1

Septiembre 2008. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos El cajero automático de una determinada entidad bancaria sólo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros. Los viernes depositan el en cajero 225 billetes por un importe total de 7000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros. Solución. x ≡ Número de billetes de 50 € y ≡ Número de billetes de 20 € z ≡ Número de billetes de 10 €

- “ Se depositan el en cajero 225 billetes”: x + y + z = 225 - “Importe total de 7000 euros”: 50x + 20y + 10z = 7000 - “La suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20

euros”: x + z = 2y Ordenando y simplificando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

=+−=++

=++

0zy2x700zy2x5

225zyx

Para comprobar que el sistema es compatible determinado se calcula el determinante de la matriz de coeficientes.

( )Cramer odeterminad compatible Sistema012121125111

Adet ⇒≠−=−

=

10012

120012

1201270011225

A

Ax x =

−−==

−−

==

7512900

121011700512251

A

Ay

y=

−−==

−==

5012600

12021

7002522511

A

Az z =

−−==

−−

==

100 billetes de 50 €, 75 billetes de 20 € y 50 billetes de 10 €. Septiembre 2003. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 2 puntos Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios, y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13.000 euros. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos europeos comunitarios, cobrando 7.000 euros. Se pide:

2

a. (1’5 puntos) Hallar el precio de cada tipo de billete b. (0’5 puntos) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento

el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todo los billetes extranjeros comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constante sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias.

Solución. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. a. x ≡ Precio billete nacional

y ≡ Precio billete extranjero comunitario z ≡ Precio billete extranjero no comunitario

=+=+=++

=+=+

=++

700yx1300z2x

200.1zyx:ndoSimplifica

000.7y10x10000.13z20x10

000.12z10y10x10

Dada la simplicidad del sistema, por sustitución se resuelve fácil y rápidamente. Sustituyendo la tercera ecuación en la primera, se obtiene el valor de z

700 + z = 1.200 : z = 500 € Sustituyendo z en la segunda ecuación se calcula x

x + 2 · 500 = 1.300 : x = 300 € Sustituyendo x en la tercera ecuación se calcula y

300 + y = 700 : y = 400 € b. Denominando como λ al factor de conversión de los precios de los billetes extranjeros comunitarios, y teniendo en cuenta que la cantidad total recaudada por la venta es la misma:

( ) ( ) ( ) 000.7000.13000.12400108'030010500208'03001050010400108'030010C AGENCIAB AGENCIAA AGENCIA

++=λ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+λ⋅⋅+⋅⋅4444 84444 764444 84444 76444444 8444444 76

operando y ordenando

22.200 + 8.000 λ = 32.000

λ = 1’225

El precio de los billetes extranjeros comunitarios debe aumentar el 22’5 % Junio 2002. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 2 puntos). Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.

3

Solución x ≡ Edad de la madre

y ≡ Edad del hijo mayor z ≡ Edad del hijo menor

Si hace catorce años, la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de sus hijos, y teniendo en cuenta que hace catorce años las edades de cada uno eran:

Madre: x − 14 Hijo mayor: y − 14 Hijo menor: z − 14

Aparece la primera ecuación: ( ) ( )[ ]14z14y·514x −+−=−

ordenando 126z5y5x −=−−

Dentro de 10 años la edad de cada uno será:

Madre: x + 10 Hijo mayor: y + 10 Hijo menor: z + 10

Y en ese momento la edad de la Madre será la suma de las edades de sus hijos ( ) ( )10z10y10x +++=+

ordenando 10zyx =−−

Cuando el hijo mayor tenga la edad de la madre, por todos ellos habrán pasado x − y años, diferencia de edad entre la madre y el hijo mayor, lo tanto la edad del hijo menor será ( )yxz −+ que da lugar a la ecuación:

( ) 42yxz =−+ ordenando

42zyx =+− Con las tres ecuaciones se plantea el sistema:

