Separata 2 Teoría de Errores

7/25/2019 Separata 2 Teora de Errores

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Topografa en Edicaciones I

II PLANIMETRA - PRINCIPIO DE TEORIA DEERRORES

Hay imperfecciones en los aparatos y en el manejo de los mismos, por tanto

ninguna medida es exacta en topografa y es por eso que la naturaleza y magnitudde los errores deben ser comprendidas para obtener buenos resultados. Lasequivocaciones son producidas por falta de cuidado, distraccin o falta deconocimiento. Algunas definiciones que debemos de comprender son

Precisin grado de perfeccin con que se realiza una operacin o se estableceun resultado.

Exactitud: grado de conformidad con un patrn modelo. !e puede medir unadistancia con una gran minuosidad.

Error: es una magnitud desconocida debido a un sinn"mero de causas.

Equivocaciones: #s una falta involuntaria de la conducta generado por el malcriterio o por confusin en la mente del observador. Las equivocaciones se evitancon la comprobacin, los errores accidentales solo se pueden reducir por mediode un mayor cuidado en las medidas y aumentando el n"mero de medidas. Loserrores sistem$ticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidascuando se conoce el error, o aplicando m%todos sistem$ticos en el trabajo de

campo para comprobarlos y contrarrestarlos.

Comprobaciones: !iempre se debe comprobar las medidas y los c$lculosejecutados, estos descubren errores y equivocaciones y determinan el grado deprecisin obtenida.

&.' Clasificacin de los errores

!eg"n las causas que lo producen estos se clasifican en

Naturales: debido a la variaciones de los fenmenos de la naturaleza como sol,viento, ("meda, temperatura, etc..

Personales debido a la falta de (abilidad del observador, estos son erroresinvoluntarios que se comenten por la falta de cuidado.


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Topografa en Edicaciones IInstrumentales: debido a imperfecciones o desajustes de los instrumentostopogr$ficos con que se realizan las medidas. )or estos errores es muy importanteel (ec(o de revisar los instrumentos a utilizar antes de cualquier inicio de trabajo.

Segn las forman que lo producen:


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Sistemticos #n condiciones de trabajo fijas en el campo son constantes y delmismo signo y por tanto son acumulativos, mientras las condiciones permanezcaninvariables siempre tendr$n la misma magnitud y el mismo signo algebraico porejemplo en medidas de $ngulos, en aparatos mal graduados o arrastre de

graduaciones en el tr$nsito, cintas o estadales mal graduadas, error portemperatura. #n este tipo de errores es posible (acer correcciones.

ccidentales: es aquel debido a un sin n"mero de causas que no alcanzan acontrolar el observador por lo que no es posible (acer correcciones para cadaobservacin, estos se dan indiferentemente en un sentido o en otro y por tantopuede ser que tengan signo positivo o negativo, por ejemplo en medidas de$ngulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la se*al, en medidasde distancias, etc.

&.& Comparacin entre errores sistemticos ! errores accidentales"

Sistemticos ccidentales'. !eg"n la ley

fisicomatem$tica'. !eg"n la ley de las probabilidades.

&. !e conocen en signos ymagnitud.

&./o se conoce su magnitud nisu

0. !on corregibles. 0. /o se pueden corregir peropuedendisminuirse siguiendo

1. !on de cuanta 1. /o !on de cuanta2. 3aran proporcionalmente al n4de

2. 3aran proporcionalmente ala

5e manera particular estudiaremos los #rrores sistem$ticos en la medicin concinta, aunque debemos estar conscientes que en la pr$ctica de campo siempre serealizan los levantamientos tal y como debe ser Los errores sistem$ticos porefecto de cinta, disminuye si se tiene en cuenta todos los cuidados, verificacionesy correcciones antes explicadas, pero los errores accidentales suelen presentarsecomo a continuacin se indica

#l no colocar verticalmente una fic(a al marcar los peque*os tramos pormedir o al moverla lateralmente con cinta.

6ue el 78ero9 de la cinta no coincide exactamente con el punto donde seinicia una medicin.

#rrores debidos a las variaciones de tensin, pues si la medicin se (acecon dinammetro llegan a presentarse peque*as variaciones a pesar debuscar que se da la misma tensin.


