo divide. Se pueden usar criterios de divisibilidad.

3. Se efectúa la división y se coloca el cociente debajo del número compuesto.

4. Se continúa el proceso hasta que el cociente sea 1. 5. Se factoriza el número compuesto con los números

primos así obtenidos y se expresa la factorización como producto de potencias.

378 =2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 =2 × 32 × 52 × 7

378 2

189 3

63 3

21 3

7 7

1 0

Algoritmo. Es una secuencia de pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una tarea específi ca.

Autenticación. Es un procedimiento informático que permite asegurar que un usuario de un sitio web u otro servicio similar es auténtico o quien dice ser.

Glosario

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3 1 950 2205 3 975 3 735 35 325 5 245 5 65 5 49 7 13 13 7 7 1

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Secuencia 2

Lección 2. Factorización y descomposición en números primos

b) Factoricen cada número con los primos obtenidos y expresen la factorización como potencia.

• Para 3 150 = =

• Para 3 900 = =

• Para 4 410 = =

c) En grupo, con la guía de su profesor, comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias, argumenten. Corrijan si es necesario. Comenten: ¿cuáles son las diferencias y similitudes con respecto al procedimiento que plantearon en la acti-vidad 1 de la página 38?

3. Intercambien compañeros de equipo. Analicen la situación y hagan lo que se pide. Georgina siguió investigando y encontró otra forma de factorizar un número

compuesto.

a) Georgina observa que hay distintas maneras de empezar las factorizaciones, pero siempre se llega al mismo resultado. Luego decide probar con un número para validar el algoritmo. Completen la factorización del número 3 250.

b) Factoricen el número con los primos obtenidos y expresen la factorización como potencia.

• Para 3 250 = =

1. Se factoriza el número compuesto con dos números naturales. 2. Se factoriza cada número nuevamente con dos números naturales. 3. Se continúa de la misma manera hasta obtener únicamente números primos al

final del árbol. 4. Se factoriza el número compuesto con los números primos así obtenidos y se

expresa la factorización como producto de potencias.

180 = 2 × 5 × 2 × 3 × 3 =22 × 32 × 5

180 = 2 × 2 × 5 × 3 × 3= 22 × 32 × 5

180 = 2 × 3 × 2 × 2 × 5= 22 × 32 × 5

180

10

2

3

25

3

9

18 4

3

2 5

3

2 9

45

180

2

2 2

5

3 10

9 20

180

3 250

5 650 325

3 250

130

3 250

Entra a la página http://www.edutics.mx/wwk, en ella observarás ejemplos del árbol de factores. (Consulta: 26 de julio de 2018).

Conoce más

La factorización de un número natural en números primos es única. No importa qué método se use para factorizar un número en números primos, siempre se obtendrán los mismos números primos elevados a las mismas potencias.

Infomáticas II

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10

65 5

5 13 22

10 65 2 5 5 5 10 13

13 5 55

25


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1. El punto A divide al lado en 2 y 3 m. El punto B divide al lado en 6 y 14 m. Los puntos C y D quedan determinados por A y B.

2. a) Ninguno de los primeros diez números primos lo divide. b) R. L.c) R. L.

Páginas 42 y 43Analiza y resuelve• Cuide que los alumnos utilicen una hoja completa para que les quepa el triángulo de 20 filas com-

pleto. Cabe aclarar que cuando se dice “Comprueba que si el primer elemento de una fila…”, se re-fiere al primer elemento distinto de 1, por ejemplo, en la fila 7, es el 7.

• Se sugiere que utilicen una hoja tamaño oficio para que les quepa toda la tabla.• Los números primos por obtener son 18: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

Cierre

Piensa y sé crítico

Pueden buscar por medio de ejemplos que la proposición no es verdadera en general, la cual es este caso: la raíz de 20 es aproximadamente 4.47, pero 5 es primo, divide a 20, y no es menor que la raíz.


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