Series Complejas

5/17/2018 Series Complejas - slidepdf.com

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1

SERIES

El objetivo principal de esta temática del syllabus es el de representar funciones analíticas

mediante series. Para tal efecto se presentarán teoremas importantes que garantizan la

existencia de dichas representaciones, y ejemplos en el manejo de las series complejas.

CONVERGENCIA DE SUCESIONES:

Una sucesión infinita1 2 3, , ,..... ....

n z z z z de números complejos tiene límite z si, para cada

número positivo , existe un entero positivo 0n tal que

0siempre quen

z z n > n

Geométricamente significa que para valores de n suficientemente grandes, los puntosn z

caen en el interior de un entorno de z de radio dado. El valor del índice0

n en general

depende del elegido. Como el escogido es tan pequeño como se quiera, se tiene como

consecuencia que la distancia entre los puntosn z y z se hace arbitrariamente más pequeña

en la medida que el subíndice n se incrementa. En otras palabras, la mayoría de los

elementos de la sucesión tienden a concentrarse o a “apilarse” alrededor del valor límite z

(ver figura 1).

Figura 1. Interpretación geométrica de sucesión convergente.

El límite es único y cuando éste existe se dice que la sucesión converge al valor límite z ; y

se nota como:

lim nn

z z

En caso que el límite no exista, la sucesión se dice divergente.

Teorema 1. Supóngase que 1,2,3,.....n n n

z x i y n y z x i y . Entonces lim nn

z z

si y sólo si lim limn nn n

x x y y y

1 z

2 z

n z

z

x

y



2

Demostración: ) Si los límites unidimensionales de la parte real e imaginaria den z

existen, entonces por definición de límite de sucesiones reales se tiene que para cada 0

existen enteros positivos1 2

n y n tales que

1

2

siempre que2

siempre que2

n

n

x x n n

y y n n

Si 0 1 2max ,n n n entonces

0siempre que2 2

n n x x y y y n n

Ahora bien, como ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n x i y x iy x x i y y x x y y ,

0n n

entonces0

siempre quen z z n n y por tanto hemos probado que lim n

n z z

.

En sentido inverso: ) Si lim nn

z z

entonces para cada 0 , existe un entero positivo

0n tal que 0

( ) ( ) siempre quen n x iy x iy n n .

Ahora bien, partiendo de la distancia de las componentes real e imaginaria para0n n y

usando lo anterior se tiene que:

0( ) ( ) ( ) ( ) siempre que

n n n n n x x x x i y y x iy x iy n n

y 0( ) ( ) ( ) ( ) siempre quen n n n n

y y x x i y y x iy x iy n n

lo que significa que lim limn nn n

x x y y y

, obteniéndose lo que se quería probar.

Nota: El teorema anterior permite afirmar lim ( ) lim ( ) lim ( )n n n n

n n n x iy x i y

siempre,

que los dos limites del lado derecho existan o el del lado izquierdo exista.

Ejemplo 1. La sucesión3

1n z i

n converge a i ya que

3 3

1 1

lim lim lim 0n n ni i i in n

Figura 2. Convergencia de la sucesión al punto i

1

i

x

y

1 z

2

z



3

Ejemplo 2. Sea la sucesión compleja2

( 1)2 1,2,3,.......

n

n z i n

n

Aplicando el teorema2

( 1)lim lim( 2) lim 2 (0) 2

n

nn n n

z i in

El punto de convergencia es el complejo 2 0 ( 2,0)i

Figura 3. Para 0.01 , losn

z con0

10n n quedan dentro del círculo de radio y

centro ( 2,0) . Esto es 0( 2) 0.01 siempre que 10 z n n .



4

CONVERGENCIA DE SERIES

Una serie infinita1 2 3

1

... ...n n

n

z z z z z

de números complejos converge a la

suma S si la sucesión de sumas parciales

1 2 3

1

S ... ( 1,2,3,...) N

N n N

n

z z z z z N

converge a S. En estos casos de convergencia se suele notar1

Sn

n

z

.

Como las sucesiones convergentes tienen límite único, de igual forma las series tienen a lomás una suma S (única). Cuando una serie no converge, se dice que diverge.