=+−=−−

−=−−

42zyx10zyx126z5y5x

Dado que el 08111111551

A ≠=−

−−−−

= , el sistema es compatible determinado

Resolviendo por Cramer

448

3528

1142111055126

A

Ax x ==

−−−−−−

==

188

1448

1421110151261

A

Ay

y==

−−−

==

4

168

1288

4211101112651

A

Az z ==

−−

−−

==

Septiembre 1999. 2A. Calificación máxima: 2 puntos. Un cajero automático contiene 95 billetes de 1000, 2000 y 5000 ptas. Y un total de 200.000 ptas. Si él número de billetes de 1.000 ptas. es el doble que él número de billetes de 2.000, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. Solución. x ≡ número de billetes de 1000 ptas. y ≡ número de billetes de 2000 ptas. z ≡ número de billetes de 5000 ptas. 1ª ecuación: “Un cajero automático contiene 95 billetes”

x + y + z = 95 2ª ecuación: “Un total de 200.000 ptas.”

1000x + 2000y + 5000z = 200 000 Simplificando por 1000

x + 2y + 5z = 200 3ª ecuación: “él número de billetes de 1.000 ptas. es el doble que él número de billetes de 2.000”

x = 2y Las tres ecuaciones plantean un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

=−=++=++

0y2x200z5y2x95zyx

Resolviendo por el método de Cramer:

x = 50; y = 25; z = 20 Septiembre 1998. 3A (Calificación máxima: 3 puntos). Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 100 pesetas. Se sabe que en total hay 3600 pesetas. El número de monedas A excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos cajas. Si se traslada una moneda de la caja B a la caja A, ésta tendrá el doble de monedas que B. Averiguar cuántas monedas había en la caja Solución. x ≡ número de monedas que hay en la caja A y ≡ número de monedas que hay en la caja B z ≡ número de monedas que hay en la caja C 1ª Ecuación: “Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 100 pesetas, y se sabe que en total hay 3600 pesetas”

100x + 100y + 100z = 3600 Simplificando por 100

x + y + z = 36

5

2ª ecuación: “El número de monedas A excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos cajas”

x = y + z + 2 3ª ecuación: “Si se traslada una moneda de la caja B a la caja A, ésta tendrá el doble de monedas que B”

x + 1 = 2 · (y ‒ 1) Ordenando las ecuaciones se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

−=−=−−=++

3y2x2zyx36zyx

Resolviendo por el método de Cramer:

x = 19; y = 11; z = 6 Junio 1998. EJERCICIO 4B. Un almacenista dispone de 3 tipos de café: él A, a 980 Ptas./Kg. ; el B a 875 Ptas./Kg. ; y el C a 950 Ptas./Kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 Kg a un precio de 940 Ptas./Kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos? Septiembre 1995. Opción B. PROBLEMA. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener unas ganancias del 20 %, del 50% y del 25 %, respectivamente, con lo que su beneficio total seria de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama mucho la atención), pues con la venta que obtiene de ellos ganancias del 80 %, del 90 % y del 85 %, respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuánto le costó cada objeto? Junio 1995. Opción B Problema. Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 50% en la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10% en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: a) Reducir la publicidad inicial al 30%, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y las

ventas se mantendrían. b) Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención

aumentaría en un 20 %. ¿Cuál de las dos decisiones es la correcta? Justifíquese cada una de las afirmaciones que se hagan. Solución. Los resultados de la empresa, pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones.

=α++=++

≡≡

≡

605S·P·5'1V·1'1650SPV

:esSubvencionS

PublicidadPVentasV

Las previsiones pueden expresarse:

a) V + 0’3·P + 0’9·s = 650

6

b) V + 0’6·P + 1’2·S = 650

La opción “a”, no es posible, ya que no se pueden mantener los ingresos disminuyendo la publicidad y las subvenciones y manteniendo las ventas constantes La opción “b” es posible, ya que manteniendo las ventas, disminuye la publicidad pero aumenta la subvención. Con los datos propuestos se estudia el sistema:

=++=α++

=++

=++=α++

=++

6500S12P6V106050S·10P·15V·11

650SPV:

650S2,1P6'0V605S·P·5'1V·1'1

650SPV

definido por las matrices

α=

α=6500126106050101511650111

'A:12610

101511111

A

El rango de la matriz A’ es tres independientemente del valor que tome α, ya que existe un menor de orden tres que no depende de α y es distinto de cero.