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&.0 Errores ms comunes


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Error por temperatura: Los cambios de temperatura producen deformaciones enlas longitudes de las cintas usadas en el campo. )or ejemplo la cinta de acero senormaliza generalmente a &:4 centgrado es decir que su longitud nominalcorresponde a esta temperatura.

!i al realizar la medicin la temperatura es mayor de &:4 centgrados la cinta sedilata, en caso contrario si la temperatura es menor a &:4 centgrados la cinta secontrae lo que incurre en un error por temperatura y se calcula de la siguienteforma

Cx# $ %&'&o( )

;o< #s la temperatura de normalizacin de la cinta;< #s la temperatura promedia al realizar la medicin en campoL< #s la longitud nominal de la cinta.

= 8oeficiente de dilactacin o contraccin t%rmica de material de la cintaexpresado en >g?mm&. +:.::::''@< #s el coeficiente de dilatacin t%rmica de lacinta de acero. #l de las cintas /3AB es alrededor de '0 veces menor-.

Por E*emplo+ Calcular la longitud real de una medicin )ongitud ,edida es-./"0-m+ )ongitud nominal de cinta 12 m a una &3 promedio de 4 2"5663c"LB< CLm< &D'.@&mLn< 0:m;4< :.1EE48

8x< :.::::''@ +:.1EE4 &:8- 0:m8x< @.'D x ':F

)or regla de tres!i 0: @.&x':F&D'.@& x

G< &D'.@&x @.&x':F

0:G< :.:''0

LB< &D'.@& :.:''0LB< &D'.@'m


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Error por longitud incorrecta: Algunas veces las cintas trae errores en sumedida. Llamamos longitud nominal a la longitud ideal o la que dice le fabricanteque tiene as la longitud real ser$ la comparada por un patrn la conexin, esdecir la que en verdad tiene. La correccin por longitud errnea se obtienemediante la siguiente frmulaC)# )7' )


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LI< #s la longitud real de la cinta producida del contraste del patrn.L< #s la longitud nominal de la cinta.8L< correccin de la longitud.

Por E*emplo+ 5eterminar la longitud real entre & puntos A y J para el que seutiliz una cinta de 0: m que al ser contrastada con un patrn resulto ser de0:.:E1m, la longitud entre A y J fue de ':D.0' m.

LIg y suspendidas en los apoyos 2.1 >g si la tensin aplicada es mayor queestos se produce un error por tensin y la conexin por tensin se obtiene de laforma siguiente

Cp# %P' Po( ) ;E

L longitud nominal.)< tensin aplicada al momento de la extensin)o< tensin de fabricacin de la cinta >g

A< $rea de la seccin transversal de la cinta#< Odulos de elasticidad del material . #l acero oscila entre &.' &.1 P':1 >g?mm&

+&0::: >g?mm&-


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E*emplo+ !e (a medido una distancia 2 veces obteniendo los siguientesresultados o valores observados, calcular los errores accidentales y la presin enla medicin. 5eterminar la magnitud de una lnea que (a sido medida con unacinta de 0:m, si la tensin aplicada fue de '& =g la cinta se utiliz apoyada en &apoyos el $rea es de 1 mm y la longitud medida fue de '2::m. 8onsidere tensinnominal de 2.1 >g.

L 0:mA 1 mm# &.' x ':1 >g?mm)o 2.1>g) '& =g


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8p +) )o-LA#

8p +'&>g 2.1>g- 0:m < 0.002357 m

1 P &':::

LB 0: m :.::&0 m'2:: m G G< :.''@D m

LB '2:: :.''@:LB '2::.'D@D m

E*ercicio Propuesto: 5eterminar la longitud real de una lnea cuyo valor al sermedido fue de [email protected]&mts, las condiciones de operacin de la cinta empleada la ;4media observada de 0: 48 la tensin aplicada promedio es de ':>g longitudnominal de la cinta es de 0:mts, la longitud real es de &M.M0mts el peso de lacinta es de 1.2>g y el $rea de la seccin transversal es de 0mm

! [email protected];4 0:48; ':>gL 0:mtsLB &M.M0mtsN :.ED>g

) 1.2>gA 0mmLBC

Los Errores accidentales en su particular usan la estadstica como herramientade estudio. Para ellos es necesario tomar en cuenta algunos conceptos bsicos:


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Error probable: #l error que m$s probabilidad tiene de ocurrencia cada vez quese ejecuta una observacin.


