Segura - 2013 -- Equilibrio de Nash - 28 Abril 2013

Teora de los Juegos Equilibrio de Nash // @JackFlash

Conceptos Solucin: El Equilibrio de Nash

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La Salle Facultad de Ciencias Econmicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniera

Facultad de Economa

[email protected] / [email protected] / [email protected] URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter: @JackFlash

Bogot, D.C., Abril de 2013


Presentacin La Nocin de Equilibrio de Nash es la pieza central, el criterio de solucin nuclear en la Teora Clsica de los Juegos. Su relevancia tiene que ver con la potencia de este criterio en el momento de encontrar soluciones a juegos, conflictos en los que los individuos involucrados actan estratgicamente, una potencia que muchas veces se echa de menos cuando se aplican otros criterios esenciales como aqul asociado a los nombres de Von Neumann y Morgenstern (MinMax) o aquel otro de la eliminacin iterada de estrategias estrictamente dominadas. La mayora de los juegos pueden no ser resueltos mediante el principio de dominancia estricta iterada. En la otra mano, el concepto solucin de Nash supone una posibilidad para una gran variedad de juegos [ Fundenberg & Tirole (1991): 11) ] En efecto, el reconocer que en un equilibrio de un juego no cooperativo de N personas en el cual no es necesario limitarse al principio de common knowledge1 y ningn jugador tiene nada que ganar al cambiar su estrategia en forma unilateral, i.e., si un jugador ha elegido una estrategia y ningn jugador puede beneficiarse del cambio de estrategia, mientras los dems permanecen en sus estrategias elegidas, el concepto de solucin as definido termina capturando soluciones que los otros criterios suelen normalmente omitir.

1 El conocimiento comn de los pagos de un juego no es condicin ni necesaria ni suficiente para justificar un Equilibrio de Nash. En particular, en algunas justificaciones es suficiente que los jugadores simplemente conozcan su propios pagos [ Fundenberg and Tirole (1992): 5 ]


Definicin. Estrategias Mixtas [ Fundenberg & Tirole (1992): 5 ]

Una estrategia mixta, notada con es una distribucin de probabilidades sobre las estrategias puras de un jugador. La aleatorizacin de cada jugador es independiente de la de sus oponentes y el pago correspondiente a un perfil de estrategias mixtas es el valor esperado de los pagos correspondientes a cada estrategia pura.

El espacio de estrategias mixtas del i-simo jugador se representa mediante y () es la probabilidad que se le asigna a . El espacio de perfiles de estrategias mixtas se nota con = . El pago correspondiente al perfil del jugador est dado por:

() (()

=1

)()


Definicin. Utilidad Esperada [ Manrique et. al. (1999:180) ] La utilidad esperada de un jugador es el pago que podra recibir como resultado de las distintas loteras que sobre estrategias puras pueda enfrentar un jugador, i.e. cuando se introduce aleatoriedad en el comportamiento del individuo. Con base en la definicin anterior ( Estrategia Mixta ), dada por ejemplo

= (1, 2, , ) =1

() (()

=1

)()


Ejemplo [ Manrique et. al. Tirole (1999:180) ] Considere el siguiente Juego:

Jugador 2 x2 y2

Jugador 1 x1 3, 2 5, 1

y2 4, 1 2, 3

Suponga que no hay certeza para ningn jugador acerca de lo que su contraparte har. En este caso cada

jugador aleatoriza sus decisiones asignando probabilidades de acuerdo con sus estimaciones. Si p =(1, 2) y q

= (1, 2) son estrategias mixtas para los jugadores 1 y 2, respectivamente, entonces, las utilidades esperadas por jugador son como sigue:

Jugador 1: 1() = 1(31 + 52) + 2(41 + 22)

Jugador 2: 2() = 1(21 + 2) + 2(1 + 32)


Ejemplo [ Fundenberg and Tirole (1992:5) ]: Considere el siguiente juego:

Columna L M R

Fila

U 4, 3 5, 1 6, 2

M 2, 1 8, 4 3, 6

D 3, 0 9, 6 2, 8

Suponga que una estrategia mixta para el jugador 1 es un vector (1(), 1(), 1()) con probabilidades todas mayores que cero y tales que 1() + 1() + 1() = 1. Por otra parte, una

estrategia mixta para el jugador 2 es un vector (2(), 2(), 2()) con probabilidades todas mayores

que cero y tales que 2() + 2() + 2() = 1. Entonces los pagos para los perfiles 1 = (1

3, 13, 13) y

2 = (0,1

2, 12) son:

1(1) =1

3(0 4 +

1

2 5 +

1

2 6) +

1

3(0 2 +

1

2 8 +

1

2 3) +

1

3(0 3 +

1

2 9 +

1

2 2) =

11

2

2(2) = 0 (1

3 3 +

1

3 1 +

1

3 0) +

1

2(1

3 1 +

1

3 4 +

1

3 6) +

1

2(1

3 2 +

1

3 6 +

1

3 8) =

27

6


Ejemplo: La Batalla de los Sexos [ (sic) Varian (1993:313) ] Felisa Fila y Carlos Columna no saben si estudiar microeconoma o macroeconoma este semestre. Felisa obtiene la utilidad 2 y Carlos la utilidad 1 si ambos estudian micro; las ganancias son inversas si ambos estudian macro. Si asisten a cursos diferentes, ambos obtienen utilidad 0. El juego, puesto en forma estratgica adquiere la siguiente forma:

Carlos Micro Macro

Felisa Micro 2, 1 0, 0

Macro 0, 0 1, 2

Si Carlos cree que Felisa elegir estudiar micro, obtendr 1 eligiendo Micro y 0 escogiendo Macro: Micro es la mejor respuesta de Carlos a la eleccin de Felisa cuando ella elige Micro. Al mismo tiempo, si Carlos elige Micro, lo ptimo para Felisa es elegir tambin Micro.


El problema es susceptible de ponerse y resolverse como un problema de optimizacin. Sean (, ) las probabilidades de que Felisa elija Micro y Macro respectivamente y sean ( , ) las probabilidades de que Carlos elija Micro y Macro respectivamente. El problema de Felisa es:

max(,)

[2 + 0] +[0 + 1] . . { + = 1 0 0

La funcin de Lagrange es:

(, ; , , ) = 2 + ( + 1) Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

[]: 2 = 0[]: = 0

Supondremos > 0, > 0 luego = = 0 por tanto igualando las CPO:

2 =


Y dado + = 1

+ 2 = 1 (,

) = (1

3,2

3)

En el caso de Felisa se obtiene ( ,

) = (23, 13). Reemplazando estos valores en su funcin objetivo:

2 +

= 2 (

2

31

3) + (

1

32

3) =

2

3

Que representa la ganancia esperada tanto para Carlos como para Felisa: Obsrvese que cada uno de ellos preferira los equilibrios de la estrategia pura a la estrategia mixta, ya que las ganancias son mayores para los dos jugadores [ Varian (1993): 315 ].


