Upload
vuongkhuong
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIDAD IZTAPALAPA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE PROCESOS E HIDRÁULICA
LICENCIATURA DE INGENIERÍA EN ENERGÍA
SEMINARIO DE PROYECTOS I Y II
TEMPERATURAS TRANSITORIAS EN SISTEMAS GEOTÉRMICOS
APLICANDO LA APROXIMACIÓN DE VERNOTTE-CATTANEO
PRESENTADO POR:
NELLY PALACIOS GUEVARA.
México, D.F. Mayo del 2009.
ASESOR
Dr. Espinosa Paredes Gilberto
COORDINADOR
M.C. Torijano Cabrera Eugenio Fabián
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 1
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios por haberme permitido alcanzar un objetivo más en mi vida profesional.
A mis padres, quienes me han heredado el tesoro más valioso que puede dársele a un hijo:
Amor. A quienes sin escatimar esfuerzo alguno, han sacrificado gran parte de su vida para
formarme y educarme. A quienes la ilusión de su vida ha sido convertirme en persona de
provecho. A quienes nunca podre pagar todos sus desvelos ni aun con las riquezas más
grandes del mundo. Por esto y más… Gracias.
Agradezco a R.G.A por su valiosa ayuda y apoyo en todos los momentos que pudieron ser
difíciles.
Quiero agradecer en especial a mi asesor Dr. Gilberto Espinosa Paredes por su valiosa
colaboración, orientación y acertados comentarios durante la realización de este trabajo de
investigación.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 2
RESUMEN
Este documento presenta el desarrollo, solución numérica de un modelo de conducción de
calor transitorio en dos dimensiones aplicando como ecuación constitutiva la aproximación
de Vernotte-Cattaneo. El modelo se desarrolla en un sistema geoenergético constituido por
un pozo geotérmico (también se puede aplicar a pozos petroleros) para determinar la
distribución de temperaturas axial y radial en condiciones transitorias durante procesos de
circulación del flujo de perforación y de recuperación térmica.
El modelo clásico de conducción de calor usa como ecuación constitutiva la ecuación de
conducción de calor de Fourier y para un sistema isotrópico tiene la siguiente forma:
k Tq
la cual ha sido ampliamente aplicada para resolver y entender una gran cantidad de
problemas de las ciencias y la tecnología. La ecuación de conducción de Fourier presenta
buenos resultados para sistemas homogéneos en general, pero llega a fallar cuando los
sistemas de estudio son heterogéneos (como el caso que nos ocupa en este trabajo un
sistema geoenergético) o cuando existen excursiones de temperaturas grandes. Además la
ecuación de Fourier produce una ecuación de tipo parabólico cuya velocidad de
propagación de la onda de temperatura es infinita, lo cual físicamente es imposible. Para
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 3
eliminar estas posibles fallas de la ecuación de Fourier en este trabajo se explora la
aplicación de la ecuación de Vernotte-Cattaneo:
0 k Tt
donde el parámetro 0 es un tiempo de relajación y una de sus interpretaciones físicas es el
tiempo en que las partículas se “re-ordenan” debido a efectos de no equilibrio
termodinámico. La aplicación de esta ecuación en la ecuación de energía produce una
ecuación de onda de tipo hiperbólica. En la ecuación de Fourier el fenómeno se explica
como un proceso difusivo donde el flujo de calor se transporte en la dirección del gradiente
negativo de la temperatura, mientras que con la ecuación de Vernotte-Cattaneo la velocidad
de propagación de la onda de temperatura es igual a 1/ 20( / ) .
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 4
CONTENIDO
Resumen 2
Figuras y Tablas 6
Nomenclatura 7
Capítulo I Introducción
I.1 Descripción del problema 10
I.2 Antecedentes 13
I.3 Justificación 22
I.4 Objetivo general 23
I.5 Alcance 23
Capítulo II Energía Geotérmica
II.1 Energía geotérmica 25
II.2 Energía geotérmica en México 26
II.3 Tecnología de perforación de pozos geotérmicos 29
II.4 Descripción fenomenológica 33
Capítulo III Ecuación de conducción de calor aplicando Vernotte
– Cattaneo
III.1 Preliminares 38
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 5
III.2 Procedimiento para obtener la ecuación de onda 39
Capítulo IV Solución numérica
IV.1 Método de volumen de control 44
IV.2 Desarrollo 46
Capítulo V Conclusiones 52
Apéndice A Alternativa de Solución Numérica 54
Apéndice B Algoritmo de la Matriz Tridiagonal 56
Referencias 57
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 6
LISTA DE FIGURAS Y TABLAS
Figura 1: Yacimiento geotérmico típico.
Figura 2: Proceso de un pozo de petróleo.
Figura 3: Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control.
Figura 4: Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control y la frontera próxima.
Tabla 1: Capacidad instalada por tipo de generación al mes de agosto de 2008.
Tabla 2: Capacidad geotérmica mundial instalada para generación de energía eléctrica,
2007.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 7
NOMENCLATURA
Cp calor específico (J / Kg K)
CV volumen de control
D profundidad (m)
h coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2.K)
k conductividad térmica (W/m·K)
q calor (J)
r radio (m)
Ten temperatura de la entrada ( K )
TD temperatura de profundidad ( K )
Ts temperatura de superficie ( K )
T1 temperatura dentro de la tubería de perforación ( K )
T2 temperatura de la pared de la tubería de perforación ( K)
T3 temperatura a la entrada de la pieza anular ( K)
T4 temperatura en la formación ( K )
T (z, r, t) temperaturas como función de la posición axial, radial y del tiempo
t tiempo (s)
vz,1 velocidad del flujo a la entrada de la tubería de perforación (m/s)
vz,2 velocidad del flujo en la pieza anular (m/s)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 8
Δr cambio en la dirección radial
T gradiente de temperatura
0 tiempo de relajación
α difusividad térmica (m2/s)
μ viscosidad dinámica (Pa.s)
ρ densidad (kg/ m3
)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 9
Capítulo I
Introducción
En este capítulo se presenta la descripción del problema de estimación de temperaturas de
yacimientos geotérmicos, lo cual motivo el desarrollo del presente trabajo de investigación.
Se presenta la justificación, el objetivo general y el alcance.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 10
I.1 Descripción del problema.
La temperatura imperturbada o temperatura de formación es uno de los parámetros más
importantes de los sistemas geotérmicos que necesitan ser estimados para definir la
factibilidad de explotación de los recursos geotérmicos para generación de electricidad o
algún otro proceso de aplicación de calor (Grant et al., 1982; Múlas et al., 1985; Freeston,
1996).
El conocimiento de las temperaturas de formación de los yacimientos geotérmicos puede
beneficiar a una amplia variedad de actividades geotérmicas, tales como:
i. localización de regiones de influjo o zonas con pérdidas de circulación,
ii. estimación de reservas de calor en un yacimiento geotérmico,
iii. evaluación de gradientes geotérmicos,
iv. interpretación de registros,
v. evaluación de conductividades térmicas de la formación “in-situ”.
Normalmente, las temperaturas de formación son obtenidas a partir de la información
generada durante las actividades de perforación y terminación de los pozos geotérmicos.
El conocimiento preciso (desde el punto de vista de la ingeniería) de las temperaturas de
formación ha sido identificado como uno de los problemas que la industria geotérmica
necesita resolver. Esta información se aplica para un buen diseño de los programas de los
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 11
fluidos de perforación y lechadas de cementación. Así también, para decidir cuando la
perforación debe detenerse o continuar (Davies et al. 1994; Takahashi et al., 1997).