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El Error =eal es la diferencia que existe entre los valores observados en lamedicin de una determinada magnitud y el II3alor BealII de dic(a magnitud.

Error probable de la media aritm>tica: #s el error m$s representativo del valor

promedio.Error mximo: #s la probabilidad de cometer un error superior cuatro veces elerror probable.

Precisin #s la relacin que existe entre la distancia y el error cometido en sumedicin

?asado en el traba*o de diploma &opograf@a Introductoria+ presentado porAscar pac8eco Perla en *ulio de /BB/+ ! considerando grficos dedistribucin de errores basados en una curva normal donde se anali9 el

comportamiento de la curva de probabilidad al variar el error posible acontinuacin se indican las ecuaciones desarrolladas en un e*emplo:

cinta de acero. !e pide calcular el #rror )robable de la medicin, los #rroresO$ximos +M:R y M2R- y la )recisin de la medida. !e supone que lasobservaciones efectuadas est$n libres de los #rrores !istem$ticos, ya que estos(an sido corregidos o eliminados de antemano.

atos de Campo:,edicin )ong %m(

' ':::.& ':::.0 ':::.1 ':::.2 ':::.E ':::.@ ':::.D ':::.M ':::.

':

Soluci

':::.22

Es conveniente para este tipo de problemas %! para todos los problemas entopograf@a( crear tablas para facilitar los clculos+ ! obtener una me*orpresentacin de los resultados"

D)A= P=A,EIA A D)A= P=A??)E ' %Dp(


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3p < S Gi ?n donde,


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S Gi. < #s la sumatoria de todas las medidas realizadas u observacionesn n"mero de observaciones

3p < S Gi < ':,::1.1M < /222"5 m"n ':

E==A= =ESIF) ' r

#l #rror Besidual podemos calcularlo, ya que este es la diferencia que existe entrelos valores observados Gi, en la medicin de determinada magnitud y el valorm$s cercano al valor real que asumimos como valor promedio o media aritm%tica,as tenemos

5nder #rror Besidual o Besiduo de una observacin.Gi 3alor observado en la medida.

! " !

3p 3alor promedio o media Aritm%tica de las observaciones.

#l #rror Besidual puede ser )ositivo +- o /egativo +- y atendiendo a lasprobabilidades podemos concluir que la sumatoria de los #rrores Besiduales de unconjunto de observaciones realizadas en la medicin de determinada magnitud es

igual a 8#BT, es decir

! " ! # $%$

r < Gi 3p

Para el primer dato observado r < ':::.2@ ':::.12 < :.'& m

E==A= =ESIF) CF=G&ICA %rH (

Para la primera observacinr < + Gi 3p-

r < +G' 3p - < +:.'&- < :.:'11


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)os restantes clculos se presentan en la siguiente tabla:

Numero Abservaciones Error =esidual Error =esidual


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%i( Cuadrado %rH(' ':::.2@ :. :.:'& ':::.0M :.::0 ':::.0@ :.::1 ':::.0M :.::2 ':::.1D :. :.::E ':::.1M :. :.::@ ':::.0& :.:'D ':::.1E :. :.::M ':::.1@ :. :.::

': ':::.22 :. :.:'Sumatoria /2+225"5B 2"2 2"2

Evaluacin de los Errores

Error Estndar o desviacin ()

J < & +U' ( ? +n '--5onde,J: #s la desviacin est$ndar de un grupo de mediciones de la misma cantidad.r& errores residuales cuadr$ticos.

J # U'$%$)*+ ? M- < :.:D:& m

Error Probable %Ep(:

#stablece los lmites de rango de mediciones dentro de loscuales (a de caer las mediciones el 2:R de las veces

#p < V :.E@12 J#p < V :.E@12 +:.:D:&-#p < V :.:21' m

Errores ,ximos %E (: se considera aquel que corresponda al M: R del $rea dela curva de distribucin normal. #ste es el error m$ximo que se puede presentaren la pr$ctica es decir el error m$ximo de la medicin.

