3.er grado: Matemática

SEMANA 5

DÍA 3

Comprendemos la física a través de la matemática

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 3_día 3, páginas 27, 28 y 29.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes iniciaremos respondiendo pregunta(as)

¿Se podrá emplear las funciones cuadráticas para representar la cantidad de personas contagiadas con el coronavirus en mayo del 2020?

¿Cómo representaríamos matemáticamente la caída de un objeto desde cierta altura?

Fuente: El Peruano. (28 de abril de 2020). Segundo Martillazo vs Covi-19. Recuperado de: https://bit.ly/2WrqbmH

Fuente: FISIMAT. (28 de abril de 2020). Caída Libre – Ejercicios Resueltos. Recuperado de: https://www.fisimat.com.mx/caida-libre/

Leemos y observamos la siguiente situación

Manuel es un estudiante muy observador. Él ha realizado el experimento de dejar caer una esferadesde una determinada altura, lo que constituye un movimiento vertical de caída libre.

En este tipo de movimiento vertical, la velocidad inicial es cero y, conforme va transcurriendo eltiempo de la caída libre (en segundos), la velocidad aumenta a razón de 9,8 m/s. El cuerpo estáafectado por la aceleración de la gravedad, que es 9,8 m/s2 en el planeta Tierra.

Con ayuda de un cronómetro (para medir el tiempo en segundos) y una wincha (cinta métrica paramedir la altura en metros), Manuel mide la altura desde la cual deja caer la esfera (la altura estárelacionada con el tiempo que le toma a la esfera llegar hasta el suelo).

Para el experimento de dejar caer libremente una esfera desde una determinada altura, Manuel hallólos siguientes resultados:

El recorrido de una esfera

A partir de ello, responde:

1. ¿Cuál sería la expresión matemática que permite modelar la caída de la esfera?2. Representa la caída de la esfera con una gráfica en el plano cartesiano.

1. Representa el movimiento vertical de caída libre mediante un dibujo.

Un movimiento vertical de caída libre es cuando un cuerpo se deja caer, desplazándose en línea recta vertical con la aceleración constante de la gravedad (g).

Aceleración de la gravedad, es 9,8 m/s2 en el planeta Tierra.

▪ Altura: (h)▪ Velocidad inicial: (V0)▪ Velocidad final: (Vf)

V0 = 0 m/s

Vf = 30 m/s

h

¿Qué es un movimiento vertical de caída libre?

2.° En el dibujo identificamos elementos importantes que debemos recordar durante el proceso, como son:

1.° En la imagen, la persona suelta la esfera, desde el balcón de su casa. En todo momento es atraída a la Tierra y aumenta su velocidad.

Comprendemos la situación

2. ¿Qué datos se consideran en el experimento realizado por Manuel?

Respuesta: Los datos que se consideran son la altura y el tiempo de caída de la esfera.

3. ¿Qué nos piden hallar en la situación?

Respuesta: Una expresión matemática (función) que permite modelar la caída de la esfera ydibujar su gráfica en el plano cartesiano.

4. ¿Cuáles son los datos que se relacionan para modelar la caída de la esfera?

Respuesta: Los datos que se relacionan son altura y tiempo.

Sigamos con otras preguntas que ayudarán a comprender la situación.

Diseñamos una estrategia o plan

1. La caída libre es un caso particular del MRUV donde el cuerpo se deja caer libremente a la superficie de la Tierra con velocidad inicial cero. Entonces, ¿cuál de las estrategias propuestas permite encontrar la función que modele el recorrido dela esfera?

a) Utilizar el ensayo y error.b) Empezar por el final.c) Usar una fórmula.d) Resolver un problema más simple.

Respuesta: La estrategia es usar una fórmula.

2. ¿Qué tipo de gráfico emplearías para representar la caída de la esfera?

a) Diagrama de Vennb) Diagrama de árbolc) Diagrama cartesianod) Diagrama lineal

Respuesta: Emplearía un diagrama cartesiano.

