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TRANSFORMADA DE LAPLACE Segundo teorema de traslación
Ejemplo:
calcular
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
st
a
st st
a
e g t U t a dt
g t e U t a dt g t e U t a dt
∞−
∞− −
− =
− + − =
∫
∫ ∫
Ejemplo: resolver EDO’s usando transformada de Laplace
Observemos que
Aplicando TL
a la edo original
Un poco de álgebra
Despejando
Y(s)
Necesitamos calcular tres
transformadas inversas de
Laplace
2
2 2
( 1)( 1)
1 1 1
s
s s
A B Cs
s s s
=+ +
+ ++ + +
1
1( ) , ( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
t
s
F s f t es
L F s e f t U tπ π π
−
− −
= =+
= − −
Identidades
trigonométricas
2
1 1
2
1
1( ) ,
1
1( ) ( ( )) ( ) sin( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
s s
s
e F s es
f t L F s L ts
L F s e f t U t
π π
π π π
− −
− −
− −
=+
= = =+
= − −
2
1 1
2
1
( ) ,1
( ) ( ( )) ( ) cos( )1
( ( ) ) ( ) ( )
s s
s
se F s e
s
sf t L F s L t
s
L F s e f t U t
π π
π π π
− −
− −
− −
=+
= = =+
= − −
Finalmente
Derivadas de Transformada de Laplace
Consideremos la derivada con respecto a s de la transformada de Laplace F(S) de f(t)
en consecuencia, tenemos que
( )
dF s
ds= −
donde F(s)=L(f(t))
Más generalmente
Ejemplo:
Otro ejemplo: cálculo de transformada de Laplace
usando dos maneras diferentes
3 3
2
1( ) ( ( ) ) ( 3)
( 3)
t tL te L f t e F ss
= = − =−
2
1( ) ( ( )) ( )F s L f t L t
s= = =
33
2
( ) 1 1( )
3 ( 3)
tt dL e d
L teds d s s
= − = − = − −
Ejemplo edo 2do orden coef ctes no
homogénea
( )
( )
2
2
2
2
2
2
22 2
( '') 16 ( ) (cos(4 ))
( ) (0) '(0) 16 ( )16
( ) 1 16 ( )16
16 ( ) 116
1( )
16 16
L x L x L t
ss X s sx x X s
s
ss X s X s
s
ss X s
s
sX s
s s
+ =
− − + =+
− + =+
+ = ++
= ++ +
Aplicando transf.
de Laplace y
propiedades
( )( ) ( )
1 1 1 1
2 22 22 2
1 1( ) ( )
16 1616 16
s sx t L X s L L L
s ss s
− − − −
= = + = + + + + +
De esta forma:
Sabemos que k=4
Finalmente obtenemos la solución buscada, usando viejos “trucos”
algebraicos de multiplicar y dividir por el mismo número
Convolución Convolución de la función f con la función g
es la función definida por
Ejemplo
Ejercicio: completar los cálculos de la integral
Propiedad: La convolución es conmutativa
es decir
U(t-a)-U(t-b)
Convolución de dos gaussianas
Propiedades convolución
Teorema de convolución
Para f(t) y g(t) continuas a trozos y de orden exponencial
( )1 ( ) ( )f g L F s G s−∗ = cuando
( )
( )
1
1
( ) ( )
( ) ( )
f t L F s
g t L G s
−
−
=
=
Versión “retro”:
El Teorema de convolución permite
calcular transf de Laplace inversas de
productos de funciones que dependen de la variable “s”
( ) , ( ) sin( )tf t e g t t= =
Ejemplo: Calcular la transformada de una convolución de dos funciones
Otro ejemplo: calcular la transformada de inversa de Laplace de un
producto de dos funciones
( ) ( ) 0 0 01 1 1
22
0 0 0
a) ( ) ( ) 1 sin( ) sin( )1 1 1
( ) ( )11
b) ( ) ( ) sin( ) 1 sin( ) 1 cos( )
t t t
t t t
f g f g t d t d t d
L L L F s G s f gs ss s
g f g f t d d d t
τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ
− − −
∗ = − = ⋅ − = − = = ⋅ = = ∗ = ++ ∗ = − = ⋅ = = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
1
1
2 2
1 1( ) , 1 ( )
1 1( ) , sin ( )
1 1
F s L f ts s
G s L t g ts s
−
−
= = =
= = = + +
( )1 1 1
2 2
0
0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( 1)( 1) 1 1
sin( ) sin( ) ...
sin( )
sin( ) sin( ) ...
t
t
t
t
t t
L L L F s G s f t g ts s s s
e t e t d blablabla
e t
t e e d blablabla
τ
τ
τ τ
τ τ
− − −
−
= ⋅ = ⋅ = ∗ − + − +
∗ = − =
= ∗ =
∗ = =
∫
∫
Otro ejemplo del uso del Teorema de Convolución para el
cálculo de transformadas inversas de Laplace:
Funciones periódicas
f(t):[0,infinito)�R, periódica de período T,
continua por trozos y de orden exponencial
Demostración
La transf de Laplace se divide en dos integrales
Con el cambio de variables
Por consiguiente
Con un poco de algebrita podemos despejar la transformada deseada
Ejemplo edo con fuerza externa
periódica
Delta de Dirac
DEFINIMOS LA FUNCION DELTA DE DIRAC COMO
SATISFACE
Usando transformada de Laplace tenemos el problema algebraico
Esto «apesta» a fracciones parciales
Por el segundo teorema de traslación
OTRO EJEMPLO