Definicin. Dominancia Estricta en Estrategias Mixtas Considere el juego finito en forma normal = [, ()=1

, ()=1 ]. Se dice que una estrategia mixta

es estrictamente dominante si y solo si existe otra estrategia mixta tal que:

( , ) > (

, ) para toda

En este caso, la estrategia es una estrategia estrictamente dominada.

* * *


Proposicin 1

Una estrategia mixta de un jugador que asigna una probabilidad no negativa a una estrategia pura estrictamente dominada, tambin es estrictamente dominada. En otros trminos: si una estrategia pura es eliminada por ser estrictamente dominada, esta no puede hacer parte de ninguna estrategia mixta estrictamente dominante.

Demostracin [Segn Manrique et. al. (1999: 183)]: Sean = {1,2}, 1 = {, }, 2 = {,}. Suponga que 1 . Sean adems las estrategias mixtas 1 = (, 1 ) siendo la probabilidad asociada a la estrategia , y 2 = (, 1 ), donde es la probabilidad asociada a la estrategia . En este caso:

1(1, 2) = () + (1 )() donde: {() = 1(, ) + (1 ) 1(, )

() = 1(, ) + (1 ) 1(, )

Puesto que 1(, ) > 1(, ) () > (). Entonces:

1(1, 2) = () + (1 )() < () + (1 )()

1(1, 2) = () + (1 )() < () = [0 () + 1 ()] = 1(1, 2)

Siendo 1 = (0,1) 1 (, 1 ) = 1. En este caso 1

es estrategia (mixta) fuertemente dominante


El Equilibrio de Nash El concepto solucin del Equilibrio de Nash se basa en el postulado segn el cual la combinacin de estrategias que los jugadores predeciblemente escogern es aquella en la cual ningn jugador podra mejorar su pago escogiendo unilateralmante una estrategia diferente, si supone que los otros continuarn jugando la estrategia previamente escogida [Manrique, Villa, Junca, Monsalve (1999:184)]. En consecuencia un equilibrio de Nash constituye un perfil de estrategias tal que cada una de las estrategias de los jugadores involucrados es una respuesta ptima a las estrategia de los otros jugadores. [ Fundenberg & Tirole (1991): 11 ]

Equilibrio de Nash en Estrategias Puras2 (Manrique et.al. (1999): 184)

En un juego en forma estrategia = [, ()=1 , ()=1

] se dice que un Equilibrio de Nash en

estrategias puras para el juego finito es una estrategia = ()=1 siempre que

(1, ,

, , ) (1

, , , , ) toda , todo = 1, ,

2 Cfr. Manrique et al (1999:184), Fundenberg and Tirole (1991:11), Monsalve y Arvalo (2005:55) y Barron (2008:111) entre otros.


Ejemplo [Manrique et. al. (1999:185)] En el juego a continuacin hay un nico Equilibrio de Nash en estrategias puras constituido por el par (m,t) con pagos = (5,5) en el cual ningn jugador tiene incentivos para desviarse de dicha estrategia:

II t s

I k 3, 1 1, 3

m 5, 5 4, 2

i. En efecto, si II piensa que el I jugar m su mejor respuesta es jugar t. Si II juega t, no tiene incentivo para desviarse a la estrategia s, caso en el cual recibira un pago menor e igual a $4.

ii. Si, el Jugador I piensa que el Jugador II ha de jugar t su mejor respuesta es jugar m que implica un pago de $5 respecto de la alternativa (k), que le reportara un pago de $3: en este caso, el Jugador I no ve atractivo elegir otra estrategia, dadas los menores retornos asociados.

iii. Considere sin embargo el par (s, m) que supone los pagos (4,2). Si el Jugador I piensa que II jugar s estar bien quedarse en m; sin embargo si el Jugador II piensa que I jugar m, entonces su mejor respuesta sera moverse a t, caso en el cual recibira $3 ms. No es un Equilibrio de Nash

iv. Considere adems el par (k, t) que reporta pagos (3,2). Empezando con II, note que si supone que I jugar k, entonces tendr incentivo para moverse a s (+$2). En la otra mano, si I supone que II jugar t lo mejor para l sera moverse a m (+$2). Tampoco es un Equilibrio de Nash.


Ejemplo [Manrique et. al. (1999: 185)]:

En el juego a continuacin hay dos (2) Equilibrios de Nash en estrategias puras: (, ) y (, )

II C D

I A 10, 10 0, 0

B 0, 0 1, 1

Observaciones:

Note que si bien 1 = (, ) y 2 = (,) son Equilibrios de Nash estos observan una relacin de dominancia especfica: 1 2 , es decir, 1 es Pareto Superior a 2 = {, } y cabra esperarse (en el mundo real) alguna suerte de cooperacin entre los dos jugadores, para alcanzar dicho resultado.

Se dice entonces que 1 = (, ) es un Equilibrio Focal pues resulta naturalmente preferido a los dems equilibrios.

Note adems que la Focalidad del Equilibrio no supone que un equilibrio que pueda caracterizarse as, sea efectivamente la solucin del juego. [e.g. TexPLORE vs. Clampett ]


Ejemplo Peatn y Conductor [Manrique et. al. (1999: 177)]

Conductor sc ac Cc

Peatn

sc 50, -3 -99, -2 -100, -3

ac -2, -99 -51, -51 -101, -3

c -50, -100 -3, -101 -3, -3

El Peatn no presenta estrategias estricta (o an dbilmente) dominantes. Para el Conductor cc domina [ dbilmente ] sc. Su eliminacin deja al juego de la siguiente forma:

ac cc

sc -99, -2 -100, -3

ac -51, -51 -101, -3

cc -3, -101 -3, -3

En la siguiente ronda, la estrategia cc del peatn domina estrictamente a las dems. Eliminando las estrategias restantes, el nico resultado viable es (cc,cc), que es un equilibrio de Nash (por qu?)

ac cc

c -3, -101 -3, -3


Ejemplo: Caza del Ciervo [ Prez, Jimeno, Cerd (2004: 66, 93) ]