Diagramas de Venn. Se suele recurrir a estos cuando se trata de información acerca de más de dos conjuntos.Diagramas de árbol. Se suelen utilizar en conteos lineales o para hacer listas sistemáticas.Diagramas cartesianos. Son de gran utilidad cuando se requiere representar funciones. Diagramas lineales. Se usan cuando se cuenta con información acerca de una característica de un solo grupo.

Antes de responder, repasemos los tipos de gráficos.

Utilizar el ensayo y error. Tantear es una estrategia muy útil cuando se hace de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se realizan.Empezar por el final. Utilizar el pensamiento regresivo se utiliza generalmente cuando tenemos información de una situación final.Usar una fórmula. Aplicación directa de un modelo validado, aprobado.Resolver un problema más simple. Problema sencillo similar a otro, se pretende buscar una relación o datos parecidos que involucren a la situación.

Antes de responder, revisemos algunas estrategias.

Ejecutamos la estrategia o plan

1. ¿Cuál de las siguientes fórmulas del MRUV (caída libre) te permitirá modelar la caída de la esfera? Justifica tu respuesta. Toma en cuenta que h, es la altura desde la cual cae; t, es el tiempo hasta llegar al suelo; Vo y Vf, son las velocidades al inicio y final de la caída, respectivamente; y g, es la aceleración de la gravedad.

a) Vf = Vo + h∙ t b) ℎ = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 + 𝑔∙𝑡22 c) 𝑉𝑓2 = 𝑉02 + 2∙h∙g

ℎ = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 + 𝑔 ∙ 𝑡22h = Altura recorridag = Aceleración de la gravedadVo = Velocidad inicialVf = Velocidad finalt = Tiempo transcurrido

La situación, nos brinda elementos a tomar en cuenta, la altura (h), es desde el punto donde inicia la caída hasta llegar al suelo, también nos brinda las velocidades inicial y final y por último, la aceleración de la gravedad.

Recuerda:

Respuesta: A partir de la información brindada la fórmula que emplearía es:

2. Si hallas algunos valores con la fórmula de caída libre, ¿los resultados obtenidos serán los mismos queManuel presentó en la tabla? Argumenta tu respuesta.

3.° Identificamos los valores en la fórmula:

h: los valores figuran en la tablag: es 9,8 m/s2

Vo: es igual a 0, al dejar caer una esfera inicia su caída con velocidad 0.

5.° Verificamos valores:

Para t = 1 s:h = 4,9 ∙ t2

h = 4,9 ∙ (1)2

h = 4,9 ∙ 1h = 4,9 ≈ 5

Para t = 3 s:h = 4,9 ∙ t2

h = 4,9 ∙ (3)2

h = 4,9 ∙ 9h = 44,1 ≈ 44

2.° Recordemos la fórmula identificada en la pregunta 1.

Respuesta: Si comparamos los valores obtenidos con los de la tabla son muy similares.

En conclusión, la fórmula es válida.

1.° Observamos en la tabla los valores que nos presenta la situación: tiempo y altura.

4.° Si Vo = 0 y g = 9,8 m/s2,

reemplazamos los valores en:ℎ = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 + 𝑔∙𝑡22𝒉 = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 + (9,8) ∙ 𝑡22h = 0 + 4,9 ∙ t2 = 4,9 ∙ t2

esta fórmula simplificada utilizaremos para verificar los valores obtenidos por Manuel.

ℎ = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 + 𝑔∙𝑡22

3. Escribe la expresión matemática que permite hallar la altura desde la cual cae la esfera. Recuerda que Vo = 0 y g = 9,8 m/s2.

Respuesta: La expresión matemática que permite hallar la altura es: h = 4,9 ∙ t2, como función matemática se expresa así:

Si Vo= 0 y g = 9,8 m/s2:

𝒉 = 𝑽𝒐 ∙ 𝒕 + (𝟗,𝟖)∙𝒕𝟐𝟐h = 0 + 4,9 ∙ t2

h = 4,9 ∙ t2

1.° Verificamos la fórmula obtenida en la pregunta 2.

2.° Determinamos que la fórmulah = 4,9 ∙ t2 es una expresión matemática.

