Elementos de Mecnica del Medio ContinuoSerie Esfuerzos.
Fecha de entrega: 5 de mayo de 2015Examen el 7 de mayo
1. Se tienen los siguientes tensores de esfuerzos evaluados en
algn punto p de algnsistema ortogonal en su representacin
matricial. Calcula para cada uno de ellos (a)los invariantes, (b)
los esfuerzos principales y las direcciones principales, (c) el
tensorde rotacin, el eje de rotacin y el ngulo, (d) los esfuerzos
cortantes mximos y elvector normal de esos planos, (e) el tensor de
esfuerzos deviatorio, el tensor de esfuerzosesfrico y el esfuerzo
cortante octadrico.
(a) T =
24 6 4 24 6 52 5 2
35,(b) T =
24 2 1 11 2 11 1 2
35,(c) T =
24 10 10 010 0 300 30 30
35 ;(d) T =
24 3 0 50 8 05 0 1
352. Investiga qu es el crculo de Mohr, y explica cules son sus
ventajas y desventajas conrespecto a lo visto en clase. Aplica el
concepto a los tensores anteriores.
3. El estado de esfuerzos en un cuerpo elstico en coordenadas
cartesianas es
T =
24 (1 x2) y + 23y2 x (4 y2) 0x (4 y2) 13(y3 12y) 0
0 0 (3 x2) y
35 :(a) Calcula el vector de esfuerzos en el punto P (2;5; 3)
del plano 2x+3y+4z = cte.
Calcula el componente normal y tangencial del vector de
esfuerzos.
(b) Calcula los invariantes, los esfuerzos principales, las
direcciones principales, eltensor de rotacin, los esfuerzos
cortantes mximos y sus direcciones.
(c) Calcula la divergencia del tensor.
4. El siguiente tensor de esfuerzos est dado en coordenadas
polares cilndricas
T = T ij g^i g^j = g^2 g^3 g^3 g^2 + x1sin x2 + cos x2
g^3 g^3:
(a) Realiza un esquema del tensor sobre un elemento de
volumen.
1
(b) Calcula los vectores de esfuerzo sobre la supercie de un
cilindro de radio R conaltura H. Interpreta lo que representa.
(c) Calcula los invariantes, los esfuerzos principales, los
esfuerzos cortantes mximos,el tensor deviatorio, el tensor esfrico,
y el esfuerzo cortante octadrico.
(d) Calcula la divergencia del tensor. Interpreta el signicado
fsico del resultado.
(e) Demuestra que el tensor de esfuerzos cartesiano
T =
24 0 0 z20 0 z1z2 z1 z2 + z1
35es el mismo que el anterior.
5. Demuestra que el esfuerzo octadrico
oct =1
3
q(S1 S2)2 + (S2 S3)2 + (S3 S1)2
es equivalente a
2oct =
rS1
2 + S22 + S3
2
3=
r23IIS
6. El tensor de esfuerzos para una placa plana con un oricio de
radio a sometida a uncampo cortante S en la direccin xy cartesiana
es
Trr = S
1 +
3 a4
r4 4 a
2
r2
sin 2;
T = S1 +
3 a4
r4
sin 2;
Tr = S
1 3 a
4
r4+2 a2
r2
cos 2;
y todos los dems componentes son nulos. Calcula las fuerzas de
cuerpo para que secumpla la ecuacin de equilibrio de la
elastoesttica,r T+ f = 0. Calcula alrededordel oricio los esfuerzos
principales y sus direcciones, los cortantes y octadricos y
susplanos. Explica el signicado fsico los resultados que
calculaste.
7. Investiga qu son los criterios de cedencia de Tresca y de von
Mises y cmo se relacionancon los esfuerzos deviatorios y
octadricos.
