SELECTIVIDAD A4, B4€¦ · METODO DE CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN Este método es uno de los mas amplios para el calculo de integrales, debido a la gran variedad de sustituciones

1

MATEMATICAS II - SELECTIVIDAD A4, B4 C2 ACADEMIA

SELECTIVIDAD A4, B4: TABLA DE INTEGRALES A continuación, veremos todas y cada una de las integrales inmediatas en su forma compuesta:

METODOS DE INTEGRACIÓN METODO DE INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN Este método consiste en descomponer la integral en una suma de integrales inmediatas. Conviene siempre descomponer el integrando todo lo posible para obtener integrales mas sencillas. En otras ocasiones será aconsejable sumar y restar una constante o multiplicar y dividir por la constante para obtener integrales inmediatas. METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES La expresión de la fórmula de integración por partes es:

!"$% = " ⋅ % − !%$"

Vamos a crear un esquema para determinar en cada momento a que llamamos " y a que llamamos $%, de esta elección dependerá que hagamos bien o mal la integral. Llamaremos "a una función dependiendo del siguiente orden descendiente:

)*+,-

→ /"0123045)613→ /"0123045738962:;2195

→ +37203;235→ ,<=3040129745

→ -403, ?35403, @90840:4

En muchas ocasiones tendremos que aplicar este método de integración en mas de una ocasión.

Forma compuesta:

!A$< = A< + 1

!C(<)! ⋅ C′(<)$< = C(<)!"#0 + 1 + 1

!C′(<)C(<) $< = 70|C(<)| + 1

!4$(&) ⋅ C′(<)$< = 4$(&) + 1

!9$(&) ⋅ C′(<) $< = 9$(&)709 + 1

!540(C(<)) ⋅ C′(<)$< = −135C(<) + 1

!C′(<) ⋅ 135(C(<))$< = 540C(<) + 1

! C′(<)135(C(<) $< = :8C(<) + 1

! C′(<)540(C(<) $< = −13:8C(<) + 1

! C′(<)I1 − C(<)(

$< = 961540C(<) + 1 = −961135C(<) + 1

! C′(<)1 + C(<)( $< = 961:8C(<) + 1

La regla mnemotécnica que podemos utilizar para aprender esta expresión es la siguiente: Un Día Vi Un Viejo Vestido De Uniforme

2


METODO DE CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN Este método es uno de los mas amplios para el calculo de integrales, debido a la gran variedad de sustituciones que podemos hacer. El éxito o fracaso en el calculo de la integral con este método, dependerá de la función elegida, ya que una sustitución mala nos llevara frecuentemente a integrales mas complicadas que la propuesta por el enunciado.

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS CASO 1.- POTENCIAS PARES DE SENO Y COSENO Tenemos que aplicar la formula del ángulo mitad tanto de seno como de coseno:

540(< = 1 − cos 2<2 135(< = 1 + cos 2<

2

!135(<$< = !NO1 + cos 2<2 P(

$<

= !1 + cos 2<2 $< = 12!1 + cos 2<$< =

12 Q< +

12 5402<R + ?

CASO 2.- POTENCIAS IMPARES DE SENO Y COSENO Tenemos que recordar la identidad trigonométrica:

540(< + 135(< = 1

!540)<$< = !Q1 − cos 2<2 R($< = !1 − 2 cos 2< + 135

(2<4 $< =

14!$< −

24!cos 2<$< +

14!135

(2<$< = 14< −

14 5402< +

14!

1 + cos 4<2 $< =

14< −

14 5402< +

18< +

132 5404< + ?

CASO 3.- CON EXPONENTE PAR E IMPAR El exponente que sea impar se transforma en uno par y otro impar.

!540*<$< = !540<540(<$< = !540<(1 − 135(<)$< = !540< − 540<135(< $< =

−cos < + 13 135*< + ?

Integral !9&$< !4&$< !<70<$< !<961… $< !(520<)!(135<),

Cambio recomendado

: = 9& : = 4& : = 70< : = 961… INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

3


INTEGRAL DE FUNCIÓN RACIONALES (RESUMEN) Cuando tengamos una integral de una función racional tenemos que seguir el siguiente procedimiento:

• ¿Arriba tengo la derivada o puedo tener la derivada de los de abajo? o Si → ,5:9;35:69W9X90$3130738962:;304=462903.

