C A P T T TI T. o

La transformada de Laplace

9.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS La TFTC es una herramienta poderosa para el análisis de señales y sistemas en TC, pero tiene sus li--itaciones. Existen algunas señales útiles que no tienen una TFTC, incluso en el sentido generaliza-

jue permite impulsos en la TFTC de una señal. La TFTC expresa señales como combinaciones 'rales de senoides complejas. La transformada de Laplace expresa señales como combinaciones li-- _es de exponenciales complejas, las cuales son las funciones propias de las ecuaciones diferenciales

. describen a los sistemas LIT en tiempo continuo. Las senoides complejas son un caso especial de 7'?nenciales complejas. Por lo tanto, la transformada de Laplace es más general que la TFTC. La -->formada de Laplace puede describir funciones que la TFTC no puede. Caracteriza por completo

- respuestas al impulso de sistemas LIT; dado que las describe como combinaciones lineales de ex-;«: vencíales complejas, las funciones propias de los sistemas LIT encapsulan de manera directa las ca-ncterísticaS de un sistema en una forma poderosa. Muchas técnicas de análisis y diseño de sistemas « b a s a n en la transformada de Laplace.

^ [ F T T V O S nFT, C A P Í T I I T O

Formular un nuevo método de transformada, la de Laplace. que es aplicable a más señales y sistemas que la de Fourier. Definir la gama de señales a las cuales se aplica la transformada de Laplace. Mostrar la relación entre las transformadas de Laplace y las de Fourier.

^ Mostrar la relación entre la transformada de Laplace de la respuesta al impulso de un sistema LIT y las fun­ciones propias de ese sistema. Deducir e ilustrar las propiedades de la transformada de Laplace, en especial aquellas que no tienen una con­traparte directa en la transformada de Fourier Mostrar cómo es posible utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales con con­diciones iniciales.

f J FORMULACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

: E D U C C I Ó N Y D E F I N I C I Ó N

Otando se extiende la serie de Fourier a la transformada de Fourier, se deja que el periodo fundamen-«i de la señal periódica aumente hasta infinito para hacer que las frecuencias discretas en la SFTC le combinen en el continuo de frecuencias / en la TFTC. Esto lleva a dos definiciones alternativas de b transformada de Fourier,

X(jcd) = / Y.{t)e-'''"' dt x ( 0

OO

(9.1)

X ( / ) = / Y.{t)e~''-^'f'dt x ( 0 = / X ( / )

OO

/ df. (9.2)

Hay dos enfoques comunes para introducir la transformada de Laplace. Uno es concebirla como una generalización de la transformada de Fourier que expresa funciones como combinaciones lineales de ex­ponenciales complejas en vez de combinaciones lineales de una clase de funciones más restringidas, se-noides complejas, que se utilizan en la transformada de Fourier El otro enfoque es explotar la naturaleza única de la exponencial compleja como la función propia de las ecuaciones diferenciales que describen a sistemas lineales y reconocer que un sistema LIT excitado por una exponencial compleja responde con otra exponencial compleja. La relación entre las exponenciales complejas de excitación y respuesta de un sistema LIT es la transformada de Laplace. En consecuencia, la transformada de Laplace es una forma poderosa de caracterizar un sistema. Se considerarán ambos enfoques.

La transformada de Fourier expresa una señal en el dominio del tiempo como una combinación lineal de senoides complejas de la forma a''"' o é'^'^fi. La forma puede generalizarse cambiando las senoides complejas por exponenciales complejas de la forma e*', donde la variable s puede tomar va­lores complejos generales en oposición a jw o J^TT/IOS cuales solamente toman valores imaginarios (debido a que M y / son variables reales asociadas con el concepto físico real de frecuencia). Si se ge­neraliza simplemente la transformada de Fourier directa reemplazando las senoides complejas por ex­ponenciales complejas, se obtiene la transformada.

£(x( í ) ) = X ( 5 ) = / x{t)e-" dt. (9.3)

que define a una transformada de Laplace directa, donde la notación, L{), significa "transformada de Laplace de".

Puesto que se deja que 5 adopte cualquier valor en el plano complejo, tiene una parte real y una parte imaginaria. Considere que s se expresa como

5 = a + y'co. (9.4)

1 i

Entonces, para el caso especial en el que la parte real de s, a, es cero y la transformada de Fourier de la función x{t) existe en el sentido estricto, la transformada de Laplace directa es equivalente a la transformada de Fourier directa. Si se utiliza 5 = CT + j'w en la transformada de Laplace directa se ob­tiene

X( í ) = j x(?)e-' '^+^"" = j [ x(r)e dt = nMt)e-'"). (9.5)

De tal modo, una manera de conceptualizar la transformada de Laplace es reconocer que equivale a una transformada de Fourier del producto de la función x(r) y un factor de convergencia exponencial real de la forma e~'^' como se ilustra en la figura 9.1.

Pierre-Simon Laplace, 23/3/1749-2/3/1827

x(í)e

FIGURA 9.1 El efecto del factor de convergencia exponencial decreciente sobre la función original.

CAPÍTULO 9 La transformada de Laplace

Es natural preguntar qué se ha ganando al introducir el factor adicional e~°' en el proceso de transformación. Este factor permite, en algunos casos, encontrar transformadas de funciones para las cuales no es posible encontrar la transformada de Fourier. Como se mencionó en el capítulo 5, no exis­ten las transformadas de Fourier de algunas funciones (si se habla en sentido estricto). Por ejemplo, la función

g(í) = Au(t) ( 9 . 6 )

tendría la transformada de Fourier

OO OO

G(;co) = j AuiOe^J"^'dt ^ A j

- 0 0 o 00

dt

G ( / ) = j A\x{t)e-J^''f'dt = A J e'^-^'^'dl. ( 9 . 7 )

Estas integrales no convergen. La técnica utilizada para hacer que la transformada de Fourier conver­ja consistió en multiplicar la señal por un factor de convergencia e~"^'\ donde a es una constante real positiva. Entonces la transformada de Fourier de la señal modificada puede determinarse y tomarse el límite cuando a tiende a cero. La transformada de Fourier que se determina mediante esta técnica se denomina transformada de Fourier generalizada, en la que el impulso se dejó como una parte de la transformada. Observe que, para el tiempo t > O, este factor de convergencia es el mismo en la trans­formada de Laplace y en la transformada de Fourier generalizada, aunque en la de Laplace no se to­ma el límite cuando a tiende a cero. Como se verá dentro de poco hay otras fundones útiles que no tienen ni siquiera una transformada de Fourier generalizada.

Ahora, para deducir formalmente las transformadas de Laplace directa e inversa a partir de la de Fourier, se toma la transformada de Fourier de

en vez de la función original g(r). Esa integral sería entonces

( 9 . 8 )

OO OO

T(gAt)) = GAjo^)= j gAt)e~''''dt = j g(í)í '-<"+^">'Jí. ( 9 . 9 )

Esta integral puede o no converger, dependiendo de la naturaleza de la función g(f) y de la elección del valor de a. De inmediato se investigarán las condiciones en las cuales la integral converge. Utili­zando la notación s = cr + jw.

OO

T{gAt))^C(g(t)) = Gc{s)= j g{t)e^"dt. - D O

Esta es la transformada de Laplace de g(r) si la integral converge. La transformada de Fourier inversa sería

OC OO

T-\G,AÍ<^y)) = gAt) = / G<,(7ü))e+^'"'rfw = / G c(s)e dtí).

Mediante

se obtiene

s = u + JCÚ ds — jdu)

(J+JOC cr+JOO

g A t ) ^ ^ í G^( . )e+<- '^^ ' J . = ^ Í G 72TT J jItt J

cis)e+''ds

(9.10)

(9.11)

(9.12)

(9.13)

(T-JCC CT—yoo

9.2 Formulación de ¡a transformada de Laplace

520 o, dividiendo ambos lados entre e (T+jCO

g(í) = j 2 T T

Gcis)e+'' ds, ( 9 . 1 4 )

CT—/oc la cual define a una transformada de Laplace inversa. Cuando se trata sólo con transformadas de La-place no es necesario usar el subíndice £ para evitar confundirse con la transformada de Fourier y la t c a n s f o r m a d a i i iweTsa pweác esctibiise como

1 a+]0O

j2t: Gis)e+" ds. ( 9 . 1 5 )

(J — JOO

El resultado (9.15) muestra que una función puede expresarse como una combinación lineal de expo­nenciales complejas. Esto es una generalización del hecho de que es factible expresar una función co­mo una combinación lineal de senoides complejas.

El otro enfoque para entender la transformada de Laplace consiste en considerar la respuesta de un sistema LIT excitado por una exponencial compleja de la forma x(í) = Ae^', donde s puede ser cual­quier número complejo. La respuesta es la convolución de la excitación con la respuesta al impulso.

h ( T ) A e " " " ^ ' d T y ( í ) = h ( 0 * X(f) = / h ( T ) x ( í -7)d7 =

-•> -'íi

Ae^ j h ( T ) e - " di x(0 -ce

(9.161

Transformada de Laplace h{t)

Este resultado muestra que la respuesta de un sistema LIT a una excitación de exponencial compleja de la forma Ae*' es una exponencial compleja de la misma forma, pero multiplicada por H(5), la trans­formada de Laplace de la respuesta al impulso del sistema. Es posible expresar señales más útiles como una combinación lineal de exponenciales complejas. Por consiguiente, se puede determinar la respuesta a una excitación multiplicando la transformada de Laplace de la excitación (que expresa la excitación como una combinación lineal de exponenciales complejas) por la transformada de La-place de la respuesta al impulso. Esto es directamente análogo al resultado correspondiente de la trans­formada de Fourier que dice que una excitación a un sistema LIT de la forma Ae'"' produce una respuesta Ae-'"Tf(/'cú), donde H(/w) es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso de dicho sistema LIT. La función Ae^' es más general que la función Ae-i""; por lo tanto, la transformada de La-place es más general que la transformada de Fourier. Esta última es en realidad sólo un caso especial de aquélla, como se definió en la ecuación (9.3), con algunos cambios de notación.

FIGURA 9.2

R E G I Ó N D E C O N V E R G E N C I A

Como se mencionó antes, hay funciones útiles que no tienen ni siquiera una transformada de Fourier generalizada, por ejemplo, la función causal

gi( í) = Ae"'u(í) a > O (9.171

(figura 9.2). Ésta es una función que aumenta sin límite cuando t crece. Aun cuando no tiene una transformada de Fourier, tiene una transformada de Laplace. Ésta es

OO OO

G i ( í ) = J Ae" 'u ( í ) e " ' ' í í í = A j - ( j - a ) r = A

OO

/ dt. ( 9 . 1 8 )

o ¿Converge esta integral? Lo hace si a — a es negativa, esto es, si CT > a. Si CT > a, la función e^" " tiende a cero cuando í tiende a infinito positivo. La especificación a

Una función causal que no es transforma- > a define lo que se denomina la región de convergencia (RDC). La transformada de ble de acuerdo con el método de Fourier. Laplace existe para aquellos valores de í en el plano complejo para los cuales a > a.

En otras palabras, si la parte real de 5 es suficientemente grande, incluso aquellas funciones que ere- 521 cen exponencialmente con el tiempo y son, por lo tanto, no acotadas, tienen una transformada de La- g Formulación place. Al completar la integral en (9.18), ,a transformada de

Laplace A

Gi( í ) = CT = Re ( 5 ) > a. s — a

(9.19)

Este resultado de transformada G^(s) va a infinito en un valor finito de s, s = a. Este punto en el pla­no complejo recibe el nombre de polo de G^(s). Los puntos en el plano s complejo en los cuales la transformada se hace cero se denominan ceros de Gj(j). En este caso no hay ceros finitos de G,(s). Muchas veces resulta informativo granear las posiciones de los polos y ceros finitos de una función en el dominio de Laplace en el plano s complejo. La constelación de polos y ceros expresa mucho (aunque no todo) acerca de la naturaleza de la función a simple vista. La gráfica de polos-ceros para G,(ó-) se ilustra en la figura 9.3 junto con la región de convergencia en el plano s. La región de con­vergencia es esa parte del plano s para la cual la parte real de 5 es mayor que a.

