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Lógica 2013.

Semántica del Lenguaje Proposicional.

Miguel Molina

De acuerdo a las discusiones anteriores, uno de nuestros propósitos al construir el

lenguaje formal que estamos introduciendo, era lograr distinguir algunas

inferencias como “correctas”. En nuestro marco, que una inferencia sea correcta

significa que si sus premisas son verdaderas, entonces la conclusión también debe

serlo necesariamente.

Esto es suficiente para mostrar que debemos considerar el problema de asignar

valores de verdad a las proposiciones, ya que necesitamos establecer un criterio

que nos permita distinguir, al menos en ciertos casos1, aquellas inferencias en las

que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, y por otro,

aquellas inferencias en las que puede darse que la conclusión sea falsa aunque las

premisas sean verdaderas.

Es por esto que no basta simplemente con “otorgar” un valor de verdad a todas las

proposiciones, sino que, para nuestros propósitos, esto debe hacerse teniendo en

cuenta algunas restricciones muy fuertes.

Consideremos la siguiente inferencia de cuño platónico:

Si el conocimiento es sensación, entonces los cerdos tienen conocimiento. (Premisa 1)

Los cerdos no tienen conocimiento. (Premisa 2)

El conocimiento no es sensación. (Conclusión)

Alguien podría decir que las dos premisas son verdaderas y que la conclusión es

falsa. Sin embargo, hay algo que rechazamos en esta posibilidad, ya que tenemos la

fuerte intuición de que la inferencia es correcta, es decir que, sin tomar partido

sobre si las premisas son verdaderas o no, no nos parece admisible que SI las

premisas fuesen verdaderas, no lo fuese la conclusión. Es más, supongamos que

alguien nos dice:

Si el conocimiento es sensación, entonces los cerdos tienen conocimiento.

Los cerdos no tienen conocimiento.

1 “En ciertos casos” porque esto depende de la capacidad expresiva del lenguaje que construyamos.

Habrá inferencias correctas cuya corrección no se podrá capturar con el lenguaje de la lógica proposicional, y sí con otros lenguajes más ricos.

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Ni siquiera necesitamos que nos explicite oralmente que su opinión es que el

conocimiento no es sensación. Lo suponemos, porque aceptamos que esa opinión

es consecuencia de lo que ya nos ha dicho. Si luego agregara

El conocimiento es sensación.

entenderíamos que ha habido algún tipo de error. Tal vez, en un caso así,

pensemos que hemos oído mal, o que nuestro interlocutor ha pronunciado mal

alguna oración, o que ha dicho las cosas a la ligera, sin pararse a pensar en sus

dichos. Si le hacemos notar que creemos que hay un error y nuestro interlocutor se

obstina en mantener que las premisas son ambas verdaderas y que la conclusión

(El conocimiento no es sensación) es falsa, no dudaríamos en decir que su

razonamiento no es correcto, que está transgrediendo, de alguna manera, la lógica.

(Ver lectura complementaria: “Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles” de Lewis Carroll).

Ahora bien; ¿qué es lo que nos impide aceptar que existe la posibilidad de que esas

premisas sean verdaderas y a la vez, esa conclusión falsa? De acuerdo a anteriores

discusiones, lo que nos compele a asegurar que bajo la condición de que las

premisas sean verdaderas, la conclusión también lo será, es el comportamiento o

significado que asignamos a la construcción “Si… entonces…” y a la palabra “no”.

Esa construcción y esa palabra, -ambas pertenecientes al lenguaje natural-, son

representadas en nuestro lenguaje formal mediante las conectivas “→” y “¬”, y si

deseamos que esta formalización sea fructífera a la hora de representar las

relaciones entre los valores de verdad que otorgamos a diversas proposiciones –

para poder distinguir algunas inferencias como correctas-, es necesario que, de

algún modo, tengamos en cuenta el comportamiento o significado que asignamos a

las expresiones del lenguaje natural que están aquí representando.

