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UTEC SEMINARIO
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7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 1/13
0.1. CÁLCULO I
28 de octubre de 2015
0.1 Cálculo I
SEMINARIO DE INTEGRALES
1
7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 2/13
0.1. CÁLCULO I
Integrales definidas
1. Se fugó aceite de un tanque en una cantidad de r(t) li-
tros por hora. La proporción disminuyó conforme trans-
currió el tiempo y los valores de la cantidad en interalos
de dos horas se muestra en la table. Halle estimaciones
inferiores y superiores para la cantia total de aceite que
se fugó
−3,0−2,0−1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5 ,0 6 ,0 7 ,0 8 ,0 9 ,0 10,0 11,0 12,0 13,0−1,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
0
1. La grafica de la función f esta dada en la figura. Evalue
cada integral interpretando en términos de área
2. Considere la función f (x) = x1
ln(2t + 1)dt Encuen-
tre f (1) Sol : 2/3
3. Si
f (x)dx = 12(ln x)2 + C, entonces f (x) = Sol
f(x)=ln(x)/x
4. Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma
estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno
tras otro, casi simultáneamente. Estas son las gráficas
tiempo velocidad de ambos movimientos.
Como podemos ver en la grafica, el Talgo, a las dos ho-
ras, reduce su velocidad: .A que puede deberse? .Por
que no aminora la marcha tambien el otro tren en ese
instante? A las tres horas, ambos trenes modifican su
marcha: el Talgo se detiene durante breves minutos,
mientras que el tren de mercancias va muy despacio
durante media hora. ¡ Para hacernos una idea clara de
estos movimientos, realicemos algunos calculos:
a ) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. .Cuantos kilo-
metros recorre a esa velocidad?
b ) De 2 a 2 1/4 , el Talgo disminuye su velocidad.
¿Cuantos kilometros recorre a esa velocidad?
c ) El tren de mercancias aminora la marcha a las 3 h.
¿Que distancia ha recorrido hasta ese momento?
d ) Que distancia recorre el tren de mercancias durante
la media hora en que va a baja velocidad?
Integrales indefinidas inmediatas
1.
5 3√
xdx
2.
x3dx
3.
dx
4.
x2 + 2x − 1
xdx
5.
1
x2dx
6.
1
x5dx
2
7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 3/13
0.1. CÁLCULO I
7.
x4 − 2x + 3
x6 dx
8. 8
3
3√
x + 3√
x dx
9.
2
x + 3 sin 2 x − 4ex
dx
10.
sec(x)tan(x)dx
11.
x2 − 3x − 4
x + 1 dx
12.
cos 2x + sen π xdx
13. (1− x)3
x 3√
xdx
14.
e2x + e−x − 5dx
15.
π
1 + x2dx
16.
6xex − 4− x3
2x
dx
17.
(x + 1)(x2 + 3)
x3 dx
18. √
x + 1√
xdx
19.
sec2x + cosx + x dx
20.
cos2x − sen2x
cos2x sen2x dx
21.
tan2x dx
22.
xex + 2− x sec x
x dx
23. ex
1 + e−x
x dx
24.
5x3x
2x dx
25.
2
1− xdx
26.
eln x2
dx
27.
tan2x dx
Simplifique o expanda y luego integre
28.
ex + e−x dx
29. x3 − 1
x3
dx
30.
e2x + ex − 5
ex+1 dx
31.
x2 + x + 4
x3 + 3x − 4dx
32.
x2 − x − 2
x2 − 3x − 4dx
33.
x + 1
x2 + 2x + 1dx
34. x2 − 2x + 1
4(x − 1)
dx
35.
sen2(x) + 4cos2(x)
cos2(x) dx
36.
x2 + 2x + 1
x3(x + 1) dx
Integración por sustitución simple
1.
1
2x + 9dx
2. 1
9− 2x dx
3.
1
x + 4dx
4.
sec3x + esen x
sec x dx tan x + esen x + C
5.
e√
x
√ x
dx
6.
cos x
esen xdx
7.