Dos cazadores acuerdan salir a buscar presa. Cada individuo enfrenta la disyuntiva de permanecer en el

puesto de observacin asignado (convenido) con el objetivo de cazar un ciervo (), o bien intentar cazar el ciervo pero estar atento a las liebres que ocasionalmente salen (). Los dos cazadores sern capaces de cazar un ciervo si permanecen en el puesto asignado, ignorando las liebres. Si uno de los cazadores no coopera en el objetivo de cazar el ciervo, no podr por s mismo cazarlo. Los dos cazadores prefieren el ciervo a las liebres y las liebres a nada. La matriz de pagos es:

Cazador II Cooperar Buscar Liebre

Cazador I Cooperar V, V 0, 2W

Buscar Liebre 2W, 0 W, W

Siendo V >2W, W>0. Hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras, (, ) y (,) [ Discuta ]


Ejemplo: El Juego de la Gallina Dos jvenes de los aos de 1950 arrancan sus carros, acelerando cada uno en direccin del otro. Las

alternativas que cada conductor tiene son Continuar () o Quitarse (). Si los dos continan, reciben un pago negativo dado el choque que se suscita en este caso. Si uno de ellos elige quitarse del camino mientras el otro contina, es un gallina y recibe un pago de cero en tanto que el otro recibe un pago

positivo. Si los dos se retiran, los dos son considerados gallinas. = {1,2}, = {, }

II C Q

I C -1, -1 1, 0

Q 0, 1 0, 0

Hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras, (, ) y (, ).


Ejemplo: Una Matriz no Cuadrada de Pagos Considere la siguiente matriz de pagos:

No hay estrategias estrictamente dominadas para ningn jugador y hay dos (2) equilibrios de Nash: (,) y (, ).

H F

S 5,2 1,1

D 1,1 5,2

W 2,3 2,3


Correspondencia de Respuesta ptima (Correspondencias de Reaccin) [ Ver Prez, Jimeno & Cerd, (JCP) (2004: 95~) ]

Es siempre til definir en forma sistemtica el conjunto de acciones disponibles para un jugador que le garantizan el mejor pago posible, dada la accin conjunta de los dems individuos en el juego (Monsalve, Arvalo, 2006: 72), i.e., calcular las estrategias ptimas que el jugador podra elegir como respuesta a cualquier combinacin de estrategias por parte de los otros jugadores. En el caso del i-simo jugador se busca un conjunto de estrategias que supongan la mejor respuesta del jugador i a las estrategias de los i restantes individuos. A esta relacin se le denomina Correspondencia de

Respuesta ptima (Correspondencia de Reaccin) y se nota ()


Correspondencia de Respuesta ptima Definicin [Correspondencia de Respuesta ptima ]: Considere el juego finito en forma normal

= [, ()=1 , ()=1

]

Entonces, para cada uno de los = 1,2, , jugadores, se llama Correspondencia de Respuesta ptima o Correspondencia de Mejor Respuesta o Correspondencia de Reaccin a la regla que a cada combinacin de estrategias

= (1, 2, , 1, +1, , )

asigna el conjunto (), siempre que y si y slo si resulta que:

(1, 2, , 1, , +1, , ) (1, 2, , 1, , +1, , )


Correspondencia de Respuesta ptima Teorema [Correspondencia de Respuesta ptima y Equilibrio de Nash]: Considere el juego finito en forma estratgica:

= [, ()=1 , ()=1

] Entonces el perfil de estrategias:

= (1, 2

, , 1 ,

, +1 , ,

) Es un equilibrio de Nash si y slo si:

(

)

Prueba: Ver Fundenberg and Tirole, 1992.


Ejemplo: Juego de la Mayor Diferencia

Sea 2. El juego consiste en que los dos jugadores escriben al mismo tiempo un nmero [0,1] y los pagos estn constituidos por la diferencia entre cada uno de los nmeros escritos de acuerdo con la siguiente regla:

1(1, 2) = 2(1, 2) = (1 2)2

Si 2 =3

4 entonces la respuesta ptima de 1 = 0

Si 1 =1

4 entonces la respuesta ptima de 2 = 1, etc.

Las correspondencias de respuesta ptimas de cada jugador, () en este caso son:

Jugador 1 Jugador 2

1(2) =

{

0 2 >

1

2

1 2

1

2

1 1 0

Donde > 0 y = 1 + 2 =

3 La funcin inversa de demanda no es el recproco de la funcin de demanda; el termino inversa alude al concepto analtico de funcin inversa. Por consiguiente, dada =(), la funcin inversa de demanda, que relaciona la cantidad de mercanca -sima con el precio de mercado, se expresa como =

1()


Las funciones de costes relevantes son:

() = , < Mientras que la funcin de beneficio correspondiente a la firma j viene dada por:

( , ) = ( ) Esto es:

{1(1, 2) = 1( 1 2) 1 = 1( 1 2 )

2(1, 2) = 2( 1 2) 2 = 2( 1 2 )

En forma normal, el juego de Cournot cuenta con = 2 jugadores con espacios de estrategias 1 =2 = [0, ] y con funciones de pago:

( , ) = [ ( =1 ) ] todo = 1,2


Para computar el(los) equilibrio(s) de Nash, tngase en cuenta que la respuesta ptima de cada actor a

una accin del otro actor, (), se obtiene de la solucin del problema:

max( , ) = [ (

=1 ) ] sujeta a: 0

En el caso de la firma 1:

max11(1, 2) = 1[ 1 2 ] sujeta a: 0 1

CPO:

1(1, 2)

1= [ 1 2 ] + 1() = 0

Esto es,

1 =

22

Note que para este problema las C2O: 21() 12 = 2 < 0 por lo que 1

corresponde a un mximo, y por tanto, para la firma 1,

1 1(2) =

22


En lo que respecta a la firma 2, el problema es:

max22(1, 2) = 2[ 1 2 ] sujeta a: 0 2

CPO:

2(1, 2)

2= [ 1 2 ] + 2() = 0

Esto es,

2 2(1) =

12

Suponga que el par (1, 2

) es un Equilibrio de Nash. Entonces, por el teorema de existencia presentado supra, 1

1(2) y 2 2(1). Es decir, es la solucin del sistema de ecuaciones:

{1 =

22

2 =

12


Reemplazando la expresin para 2 en 1

:

1 =

( 1

2 )

2

De donde,

1 =

3

Bajo el mismo razonamiento,

2 =

3

Y, el conjunto de puntos de equilibrio (de Nash) vendr dado por:

[1 =

3, 2 =

3]


Dado que la cantidad total de equilibrio = 1 + 2 =

= 1 + 2

= 2

3

En tanto que el precio de equilibrio viene dado por:

