ADICIÓN DE UNA NUEVA ACTIVIDAD

(XJ)

La adición de nuevas variables jX crea un nuevo término de costos reducidos

jc

jz y una nueva columna Yj en la tableau. Si asociado a la nueva actividad jX se

conoce su precio unitario jc y su vector de coeficientes tecnológicos ja , los nuevos

elementos se calculan como:

Adición de Nuevas Actividades

jaBjY

jCjaTWjcjz

1

Si el nuevo 0 jj CZ , la nueva variable Xj no debe entrar a la base y su valor de

utilización es cero.

Si 0 jj CZ , se introduce el vector Yj en la tabla y se aplica el método simplex hasta

obtener la optimalidad

Ejemplo:

a.- Volvamos a utilizar el siguiente problema original:

Original Pr

02

X,1

X

182

2X1

3X

4 1

X

s.a.

25X

13X Z

oblema

Max

El cual presenta el siguiente tableau óptimo:

Z X1 X2 X3 X4 Z0 1 9/2 0 0 5/2 45 X3 0 1 0 1 0 4 X2 0 3/2 1 0 1/2 9

Supongamos que ahora se crea un nuevo producto X5, entonces la pregunta es si conviene producir dicha actividad, cuyo precio unitario es de $7 y su vector de coeficientes tecnológicos asociado a la primera y segunda restricción es de 1 y 2, respectivamente, por lo tanto, el problema nuevo queda:

)(

05

,2

X,1

X

185

22

2X1

2X

4 5

X 1

2X

s.a.

57

25X

13X Z

PN

X

X

XMax

]7[5

2

15

:

c

a

donde

El nuevo elemento genera un nuevo costo reducido 55cz de la siguiente manera:

027572

1

2

50

5555

caTWcz ,

Como 055

cz , hay que calcular la columna Y5 del nuevo tableau dado por:

1

1

2

1

2/10

01155 aBY

El nuevo tableau queda de la siguiente manera, luego de ingresar los costos reducidos y el vector columna asociado, y sobre el cual hay que aplicar el método simplex primal:

Z X1 X2 X5 X3 X4 Z0 1 9/2 0 -2 0 5/2 45 X3 0 1 0 1 1 0 4 X2 0 3/2 1 1 0 1/2 9

El tableau final del PN, luego de restablecer la optimalidad de este problema, queda finalmente::

Z X1 X2 X5 X3 X4 Z0 1 13/2 0 0 2 5/2 53 X5 0 1 0 1 1 0 4 X2 0 1/2 1 0 -1 1/2 5

Es óptimo este tableau, lo cual indica que la solución óptima del PO cambia, generando que el PN tenga la siguiente solución óptima:

53 Z

0

0

0

5

4

4

3

1

2

5

X

X

X

X

X

NXB

XX

La nueva solución indica que la actividad X5 se debe producir a un nivel de 4 unidades, la actividad X2 se debe reducir de 9 a 5 unidades y dejar de producir la actividad X1, lo cual genera un incremento en la utilidad de $45 a $53.

b.- Utilizando el mismo problema anterior, supongamos que ahora el nuevo producto X5 tiene un precio unitario de $4 y su vector de coeficientes tecnológicos asociado a la primera y segunda restricción es de 10 y 4, respectivamente. Por lo tanto, el problema nuevo queda:

)(

05

,2

X,1

X

185

4 2

2X1

2X

4 5

X10 1

2X

s.a.

54

25X

13X Z

PN

X

X

XMax

]4[5

4

105

:

c

a

donde

El nuevo costo reducido 55cz es el siguiente:

0641044

10

2

50

5555

caTWcz ,

Como 055 cz , el tableau óptimo del problema original es óptimo del problema

nuevo y X5 debe ser igual a cero. Para objetivos prácticos, se puede calcular la columna Y5 del nuevo tableau dado por:

2

10

4

10

2/10

011jaBjY

De esta manera, el nuevo tableau óptimo queda:

Z X1 X2 X5 X3 X4 Z0 1 2 0 6 0 5/2 45 X3 0 1 0 10 1 0 4 X2 0 3/2 1 2 0 ½ 9

Esto quiere decir, que bajo las condiciones actuales, no se debe producir X5 y la solución óptima del PN es la misma del PO, es decir:

45 Z

0

0

0

9

4

4

5

1

2

3

X

X

X

X

X

NXB

XX

Esto quiere decir, que bajo las condiciones actuales, no se debe producir X5 y la solución óptima del PN es la misma del PO, es decir:

45 Z

0

0

0

9

4

4

5

1

2

3

X

X

X

X

X

NXB

XX

Como punto aparte, conviene explicar claramente el significado de jj cz , que tiene

dos interpretaciones: 1. jj cz es la reducción (aumento) del valor de la función objetivo en el caso de

maximización (minimización), al aumentar en una unidad la cantidad de actividad NjX j , (no básica), o bien

2. jj cz es el valor que cj debe aumentar (disminuir), en el caso de maximización

(minimización), para que NjX j , se convierta de una actividad no básica a

básica.