Las cuestiones del significado se consideran en la semántica del lenguaje, que es lo

que abordaremos a continuación. Queda claro por lo tanto que la semántica de

nuestro lenguaje formal deberá ocuparse de la correspondencia entre

proposiciones y valores de verdad, y que deberá hacerlo no de cualquier manera,

sino de acuerdo al comportamiento que esperamos tengan los conectivos lógicos.

Consideremos entonces dos objetos (no entraremos en la discusión filosófica

acerca de la naturaleza de estos objetos) a los que llamaremos “verdadero” y

“falso” que designaremos respectivamente con las letras “V” y “F”, y serán llamados

valores de verdad2.

Las fórmulas “toman” valores de verdad a través de valuaciones, como indica la

siguiente

2 V y F no son, por supuesto, símbolos del lenguaje. Esta presentación de la semántica necesita de estos

dos objetos extralingüísticos (referido al lenguaje objeto).

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Definición 1. Una valuación es una asignación de un único valor de verdad a cada

fórmula del lenguaje.

(Notación: Si A es una fórmula, y v una valuación, representaremos con v(A) el

valor de verdad que la valuación v asigna a la fórmula A.)

Por supuesto, existen infinitas valuaciones; una valuación (a la que podemos

llamar v) es tal que v(A)=V para toda fórmula A; otra valuación u es tal que u(A)=F

para toda fórmula A; otra valuación w es tal que w(A)= V si A es una fórmula en la

que aparece p1 y w(A)=F si A es una fórmula en la que p1 no aparece, etc. Veremos

en breve que ninguna de estas valuaciones tiene relevancia para nuestros

intereses.

Consideremos nuevamente el argumento platónico. Se podrá representar así:

(pq) (Si el conocimiento es sensación, entonces los cerdos tienen conocimiento.)

¬q (Los cerdos no tienen conocimiento.)

¬p (El conocimiento no es sensación.)

Hay infinitas valuaciones que asignan valor V a (pq) y a ¬q, a la vez que asignan

valor F a ¬p. Estas valuaciones no respetan el comportamiento de los conectores que

está en la base del funcionamiento lógico del argumento. Por lo tanto, nuestra tarea

será cumplida observando en cada caso el comportamiento de los conectivos, para

fundar la semántica de nuestro lenguaje formal solamente en aquellas valuaciones

que sí respeten ese comportamiento.

Consideremos la negación. De acuerdo a discusiones previas hechas en el curso, si

una valuación asigna valor V a una fórmula A, esperamos que asigne valor F a la

fórmula A, y esta condición es recíproca. Con respecto a la conjunción, esperamos

que, si una valuación asigna valor de verdad V a las fórmulas A y B, entonces asigne

valor de verdad V a la fórmula (A B), y recíprocamente si (A B) es verdadero,

entonces tanto A como B deben serlo, y hay consideraciones similares para los

restantes conectivos, que ya hemos discutido en un nivel informal.

Las valuaciones que nos interesan realmente son las que cumplen con las

condiciones arriba estipuladas, a las que llamaremos interpretaciones y esto

amerita la siguiente:

Definición 2. Se dice que una valuación I es una interpretación si y solo si cumple

las siguientes condiciones (para fórmulas A y B cualesquiera):

1) I(A) = V si y solo si I(A) =F.

2) I(AB) = V si y solo si I(A) = V y I(B) =V

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3) I(AB) = F si y solo si I(A)=F y I(B) =F.

4) I(A B) = F si y solo si I(A) = V y I(B) =F

5) I(A B) = V si y solo si I(A) = I(B)

Veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente argumento, con su formalización

adjunta:

Existe una ley moral objetiva p

Si existe una ley moral objetiva, entonces hay una fuente de la ley moral

p→q

Si hay una fuente de la ley moral, entonces Dios existe. q→r

Dios existe. r.