440065006106050151165011

−=

El rango de A depende de α

( )910412610

101511111

−α⋅=α

i. Sí α = 0’9 el sistema es incompatible. rg A ≠ rg A’ ii. Sí α ≠ 0’9 el sistema es compatible determinado. rg A = rg A’ = n = 3

Aplicando la discusión del sistema al enunciado del problema, la propuesta “b” solo será

admisible cuando la rebaja en la subvención propuesta en la segunda ecuación sea distinta al 10%. Sí la rebaja es diferente al 10%, las distintas partidas de ventas, publicidad y subvenciones vendrán expresadas el función de α según:

A

AS:

A

AP:

A

AV SPV ===

( ) ( ) ( )910465006106050151165011

S:910412650010

1060501116501

P:91041266500

1015605011650

V−α⋅

=−α⋅

α

=−α⋅

α

=

7

( )( )

( )

( )

>−α⋅

−=

>−α⋅

−=

>−α⋅−α=

09104

4400S

09104

2200P

091044265·400V

Resolviendo las inecuaciones:

i. Para que V > 0: 64'06542 ≈<α ó α > 0’90

ii. Para que P y S > 0: α < 0’90

Para que los tres valores V, P, y S sean positivos y la propuesta “b” sea aceptable, la disminución en la subvención correspondiente a la segunda ecuación, debe ser suprior al 36%. Septiembre 1994. 4B ((Puntuación máxima: 4 puntos) Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos, A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gr, el B tiene 30 calorías por cada 100 gramos y el C 40 calorías por cada 100gr.

a) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 840 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que debe ingerirse de cada no de los alimentos.

b) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir.

Solución 1) Se pide plantear y resolver un sistema de tres incógnitas en función de un parámetro G, para ello se da información para plantear tres ecuaciones. x ≡ Gramos de alimento A y ≡ Gramos de alimento B z ≡ Gramos de alimento C

==++

=++

z2x840z4'0y3'0x1'0

Gzyx ordenando:

=−=++=++

0z2x8400z4y3xGzyx

Estudio del sistema:

−=

−=

02018400431

G111A'

201431111

A

Cramer) de (Método S.C.D. .n'rgA3rgA01201

431111

A ===⇒≠−=−

=

16800G61

G6168001

20043840011G

A

Ax x −=

−−=

−−

==

8

G625200125200G6

1201

4840011G1

A

Ay

y−=

−−=

−−

==

8400G31

G384001

001840031

G11

A

Az z −=

−−=

−==

2) En este apartado se pide calcular el intervalo entre el que se debe encontrar el valor de G. Para ello habrá que tener en cuenta que los valores de x, y, z, deben ser positivos:

≥≤≥

≥−≥−≥−

2800G4200G2800G

:oresolviend ,08400G30G625200016800G6

Por lo tanto para que las tres variables sean positivas: 2800gr. ≤ G ≤ 4200gr.

Junio 1994. 4B PROBLEMA (Puntuación máxima: 4 puntos) Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20 % mas que la suma de la mitad de lo pedido por el primero mas la tercera parte de lo pedido por el tercero. ¿Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos? Solución Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se debe plantear: x≡Número de unidades con que se abastece al primer establecimiento y≡ Número de unidades con que se abastece al segundo establecimiento z≡ Número de unidades con que se abastece al tercer establecimiento

+⋅

+=

+==++

3z

2x

100201y

zyx42zyx

Ordenando el sistema:

=+−=−−=++

0z2y5x30zyx42zyx

Resolviendo por Cramer: x=21; y=15; z=6