• ¿El grado de lo de arriba es mas grande o igual al grado de lo de abajo? o Si → Z914;3579$2%252ó0$4735=37203;235. ∫ -(&)

.(&)$< = ∫](<)$< + ∫ /(&).(&) $<

• ¿El grado de arriba es mas pequeño que el grado de abajo? o S2 → @404;35^"428"97969146379=96:4$49W9X3_(<) = 0.

§ Tiene raíces reales entonces aplicamos uno de los tres procedimientos § No tiene raíces reales, estamos trabajando con arco tangente.

GRADO DE +(<) ≥ GRADO _(<) En este caso lo que vamos hacer es la división entre los polinomios: Por tanto, la nueva expresión será:

!+(<)_(<) $< = !+# (<)$< +!

b(<)_(<) $<

si b(<) = 0, la división es exacta y por tanto el calculo de la integral se reduce simplemente a calcular la integral de +#(<).

_(<)

+(<) b(<) +#(<)

4


GRADO DE +(<) < GRADO _(<) Dependiendo de cómo sean las raíces del denominador estaremos ante casos diferentes: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES SOLO CON RAICES SIMPLES EN EL DENOMINADOR Creo que viendo un ejemplo entenderéis de forma mas rápida como se resuelven este tipo de integrales:

! 4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2$<

Lo primero que tenemos que hacer, una vez comprobado que el grado del denominador es superior al grado del denominador, descomponer el denominador para calcular sus raíces, es decir,

<* + 2<( − < − 2 = 0 Si aplicamos Ruffini en este polinomio obtendremos que:

<* + 2<( − < − 2 = (< − 1)(< + 1)(< + 2) Ahora como hemos obtenido 3 raíces diferentes:

4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2 =

)(< − 1) +

e(< + 1) +

?(< + 2)

Ahora expresamos los dos miembros de la igualdad con el mismo denominador:

4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2 =

)(< + 1)(< + 2)(< − 1)(< + 1)(< + 2) +

e(< − 1)(< + 2)(< + 1)(< − 1)(< + 2) +

?(< − 1)(< + 1)(< + 2)(< − 1)(< + 1)

4<( + 8< + 6

<* + 2<( − < − 2 =)(< + 1)(< + 2) + e(< − 1)(< + 2) + ?(< − 1)(< + 1)

(< − 1)(< + 1)(< + 2)

Ahora tenemos que calcular los valores de A, B y C sustituyendo la incógnita < por los valores de las raíces que hemos obtenido anteriormente:

4<( + 8< + 6 = )(< + 1)(< + 2) + e(< − 1)(< + 2) + ?(< − 1)(< + 1)

• Si < = 1 → +(1) = 18 = ) ⋅ 2 ⋅ 3 → 18 = 6) → ) = 3 • Si < = −1 → +(−1) = 2 = e ⋅ (−2) ⋅ 1 → 2 = −2e → e = −1 • Si < = −2 → +(−2) = −6 = ? ⋅ (−3) ⋅ (−1) → 6 = 3? → ? = 2

Ahora lo que tenemos que hacer es volver a la expresión inicial y sustituir los valores de ), ef? para terminar calculando las diferentes integrales:

4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2 =

)(< − 1) +

e(< + 1) +

?(< + 2)

) = 3; e = −1; ? = 2

! 4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2 $< = ! )

(< − 1)$< +!e

(< + 1)$< + !?

(< + 2)$<

! 4<( + 8< + 6<* + 2<( − < − 2 $< = ! 3

(< − 1)$< +!−1

(< + 1)$< + !2

(< + 2)$<

3! 1(< − 1)$< − !

1(< + 1)$< + 2!

1(< + 2)$<

370|< − 1| − 70|< + 1| + 270|< + 2| + ?

5


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACONALES CON RAICES MÚLTIPLES EN EL DENOMINADOR Como en el caso anterior vamos a ver un ejemplo para explicar el procedimiento ante un caso como este:

! 2< − 1<* − 3<( + 3< − 1$<

Lo primero que tenemos que hacer es calcular las raíces del denominador:

<* − 3<( + 3< − 1 = 0 Si realizamos la descomposición de este polinomio de grado 3obtendremos que;

<* − 3<( + 3< − 1 = (< − 1)* Por lo que podemos comprobar tenemos una raíz de multiplicidad 3. La forma de actuar será la siguiente:

2< − 1<* − 3<( + 3< − 1 =

)(< − 1) +

e(< − 1)( +

?(< − 1)*

Ahora lo que tenemos que hacer es expresar los dos miembros de la igualdad con el mismo denominador:

2< − 1<* − 3<( + 3< − 1 =

)(< − 1)((< − 1)(< − 1)( +

e(< − 1)(< − 1)((< − 1) +

?(< − 1)*

2< − 1 = )(< − 1)( + e(< − 1) + ?

