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CAPITULO I

Segmentos dirigidos

Hemos asociado a cada segmento de recta un número positivo, su longitud o medida. Pero,

cuando se requiere compara entre sí varios segmentos de una misma recta conviene

asociarle números positivos o negativos de acuerdo a una convención que fijaremos.

Sobre la recta XX' elegimos un sentido, que será el sentido positivo, por ejemplo el

sentido XX' señalado en la figura por la flecha.

Al segmento arbitrario→

AB hacemos corresponder al número que mide su longitud,

precedido del signo + si ese segmento está dirigido en el sentido positivo, o del – si está

dirigido en el sentido opuesto. Es de señalar que el signo del segmento depende

esencialmente del orden según el cual se enuncian sus extremos; se tiene: →→

−= BAAB

La anterior convención permite escribir algunas relaciones independientemente de la

disposición de los puntos que intervienen. Si, por ejemplo, A, B, C son tres puntos

colineales, BC es igual a la suma o la diferencia de AB y AC , según el orden en que se

suceden los tres puntos. Cuando se evalúan los segmentos en magnitud y en signo, esas

diferentes relaciones se remplazan por una sola

0CABCAB (1) =++

→→→

,

la cual se verifica cualquiera sea la disposición de los puntos.

En efecto, si recorremos la recta en el sentido positivo, encontramos los puntos

según el orden A, B, C, luego los segmentos BC,AC,AB son positivos y se tiene

→→→

+= BCABAC , o sea la relación (1).

Pero la relación no cambia al permutar dos puntos, por ejemplo B y C teniendo

0BACBAC =++

→→→

, que es la misma relación (1), la cual es válida si el orden de los puntos

es A, C, B.

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Por otra parte, es conocido que siguiendo una serie de permutaciones sucesivas se puede

cambiar arbitrariamente el orden de los puntos y luego la fórmula (1) es válida en general.

Todavía más, en el caso de 5 puntos A, B, C, D, E de la recta XX' ,

0EADECDBCAB =++++

→→→→→

)(∗

En efecto la relación está demostrada para tres puntos. Por consiguiente basta con

demostrar que si es válida para un número arbitrario de n puntos, lo es asimismo para

1n + .

Supongamos que la relación es válida para 4 puntos

0DACDBCAB =+++

→→→→

Para, los puntos E D, A, se tiene

0EADEAD =++

→→→

Al sumar ambas fórmulas, →→

+ DAAD = 0, y se tiene la igualdad dada )(∗ .

Démonos un punto fijo O en XX' . Fijaremos entonces un punto arbitrario A por medio

del segmento →

OA , en magnitud y signo, que se denomina la abscisa del punto A, con

referencia al origen O . Evidentemente el conocimiento de la abscisa de A, en magnitud y

signo, determina la posición del punto A.

Si los puntos A y B están dados por sus abscisas referidas al mismo origen, la distancia AB

está dada por:

OAOBAB −= ,

que es la relación equivalente a 0CABCAB =++ .

Si C yace sobre la recta AB, la razón CB

CA es negativa para C entre A y B, y es positiva

para C exterior al segmento AB .

Por consiguiente solo existe un punto que divide a un segmento según una proporción dada

en magnitud y signo. Si C y D son conjugados armónicos con respecto al segmento AB, las

razones CB

CA y

DB

DA son iguales y de signo contrario.

Sea O punto medio del segmento CD cuyos extremos son conjugados armónicos con

respecto al segmento AB , se tiene OBOAOC2•= .

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En efecto, A, B, C, D están determinados por sus abscisas referidas al origen O , entonces

la identidad CB

CA=

DB

DA− se escribe:

CB

CA− =

DB

DA=

OBCO

OCAO

OBCO

OCAO

−

−=

+

+

Si hacemos la suma de los dos últimos numeradores y la suma de los dos últimos

denominadores, tendremos una razón igual a las anteriores y otra al formar la diferencia

entre estos mismos términos, observando además que OCOD −= :

.2OC

2OA

2OB

2OC

DB

DA

CB

CA===−

Tenemos pues demostrado lo siguiente

Teorema.- La mitad de un segmento de recta es media proporcional entre las distancias del

punto medio del segmento a los puntos de lo dividen armónicamente.

Además, el valor común de las razones OC

OA ,

OB

OCes igual al valor de las razones

DB

DA ,

CB

CA− .

Reciproco.- Si a partir del punto medio O del segmento CD se lleva en el mismo sentido

las longitudes OA, OB cuya media proporcional es la mitad del segmento, A y B dividen

armónicamente al segmento dado CD.

En efecto, de la proporciónOC

OA

OB

OC= resulta la identidad

OBCO

OCAO

OBCO

OCAO

−

−=

+

+ es decir

CB

CA− =

DB

DA (pues OCOD −= ).

Corolario.- Si dos segmentos son conjugados armónicos, el círculo cuyo diámetro es el

primero, cortan ortogonalmente a todo círculo que pasa por los extremos del segundo

segmento.

En efecto, el radio del primero al cuadrado es igual a la potencia de su centro con respecto

al segundo. Recíprocamente, si dos círculos son ortogonales todo diámetro del uno es

divido armónicamente por el otro.

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Consideramos que dos rectas paralelas están igualmente orientadas. Merced a esta

convención diremos que la razón entre los segmentos BC y DE interceptados por un

mismo ángulo sobre dos secantes paralelas es igual en magnitud y signo a la razón de los

segmentos AD AB, que estas paralelas interceptan sobre los lados del ángulo.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.