Teorema 2. Sea 1,2,3,....n n n z x iy n y S = X + iY. Entonces

1

Sn

n

z

si y sólo si1 1

X Yn n

n n

x y y

Demostración: La suma parcial n-ésima

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1

S .... ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ... ) ( ... )

X Y

N N N N

N N

N N

n n N N

n n

z z z z x iy x iy x iy x iy

x x x x i y y y y

x i y i

Ahora bien, la hipótesis1

Sn

n

z

es verdadera si solo si lim S S N N

. Utilizando el

teorema 1 y la expresión de arriba se tiene que

1 1

lim S lim lim lim X lim Y S X +iY N N

N n n N N N N N N N

lado derechon nlado izquierdo

x i y i

Igualando parte real e imaginaria se llega a1

1

lim X X

lim Y Y

N n N

n

N n N

n

x

y

, lo que se quería probar.



5

El teorema 2 nos permite escribir1 1 1

( )n n n n

n n n

x i y x i y

, lo que significa que la

serie compleja del lado izquierdo converge si solo si las dos series reales del lado derecho

también convergen.

Se pueden extender propiedades de las series reales a series complejas que se resumen enlos siguientes dos corolarios:

Corolario 1. Si una serie de números complejos converge, entonces el término n-ésimo

converge a cero cuando n tiende a infinito.

En símbolos: Sí 1

S entonces lim 0n nn

n

z z

Como la serie compleja converge entonces las series reales también convergen (teorema2)

1 1X y Yn n

n n x y

Del análisis real sabemos que sí una serie converge, su termino n-ésimo tiende a cero, porlo tanto aplicando este resultado a las dos series anteriores se tiene

lim 0 y lim 0n nn n

x y

Así, lim lim( ) lim lim 0 0 0n n n n nn n n n

z x iy x i y i

De la propiedad anterior se infiere que los términos de series convergentes son acotados.

Es decir cuando la serie1

n

n

z

converge, existe una constante positiva M tal que

1,2,3,...n

z M n

Definición (de serie absolutamente convergente):

La serie1

n

n

z

se dice absolutamente convergente si la serie

2 2

1 1

,n n n n n n

n n

z x y z x i y

de números reales2 2

n n x y converge .

Nota:2 2 distanciaal origen

n n n z x y .Si los puntos están sobre un círculo de radio 1

entonces1 1

1 1 1 1 ....n

n n

z

diverge, y por tanto1

n

n

z

No converge absolutamente.



6

Ejemplo 3. La serie2

1

(3 4 )

(5 )

n

nn

i

n

converge absolutamente pues, la serie de los valores

absolutos o módulos de cadan

z

2 2 2 2 21 1 1 1 1

(3 4 ) 1 3 4 1 3 4 1 9 16 1(5 ) 5 5 5 5 25 25

nn nn

nn n n n n

i i in n n n n

resulta ser una p-serie convergente con p = 2 (denominada 2-serie).

Nota: La p-serie1

1 1 1 11 ...

2 3 4 p p p p

n n

es convergente si 1 p y es divergente si

1 p .

Interpretación geométrica del ejemplo 3.

Las sumas parciales de2

2 21 1

(3 4 ) 1(5 ) 6

n

nn n

in n

son:

1 1

2 1 22

3 1 2 32 2

4 1 2 3 42 2 2

1 ( ;0)

11 ( ;0) ( ;0)

2

1 11 ( ;0) ( ;0) ( ;0)

2 3

1 1 11 ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0)

2 3 4

S d z

S d z d z

S d z d z d z

S d z d z d z d z

5 1 2 3 4 52 2 2 2

6 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2

2 2 21

1 1 1 11 ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0)

2 3 4 5

1 1 1 1 11 ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0) ( ;0)

2 3 4 5 6

1 1 11 ... ( ;0)

2 3

n

n n

n

S d z d z d z d z d z

S d z d z d z d z d z d z

S d zn

donde 1 1( ;0) distancia de al origend z z

1 2 1 2( ;0) ( ;0) (distancia de al origen)+ (distancia de al origen)d z d z z z

1

1

( ;0) (distancia de al origen)+ ... + (distancia de al origen)n

n n

n

d z z z

Como la 2-serie es convergente, la sucesión de sus sumas parciales 1 2 3 4, , , , ....., , .....n

S S S S S



7

es convergente. En otras palabras, la sucesión de las sumas parciales de las distancias al

origen de cada uno de losn z tiende a un valor límite S, denominado el valor suma de la

serie. Nótese como 0 cuandon

z n .

Visto en la recta real cada nS y dado que

2

lim 6n

n S

es el valor límite (Euler 1735,

función Zeta de Riemann 2 ), la sucesión de segmentos de longitud finita tiende al

segmento limite de longitud irracional2

6

.