Ahora, como en el caso anterior, tenemos que sustituir la incógnita < por los valores de las raíces, en este caso < = 1.

• < = 1 → +(1) = 1 = ? Como ya no tenemos mas raíces para sustituir, tenemos que elegir dos valores mas de < aleatoriamente. En este caso < = 0f< = −1.

• < = 0 → +(0) = −1 = −) − e + ? • < = −1 → +(−1) = −3 = 4) − 2e + ?

Como ? = 1, entonces tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para resolverlo.

h −1 = −) − e + 1−3 = 4) − 2e + 1 → ) = 0fe = 2

Ahora sustituimos los valores de ), ef? en la ecuación del principio para resolver la integral:

2< − 1<* − 3<( + 3< − 1 =

)(< − 1) +

e(< − 1)( +

?(< − 1)*

) = 0; e = 2; ? = 1

2< − 1<* − 3<( + 3< − 1 =

0(< − 1) +

2(< − 1)( +

1(< − 1)*

! 2< − 1<* − 3<( + 3< − 1$< = ! 0

(< − 1)$< +!2

(< − 1)( $< +!1

(< − 1)* $<

Finalmente damos solución a la integral:

6


2! 1(< − 1)( $< + !

1(< − 1)* $< = − 2

< − 1 −1

2(< − 1)( + ?

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON RAÍCES MÚLTIPLES Y SIMPLES EN EL DENOMINADOR En este apartado estamos mezclando los dos apartados anteriores, es decir, tendremos tanto raíces simples como raíces múltiples. Veamos un ejemplo para explicar el procedimiento:

! 3< + 7<* − <( − < + 1$<

Factorizamos el denominador <* − <( − < + 1 = 0 → (< + 1)(< − 1)( = 0 Por tanto, tenemos una raíz simple y una raíz múltiple:

3< + 7<* − <( − < + 1 =

)< + 1 +

e< − 1 +

?(< − 1)(

Ahora lo que haremos será expresar en forma de dos fracciones con igual denominador.

3< + 7<* − <( − < + 1 =

)(< − 1)( + e(< + 1)(< − 1) + ?(< + 1)(< + 1)(< − 1)(

El siguiente paso es sustituir < por los valores obtenidos como raíces:

• < = 1 → 3(1) + 7 = ? ⋅ 2 → 10 = 2? → ? = 5 • < = −1 → 3(−1) + 7 = ) ⋅ (−2)( → 4) = 4 → ) = 1

Como ya hemos sustituido los dos valores obtenidos como raíces y todavía tenemos una variable por despejar, damos un valor a < aleatorio:

• < = 0 → 3(0) + 7 = ) − e + ? → e = ) + ? − 7 → e = −1 Para terminar sustituimos los valores de ), ef? para terminar hallando el valor de la integral:

3< + 7<* − <( − < + 1 =

)< + 1 +

e< − 1 +

?(< − 1)(

) = 1; e = −1; ? = 5

! 3< + 7<* − <( − < + 1$< = ! 1

< + 1$< +!−1< − 1$< +!

5(< − 1)( $<

70|< + 1| − 70|< − 1| − 5< − 1 + ?

7


INTEGRALES RACIONALES EN LAS QUE EL DENOMINADOR NO TIENE RAICES REALES→ARCOTANGENTE Cuando tengamos una división entre dos funciones a la hora de calcular y las raíces del denominador no sean reales, tendremos que aplicar la integral del arco tangente.

! C′(<)C(<)( + 1$< = 961:8C(<) + ?

La finalidad en estos casos es llegar a obtener una expresión como la anterior para hacer el arco tangente de la función. Veamos un ejemplo practica para definir cuales son los pasos que debemos de seguir:

! 2<( + 4$<

Esta integral que tenemos es del tipo arcotangente, lo puedes comprobar siguiendo todos los pasos que te he explicado anteriormente.