() = = (2

3) =

+ 2

3

Recuerde que la funcin de beneficio de la firma j est dada por = [ ( =1 ) ]. Luego en el ptimo,

fijando j=1 (el mismo procedimiento aplica a la otra empresa),

1 = 1

(1, 2

) = 1 [ (

3) (

3) ] = 1

[

3

3 ]

1 =

( )2

9= 2

Y el beneficio total en la industria,

= 1 + 2

=( )2

9+( )2

9= 2 [

( )2

9]

En resumen, el equilibrio en esta industria viene dado por una tupla:

[(); (); (

)]=1

=2= [(

+ 2

3) ; (2( )

3) ; (

2( )2

9) ]


Ejemplo: El Oligopolio de Cournot

Extendamos el resultado de Cournot a un nmero = 1, , de firmas cada una con un nivel de produccin, . La funcin inversa de demanda es, como en el caso anterior,

() = { > 0

Con > 0 y = 1 + 2+, ,+1 + = La funcin de costos de la firma j viene dada por:

() = < El beneficio de la firma j es:

= () () = ( + ) () = [ ( + )]

= [ ( + ) ]


La respuesta ptima de la firma j a una combinacin de acciones = (1, , 1, +1, , ) es la solucin de

max = [ ( + ) ] sujeta a: [0,

]

Las condiciones relevantes para ptimo son:

( , )

= [ ( + ) ] = 0

2 = 0

La C2O permite verificar la cuasi concavidad (estricta) de por lo que CPO supone un mximo.

El vector = (1, 2

, , 1 ,

, +1 , ,

) caracteriza a un Equilibrio de Nash si se verifican:

2

= 0 todo = 1, ,


Es claro (simetra) que =

, . Adems se notar que = ( 1)

. Ergo,

2

=

2 ( 1)

= 0

2 + ( 1)

=

(2 + ( 1)) =

=

( + 1)

El equilibrio de Nash es el n-vector:

[1 =

( + 1), ,

=

( + 1), ,

=

( + 1)]


La cantidad total de mercanca en el equilibrio, es:

= (

( + 1))

=1= (

( + 1))

Los precios de equilibrio,

() = [ (

( + 1))] =

+

+ 1

El beneficio individual de equilibrio:

= ( (

+ ) )

= ( ( (

( + 1))) ) =

(

+ 1 )

=

( )2

( + 1)2 = 1, ,

Y el beneficio de equilibrio agregado,

=

=1=

( )2

( + 1)2= [

( )2

( + 1)2]

=1


Ejemplo: El Modelo de Bertrand - Productos Homogneos4 Contrario a la opinin de Agustn Cournot, el matemtico francs Joseph Louis Franois Bertrand (1822-1900) crea que las firmas utilizaban precios (en lugar de cantidades) para ajustar a la demanda de mercado. En el modelo de Bertrand las firmas compiten en precios y venden toda la produccin que puedan poner en el mercado y que los demandantes quieran comprar a ese precio. Considere una economa con j = {1, 2} firmas que producen un cierto bien y cuya estrategia de competencia es la modificacin de los precios a los que participan en el mercado relevante.

Sea () la funcin de demanda de mercado del producto. Entonces:

El consumidor compra al precio ms bajo siendo indiferente entre quienes venden el producto si las firmas tienen el mismo precio;

() es montona decreciente en [0, ) () = 0 si El proceso fabril de las dos firmas se caracteriza por funciones de costes idnticas (sin coste fijo) y

con costes marginales constantes Sea el precio de monopolio de la mercanca. Entonces vale 0 < < <

4 Cfr. Prez, Jimeno & Cerd (2004): 119-122.


La demanda que enfrenta la j-sima firma est segmentada en funcin de la relacin que mantiene el precio ofrecido por ella con el precio de la firma rival.

( , ) =

{

0 >

() <

() 2 =

Las funciones de costes son:

() =

Y los beneficios:

( , ) =

{

0 >

( ) () >

( ) () 2 =


En el modelo de Bertrand, un Equilibrio de Nash es un vector de precios = (,

) al cual el precio fijado por la j-sima firma es la reporta el mayor beneficio, dado el precio de la firma rival, i.e.,

(,

) ( , ) = 1,2;

La discontinuidad de la demanda de mercado es heredada por la funcin de beneficio de cada una de las

firmas razn por la cual, las funciones de respuesta ptima () no pueden ser derivadas usando el clculo.

A la sazn una caracterizacin del equilibrio para este juego consiste en estudiar diferentes puntos candidatos a equilibrio y estudiar su estabilidad relativa, i.e., considerar todas las situaciones (de equilibrio) posibles y descartar aquellas que no cumplan con nuestra definicin(es decir descartar aquellas situaciones en las que alguna empresa pudiera conseguir un beneficio mayor alterando la situacin mediante el cambio de su precio) (Prez, Jimeno & Cerd, 2008: 120). Las situaciones a las que las firmas involucradas se enfrentan, son las siguientes:

i. >

= . El precio de las firmas es diferente; el precio de la firma rival se fija al coste marginal;

ii. >

> . El precio de las firma es distinto y mayor que el coste marginal;

iii. =

> . Los precios de las dos firmas son iguales y mayores que el coste marginal;

iv. =

= . Los precios de las dos firmas son iguales e iguales al coste marginal;


De acuerdo con estas posibilidades, valrense los beneficios de las firmas, segn el caso:

Caso i: >

= . En este caso, los beneficios son:

(,

) = {(

, ) = (

)( ) = ()( ) = 0

(,

) = 0

Suponga, sin embargo, que la firma i elige un precio distinto y superior al costo marginal pero an inferior al precio de la otra firma, e.g.

= > . En este caso, los beneficios de la firma i son:

(,

) = ()(

) > 0 i.e.., La firma tiene incentivos para desviarse de la situacin inicial propuesta y, consecuentemente este caso no constituye un Equilibrio de Nash.


Caso ii: >

> . El precio de las firmas es distinto y mayor que el coste marginal. En este escenario los beneficios de las firmas son

(,

) = {(

, ) = (

)( ) = (

)( ) > 0

(,

) = 0

Puesto que >

, el beneficio para la firma j es cero. No obstante suponga que esta firma reduce su

precio en una cantidad de modo que el nuevo precio sea igual al precio de la otra firma, menos una cantidad determinada

= ( ) > , entonces, el beneficio para esta firma es:

(,

) = ()(

) = () (

>

) > 0

Al adoptar esta estrategia la firma j obtendra beneficio positivo, situacin que involucra un incentivo para desviarse de esta situacin y, por tanto, no constituye un Equilibrio de Nash.


