Semana 3

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

b

a

H

COSenA

b

c

H

CACosA

c

a

CA

COTanA

a

b

CO

HCscA

c

b

CA

HSecA

a

c

CO

CACotA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS

Ciclo 2015-II

TRIGONOMETRÍA “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con razones trigonométricas.

Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas.

Razón Trigonométrica: Son aquellos números que

resultan de dividir dos lados de un triángulo

rectángulo.

Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa”

. a2 + b2 = c2

Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo son complementarios”

. A + B = 90º

Definición De Las Razones Trigonométricas Para

Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en

“C”, se establecen las siguientes definiciones:

Sen = Hipotenusa

OpuestoCateto =

ca

Cos = Hipotenusa

AdyacenteCateto = cb

tg = AdyacenteCateto

OpuestoCateto =

ba

Ctg = OpuestoCateto

AdyacenteCateto =

ab

Sec = AdyacenteCateto

Hipotenusa =

b

c

csc = OpuestoCateto

Hipotenusa =

a

c

Razones Trigonométricas Recíprocas

Siendo un ángulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

;

1sec.coscos

1sec

;

1.1

ctgtgtg

ctg

Razones Trigonométricas De Ángulos

Complementarios

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su

suma es un ángulo recto.

En la figura se muestra:

y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b

como y al ángulo opuesto al cateto a como en

consecuencia:

coscb

sen ; sencacos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Semana Nº 3

Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

2


Debido a estas relaciones las co-razones son::

seno y coseno.

tangente y cotangente.

secante y cosecante.

Teorema del complemento

de ocomplementRTcoαRT

Se llaman co–razones trigonométricas una de la

otra.

NOTA:

Si:

1

1

1

CtgTg

SecCos

CscSen

Si: º90 RTcoRT

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

A partir de estos se determinarán otros

adicionales como:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento

mediante el cual se determinan los lados

faltantes de un triángulo rectángulo, en

términos de un lado que sí se conoce; y de un

ángulo agudo que también se conoce.

Criterio:

Casos:

1.

2.

45º

45º

1

1

2

30º

60º

1

2

3

37º

53º

35

4

26º 30'

63º 30'

15

2

8º

82º

1

7

16º

74º

725

24

5 2

22º 30'

67º 30'

14 + 2 2

2 + 1

15º

75º

6 - 24

6 + 2

18º 30'

71º 30'

110

3

30º 37º 45º 53º 60º

Sen 2

1 5

3 2

2

5

4 2

3

Cos 2

3

5

4 2

2

5

3 2

1

Tan 3

3

4

3 1 3

4 3

Cot 3 3

4 1

4

3

3

3

Sec 3

32

4

5 2

3

5 2

Csc 2 3

5 2

4

5

3

32

conocido) .(T.Rconocido Lado

odesconocid Lado

A B

C

L

BCTanL

BC

AC L

AC

I)

II)

A B

C

L ABCot

L

AB

AC L

AC

I)

II)


3


3

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Halle “ctg” del gráfico, si:

BCAB

A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3

RESOLUCIÓN

3n

APM: ctg 3

n

33ctg

RPTA.: B

2. Si ,AD3CD halle: tg

(tomar: sen37º=0,6)

A)

16

1 B)

8

1 C)

8

3 D)

16

3 E)

4

1

RESOLUCIÓN

Se pide:

16

3

k16

k3tg

RPTA.: D

3. Si el triángulo ABC es equilátero. Determine tg.

A)

5

3 B)

6

3 C)

7

3 D)

8

3 E)

9

3

RESOLUCIÓN

k 3 3

tg7k 7

RPTA.: C

A B

C

L BCSenL

BC

L

AB

I)

II)

M

B

A C

120º

B

A C

a

D

3a

CA

53º

D

M

B

A C

2n

2n

3n2 3n 3nP

3n60º

60º60º

30º

4n

30º

n 30º

4n

3n 3

n

A

53º

CD

9K

15K

12K

4K

5K

53º

3K

B

A C

a = 2k

D

3a = 6k

60º

30º60º

8k

60º

7k k

k 3


4


4. Siendo “” y "β" las medidas de 2

ángulos agudos tales que:

1sec.11cos

1csc.cos

Halle: '30º52sen.'30º37tgW

A)1 B) ½ C) 3

2 D) 3 E)

3

3

RESOLUCIÓN

Datos: i) cos11.sec =111= … (I)

ii) 1csc.cos

)º..(90º90csc.º90 IIsen

'30º72

º15º9011:)( IIenI

'30º822

º165

2

º1511:Ien""

Piden:

?'30º52.'30º37 sentgW

2

1º30.º45 sentgW

RPTA.: B

5. En un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 RESOLUCIÓN

Si: ab2c

Si pide: tgtgE

2 2a b a b

Eb a ab

Pero: a² + b² = c²

E = 4ab

ab4

RPTA.: C

6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N

son puntos medios. Determine "cot " .