1. El primer paso que tenemos que dar, es lograr un uno en lugar donde tenemos el cuatro, para eso dividimos a todo el denominador entre cuatro. Realizar esta operación requiere de poner uno entre cuatro fuera de la integral para no modificar el resultado.

! 2<( + 4$< =

14!

2<( + 44

$< = 14!

2<(4 + 1

$<

2. El segundo paso es lograr en lugar de &!

) tener una expresión entera elevada al cuadrado, tal y como aparece en la expresión de la integral de la arcotangente C(<)(.

14!

2<(4 + 1

$< = 14!

2k<2l

(+ 1

$<

3. Espero que lo estés entendiendo, ya queda poco. Ahora el ultimo paso es tener en el numerador

la derivada de la función que esta elevada al cuadrado. En este caso la derivada de &( es muy sencilla de calcular: #(, por tanto, en el numerador tenemos que colocar un medio y fuera de la integral tenemos que poner un dos multiplicando para no modificar el resultado de la integral, pero antes vamos a quitar el dos que ya tenemos en el numerado puesto que nos molesta:

14!

2k<2l

(+ 1

$< = 24!

1k<2l

(+ 1

$< = 24 ∙ 2 ∙ !

1 2nk<2l

(+ 1

$< = arctan <2 + ?

INTEGRALES RACIONALES. Son integrales del tipo : ( )

( ) con P(x) y Q(x) funciones polinómicas.

Suelen ser largas de cálculo, por lo que se convierten en un peñazo, pero a cambio son muy mecánicas y si te aprendes la técnica, son todas iguales y siempre salen.

Racionales Básicas. Debemos aprender algunas elementales para empezar:

I) Del tipo

estas integrales son inmediatas del tipo

EJEMPLO: =

= − +

EJEMPLO:

=

=

= + +

II) Del tipo ( )

≠ Son inmediatas del tipo =

EJ: ( )

= ( + ) = ( )

= ( )

= − +

EJ: ( )

= ( − ) = ( )

= − ( )

= − ( )

+

Si fuera un poquito más complicada ( ) ≠ , siempre podríamos

hacer un cambio de variable sencillito ax+b=t y sería como las anteriores.

EJ: ( )

= =

=

= − = −

( )+

+ = = ⟹ =

III) Del tipo

+ +

Éstas son más complicadas y son del tipo

(OJO: Si tuviera raíces reales no sería de este tipo Arcotangente, se haría de otra forma porque se podría factorizar el denominador)

Debemos arreglar la integral para que quede de la forma:

. Esto se consigue haciendo

un cuadrado perfecto en el denominador (un producto notable + 1). Puede ser sencillo:

EJ:

=

= ( )

= ( )

=

=

=

+

Si no es tan evidente, un buen método puede ser el que vamos a ver con el siguiente ejemplo:

EJ:

=

=

(Multiplicamos numerador y denominador por 4a) =

Como ( + ) = + + podemos escribir:

=

= ( )

= ( )

=

=

=

+

IV) Del tipo

+ + Son las más complicadas de todas y se hacen separándolas en dos integrales, una del

tipo logaritmo neperiano

y otra del tipo Arcotangente

-Para obtener el logaritmo neperiano debemos conseguir que arriba aparezca la derivada del de abajo. Una vez conseguido esto lo que quede será una del tipo arcotangente.

EJEMPLO:

Debemos conseguir que arriba quede (4x+3) , que

es la derivada del denominador.

= −

+ + =

− + +

= + − − + +

=

=

+

=

+

= +

-Las dos integrales que me han quedado son de los tipos anteriores y por tanto se pueden hacer siempre.

=

= ( + + )

= −

= −

= −

= − ( )

= −

= −

= −

- El resultado final será:

− + +

= + + −

+

+

INTEGRALES RACIONALES EN GENERAL. Para resolver una integral de tipo racional en general debemos recordar de 1º de Bachillerato cómo se descomponía una fracción algebraica como suma de fracciones simples, por lo que si conseguimos esto habremos convertido la integral en suma de integrales más sencillas como las de los tipos I , II , III y IV anteriores.

