Sem_1_CD_2016-1_ERO27956

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CALCULO DIFERENCIAL Ing. Enrique Romero Osorio

Pág. 1

FUNCION

Dados dos conjuntos A y B, no vacios:

A= { x1, x2, x3, x4, …} y B= { y1, y2, y3, y4,….. }

Una función “f” de A en B, f : A B , es el conjunto de pares ordenados (x,y) talesque a cada elemento “x ” -que pertenece a A- , le corresponderá uno y solo un elemento

“y” -que pertenece a B- a través de la condición “f ”.

Nota: En una función, no puede haber pares ordenados donde se repita el valor de “x” ,

salvo que se trate del mismo par

NOTACION:

f: A B f = { (x, y) / x A

y B}

Dominio de una Función: ( Df )Es el conjunto de los primeros elementos “x” de los pares ordenados de la función

Rango de una Función: ( R f )

Es el conjunto de los segundos elementos “y” de los pares ordenados de la función.

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A= {1, 3, 4, 5, 6} y B= {2, 5, 8, 10, 11}Hallar la función f: A B, tal que: f = {(x, y) / y=2x}

Solución:

A Bf f = { (1,2), (4,8), (5,10) }

1 2

3 5 Dominio y Rango de “f”: 4 8

5 10

6 11 Df

= {1, 4, 5 } R f

= { 2, 8, 10 }

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Ejercicios:

Determinar cual o cuales de los siguientes conjuntos de pares ordenados (x,y) pertenecen a una función.

A = { (1,5), (-1,1), (125,253), (4,11), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) }

B = { (1,5), (4,11), (125,253), (1,8), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) }

C = { (1,5), (-1,1), (0,3), (4,11), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) }

D = { (1,5), (5,13), (13,29), (29,61), (61,125), (125,253) }

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Una Función Real de variable Real es una correspondencia “f” que asocia números

reales con números reales (f: R R).

NOTACION:

f: R R f = {(x, y) / x R

y R

}

R R

f

“ f ” es una función real de variable real, porque su conjunto inicial es Real y suconjunto final también es Real.

En general, cuando tengamos una función “f(x)”, esquemáticamente lo que tenemos es:

f

x y=f(x) Imagen de “x”

Variable Independiente Variable dependiente

Conjunto de

partida

(Dominio)

Conjunto de

llegada

Codominio

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Todos los puntos (pares ordenados) que pertenezcan a la grafica de la función son de laforma:

( x, y ) = ( x, f(x) )

Tener en cuenta las siguientes consideraciones:

El Dominio “Df ” estará dado por todos los valores admisibles de “x” (valores talesque y= f(x) exista). Recordar dos aspectos importantes:

La división entre cero no existe La “raíz de índice par” de números negativos no está definida como un valor real.

El Rango “R f ” estará dado por todos los valores de “y” (y = f(x)) evaluados en elDominio de la función.

FUNCIONES ESPECIALES:

Funciones Polinómicas:

f(x)=anxn+an-1x

n-1 +...+a1x+a0 Df = x ∈ R

El Dominio será todos los reales, dado que no hay ninguna restricción para “x”

f(x) = 3x+1 => Df = x ∈ R

f(x) = 5x2+3x-1 => Df = x ∈ R

Funciones Racionales:

f(x)=)(

)(

xq

x p Donde p(x) y q(x) son polinomios

Df = Todo “x” donde p(x) y q(x) estén definidas a la vez y q(x) 0

f(x) =5

4

x

x => x-5 0 , x 5 => Df = x ∈ R - 5

f(x) =209

22

x x

x => 2092

x x 0 , (x-4) (x-5) 0

x-4 0 , x-5 0 => x 4 y 5

Df = x ∈ R - 5;4

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Funciones Irracionales:

f(x) = n x p )(

f(x) = 6 x => x-6 > 0 , x > 6 => Df = x ∈ ,6

f(x) =11

7

x

x => x-11 > 0 , x > 11 => Df = x ∈ ,11

f(x) = 3 8 x no hay restricción para x => Df = x ∈ R

f(x) =5 3

7

x

x x-3 0 , x 3 => Df = x ∈ R - 3

También las funciones suelen expresar información de distintos temas, como: Físicos,Económicos, Geométricos, Demográficos, Sociales, etc.

Recorrido de un móvil en función del tiempo: 1155)( 2 t t t E

Ecuación de Demanda:5

1006)(

qq P (Monopolio para más de 100

artículos)

Área de un triangulo equilátero de lado “L”:4

3)( 2 L L A

Incremento de población en una ciudad en “t” años:2)1.0(1.3)( t t P

Nivel de Monóxido de Carbono )( 2CO en partes por millón (ppm) en una ciudad

con “p” miles de habitantes: 172)(

2

p pC

n: Impar Df = Todo “x” donde p(x) este definidan: Par Df = Todo “x” donde p(x) este definida

y p(x) > 0

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PROBLEMAS: Funciones, Dominio y Rango

Problema 1:

Si “f” representa una función, encontrar los valores de “m” y “n” :f = {(3, 2m+3n), (-1,6), (m+n,3), (3,4), (2,2m-n), (2,-4)}

Problema 2:El volumen de una caja cerrada de base rectangular es de 10 m3 , además el largo de la

base es el doble de su ancho. Expresar el Área total de la caja en función del ancho de la base.