Caso iii: Los precios de las dos firmas son iguales y mayores que el coste marginal, i.e. =

> . Los beneficios de las firmas, en esta situacin, son:

(,

) = {(

, ) = (

)( ) 2 > 0

(,

) = ()(

) 2 > 0

En este caso, las firmas obtienen un beneficio estrictamente positivo si bien se reparten el mercado entre los dos. Note adems que si cualquier firma reduce su precio por debajo del de la otra firma, se queda con todo el mercado duplicando prcticamente su beneficio. En efecto, suponga que:

=

< con

> En este caso,

(,

) = ( )(

) 2(,

) > (,

) Por consiguiente, cualquiera de las dos firmas tiene incentivos para fijar un precio inferior al de su rival, siendo este un equilibrio inestable, i.e., una situacin de no Equilibrio de Nash.


Caso iv: =

= . Los precios de las dos firmas son iguales entre si e iguales al coste marginal. En este caso, los beneficios de las firmas son:

(,

) = {(

, ) = (

)( ) = ()( ) = 0

(,

) = ()(

) = ()( ) = 0

Esto es, ninguna de las firmas observa rentas no competitivas y ninguna de ellas tiene incentivo para desviarse de esta situacin (compruebe que es as) que se constituye en el Equilibrio de Nash.


En trminos de funciones de reaccin (correspondencias de respuesta ptima):

Si el precio fijado por la firma i, es menor que el costo marginal, cualquier respuesta >

es ptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas , que implican beneficio negativo (prdida).

Si el precio fijado por la firma i, es igual al costo marginal, cualquier respuesta es

ptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas < , que implican beneficio negativo (prdida).

Si el precio fijado por la firma i, es igual al costo marginal, pero menor o igual al precio de monopolio no existe una respuesta ptima a la estrategia :

o Mientras se aproxima desde abajo a , el beneficio de la firma j se aproxima a la que supone

el precio de monopolio . o Sin embargo, cuando = , el beneficio salta a la mitad (los dos individuos se reparten el

mercado),

o Si, sigue aumentando por encima de , el beneficio salta a cero. Claramente, dado el precio de la otra firma, siempre es mejor fijar un precio ligeramente inferior, pero nunca ptimo.

Si el precio fijado por la firma i, es mayor que el precio de monopolio, , la respuesta = es la nica respuesta ptima, pues proporciona el mximo beneficio.


Adaptado de PJC (2004: 123)


Final Remark (Bertrand) La solucin para el juego de Bertrand es un equilibrio de Nash que coincide con un equilibrio en estrategias dbilmente dominadas.

Para la firma j-sima la estrategia = est dbilmente dominada por cualquier otra estrategia

>

tal que () > 0 pues:

Dara lugar a beneficios estrictamente positivos si

, pero

Dara lugar a beneficios nulos si <


Equilibrios de Nash (Estrategias Mixtas): No todo juego finito tiene un Equilibrio de Nash por Solucin. Considere, por ejemplo, el Juego del Lanzamiento de las Monedas:

Jugador 2 Cara Sello

Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1

Sello -1, 1 1, -1

Considerando correspondencias de respuesta ptima, al Jugador 1 le resulta conveniente responder a cualquier estrategia del Jugador 2 con la misma estrategia en tanto que al Jugador 2, le resulta ms rentable, dada cualquier estrategia del Jugador 1, elegir la estrategia opuesta. Las correspondencias de respuesta ptima son,

Jugador 1: 1(2) = 2, i.e., 1() = ; 2() = Jugador 2: 2(1) = 1, i.e., 2() = ; 2() =

Es decir, no hay perfiles de estrategias puras en las que cada una de ella sea respuesta ptima de la otra.


Equilibrios de Nash (Estrategias Mixtas): El juego de las monedas, se sabe que tiene una solucin MaxiMin (Von Neumann-Morgenstern) en estrategias mixtas, dada una aleatorizacin de la conducta del jugador que ahora se representa como un individuo que no elige nicamente estrategias puras, sino loteras sobre los conjuntos de estrategias (puras) que pueden generar para l un perfil dado de estrategias: En el juego de las monedas el Jugador 1 puede Jugar Cara con probabilidad 0.25 y Jugar Sello con probabilidad 0.75.

Definicin. Estrategias Mixtas (PJCerd [2006]: 146) Volvamos sobre la definicin de Estrategias Mixtas presentada en la p.4 supra:

Sea = {

1, 2, ,

} el conjunto de estrategias puras del i-simo jugador. Entonces, una estrategia mixta para este jugador es una lotera es decir una distribucin de probabilidades, =

(1,

2, , ) sobre los elementos de esto es, a cada distribucin de probabilidades sobre =

{1,

2, , }, donde los elementos de son todos no negativos y suman 1


Al conjunto de las estrategias mixtas del i-simo jugador se notar con () que se define como:

() = { = (1,

2, , ):

0, = 1,2,3, , = 1

=1}

Toda estrategia pura es una estrategia mixta: Bajo este tipo de definicin una estrategia mixta da

probabilidad 1 a una nica estrategia y cero a las dems. La estrategia pura

es entonces

susceptible de ser identificada con la estrategia mixta = (0, 0, ,1, ,0,0) siendo 1 la j-sima estrategia pura.

Para cada estrategia mixta es posible identificar y distinguir al conjunto de estrategias puras que reciben probabilidad estrictamente positiva. Este subconjunto recibe el nombre de Soporte de dicha estrategia (mixta).


Definicin. Soporte de una Estrategia Mixta Sea = {

1, 2, ,

} el conjunto de estrategias puras del i-simo jugador. Entonces, el soporte de una estrategia mixta es el subconjunto de estrategias puras, al cual asigna probabilidades positivas, i.e.

( ) = { (

) > 0 }

El soporte de una estrategia mixta , ( ) tal que ( )

> 0.

Se dir que la estrategia mixta es una estrategia mixta completa si dicha estrategia coincide con el conjunto de estrategias puras del jugador, es decir, ( ) = .

Una estrategia mixta es completa si asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura de

Toda estrategia pura es una estrategia mixta de soporte unitario, i.e., un soporte de un nico elemento.

Toda estrategia mixta no pura (de soporte no unitario) se denomina estrategia mixta propia.


Ejemplo ( PJC: 147 ) Sea el siguiente juego:

Jugador 2 Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

Los conjuntos de estrategias puras son: {1 = [, , ]

2 = [, ]

Una estrategia mixta para el Jugador 1 puede ser una distribucin 1 = {, , 1 } donde es la probabilidad de elegir Arriba, es la probabilidad de elegir C, y Abajo se elige con probabilidad 1 .

