Algebra. (I. Mecanica). Septiembre 2010. Tipo A Soluciones.

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es igual o superior a2, 3.

Ejercicio 1 En el espacio vectorial Pn(x) de los polinomios con coeficientes realesde grado menor o igual a dos, se consideran los polinomios p1(x) = a + 2x2; p2(x) =a + 3x + 5x2; p3(x) = 3a + 3x + x

2, son: A) linealmente independientes; B) segun elvalor de a seran linealmente independientes o linealmente dependientes; C) linealmentedependientes; D) ninguna de las anteriores.

Ejercicio 2 En el espacio vectorial R2 se define un endomorfismo tal que f(3, 0) =(1,2); f(1, 1) = (1,1). Las ecuaciones de f en la base canonica {(1, 0), (0, 1)} son:A) y1 =

13x1 43x2, y2 = 23x1 13x2; B) y1 = 3x1 13x2, y2 = 3x1 43x2; C) y1 = 13x1+ 43x2,

y2 = x1 13x2; D) ninguna de las anteriores.Ejercicio 3 La conica de ecuaciones x = 22 4 1, y = + 1 es una: A)

circunferencia; B) elipse; C) hiperbola; D) ninguna de las anteriores.

Ejercicio 4 Sea A una matriz regular y B una matriz cuadrada arbitraria del mismoorden que A, entonces las matrices producto AB y BA tienen los valores propios: A)recprocos; B) iguales; C) opuestos; D) ninguna de las anteriores.

Ejercicio 5 En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que

uno consideramos el producto escalar: p(x) q(x) = 10 p(x)q(x)dx, la proyeccion delvector p(x) = 2, sobre el vector q(x) = 3x+ 1 es: A) 2; B)

32

; C)57

; D) ninguna de las

anteriores.

Ejercicio 6 El valor de para que la forma cuadratica f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 2z2 +

2xy+2xz sea semidefinida positiva, es: A) 2 y 2; B) ningun valor de ; C) 2 y 2;D) ninguna de las anteriores.

Problema

Dado el sistema de ecuaciones lineales: 1 1 21 0 21 1 7

x1x2x3

=01

3

. Resolverlo mediante la factorizacion LUa)(2,5ptos.) Obteniendo las matrices L y U , dando las operaciones de fila y las matriceselementales transformadas.b)(1,5ptos.) Estudiar y dar la solucion del sistema obtenido por el procedimiento defactorizacion LU.

Soluciones de Algebra. (I. Mecanica). Septiembre 2010. Tipo AEjercicio 1 En el espacio vectorial Pn(x) de los polinomios con coeficientes reales

de grado menor o igual a dos, se consideran los polinomios p1(x) = a + 2x2; p2(x) =a + 3x + 5x2; p3(x) = 3a + 3x + x

2, son: A) linealmente independientes; B) segun elvalor de a seran linealmente independientes o linealmente dependientes; C) linealmentedependientes; D) ninguna de las anteriores.

Solucion 1Se verifica: p3(x) = p2(x) 2p1(x), luego son linealmente dependientes, correcta la

C).

Ejercicio 2 En el espacio vectorial R2 se define un endomorfismo tal que f(3, 0) =(1,2); f(1, 1) = (1,1). Las ecuaciones de f en la base canonica {(1, 0), (0, 1)} son:A) y1 =

13x1 43x2, y2 = 23x1 13x2; B) y1 = 3x1 13x2, y2 = 3x1 43x2; C) y1 = 13x1+ 43x2,

y2 = x1 13x2; D) ninguna de las anteriores.Solucion 2La expresion de los vectores de la base canonica en la base B = {u = (1, 1), v = (3, 0)}

es: (1, 0) = 13(3, 0) =13v; (0, 1) = (1, 1) 13(3, 0) = u 13v, aplicando f resultara: f(1, 0) =

13f(v) =

13(1,2) = (13 ,23) y f(0, 1) = f(u) 13f(v) = (1,1) 13(1,2) = (43 ,13),

si escribimos:f(x1, x2) = f(x1(1, 0) + x2(0, 1)) = x1f(1, 0) + x2f(0, 1) = x1(

13 ,23) + x2(43 ,13) =

(y1, y2), entonces13x1 43x2 = y1 ; 23x1 13x2 = y2, correcta la A).Ejercicio 3 La conica de ecuaciones x = 22 4 1, y = + 1 es una: A)

circunferencia; B) elipse; C) hiperbola; D) ninguna de las anteriores.

Solucion 3Elevando al cuadrado la expresion de la x resulta x2 = 22 4 1 y llevando el

valor de sacado de la y resulta:x2 = 2(y 1)2 4(y 1) 1 lo que nos lleva a la expresion final x2 + 2y2 = 1 que

es una elipse de semiejes a = 1 y b =

2

2.Correcta la B).

