Señales y Sistemas - Capitulo I

Seales y Sistemas

Ing. Ricardo Cajo

Introduccin

Ing. Ricardo Cajo

Palabras que las utilizamos ordinariamente. Seales: TV, radio, celular. Sistemas: multimedia, telecomunicaciones. Qu son? Cules son sus aplicaciones?

Seales

Ing. Ricardo Cajo

Cmo definen Uds. a las seales? Definiciones: Patrn de variaciones de una cantidad fsica que representa o codifica algn tipo de informacin. Descripcin de cmo un parmetro vara en funcin de otro u otros parmetros Variables que llevan informacin Funciones de variables independientes

Ejemplo de seales

Ing. Ricardo Cajo

Ejemplos: seales de voz, video, fotos, imgenes mdicas, radar, ssmicas, temperatura corporal, etc.

Aplicaciones- Telecomunicaciones

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Aplicaciones Telemedicina

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Aplicaciones Otras

Ing. Ricardo Cajo

Msica Medicina Astronoma (radioastronoma) Biometra

Sistemas

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Cmo definen Uds. los sistemas? Definiciones: Algo que puede manipular, modificar, almacenar y transmitir seales. Proceso que produce una seal de salida en respuesta a una seal de entrada. Caja negra que transforma una seal de entrada en una seal de salida

Ejemplos de Sistemas

Ing. Ricardo Cajo

Ejemplo: Grabador de CD Transforma una seal musical como una secuencia de nmeros (sistema binario) y lo almacena.

Representacin de Seales

Ing. Ricardo Cajo

Introduccin

Cmo representarlas? Como ingenieros, la manera mas adecuada de representarlas es matemticamente como funciones de una o mas variables independiente . En este curso nos concentraremos en seales que dependan de una variable independiente ,que asumiremos que es el tiempo aunque en ciertas aplicaciones puede ser otra magnitud. Las representamos de la siguiente forma: s(t) El tiempo es la variable independiente.

Ejemplo: Seal de voz

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Ejemplo: Seal de voltaje

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Ejemplo: Seal de video

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Es una imagen que cambia en el tiempo

Es una seal tridimensional

Tres variables independientes:

v(x,y,t)

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Seales en Tiempo Continuo

y Tiempo Discreto

La manera de clasificar las seales es observando la naturaleza de la variable independiente. Si la variable independiente es continua, la correspondiente seal se denomina seal en tiempo continuo y esta definida para los valores continuos de la variable independiente. Ejemplo:

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y Tiempo Discreto

Una seal x(t) es continua si es continua para cada valor de t. Una seal que presente un numero finito o infinito numerable de discontinuidades se dice que es continua por tramos, siempre que el salto de amplitud que se produce en la discontinuidad sea finito. Ejemplos:

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y Tiempo Discreto

Funcin pulso rectangular:

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y Tiempo Discreto

Tren de pulsos:

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Seales Peridicas y Aperidicas

Peridicas: Cualquier seal en tiempo continuo que satisfaga la condicin

x(t) = x(t+nT) n=1,2,3, Siendo T>0 una constante denominada periodo fundamental. Aperidica: Si la seal no es peridica

Ing. Ricardo Cajo


Ejemplo: Las seales sinusoidales son ejemplos de seales peridicas que se puede expresar matematicamente de la siguiente forma. Con periodo fundamental Donde:

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La frecuencia fundamental, en radianes (frecuencia angular) de la seal periodica se relaciona con el periodo fundamental mediante la siguiente expresin. Donde el armnico k-esimo a la seal sinusoidal de frecuencia angular Ejemplo: Sinusoides armnicamente relacionadas

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La suma de 2 seales peridica es peridica, solo si el cociente de sus respectivos peridos se puede expresar como un numero racional. o Donde k y l son valores enteros positivos (0,1,2,3,). Si se realizan operaciones no lineales sobre seales peridicas (ejem: multiplicacin), se producen seales peridicas con peridos fundamentales diferenetes.

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Ejemplo

Determinar si la seal x(t) es peridica.

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Ejercicio

Deseamos determinar cual de las siguientes seales es peridica.

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Seales Pares

Si x(t) = x(-t) Para todo t Ejemplo: Funcin Coseno Seales Impares

Si x(t)= -x(-t) Para todo t Ejemplo: Funcin Seno

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Seales de Energia y Seales de Potencia

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La energa de una seal durante un intervalo temporal de duracin 2L se define as:

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La Potencia media puede definirse as:

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La potencia media para seales peridicas de periodo T viene dado por:

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.

Ejercicio 1

Deseamos determinar si se trata de seales de energa finita o potencia finita.