(arctg x)3
1 + x2 dx
8.
sen5x cos x dx
9.
cos x3√
sen2xdx
10.
(x + sen(x))4 (1 + cos(x)) dx
11.
1− sen(x)
(x + cos(x))2dx
3
7/21/2019 Sem Integrales
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0.1. CÁLCULO I
12.
4tan2(x)
tan(x) − xdx
13. 1−sen(x)
·cos(x)dx
14.
lnx
x dx
15.
ln2x
x dx
16.
x2
1− 4x3dx
17.
dx
x · ln(x)
18. 2ex
5ex + 3dx
19.
etan(x)
cos2(x)dx
20.
(1 + ln(x))2
x dx
21.
e
1x
x2 dx
22.
2x + 1
x2 + x − 5dx
23.
e√ x√
xdx
24.
sen(x) + cos(x)
sen(x) − cos(x)dx ln |sen x − cos x| + C
25.
4e2x ·
e2x + 3
9
dx
26.
sec(x)dx sug: multiplica por sec(x) + tan(x)
27. 1
x2
·sen
1
x dx
28.
1√ 1− x
dx
29.
sen
ln4x2
x
dx
30.
2cos(x)sen(x)dx
31.
t2cos
t3 − 2
sen2(t3 − 2)
dx
32.
1 + cos(2x)
sen2(2x) dx
33. 1
x2
−4x + 9
dx
34.
(2x + 5)9 dx
35.
earctan(2t)
1 + 4t2 dt
36.
tan(x)√
sen2x − 4dx
37.
(t + 1) e−t2−2t−5dx
38.
sec2(lnx)
2x dx
39.
1 + ln x
5 + x ln xdx
40.
ln (cos x) tan x dx
41.
√ 3 + x x2dx
42.
dx√
x + 1 +√
x − 1
Integrales por partes
La regla del producto para derivadas es
d
dx
uv
= uv + uv = du
dx · v + u
dv
dx.
Integrando a ambos lados tenemos una nueva tecnica
de integración
uv =
du
dx · v · dx +
u
dv
dx · dx
Entonces tenemos
u dv = uv
− v du.
x cos(x) dx =
1
2x cos(x) +
1
2x2 sin(x) dx.
1.
x · ln(x) dx
2.
√ x · ln(x) dx
3.
(8x + 1) e5xdx
4
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0.1. CÁLCULO I
4.
x2 · ln(x)dx
5.
x2 + 3x
exdx
6.
x · sen(x) dx
7.
9x2sen(3x) dx
8.
arcsen(x) dx
9.
3x2 · arcsen(x) dx
10.
ln
x +
a + x2
dx
11.
x · arcsen(x)(1− x2)
32
dx
12.
sec3(x) dx
13.
x · sec2(x) dx
14.
ln(x)
x3 dx
15.
(x + 2)ln(1 + x2) dx
16.
cos3(t) esen(t)dt
17.
e2x · cos(ex) dx
18.
e3x · sen(2x) dx
19.
x2arc tan x dx
20.
x
cos2x dx
21.
(1 + 5x)cos(4x) dx
22.
ex (1 + x lnx)
x dx
23.
arctan(x) dx
24.
x · arctan2x dx
25.
arcsec(
√ x)
x2 dx
26.
e2xsin(3x)dx
27.
x3e−2xdx
28.
(x + 1)2ln(3x)dx
29.
e−xsen(4x)dx
30.
xsin(2x) dx
31.
3x2cos(
x
2) dx
32.
ln2(t) dt
33. arcctg
√ x
√ x dt
Integrales trigonométricas
Identidades trigonométricas
sen2θ + cos2θ = 1
1 + tan2θ = sec2θ
sen 2θ = 2senθ cosθ
cos 2θ = co s2θ
−sen2θ
cos 2θ = 2cos2θ − 1 = 1 − 2sen2θ
cos2θ = 1 + cos 2θ
2 , sen2θ =
1− cos 2θ
2
tan (α± β) = tan α± tan β
1∓ tan α tan β
1.
sen2x dx
2.
cos2 x dx
3.
sen3
x cos x dx
4.
dx
1− sen(x)
5.
dx
1 + cos(x)
6.
dx
sen(x) · cos(x) sug: 1 = sen2(x) + cos2(x)
7.
sen3(x)dx sug: 1 = sen2(x) + cos2(x)
5
7/21/2019 Sem Integrales
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0.1. CÁLCULO I
8.
sen x
1 + cos2x dx
9.
sen5 x tan x dx
10.
sen3x cos2x dx
11.
