Series de trminos posit ivos

Definicin

Decimos que una serie es de trminos positivos1 si la sucesin que la genera tiene su

recorrido contenido en 0R . En otras palabras, na es S.T.P. N nan 0 .

Observacin

Notemos que en virtud de la propiedad de aditividad, las propiedades que probemos en esta

seccin sern vlidas para aquellas series generadas por sucesiones (an) tales que

pn,nan N0 .

Proposicin

Las S.T.P. no oscilan, ms especficamente: la serie de trminos positivos na ser convergente o divergente segn nA sea un conjunto acotado o no.

Demostracin:

nnn aaaaA 121 y 1211 nn aaaA restando resulta que

01 nnn aAA por lo tanto 1 nn AA o sea que (An) es montona creciente.

Por Weierstrass:

Si (An) acotada superiormente entonces lAn lim de donde por definicin na C Si (An) no acotada superiormente entonces nAlim de donde por definicin

na D

Ejemplos:

n n 1lim n n (porqu?) como 0lim n n por condicin necesaria n n no converge, pero

como es de trminos positivos diverge.

1

34

n

nn

como 01

lim34

n

nn por condicin necesaria

1

34

n

nn no converge, pero como es de

trminos positivos diverge.

1 De hecho, se trata de series de trminos no negativos.

Esta propiedad, caracterstica de las S.T.P. nos permite demostrar algunos criterios para la

clasificacin de S.T.P..

Teorema: Criterio de la integral

Sea : [1+1) R continua, positiva y decreciente. Entonces

nf C

1

f C y en caso de convergencia entonces

111

1 ffnff

Vemoslo grficamente

Si nf C entonces

nfffnfn

211

se puede interpretar como el rea

de los rectngulo de base 1 y altura () entonces

eriorsupsuma

n

nff

11

o sea el rea por debajo de

la curva es menor que

1n

nf entonces

1

f C

Pero tambin puede interpretarse como el rea del los rectngulos de base 1 y altura () de la

siguiente forma:

1 2 3

32

1

f

f

f

con lo que

1

inferior suma

2

fnfn

sumando 1f a ambos miembros resulta:

12

11 ffnffn

11

1 ffnfn

Entonces

111

1 ffnffn

Ver tambin que la convergencia de la

1

)( dttf implica la convergencia de nf .

Otra versin del teorema Sea : [0+1) R continua, positiva y decreciente. Sea una primitiva de en [0+1).2 Consideramos la sucesin () dada por = ().

Entonces la sucesin (()) y la serie na tienen el mismo comportamiento.

2 cmo podemos estar seguros de la existencia de esta primitiva?

qu significa que F es primitiva de f?

1 2 3

32

1

f

f

f

Observacin:

Antes de hacer la demostracin hagamos algunas puntualizaciones.

Aunque no se diga expresamente, na es una S.T.P.

(()) es estrictamente creciente, (por qu?) y por lo tanto tiene lmite3.

Demostracin. Analicemos la funcin en un intervalo [+ 1] donde 2 N. Como es una primitiva de entonces es continua en [+ 1] y derivable en (+ 1), por lo tanto, por el teorema de Lagrange sabemos que existe 2 (+ 1) tal que

() =

nn

n-FnF

1

.1

En otras palabras que () = (+ 1) - ()Sin que importe el valor de cada como es decreciente por hiptesis, sabemos tambin que (+ 1) () ().

En resumen, hemos concluido que, (+ 1) (+ 1) - () () cualquiera sea 2 N. Entonces,

para 0 (1) (1) - (0) (0) para 1 (2) (2) - (1) (1) para 2 (3) (3) - (2) (2) ... ... ...

para (+ 1) (+ 1) - () ()

sumando:

n

i

i

n

i

i aFnFa0

1

1

01

Supongamos que na C, al serlo sabemos que () est acotada y por ende la sucesin ((+ 1) - (0)) lo est y en consecuencia (()) tambin (por qu?). Con lo que acabamos de observar y usando que (()) es creciente, tenemos que (()) tiene lmite finito, es decir, es una

sucesin convergente.

