Señales y Amplificador Diferencial

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Profersor: Jorge Gavilán León

1

CAPÍTULO 5

SEÑALES Y

OPERADOR

DIFERENCIAL




2

SEÑALES VARIABLES EN EL TIEMPO

Hasta aquí hemos tratado sometidos a señales constantes en el tiempo y a

señales que varían en forma sinusoidal

Veremos ahora que sucede cuando una red que contiene resistencias

inductancias y capacidades es sometida a otro tipo de señales variables en

el tiempo

Recordemos las relaciones tensión-corriente de los elementos R, L, M y

C, para cualquier tipo de señal.

RESISTENCIA Ley de Ohm

INDUCTANCIA

)t(vGR

)t(v)t(i

)t(iR)t(v

dt

)t(diL)t(v

t

0

0Idt)t(vL

1)t(i

INDUCTANCIAS ACOPLADAS

dt

)t(diM

dt

)t(diL)t(v 21

11

dt

)t(diM

dt

)t(diL)t(v 12

22

CAPACIDAD

dt

)t(dvC)t(i

t

0

0Vdt)t(iC

1)t(v




3

)t(vdt

)t(diL)t(vidt

C

1iR 0C

t

t0

Se hace conveniente, entonces, encontrar

notaciones y métodos que nos simplifiquen la

tarea de solucionar estas ecuaciones.

Luego, cualquiera sea el método que usemos para solucionar un circuito,

deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-

diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).

Por ejemplo

La ecuación integro-diferencíal

fundamental del circuito serie es:

Hemos establecido que en cada elemento pasivo existe una relación

tensión-corriente.

Por lo tanto, si una de estas señales (v(t) o i(t) es aplicada a un elemento, la

otra variable se puede considerar como RESPUESTA y su forma de onda

dependerá del tipo particular de señal aplicada y la relación v(t), i(t)

específica del elemento de que se trate.

Por esto, se hace necesario conocer las características y propiedades de las

señales de interés en teoría de redes eléctricas.




4

SEÑALES Y FORMAS DE ONDA

SEÑAL:

“Expresión analítica de una variable función del tiempo”

En teoría de redes:

f(t) puede ser una tensión v(t) o una corriente i(t)

FORMA DE ONDA:

“Representación gráfica de una señal”

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES

En forma simplificada, las señales se pueden clasificar como se indica a

continuación:

A.- CONSTANTES: Amplitud independiente del tiempo

Periódicas

Semiperiódicas

B) VARIABLES

Pseudoperiódicas

Aperiódicas




5

EJEMPLOS DE TIPOS DE SEÑALES

CONSTANTE PERIÓDICA PSEUDOPERIÓDICA

APERIÓDICA DISCRETA

D) DISCRETAS: Su amplitud está definida sólo para algunos instantes de

tiempo

SEÑALES APERIÓDICAS BÁSICA (Funciones singulares)

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: μ(t)

Definimos la función escalón unitario como una función del tiempo que es

nula para todos los valores de su argumentos que son menores que cero y

que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento.

La definición matemática concisa de la función forzada de escalón unitario

es:

0t1

0t0)t(u




6

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO DESPLAZADA : μ(t-t0)

La función escalón desplazada será:

Otros casos de la función desplazada:

La función escalón unitario es en sí misma adimensional. Si deseamos

representar una tensión, se requiere multiplicar u(t – t0) por alguna tensión

constante, como 5 V.

0

0

0tt1

tt0)tt(u




7

De tal modo, v(t) = 5u(t - 0.2) V constituye una fuente de tensión ideal que

es cero antes de t = 0.2 seg. y una constante de 5V después de t = 0.2 seg.

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Modificar una señal

Ejemplo

La función pulso rectangular (Función Puerta)

Algunas funciones forzadas muy útiles se obtienen manipulando la función

forzada de escalón unitario.

Se define un pulso de tensión rectangular como:

1

100

0

0

tt0

tttV

tt0

)tt(v




8

Analicemos la diferencia de los dos escalones unitarios, u(t – t0) - u(t – t1).

Las dos funciones escalón se muestran en la figura a, su diferencia es un

pulso rectangular.

La fuente V0·u(t – t0) – V0·u(t – t1) que nos suministra la tensión deseada se

indica en la figura b

Ejemplo de aplicación

Si tenemos una fuente de tensión senoidal Vm sen ωt que se conecta de

manera repentina a una red en t = t0 , entonces una función forzada de

tensión apropiada sería v(t) = Vm · u(t – to) · sen ωt.

Si deseamos representar un estallido de energía del transmisor de un

automóvil controlado por radio que opera a 47 MHz (295 Mrad/s), se

podría desactivar la fuente senoidal de 1/10 μs después mediante una

segunda función forzada de escalón unitario.

El pulso de tensión es por tanto:

v(t) = Vm[u(t – t0) - u(t – t0 - 10-7

)] sen (295 x 1O6 t)

Esta función forzada se dibuja en la figura




9

Función Rampa Unitaria

Su expresión analítica se puede escribir empleando la función escalón:

r(t) = t∙u(t)

Una función rampa desplazada será:

r(t – t0) = (t – to)∙u(t – t0)

Una función rampa de pendiente A, será

f(t) = A∙r(t) = A∙t∙u(t)

Función Rampa Unitaria

Una función rampa modificada, es

0tt

0t0)t(r 0




10

LA FUNCIÓN IMPULSO: δ(t)

Consideremos una función rampa modificada, su derivada y el límite de

ésta cuando a → 0:

La función impulso unitario se define como una función δ(t), tal que:

A partir de esta definición se establecen las siguientes propiedades:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

0tpara;)t(

0tpara;0)t(

1dt)t(

0

01dt)t(dt)t(

0

00dt)t(dt)t(

)t()t(

0)t(t

0

0dt)t()t(f)0(fdt)t()t(f

a

adt)at()t(f)a(fdt)at()t(f

)at()a(f)at()t(f




11

En 5, 6 y 7: f(t) es función continua en el intervalo (0-, 0+); (a-, a+) Relación entre u(t) y δ(t)

En esta figura se observa que cuando a → 0; fr(t) → u(t);

por lo tanto:

Además, si f(t) = u(t - a), entonces

La derivada de δ(t) se denomina “DOBLETE” y se denota por:

)t(dt

)t(du)t(f

'

r

0alim

)at(dt

)at(du)t(f

'

dt

)t(d)t(

'




12

También se definen derivadas de orden superior, tales como: δ’’(t), δ

’’’(t) ,

etc.