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Resolucin Ejercicio 1

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Resolucin Ejercicio 1

P=

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Ejercicio 2

Consideremos la seal sinusoidal

que es peridica de periodo

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Ejercicio 3

Calcule la energia y potencia de la siguiente seal

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Transformaciones de la Variable

Independiente

Existe un tipo de operaciones importantes que se realizan a menudo sobre las seales. La mayora de estas transformaciones tiene que ver con la variable independiente. Las tres operaciones que se presentan en esta seccin son: Desplazamiento Reflexin Escalamiento

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Independiente

Desplazamiento

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Independiente

Ejercicio 1

Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y grafique la seales x(t+3) y x(t-2)

Ing. Ricardo Cajo


Independiente

Voltea a la seal sobre el eje vertical Lo logramos haciendo: x(t) en x(-t)

Reflexin

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Independiente

Adems esta operacin es til para examinar las propiedades de simetra que poseen las seales. Se dice que una seal posee simetra par, si es idntica a su reflexin en el origen es decir x(t)=x(-t) Si posee simetra impar -x(t)=x(-t) Una seal arbitraria x(t) se la puede representar como la suma de una seal par y una impar

Reflexin

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Independiente

Reflexin

Ing. Ricardo Cajo


Independiente

Ejercicio 1

Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y grafique las seales x(-t) y x(3-t)

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Independiente

Ejercicio 1

Ntese que si desplazamos primero x(t) tres unidades y despus reflejramos la seal desplazada, el resultado seria x(-t-3),Por lo tanto las operaciones de reflexin y deplazamiento no son conmutativas.

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Independiente

Reflexin

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Independiente

Ejercicio 2

Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre la seal par e impar de x(t) y grafique su respuesta

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Independiente

Lo logramos haciendo multiplicando un escalar a la variable independiente es decir : x(t) -> x(at) Si |a| 1 x(at) sera una version comprimida

Escalamieto

Nota: a debe ser mayor a cero

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Independiente

Ejercicio 1

Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y dibuje la seal x(3t-6)

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Seales Bsicas en Tiempo Continuo

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Existen varias seales elementales importantes que aparecen frecuentemente en las aplicaciones y que sirven de base para representar otras seales. Estas nos permitira entender mejor las propiedades de las seales y los sistemas. Es mas muchas de esas senales tienen caracteristicas que las hacen particularmente utiles en la solucin de problemas de ingenieria y, por tanto, son de importancia para nuestros estudios posteriores.

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Funcin Escaln Unitario

Note que la seal es continua para todo t excepto en t=0, en donde existe una discontinuidad. u(0)=1/2 para maximizar la simetria. Un ejemplo de funcin escaln unitario es la salida de una fuente de tensin de 1 V en serie con un interruptor que se cierra cuando t=0.

Ing. Ricardo Cajo


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Ejemplo 1

La seal pulso rectangular que se muestra a continuacin , o en general un pulso rectangular que se extiende desde -a hasta +a con amplitud A, se la puede expresar como la diferencia de dos seales escalones desplazadas apropiadamente.

Ing. Ricardo Cajo


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Ejemplo 2

La funcin signo (que denotaremos con sgn(t) se muestra a continuacin.

La funcin signo se puede expresar en trminos de la funcin escaln como

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Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Rampa Unitaria

La funcin rampa se la define de la siguiente forma:

La funcin rampa se la puede obtener mediante la integral de la seal escaln.

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Rampa

El dispositivo que realiza esta operacin se denomina integrador. A diferencia de las funciones escaln y signo , la funcin rampa es continua en t=0. El escalado temporal de una rampa unitaria por un facto a genera una rampa con pendiente a (la funciona rampa unitaria tiene pendiente 1).

Ing. Ricardo Cajo


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Ejemplo 1

Sea x(t)=u(t+2)-2u(t+1)+2u(t)-u(t-2)-2u(t-3)+2u(t-4). Sea y(t) la integral. Entonces

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Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin de muestreo

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Impulso Unitario

Propiedades

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Propiedades

Funcin Impulso Unitario

Desplazamiento

Muestreo: Si x(t) as continua en t0, entonces

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Propiedades

Funcin Impulso Unitario

Escalado

=

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Seales Bsicas en Tiempo Continuo Ejercicio 1

Supongamos que deseamos evaluar las siguientes integrales

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Derivada de la Funcin Impulso

Ing. Ricardo Cajo

Seales Bsicas en Tiempo Continuo Derivada de la Funcin Impulso

Propiedades

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Supongamos que deseamos evaluar las siguientes integrales

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Señales y Sistemas - Capitulo I