Figura 4. Gráfica de la estela de puntos n z en el plano complejo.

1S

2

S

nS

S

1.644934066S



8

Nota: La convergencia absoluta de la serie compleja se definió en términos de la

convergencia de la serie de real de números reales no negativosn

z . El corolario que sigue

nos da una condición necesaria entre convergencia absoluta y convergencia.

Corolario 2. Sí la serie1

nn

z

converge entonces la serie

1nn

z

es convergente. Esto es, la

convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de esa

serie.

Demostración: Asumiendo la hipótesis de la convergencia absoluta y dado que

2 2

2 2

n n n

n n n

x x y

y x y

implica que

2 2

1 1

2 2

1 1

n n n

n n

n n n

n n

x x y

y x y

y usando el criterio de

comparación de series,1

n

n

x

y

1

n

n

y

deben ser convergentes. Ahora bien, como el

enunciado se cumple para series reales entonces1

n

n

x

y

1

n

n

y

son series convergentes,

es decir1

Xn

n

x

y1

Yn

n

y

. Finalmente y usando el teorema 2, la serie1

n

n

z

es

convergente, pues1

X i Yn

n

z S

, que era lo que se quería probar.

A menudo es conveniente definir el resto N

después de N términos cuando se ha probado

el hecho de que la suma de una serie es un número dado S. Esto es, N N

S S , también

escrito en la forma N N

S S . Como 0 lim lim 0 N N N N

N N S S y S S

,

se puede afirmar que una serie converge a un número S si y sólo si la sucesión de restos

tiende a cero. El anterior es un criterio muy usado en el estudio de la series de potencias.

Las series de potencias son series de la forma:

2

0 0 1 0 2 0 0

0

( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n n

n n

n

a z z a a z z a z z a z z

donde 0 z , y los na son constantes complejas, y z es cualquier punto en una región

establecida que contenga a0

z . Nótese que la serie de potencias es una suma infinita de

potencias enteras no negativas consecutivas en z . En series que involucran la variable z se

suele notar el valor suma, suma parcial y resto mediante las funciones ( ), ( ) ( ) N S z S z y z

respectivamente.



9

Ejemplo 4. Verificar que0

1cuando 1

1

n

n

z z z

, utilizando el criterio de los restos.

Utilizando la identidad (pág. 23 sección 8)1

2 11 ... , 1

1

nn z

z z z z z

las sumas parciales se pueden escribir como

12 1

0

1( ) 1 ... 1

1

N N n N

N

n

zS z z z z z z

z

Ahora bien si,1 1 1

( ) ( ) ( ) 11 1 1 1

N N

N N

z zS z S z S z z

z z z z

Así,

1 1

N N

N

z z

z z

donde se puede establecer que 0 cuando 1 N

z y por

lo tanto la verificación de la fórmula queda bien establecida. Nótese que si 1 z la

fórmula dada no cumple el criterio.

Nótese como los valores de la serie ( , ) f x y y los del valor suma coinciden ( , )S x y .



10

SERIES DE TAYLOR

Teorema 3. Supóngase que una función f es analítica en un disco abierto0 0

z z R ,

centrado en0

z y de radio0

R (ver figura). Entonces, en todo punto z del disco, ( ) f z

admite representación en serie de potencias

0 0 0

0

( ) ( ) n

n

n

f z a z z z z R

donde ( )

0( )

0,1,2,3,.....!

n

n

f za n

n

Esto es, la serie converge a ( ) f z cuando z esta en el disco abierto0 0

z z R .

Comentarios previos a la demostración.

La expansión de ( ) f z es el desarrollo en serie de Taylor en torno al punto0

z . Esta

es la conocida serie de Taylor del análisis real adaptada a funciones de variablecompleja

La serie puede reescribirse como

2 30 0 00 0 0 0 0 0

'( ) ' '( ) ' ' '( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ,

1! 2! 3!

f z f z f z f z f z z z z z z z z z R

donde (0)

0 0( ) ( ) 0! 1 f z f z y

Cualquier función que sea analítica en un punto0

z debe tener serie de Taylor en el

entorno que lo contenga, ya que si f es analítica en0

z , es analítica en alguna

vecindad 0 z z ; y tomando 0 R se tienen las condiciones del teorema. Por

otro lado, si f es entera, el radio0

R puede elegirse arbitrariamente grande y en

este caso la serie igualmente converge a ( ) f z en cada punto z del plano finito,

donde la condición es 0 z z .

