NMEROS COMPLEJOS

MATEMTICA BSICA II

1

2

NMEROS COMPLEJOS

biaz

Re

Im

a

bi Z=a+bi

Un nmero complejo es cualquier nmero que

puede escribirse en la forma

donde a y b son reales. El nmero real a es la parte real, el nmero b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estndar.

3

Operaciones con nmeros complejos

Sean a + bi y c + di son dos nmeros complejos,

entonces:

Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicacin: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

1)1)(1(

111

1

224

23

2

iii

iiii

iii

iConsiderando que:

4

Ejemplos

Escriba la suma o diferencia en la forma estndar.

1. (2 - 3i) + (3 - 4i)

2. (2 + i) - (9i - 3)

3. ( - 3i) + (-2 + )

4. ( + i2) (6 - )

5 9

7 81

Escriba el producto en la forma estndar.

5. (2 - i)(1 + 3i)

6. (5i - 3)(2i +1)

7. ( + 2i)(6 + 5i)

2

3

2

1

2

3

i8.

5

Conjugado complejo

El conjugado complejo del nmero complejo

z = a + bi es:

z = a + bi = a - bi

As mismo, el inverso multiplicativo o recproco de

z = a + bi es:

bia

bia

biabiazz

1111

iba

b

ba

a

zz

2222

1 1

6

Divisin de nmeros complejos

Escriba los nmeros complejos en la forma estndar.

i3

2

i

i

32

5

1. a) b)

2. i

i

2

2

3. i

ii

25

)21)(2(

4. )21(

)1)(21(

i

ii

7

Soluciones complejas de ecuaciones cuadrticas

La solucin de la ecuacin cuadrtica

ax2 + bx + c = 0,

donde a, b y c son nmeros reales y a 0, estn dadas mediante la frmula:

a

acbbx

2

42

El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este valor es menor que cero, entonces las races sern conjugados complejos.

8

Ejemplos

Resuelva:

012 xx

023 2 xx

85112 xxx

2.

3.

1.

9

Trazo de nmeros complejos

Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y u + v. Comprelo con la traza de vectores.

u = 1 + 3i

Eje real o

v = 2 - i

Eje imaginario

u + v = 3 + 2i

u = 1 + 3i

Eje real

u + v = 3 + 2i

Eje real o v = 2; -1

y

u + v = 3; 2

u = 1; 3

x

La aritmtica es la misma que la suma de vectores.

10

Forma trigonomtrica de los nmeros complejos

Eje imaginario

Eje real a = r cos

b =

r s

en

z = a +bi La forma trigonomtrica del nmero complejo z = a + bi es

)sen(cos irz

Donde: r es el mdulo de z y es un argumento de z

r = |z| = |a + bi| = 22 ba

a

btan

11

Ejemplos

Determine la forma trigonomtrica con 0 2 para el nmero complejo:

ib 43)(

ia 31)(

i31

Eje imaginario

Eje real

i43

Eje imaginario

Eje real

12

Ejemplos

Determine la forma binomial para el nmero complejo de la forma trigonomtrica:

c)

3cis4

3sen

3cos4

iz

d) )36(cis2 z

Note el uso de los grados sexagesimales y radianes

13

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos.

Sean:

)sen(cosy)sen(cos 22221111 irzirz

)](sen)[cos(.. 21212121 irrzz1.

2. )](sen)[cos( 21212

1

2

1 ir

r

z

z

Entonces:

14

)sen(cos)]sen(cos[ ninrirz nnn

Teorema de Moivre

Para elevar un nmero complejo z = r(cos + isen) a una determinada potencia n entera positiva, entonces:

Determine mediante el teorema de Moivre:

1. 8

3

2

2

2

2

)31(

i

i

2.

15

Races de nmeros complejos

Para determinar las races ensimas de un nmero complejo

Si z = r(cos + isen) Los n nmeros complejos distintos son:

n

ki

n

krn

2sen

2cos

donde k = 0, 1, 2, 3, n-1 Son las n-simas races del nmero complejo z.

16

Ejemplos

Determine las races n-simas de las siguientes nmeros complejos y grafquelos.

1. Races cuartas de z = 5(cos(/3) + i sen((/3)).

2. Races cbicas de z = -1.

3. Races octavas de la unidad.