CASO-1 Sea ( ) ( )

con grado de P(x) menor que grado de Q(x):

1º .- Se descompone el denominador en producto de factores, y dependiendo de que salgan raíces simples, múltiples o complejas, puede quedar algo así:

( ) ( )

= ( )( )( )( ) ( ) ( )

En este caso hay dos raíces simples x1 y x2 ; una doble x3 ; una triple x4 y lo que queda no es factorizable porque sus raíces son complejas. 2º.- Se separa en tantas fracciones como factores tenga el denominador:

( )( ) =

( ) +

( ) +

( ) +

+ ( ) +

( ) +

+

3º.- Para hallar los coeficientes A, B, C, . . . . Se suman las fracciones donde el común denominador será el propio denominador de la fracción original Q(x) factorizado.

( )( ) =

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

4º.- Si los denominadores son iguales los numeradores también tienen que serlo, luego igualando los numeradores obtenemos una ecuación que debe verificarse para cualquier valor de “x”.

( ) = ( − )( − ) ( − ) ( + + ) + ( − )( − ) ( − ) ( + + ) +

5º.- Dando valores a “x” (es aconsejable dar los valores que anulan los factores del denominador, es decir : x1 , x2 , x3 , . . . . . y si es necesario alguno mas) se obtendrán los valores de A, B, C, D, . . . . . .

EJEMPLO:

;

En primer lugar separemos la fracción como suma de fracciones simples: Factorizamos el denominador (en este caso por Ruffini) y seguimos los 5 pasos

=

( ) ( ) =

( )+

+

⟹

( ) ( )

= ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

⟹

− − = ( + ) + ( − )( + ) + ( + )( − ) ⟹ = ⟹ − − = + + + ⟹ = − = ⟹ − − = − + ⟹ − + = − = − ⟹ − − − = − + (− + ) ⟹ − − + = − = ⟹ − − = + + + ⟹ + + + = −

Resolviendo se obtiene: A=-3 ; B=2 ; C=0 ; D=4 Una vez descompuesta la fracción como suma de fracciones simples hacemos las integrales resultantes:

− − − + − +

= −

( − ) +

−

+

+ =

= − ( − ) +

− +

+

=

= − ( − )

− +

−

+

+

=

=

+ − + +

CASO-2 Sea ( ) ( )

con grado de P(x) mayor o igual que grado de Q(x):

En este caso se podrá hacer la división de P(x) entre Q(x) dando lugar a un cociente C(x) y un resto R(x). Como sabemos: = + luego:

( ) = ( ) ( ) + ( ) y por lo tanto:

( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( )

+ ( ) ( )

= ( ) + ( ) ( )

De esta forma, si tenemos que hacer una integral de este tipo, se separa en dos: una de ellas

será un polinomio C(x) que es fácil de integrar y la otra ( ) ( )

es una fracción como el CASO-1

ya que el grado del Resto siempre es menor que el grado del Divisor.

EJEMPLO:

En primer lugar hagamos la división: + + +

+ =

( + )( − ) + + +

=

( + )( − )

+ +

+ +

= ( − ) + + +

= +

= ( − ) = −

= + +

+ +

= + ( + ) =

+

+

+ =

( + ) + ( + ) +

( + ) ⟹

+ = ( + ) + ( + ) + ⟹ = ⟹ = = − = = ⟹ = + +

Resolviendo se obtiene: A=1 ; B= -1 ; C=3

= −

+

= −

− + +

SOLUCIÓN:

= − − − + + +

+ + + + + − − 2x - 1

− + + + + +

8


INTEGRALES DEFINIDAS: Nos planteamos el problema de hallar el área de la región limitada por la curva f = C(<), el eje de abscisas y las rectas < = 9f< = W.

∫ "($)&$ = (($)!" = (()) − ((+)"! ∫ "($)&$ = (($)!" = |(()) − ((+)|"

! En otros casos nos planteamos calcular el área encerrada por dos funciones:

! C(<)$< +! C(<)$< =0

1

1

2

[/(W) − /(9)] + [|/(1) − /(W)|]

! C(<) − 8(<)$< +! 8(<) − C(<)$< =0

1

1

2

! b(<)$< + ! -(<)$< =0

1

1

2

[b(W) − b(9)] + [b(1) − b(W)]

!(#) = &(#) − ((#)

)(#) = ((#) − &(#)

Fíjate que cuando la función esta por debajo del eje OX debemos tener en cuenta en valor absoluto.

a

a

a

a

b b

b

b

c

c C(<)

C(<)

8(<)

C(<)

C(<)

Documents

SELECTIVIDAD A4, B4€¦ · METODO DE CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN Este método es uno de los mas amplios para el calculo de integrales, debido a la gran variedad de sustituciones