Cuando se conoce que f es analítica en el interior de un círculo, la convergencia

de la serie de Taylor a ( ) f z para cada z interior al círculo esta garantizada y no serequiere de ninguna prueba de convergencia de la serie. En efecto, de acuerdo con el

teorema de Taylor la serie converge a ( ) f z dentro del círculo de centro0

z y cuyo

radio es la mínima distancia de0

z al punto1

z para el cual f deja de ser analítica.

Lo que realmente se deduce es que con esta distancia mínima se obtiene el círculo

más grande centrado en0

z donde la serie converge a ( ) f z para todo z interior a él.

0 z

z

x

y

0 R



11

La prueba del teorema se hará para la serie de Taylor cuando0 0 z , denominada la

serie de Maclaurin, la prueba para un0 z arbitrario se deduce como consecuencia

inmediata de lo anterior. La serie de Maclaurin es de la forma:

( )

00

(0)

( ) ,!

nn

n

f

f z z z Rn

Demostración: Sea z r distancia al origen de un punto z interior al círculo0

C orientado

positivamente y denotado como0 0 0 0

: dondeC z r r r R . Nótese que0

C es

cualquier círculo orientado positivamente contenido en el disco0

z R , y suficientemente

grande como para que el punto z sea interior a él. (ver figura 5)

Figura 5. Ilustración geométrica

Como f es analítica dentro y sobre el círculo 0C y ya que el punto z es interior a 0C ,

entonces la fórmula integral de Cauchy se aplica en este caso:

0

1 ( )( )

2 C

f s ds f z

i s z

Ahora bien, el factor1

s zpuede expresarse como

1 1 1

1s z s z s

, del ejemplo 4

donde1

0

1válido para 1

1 1

N N n

n

z z z

z z

y reemplazando por / z z s

1

0

1 1

1 10 0

( )

1 1 1 1

( ) ( )

n N N

n N n

n N N N n N

n N n N n n

s z z s

s z s s z s

z z z z

s z s s z s s z s s z s

0 R

z

0C

0r

r

s

0



12

Multiplicando a ambos lados la última ecuación por ( ) f s e integrando a cada lado con

respecto a s a lo largo de0

C se obtiene

0 0 0

1

10

( ) ( ) ( )

( )

N n N

n N C C C n

f s f s f sds ds z z ds

s z s s z s

Multiplicando por1

2 i a cada lado:

0 0 0

1

10

1 ( ) 1 ( ) ( )

2 2 2 ( )

N N n

n N C C C n

f s f s z f sds ds z ds

i s z i s i s z s

Utilizando0

1 ( )( )

2 C

f s ds f z

i s z

y0

( )

1

(0) 1 ( )0,1,2,3,...

! 2 ( )

n

nC

f f sds n

n i s

Obtenemos

0

( )1

0

(0) ( )( ) ( ) donde ( )

! 2 ( )

n N N n

N N N C n

f z f s f z z z z ds

n i s z s

Solo resta probar que lim ( ) 0 N N

z

, en cuyo caso( )

0

(0)( )

!

nn

n

f f z z

n

.

Para tal efecto, recordemos que z r y que0

C tiene radio0

r donde0

r r . Entonces si s

es un punto sobre0

C ,

0s z s z r r .

Si M denota el valor máximo de ( ) f s sobre0

C ,

00

0 0 0 0

( ) 22 ( )

N N

N N

Mr r M r z r

r r r r r r

Pero,0

1r

r por que z es interior a

0C , por lo tanto

0 0

0 0 0 0

lim ( ) lim lim 0 lim ( ) 0

N N

N N N N N N

Mr Mr r r z z

r r r r r r

Así,( ) ( )

2

0

0

(0) (0) (0) (0)( ) (0) ... ..., ,con

! 1! 2! !

' ' 'n nn n

n

f f f f f z z f z z z z R

n n



13

Para verificar el teorema cuando el disco de radio0

R esta centrado en un punto arbitrario

0 z , basta ver, que como f es analítica cuando

0 0 z z R , la función compuesta

0( ) f z z es analítica cuando0 0 0( ) z z z R , donde esta condición es en realidad

0 z R . Definiendo

0( ) ( )g z f z z , la analiticidad de g en el disco

0 z R garantiza la

existencia de una representación en serie de Maclaurin (por lo que se demostró arriba):

( )

0

0

(0)( )

!

nn

n

gg z z z R

n

es decir,

( )

0

0 0

0

( )( )

!