Además, un mejor entendimiento de las temperaturas de formación es también requerido
para una predicción más precisa del historial térmico del pozo, durante y después de las
operaciones de perforación (Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Arnold, 1990).
El historial térmico depende de diferentes aspectos entre ellos el conocimiento preciso de
las propiedades físicas de la formación (normalmente son sistemas heterogéneos), las
maniobras durante la perforación del pozo como son profundidades, tiempos de circulación,
tiempos de paro o recuperación térmica, problemas técnicos, entre los más importantes.
El modelo clásico de conducción de calor usa como ecuación constitutiva la ecuación de
conducción de calor de Fourier y para un sistema isotrópico tiene la siguiente forma:
k Tq
la cual ha sido ampliamente aplicada para resolver y entender un gran cantidad de
problemas de las ciencias y la tecnología. La ecuación de conducción de Fourier presenta
buenos resultados para sistemas homogéneos en general, pero llega a fallar cuando los
sistemas de estudio son heterogéneos (como el caso que nos ocupa en este trabajo un
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 12
sistema geoenergético) o cuando existen excursiones de temperaturas grandes. Además la
ecuación de Fourier produce una ecuación de tipo parabólico cuya velocidad de
propagación de la onda de temperatura es infinita, lo cual físicamente es imposible. Para
eliminar estas posibles fallas de la ecuación de Fourier en este trabajo se explora la
aplicación de la ecuación de Vernotte-Cattaneo:
0 k Tt
donde el parámetro 0 es un tiempo de relajación y una de sus interpretaciones físicas es el
tiempo en que las partículas se “re-ordenan” debido a efectos de no equilibrio
termodinámico. La aplicación de esta ecuación en la ecuación de energía produce una
ecuación de onda de tipo hiperbólica. En la ecuación de Fourier el fenómeno se explica
como un proceso difusivo donde el flujo de calor se transporte en la dirección del gradiente
negativo de la temperatura, mientras que con la ecuación de Vernotte-Cattaneo la velocidad
de propagación de la onda de temperatura es igual a 1/ 20( / ) .
El problema que se plantea en este trabajo es establecer las diferencias del comportamiento
transitorio durante circulación del flujo de perforación y recuperación térmica para
diferentes tiempos de relajación usando la ecuación de de Venotte-Cattaneo y comparar los
resultados obtenidos con la ecuación de conducción del calor de Fourier.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 13
I.2 Antecedentes
Las temperaturas de formación en un pozo geotérmico en construcción se pueden inferir a
partir de: (i) de las temperaturas de entrada y salida de los fluidos de perforación, (ii) los
registros de temperatura, (iii) correlaciones, y (iv) del análisis de inclusiones fluidas.
En la primera situación, las temperaturas de entrada y salida de los fluidos de perforación se
utilizan para estimar las temperaturas de formación mientras se perfora (Takahashi et al.,
1997; Osato et al., 2003). En este caso, el error de la temperatura de formación estimada
tiende a ser grande a profundidades mayores de 1000 m y se utilizan las temperaturas de
fondo de pozo para mejorar la estimación de las temperaturas de formación.
En la segunda situación, las temperaturas del pozo son usualmente obtenidas a partir de los
registros de temperatura tomados con el pozo lleno de lodo y estático, y entonces los
métodos analíticos son utilizados para inferir las temperaturas de formación (Dowdle y
Cobb, 1975; Hasan y Kabir, 1994; Ascencio et al., 1994). Sin embargo, los valores
obtenidos de las temperaturas de formación por estos métodos analíticos son
aproximaciones de tipo conductivo y son menores que las temperaturas iniciales o de
formación (Nielsen et al., 1990; Santoyo et al., 2000).
Para la mayoría de las actividades comerciales de perforación, las mediciones de
temperatura en el fondo de pozo se hacen empleando instrumentos de medición directa
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 14
(Ikeuchi et al., 1998; Wisian et al., 1998). Estas temperaturas de fondo de pozo se registran
poco después de que la perforación o circulación se ha detenido y, por ende, son por lo
general menores que las temperaturas de formación.
Algunos estudios (Dowdle y Cobb, 1975; Drury, 1984; Deming, 1989; Hasan y Kabir,
1994; Ascencio et al., 1994) indican que la subestimación de las temperaturas de formación
es por: (i) la duración de la circulación de los fluidos, (ii)la naturaleza del proceso de
intercambio de calor que ocurre durante la perforación del pozo, (iii)la invasión del fluido
de perforación a la formación (pérdidas de circulación) y (iv) la tecnología de perforación
empleada.
En la tercera situación, el uso de correlaciones desarrolladas por el American Petroleum
Institute (API, 1990) y por Farris (1941) han presentado limitaciones en la predicción de
temperaturas en pozos geotérmicos (Kutasov y Targhi, 1987). Estas correlaciones
usualmente sobreestiman las temperaturas, debido a que fueron originalmente desarrolladas
para la industria de perforación petrolera, la cual difiere notablemente de los procesos de
transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en la perforación geotérmica.
En la cuarta situación, el análisis de inclusiones fluidas encontradas en recortes de
perforación o muestras del núcleo pueden ser evaluados para inferir la temperatura de
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 15
formación inicial. Sin embargo, estas prácticas de la industria de perforación geotérmica
suelen ser muy costosas (Fujino y Yamasaki, 1985).
A la fecha, los métodos para estimar las temperaturas perturbadas o de formación pueden
ser divididos en dos clases:
1) Métodos simples o analíticos, que se concentran en la parte profunda del pozo
donde se llevan a cabo las mediciones y son usualmente de naturaleza conductiva
(Dowdle y Cobb, 1975; Middleton, 1979; Roux et al., 1979; Kritikos y Kutasov,
1988; Hasan y Kabir, 1994; Ascencio et al., 1994; Hyodo y Takasugi, 1995).
2) Métodos de simulación, que intentan reproducir la historia térmica completa del
pozo y la formación circundante (Raymond, 1969; Kéller et al., 1973; Wooley,
1980; Marshall y Bentsen, 1982; Luhesi, 1983; Arnold, 1990; Beirute, 1991;
Takahashi et al., 1997; García et al., 1998ª; García et al., 2000; Espinnosa- Paredes
et al., 2001; García et al., 2002; Osato et al., 2003).
En base a esta clasificación, algunos estudios relevantes para el desarrollo del presente
trabajo de investigación, son descritos brevemente a continuación.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 16
Métodos analíticos.
El retorno al equilibrio se obtiene de los registros de temperatura y los métodos analíticos
se usan para estimar las temperaturas de formación. En estos métodos analíticos, la
estimación de las temperaturas de formación se realiza basándose normalmente en una
regresión lineal por mínimos cuadrados a un conjunto de unos cuantos pares de datos de
temperatura de reposo y el tiempo definido en cada método, y a una sola profundidad del
pozo.
La estimación de temperaturas de yacimiento se ha efectuado tradicionalmente empleando
el método de Horner (Dowdle y Cobb, 1975). Sin embargo, este método tiende a
subestimar las temperaturas reales de los yacimientos. Por otro lado, este método es de tipo
conductivo y no puede aplicarse de forma adecuada donde existen pérdidas parciales o
totales de circulación, ya que este fenómeno da lugar a la transferencia de calor por el
mecanismo de convección, el cual queda fuera del alcance del método.