#+M2- < V '.M2MM J #+M:- < V '.E11M J

#+M2- < :.'2@' m. #+M:- < :.'0'M m.


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Error de la ,edia %Ev(: es la relacin que expresa que el error de la mediaaritm%tica vara en relacin inversa de la raz cuadrada del n"mero deobservaciones n la cual es v$lida slo para relaciones lineales.

#v < V J;,< :.:D&&?,$': < :.:&2M m

)recisin +)- representa la relacin entre el error y la distancia en la cual secomete dic(o error.

) < ' ? 3p?#v < ' ? ':::.12?:.:&2M < '? 0D1D@

Conclusin sobre resultados

- La longitud m$s probable es de ':::.12 m.- #l #rror #st$ndar de una sola medida es de V :.:D :&m.- !e espera que aproximadamente el EDR de las veces, una longitud registrada estara

comprendida entre ':::.0@ y ':::.2@ m +':::.12 V :.:D-K es decir queaproximadamente siete de los valores estara

comprendidas dentro de estos limites- #l #rror )robable es de V :.:21' m. #sto significa que debe suponerse que la mitad

de las mediciones efectuadas caer$n dentro del intervalo ':::.1: a ':::.2:.- Aproximadamente el M:R de las medidas efectuadas no contendr$ un #rror mayor de V

:.'0'M y su magnitud estara dentro del intervalo ':::.0& a':::.2D +':::.12V:.'0 m- es decir, aproximadamente M de las mediciones

estar$n dentro de este intervalo.- #l #rror m$ximo del M2R sera de V:.'2@' y la longitud estara comprendida entre

':::.0: y ':::.E: en el M2R de las veces. Bealmente todas las medidas efectuadas enel ejemplo est$n dentro del lmite.

- #n cuanto a la )recisin calculada, no se podra establecer su confiabilidad, si no sedefiniera de antemano una precisin admisible caracterstica para el trabajo topogr$fico.;omando en consideracin lo dic(o anteriormente, comparemos el resultado obtenidocon dos valores de precisin admisibles propuestos, as

a- )ara una precisin admisible de '?0::::b- )ara una precisin admisible de '?1::::

#n el caso a- la precisin indica que deber$ cometerse un error lineal de II'IImetro por cada 0:::: metros medido +mnimo-, para considerar la medicin comoaceptable, si comparamos esta restriccin con nuestro valor de '?0M2::, nosdamos cuenta que cometemos en 0D1D@ m un error de un metro, por lo que laprecisin calculada sobrepasa la precisin permisible, concluyendo que se (a


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trabajado con una precisin mayor y por consecuencia las mediciones efectuadasson confiables.


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)ara el caso b-, en donde la tolerancia mnima es de ' m por cada 1::::mmedidos, nos damos cuenta que no se cumple la condicin mnima de error lineal,por lo que (abr$ primeramente necesidad de realizar una revisin en los c$lculos

y luego si no se encuentran equivocaciones, se medir$ nuevamente con un mayorcuidado, (asta obtener una precisin mayor o igual a la fijada.

La eleccin de la precisin admisible queda en funcin de la finalidad eimportancia del levantamiento, existiendo valores caractersticos.

A continuacin se muestra un ejemplo, en donde se pide determinar la precisin yel tipo de medicin usado, a partir de las distancias observadas. +#l tipo delevantamiento se estima de acuerdo a la precisin, recuerde que para cada tipo delevantamiento existe una precisin-

Abservacion Error residual %=i( -0:.:& :.::0 M#0:.:' :.:'0 :.:::'0:.:& :.::0 M#0:.:0 :.::@ 1.M#0:.:1 :.:'@ :.:::&0:.:& :.::0 M#0:.:' :.:'0 :.:::'0:.:1 :.:'@ :.:::&0:.:' :.:'0 :.:::'

0:.:0 :.::@ 1.M#:.::'

suma Error =esidual :.:Mn # ':Promedio 0:.:&0Error medio aritmetico :.::MSuma de error medio aritneticos al caudrado :.::'&'Error medio cuadratico :.:''Error probable :.::@&errror probable de la media aritmetica :.::01@D2:2Error maximo :.:&DDPrecision '

DE0'.::2E21

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