n

n

n

f z f z z z z R

n

Reemplazando0

por z z z en la ecuación y condición anterior, se obtiene finalmente la

representación o expansión en serie de Taylor de ( ) f z en torno al punto0 z :

( )

0

0 0 0

0

( )( ) ( ) donde

!

n

n

n

f z f z z z z z R

n

Ejemplo 5. Como ( )z f z e es una función entera, ésta tiene representación en serie de

Maclaurin para toda z. Ya que ( )( ) 0,1,2,3,...n z f z e n ; y ( )(0) 1 0,1,2, ...n

f n entonces

( )

0

0 0 0

(0) 1( ) ( 0)

! !

n z n n n

n

n n n

f e a z z z z z

n n

Si 0 z x i , entonces0

1

!

x n

n

e xn

. En el análisis real la interpretación del concepto de

serie es la siguiente:

Inicialmente se parte de la sucesión de funciones: 2 3 4 51 1 1 1 11, , , , , ,..., ,...

2 6 24 120 !

n x x x x x x

n

En segundo paso, se construyen las sumas parciales:

1

2

2

3

2 3

4

1

1

11

2

1 11

2 6

S

S x

S x x

S x x x

2 3 4

5

2 3 4 1

2 3 4

1

1 1 11 2 6 24

1 1 1 11 ...

2 6 24 ( 1)!

1 1 1 11 ...

2 6 24 ( )!

n

n

n

n

S x x x x

S x x x x xn

S x x x x xn



14

Y formando la sucesión de sumas parciales tenemos:

1 2

3 4 4

2 2 3 2 3 41 1 1 1 1 11 , 1 , 1 ,1 ,1 ,.....

2 2 6 2 6 24S S

S S S

x x x x x x x x x x

Usualmente escrita así:1 2 3 4 5, , , , ,..., ,....

nS S S S S S

Ahora bien, si la sucesión de sumas parciales es convergente: lim nn

S S

, y entonces se

afirma que la serie0

1

!

n

n

xn

converge a S y suele expresarse como

0

1

!

n x

n

x en

donde

el valor suma de la serie corresponde a xe . Aquí la función x

e es interpretada como el valor

límite de la sucesión de sumas parciales cuando n , esto es,

1 2 3 4 5, , , , ,..., ,.... x

nS S S S S S e

En DERIVE se puede ilustrar lo afirmado arriba:

Figura 6. Gráficas de las funciones 20 21S y S tendiendo a x

e .



15

Para la serie compleja0

1,

!

z n

n

e z zn

, el lado derecho es obtenido a través del

teorema 3(serie de Taylor) y corresponde a lim nn

S

. Ahora bien, como el dominio es el

plano complejo, la ecuación anterior establece que para todo disco abierto de radio R

alrededor del origen, el valor suma de la serie coincide con el valor de ( )z

f z e para todo z interior al disco.

Para comprobar la afirmación anterior y mediante DERIVE se puede ver como los valores

de cos( ) sin( ) cos , sin z x x x xe e y i e y e y e y coinciden con el valor de la serie para un

n suficientemente grande.

Figura 7. Graficando puntos de cos , sin z x xe e y e y .

A continuación la tabla de valores de ze y la serie para N=35 términos para distintos

puntos del disco abierto alrededor del origen.



16

Tabla 1. Contrastando el valor de la serie (N=35) y el de la función exponencial complejaen un mismo punto z , comprobándose así la representación de la función mediante serie

de Maclaurin para cada z del plano.

Comprendida la parte conceptual del teorema 3 para funciones analíticas, se desarrollaránmás ejemplos desde el punto de vista algebraico.

Hallar la serie de Maclaurin para la función analítica 2 3 z z e . En este caso basta reemplazar

por 3 z z en la serie0

1,

!

z n

n

e z zn

obteniéndose así: 3

0

3,

!

n z n

n

e z zn

Ahora multiplicando por2

z se llega a

2 22 3 2

0 2 2

3 3 3,

! ( 2)! ( 2)!

n k n z n k n

n k n

z e z z z zn k n

que representa la función analítica como una serie de Taylor(Maclaurin).

Ejemplo 6. Encontrar la representación de Maclaurin para la función entera ( ) sin f z z .

Por el teorema 3 esta función dada posee serie de Maclaurin. Como sabemos que

0 0 0

1 1 1 1 1 ( )sin ( ) ( )2 2 2 ! ! 2 !

iz iz n niz iz n n n

n n n

e e i i z e e iz iz zi i i n n i n

Y como0

( 1)2

n n nn par

i ii n impar

entonces 2 1

0

( 1)sin ,

2 1!

nn

n

z z zn

ya que 2 1 ( 1)n ni i .



17

Derivando término a término se puede obtener la representación de ( ) cos f z z así:

2 1 2

0 0

( 1) ( 1)sin cos ,

2 1! 2 !

n nn n

n n

z z z z zn n

Ejercicio: Compruebe mediante Derive la veracidad de las series complejas sin(z) y cos(z).

Ejemplo 7. Encontrar la serie de Maclaurin para 1

( )1

f z z

.

Como f deja de ser analítica en 1 z , consideramos el disco abierto 1 z que

corresponde al más grande disco alrededor del origen donde f es analítica. Aplicando el

teorema 3 f tiene representación de Maclaurin. Los coeficientes de la serie se obtienen a

partir de:

( )2 3 4 1

1 2 3! !'( ) ; ''( ) ; '''( ) ; ( ) 0,1,2,3,..(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

nn

n f z f z f z f z n z z z z

luego, como( )

1

!(0) !

(1)

n

n

n f n

entonces( )

(0)1 0,1,2,3, ...

!

n

n

f a n

n y así :

2 3

0

0 0

1( ) 1 .... ... 1

1

n n n

n

n n

a z z z z z z z z z

Es decir,0

1, 1

1

n

n

z z

z

Nótese que lo que se obtuvo aquí es la serie geométrica donde la razón de la serie es z. Esteejemplo corresponde al ejemplo 4 pero resuelto de una forma más directa.

Si reemplazamos por 1 z z se obtiene la representación en serie de Taylor de1

( ) f z z

dentro del disco abierto con centro en 1 z y radio 1: 1 1 z así:

0 0

1(1 ) ( 1) ( 1) , 1 1

n n n

n n

z z z z

Ejercicio: compruebe que para puntos exteriores al disco0

1( 1) ( 1)

n n

n

z z

y para

puntos interiores la igualdad es válida.

Si arriba el reemplazo es por z z entonces se obtiene:0

1( 1) , 1

1

n n

n

z z z



18

El siguiente ejemplo permite introducir las series con potencias negativas como es el caso

de las Series de Laurent , útiles para la teoría del residuo y calculo de integrales.

Ejemplo 8. Expandir la función 2

3 5

1 2( )

z f z

z z

en serie de potencias de z .

2 2

3 5 3 2 3 2

1 2 1 (2 2 ) 1 1 1( ) 2

1 1

z z f z

z z z z z z

Como f deja de ser analítica en 0 z entonces No existe serie de Maclaurin para esta

función. Cambiando 2por 1 z z en la expansión1

zse obtiene la expansión de

2 2 4 6 8 10

20

1( 1) ( ) 1 ... , 1

1

n n

n

z z z z z z z z

y así, para la región 0 1 z ( Disco abierto perforado) se tiene

Figura 8. Disco abierto perforado con centro en 0 z .

2 4 6 8 10 3 5 7

3 3

1 1 1( ) 2 (1 ...) .... f z z z z z z z z z z

z z z .

Los términos 3

3

1 z

z

y 11 z

z

son las potencias negativas de la expansión anterior.

A continuación encontrará una deducción que permite comprender el teorema de la serie deexpansión de Laurent.

Considérese0

z un punto arbitrario del plano complejo y dos círculos concéntricos alrededor

de él donde C es el círculo exterior de radio R y1

C es el círculo interior de radio R1 (ver

figura 9). Asumiendo que f es analítica dentro del dominio anular (y donde por fuera f

puede o no ser analítica) y eligiendo un punto arbitrario z

con un pequeño circulo 2C alrededor de él se puede ver que las integrales de contorno que conectan el círculo

2C con

1yC C suman cero (aplicando el teorema de Cauchy – Goursat de la sección 49 para

dominios múltiplemente conectados), que conduce a la expresión:

1 2

( ) ( ) ( )

C C C

f s f s f sds ds ds

s z s z s z



19

Figura 9. Situación geométrica en la deducción de la expansión de Laurent.

Como ( ) f s es analítica dentro de2

C ,

2

( )2 ( )

C

f si f z ds

s z

entonces la expresión inicial se convierte en:

1 1

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )2 ( ) ( )

2 2C C C C

f s f s f s f sds ds i f z f z ds ds

s z s z i s z i z s

Las expresiones1

s zy

1

z s escritas como series geométricas toman la siguiente forma:

0

0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0

0 0 0 0 0

2

0 0 0

2 3 1

0 0 0 0

1 1 1 1, la razón de la serie es

[1 ( ) ( )]

11 ... ... , 1

( ) ( )1...

( ) ( ) ( )

n

n

n

z z

s z s z z z s z z z s z s z

z z z z z z z z

s z s z s z s z s z

z z z z z z

s z s z s z s z

0

0

0

... , 1 z z

z z Rs z

0

0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0

0 0 0 0 0

2 1

0 0 0

2 3

0 0 0 0

1 1 1 1, la razón de la serie es[1 ( ) ( )]

11 ... ... , 1

( ) ( )1... ,

( ) ( ) ( )

n

n

n

s z

z s z z s z z z s z z z z z

s z s z s z s z

s z z z z z z z z z

s z s z s z

s z z z z z z z

0

1 0

0

1s z

R z z z z

1 R

R

x

z

0 z

2C

C

1C

y



20

Reemplazando estas expresiones en la siguiente ecuación se obtiene la serie de Laurent :

1

1 1

0 02 1

0 0 0

02

0 0

0

1 ( ) 1 ( )( )

2 2

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ... ( ) ...

2 2 ( ) 2 ( )

1 1 1 1( ) ( )( ) ...

( ) 2 ( ) 2

1 1

( ) 2

C C

n

n

C C C

C C

n

f s f s f z ds ds

i s z i z s

f s f s f sds z z ds z z ds

i s z i s z i s z

f s ds f s s z ds z z i z z i

z z i

1

1

0 1 0( )( ) ... ,

n

C

f s s z ds R z z R

Equivalente a

1 20 1 0 0 2

0 0 0

0 1 0

0 1 0

( ) ( ) ... ( ) .... ... ...( ) ( )

( ) ( ) ,( )

n n

n n

n n

n nn n

bb b f z a a z z a z z

z z z z z z

b f z a z z R z z R

z z

donde,

1

0

1 ( )0,1,2,3,.....

2 ( )n n

C

f s dsa n

i s z

,

1

0

1 ( )1,2,3,.....

2 ( )n n

C

f s dsb n

i s z

Si ( ) f z es analítica en0

z , entonces 1 2 ... ... 0n

a a a y la serie de Laurent se

reduce a la serie de Taylor. Sí 0

z es una singularidad de ( ) f z , entonces la expansión de

Laurent incluye tanto potencias positivas como negativas.

Nótese que si reemplazamos porn n en la segunda serie la expansión de Laurent toma

la forma

1

0 0 1 0

0

( ) ( ) ( ) ,n n

n n

n n

f z a z z b z z R z z R

donde1

0

1 ( ), 0,1,2,3,...

2 ( )n n

C

f s dsa n

i s z

,1

0

1 ( ), 1, 2, 3,...

2 ( )n n

C

f s dsb n

i s z

El coeficiente del término 1

0( ) z z ,1

b , es el residuo y así será definido más adelante en

la sección de la teoría de residuos.



21

Sí,1

0

n

n

n

b nc

a n

entonces

0 1 0( ) ( ) ,n

n

n

f z c z z R z z R

donde los coeficientes quedan expresados mediante:

1

0

1 ( ) , 0, 1, 2, ...2 ( )

n n

C

f s dsc ni s z

Cualquiera de las dos formas es conocida como la expansión en serie de Laurent.

Finalmente, cabe mencionar que si z es usada en lugar de s como variable de integración,

las expresiones para los coeficientes yn na b coinciden con los del siguiente teorema:

SERIES DE LAURENT

Teorema 4. Supóngase que una función f es analítica en un dominio anular

1 0 2 R z z R , centrado en 0 z y sea C un contorno cerrado simple orientado

positivamente alrededor de0

z y dentro del dominio anular (ver figura). Entonces, en todo

punto z del dominio, ( ) f z admite la representación en serie de potencias

0 1 0 2

0 1 0

( ) ( )( )

n nn n

n n

b f z a z z R z z R

z z

donde 1

0

1 ( )0,1,2,3,.....

2 ( )n n

C

f z dza n

i z z

y1

0

1 ( )1,2,3,.....

2 ( )n n

C

f z dzb n

i z z

Esto es, la serie denominada de Laurent converge a ( ) f z cuando z esta en el dominio

anular 1 0 2

R z z R .

Comentarios:

Cuando f deja de ser analítica en un punto digamos0 z , no es posible aplicar el

teorema de Taylor en ese punto. Sin embargo, a menudo es posible encontrar una

representación en serie para ( ) f z que involucra tanto potencias positivas comonegativas de 0

z z .

Si f deja de ser analítica en0

z pero lo es en toda parte del disco 0 2 z z R , el

radio 1 R puede escogerse arbitrariamente pequeño. En este caso la representación

en serie de Laurent de f es válida en el disco perforado 0 20 z z R . De

manera similar, si f es analítica en todo punto del plano finito exterior al círculo

0 z

z

x

y

1 R

2 R

C



22

0 1 z z R , la condición de validez es

1 0 R z z . Además nótese que si f es

analítica en todo el plano finito excepto en0

z , la representación de Laurent es

válida en todos los puntos de analiticidad o si se quiere en0

0 z z el plano

perforado en0 z .

Ejemplo 9. Las expansiones de Laurent suministran un formalismo para la clasificaciónde las singularidades de una función. Las singularidades aisladas son de tres tipos:

Singularidad Esencial: considérese la función1

( ) cos f z z

. Usando la expansión

de coseno:2 4 6

1 1 1 1cos 1 ....

2! 4! 6! z z z z

para 0 z .

Nótese que esta serie nunca trunca las potencias inversas de z .Las singularidadesesenciales tienen expansiones de Laurent que tienen un número infinito de potencias

inversas de0( ) z z . El valor del residuo para esta singularidad esencial en 0 z es

10b .

Singularidad Removible. Considérese la funciónsin

( )z

f z z

. Esta función tiene

singularidad en 0 z . Aplicando la expansión para sin z ,

3 5 7 9 2 4 5 8sin( ) 1

... 1 ...3! 5! 7! 9! 3! 5! 7! 9!

z z z z z z z z z z

z z

. para todo 0 z .

Nótese que aquí ( ) f z se hace analítica definiéndola mediante la serie y en el

proceso se removió la singularidad. El residuo para una singularidad removible

siempre es cero (1 0b ).

Polo de orden n. Considérese la función3

1( )

( 1) ( 1) f z

z z

Esta función tiene dos singularidades: una en 1 z y la otra en 1 z .

Consideremos sólo el caso de 1 z . Mediante el uso del algebra se puede ver que

3 3

2 3

3

1 1 1 1 1 1( ) donde la razón es

( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 2 2

1 1 1 ( 1) ( 1)1 ...

2 ( 1) 2 4 8

z f z

z z z z

z z z

z

3 2

1 1 1 1( ) ... 0 1 2

2( 1) 4( 1) 8( 1) 16 f z z

z z z



23

Como la más grande potencia inversa (negativa) es tres, la singularidad en 1 z es un polo

de tercer orden; el valor del residuo es1

1

8b . En general un polo de primer orden se

denomina polo simple.

Ejemplo 10. Encontrar la expansión de Laurent para ( )( 1)( 3)

z f z z z

alrededor del

punto 1 z .

Adecuando el numerador y denominador, ( ) f z se puede reescribir:

2

2

1 ( 1) 1 1 ( 1)( )

( 1)( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 12

1 1 ( 1) 1 1dondela razón es

( 1)2 ( 1) 212

1 1 1 ( 1)1 1 ...

2 1 2 4

1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)

2 ( 1) 2 4 4 8 8

z z f z

z z z z

z z

z z

z z

z

z z z

z

2

...

1 1 3 3 3( 1) ( 1) ... ,donde 0 1 2

2 ( 1) 4 8 16 z z z

z

por lo tanto, hay un polo simple en 1 z y el valor del residuo es1

1

2

b .

Un procedimiento similar se hace para la serie de Laurent alrededor de 3 z .

Ejemplo 11. Podemos encontrar la serie de Laurent para1

ze simplemente reemplazando

1por z

zen la serie de Maclaurin de z

e :

2 3

0

1 ...! 1! 2! 3!

n z

n

z z z ze z

n

1

2 30

1 1 1 11 ... 0

! 1! 2! 3! z

nn

e zn z z z z

Como los coeficientes de las potencias positivas son nulos, éstas no aparecen en la

expansión. Nótese también que el coeficiente de1

zes la unidad. De acuerdo con el

teorema de Laurent este coeficiente anterior es el número



24

1

1

1

2 z

C

b e dzi

donde C es cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente

alrededor del origen. Ya que1

1b , entonces la integral

1

2 z

C

e dz i

El método anterior es de uso común en la evaluación de integrales complejas y será usadoampliamente más adelante como una de las aplicaciones de la teoría del residuo.

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