A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3

RESOLUCIÓN

De la figura: 3Cot

RPTA.: D

7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.

A) 3cos 2Sen

B) 2cos 3Sen

C) 2sen 3cos

D) 3sen 2cos

E) 2sen 3cos

b

ac

B

CD

A

N

M

3

2

x

2a 2a

2a

a

45º

a2

a


5


RESOLUCIÓN

CosSenx 23

RPTA.: D

8. En la figura, halle “X” en términos de ””,

“ ” y “m”.

A) tgctgm

B) m tg ctg

C) 1 tgctgm

D) 1 ctgtgm

E) tgctg.m

RESOLUCIÓN

Del gráfico: mxtgxCtg

x Ctg tg m

1 tgctgmx

RPTA.: C

9. En la figura, halle el perímetro del

rectángulo OABC si se conoce “ ”, y el radio

del cuadrante MON es “r”.

A) 2r sen cos

B) r csc sen

C) r sen cos

D) 2r csc sec

E) 2r sec csc

RESOLUCIÓN

Perímetro del rectángulo

OABC= 2R csc sec

RPTA.: D

PROBLEMA DE CLASE

1) En la figura 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑅𝑀̅̅ ̅̅ ̅// 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ . si 𝑅𝑁̅̅ ̅̅ = 5, el

valor de 𝑁𝑃 ̅̅ ̅̅ ̅en función del ángulo 𝛼 es

a)

5

2(3𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1) b)

5

2(√3𝑇𝑔𝛼 + 1) c)

5

2(𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1)

d) 5

2(√3𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1) e)

2

5(√3𝑇𝑔𝛼 + 1)

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II

2) Si: 𝑇𝑔𝛼 =1

2; 𝑇𝑔𝛽 =

1

3 𝑦 𝑇𝑔𝜃 =

1

7 , hallar 𝑇𝑔(𝛼 +

𝛽 + 𝜃)

A) 3

4 B)

4

3 C) 4 D) 3 E)

22

42

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I

3) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo

mide 12m y uno de sus ángulos agudos mide

30º, el cateto mayor supera el cateto menor

en:

O

r

MA

C

N

B

m

X

x

3

2

Sen3

Cos2

m

X

xctg xtg

r

A

C

B

r Csc

r Sec r Sec

r Csc


6


A) (√3 − 1)𝑚 B) 3(√3 − 1)𝑚 C) 6(√3 − 1)𝑚

D) 5(√3 − 1)𝑚 E) 2(√3 − 1)𝑚

EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - II

4) En la figura BP = 18m y 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ // 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , hallar el

perímetro del triangulo ANP.

A) 72(√3 + 1) 𝑚 B) 37(√3 + 1) 𝑚 C)

17(√3 + 1) 𝑚 D) 27(√3 + 1) 𝑚 E) 47(√3 + 1) 𝑚


5) En la figura, AH = 15cm ; la medida de HM, es:

A) 15√3𝑐𝑚 B)

45

2𝑐𝑚 C)

45

4𝑐𝑚

D) 45𝑐𝑚 E) 45√3

2𝑐𝑚


6) La tangente de un ángulo es √3

3. Hallar el coseno

del complemento de dicho ángulo.

A) 0.86 B) 0.50 C) 0.25 D) 0.43 E) 0.63

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III

7) Calcular la superficie de un triángulo

rectángulo, sabiendo que su hipotenusa vale

54cm y el coseno del ángulo formado por la

mediana y altura relativa a la hipotenusa vale 2

3

A) 108 𝑐𝑚2 B) 216 𝑐𝑚2 C) 443 𝑐𝑚2

D) 486 𝑐𝑚2 E) 426 𝑐𝑚2


8) Si las longitudes de los lados de un triángulo

rectángulo son 8, (x+5) y (x+7) unidades, para

x<3; entonces el seno del mayor ángulo agudo

es:

A) 3

5 B)

8

17 C)

15

17 D)

2

3 E)

4

5


9) Del gráfico adjunto, determinar Cosθ ,

𝑠𝑖 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =5

2𝑅.

A)

1

3 B)

2

3 C) ½ D) ¼ E) ¾


10) Del grafico calcular Tg

A) 3/5 B) 4/9 C) 9/10 D) 5/12 E) 5/14


11) Si: 12.085 CtgTgyCosSen ,

entonces el valor de

º2325º54 22 SenTgSenM ,

es:

A) 1,1 B) 2,1 C) 3,1 D) 4,1 E) 5,1


12) Al calcular: 221'30º674º15 CtgCtgM ,

se obtiene:

A) 349 B) 329 C) 397

D) 329 E) 349


13) Siendo "" angulo agudo, además

Csc (40º -2) = Sec(50º+2).tg(20º+)

Calcular el valor de:

)º20sec().º50cos(

)º10(5

senk

a) 3

25 b)2

25 c)2

23 d) 3

35 e) 25


7


14) Dado el cuadrado ABCD, hallar Tg𝜃, si el área

de los triángulos EAF, FBC y EDC son iguales.