3π /4π /2
sen5x cos3x dx
12.
π /20
cos2x dx
13.
sin3
√ x
√ x
dx
14. π /20 sin
2
(2θ) dθ
15.
cos3(θ) dθ
16.
(1 + cos θ)2 dθ
17.
π /20
sin2x cos2x dx
18.
cos5x√
sen xdx
19.
x cos2x dx
20.
dx
cos x − 1
21.
sec5x tan x dx
Integrales por sustitución trigonométrica
Expresión Substitución
a2 − x2 x = a sin θ, θ ∈ −
π
2
, π
2
a2 + x2 x = a tan θ, θ ∈ −π 2 , π
2
x2 − a2 x = asec θ, θ ∈
0, π 2
∪ π , 3π 2
1.
1
x2√
x2 − 9dx, x = 3sec θ
2.
x3
9− x2 dx, x = 3sen θ
3.
1
x√
x2 + 9dx
4.
1
x2√
x2 + 4dx
5. 1
x2√
x2
−25
dx
6.
1
x3√
x2 − 25dx
7.
x√ 4− x2
dx
8.
x
x2 + 9 dx
9.
1
(x2 − 1)3/2
d x
10. 1√ 4
x
2
−25
dx
11.
√ x2 + 1
x dx
12.
1
(36 + x2)2
d x
13.
1
x√
25x2 + 16dx
14.
1
x4√
x2 − 3dx
15. 21
√ x2
−1
x dx
16.
2/3√ 2/3
dx
x5√
9x2 − 1u = 1
3sec x
Integracion por fracciones parciales
1.
2x
x2 − 3x − 18dx
2.
x + 2
x2 + 11x + 18dx
3. 2x2 + 5x
−1
x3 + x2 − 2x dx
4.
1
x2 − 5x + 6dx
5.
x2 + 2
(x − 1)2(x + 2)dx
6.
1
x2 − 9dx
7.
3x − 4
(x − 1)2dx
6
7/21/2019 Sem Integrales
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0.1. CÁLCULO I
8.
1
4x2 − 1dx
9. 4x2
x3
+ x2
− x −1
dx
10.
x3 − x + 3
x2 + x − 2dx
11.
x2 + 12x + 12
x3 − 4x dx
12.
5x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + x dx
13.
6x3 + x2 + 5x + 6
6x2 − 5x − 4 dx
14.
y4 − y3 − y − 1
y3 − y2 dy
En los siguientes problemas use primero substitución y
luego integre con fracciones parciales
15.
sin x
cos x (cos x − 1)dx
16.
sec2x
cos x (cos x − 1)dx
17. 5 cos x
sin2 x + 3 sin x − 4dx
18.
sec2x
tan x (tan x − 1)dx
19.
ex
(ex − 1) (ex + 4)dx
a ) √
x
x − 4dx
20. ex
(e2x + 1) (ex − 1)dx
Aplicaciones
1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
a )dy
dx =
6
1− x2; y(0) = 3
b )dy
dx =
4
x2 − 2x − 3; y(0) = 5
Caso 2: Factores cuadráticos irreducibles D(x) =
(a1x2 + b1x + c1)n(a2x2 + b2x + c2)m
1. x
−2
x2 + 1dx
2.
x + 2
(x2 + 1)2dx
3.
8x3 + 13x
(x2 + 2)2 dx
4.
x2 + x + 2
(x2 + 2)2 dx
5.
x2 + x + 3
x4 + 6x2 + 9dx
6.