Considere ahora otra función, la función anticausal g-,(t) = Ae~"'u(~f) = g^i-t), a > O (figura 9.4). La integral de la transformada de Laplace es

G2Ís)= j Ae^"'ui-t)e-"dt= J Ae-''^"^'dt.

-OC - O C

La integral converge si a < —a, y la transformada es

(9.20)

Gois) = --A

s + a = Gi(—5) CT < —a. (9.21)

La gráfica de polos-ceros y la región de convergencia de esta función se ilustran en la figura 9.5, Considere ahora que la función por transformar es g(r) = Ae"'. La integral de la transformada se

vuelve

G(s) 00 00

= J Ae^'e-^dt ^ A j e^'e-^'e--"^' dt

00

"e'J-^'dt. (9.22)

Esta integral no converge. No importa qué valor se elija para a, no es posible evaluar la integral en alguno de sus límites, ya sea inferior o superior

Is]

RDC

FIGURA 9.3 Diagrama de polos-ceros y la región de convergencia para G^{s).

FIGURA 9.4 Una función anticausal que no es transformable de acuerdo con el método de Fourier

FIGURA 9.5 Diagrama de polos-ceros y región de convergencia para GJCÍ).

E J E M P L O 9 . 1

Encuentre la transformada de Laplace de

x(í) = e"'u(f) + e'"ü{t). (9.23»

M So luc ión

Mediante la definición

x(í) GC OC

j [e-'m + e--'u(í)]e-^' dt = j + dt u > - \ (9J4)

x(f) + s + l s + 2 a > - 1 . (9.25>

La RDC esa > - 1 . Si se hubieran encontrado las transformadas de Laplace de e~'n{t) y e^^'u(t) por separado, se habrían determinado las dos RDC a > — l y a > — 2 , respectivamente. De modo que la RDC completa es la región que es común a ambas RDC, RDC = RDCj O RDC,.

Para ilustrar la importancia de especificar no sólo la forma algebraica de la transformada de La-place, sino también su RDC, considere las transformadas de Laplace

1

s + a CT > —a (9.26)

E J E M P L O 9 . 2

- é ' - " ' u ( - f ) < > s + a CT < —a. (9.27)

La expresión algebraica para la transformada de Laplace es la misma en cada caso, pero las RDC son totalmente diferentes; de hecho, son mutuamente exclusivas. Esto significa, por ejemplo, que la trans­formada de Laplace de la suma de estas dos funciones no puede encontrarse porque no es posible de­terminar una región en el plano s que sea común a las RDC de ambas e""'u(í) y -e^"'u(-t).

Encuentre la transformada de Laplace de

x(/) = e"'u(r) + e- 'u( - / ) .

• Soluc ión

(9.28)

RDC

= - 1 í = -- 2

nos mdividuales e '\i(t) y e 'u(— t), y la RDC de la suma es la regióiv eu el plauo s que es comúa a las dos RDC I

e-'u(t) 1

s + 1

e'-'u(-t) ^ 1

a > - 1

CT < 2.

(9.29)

(9.30)

FIGURA 9.6 RDC para la transformada de Laplace de x(í) = e-'u(í) + e^'\i{-t).

s - 2

En este caso, hay una región en el plano s que es común a ambas RDC, — 1 < CT < 2, por lo que

£ 1 1 e''u(t) + e^'u(-t)

s + l s-2 - 1 < CT < 2 (9.31) I

(figura 9.6).

i Observe que en el ejemplo 9.2 la RDC contiene al eje w (CT = 0). Eso significa que la inte­

gral [ e " ' u ( 0 + e^'u{-t)]e~-''^' dt converge. Puesto que ésta es exactamente la transformada de Fourier de e" 'u(r) + e ^ ' u ( - r ) , eso implica que su transformada de Fourier existe. Es posible afirmar de manera general que si la región de convergencia de la transformada de Laplace contiene al eje w, existe la transformada de Fourier.

Si la función x{t) está limitada en tiempo en íj < í < y acotada, su transformada de Laplace es

OO h

= J x{t)e-"dt = j x{t)e-"dt. (9.32)

Esta integral converge para cualquier valor finito de s. Por lo tanto, para funciones de este tipo la re­gión de convergencia es el plano í completo.

L A T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E U N I L A T E R A L

En la investigación de la transformada de Laplace es claro que si se considera la gama completa de señales posibles por transformar, a veces es posible encontrar una región de convergencia y a veces no. Si dejan de considerarse algunas funciones patológicas como t' o e'" que crecen más rápido que una exponencial (y no tienen utilidad conocida en la ingeniería), y sólo se toman en cuenta funciones que son cero antes o después del tiempo r = O, la transformada de Laplace y su RDC se vuelven bas­tante más simples. La cualidad que hace que las funciones g j (0 = Ae"'u(t), a > O y g2(f) = Ae~" 'u( - í ) , a > O, sean transformables de acuerdo con el método de Laplace fue que cada una de ellas estaba restringida por una función escalón unitario que era cero para un intervalo semiinfinito de tiempo. La función gj(f) = Aé'"^u(í), a > O, se denomina función causal porque es cero antes del tiem­po í = 0. La función g2(0 = Ae""'u(—r), a > O, recibió el nombre de función anticausal porque es cero después del tiempo t = 0. Ahora es posible generalizar lo que se ha visto hasta el momento. Cual­quier función que se define como cero antes o después de algún tiempo finito r = íq, y cuya variación temporal para el resto del tiempo no es más rápida que una función exponencial, tiene una transfor­mada de Laplace con una región de convergencia que siempre existe y está determinada por el com­portamiento funcional.

Incluso una función tan benigna como g(?) = A, que está acotada para toda t, provoca problemas, debido a que no es simple encontrar un solo factor de conversión que haga que la transformada de La-place converja para todo tiempo. Sin embargo, la función g(r) = Au(í) es transformable de acuerdo con el método de Laplace. La presencia del escalón unitario permite la elección de un factor de con­vergencia para tiempo positivo que hace que la integral de la transformada de Laplace converja. Por esta razón, suele utilizarse en forma convencional una modificación de la transformada de Laplace que evite muchas cuestiones de convergencia. (Se verá dentro de poco que hay algunas otras razones pa­ra usar la forma modificada.) Redefina ahora la transformada de Laplace como

Gis)

OC

( f ) e - " dt. (9.33)

0-

Sólo ha cambiado el límite de integración inferior Con esta nueva definición cualquier función que no crezca más rápido que una exponencial en un tiempo positivo tiene una transformada de Laplace.

La transformada de Laplace definida por

C5C

G ( í ) = / g{t)e-''dt (9.34)

-.e denomina convencionalmente la transformada de Laplace de dos lados o bilateral. La transformá­is de Laplace definida mediante

OO

G(í ) = j g{t)e-''dt

0-se denomina de manera convencional la transformada de Laplace de un lado o unilateral. Esta última es restrictiva en el sentido de que excluye el comportamiento en tiempo negativo de funciones que son

(9.35)

9.2 Formulación de la transformada de Laplace

distintas de cero para tiempo negativo. Sin embargo, en el análisis de cualquier sistema real es posi­ble elegir un origen de tiempo para hacer todas las señales cero antes de ese tiempo; éste no es un problema práctico y tiene algunas ventajas. Puesto que el límite inferior de integración es í = 0~, cual­quier comportamiento funcional de g(í) antes del tiempo í = O es irrelevante para la transformada. Es­to quiere decir que cualquier otra función que tenga el mismo comportamiento en o después del tiempo t = O tendrá la misma transformada. Por consiguiente, para que la transformada sea tínica pa­ra una función en el dominio del tiempo, sólo debe aplicarse a funciones que sean cero antes del tiem­po í = 0.

Incluso para tiempos í > O, la transformada no es en realidad única para una sola función en el dominio del tiempo. Como se mencionó en el capítulo 2 en la explicación de la definición de la función de esca­lón unitario, todas las definiciones tienen exactamente la misma transformada e incluso sus valores son diferentes en el tiempo de discontinuidad t = 0. Éste es un punto matemático sin ningún impacto real en la ingeniería. Si dos funciones difieren de valor en puntos aislados, su efecto como excitaciones sobre cualquier sistema real será idéntico porque no hay energía de señal en una señal en un punto aislado (a menos que haya un impulso en el punto aislado) y los sistemas reales responden a la energía de señales de excitación.

La transformada de Laplace unilateral inversa es exactamente la misma que la deducida para la transformada de Laplace bilateral.

/ G{s)e+" ds. ( 9 . 3 6 )

Es común ver el par de transformadas de Laplace escritas como

00 cr+yoo

L{g{t)) = Gis) = j g(t)e-''dt £-\G(s)) = g(t) = / G(s)e+''ds. ( 9 . 3 7 ) o- CT-yoo

La transformada de Laplace unilateral tiene una RDC simple. Corresponde siempre a la región del pla­no s para el cual cr se encuentra a la derecha de todos los polos de la transformada (figura 9.7).

Es parte de la terminología convencional referirse al dominio s como el dominio de la frecuencia compleja pues s es una variable compleja y puede variar a lo largo de todo el plano complejo comple­to y sus unidades son radianes por segundo. La variable co o / e s real y el dominio al cual una función en el dominio de tiempo es transformada por Fourier, algunas veces se denomina el dominio de fre­

cuencia real. Desde este punto en adelante, la transformada de Laplace unilateral se de-4 ^ ^ nominará simplemente como la transformada de Laplace y la transformada de Laplace

bilateral se designará de manera específica.

RDC — e —

E J E M P L O 9 . 3

Determine la transformada de Laplace de e °"u(í).

• Soluc ión

FIGURA 9.7 RDC para la transformada de Laplace unilateral.

e-"u(r) OO OO

(9 .38)

Esta integral converge para cualquier valor de s cuya parte real CT es mayor que —a. Por lo tanto,

1 e-°'u(f)

L - ( j - l - a ) J „ - s + a

(figura 9.8). Para el caso especial de a = O, e~°"u(f) se vuelve simplemente u(í) y

(figura 9.9).

u(í) - a > O

FIGURA 9.8 Una exponencial decreciente y el diagrama de polos-ceros de su transformada de Laplace.

u(r)

FIGURA 9.9 Escalón unitario y diagrama de polos-ceros de su transformada de Laplace.

(9.39)

525 9.2 Formulación de la transformada de Laplace

(9.40)

E J E M P L O 9 . 4

Encuentre las transformadas de Laplace de las senoides amortiguadas e cos(coQr) u(r) ye"' sen(cúQr) u(r).

• Soluc ión

OC

e~°' cos(ü)oO u(f) < ~ > j e " " cos(wof) u(í)e"" dr

o- 0-

oc

-e'" dt

ce

e-"' cos(wo/) u(f) i J (eO.«o-.-c<)/ ^ ^-um+s+a,,^ ¿¡

(9.41)

(9.42)

e cos(a)o?) u(f) c 1 + 2 Ljwo - (í-1-a) -j'ctío - (.? + a)

(9.43)

e cos(woO u(r) (s + a)- + (üj a > —a (9.44)

526 OO

e ™ s e n ( w o O u ( í ) ^ ^ ^ / e~" sen(woí) u(Oe^" di = o- 0-

CO

J 2 -e"'' dt

e sen(üjo0 u(0 < > — i 2

OO

J ^gO'mo-s-aX _ g - ( 7 ü ) o + . ! + c t ) ( ^

( Í m o - í - a ) r „ - ( ; m o + - ! + a) í

j 2 L 7 W o - ( j + a ) - jwo - (J + a ) Jo-(9.47)

e sen(cüoí)u(í)-(í + a ) 2 + oi¡

(9.48)

Empleando los resultados del ejemplo 9.4 se concluye que las senoides no amortiguadas (a = 0) tienen las transformadas de Laplace

cos(cüoí) u(í) 7 , 2

CT > O ( 9 . 4 9 )

sen(ODOO u ( f ) ^ ^ , , CT > O, ( 9 . 5 0 )

y que la exponencial decreciente (»„ = 0) tiene la transformada de Laplace

e-^'uit) c 1

s + a CT > —a ( 9 . 5 1 )

como se vio en el ejemplo 9.3. La consideración de la señal en el dominio del tiempo e"' COS(WQÍ) U(Í) y su transformada de Laplace, {s - a)/[(í - a)^ + co^], conduce al diagrama de la figura 9.10 que re­laciona la tasa de crecimiento exponencial a y la frecuencia en radianes no amortiguada COQ con las ubicaciones de los polos y los ceros.

FIGURA 9.10 Ilustración, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, de los efectos del parámetro a de la tasa de decaimiento y la frecuencia en radianes íOq. Incremento de a

E J E M P L O 9 .

Determine la transformada de Laplace de 8(í).

• Soluc ión

La integral de la transformada de Laplace puede evaluarse mediante la propiedad de muestreo del impulso.

8(0 (9.52)

La RDC es el plano i completo.

9.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace tiene propiedades similares a las de la TFTC. Si

£(g( í ) ) = G( í ) y A h ( 0 ) = H ( í ) ( 9 . 5 3 )

y g{t) = O para r < O y h(r) = O para t < O, entonces es posible demostrar que se cumplen las siguien­tes propiedades.

L I N E A L I D A D

La propiedad de linealidad es exactamente la misma para la transformada de Laplace y la TFTC y se demuestra de la misma manera.

ag(t) + ph(r) < > aG{s) + (3H(Í) ( 9 . 5 4 )

D E S P L A Z A M I E N T O E N E L T I E M P O

Sea ?Q una constante real positiva. Entonces 00

g(r - to) j g{t - to)e-" dt.

0-

Efectuando el cambio de variable,

y (9.55) se vuelve

\ = t - to

g(t - to) /

d\ = dt

Si g(t) = O para t < O, OO

(r - to) e""" j gi\)e-'^d\ = e-^'^Gis).

0-

La propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Laplace es

g(f - to) < > G(s)e -sil) to > 0 .

( 9 . 5 5 )

( 9 . 5 6 )

( 9 . 5 7 )

( 9 . 5 8 )

( 9 . 5 9 )

Esta propiedad sólo es válida para desplazamientos en el tiempo hacia la derecha (retrasos de tiem­po) porque sólo para señales retrasadas la parte distinta de cero completa de la señal se incluye en la

528 g(f)

g(t - ío)

FIGURA 9.11 Desplazamientos de una función causal.

ii

integral desde 0~ hasta infinito. Si una señal se desplazara hacia la izquierda (avanzada en el tiempo), parte de ella podría ocurrir antes del tiempo f = O y no se incluiría dentro de los límites de la integral de la transformada de Laplace. Eso destruiría la relación tínica entre las transformadas de la señal y de su versión desplazada, lo que haría imposible relacionarlas de cualquier manera general (figura 9.11).

D E S P L A Z A M I E N T O E N L A F R E C U E N C I A C O M P L E J A

Sea ÍQ una constante. En ese caso

e^'"g(í) ^ j e""g{t)e-"dt

0-

e^o'o(t) ^ I g(r)e-''-'o^'dt = G(s - SQ).

( 9 . 6 0 )

( 9 . 6 1 )

0 -

La propiedad de desplazainiento en la frecuencia compleja de la transformada de Laplace es

e*'g(f) < > G(s - SQ). ( 9 . 6 2 )

E S C A L A M I E N T O E N E L T I E M P O

Sea a cualquier constante real positiva. Entonces la transformada de Laplace de g{at) es

g(aO

Sea X = aty dX = adt. Entonces

OO

CO

/ 0-

'Xat)e-"dt.

g(flí)

OC

a J a O-

s \a

c 1 g{at) < > - G

a \a 0.

( 9 . 6 3 )

a > O

La constante a no puede ser negativa porque convertiría una señal causal en una no causal y la trans­formada de Laplace unilateral sólo es válida para señales causales. Del mismo modo que se encontró para la transformada de Fourier, una compresión de la señal de tiempo corresponde a una expansión de su transformada de Laplace, y viceversa.

E J E M P L O 9 . 6

Encuentre las transformadas de Laplace de

x(r) = u(0 - u(f - a) (9.64)

x(2r) = u(2r) - u(2f - a). (9.65)

• Soluc ión Ya se había encontrado la transformada de Laplace de u(í), l/s. Utilizando las propiedades de linealidad y desplaza­miento en el tíempo,

u(í) - u(/ - a) c l - e (9.66)

Ahora, si se utiliza la propiedad de escalamiento en el tiempo,

£ 1 1 - e-"'''-' 1 - e-*''^/^' u(20 - u(2/ - a)

2 s/2 s (9.67)

E S C A L A M I E N T O E N F R E C U E N C I A

Sea a cualquier constante real positiva. En ese caso, mediante la propiedad de escalamiento en el tiem­po de la transformada de Laplace,

c 1 í s giat) < > - G -

a \a a > Q.

Sea b = \l a. Entonces

. a l - ) bG(bs) b > O •.b,

( 9 . 6 8 )

( 9 . 6 9 )

\b) G{bs) b > O

y la propiedad de escalamiento en frecuencia de la transformada de Laplace es

- g - < > G(as) a > 0. a \a /

( 9 . 7 0 )

( 9 . 7 1 )

P R I M E R A D I F E R E N C I A C I Ó N E N E L T I E M P O

\ partir de la definición de la transformada de Laplace,

Gis) = j g{t)e-''dt. o-

Se evalúa la integral por partes mediante

j udv = uv — j vdu

( 9 . 7 2 )

( 9 . 7 3 ) 529

530 y si

Entonces

u — g(í) y dv — e ^' dt.

du = —{g{t))dt dt y V = —e

s

( 9 . 7 4 )

( 9 . 7 5 )

OO

/ o-

g{t)e-"dt^ g{t) (-\]e^" + - / -{g{t))e-"dt o- s J dt

o-

1 \ C d Gis) = - g ( O - ) + - / —igit))e'"dt

s s J dt 0-

[donde se entiende que Re(í) = CT se eligió para hacer que Gis) exista]. Entonces

oc

C ^ ( g ( r ) ) j = j j^igit))e-"dt = sGis) - giQ-)

0-

y la propiedad de la primera diferenciación en el tiempo de la transformada de Lapl

( 9 . 7 6 )

( 9 . 7 7 )

lace es

^ ( g ( r ) ) « í G ( í ) - g ( O - ) . dt

( 9 . 7 8 )

( 9 . 7 9 )

La anterior es una de las propiedades más importantes de la transformada de Laplace (unilateral). No tiene contraparte en la transformada de Fourier porque la de Laplace tiene un punto de inicio en el tiempo y la de Fourier no. Ésta es la propiedad que hace que la solución de problemas transitorios sea más fácil utilizando la transformada de Laplace que la de Fourier. Cuando se usa la propiedad de diferenciación para resolver ecuaciones diferenciales, la condición inicial g(0~) se requiere de mane­ra automática en la forma apropiada como una parte inherente del proceso de transformación.

S E G U N D A D I F E R E N C I A C I Ó N E N E L T I E M P O

Esta propiedad puede demostrarse utilizando la propiedad de la primera diferenciación en el tiempo y aplicándola a la derivada en el tiempo para formar una segunda derivada. La segunda derivada en el tiempo de una función g(f) es

( 9 . 8 0 )

Por lo tanto, utilizando

d^ d f d \ ^ ( g ( 0 ) = - ( - ( g ( 0 ) ) .

^ ( g ( 0 ) « sGis) - g(O-) dt

se obtiene

d^

dt^

d'

(g (0 ) I d 1 = sC —(g( í ) ) dt

- - ( g ( 0 )

( 9 . 8 1 )

( 9 . 8 2 ) í = 0 -

d^ ] d

— ( g ( í ) ) j = s{sGis) - g(0-)} - — ( g ( 0 ) t=o-

= s^Gis) - sgiO~) - - ^ ( g ( O ) dt

( 9 . 8 3 ) t=o-

La propiedad de segunda diferenciación en el tiempo de la transformada de Laplace es

( 9 . 8 4 )

Al igual que la propiedad de la primera diferenciación en el tiempo, esta propiedad también es importante en la solución de ecuaciones diferenciales porque maneja de manera automática las con­diciones iniciales en una forma muy sistematizada. Puede extenderse a cualquier número de deriva­das, aunque, en la práctica, la primera y la segunda son las que se necesitan más a menudo.

D I F E R E N C I A C I Ó N E N F R E C U E N C I A C O M P L E J A

De la definición de la transformada de Laplace,

531 9.3 Propiedades de ia transformada de Laplace

G ( 5 ) = j g(t)e-"dt.

0-

Al diferenciar con respecto a Í,

d

ds (G ( 5 ) ) ig(t)e-")dt

( 9 . 8 5 )

0- 0-

= j -tg(t)e-" dt = C(-tgit)) 0-

-tg(r) ds

(Gis)).

( 9 . 8 6 )

( 9 . 8 7 )

D U A L I D A D M U L T I P L I C A C I O N - C O N V O L U C I O N

La convolución en el dominio del tiempo de g(r) con h(r) es OC

g ( í ) * h ( f ) = / g ( T ) h ( í - T ) ¿ T .

Puesto que g ( í ) es cero para tiempo t < 0.

OC

g ( f ) * h ( f ) = j g(T)h(t - t) dT .

0-

A partir de la definición de la transformada de Laplace,

OC r OC

L[g{t)*h{t)] = j J g ( T ) h ( f - T ) ¿ T

O- Lo-e~" dt

C[g{t) * li(í)] = j g ( T ) j e-"Ht - T ) dt

O- Lo-dt.

Puesto que h(í) es cero para el tiempo t < O,

C[g{t)*h{t)] = j g (T) I e~''hit-

0-

7)dt di.

( 9 . 8 8 )

( 9 . 8 9 )

( 9 . 9 0 )

( 9 . 9 1 )

532 Sea \ = t — j y dX = dt. Entonces

£ [ g ( í ) * h ( í ) ] =

ce p

co

/ g ( T ) / di ( 9 , 9 2 ) J 0-

_o-

~ OO

( T ) \ e-'^HX)dX ( 9 . 9 3 ) J

0-J

oc n

H(í)

H(í) / ? - " g ( T ) í / T = G ( í ) H ( 5 ) . J

0-La propiedad de convolución en el dominio del tiempo de la transformada de Laplace es

g ( í )*h( í ) < > G( í )H( í ) . ( 9 . 9 4 )

La transformada de Laplace de un producto de funciones en el dominio del tiempo es

£[g(í)h(f)] =

OC f / g ( í ) h ( í ) e - "

0-cc í ^ í (

J J2TT J 0- a—yoc

G(w)e"-'' dw h{t)e-" dt,

( 9 . 9 5 )

donde a se elige para hacer que existan G{s) y li{s). Al hacer primero la integración con respecto a t,

£[g(í)h(r)] = -1

a+joc

G{w)

(J—JOO

h(í)e- '^-" '"df

Lo-

dw.

Si His) existe, entonces

h(^)g-(^-".')í ¿¡ ^ H( í - w)

0-

( 9 . 9 6 )

( 9 . 9 7 )

a+jcc

£[g( í )h(r) ] = — í G(w)H{s - w)dw. JZTT J

( 9 . 9 8 )

Por lo tanto.

l(tMt) ^

(J+JX

j2tt G(k,I)H(Í — w) dw. ( 9 . 9 9 )

La integral en (9.99) es casi una convolución no periódica en el sentido definido antes en el capítulo 3, aunque no exactamente. Ésta es una integral de contorno en el plano complejo y rebasa los objeti­vos de este libro.

La propiedad de dualidad multiplicación-convolución es importante porque es la base de la idea de la función de transferencia justo como lo fue con la transformada de Fourier. La operación básica de sistemas de convolucionar la excitación con la respuesta al impulso en el dominio del tiempo para ob­tener la respuesta en el dominio del tiempo

y(í) = x ( í ) * h ( f ) ( 9 . 1 0 0 )

se convierte en una multiplicación de la excitación por la función de transferencia en el dominio de la 533 frecuencia para obtener la respuesta en este mismo dominio „ „ „ . , ,

9.3 Propiedades de la transformada de

( 9 . 1 0 1 ) Laplace Y{s) = X(sms).

I N T E G R A C I Ó N

La propiedad de integración es fácil de demostrar si se utiliza la propiedad de convolución que acaba de demostrarse en la sección de la dualidad multiplicación-convolución y el hecho de que

OC t

g ( 0 * u ( í ) = j g ( T ) u ( í - T ) í Í T = j g ( T ) j T

- O C 0-

y{t)*u{t) ^ G{s)U{s) = -Gis). s

Por consiguiente,

( 9 . 1 0 2 )

( 9 . 1 0 3 )

( 9 . 1 0 4 )

T E O R E M A D E L V A L O R I N I C I A L

Utilizando la propiedad de la primera diferenciación en el tiempo de la transformada de Laplace,

£ ] ¿ ( g ( 0 ) d

dt igit))e-''dt = sGis)-giQ-)-

0-

Sea s oo; entonces OC

l ím / l ím / —igit))e~" dt = \ím[sGis) - ziQ-)] dt

0-

( 9 . 1 0 5 )

( 9 . 1 0 6 )

lím — ( g ( í ) ) e - ' ' dt = lím [sGis) - g(0~)l í ^ o o I dt I i ^ O C

0-

( 9 . 1 0 7 )

Caso 1 g( f ) es continua en í = 0. Si la transformada de Laplace de g (0 , Gis), existe para Re(í) = CT > CTg, la cantidad id/dt)igit))e~-^' tiende a cero cuando s tiende a infinito y

O = lím [sGis) - g(0-)]

g(0") = lím sGis)

( 9 . 1 0 8 )

( 9 . 1 0 9 )

y, puesto que g(í) es continua en í = O, g(0 ) = g(0+) y

g(0+) lím sGis). ( 9 . 1 1 0 )

Caso 2 g(í) es discontinua en í = 0. En este caso, la discontinuidad de g(í) en í = O significa que la derivada de g(í) tiene un impulso en í = O y la intensidad del impulso es g(0+) - g(0"). Ahora la in­tegral lím^^^oo j^id/dt)igit))e'" dt se vuelve

OO 0+ OO

lim í ~igit))e"" dt = lím [ [g(0+) - g ( 0 - ) ] 8 ( 0 e - ^ ' + lím í ^igit))e^" dt ( 9 . 1 1 1 ) í-*ooJ dt s-*oc J s^oaj dt

=0

y, mediante la propiedad de muestreo del impulso en la primera integral de (9.111), OO

lim / ^{g{t))e-"dt = lím [g(0+) - g (0- ) ] = g(0+) - g(O-). ( 9 . 1 1 2 )

O"

Por lo tanto.

g(0+) - g(O-) = lím ísG(s) - g (0- ) ] = lím sG(s) - g(O-) ( 9 . 1 1 3 )

g(0+) = lím sG(s), ( 9 . 1 1 4 )

y el resultado es el mismo que el del caso 1.

T E O R E M A D E L V A L O R F I N A L

A partir de la propiedad de la primera diferenciación en el tiempo de la transformada de Laplace,

OO

lím í ^(g{t))e-'" dt s^oj dt

0-

— lím[5G(5-) — g(o- ) ] ( 9 . 1 1 5 )

0-

^im)e-']dt = lím[íG(5) — g(o - ) ] ( 9 . 1 1 6 )

OO

/ ^ , g ( 0 ) *

0-

= lím[íG(5) — g(o- ) ] ( 9 . 1 1 7 )

lím [g(0 - g (0- ) ] —*-0C

= \ím[sGis) - g(0~)] . ( 9 . 1 1 8 )

Entonces, si límr^oo g(í) existe, el teorema del valor final de la transformada de Laplace es

lím g ( 0 = l í m í G ( í ) . ( 9 . 1 1 9 )

Debe subrayarse que esta propiedad sólo se aplica si l ím,^ocg( í ) existe. Es posible que l ímj^o sG{s) exista, pero no límr^oo g(í) • Por ejemplo, suponga

X(s) = ( 9 . 1 2 0 )

Entonces

l í m í X ( í ) = lím — r- = 0. ( 9 . 1 2 1 )

No obstante, la transformada de Laplace inversa de X{s) es

x(í) — cos(wof) ( 9 . 1 2 2 )

y lím,^co x(0 no existe. Por lo tanto, la conclusión de (9.121) de que el valor final de x(0 es cero, es incorrecta.

Determine el valor final de la respuesta y(?) de un sistema cuya función de transferencia es

s + 3 + 45 + 5

(9.123)

cuando el sistema se excita mediante un escalón unitario y cuando se excita mediante un impulso unitario.

• Soluc ión

Si el sistema se excita por medio de un escalón unitario, la transformada de Laplace de la respuesta es

H- , ( í ) = -s + 3

s s- + 4s + 5 (9.124)

y el valor final de h_¡(r) es entonces

lím h_,(í) = l ímíH_i( í ) = üms- ^ ^ = (9.125)

s^o j ^ o i 5 - + 4í + 5 5

Si el sistema se excita mediante un impulso unitario, la transformada de Laplace de la respuesta es

s + 3 ''^''-^+4s + 5

y el valor final de h(f) es entonces

lím h(0 = límíHÍj) = líms , ^ = 0. f->oo j ^ o j ^ o i - + 4í + 5

(9.126)

(9.127)

E J E M P L O 9 . 7

R E S U M E N D E L A S P R O P I E D A D E S D E L A T R A N S F O R M A D A

D E L A P L A C E U N I L A T E R A L

Linealidad

Desplazamiento en el tiempo

Desplazamiento en la frecuencia compleja

Escalamiento en el tiempo

Escalamiento en frecuencia

Primera diferenciación en el tiempo

~ egunda diferenciación en el tiempo

1 iferenciación en frecuencia compleja

Dualidad multiplicación-convolución

jitegracion

ag(r) -f- ph(f) aG{s) + p H ( í )

g(f - ?o) ^ G{s)e-"' fo > O

e°'g(r) G{s - a)

g{at) <—> - G ( - ) a > O a ^a'

^ G{as) a>0

^ ( g ( r ) ) « sG{s) - g(O-) dt

d^ d — (g(í)) ^ s^Gis) - 5 g ( 0 - ) - —(g(0) ,=o-dt^ dt

- í g ( í ) ^ ^ ( G ( ^ ) ) ds

g ( í ) * h ( í ) < > G( í )H (5 )

u+joo

g«)h(I) — í

j2ii J G{w)¥L(s — w)dw

<J — JCO

t

/ ; ( T ) á T < > 535

536 Teorema del valor inicial

Teorema del valor final

g(0+) = lím í G ( í ) S^CG

Hm g(í) = lím sG{s) si lím g(í) existe

Estas propiedades, junto con la tabla de transformadas de Laplace comunes del apéndice F, pue­den emplearse para resolver una amplia variedad de problemas prácticos de ingeniería.

9.4 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA QUE UTILIZA EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

La tabla de transformadas de Laplace del apéndice F se estableció con base en las definiciones inte­grales de las transformadas de Laplace directa e inversa. En la práctica de la ingeniería es raro usarlas para determinar las transformadas directa o inversa. Es mucho más común recurrir a tablas y propie­dades para encontrar las transformadas debido a que casi todo problema de ingeniería real implica combinaciones lineales de funciones que aparecen en tablas estándar.

Un tipo muy común de problema en el análisis de señales y sistemas que utiliza métodos de La-place consiste en encontrar la transformada inversa de una función en el dominio s en la forma de un cociente de polinomios en .5,

Gis) = b,s'' + b,.,s''~' H Ir biS + bo

+ ÜD-lS^ ' -I h fllí + flO (9.128)

donde los coeficientes by aú&\ numerador y el denominador, respectivamente, son constantes. Pues­to que los órdenes del numerador y el denominador son arbitrarios, esta función no aparece en tablas estándar de las transformadas de Laplace. Sin embargo, dadas ciertas condiciones muy comunes, me­diante una técnica llamada expansión en fracciones parciales, puede expresarse como una suma de funciones que sí aparecen en tablas estándar de transformadas de Laplace.

Siempre es posible (al menos al principio) factorizar el polinomio del denominador y poner la función en la forma

G{s) = b^s^ - 1 - ¿),v_ií + - I - bxs - I - b{)

( í - p{){s ~ pi) • • • {s - pd) (9.129)

donde las p son los polos de G(s). Se supondrá, por ahora, el caso más simple, de que no hay polos repetidos y de que D > N, haciendo la fracción propia en s. Una vez que se han identificado los po­los es necesario escribir la función en la forma de fracciones parciales.

Gis) = — + -- + S - pi S - P2 + s - Pd

(9.130)

si es posible determinar los valores correctos de las K. Para que esta forma de la función sea correcta, la ecuación

^A--.;'^' + + --- + biS'{-bQ

is - pi){s - P2)-- - is - Pd)

K,

S - P2 s - Pd (9.131)

debe satisfacerse para cualquier valor arbitrario de s. Dicha ecuación puede resolverse poniendo el la­do derecho en la forma de una sola fracción con un denominador común que es igual que el del lado izquierdo, y luego igualando los coeficientes de cada potencia de s en los numeradores y resolviendo esas D ecuaciones para los D valores de las K. Sin embai'go, hay una manera más sencilla. Al multi­plicar ambos lados de (9.131) por s - p^.

is - Pl) bNS^ + bN-is^''^ + --- + bis + bo

is - pi)is - P2)

(s - pi)-S - Pl

+ i s - p{)-

• (s - Pd)

S - P2 + + ( í - Pl)-Kd

s - PdI (9.132)

T| 1

(s - Pi) • • • (s - Pd)

= Ki + {s-pi) '— + ... + (s - pi)- " S - p2 s - Pd

(9.133)

Como (9.133) debe satisfacerse para cualquier valor arbitrario de s, considere s = p^. Todos los fac­tores (s — p^) en el lado derecho se vuelven cero y (9.133) se vuelve

^ 1 = iPi - Pi) ••• iPi - Pd)

(9.134)

y de inmediato se tiene el valor de K^. Es factible recurrir a la misma técnica para encontrar todas las demás K. En ese caso, utilizando el par de transformadas de Laplace

e-"'u{t) <-1

s + a

se puede determinar la transformada de Laplace inversa como

g{t) = {KieP^' + KieP" + ••• + KDeP°')u{t).

(9.135)

(9.136)

La situación más común en la práctica es que no hay polos repetidos, aunque se verá lo que ocu­rre si se tienen dos polos que son idénticos,

G(s) = bxs'^ + bN.is''-' + --- + bis + bo

(s - Pi)-is - p^) • • - (s - P d )

Si se intenta la misma técnica para deteraiinar la forma de la fracción parcial, se obtiene

Gis) = \ s - pi s - pi s - Pi

Sin embargo, ésta puede escribirse como

K]¡ + Ki2 _|_ -^3 , ^D

+ ... + K,

Gis) s - pi S ~ P3 s - Pd s - pj

s - Pd

Ki ^ K3

s - Pi

Kj

s - Pd

(9.137)

(9.138)

(9.139)

Se ve en este caso que la suma de las dos constantes arbitrarias AT j -I- iTj, es en realidad sólo una cons-:ante arbitraria única; realmente sólo hay un número Z) - 1 de \'alores de K, no un número D de va-_ 3res de K\ y cuando se forma el denominador común, no es igual que el denominador de la función

riginal. Es posible cambiar la forma de la expansión en fracciones parciales a

Gis) = K,

is - p i ) 2 s - p3 s - Pd

(9.140)

- ese caso, si se intenta resolver la ecuación determinando un denominador común e igualando las -.encías iguales de s, se encontraría que hay D ecuaciones con D — l incógnitas y que no existe una _ ución única. La solución a este problema es encontrar una expansión en fracciones parciales de la rma

Gis) = K 1 2

(s-pi)' S - pi S - P3 +

Kj

s - Pd

(9.141)

9.4 La transformada de Laplace inversa que utiliza expansión en fracciones parciales

538 Es factible determinar multiplicando ambos lados de

bf^s'^ + fe/y-i^^"' + ••• + bis +bo

{s - piYis - P3)---{s - P d )

por (s — Pi)^, lo que produce

¿A/ í^ + + • • • + b^s + bo

Kd

s - Pd ( 9 . 1 4 2 )

( í - /?3) • • • ( í - Pd)

K 12 {s - pi)Ku + {s- Pl)'

y dejando después s = p^, con lo que se obtiene

s - P3

bNPi +bN_ip';' ^ + ••• + bipi + bo

+ {s-pif K,

s - PdA ( 9 . 1 4 3 )

K„ = ipi - p3) •••{pi- Pd)

Pero cuando se intenta determinar K^^ mediante la técnica usual, se presenta otro problema,

, bNS^ + bN-is"~^ + --- + bis+bo

Kd

(s - Pi)-(s - pi)^is - p3) •••(s - Pd)

(s - Pl)- ^ - y + - Pl) h ( í - Pl) = \ + (s - Pl) {s - Pi)^ s - Pl s - P3

b^,s^ + bN-is^-^ + --- + bis + bo _ Ki2

(s - pi)(s - p3) • • - (s - Pd) s - Pl

S - PDJ

+ Ku.

( 9 . 1 4 4 )

( 9 . 1 4 5 )

Ahora, si se deja s = p^,&e produce una división entre cero en ambos lados de la ecuación y no es po­sible resolverla para K^^. Sin embargo, se evita este problema multiplicando por {s — p^)"^, con lo que se llega a

bNs'' + bN-is'^ ' + --- + bis + bo

(s - p3) • • • {s - Pd)

Ki2 + ( í - Pi)Ku + (s- piY + - - - + Í S - piY S - P3

como en (9.143), y diferenciando luego con respecto a s, resulta en

'bNS^ + bN-is^~^ + --- + bis+bQ'

s - Pd} ( 9 . 1 4 6 )

d d¡

K

+

(s - p3) • • • (s - Pd)

(s - P3)2{S - Pl) - ( s - pi)^

i s - P3)'

(S - Pq)2(s - Pl) - (S - pi)^

K3

(s - Pd)^

Luego se establece 5 = pj y se despeja K^^,

K, ( 9 . 1 4 7 )

ds bNs" + b N - i s " - ' + - - - + bis + bo

(s - p3) • • • (s - Pd) = — [ ( í - Pi)Ms)]s-

ds ( 9 . 1 4 8 )

Si hubiera habido una raíz repetida de orden superior, por ejemplo, triple, cuádruple, etc., se encon­trarían los coeficientes extendiendo esta idea de diferenciación a derivadas múltiples. En general, si Ris) es de la forma

H( í ) = (s - pi)is - p2)---{s - PD-í)is - PD)""

con D — l polos distintos y un polo D-ésimo repetido de orden m, ésta puede escribirse como

Kl K2 ^ , KD-I , KD,m

(9.149)

H( í ) = S - pi S - P2

Ko.m-l + - PD) m-l +

s - PD-1

KD,I

+ {s - PD)"

s - PD (9.150)

donde las K para los polos no repetidos se encuentran como antes y donde

1 d " - * KD,k — (m - k)l ds'"-''

lis - PD)'"IÍ{S)]s- •PD k^l,2,.. , m (9.151)

y se entiende que O! = 1. Se examinará ahora el efecto de la violación de una de las suposiciones en la explicación origi­

nal del método de expansión en fracciones parciales, la suposición de que Gis) es una función propia en í. Si > D, no es posible expandir en fracciones parciales porque la expresión de fracciones par­ciales es de la forma

G( í ) = K2

+ S - pi S - P2

+ K,

s - PD (9.152)

si se hubieran combinado estas fracciones para determinar un denominador común, el numerador r multante no podría tener una potencia de s mayor que D — \. Por lo tanto, cualquier cociente de po-.omios en s que se expanda en fracciones parciales debe ser propio en s. Ésta no es una gran res--ción porque, si la fracción es impropia en s, siempre es posible dividir sintéticamente el -Hierador entre el denominador hasta que se tenga un residuo que sea de un orden más bajo que

: denominador. En ese caso se tendrá una expresión consistente en la suma de términos con poten-. _ 5 enteras no negativas de s más una fracción propia en Í . Los términos con potencias no negati-_ de 5 tienen transformadas de Laplace inversas que son impulsos y singularidades de orden ^rerior (véase el ejemplo 9.9).

Ahora que se ha visto cómo determinar una transformada inversa utilizando la expansión en frac-rsones parciales es posible demostrar en qué condiciones una función de la forma

G{s) = b^S^ +bN-ls''-' + --- + b,S + bo

• OD-IS D-l + ••• + ais + (9.153)

le una transformada inversa para la cual se aplica el teorema del valor ñnal. Primero, si la fracción ..Tipropia en s, entonces el numerador debe dividirse sintéticamente por el denominador hasta que :; rme la fracción propia. Luego se factoriza el denominador y, si los polos son distintos, es posible : : í s a r la función en la forma de fracciones parciales

G(s) = S - pi S - P2 + ••• +

K,

s - PD

r m a de la correspondiente función en el dominio del tiempo es

g(f) = KieP^' + K2eP'-' + ••• + KDCP^'.

(9.154)

(9.155)

los polos están en el semiplano izquierdo abierto, todos los términos en (9.155) tienden a ..ndo el tiempo tiende a infinito, lím;->oo g ( 0 es cero, y se aplica el teorema del valor final. Si ente uno de los polos está en cero, entonces uno de los términos en g(0 es una constante y

9.4 La transformada de Laplace inversa que utiliza expansión en fracciones parciales

línit^co g ( 0 aún existe, pero no es cero, y sigue aplicándose el teorema del valor final. Considere que un solo polo en cero es p^. En ese caso

( 9 . 1 5 6 )

lím g(í) lím {Ki + K2eP'^' + • • • + RDCP"') = K i . ( 9 . 1 5 7 )

El cálculo correspondiente en el dominio de la frecuencia es

lím sG(s) = lím s S - P2

+ • • • + Kr

s - PDA

( 9 . 1 5 8 )

Si hay un polo en el eje co en un punto que no sea cero, hay al menos un par de conjugados comple­jos de polos en el eje w, g(í) contiene una senoide no amortiguada y lím^^^ g(í) no existe.

Si hay algunos polos repetidos sobre el eje w, incluso en cero, lím,_^^ g(í) no existe porque el polo repetido introduce una función en el dominio del tiempo de la forma Kt o K t cos(wQf -I- 0), las cuales se incrementan con el tiempo. De modo que es posible resumir afirmando que si hay algunos polos en el semiplano derecho o si hay más de un polo sobre el eje cü no se aplica el teorema del valor final.

MATLAB tiene una función r e s i d u e para determinar residuos, que se utiliza en la determina­ción de expansiones en fracciones parciales. La sintaxis es

[ r , p , k ] = r e s i d u e ( b , a )

donde b = vector de coeñcientes de potencias descendentes de s en el numerador de la expresión a = vector de coeficientes de potencias descendentes de s en el denominador de la expresión r = vector de residuos p = vector de ubicaciones de polos k = vector de los llamados términos directos que resultan cuando el grado del numerador es

igual o mayor que el del denominador.

Los vectores a y b siempre deben incluir todas las potencias de Í descendiendo hasta cero. Los resi­duos son los numeradores en la expansión en fracciones parciales.

Por ejemplo, suponga que se desea expandir la expresión

3s + 1 H ( 5 ) ^ - ^ ;

s^ + 5s^ + 2s^ + ls + 3 ( 9 . 1 5 9 )

en fracciones parciales. En MATLAB,

» b = [1 3 1] ; a = [1 5 2 7 3] ; » [ r , p , k ] = r e s i d u e ( b , a ) ; » r

r =

-O . 0856 0 . 0 4 9 6 - 0 . 2 3 6 9 Í 0 . 0 4 9 6 + 0 . 2 3 6 9 Í

- 0 . 0 1 3 5 » p

P =

- 4 . 8587 0 . 1 4 4 1 + 1 . 1 9 0 2 1 0 . 1 4 4 1 - 1 . 1 9 0 2 1

- 0 . 4 2 9 5

» k

k =

De modo que hay cuatro polos, en -4 .8587, 0.1441 +J1.1902, 0.1441 - j l . l 9G2 y -0 .4295 , y los re­siduos en dichos polos son -0 .0856, 0.0496 - ; 0 . 2 3 6 9 , 0.0496 + jO.2369 y -0 .0135 , respectivamen­te. No hay términos directos porque li(s) es una fracción propia en s. Ahora es posible escribir H{s) como

0.0496 - 70.2369 0.0496 + yO.2369 H( . ) = _ +

s - 0.1441 - j l . 1 9 0 2 í - 0.1441 + j l . l 9 0 2

0.0856 0.0135

5 + 0.48587 í + 0.4295

o, combinando los dos términos con polos complejos y residuos en un término,

0.0991 í 0 . 5 4 9 5 0.0856 0.0135 H ( 5 ) =

- 0.2883í-f- 1.437 Í - h 0.48587 s 0 . 4 2 9 5 '

( 9 . 1 6 0 )

( 9 . 1 6 1 )

541 9.4 La transformada de Laplace Inversa que utiliza expansión en fracciones parciales

Determine la transformada de Laplace inversa de G(s) = lOs

is + l)is + 3)

• Soluc ión Es posible expandir esta expresión en fracciones parciales y obtener

5 15 G(í) = -f

s+l s+3

Después, utilizando

(9 .162)

e-'-'uit) (9 .163)

a partir de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice F. se obtiene

g(f) = 5(3e--" - e - ' ) u ( f ) . (9 .164)

E.JE\!I'L() 9 . 9

Encuentre la transformada de Laplace inversa de G(s) = 105-

(5 + 1)(5 + 3)

• Soluc ión El coeficiente de e'" es una fracción impropia en 5. Al dividir sintéticamente el numerador entre el denominador, se obtiene

10 s^ + (45 + 3)105-

105- + 405 + 30 -405 - 30

105^ (5-h l)(5 + 3)

= 10 -405 + 30

52 + 45 + 3 ' (9 .165)

i!

542 CAPÍTULO 9 La transformada de Laplace

Por lo tanto,

g ( f )

10 - •

1 r 1 1 ^

1 / 1 3

1 4 5

4 0 -

F I G U R A 9 . 1 2 Transformada de Laplace inversa de G(s) = (,,_|_'i°^.t+3)g~'' •

Gis) = e-' 10 -4Qs + 30

(s+ l ) ( í + 3)J

Expandiendo la fracción (impropia) en s en fracciones parciales,

9 1 G{s) = 1 0 - 5

s + 3 s +

Después, mediante

(9 .166)

(9.167)

s + a y 8(0

y la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Laplace, se obtiene

g(r) = 105(r - 1) - 5{9e-^''-" - e-~"~")u(t - 1)

(figura 9.12).

(9 .168)

(9 .169)

E J E M P L O 9 . 1 0

Encuentre la transformada de Laplace inversa de G ( Í ) = (5 + 3 ) ( í 2 + 4 5 + 5)

• Soluc ión Si se toma la ruta usual de determinar una expansión en fracciones parciales, primero debe factorizarse el deno­minador.

Gis) = is + 3)(í + 2 + j)is + 2- j)

Después, expandiendo en fracciones parciales.

í- l-3 s + 2 + j s + 2- j

(9.170)

(9 .171)

Con rafees complejas como éstas existe una opción. Es posible 1) continuar como cuando se trataba de raíces rea­les, encontrar una expresión en el dominio del tiempo y después simplificarla o 2) combinar las dos fracciones en una con todos los coeficientes reales y determinar su transformada de Laplace inversa buscando esa forma en una tabla.

Método 1:

git) = { - - e -3i 4 4 /

(9 .172)

Ésta es una expresión correcta para g(í), pero no está en la forma más conveniente. Es posible manipularla en una expresión que contenga sólo funciones de valor real.

.(O = ( --e-'' + ^ ) u(0

g ( 0 = \ -~e-" + _,,?,{e-" + 6^')- jie-i' -ei')

u(í)

9.4 La transformada de Laplace inversa

(9 173) '^'^^ utiliza expansión en fracciones parciales

g(0 = - ^ cos(0 - - sen(í) „-3' u(/).

Método 2:

G(5) = - f , l{3-j){s+ 2-j) +(3 +j){s+ 2 +j)

s + 3 4 s + 4s + 5 (9 .174)

1 6í + 10 - 7 6 5 + f

5 + 3 45 + 4í + 5 s + 3 4 ( j + 2)- + l

Usando luego

Gis) = í + 3 2

s + 2 (s + 2)2 + 1 (í + 2)2 + 1

i + a

( j + a)- + p2 a > —a (9 .175)

e"' sen(Pf) u(f) • ( í - a ) 2 + p2

(9.176)

g(0 = - cos(f) - - sen(r) u(/). (9 .177)

Reconociendo que hay dos raíces complejas, otro método consiste en encontrar la expansión en fracciones parciales en la forma

A Bs + C Gis) = — + —

s + 3 í2 _|_ _|_ 5 (9 .178)

A se encuentra exactamente como antes y su valor es - ; . Puesto que (9.178) debe satisfacerse para cualquier % alor arbitrario de Í y

Gis) = is + 3)is'- + 4s + 5)'

(9 .179)

es posible escribir

L(í + 3 ) ( i 2 + 4 í + 5)J^,^(, + -Bs + C

s + 3 s- + 4s + 5 (9 .180)

1 C 5 0 = — + - ^ C = -.

2 5 2 (9 .181)

En ese caso

- f Bs + I is + 3)is- + 4í + 5) ~ i + 3 í2 _,_ 4^ _,_ 5

(9 .182)

544 y es posible determinar B dejando que s sea cualquier número conveniente, por ejemplo, uno. Entonces

5 1 3 5 + f 3 (9 .183)

Gis) = 3 í + f

5 + 3 2 í2 + 4 í + 5 •

Este resultado es idéntico a (9.174), y el resto de la solución resulta, consecuentemente, igual.

(9 .184)

E .u :\n>LO 9 . 1 1

Determine la transformada de Laplace inversa de

Gis) = -í + 5

s-is + l) (9 .185)

• Soluc ión Esta función tiene un polo repetido en cero. Por lo tanto, la forma de la expansión en fracciones parciales debe ser

Gis) = — (9.186) S 5 + 2

Se encuentra K^^ multiplicando G(5) por s-, y haciendo 5 igual a cero en el resto de la expresión, lo que produce

Kn = [5-G(5)L^o = - . (9.187)

Se encuentra ^ j , multiplicando G(j) por s^, diferenciando con respecto a 5, e igualando 5 a cero en el resto de la expresión, con lo que se obtiene

ds d "5 + 5 " " ( 5 + 2 ) - ( 5 + 5 ) " 3

Js - 5 + 2_ L ( 5 + 2 ) 2 J

Se encuentra ^ 3 mediante el método usual y su valor corresponde a | . De tal modo,

5 3 3

2s- As 4(5 + 2)

y la transformada inversa es

git) = 5 3 3 2,

V 2 ' - í + r u(r) =

lOí - 3(1 - e-'') u(t).

(9.188)

(9 .189)

(9 .190)

9.5 EQUIVALENCIA ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y DE FOURIER

La transformada de Laplace es en realidad sólo una generalización de la TFTC que analiza funciones como combinaciones lineales de exponenciales complejas generales en vez de como combinacio­nes lineales de un caso especial de exponenciales complejas: las senoides complejas. Para muchas funciones comunes las transformadas de Laplace y de Fourier se relacionan de manera muy simple. Para cualquier función G(í) que es cero antes del tiempo f = O y cuya RDC de la transformada de Laplace incluye al eje w, la TFTC Gjr(jw) o G j f ( / ) se puede determinar a partir de la transforma­da de Laplace G^(í ) mediante la transformación funcional

G ^ ( j w ) = Gcis) GAf) = G¿is) ( 9 . 1 9 1 )

Observe que, debido a que la notación utilizada para la forma w de la TFTC, las funciones Gyr() = Gc( ) son matemáticamente iguales y la conversión entre las TFTC de la forma w y la transforma­da de Laplace es sólo un proceso de intercambio de los argumentos funcionales 5 y jco. No se necesi­tan los subíndices J- y C y es factible escribir tínicamente

G ( » = Gis) ( 9 . 1 9 2 )

Esta es la razón principal por la que la forma w de la TFTC de una función x(f) se escribió con la no­tación funcional X(/'w) en lugar de X ( ( d ) .

9.6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES

El poder de la transformada de Laplace radica en su uso en el análisis de la dinámica de sistemas lineales. Esto surge debido a que éstos se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales y, des­pués de la transformación de Laplace, la diferenciación se representa mediante la simple multiplica­ción por s. Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial se transforma en la solución de una ecuación algebraica. Todo esto podría afirmarse también con respecto a la transformada de Fourier, pero la de Laplace unilateral es en especial conveniente en el análisis transitorio de sistemas cuya ex­citación se inicia en un tiempo que es posible identificar como r = O y de sistemas inestables o accio­nados por funciones forzadas que no están acotadas conforme el tiempo se incrementa.

E J E M P L O 9 . 1 2

Resuelva la ecuación diferencial

d — (x(r)) + 7— (x(f)) + 12x( í ) = O dt- dt

(9 .193)

para tiempos t > O, sujeta a las condiciones iniciales

x(O-) = 2 y (x(0),=o- = - 4 . dt

(9 .194)

• Soluc ión Se transforman primero ambos lados utilizando la transformada de Laplace,

s-Xis) - 5x (0- ) - —(x(f)),=o- + 7[iX(í) - x(0-)] -h 12X(5) = 0. dt

Después se despeja X(í),

X(í) = ix(O-) -F7x(0-) -h —(x(r)),=o-

dt s'- + ls + \l

(9 .195)

(9 .196)

X(í) = -Is + 10

S- + 1S + 12

.Al expandir X(5-) en fracciones parciales,

X(í) = 4 2 í -I- 3 í + 4

De la tabla de transformadas de Laplace del apéndice F,

c 1 e'^'Mit)

~^-x lo tanto, aplicando la transformada de Laplace inversa,

x(r) = i4e-^' - 2e-*')uit).

(9.197)

(9 .198)

(9 .199)

9.6 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

546 Al sustituir este resultado en la ecuación diferencial original para tiempos t > O,

— [4e-^' - 2é'-'*'] + 7— [Ae-^' - le"^'] + \2lAe~^' - 2e"'"] = O dt^ dt

36e-" - 32e-*' - 846-^' + See""' + 486"^' - 246""' = O

0 = 0,

lo que demuestra que la x(f) que se encuentra en realidad resuelve la ecuación diferencial. Además

x(O-) = 4 - 2 = 2 y ^ [x(í)],=o- = - 1 2 + 8 = - 4 , dt

lo cual verifica que la solución también satisface las condiciones establecidas al inicio.

- 3 r o / i „ - 4 f

(9 .200)

(9 .201)

(9 .202)

(9 .203)

E J E M P L O 9 . 1 3

Considere que el filtro pasabajas de la figura 9.13 se excita mediante un impulso de voltaje unitario en el tiempo í = T , T > 0. Determine la respuesta ^^ai^^)-

• Soluc ión La ecuación diferencial que describe este circuito para el caso en el que el voltaje inicial del capacitor Vj^¡(0~) quizá no sea cero es

Ven(0 - Vsa l ( í )

R

Aplicando la transformada de Laplace,

C [ 5 V , „ ( í ) - V 3 a l ( 0 - ) ] =

Para la excitación del impulso,

C [ i V ^ , ( j ) - v , „ ( 0 - ) ] =

Al reacomodar y despejar y^¡¿{s).

V e n ( ^ ) - Vsal(.?)

R

e ' " - Vsal(^)

R

Vsal(í) =

Se aplica la transformada de Laplace inversa,

g - " + j ; C V s a l ( 0 ' )

sRC + 1

Vsal(f) = RC

- u ( f - T ) + v,,i(0")e^"''''^'u(f).

(9 .204)

(9 .205)

(9 .206)

(9.207)

(9 .208)

El primer término es la respuesta a la excitación del impulso y el segundo es el decaimiento del voltaje inicial del capacitor Mediante la aplicación del teorema del valor inicial

i(í) R

g(0+) = lím sG(s)

a la expresión del dominio i para el voltaje de salida, se obtiene

1 e~'' , v,a,(0-)

(9 .209)

v,ai(0+) = lím í 5—>CC RCs + {l/RC) s + {l/RC) = Vsai(0 ) T > 0. Compruebe. (9 .210)

Observe lo que sucede si t se iguala a cero. En ese caso.

F I G U R A 9 .13 Filtro pasabajas RC.

Vsal (O ' ) = lím í 1 1 Vsal (O-)

s^=c [ RC s + (l/RC) s + il/RC) RC + Vsal (0-) . (9 .211)

Esto indica en forma simple (de modo correcto) que si el impulso ocurre en el tiempo r = O, el voltaje del capa­citor en f = 0+ cambia desde Vj^¡(0+) = Vj^,(0") hasta y^J.O^) = (l/RC) vierte de golpe mediante el impulso.

Vj^(0 ) debido a la carga que se 547

9.7 La transformada de Laplace bilateral

9.7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE BILATERAL Se inició el capítulo definiendo la transformada de Laplace directa mediante la integral

oc

- í £ ( x ( 0 ) = X ( í ) = me-"dt. (9.212)

Más tarde, después de examinar la RDC de varios tipos de señales, se encontró conveniente restringir esta definición a la transformada de Laplace unilateral. Aunque la mayoría del análisis más práctico de sistemas se efectiía utilizándola, la forma bilateral es más general y tiene cierta utilidad al analizar sistemas no causales y/o sistemas con excitaciones no causales. Además es posible considerar la trans­formada de Laplace bilateral como la madre de todas las transformadas debido a que la de Laplace unilateral, la de Fourier y la transformada z (que se presentará en el capítulo 11) son todas, en un sen­tido muy real, sólo casos especiales de la transformada de Laplace bilateral, con algunos cambios de notación. Ahora que existe familiaridad con la forma unilateral, puede hacerse la extensión hacia la forma bilateral demostrando que es factible utilizar los pares de transformadas unilaterales para deter­minar los pares de la transformada bilateral.

C A L C U L O U T I L I Z A N D O L A T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E U N I L A T E R A L

Cualquier señal puede expresarse como la suma de tres partes, la anticausal que ocurre antes del tiem­po r = O, la que ocurre en el tiempo r = O y la causal que ocurre después del tiempo t = O,

donde

x ( 0 = Xac(r) + xo(r)-h X , ( í )

Xac( í ) =

xo(í) =

X , ( í ) =

x(í) r < 0

0 en otro caso

x(r) f = 0

0 en otro caso

x(r) t > 0

0 en otro caso

(9.213)

(9. 214)

(9.215)

(9.216)

(figura 9.14). Si la señal no tiene un impulso en el tiempo r = O (como la primera señal en la figura 9.14), la parte de la señal que ocurre en el tiempo f = O no tiene efecto en la transformada de Lapla­ce y puede ignorarse debido a que no tiene energía de señal. Si la señal tiene un impulso en el tiem­po í = O, su efecto puede considerarse por separado y sumarse a las transformadas de las otras dos partes. La transformada de Laplace bilateral de x(r) es

OO O" o* oc

X(í ) = j x(t)e'" dt = j x(t)e-" dt + j x{t)e-" dt + j x{t)e-" dt

- O O - O O o- 0+

(9.217)

donde u

/ X a c ( ^ ) = x(t)e~"dt

0+

Xo(í) = j \{t)e-"dt

0-

X,(s) = j x{t)e-0+

'dt.

