Desarrollo en serie de LaurentExponemos la forma de desarrollar en serie de Laurent una función analítica en una corona abierta.

Teorema Sea   una función analítica en la corona abierta   con  . Existen números complejos únicos  tales que para todo  ,   se expresa en la forma

Notas

1. A la igualdad   se la llama desarrollo en serie de Laurent de   en 

2. A la serie   se la llama parte principal del desarrollo de Laurent y a la serie   parte entera o analítica.3. Expresamos   abreviadamente en la

forma 

4. Se demuestra que para todo  ,   siendo   cualquier circunferencia de centro   y contenida en la corona 5. Se demuestra que la convergencia de la serie de Laurent es uniforme en

lo cual implica que se puede derivar término a término.

Ejemplo 1 Desarrollar en serie de Laurent la función   en potencias enteras de 

Resolución La función es analítica en todo el plano complejo salvo en  . La función es pues analítica en las coronas abiertas   y  . Dividiendo el numerador y denominador de   entre   y usando la suma de la serie geométrica obtenemos:

Dividiendo el numerador y denominador de   entre   y usando la suma de la serie geométrica obtenemos:

Tenemos por tanto los desarrollos

Ejemplo 2 Desarrollar en serie de Laurent la

función   en potencias enteras de 

Resolución (Esquemática) La función racional dada es analítica en todos los puntos del plano complejo salvo aquellos que anulan al denominador. Resolviendo  obtenemos . La función es pues analítica en la tres coronas abiertas

Descomponiendo en fracciones

simples:   . Llamando   

,   y procediendo como en el ejemplo anterior obtendríamos desarrollos de Laurent   y   :

Entonces,

Ejemplo 3 Desarrollar en serie de Laurent la

función   en una corona abierta de centro 

Resolución Efectuando el cambio   y usando la suma de la serie geométrica:

Por tanto podemos expresar

Ejemplo 4 Desarrollar en serie de Laurent   en una corona abierta de centro 

Resolución Efectuando el cambio   y usando el desarrollo en serie de la función exponencial obtenemos para  :

Podemos por tanto expresar

Ejemplo 5 Hallar el desarrollo en serie de Laurent de la

función   en un entorno de  .

Resolución Un entorno de   es una región de la forma   La función   no es analítica exactamente en  , tenemos por tanto que desarrollar en la corona abierta  . Consideremos la función  . Entonces:

Derivando

Podemos por tanto expresar