Seminario de TDCSCSDCSDCrigonometría Cónicas Transformación de Coordenadas

8/15/2019 Seminario de TDCSCSDCSDCrigonometría Cónicas Transformación de Coordenadas

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SEMINARIO DE TRIGONOMETRÍA

1. Se tiene unacircunferencia de 6u de radio ycuyo centro se ubica en elpunto (3; – 2). Si la ecuacióngeneral de dicha circunferencia

tiene la forma 2 ! y2 ! " ! #y! $ % &; calcule el 'alor de " !# – $

) – 2 *) – 21 +) 16

") 21 #) 2

2. +alcule lasuma de las coordenadas delcentro de la circunferencia ,uepasa por los puntos

(– 3; – 6)- (&; &) y (– - &)

) – 2- *) – 3- +) – /-

") – - #) – 6-

3. 0a ecuación dela circunferencia es 2

! y2 % &. #l punto medio de

una cuerda de stacircunferencia es el punto (–2;/). "etermine la ecuación de larecta ,ue contiene a dichacuerda.

) – 2y ! 1& % &

*) ! 2y – 1& % &

+) ! 2y ! % &

") – 2y – % &

#) ! y ! 1& % &

/. nacircunferencia pasa por elpunto (; /) y es tangente alee de abcisas- adem4s su

centro (h; 5) pertenece alprimer cuadrante y es un puntode la recta 0 ! y % ."etermine su ecuación.

) 2 ! y2 – 1& – /y – 61 % &

*) 2 ! y2 – 1& – /y ! % &+) 2 ! y2 – / – 1&y ! 2 % &") 2 ! y2 – / – 1&y ! 13 % &#) 2 ! y2 – 1& – /y ! 13 % &

. +alcule ladistancia m7nima entre las dossiguientes circunferencias-cuyas ecuaciones son2 – 2 ! y2 – /y ! 1 % &

2 – 18 ! y2 – 16y ! 136 % &

) 3 *) / +)

") 6 #)

6. "etermine en lacircunferencia cuya ecuación

es

2 2 y 6 16y 69 &+ − − + =-

las coordenadas de un punto,ue se encuentre m4s aleadode la recta 0 ! y – 1 % &

) (3; 8)

*)(3 2;8 2)− −

+)

(3 2 1;8 2 1)− −

")(3 2;8 2)+ +

#)(3 2 1;8 2 1)+ +


2/7


. Se tienen las

cur'a

21 /y ζ =

-2 2

2 y 2y &ζ + + =

+alcule el4rea (en u2) de la regióntriangular ,ue se obtiene al

unir el foco de1ζ- el centro de

2ζ, y el punto

:(1; 1).

) 3 *) 2 +)

3

2

") 1 #)

1

2

8. +alcule lalongitud del segmento formadopor los puntos de intersecciónde la par4bola y2 % / y larecta – 2y ! 3 % &.

) 2

*) 3

+)/

")

#) 6

9. n depósito deagua tiene sección trans'ersalparabólica cuando el ni'el delagua alcana una altura de18m- su ancho mide 2/ m-cuando el ni'el del aguadesciende 1& m- el nue'oancho del ni'el del agua (enm) es igual a

) 12 *) 1 +)16

") 18 #) 2&

1&. #l foco de unapar4bola es el punto$ % (3; 2) y la recta directri es

! y – 1& % &. "etermine lascoordenadas del 'rtice.

)

1 3;

/ /

÷

*)

3 ;

/ /

÷

+)

1. 13;

/ /

÷

") (2; /) #) (&; 2)

11. #l foco de unapar4bola es

(/; 1) y la recta directri es 0 ! y – 1 % &. +alcule lalongitud (en u) del lado recto.

)/ 2

*)8 2

+)12 2

")1/ 2

#)16 2

12.