El método de la esfera (Ascencio et al., 1994) también es de tipo conductivo y elimina en
cierta medida el problema de subestimación del método de Horner porque considera un
modelo de flujo de calor radial-esférico a fondo de pozo. Sin embargo, al igual que el
método de Horner, el método de la esfera también se ve limitado en donde existen pérdidas
de circulación por el transporte de calor convectivo. Por otro lado, el método no requiere
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 17
del conocimiento explícito del tiempo de circulación, de manera que es aplicable en
aquellos pozos con pérdidas parciales y totales de circulación.
El método de la esfera ha sido probado con datos de diversos pozos, dando frecuentemente
resultados superiores a los de Horner (Dowdle y Cobb, 1975), a los del método mejorado
de Horner (Roux et al., 1980), y a los del método de Hasan y Kabir (1994).
Métodos de simulación.
El método de simulación requiere modelar los procesos de flujo de fluidos y calor, dentro y
fuera del pozo durante la perforación o circulación del fluido de perforación y el
subsecuente calentamiento a pozo cerrado. El modelo resultante consiste de ecuaciones
diferenciales parciales en régimen transitorio que deben ser resueltas para todo el pozo,
empleando una gran cantidad de información acerca del proceso de perforación o
circulación y de paro subsecuente, de la geometría del pozo, del flujo y propiedades del
lodo de perforación, de las pérdidas de circulación, entre otras (Cao et al., 1988). Muchas
veces, esta información es conocida solo parcialmente, lo cual limita la exactitud de las
estimaciones.
En el pasado, se han desarrollado simuladores numéricos para proporcionar una
aproximación a la solución del problema de transferencia de calor asociado con las
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 18
operaciones de perforación y terminación de pozos geotérmicos. Algunos de estos
simuladores han sido desarrollados mediante el acoplamiento de un modelo de flujo de
calor cuasi-estable en el pozo con un modelo conductivo de calor completamente transitorio
para la formación (Raymond, 1969; Arnold, 1990; García et al., 1998b).
Otros simuladores numéricos han sido desarrollados para mejorar la predicción de
temperaturas mediante el acoplamiento de un modelo de flujo de calor transitorio en el
pozo con un modelo conductivo de calor transitorio para la formación (Kéller et al., 1973;
Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Beirute, 1991, García et al., 1998 a, b; Espinosa-
Paredes et al., 2001). Aunque estos simuladores numéricos mejoraron el análisis térmico
del problema de transferencia de calor, no reprodujeron satisfactoriamente los registros de
temperatura medidos durante la perforación y terminación de los pozos geotérmicos. El
fenómeno de pérdidas del fluido de perforación hacia la formación ó pérdidas de
circulación, fue identificado como responsable de la predicción insatisfactoria de los
registros de temperaturas del pozo.
Evidentemente, el fenómeno de pérdidas de circulación es muy importante en la estimación
precisa de las temperaturas de formación. Este fenómeno implicó que los efectos
convectivos debieran ser incluidos en el modelo de transferencia de calor de la formación y
dio origen al desarrollo de nuevos modelos matemáticos que tomaron en cuenta las
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 19
pérdidas de circulación y el flujo de calor convectivo dentro de la formación (Luhesi, 1983;
Takahashi et al., 1997; García et al., 1998 a; García et al., 2000; García et al., 2002).
Con respecto a estos nuevos modelos desarrollados, podemos decir, que la estimación de
temperaturas de yacimiento por el método de simulación, presenta dos alternativas en razón
de la información medida durante la perforación y terminación de un pozo geotérmico: las
temperaturas de entrada y salida de los lodos de perforación, y los registros de temperatura
tomados con lodos.
La primera alternativa fue explorada por Takahashi et al., (1997), resultando en un modelo
de estimación de temperaturas de yacimiento que empleo las temperaturas de entrada y
salida de los lodos a lo largo del pozo, las cuales fueron pre-calculadas empleando el
mismo simulador para ser alimentadas como información de entrada. En el modelo, un
proceso iterativo es ayudado por el algoritmo de optimización no lineal modificado de
Levenberg –Marquardt (Marquardt, 1963). Este modelo considera el proceso de pérdidas de
circulación como un término fuente de masa y energía en el cálculo del yacimiento, donde
el flujo del fluido obedece la ley de Darcy. El modelo está limitado a pozos con pérdidas
parciales de circulación ya que de otra manera no se tendría lodo de perforación a la salida
del pozo ni su temperatura para validar el modelo.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 20
En términos matemáticos el problema es de tipo inverso (ill posed o mal planteado) ya que
no se conoce la condición inicial del modelo, la cual es justamente la temperatura de
yacimiento y la solución no es única pues posee una infinidad de soluciones. Con lo
anterior se puede observar que el problema es bastante complejo.
La segunda alternativa (García et al., 2002) consideró el uso de los registros de temperatura
para validar el modelo, ajustando las temperaturas simuladas a los registros medidos de
temperatura. En este caso, el problema también es de tipo inverso y consiste en modelar y
simular el proceso de circulación y paro subsecuente a lo largo de todo el pozo, partiendo
de una condición inicial supuesta (la temperatura de yacimiento) y ajustar por mínimos
cuadrados no lineales las temperaturas simuladas y medidas. El proceso iterativo se basa en
un algoritmo de optimización no lineal, entre los que se encuentra el algoritmo modificado
de Levenberg-Marquardt, el cual también fue usado por Takahashi et al. (1997).
Esta segunda alternativa de simulación puede ser utilizada en pozos con pérdidas de
circulación totales ya que los registros de temperatura se toman a pozo cerrado, con
profundidad fija y con lodos de perforación.
Recientemente, Osato et al. (2003) modificaron el trabajo de Takahashi et al. (1997) y
estimaron las temperaturas de formación utilizando las temperaturas de entrada y salida del
lodo durante la perforación. Los autores reemplazaron el código GEOTEMP3 y el
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 21
algoritmo de inversión MWDTEMP2 (desarrollados por Takahashi) por los códigos
comerciales conocidos como TOUGH2 y MINC para extender su trabajo a un medio
poroso fracturado. Los resultados de este trabajo fueron similares a los obtenidos por
Takahashi et al. (1997).
Dentro de los primeros modelos matemáticos que tomaron en cuenta las pérdidas de
circulación y el flujo de calor convectivo dentro de la formación, se encuentra el
desarrollado por García et al. (1998 a). En este trabajo se describe en forma detallada el
modelo matemático del simulador numérico denominado GEOTRANS, desarrollado para
predecir la distribución de temperaturas transitorias en y alrededor de un pozo geotérmico
durante los procesos de circulación y paro, en presencia de pérdidas de circulación.
En resumen, la formulación matemática del modelo del GEOTRANS consiste de un
conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de transferencia de calor en dos dimensiones
en coordenadas cilíndricas y régimen transitorio. Desde un punto de vista matemático la
formulación es un problema de valores a la frontera con condiciones iniciales, cuya
solución es la distribución de temperaturas como función de la posición axial, radial, y del
tiempo T (z, r, t). La ecuación de conservación de masa considera flujo incompresible en la
dirección axial y radial.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 22
La interfaz pozo-formación se considera como un medio poroso ficticio, a través de la cual
el fluido se pierde hacia la formación. La formación matemática es genérica y versátil,
debido a que se puede simular cualquier pozo geotérmico vertical, con la posibilidad de
seleccionar las pérdidas del fluido de perforación en cualquier punto del pozo. El modelo
también considera la posibilidad de que el fluido de perforación sea una mezcla de aire y
lodo o simplemente agua. La fracción volumétrica del aire contenida en la mezcla bifásica
se utiliza para estimar las propiedades físicas efectivas de la mezcla para el fluido de
perforación y con la porosidad se estiman las propiedades físicas efectivas de la formación,
los coeficientes de transferencia de calor se corrigen con la porosidad para obtener valores
más realistas. En condiciones de paro de circulación, el fluido de perforación está estancado
y bajo esta condición de operación del pozo, el mecanismo de transferencia de calor es de
tipo conductivo. Estas son las bases del modelo matemático del simulador GEOTRANS.
