SERIES INFINITAS Sea una sucesin infinita. Se puede formar la sucesin infinita de sumas parciales como sigue:

Generalmente se designa la sucesin mediante la notacin

Los nmeros se denominaran trminos de la serie. Si S es un nmero tal que entonces la serie converge y S recibe el nombre de suma de la serie. Casi siempre se representa S mediante Si no existe ningn nmero S tal que =S, entonces la serie diverge. Si la serie diverge a +y se escribe de igual forma, si entonces la serie diverge a - y se escribe EJEMPLO 43.1. Considere la sucesin Los trminos son = 1, y asi sucesivamente. Por lo tanto, las sumas parciales comienzan con y continan alternado unos y ceros. Por consiguiente, no existe y la serie diverge (pero no a+).Serie geomtrica .Considere la sucesin , que consta de los trminosLa serie se denomina serie geomtrica con razn r y primer trmino a. su n-esima suma parcial esta dada por +Multiplique por r: Reste: Por tanto,

Ahora todo depende de la razn r. si entonces (por el teorema 42.4 b)) y, por consiguiente, Si entonces (por el teorema42.2 a)) y, por tanto, (una excepcin balad se presenta cuando a=0. En este caso, todos los trminos son 0, la serie converge y su suma es 0.) estos resultados se resumen en seguida.Teorema 43.1. Dada la serie geomtrica a) Si la serie converge y tiene suma b) Si y la serie diverge a EJEMPLO 43.2Tmese la serie geomtrica con razn y primer trmino a=1:

Por el teorema 43.1 a), la serie converge y tiene suma Se puede multiplicar una serie por una constante c para obtener una nueva serie y se pueden sumar dos series para obtener una nueva serie Teorema 43.2.Si entonces converge si y solo si converge. Adems, en el caso de convergencia,

Para obtener este resultado, denotase por suma parcial de la serie entonces en suma parcial de .luego, existe si y solo si existe cuando los limites existen, esto resulta por el teorema 43.2.Teorema 43.3 Supngase que dos series convergen ambas. Entonces, su suma tambin convergen y

Para comprobarlo, sean la suma potencial de se observa fcilmente como . Luego, Esto resulta por el teorema 43.3Corolario 43.4Supngase que dos series ambas convergen. Entonces, su diferencia tambin converge y

Esto se deduce directamente de los teoremas 43.2 y 43.3. Solo obsrvese que Es la suma de y la serie Teorema 43.5.Si converge, entonces Para comprobarlo, sea Esto significa que , donde, como es usual, es la suma parcial de la serie. Tambin se tiene que Pero Entonces,

Corolario 43.6. (Teorema de divergencia.)Si no existe o entonces diverge. Esta es la consecuencia lgica inmediata del teorema 43.5.EJEMPLO 43.3.La serie diverge.Aqu, Como , el teorema de divergencia implica que la serie diverge.El reciproco del teorema 43.5 no es vlido: no implica que converja. Esto se muestra mediante el ejemplo siguiente.EJEMPLO 43.4.Considere la famosa serie armnica , ahora analice las siguientes sumas parciales de esta serie:

Si se continua de esta forma se obtendra y, en general, cuando Esto significa que y, por lo tanto, la serie diverge. Pero observe que Observacin: la convergencia o la divergencia no se ve afectada por la adicin o eliminacin de un nmero finito de trminos al comienzo de una serie. Por ejemplo, si se borran los primeros k trminos de una serie y la suma delos trminos borrados es c, entonces cada nueva suma parcial tendr la forma . (Por ejemplo, pero existe si y solo si existe, y existe si y solo si existe.Notacin: suele resultar til tratar las series en las que los trminos de tienen ndices enteros no negativos: entonces, las sumas parciales tambin comenzaran con y la suma de una serie convergente se representara como

PROBLEMAS RESUELTOS .1. Determine si la serie es convergente.Esta es una serie geomtrica con razn y el primer termino Como . El teorema 43.1 a) dice que la serie converge y que su suma es .2. Analice la serie para hallar la convergencia.l trmino es Esto es igual a Por lo tanto, la suma parcial

