INTRODUCCIÓN

ORIENTACIONES

• Cálculo Vectorial, divergencia y rotacional. • Corriente en el campo magnético: Fuerza de Lorentz. • Ley de Biot y Savart.• Permeabilidad magnética. • Representación del campo magnético. • Flujo de un campo magnético a través de una superficie.

CONTENIDOS TEMÁTICOS

Estimado alumno, es importante recordar algunos temas importantes de Calculo Vectorial y de Física 3 que sirven de base al curso.

Cálculo Vectorial, Divergencia y Rotacional.

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones.

Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: Mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: Mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: Mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: Relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden. La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

Divergencia

Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

El símbolo representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico. Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Coordenadas cartesianas:

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas:

el resultado es:

Coordenadas ortogonales.

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas resulta:

Para coordenadas esféricas resulta:

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Rotacional

Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Fuente vectorial y escalar.

Al campo vectorial, J, que se obtiene calculando el rotacional de un campo F en cada punto,

se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial:

Expresión en coordenadas cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

Propiedades:

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

Es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.

Fuerza de Lorentz

Forma clásica.

Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por: donde V es la velocidad de la carga, E es el vector intensidad de campo eléctrico y B es el vector inducción magnética. La expresión anterior está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

donde L es la longitud del conductor, I es la intensidad de corriente y B la inducción magnética.

Forma integral.

Si los campos eléctrico E y magnético B no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente J , y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

Fuerza de LorentzForma tensorial

En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadri - vectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

Componentes del cuadrivector fuerza

Componentes del cuadrivelocidad.

Componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:

La ley de Biot – Savart.La ley de Biot - Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias.

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos cerrados, la contribución de un elemento infinitesimal de longitud del circuito recorrido por una corriente I crea una contribución elemental de campo magnético, , en el punto situado en la posición que apunta el vector a una distancia r respecto de quien apunta en dirección a la corriente I:

donde es la permeabilidad magnética del vacío, y es un vector unitario.

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