Supondremos ahora que la que converge es (()), al ser convergente ((+ 1)) tambin y

((+ 1) - (0) tambin, por lo que est acotada. Luego, (+1 - ) lo est y tambin lo est (), como na es una S.T.P. obtenemos que na C. Finalmente, na y (()) tienen el mismo comportamiento.

3 Recuerde que F = f, que f es positiva y que eso le garantiza algo en relacin al crecimiento de F.

Aplicacin:

t rminos Series

Clasif icacin de la ser ie armnica

Definicin:

Se llama serie armnica a la n1

, con R Nn

Queremos clasificarla:

1. Si 0 n

1 o sea 0

1

n y 0

1

n por lo tanto n

1 D

2. Si 0 R,:f 1

x

xf1

es continua, decreciente y positiva en [1+1)

(Ver que 101 xxx'f ) Entonces cumple las hiptesis del criterio de la integral

Como vimos en el curso de primero dxx

1 C 1 y

1

11

1

dx

x

Entonces por el criterio de la integral nf y f tienen igual comportamiento

De donde n1

C 1 y

1

11

11

1

1

n

Resumiendo los caso 1. y 2.:

D1

1 si

11

11

1

1 yC

11si

1

n

nn

Ejemplos:

231

n C y

n

1 D

Teorema: Criterio de comparacin I

Sean (an) y (bn) tales que N n,ba nn04. Entonces tenemos:

1. Si na D entonces nb D 2. Si nb C entonces na C

Demostracin:

1. Como N n,ba nn0 , entonces por monotona tenemos que nn BA *. Si na diverge entonces nAlim de donde concluimos que en * nBlim y nb D 2. Por el absurdo si na no fuese C, por ser de trminos positivos sera divergente entonces por 1. nb sera divergente, lo cual es falso.

Ejemplos:

Queremos clasificar na y si corresponde calcular la

1

na :

xln1

Se cumple que xn ln11

0 entonces, como n

1 por armnica D, por el criterio de

comparacin xln1

D.

n

e n

Se cumple que nn

n

enen

e 110

entonces como ne1

por geomtrica C, por el criterio

de comparacin

n

e n C y

1

11

11

een

en

n

4 En virtud de la linealidad bastaba con que se verificara a partir de algn natural.

Corolario Criterio de comparacin II.

Si na y nb son S.T.P. y el

1. Rkb

a

n

nlim entonces na y nb tienen el mismo comportamiento

(es decir ambas C o D)

2. 0limn

n

b

a entonces si na C nb C

3. n

n

b

alim entonces si nb D na D

Demostracin.

Solo demostraremos parte del 1. el resto que es similar queda a cargo del lector

Como Rkb

a

n

nlim , entonces por definicin de limite para 2

k , existe Np tal que,

para todo n > p se cumple 22

kk

b

akk

n

n de donde 2

3

2

k

b

ak

n

n , o sea (multiplicando por

bn), nnn bk

abk

2

3

2

Por lo cual, si na C, por el criterio de comparacin I tendremos que nbk

2 C y por

linealidad que nb C.

De manera similar, si nb C tambin lo har nbk

2

3 que es una mayorante de na y por el

criterio de comparacin I tendremos que na C.

En suma, na C nb C5

Ejemplo

Queremos clasificar na y si corresponde calcular

1

na

3

3 2ln

n

n

5 Por qu no es necesario demostrar que na D nb D?

Para clasificarla la comparamos con 31

n. Como 2

1

21ln

lim

3

3

n

n tenemos que

ambas series tienen el mismo comportamiento y por lo tanto como 31

n converge por

armnica,

3

3 2ln

n

n C6.

1n

n

Para clasificarla la comparamos con n

1. Como

n

n

n

11lim tenemos que como

n

1 D ,

1n

n D7.

Corolario:

Si 0nb y na y nb son equivales, entonces na y nb tienen el mismo comportamiento

Demostracin:

Si nn ba y son equivalentes, por definicin, 01lim n

n

b

a. Por criterio de comparacin II

na y nb tienen el mismo comportamiento.

Ejemplos:

8

24

3

nn

nn

8

24

3

nn

nn es equivalente a

n

1 entonces como

n

1 D,

8

24

3

nn

nn D

1

3

1

ne

6 La podra haber comparado con 2

1

n o con 4

1

n?

7 Con que otra serie nos hubiera servido comparar para poder clasificarla?

Como

1

3

1

ne es equivalente a 3

1

n como 3

1

n C, entonces

1

3

1

ne C

Realice ahora los siguientes ejercicios

A continuacin veremos dos criterios ms para S.T.P., los criterios de la raz (Cauchy) y del

cociente (D'Alembert), cada uno de ellos con su respectivo corolario que, en la prctica, terminan

siendo ms usados en las distintas clasificaciones que los propios teoremas.

Teorema de Cauchy

Sea na una S.T.P. Entonces, 1. Si existe tal que n na 1 para todo 2 N*, tendremos que na C

2. Si n na 1 para todo 2 N*, tendremos que na D

Demostracin.

1. Como n na para todo 2 N*, tenemos que nn ha 0 1 (por lo que jj 1)

De donde que nh C por geomtrica. Luego, na C por el criterio de comparacin I.

2. Si n na 1 es inmediato que na 1, entonces no puede tener lmite cero, por lo tanto na diverge.

Corolario

Sea na una S.T.P. Entonces, 1. Si existe k tal que 1lim n n ka , tendremos que na C 2. Si 1lim n n ka (o tambin 1

+ ), tendremos que na D

8

Demostracin. Realcela como ejercicio. Se sugiere que use apropiadamente la definicin de

lmite y el teorema.

8 El real es llamado lmite de Cauchy de la sucesin ().

Ejemplos:

Clasifiquemos, usando el corolario las siguientes series de trminos positivos:

nn

2

2

2

1

2lim

2lim

22

n

nn

nn, por lo tanto (el k mencionado en el corolario es

2

1) n

n

2

2

C.

nen!

2limlim!

lim!

lime

n

e

e

n

e

n

e

n

esequivalent

n

nn

, por lo tanto nn

2

2

D9

Teorema de DAlembert

Sea na una S.T.P. Entonces,

1. Si existe h1 tal que 11 ha

a

n

n para todo 2 N, tendremos que na C

2. Si 11

n

n

a

a para todo 2 N, tendremos que na D

Demostracin.

1. Como 11 ha

a

n

n para todo 2 N, tenemos

ha

a

0

1

ha

a

1

2

ha

a

2

3

ha

a

n

n 1

multiplicando, ...

nn ha

a

0

9 Podramos clasificar la armnica con este criterio?

De donde nn haa 0 y como nh C por geomtrica, por propiedades de linealidad y el criterio de comparacin I, llegamos a que na C

2. Si 11

n

n

a

a tenemos que 1 nn aa y por lo que na es creciente (y positiva) por lo que su

lmite no es cero, por lo tanto diverge.

Corolario

Sea na una S.T.P. Entonces,

1. Si existe k tal que 11 ka

alim

n

n , tenemos que na C

2. Si 11 ka

alim

n

n (o tambin 1 ), tendremos que na D10

Demostracin. Realcela como ejercicio. Se sugiere que use apropiadamente la definicin de lmite y el teorema

Ejemplos Clasifiquemos las series usando el criterio del cociente.

nn

n

n!2

enn

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

2

12lim

12lim

!21

n!12lim

!2

1

!12

lim1

n11

1

, que como es menor

que 1, tenemos que nn

n

n!2C .

8

253 2

n

nn

10

El real k es llamado lmite de D'Alembert de la sucesin na . Investigue si tiene alguna vinculacin con el lmite de Cauchy.

Sabemos que 8

253 2

n

nn es equivalente a

n

n3 por lo tanto las series tienen el mismo

comportamiento. Clasificamos n

n3 aplicando DAlembert:

13

3lim

31

3lim

1

n

n

n

nn

n

, por lo tanto n

n3 D y

8

253 2

n

nn D por comparacin

IMPORTANTE:

Todo lo dado para series de trminos no negativos vale para series de trminos no positivos en

virtud de la linealidad.

Una vez que realice los siguientes ejercicios, pase a la siguiente seccin.