As, En estas condiciones, la serie converge y su suma es 1.3. Se sabe que la serie geomtrica converge a s=2. Analice la serie resultante cuando a) sus primeros trminos se suprimen; b) los trminos 3, 2 y 5 se agregan al comienzo de la serie. la serie resultante es una serie geomtrica con razn . Converge a Observe que esto es lo mismo que s- La nueva serie es 3+2+5+1 las nuevas sumas parciales son las antiguas mas (3+2+5). Como las sumas parciales antiguas convrgen a 2. Las nuevas convergen a 2+10=12. Entonces, la nueva serie resulta convergente y su suma es 12.4. Demuestre que la serie diverge.Aqu, como resulta que Asi, por el teorema de divergencia, la serie diverge.5. Analice la serie 9-12+16-para hallar la convergencia.Esta es una serie geomtrica con razn Como el teorema 43.1b) indica que la serie diverge.

6. Evale .Esta es una serie geomtrica con razn y el primer trmino es a=1. Como la serie convergente y su suma es

7. Demuestre que el decimal infinito 0.999 es igual a 1.0.999= esta es una serie geomtrica con el primer termino y la razn . Por lo tanto, converge a la suma

8. Analice la serie Aqu, Observe que Por tanto, la suma parcial es

Entonces, Luego, la serie converge a

9. Analice la serie 3+.Luego, por el teorema de divergencia, la serie diverge.

10. Analice la serie .Esta serie se obtiene de la serie armnica al borrar los primeros nueve trminos. Como la serie armnica diverge, entonces esta serie tambin lo hace.

11. (paradoja de Zenn ) Aquiles (A) y una tortuga (T) tiene una carrera. T arranca 1000 pies adelante, pero A corre a 10 pies/s, mientras que T solo a 0.01pies/s. cuanto A alcanza el punto de partida de T, T ha avanzado una distancia corta, etctera. Zenn deca que A nunca alcanzara a T. demuestre que si lo har. Cuando A llega al punto de partida de T han pasado 100 segundos y T se ha movido 0.01 (100)=1pie. A recorre ese pie adicional en 0.1 segundos, pero T se ha movido 0.01 (0.1)=0.001 pies ms. A necesita 0.0001segundos para recorrer esa distancia, pero T, entre tanto, se ha movido 0.01 (0.0001)=0.000001 pies, etctera.El lmite de la distancia entre A y T tiende a 0. El tiempo implicado es 100+0.1+0.0001+0.0000001+, que es una serie geomtrica con primer trmino y razn . Su suma es

Lo que constituye un poco ms de 100 segundos. La paradoja surge de la divisin artificial del hecho en infinitamente muchos pasos cada vez ms cortos.

Problemas complementarios12. Analice cada una de las series geomtricas siguientes. Si la serie converge, halle su suma.a) respuesta: S=b) respuesta: diverge c) respuesta: S=

13. Una bola de caucho cae de una altura de 10 pies. Cuando golpea el suelo, rebota hacia arriba tres cuartos de la altura anterior. Cul es la distancia total recorrida por la bola antes que se detenga? Respuesta: 70 pies

14. Analice la serie respuesta: S=

15. Analice la serie respuesta: 16. Evalu cuando es la siguiente:

17. Demuestre que cada una de las series divergen: 18. Evalu lo siguiente:

Respuesta: .19. (CG) en los problemas 1 a 6, use una calculadora en las primeras diez sumas parciales y determina con cuantas cifras decimales es correcta la decima suma parcial de la suma de la serie.20. (CG) a) si Cul funcin est representada por use una graficadora para graficar 1+x+ en el intervalo (-1,1) y compare la grfica con la de la funcin en el inciso a).Respuesta: 21. en cada punto siguiente, determine los valores de x para los cuales converge la serie indicada; luego halle la funcion representada por la suma de la serie para tales valores de x. Respuesta: