PROF: WUILMER COLMENARES

BACHILLERES: CESAR CARVAJAL C.I: 18.948.848 MARYELI RENGEL C.I: 19.369.070 ARAY YOEL C.I: 19.728.522CIUDAD BOLIVAR ABRIL DEL

2010

RESEA HISTORICA DE JOSEPH FOURIER DEFINICION SERIE FOURIER TRANSFORMADA DE FOURIER PROPIEDADES EJERCICIO DE LA SERIE FOURIER EN LA ELECTRICIDAD REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIERNaci el (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Pars), matemtico y fsico francs conocido por sus trabajos sobre la descomposicin de funciones peridicas en series trigonomtricas convergentes llamadas Series de Fourier, mtodo con el cual consigui resolver la ecuacin del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicacin cientfica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedic un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992. Estudi con los benedictinos en la Escuela Superior de Auxerre, pero abandon su destino monstico para dedicarse al estudio de las ciencias. Particip en la revolucin francesa y, gracias a la cada del poder de Robespierre, se salv de ser guillotinado. Se incorpor a la Escuela Normal Superior de Pars en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis LaGrange y Pierre-Simn Laplace. Fourier particip en la expedicin de Napolen a Egipto en 1798. Nombrado secretario perpetuo del instituto de Egipto el 22 de agosto de 1798.

Presenta numerosas memorias y dirige una de las comisiones de exploracin del Alto Egipto. Entre las distintas funciones polticas o administrativas que llev a cabo, destaca la de comisario francs en el Divn. A su regreso a Francia en 1801, Napolen lo nombra prefecto de Isre entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean-Franois Champollion a los veteranos de la expedicin de Egipto. Entr a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco aos se convirti en el secretario perpetuo de las secciones de matemticas y fsica. Muere en Pars el 16 de mayo de 1830. su trabajo comenz trigonomtricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemtico de fenmenos fsicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinmica. Sin embargo, la simplificacin excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre - Simn Laplace y Joseph-Louis LaGrange. Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la

propagacin del calor que le permiten modelar la evolucin de la temperatura a travs de series

Redacta el prefacio histrico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su clebre Thorie Analytique de la Chaleur (Teora Analtica del Calor). Seguidor de la teora matemtica de la conduccin del calor. Estableci la ecuacin diferencial parcial que gobierna la difusin del calor solucionndolo por el uso de series infinitas de funciones trigonomtricas. En esto introduce la representacin de una funcin como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. En la obra Thorie analytique de la chaleur (Teora Analtica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros captulos tratan problemas sobre difusin de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto. Aqu se deduce adems la ecuacin en derivadas parciales que rige el fenmeno: Donde: V=V(x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t; k el coeficiente de difusin del calor, C la constante de capacidad calrica del cuerpo y D la densidad. Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el mtodo de eliminacin para la solucin de un sistema de desigualdades, teora muy usada actualmente para programacin lineal

SERIE DE FOURIER Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin continua y peridica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico francs Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba la ecuaci del calor. Esta rea de investigacin se llama algunas veces Anlisis armnico. Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta sumamente til en la teora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde funcin

y

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

DEFINICIN Si es una funcin (o seal) peridica y su perodo es 2T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde

y

son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las frmulas de arriba pueden expresarse tambin en su forma compleja:

Los coeficientes ahora seran:

FORMULACIN MODERNA Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo con L2([ , ]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

se denota

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de L2([ , ]) puedan desarrollarse en series de Fourier. As , el conjunto de funciones , ]. exponenciales es una base ortonormal del espacio L2([ El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde

son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por ltimo, la identidad de Parseval dice que dada una funcin f de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

En lenguaje tcnico, podramos decir que hay una isometra entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos trminos tienen cuadrados sumables.FORMULACIN GENERAL

Las propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x. Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad de homomorfismo". Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

FORMA EXPONENCIAL Por la identidad de uler para la exponencial comple a, operando adecuadamente, si

la serie de ourier se la puede expresar como la suma de dos series:

n orma ms compacta:

LA SERIE FOURIER EN LA INGENIERA l anlisis de seales en el dominio de la recuencia se realiza a travs de las series de ourier, por cuanto es muy comn, reemplazar la variable x por componentes: t, resultando las

y

Por lo tanto:

TRANSFORMADA DE FOURIER En matemtica, la transformada de Fourier es una aplicacin que hace corresponder a una funcin f con valores complejos y definida en la recta, otra funcin g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una funcin integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaa la integral en definicin facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la ms comnmente adoptada, no es universal. En la prctica las variables x y Xi suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia segundos^-1-,...)

y entonces es correcto utilizar la rmula alternativa:

de orma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente a dimensional. a trans ormada de ourier as de inida goza de una serie de propiedades de

continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de unciones mayores e incluso a espacios de unciones generalizadas. dems, tiene una multitud de aplicaciones en muchas reas de la ciencia e ingeniera: la sica, la teora de los nmeros, la combinatoria, el procesamiento de seales (electrnica), la teora de la probabilidad, la estadstica, la ptica, la propagacin de ondas y otras reas. n procesamiento de seales la trans ormada de descomposicin de una seal en componentes de corresponde al espectro de recuencias de la seal f. ourier suele considerarse como la recuencias di erentes, es decir, g

La rama de la matemtica que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada anlisis armnico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aqu algunas de ellas: DEFINICIN FORMAL Sea f una funcin Lebesgue integrable: o La transformada de Fourier de f es la funcin

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una funcin integrable. Una teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

estimativa

simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una funcin acotada. Adems por medio del

La transformada de Fourier inversa de una funcin integrable f est definida por:

Ntese que la nica diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversin de Fourier justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolacin de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a travs de la aplicacin de la Varianza para cada funcin. PROPIEDADES BSICAS La transformada de Fourier es una aplicacin lineal:

Valen las siguientes propiedades para una funcin absolutamente integrable f:

Cambio de escala:

Traslacin:

Traslacin en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si f y t

f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es

diferenciable

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integracin por partes.

DEFINCION DE CONVOLACION la convolucin de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolucin tambin es integrable, y vale la igualdad:

Tambin puede enunciarse un teorema anlogo para la convolucin en la variable transformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definicin de la transformada de Fourier.

TABLA DE TRANSFORMADAS BSICAS En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo frecuente en ingeniera el uso de un factor unidad en la en la transformada inversa. A continuacin se lista

transformada directa y un factor de

una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, slo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Funcin

Transformada 1

1

TEOREMA DE INVERSIN La idea del teorema de inversin es que dada una funcin f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la funcin original, en smbolos:

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es vlido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer prrafo de este artculo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una funcin integrable no es necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversin necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. Hay numerosas posibilidades, la ms natural del punto de vista tcnico siendo el espacio de Schwartz de funciones rpidamente decrecientes. Sin embargo aqu tomamos un camino ms directo para formular un enunciado: TEOREMA. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Adems para una funcin f en este espacio, vale el teorema de inversin (1). Otra posibilidad para formular un teorema de inversin se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN EL ESPACIO DE SCHWARTZEl espacio de Schwartz consiste de las funciones tomando valores complejos, definidas en R e infinitamente diferenciables tales que para todo m, n enteros no negativos

donde

(n)

es la n-sima derivada de . Denotamos al espacio de Schwartz por el smbolo

TEOREMA Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

Adems vale la frmula de inversin:

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

donde Pk son polinomios.

Debido a las propiedades

y la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales , tanto para la teora que para su resolucin prctica. PROPIEDADES DE HOMOMORFISMO Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la lnea real (ms concretamente, del "grupo del crculo") tenemos ciertas identidades tiles: Si g(x) = f(x

y) entonces

La transformada de Fourier es un morfismo :

Es decir, la transformada de Fourier de una convolucin es el producto de las transformadas de Fourier.

SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS Dada una funcin en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en ( pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendr una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial inters. Teniendo en cuenta las propiedades se puede elegir la extensin de manera que tengamos una funcin par y, en ese caso, la serie de Fourier slo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la funcin original y sus coeficientes se calculan por la frmula (en la que slo interviene la funcin dada en el intervalo original). Del mismo modo, si elegimos una extensin impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la funcin dada y sus coeficientes vienen determinados. Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo. LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN INGENIERA La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio frecuencial una seal para as obtener informacin que no es evidente en el dominio temporal. Se demuestra matemticamente que una seal peridica se puede descomponer en una suma de senos y

cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, seales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de seales trigonomtricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes: La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y el odo humano se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz. Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy til para el diseo de filtros de radio transistores. La transformada de Fourier tambin es utilizada en el mbito del tratamiento digital de imgenes, como por ejemplo para mejorar o definir ms ciertas zonas de una imagen fotogrfica o tomada con una computadora.

y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Linealidad Duali a Cambio e escala e la conjuga a

Transforma a

Translacin en el tiempo Translacin en frecuencia Derivacin en el tiempo Derivacin en la frecuencia

Transformada de la integral Transformada de la convolucion

Teorema de perseval

Pares clsicos de la transformada de Fourier

Pulso rectangular

Pulso triangular

Delta de Dirac (t) cos( 0t)sin( 0t)

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEAL PERIODICA Cual es la transformada de fourier de una seal periodica? Para saberlo usaremos el tren de deltas utilizado anteriormente, como funcion auxiliar.

Condiciones para que exista la transformada de Fourier cuando:y

Es absolutamente integrable

y

f(t) continua por intervalos [a,b] finito

Para una f(t) real o compleja, con variable real t, se define como la transformada de Fourier como:

Igualmente, tenemos la funcion inversa de Fourier:

y De forma que se cumple

y Es costumbre representar la transformada de Fourier de una seal con la letra que lo representa

en maysculas:y

Alguna propiedad:

y Integracin: y La demostracin es sencilla:

Anlogamente:

En matemticas es usual dejar el resultado de la transformada de Fourier en funcin de , mientras que en ingeniera es mas habitual dejarlo en f, debido a que se mantiene la simetra. Ambas estn relacionadas directamente.

Con la ventaja que en funcion de f, no tenemos ese divisor de 2 , por lo que mantiene la simetria, que es mas comodo al realizar calculos (sin embargo, no olvidar que la fase de la exponencial esta invertida).

EJERCICIO DE LA SERIE FOURIER Deducir la forma y q n en trminos de an t bn. Se puede expresar as de y expresar Cn

se utiliza la entidad trigonomtrica

donde

y por consiguiente,

Tambin si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representacin de Fourier de una funcin peridica, representa la funcin como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente sinuosidad de frecuencia perodo de la funcin y respectivamente. se denomina la ensima armnica de la funcin peridica. La se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los primera armnica comnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo coeficientes Cn y los ngulos q n se conocen como amplitudes armnicas y ngulos de fase,

utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansin muy simplificada.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: (x) de cada punto x donde es diferenciable:

Aplicaciones de la Serie de Fourier en circuitos de forma senoidal

La serie de Fourier tiene el siguiente aspecto

a0 / 2 valor medio a1, a2, b1, b2, ... coeficientes de Fourier w 0 ... frecuencia (2p /T) n w 0 ... harmnicos

f(t)=2sen t sen(2t) + (2/3)sen (3t) - 1/2sen (4t) +2/5 sen (5t)+....

y Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

Analticamente tenemos:

La serie de Fourier nos conduce a .

La transformada de Fourier ..

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier#Uso_en_ingenier.C3.ADa http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier#Teorema_de_inversi.C3.B3n http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml http://es.wikiversity.org/wiki/La_Transformada_de_Fourier http://www.xuletas.es/ficha/desarrollo-en-serie-de-fourier-dsf-1/ http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y laplace.shtml#aplicac