2x
(x2 + x + 1)2dx
Integrales con radicales
1.
√ 3 + x x2dx
Integrales varias
Evalue las integrales tratando de seguir una estrate-
gía de integracion (sugerencias seguir las pautas de las
sección 7.5 : Estrategias de integración)
1.
e2t
1 + e4tdt
2.
x csc x cot x dx
3.
π π /6
sen2x cos3x dx
4. √
4 + x2
x2
dx
5.
10
x3 − 4x − 10
x2 − x − 6 dx
6.
θ tan2θ dθ
7.
1√ x + 1−√
xdx
8.
62
dx
x√
4x + 1
7
7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 8/13
0.1. CÁLCULO I
9.
arctan
√ x dx
10.
1
1 + exdx
11.
cot x ln [sin(x)] dx
12.
tan2 (2x) d x
13.
e2x − 1dx
14.
1−1
earctan x
1 + x2 dx
15. x sen2x dx
16.
12
0
x√ 1− x2
dx
17.
ex
√ 1 + exdx
18.
ln(1 +
√ x)√
xdx
19.
x
x − 6dx
20.
r
2
r + 4dr
21.
dx
1− cos x
22.
ds
s2(1− s)2
23.
10
x4e−xdx
24.
1√ x + 1 +
√ x
dx
Integre (si es necesario use una aproximación (regla de
trapecio o punto medio))
1.
20
4
1 + x2dx
2.
21
ln x
1 + xdx
3.
30
dt
1 + t2 + t6
Integral definida
1.
1−1
x
0e−tdt
dx
2.
1−1
d
dx
x
0e−tdt
dx
3. La longitud de arco de una curva y = y(x) en el in-
tervalo comprendido entre x = a y x = b se puede
determinar calculando
L = b
a
1 +
dy
dx
2
dx
Determine la longitud de la gráfica de y = 12
x2 + 3
sobre el intervalo [0; 1].
4. El volumen V del sólido que se forma al girar alre-
dedor del eje y la grafica de y = sen x2 y y = 0,
0 ≤ x ≤ √ π es
V = 2π
√ π 0
x sen x2 dx
5. Calcular el área limitada por la curva
y = ln x,
el eje de la abcisas, ylas rectas x = e
6. Calcular el área limitada por la curva
y = 4x2e−2x,
el eje de la abcisas, y
las rectas x = 0, x =
b>
0.8
7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 9/13
0.1. CÁLCULO I
7. Si la longitud de una curva definida por la función f (x)
comprendida entre las rectas x = a y x = b, es
b
a 1 + [ f (x)]2dx
determine
a ) La longitud del arco de curva
y = arcsin(e−x)
entre x = 0, x = 1.−1 1 2
1
0
8. Integre
a )
x(4x2+3)6
dx
b )
(2x − 5)11dx
c ) cos4 x sin xdx
d ) sec2(1− 4x)dx
e )
11+e−2x dx
f )
1x ln x dx
9. Encuentre una función y = f (x) cuya gráfica pa-
se por el punto (π ,-1) y también satisfaga dy/dx =
1− 6sin3x
10. Encuentre una función f (x) = (1 + 2x)5, f (0) =
0 y f (0) = 0
9
7/21/2019 Sem Integrales
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0.2. ABP
0.2 ABP
1. Para cada problema a continuación, decidir si se puede resolver mediante
la integración por sustitución? Si se puede, a continuación, indicar el u y
du, y volver a escribir la integral en términos de u y du (luego detente). Si
el problema no puede ser resuelto por la sustitución de u, luego explicarporque la sustitución elegida no funciona.
a )
dx
(4 + 9x)2
b )
dx
4 + 9x2
c )
x dx
4 + 9x2
d )
exdx
4 + 9e2x
2. Hay dos pares de problemas de abajo que son exactamente lo mismo. Us-
ted no los verá hasta que realice la integración, mostrando todos los pasos.