Problema 3:Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles miden 10 cm cada uno,encontrar el área del trapecio en función del cuarto lado “x”.

Problema 4Hallar el Dominio ( Df ) y Rango ( R f ) de de las siguientes funciones:

4.1) f(x) =5

4

x

x 4.2) f(x) = x3

4.3) f(x) = 2 x + 29 x 4.4) f(x) =

216 x

4.5) f(x) =2

2

x

x 4.6) f(x) =242

12

2

x x

x x

Problema 5:

Si; f(x) =

42

2

x

x encontrar:: ( R f - Df )

Problema 6:Una playa de estacionamiento en la Av. Arequipa cobra S/. 2 por la primera hora y S/.1.5 por cada hora adicional. Encontrar el costo del estacionamiento como una funcióndel número de horas estacionadas.

Problema 7:Junto a un largo muro de ladrillo, se construirá un jardín rectangular que estarácircundado por los otros tres lados por una cerca. Si el perímetro de la cerca es de 100metros, expresar el Área del jardín como una función de la longitud “x” del lado sobrela pared de ladrillo. Determinar también su Dominio y Rango.

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FUNCIONES ESPECIALES

1) Función Constante: f(x) = C (C= Constante)

Ejem. 1: f(x) = 2 Ejem. 2: f(x) = - 2

2)

Función Signo: ) x ( Sgn ) x ( f

3) Función escalón unitario

0 x si 1

0 x si 0

0 x si 1

) x ( Sgn ) x ( f

a x si 0

a x si 1 a x U x U x f a ) ( ) ( ) (

- 2

x

y

Df = RR f = {- 2 }

x

y

2

Df = RR f = {2}

1

x

y

-1

Df = RR f = {-1, 0, 1}

1

x

y

0

Df = RR f = {0, 1}

a

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4)

Función Identidad: f(x) = x

x f(x)= x

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)= x

5)

Función Lineal: f(x) = mx

P 2 (x 2 , y 2 )

P 1 (x 1 , y 1 )

f(x) = mx

x

y

Ejem 1. Graficar: f(x) = 2x (m= 2)

x f(x)=2 x

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

5 106 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)= 2x

Df = RR f = R

Df = RR f = R

Df = R , R f = R

m: Pendiente de la Recta

12

12

x x

y ym

Si: m>0 => La función es creciente

Si: m<0 => La función es decreciente

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6)

Función Lineal Afín: f(x) = mx + b

y f(x) = mx + b

b

x

Ejem. 1. Graficar: f(x) = 2x + 1 (m=2, b=1)

x f(x)= 2x+1

-3 -5

-1 -1

-2 -3

0 1

1 3

2 5

3 7

4 9

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

11

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)= 2x+1

Ejem.2 Graficar: f(x) = - x + 3 (m= -1 , b=3)

x f(x)= -x+3

-2 5

-1 4

2 1

0 3

1 2

2 1

3 0

4 -1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)= - x+3

Df = RR f = R

Df = RR f = R

m: Pendiente de la Rectab : Intercepto de la Recta con el eje “y”

Df = R , R f = R

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Ejem.3 Graficar:

1) f(x) = {7) Función Valor Absoluto: f(x) = x

f(x) = x = {x f(x) =

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 56 12

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) =IxI

x

Ejem.1 Graficar: f(x) = 2 x

x f(x)=

-3 5

-2 4-1 3

0 2

1 1

2 0

3 1

4 2

5 3

6 4

7 5

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) = I x-2 I

2 x

-x+1 , x > 13x , 0 < x < 1

x , x > 0- x , x < 0

Df = RR f = ,0

Df = RR f = ,0

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Ejem.2 Graficar: f(x) = 2 x + 2

x f(x) = Ix-2I + 2

-3 7

-2 6

-1 50 4

1 3

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 70

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) = I x-2 I+2

Ejem.3 Graficar: f(x) = 1 x -1 Ejem.4 Graficar: f(x) = - 3 x +5

8)

Función Cuadrática: f(x) = ax2+bx+c (a 0)

El Dominio de f(x) – función polinómica- es todos los reales: R y su grafica siempre esuna parábola.