I.3 Justificación
Después de la revisión del estado del arte, es claro que métodos económicos, vertiginosos y
precisos, con modelos matemáticos rigurosos son deseables para la predicción de las
temperaturas transitorias en y alrededor de pozos geotérmicos en construcción, en presencia
de pérdidas de circulación. Por lo tanto, el desarrollo de un nuevo modelo matemático
basado en el método de volumen finito para predecir las temperaturas de yacimientos
geotérmicos es claramente justificado. Esto representa un reto con respecto a estudios
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 23
existentes de transferencia de calor en pozos geotérmicos, pues de acuerdo a lo que se ha
podido investigar, no existe ningún otro estudio de investigación y desarrollo de
metodologías similares al presente.
I.4 Objetivo general
Estimar la temperatura de formación de yacimiento a partir de un volumen de control en un
pozo geotérmico en perforación y en presencia de pérdidas de circulación.
I.5 Alcance
En este trabajo se presenta el desarrollo, solución numérica, implementación y
simulaciones de un modelo de conducción de calor transitorio en dos dimensiones
aplicando como ecuación constitutiva la aproximación de Vernotte-Cattaneo. El modelo se
aplicó en un sistema geoenergético constituido por un pozo geotérmico (también se puede
aplicar a pozos petroleros) para determinar la distribución de temperaturas axial y radial en
condiciones transitorias durante procesos de circulación del flujo de perforación y de
recuperación térmica.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 24
Capítulo II
Energía Geotérmica
En este capítulo se presentan los aspectos generales relacionados con la energía geotérmica,
el estado actual de la energía geotérmica en México, la tecnología de perforación de pozos
geotérmicos y un análisis teórico del comportamiento térmico de un pozo geotérmico
durante el proceso de circulación con pérdidas del fluido de perforación.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 25
II.1 Energía geotérmica
La energía geotérmica es energía calorífica proveniente del núcleo de la tierra. La
geotermia aprovecha esta energía calorífica y el agua que se han concentrado en ciertos
sitios del subsuelo conocidos como yacimientos geotérmicos. Un yacimiento geotérmico
típico está compuesto de una fuente de calor, un acuífero y la capa sello, como se ilustra en
la Figura 1.
Figura 1. Yacimiento geotérmico típico.
La fuente de calor es generalmente una cámara magmática en proceso de enfriamiento. El
acuífero está confinado dentro de una formación litológica con una permeabilidad lo
suficientemente alta para alojarlo. La capa sello es otra formación litológica, o parte de ella,
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 26
con una permeabilidad menor, cuya función es impedir que los fluidos geotérmicos se
difundan totalmente hacia la superficie.
Los yacimientos geotérmicos se pueden clasificar como: (i) de líquido dominante, (ii) de
vapor dominante, (iii) de roca seca caliente, (iv) geopresurizados y (v) magmáticos.
Los fluidos geotérmicos son una mezcla agua-vapor que poseen una gran cantidad de
energía térmica almacenada y se transportan a la superficie por medio de pozos
específicamente perforados para ello. En la superficie, el fluido geotérmico se utiliza para
generación de energía eléctrica o en algún otro proceso de aplicación directa de calor
(secado, aire acondicionado, refrigeración, agricultura, etc.), o se procesa para la obtención
de sólidos importantes (Li, Si, etc.), antes de ser reinyectado al yacimiento con el fin de
mantener la presión y recarga del mismo, y evitar contaminación en la superficie.
II.2. Energía geotérmica en México
Los inicios de la utilización de energía geotérmica en México para la producción de energía
eléctrica se remontan a los años sesenta, en los que se comenzó a explotar el campo
geotérmico de Pathé en el estado de Hidalgo.
La capacidad instalada que reporta la CFE en el 2008 es de 49,931 MW, dividiéndose ésta
en diferentes fuentes, las termoeléctricas producen 22,404 MW, mientras que 11,456 MW
corresponde a los Productores Independientes de Energía, las hidroeléctricas contribuyen
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 27
con el 11,054 MW, las carboeléctricas producen el 2,600 MW, y en menor grado las
geotérmicas con 964 MW de la producción nacional, y 85 MW las eoeléctricas.
Tipo de Generación Capacidad efectiva en MW
Termoeléctrica 22,404.69
Hidroeléctrica 11,054.90
Carboeléctrica 2,600.00
Geotermoeléctrica 964.50
Eoloeléctrica 85.48
Nucleoeléctrica 1,364.88
Termoeléctrica
(Productores Independientes)
11,456.90
Total 49,931.34
Tabla 1. Capacidad instalada por tipo de generación al mes de agosto de 2008.
En la actualidad, México es uno de los países más avanzados en cuanto a la producción de
energía geotermoeléctrica (Tabla 2). Dos campos, el de Cerro Prieto y el de Los Azufres en
Michoacán se encuentran ya en la etapa de producción y por lo menos dos más: La
Primavera (Jalisco) y Los Humeros (Puebla), se encuentran ya muy avanzados en la etapa
de evaluación y se espera que dentro de pocos años comenzarán también a producir
electricidad a partir de fluidos geotérmicos. Asimismo, se cuenta con 27 campos donde se
han concluido los estudios de factibilidad, de los cuales se han seleccionado 16 para
continuar con la etapa de perforación de pozos de exploración, entre éstos se tienen: El
Ceboruco (Nayarit), Las Planillas (Jalisco), Araró (Michoacán), Las Tres Vírgenes (Baja
California Sur), etcétera.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 28
El campo geotérmico de Cerro Prieto es uno de los más grandes del mundo y hasta el
momento tiene una capacidad instalada para producir 620 000 kilowatts de energía
eléctrica; pero el campo tiene capacidad para generar mucha más energía y se ha planeado
aumentar su producción a más de 700 000 kilowatts en los próximos años, ya que se cuenta
con reservas probadas de 220 000 kilowatts y reservas probables de más de 220 000
kilowatts.
Por otra parte, el campo geotérmico de Los Azufres ha estado siendo probado por medio de
plantas piloto que producen un total de 25 000 kilowatts, lo cual corresponde casi al
consumo de energía eléctrica de la ciudad de Morelia, Michoacán. Después de observar los
resultados obtenidos con estas plantas, se determinó que este campo tiene capacidad para
producir más energía, por lo cual se está ya construyendo una planta que generará más de
50 000 kilowatts de electricidad (el campo tiene una reserva probada de 135 000 kilowatts
y una reserva probable de 165 000 kilowatts).