Si h la expresamos como función sería:

Con este valor obtenemos la representación de una función matemática de la forma:

f(t) = 4,9 ∙ t2f(t) = 4,9 ∙ t2

𝒉 = 𝒇 (𝒕)𝒉 = 𝑽𝒐 ∙ 𝒕 + 𝒈 ∙ 𝒕𝟐𝟐

f(t) = 4,9 ∙ t2

4. Calcula algunas alturas empleando la expresión de la función hallada. Luego, organiza los resultados en una tabla como la que usó Manuel.

Para t = 0,5 s:

f(t) = 4,9 ∙ (0,5)2

f(t) = 4,9 ∙ 0,25

f(t) = 1,2

Para t = 4 s:

f(t) = 4,9 ∙ (4)2

f(t) = 4,9 ∙ 16

f(t) = 78,4

Para t = 5 s:

f(t) = 4,9 ∙ (5)2

f(t) = 4,9 ∙ 25f(t) = 122,5

Para t = 6 s:

f(t) = 4,9 ∙ (6)2

f(t) = 4,9 ∙ 36f(t) = 176,4

Tiempo (s) 0,5 4 5 6 …

Altura (m) 1,2 78,4 122,5 176,4 …

2.° Organizamos los valores obtenidos de la altura empleando la función matemática en la siguiente tabla.

f(t) = 4,9 ∙ t2Antes recordemosla función matemática:

1.° Empleamos la función matemática

Hallamos el valor de la altura para los tiempos: 0,5 s; 4 s; 5 s y 6 s.

f(t) = 4,9 ∙ t2

f(t) = 4,9 ∙ t2f(t) = 4,9 ∙ t2

f(t) = 4,9 ∙ t2

f(t) = 4,9 ∙ t2

5. Grafica en el diagrama cartesiano los resultados para la caída de la esfera, relacionando el tiempo y la altura desde la cual se deja caer la esfera.

Tiempo(s) Altura (m)

0 0,0

0,5 1,2

1 5,0

2 19,8

3 44,0

4 78,4

5 122,5

6 176,4

0

25

50

75

100

125

150

175

200

0 1 2 3 4 5 6 7

Fondo celeste, valores presentados por Manuel en la situación

1.° Organizamos los resultados en una sola tabla y usamos esta información para graficar en el diagrama cartesiano.

Fondo blanco, valores obtenidos con la expresión matemática.

2.° Ubicamos los valores en las ejes:Eje Y: altura) Eje X: tiempo

3.° Formamos pares ordenados como: (0; 0); (1; 5), (3; 44) y

graficamos la función f(t) = 4,9 ∙ t2.

Alt

ura

(m

)

Tiempo (s)

Caída de la esfera

f(t) = 4,9 ∙ t2

(0; 0)

(1; 5)

(2; 19,8)

(3; 44)

••

•

1. Describe el procedimiento realizado en Ejecutamos la estrategia o plan.

2. ¿Por qué la gráfica de la función solo muestra valores positivos?

1.° Identifico y defino la fórmula física.

2.° Con los valores de g = 9,8 m/s2 y Vo = 0, hallo la expresión matemática que permite calcular la altura.

3.° Represento la altura en cada instante, mediante el gráfico de la función en el plano cartesiano.

- Porque el tiempo solo considera valores positivos.

- Mientras el tiempo transcurre la altura aumenta

proporcionalmente al cuadrado del tiempo.

Repuesta libre:A manera de ejemplo presentamos el siguiente:

Repuesta libre:A manera de ejemplo presentamos el siguiente:

Reflexionamos sobre lo desarrollado

f(t) = 4,9 ∙ t2

3. Describe otras situaciones de la vida cotidiana que se puedan modelar con una función cuadrática y cuya gráfica resulte una parábola.

Construcción de tanque para agua, lanzamiento del balón de básquet, predecir ganancias y pérdidas en los negocios, construcción de puentes colgantes, antenas parabólicas, entre otros.

Repuesta libre:A manera de ejemplo presentamos el siguiente:

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes con la finalidad de afianzar tusaprendizajes matemáticos te invitamos a revisar el desafíode las páginas 35, 36, 37 y 38 del cuaderno de trabajo deMatemática, Resolvamos problemas 3_día 4 dondeencontrarás otras situaciones similares que deberásresolver.

Días 3 y 4:

Gracias