Características:

Ejem.1 Graficar: f(x) = x2+4x-2

Df = RR f = ,2

Si: a < 0

La Parábola se abrehacia abajo (Convexa)

Si: a > 0

La Parábola se abrehacia arriba (Cóncava)

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Análisis de la función cuadrática: f(x) = ax2+bx+c

Las coordenadas del vértice de la parábola están dadas por:

Intersección con los ejes:

Con el eje X: Con el eje Y:Hacemos: f(x) = 0 El intercepto ocurre cuando: x = 0

y encontramos los interceptos

a

b x

2 ,

a

acb x f y

4

)4()(

2

Nota:

a > 0 , y = f(x) es el valor mínimo de la función

a < 0 , y = f(x) es el valor máximo de la función

(x,y)

x

y

X1

Y

X2 X

0

Y

X

0

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9) Función Raíz Cuadrada: x x f )(

Ejemplos: Graficar y encontrar Df y R f : 1) 2)( x x f 2) x x f )(

10)

Función Exponencial:

Es de la forma: f(x) = bx, (b >0 y diferente de 1)

Ejem: f(x) = 2x

x f(x) = 2x

-3 0.13

-2 0.25-1 0.50

0 1.00

1 2.00

1.5 2.83

2 4.00

3 8.000.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x x f 2)(

Df = ,0

R f = ,0

Df = RR f = ,0

La función tiene unaasíntota en: y=0

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Ejemplo de crecimiento exponencial

Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", esto significa que la célula se

divide en dos cada intervalos de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15minutos. ¿Cuántas bacterias habrán en estos casos, a partir de una, en un día?

296

= 7,9 · 1028

Caso particular: e = 2.718281828…, f(x) = ex

x f(x) = ex

-2 0.14

-1 0.37

0 1.00

1 2.72

1.5 4.48

2 7.39

3 20.09

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

xe x f )(

11) Función Logaritmo Natural (Neperiano):

y= Ln x ey = x

x f(x) = Lnx

0.01 -4.61

0.10 -2.30

0.15 -1.90

0.20 -1.61

0.25 -1.39

0.5 -0.69

1 0.00

2 0.69

2.72 1.00

4 1.39

8 2.08

16 2.77

32 3.47 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7

x Ln x f )(

e

Nota: Ln Ax = x (Ln A), Ln e = 1 Ejem. Resolver: ex-3 = 2

Df = RR f = ,0

f(x) = Ln x, en donde x >0

Df = ,0

R f =

,

La función tiene suasíntota en: x=0

La función tiene unaasíntota en: y=0

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PROBLEMAS:

En los siguientes problemas, Graficar la función “f ” , determinar su Dominio y Rango

1) f(x) = 3x + 2, x ∈ 2,2

Para los problemas de este tipo, seguir el siguiente método práctico:

¡?=)(/&&%$#

2)

435.0

402

012

)(

x si x

x si

x si x

x f 3)

312

322

22

)( 2

x si x

x si x

x si x

x f

Para los problemas con Valor Absoluto, seguir el siguiente método práctico:

4) f(x) = 2 x + 3 x 5) f(x) = 2 x + 1 x -2x

6) Encontrar: a, b, c, d, Df y R f , en la siguiente función “f”:

a) Reemplazar los valores extremos de “x” en: f(x)

Como: x 2,2 e, y= f(x) = 3x + 2, tendremos:

Con, x= -2,y= f -2)= 3 -2)+2= -4

Con, x= 2,y= f 2)= 3 2)+2 = 8

b) Las parejas de valores encontrados serán los

puntos (x,y) extremos de la función:

(-2,-4) y (2, 8)

c) El grafico dependerá del tipo de ecuación dada

para la función

En este ejemplo, la ecuación presentada es:

Una Recta (cruza al eje vertical en: y=2).

a)

Igualar a Cero (0) lo contenido dentro de los Valores Absolutos para encontrar los valores críticos (V.C.) de “x”

b)

Representar los V.C. de “x” en la Recta numérica y evaluar la

función “f(x) ” en cada intervalo.c)

Lo encontrado en cada intervalo equivale a f(x)

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4)4(

412

11

1

)(

x si f

x sid x

x sic

x sibax

x f

6) Los biólogos han determinado que en condiciones ideales el numero de bacterias“y” en un determinado cultivo, crece exponencialmente de acuerdo al siguiente modelo:y = Aekt

, donde “t” es el tiempo transcurrido en minutos. Si al principio hubo 2000 bacterias y 20 minutos después hay 6000, Cuantas bacterias habrán al final de una hora?

7) La depreciación de una maquina es tal que luego de “t” años, su valor esta dado

por la siguiente función: D (t) = Do e-0.04t, donde Do es el valor inicial. Luego de 20

años, la maquina tiene un valor de US$ 8,986.58. Cuál fue su valor inicial?

8) El número de personas que visitaran un museo de aquí a “x” años esta á dado por

la función: f(x) = 30x2-120x+3000. Cuando se registrara el menor número de visitantesy cuantos serán?

9) El ingreso y Costo totales por la venta de un producto está dado por:It = 10x – 0.5 x2 y Ct = 10 + x respectivamente. Para que valor de “x” se obtiene la

máxima ganancia?

10) Determinar si las siguientes funciones son: Par, Impar o ninguna de ellas:

a) f(x) = 3x4 - 2x2 + 5 b) f(x) = x5 - 3x3c) f(x) = 2

2

1 x

x

11)

1

2 3

4

x

f(x)

Además:

f(-1) = 1/2 y f(1/2) = 1/2

f(x) intercepta al eje “x” en:

x = -2 y x = 5/4

La acidez de un producto se representa por lafunción cuadrática “ f(x)” adjunta, donde “x” es eltiempo en meses desde el día en que se envasó el

producto.Encontrar la función f(x), su Dominio y cuandotendrá su máxima acidez.

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