3/7


") (; – /) #) (/; – /)

1/. Se tiene unaelipse con centro en el origende coordenadas- si la distancia

entre los focos es la mitad dela distancia entre 'rtices-adem4s; la longitud de su ladorecto (paralelo al ee deordenadas) mide / m-entonces al determinar suecuación se obtiene

) 62 ! 3y2 % 16

*) 32 ! 6y2 % 16

+) 92 ! 12y2 % 6/

") 122 ! 9y2 % 6/

#) 92 ! 6y2 % 16

1. "etermine laecuación de la elipse concentro en el origen- ee mayor sobre el ee de abscisas- y ,uepasa por los puntos (/; 3) y (6;2)

)

2 2 y1

13 2+ =

*)

2 2 y1

1 11+ =

+)

2 2

y 12 13

+ =

")

2 2 y1

/2 13+ =

#)

2 2 y1

2 12+ =

16. "etermine la

ecuación de la elipse cuyo eefocal coincide con la recta % 1- adem4s su centro es (1;)- uno de sus focos es elpunto (1;8) y la suma de lasdistancias de un punto de laelipse a los dos focos es iguala 12u.

)

2 2(y ) ( 1)1

36 2.

− −+ =

*)

2 2(y ) ( 1)1

36 9

− −+ =

+)

2 2(y 1) ( )1

36 2.

− −+ =

")

2 2( 1) (y )1

2. 9

− −+ =

#)

2 2(y ) ( 1)1

2. 9

− −+ =

1. "etermine laecuación de la elipse con

centro en el origen decoordenadas- uno de sus focoses (&; /) y la longitud de un

lado recto es

2&

3u.


4/7


)

2 2 y1

36 2&+ =

*)

2 2 y116 2&+ =

+)

2 2 y1

2& 36+ =

")

2 2 y1

16 36+ =

#)

2 2 y1

36 16+ =

18. "etermine laecuación de la elipse de eemayor 2a en la ,ue- el eemenor- se ' bao un 4ngulo,ue mide 9&? desde uno de los

focos. ) 2 ! 2y2 % a2

*) 2 ! 2y2 % 2a2

+) 2 ! /y2 % a2

") 2 ! 2y2 % /a2

#) 2 ! /y2 % a2

19. "etermine lasecuaciones de las directricesde la elipse cuya ecuación es92 !/y2 % 36

)

3

= ±

*)

6

= ±

+)

9

= ±

")

3y

= ±

#)

9

y = ±

2&. +alcule (en u2)el 4rea de un cuadrado inscritoen la elipse/2 ! 3y2 – 8 ! 12y – 32 % &

)

16.

1 *)

229

1. +)

28.

19

")

3..

1 #)

192

.

21. Se tiene unahiprbola cuya ecuación es /2

– 12y2 ! 2/ ! 96y – 181 % &; si

las coordenadas de su centroes (h; 5) y la distancia entresus 'rtices es m; calcule el'alor de h ! 5 ! m.

) 3 *) 3- +) /

") - #) 6

22. "etermine laecuación de la hiprbola con

'rtice (±

3; &) y cuya longituddel lado recto igual a 2/u.

)

2 2 y1

9 16− =


5/7


*)

2 2 y1

16 2− =

+)

2 2 y19 36− =

")

2 2 y1

1 2− =

#)

2 2 y1

9 6/− =

23. 0os focos de lahiprbola de ecuación 2 –9y2 % 63- son los etremos dellado recto de una par4bolacuyo ee focal coincide con elee y determine la ecuación dela par4bola. Si se sabe ,ue seabre hacia el semiee positi'ode las ordenadas.

) 2 % 8 (y ! 2)*) 2 % 6 (y – 2)+) 2 % (y ! 2)") 2 % / (y – 2)#) 2 % 2 (y ! 2)

2/. =or el punto (&; – 1) y el 'rtice derecho de lahiprbola 32 – /y2 % 12 pasauna recta. "etermine elsegundo punto de intersección

de la recta con la hiprbola. ) (2; &) *) (&; – 1) +) (&; 1)

") (– /; – 3) #) (– 2; &)

2. de la hiprbola(de abscisa positi'a) a una desus as7ntotas.