Una estrategia mixta para el Jugador 2 puede ser una distribucin 2 = {, 1 } con siendo la probabilidad de jugar Izquierda mientras que la estrategia Derecha se juega con probabilidad (1 ).


Para el Jugador 1, toda estrategia mixta en la que > 0, > 0, 1 > 0 tendr un conjunto soporte (1 ) igual al nmero de estrategias puras siendo as una estrategia mixta completa.

Una estrategia mixta completa para este jugador es (12, 14,1

4), en donde jugar tiene probabilidad 1

2,

jugar tiene probabilidad 14, y jugar tiene probabilidad 1

4 tiene un conjunto soporte que coincide

con el conjunto de estrategias puras, 1: (1

2, 14,1

4).

En contraste, si una estrategia mixta para el jugador 1 es una lotera (0, 13,2

3) esta no puede entenderse

como una estrategia mixta completa porque asigna probabilidad 0 a la estrategia pura , y su

soporte es un subconjunto propio de 1: (0,1

3,2

3) = {, };

Las estrategias puras {, , } pueden entenderse como las estrategias mixtas: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Bajo estrategias mixtas las funciones de pago dejan de ser determinsticas para tornarse en aleatorias;

Bajo estrategias mixtas, las funciones de pago dejan de ser ordinales.


Ejemplo: Matching Pennies. Suponga de nuevo el juego de las monedas. En este caso 1 = 2 =( ) con pagos:



Sello -1, 1 1, -1

Sean 1 = (, 1 ) y 2 = (, 1 ). Entonces, los pagos esperados para cada jugador son:

1((, 1 ), ) = 1(, ) + (1 )1(, ) = (1) + (1 )(1) = 1 + = 2 1

2((, 1 ), ) = 2(, ) + (1 )2(, ) = (1) + (1 )(1) = + 1 = 1 2

En tanto que:

1((, 1 ), ) = 1(, ) + (1 )1(, ) = (1) + (1 )(1) = + 1 = 1 2

2((, 1 ), ) = 2(, ) + (1 )2(, ) = (1) + (1 )(1) = + 1 + = 2 1


Los pagos esperados al combinar las dos estrategias mixtas son:

1[1, 2] = 1[(, 1 ) , (, 1 )] = 1((, 1 ), ) + (1 )1((, 1 ), )= (2 1) + (1 )(1 2) = 1 2 2 + 4

2[1, 2] = 2[(, 1 ) , (, 1 )]= (1) + (1 ) (1) + (1 )(1) + (1 ) (1 )(1)= 1 + 2 + 2 4

Suponga ex post que se tienen los siguientes pares de estrategias: ((1 3 , 2 3 ), ) y

((1 3 , 2 3 ), (4 5 , 1 5 )) Ejercicio: Cules son las ganancias esperadas de los jugadores 1y 2 en cada caso?


Utilidad Esperada en Juegos Bi-persona

Sea un juego con dos jugadores cuyos conjuntos de estrategias puras son:

1 = {11, 1

2, , 1} y 2 = {2

1, 22, , 2

}

Sea adems la estrategia mixta: 2 = {21, 2

2, , 2}

Si el jugador 1 juega 1 y el jugador 2 juega 2 las ganancias esperadas para cada jugador sern:

1(1 , 2) = 2

11(1 , 2

1) + 221(1

, 22) + + 2

1(1 , 2

) = 21(1

, 2)

=1

2(1 , 2) = 2

12(1 , 2

1) + 222(1

, 22) + + 2

2(1 , 2

) = 22(1

, 2)

=1


Suponga que el jugador 1 ahora juega 1 = {11, 1

2, , 1} y el jugador 2 juega 2 = {2

1, 22, , 2

}, las ganancias esperadas sern:

1(1, 2) = 111(1

1, 2) + 121(1

2, 2) + + 11(1

, 2) =

= 11 2

1(11, 2

)

=1+ 1

2 21(1

2, 2)

=1++ 1

21(1

, 2)

=1

= 1 ( 2

1(1 , 2

)

=1)

=1= 1

21(1

, 2)

=1

=1

En tanto que para el Jugador 2:

2(1, 2) = 112(1

1, 2) + 122(1

2, 2) + + 12(1

, 2) =

= 11 2

1(11, 2

)

=1+ 1

2 22(1

2, 2)

=1++ 1

22(1

, 2)

=1

= 1 ( 2

2(1 , 2

)

=1)

=1= 1

22(1

, 2)

=1

=1


Las Ganancias Esperadas en Forma Matricial:

Considere un juego con estrategias puras 1 = {11, 1

2, , 1} y 2 = {2

1, 22, , 2

} , y con estrategias mixtas 1 = {1

1, 12, , 1

} y 2 = {21, 2

2, , 2}. En tonces, la representacin en forma

estratgicas es: Jugador 2

21 2

1 2

Jugador 1 11 1(1

1, 21), 2(1

1, 21) 1(1

1, 22), 2(1

1, 22) 1(1

1, 2), 2(1

1, 2)

12 1(1

2, 21), 2(1

2, 21) 1(1

2, 22), 2(1

2, 22) 1(1

2, 2), 2(1

2, 2)

1 1(1

, 21), 2(1

, 21) 1(1

, 22), 2(1

, 22) 1(1

, 2), 2(1

, 2)

Sean: 1 = (1(1 , 2

)) y 2 = (2(1 , 2

)), que corresponden respectivamente a las submatrices de

ganancias del Jugador 1 y del Jugador 2. Entonces, la ganancia esperada de cada jugador, dadas las

estrategias mixtas 1 y 2, son:

1 = 112 y 2=122 Donde las matrices involucradas son todas conformables para multiplicacin.


Ejemplo (PJC, 2004: 150~): Considere de nuevo el juego,


Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

i. Sean 1 = {2 3 , 1 6 , 1 6 } y 2 = {1 3 , 2 3 }. Entonces, dadas:

1 = (3 11 22 2

) y 2 = (2 43 12 0

)

Las ganancias esperadas de jugar las estrategias mixtas propuestas para cada jugador son:

1 = 112 = (2 3 , 1 6 , 1 6 ) (

3 11 22 2

) (1 31 3) = 31 18


2 = 122 = (2 3 , 1 6 , 1 6 ) (

2 43 12 0

) (1 31 3) = 47 18

ii. Considere ahora el siguiente par de estrategias: 1 = (2 3 , 1 6 , 1 6 ) y 2 = . Cules son las utilidades esperadas de los Jugadores?