(9.218)

(9.219)

t'it F I G U R A 9 .14 Dos señales y sus tres partes.

x,(í)

Al efectuar el cambio de variable t ^ -t ^ dt -dt en la transformada anticausal, se obtiene o- OO

^As) = - j x{-t)e" dt = j \{-t)e"dt. ( 9 . 2 2 0 ) oo 0+

Si (9.220) define a X (í), entonces X ( - í ) se encuentra haciendo í negativa en todas partes donde se presente, lo que produce

OC

X a c ( - í ) = j xi-t)e-"dt = J x,,(-t)e-" dt,

0+ 0+

que es la transformada de Laplace unilateral del inverso del tiempo de la parte anticausal de la señal (que es causal).

El procedimiento para determinar la transformada de Laplace bilateral mediante la transformada de Laplace unilateral es

1. Determinar la transformada de Laplace unilateral X^{s) de la señal causal x^(t) junto con su RDC, la región a la derecha de su polo más a la derecha.

2 . Encontrar la transformada de Laplace unilateral X^^{—s) de la señal causal X^^(—t) junto con su RDC, la región a la derecha de su polo más a la derecha.

3 . Efectuar el cambio de variable s —s en X ^ ^ ( — Í ) y en su RDC, lo que produce X ^ ^ ( Í ) , junto con su RDC, la región a la izquierda de su polo más a la izquierda.

4 . Si hay un impulso en el tiempo t = O, encontrar su transformada de Laplace como XQ(S) junto su RDC, el plano 5 completo. En otro caso, X^(s) = 0.

5 . Sumar X^{s), XQ(S) y X^^{s) para formar X ( í ) . La RDC de X{s) es la región del plano s que es co­mían a las RDC de X^(s) y 'X^^{s). Si una región de esas características no existe, la transformada de Laplace bilateral de x(í) tampoco existe.

( 9 . 2 2 1 )

P R O P I E D A D E S

Algunas de las propiedades de la transformada de Laplace bilateral no son iguales que las correspon­dientes de la unilateral. Las propiedades se resumen a continuación sin prueba. Las pruebas son simi-

lares a las de la unilateral. Una diferencia importante es que la región de convergencia debe tomarse 549 en cuenta con más cuidado cuando se apliquen las propiedades de la transformada bilateral. Conside- g 7 transformada re que Gis) = £(g(f)) y H(^) = £ ( h ( 0 ) y que la RDC de GesR^y sea la RDC de H igual a i?^. Lap¡ac7¿lSera¡

Linealidad

Desplazamiento en el tiempo

Escalamiento en el tiempo

Desplazamiento en la frecuencia

Escalamiento en la frecuencia

Diferenciación en el tiempo

Diferenciación en la frecuencia compleja

ag(í) + 3h(í) < > aG(s) + P H ( í )

RDC = RgC^Rh

-sto g(r - to) < > Gis)e

c 1 fs giat) < > — G -

\a\ \a

e'«'git) < > Gis - so)

Gias)

^ ( g ( r ) ) « sGis) dt

-tgit) ^ ^ ( G ( 5 ) ) ds

RDC = Rg

Rg RDC =

a

RDC = Re cambiado a la derecha por SQ

RDC = üRg

RDC = Rg al menos

RDC = Rg

Convolución

Integración

g(í) *h ( r ) <—> G(5 )H(s) RDC = i?G n al menos

t

í ; ( T ) < >

RDC = 7?G n {Re(í) > 0} al menos

E J E M P L O 9 . 1 4

Determine la transformada de Laplace bilateral de

x(r) = e cos((Ooir) uit) + e'" cos(cúo2í) u ( - í ) . - (9 .222)

• Soluc ión Esta señal ya se escribió como la suma de una señal causal y de una anticausal y no hay impulso en el tiempo t = 0. Primero se determina la transformada unilateral de la parte causal

Xc(í) = e cos((Ooií) u(í)

se empieza con la entrada de la tabla del apéndice F,

(9 .223)

e°" cos(cüof) u(f) is - cl)- + cü5

(9 .224)

En ese caso

x,(f) = e~"' cos(cooir) u(r) X,(s) = ' ^ " (5 + a)2 + oj5,

A continuación se encuentra la transformada unilateral de la inversa en el tiempo de la señal anticausal,

(9 .225)

X a c ( - 0 = e *' COS(-Ü)02Í) U(0.

De acuerdo con (9.224)

e cos(mo20 u(r) s + b

is + by- + C05, a > —b.

(9 .226)

(9.227)

550 CAPÍTULO 9 La transformada de Laplace

X ( f )

x(í)

t

X [s]

— ci.. b

RDC

a)

X t - " x b

X

RDC

c)

x(f)

^4

x(0 i).

b)

RDC

X X

¿7 X

x - «

Sin RDC

F I G U R A 9 .15 Cuatro señales no causales con sus diagramas de polos-cero y sus RDC.

y. debido a que el coseno es una función par

X a c ( - 0 = e *' COS(-a)02O u ( í ) Xac(-í) = s + b

{s -I- b)- + ü)52

Por consiguiente,

-s + b s + a ~ {s + ay- + cü , ( - S + by- + w„'.

<j > —a y —CT > —b

(9 .228)

(9 .229)

X(í) = j -1- a s - b (s + af- + cú5, (s - by- + C052

— a < (j < b. (9 .230)

Si b > —a, entonces existe la transformada de Laplace bilateral de x(r). En otro caso no es así. La condición ¿ > ~i2 se satisface de muchísimas maneras, algunas se ilustran en la figura 9.15. Si ¿ y a son positivas (como en la figura 9.15a), entonces la RDC contiene al eje w y x(f) también es transformable de acuerdo con el método de Fourier

E J E M P L O 9 . 1 5

La señal no causal

x(í) = e - 3 ' u ( í ) -he~ 'u ( - í )

es la excitación del filtro pasaaltas no causal cuya respuesta al impulso es

h(f) = m - e"""

(figura 9.16). Determine la respuesta y(í) del sistema.

• Soluc ión La transformada de Laplace bilateral de la excitación no causal x(í) es

X{s) = 1 1 2

s + 3 s + l {s + 3)(s + l) - 3 < CT < - 1 .

(9 .231)

(9 .232)

(9 .233)

h(í)

1 1 v -2

-V'

1 ^ 2

F I G U R A 9 .16 Una excitación no causal y una respuesta al impulso no causal.

F I G U R A 9 .17 Respuesta del sistema no causal a la excitación no causal.

9.8 Resumen de puntos importantes

La respuesta al impulso también es no causal, por lo que su transformada de Laplace bilateral se determina me­diante el mismo método general que el de la señal no causal,

H(í) = 1 -1

s-2 is + 2){s - 2) - 2 < a < 2. (9 .234)

La transformada de Laplace bilateral de la respuesta es el producto de la transformada de Laplace bilateral de la excitación y la respuesta al impulso, y su RDC es la región del plano s comiín a ambas RDC.

Y(í) = - -(s + 2)(s - 2Ks + 3){s + l)

o, si se expande en fracciones parciales,

Y(i) = - + s + 2 s-2 s + 3 s + \

2 < CT < - 1 ,

- 2 < CT < - 1 .

(9 .235)

(9.236)

Hay dos polos s = 2y s = - 1 a la derecha de la RDC y dos polos 5 = - 3 y j = - 2 a la izquierda de la RDC. Los polos a la derecha determinan la respuesta anticausal, y los polos a la izquierda, la respuesta causal. La trans­formada bilateral inversa se determina al invertir el proceso de determinar la transformada bilateral directa. Encuentre la transformada inversa de la parte causal como una transformada de Laplace inversa unilateral. Cam­bie el signo de j en la parte anticausal, determine la transformada de Laplace inversa unilateral y luego efectúe la transformación t ^ —t.

y(í) = -9 2 1 '

2e--'u{t) - -e'''u(t) - —e-'u{-t) + -e~'u(-t) (9 .237)

y(0 = (27f?^-" - 30e--')u(t) + (2e-' - 5e-)u(-t)

Í5

(figura 9.17).

(9 .238)

9.8 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1. Las transformadas de Laplace se determinan para ciertas funciones para las cuales la transforma­

da de Fourier, incluso en su forma generalizada, no existe.

552 2 . Las transfomadas de Laplace representan funciones como combinaciones de exponenciales comple-CAPÍTULO 9 J^^' funciones propias de sistemas LIT, en vez de combinaciones de senoides complejas. La transformada ^ ' transformada de Laplace se define sólo en su región de convergencia en el plano s. de Laplace 4 . La restricción de la transformada de Laplace a la forma unilateral simplifica la consideración de

la región de convergencia y tiene cierta ventaja en aplicaciones prácticas de las transformadas de Laplace.

5 . En muchas situaciones prácticas la transformada de Laplace se encuentra utilizando la técnica de la expansión de fracciones parciales.

6. Si la región de convergencia de la transformada de Laplace de una función contiene el eje w, la función también tiene una transformada de Fourier.

7. La transformada de Laplace unilateral es muy conveniente en la solución de ecuaciones diferen­ciales con condiciones iniciales. La transformada de Laplace bilateral puede determinarse mediante tablas de la transformada de Laplace unilateral y es factible utilizarla para analizar señales y/o sistemas no causales.

8 .

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 1. Dibuje la gráfica de polos-ceros y la región de convergencia (si existe) para las siguientes señales.

a) x(í) = e-^'u(t) b) x(í) = e^'cos(20 'iTr) u ( - í ) c) x(í) = e^'\x{-t) - e -5 ' u ( í )

Respuestas:

¥1

RDC

[s]

j = 3 + y20ir

RDC RDC

~- - 5 = 2

rj = 3-720,7

2. Con base en la definición de la transformada de Laplace

OO

A g ( 0 ) = G( í ) = j g{t)e-" dt,

0-determine las transformadas de Laplace de las siguientes señales. a) x(f) = e ' u ( 0 b) x(r) = e^'cos(200'TTF) u(f) c) x(í) = ramp(í) d) x(í) — te'u(t)

Respuestas: 1 1

, R e ( í ) = CT>l: —, Re( í ) = o- > 0; s - l s-

s - 2 (S - 2)2 + (2W7T)2

- , Re(í) = a > 2 ; 1

(S - 1)2 , Re( í ) = a > 1

3 . Mediante la propiedad de desplazamiento en el tiempo, determine la transformada de Laplace de las siguientes señales.

a) x(í) = u(f) - u(f - 1) b) x ( 0 = 3 e - * - 2 ' u ( í - 2) c) x(?) = 3e-^'u(í - 2) d) x(f) = 5 sen('n-(í - l))u(f - 1)

Respuestas:

3e-2^-6 1 _ g - s 5 ^ g - . 3^-2.

s + 3 S^ + TT^' S+3

4 . Utilizando la propiedad de desplazamiento en la frecuencia compleja, encuentre y dibuje la trans­formada de Laplace inversa de

1 1 X(s) = -I- -

{s + j4) + 3 (5 - j4) + 3

Ejercicios con respuestas

Respuestas: x(í)

-0 .1 - 2 - -

5 . Mediante la propiedad de escalamiento en el tiempo, determine las transformadas de Laplace de las siguientes señales.

a) x(í) = 8 (40 b) x(í) = u(4í)

Respuestas:

- , Re{s) > 0; - , todo 5 s 4

6 . Con base en la propiedad de diferenciación en el tiempo, determine las transformadas de Laplace de las siguientes señales.

a) x(/) = ^ ( u ( r ) ) b) x(í) = - í ^ ( e - " " u ( r ) ) dt dt

d d c) x(í) = — ( 4 s e n ( 1 0 T r r ) u(f)) d) x(f) = — ( 1 0 cos(ISTTÍ) u(/))

dt dt

Respuestas:

40-115

s

, Re( í ) > 0 ; s'- + (i57ty-

- j , Re( í ) > 0 ; 1, todo ^

- , R e ( í ) > - 1 0 s + 10

7 . Mediante la dualidad multiplicación-convolución, determine las transformadas de Laplace de las siguientes señales y dibújelas en función del tiempo.

a) x(í) = e~'u{t) * u(r)

b) x(í) ^ e~' sen(20'7rf) u(í) * u(f)

77?

c) x(í) = 8 eos ( ^ y j u(í) * [u(r) - u(f - 1)1

d) x ( 0 = 8 cos(2'rTí) u(r) * [u(0 - u(í - 1)]

Respuestas:

x(í)

0.025 lll

x(f) x(0

2Í

5 - 1

8. Utilice los teoremas del valor inicial y del valor final, para determinar los valores inicial y final (si es posible) de las señales con las siguientes transformadas de Laplace.

a) X{s) =

c) X(s) = ~

10

5

e) X(s)^

. 2 + 4

s{s + 20)

b) X{s) =

d) X{s) =

f) X ( 5 ) =

(5 + 3 ) 2 + 4

1 0 5

1 0 5 + 3 0 0

s\s + 2 0 )

Respuestas: 10, No se aplica. O, 1, O, O, no se aplica, f, 1, 10, O, O

9. Determine las transformadas de Laplace inversas de las siguientes funciones.

a) X(s)

c) X(s)

e) X{s)

g) X( í )

i) X( í )

Respuestas:

24 20

s{s + í2 + 4í + 3

10

s^ + 6s + 73 4

s^{s^ + 6s + 7 3 ) s

s{s^ + 6s + 7 3 ) 25

í + 3

4 5 + 4

eos

_ 2 0 u ( í ) .