Del total de campos ya evaluados se tiene una reserva probada de más de 100 000 kilowatts
y la reserva probable es de más de 1 400 000 kilowatts.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 29
País MW Participación (%)
Total 9,733
1. EUA 2,687 27.6
2. Filipinas 1,970 20.2
3. Indonesia 992 10.2
4. México 960 9.9
5. Italia 811 8.3
6. Japón 530 5.4
7. Nueva Zelanda 472 4.8
8. Islandia 421 4.3
9. Costa Rica 163 1.7
10. Costa Rica 204 2.1
11. Kenia 129 1.3
Resto del mundo 396 4.1
Tabla 2. Capacidad geotérmica mundial instalada para generación de energía eléctrica,
2007.
II.3 Tecnología de perforación de pozos geotérmicos
Las actividades de perforación y terminación de pozos representan la mayor parte del costo
total de un proyecto geotérmico. Estas actividades afectan el patrón de producción futuro
del campo geotérmico y la vida útil de los pozos geotérmicos.
La tecnología de perforación empleada en pozos geotérmicos en principio es simular a la
petrolera, aunque algunas de las condiciones especiales a las que se enfrentan los
perforadores de pozos geotérmicos son: temperaturas que exceden los 250 °C a
profundidades someras, pérdidas totales de lodo y contacto con fluidos de alta salinidad.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 30
Como consecuencia de las condiciones de perforación mencionadas, nuevas tecnologías
han sido desarrolladas específicamente para la industria geotérmica. Detalles de estas
tecnologías se reportan en los trabajos de Bottai y Cigni, (1985) y Santoyo et al., (1991).
Proceso de perforación de un pozo geotérmico
Después de haber realizado la etapa exploratoria, la cual comprende los estudios de
geología, geoquímica, geofísica y los datos proporcionados por pozos exploratorios; se
realiza la selección del lugar más adecuado para la perforación de un pozo geotérmico. Al
iniciar la perforación se debe contar con el equipo instalado, comprendiendo los siguientes
sistemas: (i) potencia, (ii) levantamiento, (iii) rotación, (iv) circulatorio y auxiliares.
Las etapas de construcción de un pozo geotérmico se han detallado por otros autores
(Morales et al., 1990). Las cinco etapas en las que se pueden clasificar las actividades de la
perforación de un pozo geotérmico son: i) preparación del sitio, ii) colocación de la tubería
conductora, iii) colocación de la tubería superficial o de anclaje, iv) instalación de la tubería
intermedia, y v) liner o tubería corta.
Una vez terminada la perforación se sigue con la terminación del pozo. Esta práctica
involucra la preparación del pozo para un ciclo de producción esperado de larga duración
de aproximadamente 20 años. Esto incluye el proporcionar la estabilidad del pozo mediante
la instalación de una cubierta de acero de protección final y la preparación para la
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 31
producción valorando el daño que se pudo haber hecho a la formación por los fluidos de
perforación.
Problemas de perforación
Los problemas más comunes de la perforación y terminación de pozos geotérmicos son: las
pérdidas totales o parciales de los fluidos de perforación, tuberías pegadas, cementaciones
inadecuadas, presencia de altas temperaturas, y la estimación precisa de las temperaturas de
formación, entre los más importantes.
Aún cuando la ocurrencia de todos estos problemas tienen un impacto sobre el costo total
de la perforación, las pérdidas de circulación y la estimación de las temperaturas de
yacimiento son dos problemas prioritarios que la industria de perforación de pozos
geotérmicos necesita resolver, debido a que tienen influencia directa sobre la mayoría de las
actividades del desarrollo y explotación de los recursos geotérmicos.
Estimación de las temperaturas de formación estáticas.
La temperatura es uno de los parámetros más importantes de los yacimientos geotérmicos
que necesitan ser estimados. La temperatura de formación estática o imperturbada es uno de
los parámetros más críticos usados como indicador de la energía disponible confinada en un
yacimiento geotérmico (Dowdle y Cobb, 1975).
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 32
Una de las consecuencias del proceso de perforación de pozos geotérmicos es el
enfriamiento de la formación debido a la continua circulación del lodo. Entonces, una lenta
recuperación para llegar a la temperatura geotérmica solamente ocurre cuando la
perforación y circulación han cesado. La completa recuperación de la temperatura en un
nuevo pozo puede tomar desde unas pocas horas o meses, dependiendo de la formación, las
características del pozo y el tiempo de circulación del lodo.
Una estimación precisa de las temperaturas de formación requiere de largos periodos de
recuperación. Sin embargo, una larga espera para la completa recuperación de la
temperatura puede causar un considerable incremento en los costos de perforación. Por lo
tanto, un método que consuma el menor tiempo posible es necesario para calcular las
temperaturas de formación usando datos de recuperación “in-situ”.
Cuando los problemas de pérdidas de circulación ocurren durante el proceso de perforación
de pozos, el comportamiento térmico del sistema es más complejo debido a los diferentes
procesos de transferencia de calor involucrados. Consecuentemente, los métodos usados
para estimar las temperaturas de formación pueden ser más complicados. Normalmente, las
temperaturas son grabadas durante las operaciones de registro en el proceso de circulación
del lodo o durante el periodo de calentamiento del pozo.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 33
Estas temperaturas grabadas o medidas son usualmente menores que la temperatura de
formación estática debido al efecto de enfriamiento del proceso de circulación del lodo y
porque son registradas en los primeros periodos de tiempo durante la recuperación
(típicamente 6-24 horas después de que la circulación del lodo ha cesado).
La predicción precisa de la temperatura de formación imperturbada, la distribución de
temperaturas del sistema geotérmico (pozo-formación) y el entendimiento de los procesos
físicos que ocurren durante el proceso de perforación, es el propósito del presente trabajo
de tesis.
II.4 Descripción fenomenológica
El proceso de la circulación en un pozo es similar a un sistema de intercambio de calor. En
tal proceso, el líquido se mueve hacia abajo dentro de la tubería de perforación y hacia
arriba a través de la pieza anular entre las tuberías internas y externas. El líquido entra en la
tubería de perforación en la tapa, fluye abajo y sale de la tubería en el fondo. Allí seguido,
entra en la pieza anular y fluye hacia arriba.
Para describir el proceso físico del traspaso térmico en el sistema, un esquema simplificado
del sistema que perforaba se ilustra en la figura 2. Aquí, los radios corresponden a cada
uno de las regiones físicas en las cuales el pozo es considerado, de acuerdo con el proceso
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 34
principal del traspaso térmico. Cuatro regiones son consideradas en el análisis del traspaso
térmico:
• Región 1: Tubería de perforación ( 10 r r ).
• Región 2: Pared de la tubería de perforación ( 1 2r r r ).
• Región 3: Región anular ( 2 3r r r ).
• Región 4: Formación
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 35
Figura 2. Proceso de un pozo de petróleo perforado. Se muestran las cuatro regiones del
flujo de calor.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 36
REGIÓN 1: Tubería de perforación; el líquido entra en la tubería de perforación con
velocidad del flujo Vz,1 y temperatura específica (Ten). Como el liquido fluye hacia bajo
dentro de la tubería en dirección z, su temperatura (T1 ) es determinado por el índice de la
convección del calor abajo del intercambio de la tubería que perfora y del calor de la pared
metálica de la tubería.
REGIÓN 2: Pared de la tubería de perforación; temperatura de la pared de la tubería de
perforación (T2) es determinado por el índice de la convección del calor entre la pared y el
flujo debajo de la tubería de perforación y sube por la pieza anular por conducción en la
pared de la tubería.