Ejercicio 4 Sea A una matriz regular y B una matriz cuadrada arbitraria del mismoorden que A, entonces las matrices producto AB y BA tienen los valores propios: A)recprocos; B) iguales; C) opuestos; D) ninguna de las anteriores.

Solucion 4En efecto, podemos escribir AB I = AB AA1 = A(B A1) y por tanto

la expresion de la ecuacion caracterstica de AB es: |A(B A1)| = |A||B A1| =|BA1||A| = |(BA1)A| = |BAI| que resulta ser, igualada a 0, la misma quela de BA y por tanto los valores propios de ambas son iguales. Correcta la B).

Ejercicio 5 En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que

uno consideramos el producto escalar: p(x) q(x) = 10 p(x)q(x)dx, la proyeccion del2

vector p(x) = 2, sobre el vector q(x) = 3x+ 1 es: A) 2; B)32

; C)57

; D) ninguna de las

anteriores.

Solucion 5El producto escalar de los polinomios p y q es p q = |p||q| cos, la proyeccion de p

sobre q tiene la expresion Proy pq = |p| cos = p q|q| . Calculando los elementos de estecociente:

el producto escalar, p q = 10 2(3x+ 1)dx = [3x2 + 2x]10 = 5 y la norma de q,|q| = +

10 (3x+ 1)

2dx = +

[3x3 + 3x2 + x]10 =

7. Llevando a la expresion de la

proyeccion ambos resultados queda 57, correcta la C).

Ejercicio 6 El valor de para que la forma cuadratica f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 2z2 +

2xy+2xz sea semidefinida positiva, es: A) 2 y 2; B) ningun valor de ; C) 2 y 2;D) ninguna de las anteriores.

Solucion 6

La matriz asociada a la forma cuadratica es, A =

1 1 4 01 0 2

; entonces el polinomiocaracterstico sera:

|A I| =1 1 4 01 0 2

= 3 + 72 13 + 4 22 + 2, para que estepolinomio en tenga una raz nula, = 0, debera ser el termino independiente nulo,luego 4 2 = 0 lo que nos lleva a que = 2. La ecuacion con este resultado es27+11 = 0 que tiene dos races positivas. Se verifica que el rango de f y la signaturade f son iguales e iguales a 2.Correcta la C).

Problema

Dado el sistema de ecuaciones lineales: 1 1 21 0 21 1 7

x1x2x3

=01

3

. Resolverlo mediante la factorizacion LUa)(2,5ptos.) Obteniendo las matrices L y U , dando las operaciones de fila y las matriceselementales transformadas.b)(1,5ptos.) Estudiar y dar la solucion del sistema obtenido por el procedimiento defactorizacion.

Solucion a). La matriz de los coeficientes de las incognitas A es regular (|A| = 1),la factorizacion sera unica; primero hay que transformar, si es posible, la matriz inicialen triangular superior mediante la eliminacion de Gauss sin intercambios de filas. Deta-llamos el proceso de calculo de la matriz U , escribiendo la matriz de partida, la operacionelemental y la matriz transformada, de izquierda a derecha.

3

A =

1 1 21 0 21 1 7

F2 F2F1 1 1 20 1 4

1 1 7

F3 F3F1 1 1 20 1 4

0 2 9

F3 F3 2F2

1 1 20 1 40 0 1

= U .A continuacion calculamos la matriz L considerando las operaciones elementales asoci-

adas a la sucesion de operaciones realizadas para la obtencion de la matriz U . La primera

operacion, F2 F2 F1 se corresponde con la matriz E1 = 1 0 01 1 0

0 0 1

, entonces laE11 =

1 0 01 1 00 0 1

, es la matriz asociada a la operacion F2 F2 + F1.Sucesivamente y de la misma manera calculamos los pasos siguientes.

La segunda operacion, F3 F3F1 se corresponde con la matriz E2 = 1 0 00 1 01 0 1

,entonces la E12 =

1 0 00 1 01 0 1

, es la matriz asociada a la operacion F3 F3 + F1.La tercera operacion, F3 F32F2 se corresponde con la matriz E3 =

1 0 00 1 00 2 1

,entonces la E13 =

1 0 00 1 00 2 1

, es la matriz asociada a la operacion F3 F3 + 2F2.La matriz L sera L = E11 E

12 E

13 =

1 0 01 1 01 2 1

. Puede comprobarse que en efectoA = LU .

Solucion b).

El primer paso es resolver LY = B, siendoB =

013

, en este caso es, 1 0 01 1 0

1 2 1

y1y2y3

=013

, cuya solucion trivialmente es Y =01

1

. El ultimo paso es resolver la ecuacionUX = Y , es decir

1 1 20 1 40 0 1

x1x2x3

=01

1

, donde facilmente resulta la solucion4

X =

131

.

5