INTEGRAL Y DERIVADA DE UNA SEÑAL QUE PRESENTA

DISCONTINUIDADES

………………………………………………………………………………………………

La expresión analítica de la señal discontinua se puede expresar en la forma:

f(t) = 1[u(t+1) – u(t – 1)] +2,5[u(t

– 1) – u(t – 3)] + -1[u(t –

3) – u(t – 5)]

La expresión analítica de la

integral es:

Señal discontinua

Su integral

Su derivada

)5t(u2)3t(u5)1t(u(2

)]5t(u)3t(u)[3t(

)]3t(u)1t(u)[1t(5,2)]1t(u)1t(u)[1t()t(ft




13

Ejercicío: Demostrar

La expresión analítica de la derivada de la señal es:

f’(t) = δ(t + 1) +1,5δ(t – 1) – 3,5δ(t – 3) + δ(t – 5)

Ejercicío: Demostrar

NOTACIÓN OPERACIONAL DE LAS

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Ya vimos que cualquiera sea el método que usemos para solucionar un

circuito, deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-

diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).

Se hace conveniente, entonces, encontrar notaciones y métodos que nos

simplifiquen la tarea de solucionar estas ecuaciones.

Uno de tales métodos, que nos permite plantear las ecuaciones de equilibrio

y transformarlas en ecuaciones algebraicas es el uso del los operadores

operacionales.

OPERADOR DERIVACIÓN (D) Sea f(t) una variable función del tiempo. Entonces:

………. etc. ……..

dt

)t(fd)t(fD

dt

)t(fd)t(fD

22




14

OPERADOR INTEGRACIÓN (1/D = D-1

)

Relaciones tensión-corriente en forma operacional

Parámetros Operacionales

PARÁMETRO

Impedancia

Operacional

Admitancia

Operacional

t

0

1dt)t(f)t(fD)t(f

D

1

vGi

iRv

)0(ivLD

1i

LDiv

2212

2111

DiLMDiv

MDiDiLv

CDvi

)0(viCD

1v

CD G

MD LD R

M C L R

CD

1

LD

1

D




15

IMPEDANCIA OPERACIONAL

EJEMPLO

Suponiendo condiciones iniciales

nulas, la ecuación integro-

diferencial de este circuito serie es:

Considerando parámetros operacionales

o bien

Donde Impedancia operacional

(1) La principal ventaja del empleo de los operadores D y D-1

, reside en

la simplicidad de escritura de las ecuaciones de equilibrio.

(2) Dentro de ciertas restricciones, los operadores D y D-1

pueden ser

tratados como entidades algebraicas. En la suma se cumplen las

propiedades conmutativa y asociativa. Lo mismo ocurre en la

multiplicación, en cuyo caso se agrega la propiedad distributiva.

Sin embargo, el operador D no es conmutativo respecto de una

función del tiempo:

5Dt = 5 ; tD5=0

(3) Empleando los conceptos de impedancia y admitancia operacional,

diversas redes pueden analizarse en forma simple, aplicando

conceptos similares a los empleados en las redes resistivas.

)t(vdt

diLidt

C

1iR

)t(vLDiiCD

1Ri

)t(viLDCD

1R

)t(vi)D(Z

LD

CD

1R)D(Z




16

EJEMPLO

En la red de la figura se desea

establecer la ecuación diferencial

que permita calcular la corriente

i(t).

Sean :

Considerando Z1(D) y Z2(D) en paralelo, la impedancia equivalente que ve

la fuente es:

Por lo tanto, simbólicamente

de donde la ecuación diferencial, en forma operacional es:

Desarrollando esta ecuación

Multiplicando ambos miembros por D y ordenando, se obtiene la ecuación

diferencial para i(t):

OTRO EJEMPLO

Determinar la ecuación

diferencial para la corriente i2

Convirtiendo al dominio D

CD

1R)D(Z;LDR)D(Z 2211

)D(Z)D(Z

)D(Z)D(Z)D(Z

21

21

)t(v)D(Z)D(Z

)D(Z)D(Z

)D(Z

)t(v)t(i

21

21

)t(v)D(Z)D(Z)t(i)D(Z)D(Z 2121

)t(vCD

1LDRR)t(i

CD

1RLDR 2121

)t(vC

1DRRLD)t(i

C

RD

C

LRRLDR 21

2121

2

2

1∙D




17

Aplicando la LKV

1∙D

Despejando i2

Reordenando

Luego, la ecuación diferencial para i2 es

………………………………………………………………………………………………..

UN ÚLTIMO EJEMPLO

Determinar la ecuación

diferencial para el voltaje v

Resultado:

f211 v)ii(Di2

0)ii(DDii3 1222

6D7D

Dvi

2

f

2

f2

2Dvi)6D7D(

dt

dvi6

dt

di7

dt

id f

22

2

2

2

TAREA. Desarrolle el problema

f

32v)1000D(v)101001D1001D(




18

FIN

CAPÍTULO

Documents

Señales y Amplificador Diferencial