REGIÓN 3: Región anular; el proceso de la circulación requiere esa temperatura fluida en
la entrada de la pieza anular. En esta región, la temperatura (T3) es determinado por el
índice de convección de la pieza anular, el índice de calor durante el intercambio entre la
pieza anular y la pared de la tubería de perforación, y el índice del intercambio de calor
entre la pared del pozo y el líquido de la pieza anular que es velocidad del flujo Vz,3 .
REGIÓN 4: Formación; Corresponde al traspaso térmico en la formación o el cemento.
Después de que se pare el flujo, una situación axial-simétrica de la conducción del calor
prevalece. Esta es la razón por la cual los términos axiales de la conducción son incluidos
cuando el líquido que perfora circula en el pozo.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 37
Capítulo III
ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR
APLICANDO Vernotte-Cattaneo
Se presenta el procedimiento para obtener la ecuación de calor usando como ecuación
constitutiva la relación de Vernotte-Cattaneo.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 38
III.1 Preliminares
El modelo matemático de la formación (roca que rodea al pozo) considera transferencia
transitoria del calor por conducción. El modelo matemático consiste en un sistema de
ecuaciones diferenciales parciales que describen el campo transitorio de dos dimensiones
de la temperatura T (z, r, t). La conservación total considera flujo incompresible en las
direcciones axial (z) y radial (r). La solución considera los efectos de la transferencia del
calor de convección que aparecen en las condiciones de límite. Los términos fundamentales
del modelo incluyen lo siguiente: geometría cilíndrica, características físicas isotrópicas,
constantes, disipación viscosa insignificante y líquido incompresible. Con estas ecuaciones
las condiciones iníciales y las condiciones de frontera que gobiernan son las siguientes:
2
20
T T Tr
t r r r z (1)
C.I. ( , )T F r z , en 0t (2)
C.F.1.z supT T , en 0z (3)
C.F.2.z DT T , en z = D (4)
C.F.3.r 0T
r , en 0r r (5)
C.F.4.r m
Tk H T T
r, en 3r r (6)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 39
III.2 Procedimiento para obtener la ecuación de onda
Sea la siguiente ecuación de conducción de calor con fuente de energía por unidad de
volumen ( ( )q t ):
( )T
Cp q tt
q (7)
donde y Cp son la densidad y el calor especifico.
Cattaneo (1958) and Vernotte (1958) postularon un modelo de relajación como función del
tiempo para el flujo de calor:
0 k Tt
qq (8)
Aplicando la divergencia:
0 k Tt
qq (9)
Considerando que el sistema en estudio es isotrópico, i.e., la conductividad k es constante
en todas las direcciones del sistema y solo depende de la temperatura;
0 k Tt
qq (10)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 40
El producto punto del lado izquierdo actúa sobre q y del lado derecho actúa sobre el
operador nabla. Podemos usar la siguiente propiedad:
t t
qq (11)
y que 2T T T , entonces la Ec. (2) se puede re-escribir como:
20 k T
tq q (12)
Ahora factorizando, se obtiene:
201 k T
tq (13)
El procedimiento matemático nos indica que debemos despejar el término q de la Ec.
(1):
( )T
q t Cpt
q (14)
Sustituyendo ésta en la Ec. (7):
201 ( )
Tq t Cp k T
t t (15)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 41
Expandiendo y agrupando términos:
22
0 02
( )( )
T T q tCp Cp k T q t
t tt (16)
Dividiendo entre Cp :
22 0
0 2
1 ( )( )
T T q tT q t
t Cp Cp tt (17)
donde es la difusividad térmica:
k
Cp (18)
El resultado dado para la Ec. (11) es para cualquier tipo de coordenadas. En el caso
específico de nuestro estudio de pozos geotérmicos, las coordenadas son cilíndricas,
entonces el operador nabla está dado por:
2 22
2 2 2
1 1T T TT r
r r r r z (19)
Aplicando la suposición de axial-simétrico el segundo término es:
2
2 2
10
T
r (20)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 42
Entonces:
22
2
1 T TT r
r r r z (21)
Sustituyendo esta ecuación en la Ec. (11), finalmente se obtiene:
2 20
0 2 2
1 ( )( )
T T T T q tr q t
t r r r Cp Cp tt z (22)
Para el caso de estudio que nos ocupa el término de generación de calor por unidad de
volumen es nulo y la ecuación anterior se simplifica a:
2 2
0 2 20
T T T Tr
t r r rt z (23)
Las condiciones iníciales y de fronteras que gobiernan la Ec. (23) son las siguientes:
C.I ( , ) ( , )T r z F r z en 0t (24)
C.I.2 0T
t en t = 0 (25)
C.F.1.z supT T
en 0z (26)
C.F.2.z DT T en z = D (27)
C.F.3.r 0T
r en 0r r
(28)
C.F.4.r m
Tk H T T
r, en 3r r
(29)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 43
Capítulo IV
Solución Numérica
En este capítulo se presenta la solución numérica de la ecuación de transferencia de calor
transitoria en coordenadas cilíndricas desarrollada, aplicando la relación de Vernotte-
Cattaneo como ecuación constitutiva. El modelo numérico se obtiene al aplicar la
aproximación de volumen finito con esquema del tipo implícito.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 44
IV.1 Método del volumen de control
Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de
volumen de control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control
(SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la
permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado. La permanencia del
espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo ocupan no sean
siempre las mismas. La cantidad de partículas también será variable cuando el flujo no es
permanente. Este método facilita la descripción del comportamiento del flujo y del fluido.
El método de los volúmenes de control finito permite discretizar y resolver numéricamente
ecuaciones diferenciales. Es un método alternativo a los de diferencias finitas y elementos
finitos. Considerando una malla de discretización del espacio fluido. En torno a cada punto
de esta malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos
vecinos. De esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los
volúmenes de control considerado. La ecuación diferencial a resolver se integra sobre cada
volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión discretizada de dicha
ecuación. Para realizar la integración se requiere especificar perfiles de variación de la
variable dependiente entre los puntos de la malla, de modo de poder evaluar las integrales
resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 45
P
que la solución obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de conservación
consideradas, independientemente del tamaño de la malla.
El intervalo es: [0, 2 ]
Figura 3. Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control.
N (j)
r (i)
S
E W
e w
s
n
∆r
P = i, j
W = i+1, j
E = i-1, j
N = i, j+1
S = i, j-1
S = i, j-1
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 46
IV. 2 Desarrollo
La integración de la Ec. (23) por el método del volumen de control o el método de
volumen finito, se realiza de la siguiente forma:
2 2
0 2 2
t t t t
t CV t CV
T T T Tr dVdt dVdt
r r r tt z (30)
donde la integración de la Ec. (23) se realiza sobre el volumen de control dV rdrd dz y
durante un intervalo de tiempo de t a t t . Considerando el volumen de control
bidimensional como se ilustra en la Figura 3. Entonces la Ec. (30) puede escribirse:
2 2
0 2 2
t t n e
t s w
t t n e t t n e t t n e
t s w t s w t s w
Tr drdzdt
r r
T T Trdrdzdt rdrdzdt rdrdzdt
tt z
(31)
El primer término de la izquierda es igual a:
t t n e n t t
t s w s t e w
T T Tr drdzdt r r dtdz
r r r r
(32)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 47
El término del flujo difusivo se evalúa del siguiente modo:
E Pe e
ee
T TTr r
r r (33)
P Ww w
ww
T TTr r
r r (34)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la Ec. (30):
t t n e n t tP WE P
e e w wt s w s t e w
T TT TTr drdzdt r r dtdz
r r r r (35)
Considerando régimen implícito, entonces:
t t t tt t t tt t n e nP WE P
e e w wt s w s e w
T TT TTr drdzdt r r t dz
r r r r(36)
(2 )
t t t tt t t tt t n e nP WE P
e e w wt s w s e w
t t t tt t t tP WE P
e e w we w
T TT TTr drdzdt r r t dz
r r r r
T TT Tr r t z
r r
(37)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 48
Donde ET , PT y WT son las temperaturas evaluadas en el nuevo tiempo.
