SEGMENTOS NOTABLES DE TRIANGULO ) Medianas En geometra las
medianas1 de un tringulo son, cada uno de los tres segmentos de
recta, que unen cada vrtice con el punto medio de su lado opuesto.
2.) Altura :
Alturas de un tringuloEn un tringulo la altura respecto de un
lado, es la recta entre la distancia que contiene al lado y el
vrtice obtuso. Que equivale a un segmento perpendicular a dicho
lado con un extremo en el vrtice opuesto y el otro en dicho lado, o
en su prolongacin. La interseccin de la altura y el lado opuesto se
denomina pie de la altura. En la figura, las alturas respecto de
sus tres lados BC, CA y AB son AB", BC" y AC". La magnitud de la
altura sirve para calcular el rea de un tringulo, siendo su valor:
a = bh/2, donde a es el rea, b la base la longitud del lado
"inferior", y h su altura correspondiente. En la figura, pueden ser
BCAA"/2, ABCC"/2 o ACBB"/2. sta frmula se puede demostrar,
geomtricamente, trazando un rectngulo cuya rea es el doble del rea
del tringulo, con la misma base y la misma altura. Caractersticas y
propiedades de las alturas del tringulo: En todo tringulo: al menos
una de las alturas se encuentra dentro del tringulo; la altura de
mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del
tringulo; las tres alturas se cortan en un punto, llamado
ortocentro del tringulo (H en el grfico); las alturas contienen a
las mediatrices del tringulo A'B'C'(que se construye trazando
paralelas a los lados por los vrtices opuestos); el ortocentro del
tringulo ACB es el circuncentro del tringulo . biseptriz : La
bisectriz de un ngulo es la recta que lo divide en dos partes
iguales. Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que
equidistan (estn a la misma distancia ) de las semirrectas de un
ngulo.
Aplicacin en tringulos Las tres bisectrices de los ngulos
internos de un tringulo se cortan en un nico punto, que equidista
de los lados. Este punto se llama el incentro del tringulo y es el
centro de la circunferencia inscrita al tringulo. Esta
circunferencia es tangente a cada uno de los lados del
tringulo.
Demostracin: Dos bisectrices del tringulo no pueden ser
paralelas. Sea O la interseccin de las bisectrices D y D' (ver
figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y
(AC). Como O pertenece a D', entonces tambin equidista de las
rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es
equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior)
del ngulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados.
Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la
distancia comn del punto O a los lados del tringulo es tangente a
cada uno de los lados. mediatriz : La mediatriz de un segmento es
la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son
equidistantes a los extremos del segmento. Tambin se le llama
simetral.
Circuncentro Por la propiedad antes mencionada, en todo tringulo
ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto,
llamado el circuncentro (O) del tringulo. Dicho punto equidista de
los vrtices del tringulo. La circunferencia de centro O y de radio
OA, pasa por los otros dos vrtices del tringulo. Se
dice que dicha circunferencia es circunscrita al tringulo y que
el tringulo est inscrito en la circunferencia.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la
circunferencia.
BaricentroEn geometra, el baricentro o centroide de una
superficie contenida en una figura geomtrica plana, es un punto
tal, que cualquier recta que pasa por l, divide a dicha superficie
en dos partes de igual momento respecto a dicha recta.
Baricentros en algunas figuras geomtricas
El baricentro de un segmento {A, B} se encuentra en el centro
[A;B].
El baricentro de un tringulo de vrtices {A, B, C} se encuentra
en el punto en el que se intersecan las tres medianas del tringulo.
En ese mismo punto se encuentra tambin el baricentro de la
superficie del tringulo ABC. El baricentro de un tetraedro de
vrtices {A, B, C, D} es el centro de masas, si su densidad es
uniforme. Corresponde al punto donde se cortan los segmentos que
unen cada vrtice con el isobaricentro de la cara opuesta. Se puede
generalizar lo anterior en cualquier dimensin. La coincidencia del
baricentro y el centro de masa permite localizar el primero de una
forma sencilla. Si tomamos una superficie recortada en una
cartulina y la sujetamos verticalmente desde cualquiera de sus
puntos, girar hasta que el centro de gravedad (baricentro) se site
justamente en la vertical del punto de sujecin; marcando dicha
vertical sobre la cartulina y repitiendo el proceso sujetando desde
un segundo punto, encontraremos el baricentro en el punto de
interseccin.