(/Í5,)-10

sen

VT2

73

¿) X ( 5 )

d) X( í )

/ ) X ( 5 ) :

/z) X{s)

i) X ( 5 ) :

u( í ) , 1 0 ( e - ' - e-^O u(f),

u ( 0 ,

s2 + 25 -f 13 J

5^ + 45 + 4 105

j4 + 452 + 4

1 - J— e ^ ^ ' c o s ( 8 í - 0.3588) 64

8 ( 0 + 4 e 2 ' ( í + 1) u ( 0 , 1

(73)2 L 292f - 24 + 24e"^' I cos(80 - ~ sen(80

55

/ J u(f),

5 SA/^ - e " ^ ' sen(8í) u ( 0 , 8(r) - 3e"^ 'u( í ) , 3(1 - e"^') u ( í ) , 1 sen{^t) u(f) 8 2 : ,

1 0 . Utilice la tabla de transformadas de Laplace para determinar las TFTC de las siguientes señales.

a) x(i') = 10e-^"*u(í) b) x ( 0 = 36"^°'COS(IOOTTÍ) u(í)

Respuestas:

2 + 50 10

(jü) + 50)2 + (10017)2' TiT+Too 1 1 . Use la trasformada de Laplace para resolver estas ecuaciones diferenciales para t > 0.

a) x'(í) + lOx(í) = u( í ) , x(0~) = 1

b) x"(f) - 2x ' ( í ) + 4 x ( 0 = u ( 0 , x(0") = O,

c) x ' ( 0 + 2x(í) = sen(2Trí) u(r) , x(0~) = - 4

Respuestas:

- l — e eos V3 í H —e

4 V x(í) =

—x( í ) dt

= 4 -Jf=o-

(V3í) + — e ' s e n ( V 3 í ) ) u ( í ) , u ( í ) , V 3 / 10

•2'7Te"2í - 2'rrcos(2'rTí) + 2sen(2TTf) ^ _2,

4 + (2TT)2 - 4 e -

10

u(í)

12. Mediante la transformada de Laplace encuentre y dibuje la respuesta y(r) en el dominio del tiem­po de los sistemas con estas funciones de transferencia ante la excitación senoidal x(í) = A cos(107Tí) u(r).

a) H(5) = 1

5 + 1 b) H ( 5 ) -

5 - 2 (5 - 2)2 + 16

yW 0.033333 4/

-0.033333 +

-t +

Ejercicios con respuestas

1 3 . Escriba las ecuaciones diferenciales que describen a los siguientes sistemas y encuentre y dibuje las respuestas indicadas.

a) x ( f ) = u(0, y(0 es la respuesta, y(0~) = O

x ( r ) ^ ^ ( + ) - J y(í)

b) v(0 ) = 10, v(í) es la respuesta

i? = 1 kü < ^ C = 1 |xF v(f)

Respuestas:

x(í)

0.25-t-

0.004

1 4 . Determine las tres partes x (í), XQ(Í) y x (r) de las siguientes señales.

a) x(f) = e - ' * u ( í ) - e'-'ui-t)

c) x ( 0 = u ( 0

b) x(í) = K

d) x ( í ) = ^ ( u ( 0 ) dt

Respuestas:

xac(/) = O, xo(í) = O, x,(í) = u(r); x,,(t) = - e ^ ' u ( - í ) , xo(r) = O, x,(t) = e- iO 'u( í) ; xae(í) = o, xo(f) = hit), x,(í) = 0; x,,{t) = Ku{-t), xoit) = O, x,(í) = Ku{t)

15 . Encuentre las transformadas de Laplace bilaterales de las siguientes señales.

a) x ( 0 = 3e''"uit) - I2e'*'ui-t) b) x(í) = 50e-^°^'^

Respuestas:

5í + 24 1000 3 , - 7 < Re( í ) < 4 ; , - 1 0 < Re{s) < 10

52 + 3 5 - 2 8 5 2 - 100

16 . Determine las respuestas y(f) de estos sistemas h(í) ante las excitaciones x(f) correspondientes.

a) hit) = e"^ 'u (0 , x(í) = 3e-^'u(r) - I2e^'ui-t) b) h(r) = tri(f), x(f) = e - 'u ( í ) c) h(f) = e - 'O ' u ( í ) , x(í) = 50e-i°l'l

ramp(r + 1 ) - 1 + - 2 [ r a m p ( í ) - ! + £ - ' ] u(í) + [ramp(í - 1 ) - 1 + e

1

u(í + 1)

-(r-l) u(í - 1) 6 2 ó

50 ] í e - ' " ' u ( í ) + — [ e ' u ( - í ) + e-'u{t)]

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS 1 7 . Dibuje la gráfica de polos-ceros y la región de convergencia (si existe) para las siguientes señales.

a) x(í) = e - ' u ( - f ) - e'^'u(t) b) x(r) = e-^'n{-t) - e 'u(í)

1 8 . Utilice la definición integral para encontrar la transformada de Laplace unilateral de estas funcio­nes del tiempo.

a) g(r) = e - ^ V O b) g(í) = e-''('-">u(í - T ) , T > O c) g(f) = e-"<'+"'u(? + T ) , T > o d) g(r) = sen(caoí) u(í) e) g(r) = rect(f)

/ ) g(f) = rect(^f - i

1 9 . Use MATLAB (o cualquier otra herramienta matemática de computadora apropiada) para efec­tuar numéricamente la integral de inversión de

1 G{s) =

5 + 1 0

Esto es. aproxime la integral de inversión con una sumatoria de la forma

g(f) = z ;^(G(5)) = — Y.

1

p-^ +1»

(íj+jnAio)r

jlti a + 7«Aüj + 1 0 7 Aw, cr > 0.

EUja la combinación de N grande y Aw pequeña de modo que la sumatoria variará sobre un con­tomo desde una parte muy baja hasta una bastante superior del eje real. Grafique g(í) en función de t calculando el valor de g(r) en cada valor de t desde la aproximación de la sumatoria dada has­ta la integral de inversión. Compare con el resultado analítico. Intente al menos tres valores dife­rentes de a para ver el efecto en el resultado. (Idealmente no hay efecto por cambiar a siempre y cuando ésta no sea mayor que - 1 0 , pero en realidad, en esta aproximación numérica existirán al­gunos efectos pequeños.)

2 0 . Utilice una tabla de transformadas de Laplace unilaterales y las propiedades para determinar las transformadas de Laplace unilaterales de las siguientes funciones.

a) g(í) = 5 s e n ( 2 T T ( r - l ) ) u ( r - 1 )

b) g(r) = 5sen(2TTr)u(í - 1 ) c) g(/') = 2 c o s ( 1 0 i T í ) c o s ( 1 0 0 ' n - r ) u ( r )

d) ^(f) = — ( u ( í - 2 ) ) dt

e. g(f) = / u ( T ) d T 0+

/ ) g ( r ) = - ( 5 e - ( ' - ^ ' / V r - T ) ) , T > 0 dt

g) g(í) = 2e~^' cos( lOiTí) u(í)

h) x(í) = 5 s e n ( T T ? - • f ) u ( í ) Ejercicios sin respuestas

2 1 . Dada

, , £ 5 + 1

^ ^ ^ ¡ ( 7 T ^

encuentre las transformadas de Laplace de

a) g(2í)

c) g(í - 4) d) git) * gCO

b) —(g( í ) ) dt

2 2 . Determine las funciones en el dominio del tiempo que son las transformadas de Laplace inversas de estas funciones. Después, utilice los teoremas del valor inicial y final para verificar que con-cuerdan con las funciones en el dominio del tiempo.

a) G ( 5 ) = 4 5

(5 + 3)( í + 8)

5

b) G ( 5 ) = 4

( 5 + 3 ) ( 5 + 8)

C) G ( 5 ) = — 5^ + 2 5 + 2

d) G ( 5 ) = -

2 3 . Dada

5^ + 25 + 2

e""u{t) ^ G(s)

encuentre las transformadas de Laplace inversas de

b) Gis - 2) + Gis + 2) a) G ( -

2 4 . La TFTC de

Gis)

x(r) = e""l

existe, pero la transformada de Laplace (unilateral) no. Explique por qué.

2 5 . Compare la TFTC y la transformada de Laplace de un escalón unitario. Explique por qué la TFTC no puede determinarse a partir de la transformada de Laplace.

2 6 . Demuestre que es posible obtener los siguientes pares de transformada de Laplace comunes con base sólo en la transformación del impulso 8(í) < ^ > 1 y las propiedades de la trasformada de

c 1

Laplace.

a) u(í)

c) cos(cüoOu(r)

b) e-^'uit) ^ 5 + a

5 + Ü)n 'O

2 7 . Dada una función de transferencia H(5) de un sistema LIT, determine la respuesta en el dominio del tiempo a la excitación correspondiente x(r).

a) H ( 5 )

c) H ( 5 )

d) H ( 5 )

e) H ( 5 )

1 3 , x(r) = sen(2TTf) u(í) b) H ( 5 ) = — ^ , x(f) = u(í) 5 + 1

35

7 + 2

5s

5 + 2

5^ + 25 + 2

5 5

5^ + 25 + 2

, x(í) = u(f)

, x(f) = u(f)

, x(í) = sen(2Trí) u(í)

28. Escriba las ecuaciones diferenciales que describen a los siguientes sistemas y encuentre y dibuje las respuestas indicadas.

a) x(r) = u(f), y(í) es la respuesta, y(0 ) = - 5 , ¿ ( y ( 0 ) = 10 - l r = 0 -

x(í)-

+ +

10 10

y(í)

b) i^(í) = u(í), v(í) es la respuesta, no hay almacenamiento de energía inicial

.,(f) (t) c, = 3 xF 4; i?, =

- > — V v V

1 kn : C, = 1 (JLF V(Í)

c) i^(t) = cos(2 OOOirr), u(r), v(f) es la respuesta, no hay almacenamiento de energía inicial

\(t) «, = 2 kfi " V v V

hit) (Y) C, = 3 (iF 4; = 1 kn ^ ~ C, = 1 |xF v(f)

29. Determine las tres partes x (r), XQ(Í) y x (r) de las siguientes señales.

a) x(r) = t

c) x(t) = ^ ( s g n ( r ) ) at

b) x(f) = sen(a)r)

30. Encuentre las transformadas de Laplace bilaterales de las siguientes señales.

a) x(r) = rect(r) b) x(f) = rect(í) s e n ( 2 0 i T í ) c) x(í) = [e--'u{t) - e^ ' u ( - í ) ] sen(2'7T/)