Encuentra los pares y luego explicar cómo las integrales relacionadas son
fundamentalmente los mismos.
a ) e
1
lnx dx
x
b ) ln 2
0
ex dx
1 + ex
c ) 10
(x + 2)−1dx
d ) π /2
0sen x cos x dx
3. Imprima la página de "tarjetas" integrales en la página siguiente y luego
recortarlas para que cada problema se separa de los otros. Utilice Wol-
fram Alpha (www.wolframalpha.com) para resolver cada integral y escribir
la respuesta en el espacio provisto. Entonces reorganizar las cartas en gru-
pos que parecen tener el mismo género de estructuras en sus problemas
y respuestas. Una vez que los tienes agrupados, explicar lo que se refiere
a los problemas. Luego escribe tus conclusiones. Usted puede escribir de-
claraciones algo como esto ... "Cuando las integrales son así: ______, las
soluciones parecen ser similares en __________.
Luego dar problemas y respuestas como apoyo para sus conjeturas. Usted
no debe tratar de entender por completo la manera de hacer los problemas(por ahora), yo sólo se quiere buscar patrones y formas de discriminar que
ciertos tipos de problemas dan ciertos tipos de respuestas.
Por ejemplo, aquí está cómo hacerlo la primera:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+10/ (x^2-16)
10
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0.2. ABP
Usted tendrá que eliminar la entrada y luego lo ingresas la otra integral, ya
que esto hará que sea más fácil ver patrones. Tenga en cuenta que Wolfram
Alpha usa log (x) para indicar el logaritmo natural.
11
7/21/2019 Sem Integrales
http://slidepdf.com/reader/full/sem-integrales 12/13
0.3. TABLA DE INTEGRALES
1.-
10
x2 − 16dx
5
4ln|4− x| − 5
4ln|x + 4| + C
2.-
10
x2 + 16dx
3.-
10x
x2 + 16dx
4.- 10x + 10
x2 + 16 dx
5.-
10x + 1
x2 + 8x + 16dx
6.-
10
x2 + 8x + 16dx
7.-
10
x2 + 6x + 12dx
8.-
10
x2 + 10x + 25dx
9.-
10x + 10
x2 − 10x + 25dx
10.-
4x − 20
x2 − 10x + 25dx
11.- 10
x2 + 25dx
12.-
10
x2 + 4x + 5dx
13.-
10
2x2 + 12x + 18dx
14.-
10x + 10
2x2 + 12x + 18dx
15.-
x + 1
x2 + 2x + 5dx
16.-
10
x2 − 4x + 5dx
17.-
10x
x2 + 25dx
18.- 10
x2 − 3x − 18dx
19.-
10x + 1
x2 − 3x − 18dx
20.-
10x
x2 + 10x + 16dx
0.3 Tabla de integrales
1.
f (x)dx = f (x) + c
2. f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx
3.
c f (x)dx = c
f (x)dx
4.
dx = x + C
5.
xmdx =
xm+1
m + 1 + C, ∀m = −1
12
7/21/2019 Sem Integrales
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0.3. TABLA DE INTEGRALES
6.
1
xdx = ln |x| + C
7.
axdx =
ax
lna + C
8. exdx = ex + C
9.
sen(ax)dx = −1
a · cos(ax) + C
10.
cos(ax)dx =
1
a · sen(ax) + C
11.
tan(x)dx = −
−sen(x)
cos(x) dx = ln |sec(x)| + C
12.
sec2(x)dx = tan(x) + C
13. csc2(x)dx =
−cot(x) + C
14.
sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
15.
csc(x)cot(x)dx = −csc(x) + C
16.
sec(x)dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C
17.
dx√
a2 − x2= arcsen
x
a
+ C; a > 0
18. dx
a2 + x2 =
1
a · arctan
x
a + C; a > 0
19.
dx
x√
x2 − a2=
1
a · arcsec
x
a
+ C; a > 0
20.
dx√
x2 − a2= ln
x +
x2 − a2 + C;
21.
dx
x2 − a2 =
1
a2 · ln
x − a
x + a
+ C;
22.
dx√
x2 + a23
= − 1
a2 · x√
x2 − a2+ C;
13