5.° grado: Matemática

SEMANA 15

DÍA 4

Resolvemos diversas situaciones utilizando ángulo de elevación y depresión

Leemos y observamos las siguientes situaciones

Situación 1 El 9 de diciembre de 1824 este histórico lugarde la serranía del Perú fue escenario de labatalla de Ayacucho, con la que se selló laemancipación. En conmemoración a esteevento histórico, se erigió un imponenteobelisco de 44 m de altura.Luis, que tiene 1,60 m de estatura observadesde un punto la parte más alta de esteobelisco con un ángulo de elevación de 45°.Luego, avanza en dirección al obelisco y loobserva nuevamente desde otro punto, conun ángulo de elevación de 53°.

Determina la distancia entre los dos puntos de observación.

A partir de la situación:

Resolución

Recuerda: Para formar el ángulo de elevación es importante reconocer la línea horizontal y la línea visual.

A

44 m

45°

1,6 m

• Represento los datos y condiciones de la situación.

Desde el punto A trazo una línea visual a la parte más alta del obelisco con un ángulo de elevación de 45°.

A B

44 m

d

53°45°

1,6 m d

Desde el punto B trazo una línea visual a la parte más alta del obelisco un ángulo elevación de 53°.

Línea horizontal

Línea horizontal

Sigo respondiendo

• Me piden calcular la distancia entre los puntos Ay B, es decir, el valor de d.

Recuerda: Para formar el ángulo de elevación es importante reconocer la línea horizontal y la línea visual.

A B

44 m

d

53°45°

1,6 m d

F

C D

• Relaciono los datos que tengo en el triángulo rectángulo FDC y lo expreso en el siguiente gráfico:

E

C d

53°45°

F

C E D

44 m – 1,6 m = 42,4 m

42,4 m

d

53°45°

42,4 m

F

C E D

Recuerda: Triángulo notable

45°k

k 2 45°k

• En el triángulo FDC notable de 45° y 45°, los lados FD y CD tienen la misma medida.

Sigo respondiendo

Recuerda: Triángulo notable

53°3k

5k 37°4k

• En el triángulo notable FDE de 53° y 37°, relaciono la proporción de la medida de sus lados, con los datos obtenidos.

Sigo respondiendo

42,4 m = 4k

d

53°45°

42,4 m

F

C E D3k

5k

42,4 m = 4k42,4m

4= k

10,6 m = k

• Reemplazo el valor de k en el lado ED.

• Observo que CD = CE + ED, es decir:d + 31,8 m = 42,4 m

d = 42,4m – 31,8 md = 10,6 m

La distancia entre los puntos C y E, que es la misma distancia que entre los puntos A y B es 10,6 m.

A B

44 m

53°45°

1,6 m 10,6m

F

CDE

• Del gráfico inicial, tenemos:

Respuesta: La distancia entre los dos puntos de observación es 10,6 m.

Sigo respondiendo

42,4 m = 4k

d

53°45°

42,4 m

F

C E D3(10,6 m) = 31,8 m

5k

Línea horizontal

53°

1,7 m

37°

Altu

ra d

e la

mon

taña

Altu

ra d

el

teod

olito

Base de la montaña

A B1,7 m

105 m

Situación 2 Un ingeniero, para medir la altura deuna montaña, realiza dos observacionesa la parte más alta con la ayuda de unteodolito que está a 1,7 metros dealtura respecto al nivel del suelo. Desdeun primer punto, observa la parte másalta con un ángulo de elevación de 37°.Luego, camina 105 metros en línea rectahacia la base de la montaña y desdeeste nuevo punto, a igual altura que laanterior, lo observa con un ángulo deelevación de 53°.

A partir de la situación, responde:

¿Cuál es la altura de la montaña?

Línea horizontal

53°

1,7 m

37°

Altu

ra d

e la

mon

taña

Altu

ra d

el

teod

olito

Base de la montaña

A B1,7 m

105 m

• Represento los datos y condiciones de la situación.

Línea horizontal

53°

1,7 m

37°

Altu

ra d

e la

mon

taña

Altu

ra d

el

teod

olitoBase de la montaña

A B

TeodolitoEs un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales, sobre todo, horizontales.

Resolución

C

D

• Modelo la montaña con el siguiente triángulo:

Piden la altura de la montaña: x + 1,7 m.

x

105 m

53°

1,7 m

37°

• Observo que al ángulo de 53° y al de 37° se le opone el mismo lado que mide x.

• x debe poder expresarse como 4k y 3k al mismo tiempo, es decir, un número que los contenga a ambos M. C. M. (4k; 3k) = 12k.Entonces, x = 12k .

53°

1,7 m

37°

Altu

ra d

e la

mon

taña

Altu

ra d

el

teod

olito

Superficie terrestre

xC

D

C

D

A B

A

B

Sigo respondiendo

• Busco k en la relación de la medida de los lados del triángulo.

• En el triángulo DCA: relaciono la medida de los lados en el triángulo rectángulo de 53° y 37°.

12k = 4(3k)

105 m

53°

1,7 m

37°

3(3k) = 9k

Busco que 12k tenga una forma de 4 por 3k.

37°

Recuerda:

53°3k

5k37°

4k

• En el triángulo DCB: relaciono la medida de los lados en el triángulo rectángulo de 37° y 53°.

1,7 m

37°

Altu

ra d

el

teod

olito

Superficie terrestre

Altu

ra d

e la

mon

taña

12k = 3(4k)

4(4k)= 16k

53°

Busco que el 12k tenga una forma de 3 por 4k.

A B

C

D

C

DB

Sigo respondiendo

• Reemplazo los valores en la figura inicial y hallo el valor de k.

53°

1,7 m

16°

Altu

ra d

el

teod

olito

Superficie terrestre

Observo que: 9k + 105 m = 16k105 m = 16k – 9k105 m = 7k105 m

7 = k

15 m = k

9k 105 m16k

Altu

ra d

e la

mon

taña

12k

Altura de la montaña = x + 1,7 m

12k

Por lo tanto: x = 12kx = 12(15m) = 180 m

Nos piden la altura de la montaña:x + 1,7 m = 180 m + 1,7 m = 181,7 m

Respuesta: La altura de la montaña es 181,7 m.

BA

C

D

Sigo respondiendo

Gracias