Ortocentro Se denomina ortocentro (smbolo H) al punto donde se
cortan las tres alturas de un tringulo. Este no es un hecho
trivial, pues tres rectas cualquiera, tomadas a pares, podran
intersecarse en tres puntos diferentes, pero en el caso de las
alturas de un tringulo dado, puede demostrarse que se intersecan en
un solo punto, es decir, en el ortocentro El ortocentro se
encuentra dentro del tringulo si ste es acutngulo, coincide con el
vrtice del ngulo recto si es rectngulo, y se halla fuera del
tringulo si es obtusngulo. El ortocentro es el incentro del
tringulo rtico (como se observa en la figura). El tringulo rtico de
un tringulo es el que tiene por vrtices los pies de las tres
alturas de ste, es decir, las proyecciones de los vrtices sobre los
lados.
Recta de Euler
La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el
centroide. La recta de Euler de un tringulo es aquella que contiene
al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama
as en honor al matemtico suizo Leonhard Euler, quien descubri este
hecho a mediados del siglo XVIII.
DemostracinEn un tringulo ABC, se determinan D como el punto
medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD
y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando
las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O. A
continuacin se prolonga la recta OG (en direccin a G) hasta un
punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura
1). Al ser G baricentro, divide a las medianas en razn 2:1; es
decir: AG=2GD. De este modo
. Por otro lado, los ngulos AGP y DGO son opuestos por el vrtice
y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que
los tringulos AGP y DGO son semejantes. Pero de la semejanza se
concluye que los ngulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es
paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC,
entonces AP tambin lo ser; es decir, AP es la altura del
tringulo.
Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de
GO.
Los tringulos AGP y DGO son semejantes.
Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es la altura del
tringulo. Un argumento similar prueba que los tringulos BPG y EOG
son semejantes y por tanto BP tambin es la altura. Esto demuestra
que P es el punto de interseccin de las alturas y por tanto P=H; es
decir, P es el ortocentro.
Circunferencia de los nueve puntos
Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la
circunferencia asociada a cada tringulo. Su nombre deriva del hecho
que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos
sobre el mismo tringulo (salvo que el tringulo sea obtusngulo).
Estos son: el punto medio de cada lado del tringulo, los pies de
las alturas, y los puntos medios de los segmentos determinados por
el ortocentro y los vrtices del tringulo. Al crculo de los nueve
puntos se le conoce tambin entre otros como crculo de Feuerbach,
crculo de Euler, crculo de los seis puntos o crculo
medioinscrito.
Demostracin
Consideremos las alturas del tringulo ABC: AE, BG y CJ (vase la
figura). El tringulo GEJ es el tringulo rtico del tringulo ABC, y
el punto I es el ortocentro del tringulo ABC. Las alturas de este,
son las bisectrices de los ngulos internos de aquel. Los lados del
tringulo ABC son las bisectrices exteriores del tringulo GEJ. Las
bisectrices del ngulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto,
EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia
circunscrita c (descrito en el artculo de la bisectriz de un
angulo). Observemos que los tringulos ACJ y ACE son rectngulos
teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro
puntos A, C, E y J son concclicos y el centro de la circunferencia
que los contiene se halla sobre la interseccin de la hipotenusa AC
con la mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que
N es punto medio del segmento AC. De modo semejante, los tringulos
EIB y JIB son rectngulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo
tanto, los puntos E, I, J y B son concclicos y el centro de la
circunferencia que los contiene se halla sobre la interseccin de la
hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F.
De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos
medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma anloga, se
demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos
AI y CI respectivamente.