Siguiendo el mismo procedimiento de los restantes términos, la Ec. (23) resulta:
2 22 2
2 2
2 2
2
2
t t n e t t ne w
t s w t s
nt t
e w
ts
r rT Trdrdzdt dzdt
z z
r r Tdzdt
z z
(38)
2 22
2 2
t t n e t te w
t s w t n s
r rT T Trdrdzdt dt
z zz (39)
De acuerdo a la figura 3:
n P
n
P s
s
T TT
z z
T TT
z z
Sustituyendo en la Ec. (39) se obtiene:
2 22
2( )
2
t t n ee w n P P s
t s w
r r T T T TTrdrdzdt t
z zz (40)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 49
Las integrales de los términos de la derecha:
2 22 2
0 02 2
2 2 2 22 2
0 0
2
2 2(2 )
2 2
t t n e n t te w
t s w s t
t t t t t t t t t tne w e wP P P P P P
s
r rT Trdrdzdt dtdz
t t
r r r rT T T T T Tdz z
t t
(41)
En este trabajo consideramos que:
2
2 20 02
2( )
t t t t tt t n eP P P
e wt s w
T T TTrdrdzdt r r z
tt (42)
Y por último:
2 22 2( )
2
t t n e n t tt t te w
e w P Pt s w s t
r rT Trdrdzdt dtdz r r T T z
t t
(43)
Sustituyendo las ecuaciones (37) - (43) en la ecuación (31), se obtiene:
0 0
0 0
[ ( 1)] ( 2 )
( 2 )]
t t t t t t t t tE W P P E E W W P P P
tP P E z N P S
a a a T a T a T a T T
a T a a T T T (44)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 50
donde
20
P
ra
t (45)
e eE
e
ra
r (46)
w wW
w
ra
r (47)
0
t (48)
2 22
2
e wr rr (49)
2za
z (50)
20
E
ra
z (51)
Siguiendo el mismo procedimiento, partiendo de la figura 4, las condiciones de frontera
están dadas por:
C. F.1.z supT T en 0z (52)
C. F.2.z DT T en z D (53)
C. F.3.r t t t tP WT T en 0r r (54)
C.F 4.r t t t tB B Y Y ma T a T H T en Br r (55)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 51
P
donde
B Ya H a (56)
/ 2
yY
y
ar
(57)
Figura 4. Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control y la frontera próxima.
N (j)
S
E W
e w
s
n
P = i, j
W = i+1, j
E = i-1, j
N = i, j+1
S = i, j-1
∆r
Y
y
C
B
Z’
δr/2
δz/2
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 52
Capítulo V
Conclusiones
En este trabajo se presento el desarrollo de un modelo de conducción de calor transitorio en
dos dimensiones aplicando como ecuación constitutiva la aproximación de Vernotte-
Cattaneo. El modelo se aplicó en un sistema geoenergético constituido por un pozo
geotérmico, para determinar la distribución de temperaturas axial y radial en condiciones
transitorias durante procesos de circulación del flujo de perforación y de recuperación
térmica.
Se desarrollo la solución numérica basada en la aplicación del método del volumen de
control Ec. 44 el cual permitió la formulación de las ecuaciones para cada región con el
propósito de escribirlas como un conjunto de ecuaciones algebraicas para el barrido en la
dirección r y explicito en la dirección z:
, 1, , , , 1, ,t t t t t t
i j i j i j i j i j i j i ja T b T c T d (58)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 53
Implícito en la dirección z y explicito en la dirección r:
, , 1 , , , , 1 ,t t t
i j i j i j i j i j i j i je T f T g T h (59)
donde a, b, c, y d son los coeficientes.
Como resultado de la aplicación de estas ecuaciones, se obtendrá un sistema de ecuaciones
algebraicas, de la forma:
A x b (60)
donde A son los coeficientes de la matriz, x es el vector de las variables dependientes y b es
el vector de los parámetros conocidos Los coeficientes dependeran de los parámetros
geométricos y propiedades termofísicas, es decir, la conductividad térmica, densidad y
calor específico, y ya que están en la función de ,t t
i jT .
En el Apéndice B se presenta la solución y el algoritmo de cálculo de los coeficientes.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 54
Apéndice A: Alternativa de solución numérica.
Si
T
t (A.1)
Sustituimos en la Ec. (23):
2
0 2
T Tr
t r r r z (A.2)
Integrando la Ec. (30), se obtiene:
t t
t
T t t
T t
dT dt (A.3)
Si es constante en un paso integración t la ecuación anterior queda como
t t tT T t . En términos generales esta la relación se puede expresar como:
0T t T (A.4)
donde 0T es una constante y ( , , )r z t . Entonces sustituyendo la relación anterior en la
Ec. (31), se obtiene:
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 55
2
0 2t r t
t r r r z (A.5)
Las condiciones iníciales y finales que gobiernan la Ec. (A.5) son las siguientes:
C.I. 0 ( , )t T F r z , en 0t (A.6)
C.F1z 0 supt T T , en 0z (A.7)
0T t T (A.8)
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 56
Apéndice B. La solución de las ecuaciones (58) y (59) se obtiene con
el Algoritmo de la Matriz Tridiagonal (TDMA):
t+ t t+ tM-j M-j M-j+1 M-jT =P T +Q para 2,3,4,..., 1j M (B.1)
t+ tMT MQ (B.2)
donde
11
1
bP
a (B.3)
11
1
dQ
a (B.4)
1
jj
j j j
bP
a c P para 2,3,4,...,j M (B.5)
1
1
j i jj
j j j
d c QQ
a c P para 2,3,4,...,j M (B.6)
Para tener en cuenta las condiciones de frontera, establecemos 1 0c y 0Mb . Esto
lleva a las ecuaciones (B.3) y (B.4) y 0MP , respectivamente.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 57
Referencias
Arnold, F. C., 1990. Temperature variation in a circulating wellbore fluid. Journal of
Energy Resources Technology, 112, 79-83.
Ascencio, F., García, A., Rivera, J. and Arellano, V., 1994. Estimation of undisturbed
formation temperatures under spherical-radial heat flow conditions. Geothermics, 23 (4),
317-326.
Beirute, R. M., 1991. A circulating and shut-in well-temperature-profile simulator. Journal
of Petroleum Technology September, 1140-1146.
Bottai, A. and Cigni, U., 1985. Completion techniques in deep geothermal drilling.
Geothermics, 14, 309-314.
Cao, S., Lerche, I. and Hermanrud, C., 1988. Formation temperature estimation by
inversion of borehole measurements. Geophysics, 53 (7), 979-988.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 58
Comisión Federal de Electricidad, 2008. Capacidad instalada por tipo de generación al mes
de agosto de 2008. www.cfe.gob.mx
Comisión Federal de electricidad, 2007. Capacidad geotérmica mundial instalada para
generación de energía eléctrica, 2007. www.cfe.gob.mx
Davies, S. N., Gunningham, M. M., Bittleston, S. H., Guillot, F. and Swanson, B. W., 1944.