)

1

2*) 1 +)

3

2

") 3 #) /

26. "etermine laecuación de la hiprbola ,uepasa por el punto (2; 3)-adem4s tiene su centro en elorigen de coordenadas- su eetrans'erso coincide con el eede ordenadas una de susas7ntotas es la recta

2y –

.

% &.

)

2 2y .1

2 8− =

*)

2 2y .1

/ 8− =

+)

2 2y .1

6 8− =

")

22 .y 1

8− =

#)

22 .y 1

/− =

2. "etermine laecuación de una hiprbola

cuyas as7ntotas son

y

3= ±

ypasa por el punto (2; – )


6/7


)

2 23y /1

.− =

*)

2 29y 112 /− =

+)

2 2y 1

9 12− =

")

2 29y y1

12 1//− =

#)

2 29y 1

12 − =

28. sando unatraslación de ees apropiadaepresar la ecuación3 2y 6y 12y 12 &− − + − =

enuna forma mas simple

) (y@)3 % @ *) (y@)2 % 3@

+) (y@)3 %

1

2 @ ") (y@)3 % – /@

#) (y@)2 % –

1

6 @

29. =or unatraslación de ees- simplifi,uela ecuación 32 – 6 ! 6y ! /% &

) y@ % 2@ *) (y@)2 % 2@

+) (@)2 % 2y@ ") (y@)2 % – 2@

#) (@)2 % – 2y@

3&. :ediante unaadecuada traslación de eesepresar 2 ! / ! y2 – 6y % 1/

en otra ecuación ,ue nocontenga trmino de primer grado- tambin determine lascoordenadas del nue'o origen.

) (@)2 ! (y@)2 % 1- ( 2; 3)*) (@)2 ! (y@)2 % 2- (–2; 3)+) (@)2 ! (y@)2 % 1- (–2; 3)") (@)2 ! (y@)2 % 13- (–3; 2)#) (@)2 ! (y@)2 % 2- (2; –3)

31. "ada la

ecuación y – 3 ! /y – 13 % &-haciendo una traslaciónadecuada de ees al nue'oorigen &@(– /; 3)- se obtiene

) @ y@ % 1 *) @y@ % 2

+) @y@ % 3 ") @y@ % – 1

#) @y@ % – 2

32. 0a ecuación de

una cur'a en el sistema y

est4 dada pory y 2+ + =

."etermine la nue'a ecuaciónen el sistema @ y@ de modo,ue careca de trminoslineales.

) @ y@ % 3 *) @y@ % 2

+) @ y@ % 1 ") @ y@ % – 1

#) @ y@ % – 2

33. "ada laecuación y ! a ! by ! c % &en el sistema y. :ediante unatraslación se eliminan los


7/7


trminos lineales en el sistema@ y@- halle la nue'a ecuación.

) @ y@ % ab ! c

*) @ y@ % ab – c

+) @ y@ % a ! bc

") @ y@ % b ! ac

#) @ y@ % a – bc

3/. =or unatraslación de coordenadas- laecuación 22 – 3y2 ! / – 2/y –2 % &- se transformó en

(@)2

! *(y@)2

% 1. +alcule el'alor de $ % 9 – /*.

) 1 *) 2 +) 3

") / #)

3. =or unatranslación de ees

coordenados- la ecuación92 – /y2 ! / – 16y ! 29 % &.se transformó en (@)2 ! *(y@)2

% 1- calcule

*.

) –

9

/ *)

9

/ +) –

/

9

")

/

9 #)

2

3−

36. 0a ecuación 2

– /y2 ! 6 ! 8y ! 1 % &- por una traslación de ees setransforma en

2 2 ( A) *(y A) 1+ = - calcule

/( ! *).

) – 1 *) – 3 +) –

") – #) – 9

3. l trasladar losees al nue'o origen decoordenadas (h; 5) se lograeliminar los trminos linealesde la ecuación y ! a !by ! c % &- obtenindose@y@ % cte calcule h.5

)

a

b *)

b

a +) ab

") – ab #) a2b ! 1

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