1(1, 2) = 112 = (2 3 , 1 6 , 1 6 ) (

3 11 22 2

) (10) = (5 2 4 3 ) (

10) = 5 2

2(1, 2) = 122 = (2 3 , 1 6 , 1 6 ) (

2 43 12 0

) (10) = (13 6 17 6 ) (

10) = 31 6


Definicin: Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas:

Sea el Juego = [; 1, , ; 1, , ] . Entonces, se dice que el perfil de estrategias mixtas =

(1, ,

, , ) es un Equilibrio de Nash (en estrategias mixtas), si para todo = 1,2, ,

(1, , 1

, , +1

, , ) (1

, , 1 , , +1

, , )

Para todo () = { = (1,

2, , ):

0, = 1,2,3, , = 1=1 }

Esto es, si para todo = 1,2, , resulta que:

= argmax

{(1, , 1

, , +1 , ,

)}

O sea, cuando para cada uno de los = 1,2, , jugadores es respuesta ptima a

Observacin: El pago esperado de una estrategia mixta de un jugador, dadas las estrategias de los dems jugadores, es una combinacin convexa de los pagos de las estrategias puras soporte de esa estrategia mixta: luego la ganancia esperada de una estrategia mixta debe estar entre las ganancias mxima y mnima de las estrategias puras soporte del jugador.


Teorema: Equilibrio de Nash (Ampliado)

Sea el Juego = [; 1, , ; 1, , ] . Se dice que el perfil de estrategias mixtas =

(1, ,

, , ) es un Equilibrio de Nash si y solo si para todo = 1,2, , con estrategia mixta

= (

1, 2, ,

, ) el hecho de que > 0 implica que

es una respuesta ptima a

=(, , 1

, +1 ,

). Demostracin: Ver Fundenberg and Tirole (1992)


Ejemplo (PJC, 2004: 155~): Considere de nuevo el juego,


Jugador 1 Arriba (A) 3, 2 1, 4

Centro (C) 1, 3 2, 1

Abajo (B) 2, 2 2, 0

El juego tiene un nico Equilibrio de Nash en estrategias mixtas bajo el perfil [(1 2 , 0, 1 2 ), (1 2 , 1 2 )]: Cualquier estrategia del Jugador 1 con soporte contenido en el conjunto {, } incluidas las estrategias puras y es respuesta ptima a la estrategia mixta del jugador 2, 2

= (1 2 , 1 2 ). Al mismo tiempo, cualquier estrategia, pura o mixta del jugador 2 es respuesta ptima a la estrategia , 1

= (1 2 , 0, 1 2 ) del Jugador 1.


i. Dada la estrategia 2 = (1 2 , 1 2 ) del jugador 2, el jugador 1 obtiene las mismas ganancias al

utilizar distintas estrategias con soporte {, }. En efecto,

1(1, 2) = 112 = (1 2 , 0, 1 2 ) (

3 11 22 2

) (1 21 2) = (5 2 , 3 2 ) (

1 21 2) = 2

1(, 2) = (1, 0,0) (3 11 22 2

) (1 21 2) = (3,1) (

1 21 2) = 2

1(, 2) = (0, 0,1) (3 11 22 2

) (1 21 2) = (2,2) (

1 21 2) = 2

1((1 3 , 0, 2 3 ), 2) = (1 3 , 0, 2 3 ) (3 11 22 2

) (1 21 2) = (7 3 , 5 3 ) (

1 21 2) = 2

En general, dada 2 cualquier estrategia 1 = (1

, 0, 1 1) de soporte {, } genera ganancia

2 para el jugador 1. Compruebe que:

1 ((1 , 0, 1 1

), 2) = ((1 , 0, 1 1

)) (3 11 22 2

) (1 21 2) = (2 + 1

, 2 1) (1 21 2) = 2


ii. Dada la estrategia 1 = (1 2 , 0, 1 2 ) las ganancias para el jugador 2 sern:

2(1, 2) = 122

= (1 2 , 0, 1 2 ) (2 43 12 0

) (1 21 2) = (2, 2) (

1 21 2) = 2

2(1, ) = 122

= (1 2 , 0, 1 2 ) (2 43 12 0

) (10) = (2, 2) (

10) = 2

2(1, ) = 122

= (1 2 , 0, 1 2 ) (2 43 12 0

) (01) = (2, 2) (

01) = 2

2(1, (4 5 , 1 5 )) = 122

= (1 2 , 0, 1 2 ) (2 43 12 0

) (4 51 5) = (2, 2) (

4 51 5) = 2

2(1, (2

1, 1 21)) = 122

= (1 2 , 0, 1 2 ) (2 43 12 0

)(21

1 21) = (2, 2) (

21

1 21) = 2


Equilibrios de Nash en Estrategias Mixtas en Juegos 2 2

Para calcular los Equilibrios de Nash en juegos 2 2 se usa la siguiente propiedad de las estrategias mixtas:

Una estrategia mixta es respuesta ptima a otra estrategia pura o mixta determinada, si y solo si sus estrategias puras soporte son respuesta ptima. Como consecuencia tales estrategias puras producen ganancias iguales y mximas, dada la estrategia del otro jugador (PJC, 2004: 158).

El procedimiento para obtener grficamente los Equilibrios de Nash se resume a continuacin (PJC, id.):

i. Fjense estrategias mixtas genricas (, 1 ) y (, 1 ); ii. Calclese la utilidad esperada que obtiene el jugador 1 de cada estrategia pura cuando la estrategia

del jugador 2 es (, 1 ); iii. Seguidamente, calclese la correspondencia de respuesta ptima del Jugador 1, 1(); iv. Procdase con el Jugador 2, calculando la utilidad esperada de cada una de las estrategias puras

cuando la estrategia del jugador 1 es (, 1 ). v. Calcule a continuacin la correspondencia de respuesta ptima del jugador 2, 2();


vi. Represente grficamente las correspondencias () en el plano , . Los Equilibrios de Nash se encuentran en los puntos en los que 1() y 2() se intersecan.