(El argumento es de C. S. Lewis, quien al exponerlo, elimina la posibilidad de otras

fuentes de ley moral diferentes de Dios).

Sin importar si consideramos las premisas verdaderas o falsas, es intuitivamente

claro que SI las premisas son verdaderas, entonces la conclusión debe serlo.

Intuitivamente, estamos frente a un argumento válido. Las interpretaciones logran

capturar esa intuición. Supongamos que I es una interpretación que cumple:

I(p) = V

I(p→q) = V

I(q→r) = V

(o sea, que asigna valor de verdad V a todas las premisas)

En ese caso, se cumple que I(r)=V (O sea, I no puede, siendo una interpretación,

asignar valor de verdad F a la conclusión, dado que asignó V a las premisas. Esto es

así porque el argumento es lógicamente correcto.), por lo siguiente:

de I(p) = V y I(p→q)= V

se infiere que

I(q)= V

porque I es interpretación, y tenemos que I(p→q)=V. Mirando cómo tratan las

interpretaciones el condicional, vemos que tiene que darse una de las siguientes

posibilidades:

a) I(p) = I(q)= V;

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b) I(p) = I(q) = F;

c) I(p)=F y I(q)=V.

Pero b) y c) no pueden ser porque tenemos que I(p)=V.

Un razonamiento análogo muestra que siendo

I(q)=V (como acabamos de demostrar)

I(q→r)=V

tiene que ser

I(r)=V

como pretendíamos que sucediese si el sistema se comporta en la forma esperada.

(Queda como ejercicio estudiar el caso del argumento platónico citado arriba).

Es en este sentido que las interpretaciones recogen nuestras intuiciones lógicas.

Es natural por tanto, que aquellas cosas que llamamos a veces “verdades lógicas”,

puedan ser vistas bajo la luz de las interpretaciones. Sin necesidad de hacer viajes

interplanetarios consideramos verdadera la siguiente proposición:

“Hay vida en Urano o no hay vida en Urano”

Considerando este fenómeno bajo la óptica que venimos presentando, resultaría

que esa proposición es traducible por la fórmula (p p).

Es obvio que una interpretación I puede asignar tanto I(p)=V como I(p)=F. Pero si

I(p)=V, como I es interpretación, será I(p p)= V; y si I(p)=F, como I es

interpretación, será I(p)=V, con lo que, recordando nuevamente que I es

interpretación, sabemos que I(p p)= V. Hemos concluido que cualquier

interpretación asigna valor V a la fórmula (p p).

Las fórmulas que cumplen con esa característica, o sea, son verdaderas bajo

cualquier interpretación, se llaman tautologías.

Hay otras fórmulas que reciben el valor F bajo cualquier interpretación. Por

ejemplo, el lector podrá demostrar que (p˄¬p) está en esa condición. Estas

fórmulas se llaman contradicciones. Y aquellas fórmulas que no son ni tautologías

ni contradicciones, (o sea que unas interpretaciones les asignan valor V y otras

valor F) reciben por nombre contingencias.

Nos enfrentamos ahora al problema de determinar si una fórmula dada es una

tautología, una contradicción o una contingencia, y en este último caso, bajo qué

“condiciones” es V y bajo qué “condiciones” es F. Consideremos la fórmula

((pq) p). Intuitivamente parece tratarse de una tautología. Pero ¿cómo

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probarlo? Lo más natural es considerar los valores de verdad que una

interpretación podría otorgar a los “elementos mínimos” o sea, las letras

proposicionales p y q. Esto nos lleva a un estudio por casos que mostramos

enseguida:

La columna correspondiente al conectivo principal de la fórmula, compuesta

únicamente de uves, indica que se trata de una tautología. Hemos analizado todas

las combinaciones posibles de valores de verdad para p y q, y en todas ellas el valor

de verdad asignado a la fórmula es verdadero.

