Señales_7

12/8/2011 Ren Jtiva Espinoza

La Transformada Z


Exponenciales complejas en la representacin de seales

La Transformada Z constituye la contraparte de tiempo discreto de la transformada de Laplace.

Existen muchas similitudes entre ambas transformadas, pero al mismo tiempo algunas diferencias importantes originadas en las diferencias fundamentales entre las seales y sistemas continuos y discretos.



La Transformada Z y la Transformada Z inversa se definen como sigue:

11

2

n

n

n

x n X z

X z x n z

x n X z z dzj

Z

La relacin es biunvoca una vez sea haya definido la Regin de Convergencia (ROC) de la transformada Z.



La relacin entre la Transformada Z y la Transformada Discreta de Fourier (DFT) se hace patente en las siguientes expresiones:

jw n

jw

X z re x n r

X z e x n

F

F

En efecto cuando r=1, la relacin entre la DFT y la transformada Z de una secuencia dada es inmediata.


Regin de Convergencia de la Transformada Z

Dos seales discretas diferentes pueden originar expresiones idnticas para sus Transformadas Z, variando nicamente la definicin de la ROC. Veamos un ejemplo:

azROC

azzX

azznuazX

nuanynuanx

n

n

n

nn

nn

:;1

1

1;

1

1



Note que las seales x[n] e y[n] se corresponden a secuencias con lateralidad invertida. Sin embargo, dado que el valor de a se mantiene en la expresin de sus Transformadas, la tendencia de crecimiento o decrecimiento en el tiempo se mantiene.

azROC

azzY

zaznuazYn

n

n

nn

:;1

1

11

1

0

11



-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

I

m

a

g

i

n

a

r

y

P

a

r

t

Regin de Convergencia

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

I

m

a

g

i

n

a

r

y

P

a

r

t

Regin de Convergencia

nx n a u n 1ny n a u n


Propiedades de la Transformada Z

Linealidad: La transformada Z de una combinacin lineal de seales puede hallarse a partir de la combinacin lineal de las transformadas Z de las seales individuales, y su ROC contendr la interseccin de las ROC de las seales individuales:

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

;

;

;

Z

Z

Z

x n X z ROC R

x n X z ROC R

ax n bx n aX z bX z R R R



Desplazamiento Temporal: Un desplazamiento temporal introduce un decaimiento exponencial en el dominio transformado Z. La ROC en general no se altera.

Z

Z

;

;ono

x n X z ROC R

x n n z X z ROC R, excepto parala posible adicin o eliminacin del origen o del infinito.



Escalamiento en el dominio z: Un escalamiento en el dominio z introduce una expansin exponencial en el dominio temporal. La ROC resulta tambin escalada.

1

;

;

Z

Zno o

o

x n X z ROC R

zz x n X ROC R z Rz



Inversin de Tiempo: Una inversin en el tiempo, introduce una inversin multiplicativa en la ROC. Esto significa que si zo se encuentra en la ROC correspondiente a la transformada de x[n], entonces 1/ zo est en la ROC correspondiente a la transformada de x[-n].

1

;

1 1;

Z

Z

x n X z ROC R

x n X ROC Rz R



Expansin Temporal: Una expansin temporal de orden k sobre una seal discreta introduce una compresin de orden k en su ROC. Es decir que si zo se encuentra en la ROC original, entonces zo1/k est en la ROC de la seal expandida.

11

;

;

Z

Zk k

k

x n X z ROC R

x n X z ROC R R



Conjugacin: La ROC de la transformada Z de una seal conjugada corresponde a la ROC de la seal original.

* * *

* *

;

;

,

Z

Z

x n X z ROC R

x n X z ROC R

Si x n es real X z X z es decir que

sus polos y ceros sern complejos conjugados.



Convolucin: La transformada Z de una convolucin de seales puede hallarse a partir de la multiplicacin de las transformadas Z de las seales individuales, y su ROC contendr la interseccin de las ROC de las seales individuales:

212121

222

111

RRROCcon ,*

RROCcon ,

RROCcon ,

zXzXnxnx

zXnx

zXnx

Z

Z

Z



Diferenciacin en el Dominio z: La diferenciacin en el dominio transformado Z acompaada de un escalamiento por el factor z introduce un factor n en el dominio temporal. La ROC resultante no se altera.

;

;

Z

Z

x n X z ROC R

dX z nx n z ROC R

dz



Teoremas del Valor Inicial: Este teorema establecen que el valores inicial de x(t) puede calcularse a partir de X(z):

zXxz lim0

Transformada Z Unilateral


0n

nznxnunxZnxUZzX

La transformada z unilateral es especialmente til en el anlisis de sistemas causales especificados por ecuaciones lineales con coeficientes constantes y con condiciones iniciales diferentes de cero.

Referencias Bibliogrficas

Seales y Sistemas Segunda Edicin;Prentice Hall Inc.; Alan V. Oppenheim,Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab.


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