A) 1+√5

2 B)

2−√5

2 C)

3−√5

2 D)

4+√3

2 E)

5−√3

2


15) En el triángulo rectángulo mostrado, si

4

3Tg , entonces el perímetro del triángulo

es igual a

a) 48m b) 96m c) 120m d) 80m e) 192m


16) En un triángulo ABC, AC = 10m, ∡𝐴 = 2∡𝐵 y la

longitud desde el pie de la altura trazada

desde el vértice C hasta el punto B es igual a

15m, luego el ángulo C mide:

A) 8

3 B) 4

3 C) 2

D) 5

2 E) 7

3

EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I

17) En un triángulo isósceles ABC (AB = AC ) se

tiene : 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =3

5 . Calcular TgB

A) 1/5 B) 2/5 C) 2 D) 3/2 E) 3

EXAMEN EXCELENCIA – UNS 2013 - I

18) Si:

3.

4

6.

3.

4

CtgTg

SecTgSen

Tg

;

2,0

Hallar Sen . Cos

A) 1 B) 6 C) 7 D)

6

7 E) 7

6

EXAMEN EXCELENCIA – UNS 2013 - I

19) Si 2

041

40 ySen , hallar

4

Ctg

a) 4

541 b) 4

541 c) 4

341

d) 4

341 e) 4

3


20) En la circunferencia trigonométrica mostrada,

ABCD es un cuadrado. calcular Sen

A)

5

3 B) 5

2 C) 5

22 D) 5

52 E) 2


PROBLEMA DE REPASO

1) Si: sen2x - cos15x = 0, Calcular el valor de:

E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x

a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2

2) Del gráfico que se muestra encontrar el valor

de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es mediana

relativa a la hipotenusa.

A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28

3) El perímetro de un triángulo rectángulo es de

338m. Si la tangente de uno de los ángulos

agudos es 2,4 ¿Cuánto mide el cateto menor?

A) 135,19m B) 146,66m C) 50m

D) 56,33m E) 55m


A M C

B

37°

x

y


8


4) Calcular el perímetro de un triángulo isósceles

en función del lado desigual (b) y uno de sus

ángulos iguales (). A) b (sen + 1) B) b (cos + 1) C) b (tg + 1)

D) b (sec + 1) E) b (csc + 1)

5) La suma de los cuadrados de los catetos de un

triángulo rectángulo es 25. Si además, uno de

los catetos es el doble del otro, el valor de la

suma de los senos de los ángulos agudos del

triángulo rectángulo, es:

a) √5

5 b)

2√5

5 c)

3√5

5 d)

4√5

5 e)

√5

3


6) Si 𝐶𝑜𝑠𝛼 =𝑇𝑔

𝜋

6+𝑆𝑒𝑛

𝜋

3

√1+𝑆𝑒𝑐2𝜋

4

,

Calcular 𝑅 = 𝑆𝑒𝑛𝛼+𝑇𝑔𝛼

𝑆𝑒𝑛𝛼−𝑇𝑔𝛼 , (𝛼 𝑒𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜)

A) 1 B) 0 C) 11 D)-11 E) –1

11


7) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se

tiene que Ctg C = 1.25 ; hallar el valor de la

expresión: 𝑀 = 13 [5𝐶𝑜𝑠𝐶+3𝐶𝑜𝑠𝐴

𝑆𝑒𝑛𝐴+2𝑆𝑒𝑛𝐶]

A) 47 B) 43 C) 37 D) 31 E) 21


8) De la figura adjunta, calcular aproximadamente

AB; sabiendo que 𝐵𝐶 = 10√3 𝑐𝑚

A) 7 𝑐𝑚 B) 14 𝑐𝑚 C) 7√3 𝑐𝑚

D) 14√3 𝑐𝑚 E) 5√3 𝑐𝑚

EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I

9) Se tiene un triángulo rectángulo en el cual la

diferencia entre el semiperímetro y la

hipotenusa es igual a 4. hallar el radio de la

circunferencia inscrita en dicho triángulo.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


10) Sí m 32 ; entonces el valor de

R = tg7º30` - Ctg 7º 30`, en términos de m es:

a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m

11) En un triángulo AB, se tiene:

2m<BCA = m<BAC

Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u

La medida de los lados a y b, respectivamente, son: a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u d) 6u y 6u e) 6u y 3u

12) En la figura mostrada AOD es un cuadrante, M

y P son puntos de tangencia. Determinar

E=(1 – tg)2.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".

Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de

tangencia.

a) 1/3 b) ½ c) d) e) 2 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III

14) Se sabe que: 6

.33

.2

.3

.

tgbSecaSen

y que SecSecbyCscCsca ..

Entonces el valor de

2.2

SecH

, es:

A

P

B0 M

2

2 2 2


9


A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10

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Semana 3