Ejemplo (PJC, 2004: 158~): Matching Pennies. Considere de nuevo el siguiente juego:



Sello -1, 1 1, 1

i. Sean 1 = (, 1 ) y 2 = (, 1 )

ii. Fije (, 1 ). En el caso del Jugador 1 se tiene:

1(, (, 1 )) = (1) + (1 )(1) = 2 1

1(, (, 1 )) = (1) + (1 )(1) = 1 2

iii. Se tienen las siguientes situaciones:

1(, (, 1 )) > 1(, (, 1 )) 2 1 > 1 2 > 1 2

1(, (, 1 )) < 1(, (, 1 )) 2 1 < 1 2 < 1 2


1(, (, 1 )) = 1(, (, 1 )) 2 1 = 1 2 = 1 2

En consecuencia,

La respuesta ptima del jugador 1 a cualquier (, 1 ) ser Cara si > 1 2 ; La respuesta ptima del jugador 1 a cualquier (, 1 ) ser Sello si < 1 2 ; La respuesta ptima del jugador 1 a cualquier (, 1 ) ser Cara o Sello si = 1 2 ;

1() = {

= 0( ) < 1 2

= 1( ) > 1 2

[0,1] = 1 2


iv. Fije ahora (, 1 ) para el Jugador 1. Calcule los pagos esperados para el Jugador 2. En este caso,

2((, 1 ), ) = (1) + (1 )(1) = 1 2

2((, 1 ), ) = (1) + (1 )(1) = 2 1

Se tienen las siguientes situaciones:

2((, 1 ), ) > 2((, 1 ), ) 1 2 > 2 1 < 1 2

2((, 1 ), ) < 2((, 1 ), ) 1 2 < 2 1 > 1 2

2((, 1 ), ) = 2((, 1 ), ) 1 2 = 2 1 = 1 2

En este caso, la correspondencia de respuesta ptima del Jugador 2 es:

2() = {

= 0( ) > 1 2

= 1( ) < 1 2

[0,1] = 1 2


En trminos grficos, la Correspondencia de Respuesta ptima del Jugador 2:


Combinando los grficos de 1() y 2() en el espacio , :


Ejemplo: La Batalla de los Sexos (otra vez!)

Los pagos en este juego son los que aparecen en seguida:

Jugador 2 Cine Ftbol

Jugador 1 Cine 1, 2 0, 0

Ftbol 0, 0 2, 1

El juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras. Considere para el jugador 2 la estrategia mixta

2 = (, 1 ). El jugador 1 obtiene los siguientes niveles de utilidad para cada una de sus estrategias puras as:

1(, 2) = (1) + 0(1 ) =

1(, 2) = (0) + 2(1 ) = 2 2

1(, 2) = 1(, 2) = 2 2 = 2/3

Cuando = 2/3, J1 es indiferente respecto de sus dos estrategias puras y por lo tanto respecto de cualquiera de sus estrategias mixtas


La correspondencia de respuesta ptima para J1 es:

1(2) = {

= 1 > 2/3 = 0 < 2/3 [0,1] = 2/3

Ahora considere 1 = (, 1 ). Para J2 las ganancias esperadas sern:

2((, 1 ), ) = 2 + 0(1 ) = 2

2((, 1 ), ) = 0 + 1(1 ) = 1 1

2((, 1 ), ) = 2((, 1 ), ) 2 = 1 1 =1

3

2(1) = {

= 1 > 1/3 = 0 < 1/3 [0,1] = 1/3


Grficamente:


Ejemplo: Halcn-Paloma (otra vez!)

Dos individuos pueden comportarse de manera agresiva (Halcn) o pacfica (Paloma) por la posesin de un objeto de valor, V. Si los dos se comportan en modo agresivo, del conflicto resultante surgirn unos costos C. Si ambos se comportan de manera conciliadora, se repartirn el objeto. Si uno se comporta en forma pacfica y el otro no, el pacfico no obtienen nada y el agresivo se quedar con todo. Los pagos en este juego son los que aparecen en seguida:

Jugador 2 Paloma Halcn

Jugador 1 Paloma 2 , 2 0, Halcn , 0 2 , 2

Sean = 2 y = 4. Los pagos para este juego son:

Jugador 2 Halcn Paloma

Jugador 1 Halcn 1, 1 0, 2

Paloma 2, 0 -3, -3

El Juego presenta dos EN en estrategias puras: (Paloma, Halcn), (Halcn, Paloma).


Suponga que para J1 1 = (, 1 ) y que para J2 1 = (, 1 ). Las utilidades esperadas sern:

1 = (, 1 ) (1 0

2 3) (

1 1) = 3 + 5 4 3

2 = (, 1 ) (1 2

0 3) (

1 1) = 5 + 3 4 3

El Jugador 1 maximiza su ganancia esperada, i.e., resuelve:

max1 = 3 + 5 4 3

Las condiciones relevantes para ptimo son:

1= 3 4 = 0 (, 1 ) = (3 4 , 1 4 )

Note que 3 4 < 0 4 < 3. Multiplicando ambos lados por (-1) se tiene que si > 3/4 el beneficio mximo de J1 se torna negativo. Por lo tanto, si > 3/4, esto es, si J2 juega Paloma, J1 debera hacer = 0, esto es, deber jugar Halcn.

Si 3 4 > 0 < 3/4 y J1 deber jugar = 1, i.e., deber jugar paloma. Cuando 3 4 = 0, = 3/4 y J1 ser indiferente entre jugar Halcn o Paloma as como respecto

de cualquier otra estrategia mixta a su disposicin.


Por su parte, el Jugador 2 deber resolver:

max2 = 5 + 3 4 3

CPO:

2

= 3 4 = 0

El Jugador 2 deber jugar Halcn (jugar = 0), siempre que J1 juegue > 3/4 (siempre que J1, juegue Paloma);

El Jugador 2 deber jugar Paloma (jugar = 1) siempre que J1 juegue < 3/4 (i.e., siempre que J1, juegue Halcn);

El Jugador 2 ser indiferente respecto de sus estrategias puras y de cualquier combinacin lineal de ellas, siempre que = 3/4


Grficamente, el juego Halcn-Paloma adquiere la siguiente manifestacin:


Teorema: Equilibrio de Nash (Existencia)

Sea el Juego = [; 1, , ; 1, , ]. Suponga que se cumplen:

i. es subconjunto no vaco y compacto de

ii. es continua en = = 1 2 =1 y es estrictamente cuasicncava en

Entonces, existe al menos un Equilibrio de Nash en Estrategias Puras para Demostracin: Ver Fundenberg and Tirole 1992.

Corolario (Nash, 1950): En todo juego finito = [; 1, , ; 1, , ], existe al menos un Equilibrio de Nash en estrategias Mixtas bajo i. y ii. Demostracin: Ver PJC 2004: 173


Apndice: Teorema Punto Fijo [ Kakutani ]:

Sea un subconjunto compacto y convexo de y sea : una correspondencia tal que:

Para todo el conjunto () es no vaco y convexo () es hemicontinuo superior

Entonces, tal que ()


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Segura - 2013 -- Equilibrio de Nash - 28 Abril 2013