Semana 13 An

Calculo de valores y vectores propios

Catalina Domnguez,

Universidad del Norte

Maestra en matematicas

Semestre II de 2015

Semana 13

Pgina 1 Semana 13 29 de Octubre de 2015 Domnguez

Matrices simtricas: calculo de valores propios

Matriz de Rotacin

Dado un par j < k y R la matriz

U =fila j

fila k

columna j columna k

1. . .

cos() sin(). . .

sin() cos(). . .

1

U describe la rotacin en el plano xjxk , y adems es unitaria UTU =

I coincide con la identidad excepto en ujj, ukk .


Teorema

Si A es simtrica y real, entonces B = UTAU es real y simtrica y

bjj = ajj cos2 + ajk sin(2) + akk sin

2 ,

bkk = ajj sin2 ajk sin(2) + akk cos

2 ,

bjk = bkj = ajk cos 2+1

2(akk ajj) sin(2),

bij = bji = aij cos+ aik sin, i 6= j, k

bik = bki = aij sin+ aik cos, i 6= j, k

bil = ail, i, l 6= j, k

B y A no coinciden en la filas y columnas j y k y son similares. U es

unitaria (UU = U U = I)

[cos() sin() sin() cos()

] [ajj ajkakj akk

] [cos() sin()sin() cos()

]=

[bjj bjkbkj bkk

]


Ejemplo

A U =

a11 a12 a13 a14a12 a22 a23 a24a13 a23 a33 a34a14 a24 a34 a44

1 0 0 00 cos() sin() 00 sin() cos() 00 0 0 1

=

a11 a12 cos() + a13 sin() a12 sin() a13 cos() a14a12 a22 cos() + a23 sin() a22 sin() a23 cos() a24a13 a32 cos() + a33 sin() a32 sin() a33 cos() a34a14 a42 cos() + a43 sin() a42 sin() a43 cos() a44


Ejemplo

B = UTAU =

a11a12 cos() a13 sin()a12 sin() + a13 cos()

a14

col=1

a12 cos() a13 sin()a22 cos

2() + a33 sin2() 2a23 sin() cos()

a32 cos2() a32 sin

2() + (a22 a33) cos() sin()a42 cos() a43 sin()

col=2

a12 sin() + a13 cos()a23 cos

2() a32 sin2() + (a22 a33) sin() cos()

a33 cos2() + a22 sin

2() + (a22 + a33) cos() sin()a42 sin(+ a43 cos()

col=3

a14a24 cos() a34 sin()a24 sin() + a34 cos()

a44

col=4Pgina 5 Semana 13 29 de Octubre de 2015 Domnguez

Ejemplo

Si

A =

1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7

U =

1 0 0 00 cos() sin() 00 sin() cos() 00 0 0 1

B =

1 3.535 0.707 43.535 8 1 7.7780.707 1 0 0.7074 7.778 0.707 7


Teorema

Si A es simtrica y real, entonces B = UTAU es real y simtrica y

bjj = ajj cos2 + ajk sin(2) + akk sin

2 ,

bkk = ajj sin2 ajk sin(2) + akk cos

2 ,

bjk= bkj = ajk cos 2+1

2(akk ajj) sin(2),

bij = bji = aij cos+ aik sin, i 6= j, k

bik = bki = aij sin+ aik cos, i 6= j, k

bil = ail, i, l 6= j, k

B y A no coinciden en la filas y columnas j y k y son similares. U es

unitaria (UU = U U = I)


Teorema

Para

tan(2) =2ajk

ajj akk, ajj 6= akk

=pi

4, ajj = akk

las componentes

bjk = bkj = 0

N(B)2 = N(A)2 2a2jk

N(M) :=( n

j,k=1j 6=k

|mij |2)1/2

es una medida de la desviacin de

una matrizM con respecto a su

matriz diagonal.

Para matrices normales (AA = AA)

nj=1

|j |2 =

nj=1

|ajj |+ (N(A))2

Idea principal: metodo de Jacobi

Genera una sucesin (Ak)kN demanera queN(Ak) se reduce sucesivamen-te mediante matrices de rotacin, de tal manera que su limite sea una matriz

diagonal, cuyas entradas son valores propios de A.Pgina 8 Semana 13 29 de Octubre de 2015 Domnguez

Dado A0 = A, Q = I ,mientras N(A) >

1 Calcular U

2 Calcular A1 = UTA0U

3 CalcularQ = Q U

4 CalcularN(A1)

5 Si N(A1) > continuartem 1,

de lo contrario

valores propios = diag(A1)vectores propios = Q

tan(2) =2ajk

ajj akk, ajj 6= akk

=pi

4, ajj = akk

tenemos

cos(2) =1

1 + tan2(2)

cos() =

1

2(1 + cos(2))

sin() = sign(tan(2))

1

2(1 cos(2))


Mtodo de Jacobi: Idea principal

Genera una sucesin (Ak)kN tal que

limk

Ak = D = diag(1, 2, . . . , n)

Observe

A0 = A

A1 = U

0A0U0

...

Am+1 = U

mAmUm

= UmU

m1Am1Um1Um

= UmU

m1 U0AU0 Um1Um

= QmAQm

En cada iteracionm

1 Am y A tienen los mismos valores

propios,

2 Cuandom, Am D donde Des una matriz diagonal, cuyas

entradas son los valores propios de A.

3 El par j, k corresponden a la posicin

donde se encuentra la mayor

componente (en modulo) de la matriz

Am1.

4 Las columnas Qm son una

aproximacin de los vectores propios.


Ejemplo: sucesion de matrices en el metodo de Jacobi

A =

2 1 01 2 1

0 1 2

A1 =

1 0 0.7070 3 0.7070.707 0.707 2

,

A2 =

0.634 0.3251 0.00.325 3 0.628

0 0.628 2.366


function [EI,NA,A,iterT] = JacobiEig(A,tol,nmax)

NA = norm(A-diag(diag(A)),fro);

iter = 0;

while NA>=tol && iter k

k0=k; k = j;j = k0;

end

if A(j,j)==A(k,k) %phi=pi/4

cosphi = sqrt(2)/2;

sinphi = sqrt(2)/2;

else

tan2phi = 2*A(j,k)/(A(j,j) - A(k,k));

cos2phi = 1/(sqrt(1+tan2phi^2));

cosphi = sqrt(0.5*(1 + cos2phi));

sinphi = sign(tan2phi)*abs(sqrt(0.5*(1 - cos2phi)));

end

U =[cosphi -sinphi; sinphi cosphi];

B = A;

B(:,j) = A(:,j)*cosphi + A(:,k)*sinphi;

B(j,:) = B(:,j);

B(:,k) = -A(:,j)*sinphi + A(:,k)*cosphi;

B(k,:) = B(:,k);

I = [j,k];

AU = A(I,I)*U;

B(I,I) = U*AU;

A = B;

EI = diag(A); AD = abs(A-diag(diag(A)));

NA = norm(AD,fro);

iter = iter +1;

if NA

Convergencia

1

N(Am) qmN(A0), q :=

(1

2

n(n 1)

)1/2< 1,

por tanto,

N(Am) 0 cuandom

2 Cuando n es grande q 1, en decir la convergencia del mtodode Jacobi es baja, sin embargo,

|j a(m)jj | N(Am), j = 1, . . . , n

3 Mtodo de Jacobi cclico: las componentes no-diagonales son

anuladas siguiendo el orden

(1, 2), . . . , (1, n), (2, 3), . . . , (2, n), (3, 4) . . . , (n 1, n)


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