Consideremos ahora ((p v q) p). Un tratamiento similar nos muestra que se

trata de una contingencia:

En este caso la columna bajo el conectivo principal tiene tanto uves como efes, por

lo que la fórmula es una contingencia.

Estos dos ejemplos nos han mostrado dos cosas fundamentales. La primera es un

método sistemático para clasificar fórmulas en tautologías, contradicciones,

contingencias y para determinar en “qué casos” las contingencias son V y en qué

casos son F. Este método se llama “método de tablas de verdad” y fue introducido

por Wittgenstein e, independientemente, por Post. Es importantísimo recordar, al

aplicarlo, que se deben considerar todas las combinaciones posibles de valores de

verdad asignadas a las letras proposicionales. De acuerdo a un hecho básico de

combinatoria, esto resulta en que la tabla de verdad para una fórmula que contenga

n letras proposicionales tendrá 2n renglones. La segunda cosa fundamental que

intuimos en este ejemplo es que una interpretación queda totalmente determinada

una vez que asignamos valor de verdad a todas las letras proposicionales. Con esto

queremos decir que si sabemos que una valuación es una interpretación y

conocemos los valores de verdad que asigna a las letras proposicionales, entonces,

podemos encontrar el valor de verdad que asigna a cualquier fórmula.

((p q) p) V V V V V V F F V V F F V V F F F F V F

((p q) p) V V V V V V V F V V F V V F F F F F V F

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Definición 3. Llamaremos asignación proposicional a una asignación de valores de

verdad a todas las letras proposicionales.

Una asignación proposicional induce una interpretación (es decir que, dada la

asignación proposicional queda determinado el valor de verdad de cualquier

fórmula bajo la interpretación, como demostraremos más adelante) y obviamente

una interpretación “contiene” una asignación proposicional (porque como asigna

valor de verdad a todas las fórmulas del lenguaje, asigna en particular valores a

todas las letras proposicionales del lenguaje).

Esto nos permite, cuando queremos dar una interpretación, dar simplemente una

asignación proposicional. La interpretación quedará inducida por la asignación

proposicional dada.

Notación: Ij es la interpretación inducida por la asignación proposicional j.

Veamos un ejemplo: Consideremos la asignación proposicional j que asigna valor

de verdad V a p y F a todas las demás letras proposicionales. ¿Qué valor de verdad

asigna Ij a la fórmula (p (q p))?

Trabajando como en los ejemplos:

(p ( q p))

V V V F V V

Concluimos que le asigna valor de verdad V, y es claro que podríamos haber

determinado el valor de verdad asignado a cualquier fórmula del lenguaje por la

interpretación inducida por la asignación proposicional dada.

Al final nos extenderemos sobre lo que resulta fundamental ahora: una asignación

proposicional j determina una única interpretación, a la que llamamos Ij, y tanto j

como Ij asignan los mismos valores de verdad a las letras proposicionales. Es decir,

Ij cumple:

es interpretación.

es una extensión de j a todo el lenguaje (es decir, se comporta como j sobre

las letras proposicionales y además da valor de verdad a todas las fórmulas)

es la única extensión de j que es a la vez una interpretación.

Examinemos ahora las “condiciones” bajo las que una proposición es verdadera un

poco más en detalle. Supongamos que un político dice que la educación mejorará si

se dictan más horas de clase y se crean más institutos de enseñanza. Parece claro

que lo que dice no es una verdad lógica ni una contradicción, como podemos

verificar fácilmente con el método visto, una vez traducida la proposición a la

forma ((pq)r):

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Este análisis muestra que esta proposición es una contingencia. Ahora bien, ¿en

qué casos lo que dijo es verdadero? El mismo análisis muestra que:

Es falso si p y q son ambas verdaderas (es decir, si se dictan más horas de clase y

además se crean más institutos de enseñanza) y r es falsa (es decir, si la

educación no mejora). Todas las asignaciones proposicionales en las que p y q

sean verdaderas y r sea falsa, harán falsa la fórmula en su interpretación

inducida.