Field studies of circulating temperatures under cementing conditions. Society of Petroleum
Engineers Drilling and Completion March, 12-16.
Deming, D., 1989. Application of bottom-hole temperature corrections in geothermal
studies. Geothermics, 18, 775-786.
Dowdle, W. L. and Cobb, W. M., 1975. Static formation temperature from well logs-an
empirical method. Journal of Petroleum Technology November, 1326-1330.
Espinosa-Paredes, G., García, A., Santoyo, E. and Hernández, I., 2001. TEMLOPI/V.2: A
computer program for estimation of fully transient temperatures in geothermal Wells during
circulation and shut-in. Computers & Geosciences, 27, 327-344.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 59
Espinosa Paredes, G. and Morales Díaz A., 2007. Application of a proportional-integral
control for the estimation of static formation temperatures in oil Wells. Marine and
Petroleum Geology.
Espinosa Paredes, G. and Espinosa Martínez E. G., 2008. A feedback-based inverse heat
transfer method to estímate unperturbed temperaturas in wellbores. Energy Conversion and
Management.
Espinosa Paredes, G. and Espinosa Martínez E. G., 2008. Fuel Rod Model based on Non-
Fourier Heat Conduction Equation. Paper submitted to Annals of Nuclear Energy.
Farris, R. F., 1941. A practical evaluation of cement for oil Wells. In: Drilling Production
Practice in American Petroleum Institute, 11, 283-292.
Freeston, D., 1996. Direct uses of geothermal energy 1995. Geothermics, 25 (2), 189-214.
Fujino, T. and Yamasaki, T., 1985. The use of fluid inclusion geothermometry as an
indicator of reservoir temperature and thermal history in the Hatchobaru geothermal field,
Japan. Geothermal Resources Council Transactions, 9, 429-433.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 60
García, A., Santoyo, E., Espinosa, G., Hernández, I. and Gutierrez, H., 1998ª. Estimation
of temperatures in geothermal wells during drilling and shut-in in the presence of lost
circulation. Journal of Transport in Porous Media, 33 (12), 103-127.
García. A., Hernández, I., Espinosa, G., and Santoyo, E., 1998b. TEMLOPI: A termal
simulator for estimation of drilling mud and formation temperatures during drilling of
geothermal wells. Computers & Geosciences, 24 (5), 465-477.
García, A., Espinosa, g., Santoyo, E., Mendoza, P. R. and Hernández, I., 2000.
GEOTRANS: A computer code for estimating transient temperatures in the completion of
geothermal wells with drilling fluid losses. In: Proceedings Worl Geothermal Congress
2000, Kyushsu-Tohoku, Japan, May 28-June 10, 4023-4028.
García, A., Espinosa, G., Vázquez, a., De León, J., Rodríguez, M. and Arellano, V., 2002.
Estimation of formation temperatures using simulation and optimization techniques of
circulation and shut-in processes. In: Proc. Intl. Conf. the Earth’s Thermal Field and
Related Research Methods, Moscow, Russia.
Grant, M. A., Donaldson, I. G. and Bixley, P. F., 1982. Geothermal reservoir engineering.
Academic Press, New York.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 61
Hasan, A. R. and Kabir, C.S., 1994. Stratic reservoir temperature determination form
transient data after mud circulation. SPE Drilling and Completion March, 17-24.
Hyodo, M. and Takasugi, S., 1995. Evaluation of the curve-fitting method and the Horner
plot method for estimation of the true formation temperature using temperature recovery
logging data. In: Proceedings 20th
Workshop on Geothermal Reservoir Engineering
Stanford University, Stanford, CA, 94-100.
Ikeuchi, K., Doi, N., Sakagawa, Y., Kamenosono, H. and Uchida, T., 1998. High-
temperature measurements in well WD-1 and the thermal structure of the Kakkonda
geothermal system, Japan. Geothermics, 27 (5-6), 591-607.
Keller, H. H., Couch, E. J. and Berry, P. M., 1973. Temperature distribution in circulating
mud columns. Society of Petroleum Engineers Journal February, 23-30.
Kutasov, I. M. and Targhi, A. K., 1987. Better deep-hole BHTC estimations possible. Oil
and Gas Journal May, 71-73.
Kritikos, W. R. and Kutasov, I. M., 1988. Two-point method for determination of
undisturbed reservoir temperature. Society of Petroleum Engineers Formation Evaluation
Journal March, 222-226.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 62
Luhesi, M. N., 1983. Estimation of formation temperature from borehole measurements.
Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 74, 747-776.
Marquardt, D. W., 1963. An algorithm for least-square estimation of nonlinear parameters.
SIAM J.Appl. Math., 11, 431-441.
Marshall, D. W. and Bentsen, R. G., 1982. A computer model to determinate the
temperature distributions in a wellbore. Journal of Canadian Petroleum January, 63-75.
Middleton, M. F., 1979. A model for bottomhole temperature stabilization. Geophysics, 44
(8), 1458-1462.
Mulas, P., Nieva, D. and Holland, F. A., 1985. Developments in geothermal energy in
Mexico-part one: general considerations. Heat Recovery systems, 5 (4), 277-283.
Nielsen, S. B., Ballin, N. and Christiansen, H. S., 1990. Formation temperatures determined
from stochastic inversion of borehole observations. Geophysical Journal International,
101. 581-590.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 63
Osato, K., Ujo, S. and White S. P., 2003. Prediction of formation equilibrium temperature
while drilling based on drilling mud temperature: inverse problem using TOUCH2 and
wellbore thermal model. In: Proceedings TOUCH symposium 2003, Lawrence Berkeley
National Laboratory, Berkeley, California.
Raymond, L. R., 1969. Temperature distribution in a circulating drilling fluid. Journal of
Petroleum Technology March, 333-341.
Roux, B., Sanyal, S. K. and Brown, S. L., 1979. An improved approach to estimating true
reservoir temperature from transient temperature data. In: Proceedings 5th
Workshop on
Geothermal Reservoir Engineering Stanford University, Stanford, California, 343-354.
Santoyo-Gutierrez, S., García, A., Morales, J. M., Perezyera, J. and Rosas, A., 1991.
Applied technology in the solution of geothermal drilling problems of deep wells in La
Primavera Caldera (México). Journal of Volcanology and Geothermal Research, 47, 195-
208.
Santoyo, E., García, A., Espinosa, G., Hernández, I. and Santoyo, S., 2000.
STATIC_TEMP: A useful computer code for calculating static formation temperatures in
geothermal wells. Computhers and Geosciences, 26, 201-217.
Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de
Vernotte- Cattaneo. 2009
Ingeniería en Energía 64
Takahashi, W., Osato, K., Takasugi, S. and White S. P., 1997 Estimation of the formation
temperature from the inlet and outlet mud temperatures while drilling. In: Proceedings
twenty-second Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford University,
Stanford, California.
Wisian, K. W., Blackwell, D. D., Bellani, S., Henfling, J. A., Normann, R. A., Lysne, P. C.,
Forster, A. and Schrotter, J., 1998. Field comparison of conventional and new technology
temperature looging systems. Geothermics, 27 (2), 131-141.
Wooley, G. R., 1980. Computing downhole temperatures in circulation, injection, and
productions wells. Journal of Petroleum Technology September, 1509-1522.