Es verdadero si p o q son falsas, y también es verdadero en cualquier caso en

que r sea verdadera. Todas las asignaciones proposicionales que hagan p falsa, o

q falsa, o r verdadera (o más de una condición a la vez) harán verdadera la

fórmula en su interpretación inducida.

Definición 4. Las interpretaciones que hacen verdadera una fórmula se llaman

modelos de la fórmula, y las que la hacen falsa se llaman contramodelos de la

fórmula.

Por lo tanto, todas las interpretaciones son modelos de cualquier tautología, así

como son contramodelos de cualquier contradicción.

Para terminar, mostramos la búsqueda de modelos y contramodelos de una

fórmula.

((p q) r)

V V V V V Modelos V V V F F Contramodelos V F F F V Contramodelos V F F F F Contramodelos F V V V V Modelos F V V F F Contramodelos F V F V V Modelos F V F F F Contramodelos

((p q) r) V V V V V V V V F F V F F V V V F F V F F F V V V F F V V F F F F V V F F F V F

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Se observa que hemos encontrado tres filas que indican modelos y cinco que

indican contramodelos. Sin embargo, todas las interpretaciones existentes son o

bien modelos o contramodelos, no solamente ocho de ellas. Lo que la tabla nos

indica es:

(Primer renglón): Las infinitas interpretaciones inducidas por las asignaciones

proposicionales que cumplen j(p) = j(q) = j(r) = V –sean cuales sean los valores que

asignen a las restantes letras proposicionales- son modelos de ((p q) r).

(Quinto renglón): Las infinitas interpretaciones inducidas por las asignaciones

proposicionales que cumplen j(q) = j(r) = V, j(p) = F - sean cuales sean los valores

que asignen a las restantes letras proposicionales- son modelos de ((p q) r).

(Séptimo renglón): Las infinitas interpretaciones inducidas por las asignaciones

proposicionales que cumplen j(p) = j(q) =F, j(r)=V - sean cuales sean los valores

que asignen a las restantes letras proposicionales- son modelos de ((p q) r).

Todas las demás interpretaciones son contramodelos de ((p q) r).

Precisión sobre la relación entre una asignación proposicional j y su interpretación

inducida Ij:

Podemos profundizar un poco más la relación entre asignaciones

proposicionales e interpretaciones. Vamos a demostrar que dada una asignación

proposicional j, hay una única interpretación Ij que asigna a las letras

proposicionales el mismo valor de verdad que j. Supongamos que tenemos una

asignación proposicional j. ¿Habrá al menos una interpretación que asigne los

mismos valores de verdad a las letras proposicionales que j? La respuesta es

positiva, y se puede razonar así: Dada una fórmula cualquiera, veremos que, una

vez dada la asignación de letras proposicionales, hay una única manera de

asignar valores de verdad a sus subfórmulas de manera que se respeten las

reglas que rigen la interpretación (podemos pensarlo como si tomamos la

fórmula, hacemos el árbol de formación, y asignamos los valores de verdad

dados por la asignación proposicional a sus nodos terminales, y luego vamos

asignando valores de verdad a los siguientes nodos según las reglas de la

interpretación, hasta que asignamos valor a la fórmula que está en la raíz). Si

asignamos a cada fórmula el valor de verdad obtenido por ese procedimiento, es

obvio que obtenemos una interpretación como la buscada. Por otro lado,

podemos demostrar que hay una única interpretación que asigna a las letras

proposicionales el mismo valor de verdad que j: Diremos que dos

interpretaciones coinciden sobre un conjunto de fórmulas si asignan el mismo

valor de verdad a todas las fórmulas de ese conjunto. Llamemos LP al conjunto

de todas las letras proposicionales, y FOR al conjunto de todas las fórmulas del

lenguaje. Entonces, lo que venimos diciendo se puede resumir en que si dos

interpretaciones coinciden sobre LP (asignan el mismo valor de verdad a cada

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letra proposicional), entonces coinciden sobre FOR (asignan el mismo valor de

verdad a todas las fórmulas del lenguaje, o sea, son, en realidad, la misma

interpretación). Esto puede mostrarse a través del siguiente argumento.

Supongamos dos interpretaciones L y M que coinciden sobre LP. Llamemos el

grado de una fórmula A al número de conectivas que tiene, y notémoslo como

gr(A). Así, gr(p)=0; gr(p↔¬q)=2, etc. Supongamos por un momento que L y M

no coinciden sobre FOR, o sea, hay algunas fórmulas a las que las dos

interpretaciones les asignan valores de verdad diferentes. Consideremos todas

esas fórmulas donde no coinciden, y elijamos una que tenga el grado mínimo

entre las que en ese conjunto se encuentran. Llamémosla A. A no es de grado 0,

porque las fórmulas de grado 0 son las letras proposicionales y allí coinciden

ambas interpretaciones. Entonces A tiene las siguientes posibilidades:

i) Es de la forma ¬X. Pero esto no puede ser, ya que el grado de X es menor

que el grado de ¬X, con lo que L y M deben coincidir sobre X. Pero si

coinciden sobre X, al ser interpretaciones, deben coincidir sobre ¬X 3.

ii) Es de la forma (X Y). No puede ser, ya que el grado de X e Y es menor

que el grado de (X Y), con lo que L y M deben coincidir sobre X y sobre

Y. Pero si coinciden sobre X y sobre Y, al ser interpretaciones, deben

coincidir sobre (X Y).

iii) Es de la forma (X Y). No puede ser, ya que el grado de X e Y es menor

que el grado de (X Y), con lo que L y M deben coincidir sobre X y sobre

Y. Pero si coinciden sobre X y sobre Y, al ser interpretaciones, deben

coincidir sobre (X Y).

iv) Es de la forma (X Y). No puede ser, ya que el grado de X e Y es menor

que el grado de (X Y), con lo que L y M deben coincidir sobre X y sobre

Y. Pero si coinciden sobre X y sobre Y, al ser interpretaciones, deben

coincidir sobre (X Y).

v) Es de la forma (X Y). No puede ser, ya que el grado de X e Y es menor

que el grado de (X Y), con lo que L y M deben coincidir sobre X y sobre

Y. Pero si coinciden sobre X y sobre Y, al ser interpretaciones, deben

coincidir sobre (X Y).

Como ninguna de las posibilidades es admisible, debemos concluir que las

interpretaciones no difieren en ninguna fórmula, es decir, que en realidad, se trata

de una única interpretación.

3 Estrictamente debería decirse que coinciden sobre el conjunto {X}, pero por comodidad decimos que

coinciden sobre X.

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Resumen:

La semántica del lenguaje de la lógica proposicional tiene como eje central la

asignación de valores de verdad a todas las fórmulas del lenguaje atendiendo

al cumplimiento de restricciones que definen el comportamiento de los

conectivos.

Las valuaciones que verifican esas restricciones son las interpretaciones.

Estas quedan determinadas a través de una asignación proposicional, o sea,

de una asignación de valores de verdad a las letras proposicionales. Cada

asignación proposicional induce una única interpretación.

Si una interpretación I cumple que I(A)=V, siendo A una fórmula, se dice que I

es un modelo de A. En caso contrario, se dice que I es un contramodelo de A.

Las fórmulas para las que todas las interpretaciones son modelos, se llaman

tautologías, las fórmulas para las que todas las interpretaciones son

contramodelos se llaman contradicciones, y las restantes fórmulas se llaman

contingencias.

La idea intuitiva de las “condiciones” bajo las que una proposición es

verdadera, queda recogida, al reflexionar sobre nuestro lenguaje formal, en la

noción precisa de modelo.

El método de las tablas de verdad permite hallar sistemáticamente los

modelos y contramodelos de cualquier fórmula dada.